4.根轨迹设计法

闭环传递函数是：
因而闭环系统的闭环极点的极点是s使得 =0的值。

如果我们写成，这方程有这种形式：
令n= 的阶，m=的阶（阶位多项式的s的最高幂）。

我们考虑所有K的正直，当K的极限趋于零时，系统的极点为=0的值或者为
的极点。

当K的极限趋于无穷时，闭环系统的极点为=0或者的零点。

无论我们选K是什么值，闭环系统必须有n的极点，n为的极点个数。

根轨迹必须有n个分支，每个分支开始于的极点终止于的零点。

如果的极点数多于
零点数（大多数情况），，我们说有零点在无穷大。

在这种情况下，当s趋于无穷大的时候的极限是零。

在无穷大的零点个数是n-m个，即极点个数减去零点个数，是根轨迹
的分支趋向无穷大的个数。

由于根轨迹实际上是所有可能的闭环极点的位置，我们可以选择增益，使得我们的闭
环系统将执行我们想要的方式。

如果任何选定的极点都在右半平面，则闭环系统将不稳定。

最接近于虚轴的极点对闭环响应的影响最大，因此，即使该系统具有三个或四个极点，它
可能仍像一个二阶系统甚至一阶系统取决于主导极点为位置。

绘制传递函数的根轨迹
考虑一个开环系统我们可以得到一个传递函数
如何用根轨迹的方法设计一个反馈控制器？我们的标准是5%的超调量和一秒的上升
时间。

新建一个m文件命名为r1.m。

输入传递函数，和命令绘制根轨迹：
关于上面的图，在约45度角的两条虚线表示与 =0.7极点位置，在这些线之间，极点将有 >0.7和线以<0.7。

半圆表示极点位置固有频率=1.8;圈子里面 <1.8和圈外 >1.8。

回到我们的问题，以超调量小于5％，则极有可能处于两种白色虚线之间，并且使上升时间少于一秒，极点必须是白色虚线半圆的外。

所以，现在我们知道的轨迹只有部分的半圆之外，介于两行线间的是可以接受的。

所有极点的位置是在左半平面，因此闭环系统将是稳定的。

从上述曲线图，我们看到，根轨迹的一部分有在所需的区域内。

所以在这种情况下，我们只需要一个比例控制器来移动极点所需的区域。

您可以使用rlocfind命令在MATLAB 中选择的轨迹所需的的极点：
点击图上你想要的闭环极点是点。

你可能要选择满足设计标准所指示的点。

sys_cl =
350 s + 2450
--------------------------------------
s^4 + 40 s^3 + 475 s^2 + 1850 s + 2450
Continuous-time transfer function.
feedback函数的两个参数是开环系统的分子和分母。

需要包括您所选择的比例增益。

假设单位反馈。

如果不是单位反馈的情况，查看feenback函数的帮助文件，你能找到闭环传递函数反馈环节带增益的情况。

查看闭环传递函数的阶跃响应：
正如我们预期的，响应的超调量小于5%，上升时间小于1秒。

使用SISOTOOL根轨
完成上面所做的另一种方式是用MATLAB GUI称作 sisotool。

用上面同样的模型，首先定义。

以同样的方式，选择Analysis Plots。

这个窗口中，对于Plot1，选择step。

在Contents of Plots的字窗口中，为Plot 1选择Closed Loop r to y。

如果窗口没有自动弹出，点击Show Analysis Plot 按钮。

下面要为根轨迹的绘制添加设计要求。

直接在图上单机右键，选择Design Requirements，New。

Design requirements 可以设置调节时间，超调量，阻尼比，自然频率，或者一个约束区域。

这里没有上升时间的设置，但是可以通过自然频率设置。

我们设置阻尼比和自然频率的值像上面用sgrid的设置一样，， =1.8。

在design requirements中设置这些。

在图中，任意白色的区域为极点可行的区域。

在坐标轴上单击既根轨迹图中的右键，选择属性，然后选择Limits。

把实轴变为-25到25，虚轴变为-2.5到2.5。

同样，我们可以在响应中看到的一些关键参数的当前值。

在阶跃响应，在途中单击右
键选择Characteristics，然后选择Response。

同样的方法选择Rise Time。

现在屏幕上应该
显示这些参数的两个大点的位置。

点击这些点获得屏幕上的信息。

两个图如下：
阶跃响应显示的特性，超调量可以，但是上升时间慢太多。

为了修正，我应该选择一个K的增益。

类似于rlocfind命令，增援控制可以直接改变根轨迹的图。

点击并拖动粉色的点到可行域内，极点将会有虚数部分，如下所示。

在图的底部，可以看到开环增益已经变为了360。

在阶跃响应中，两个值都满足我们
的要求了。

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