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根轨迹法

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根轨迹法

一、定义：

〈①〉01111*0njimiipszsKsG。

其中*K为根轨迹增益。开环放大倍数njjmiipzKK11*

闭环特征方程的根随参数*K而变化的轨迹，称为根轨迹。

其符合两个条件：非最小相位系统或最小相位系统相角条件：幅值条件：,2,121000ksGksGsG

〈②〉几条规则：①实轴上的根轨迹

〈最小相位系统〉右边有奇数个零极点时，有根轨迹

〈非最小相位系统〉右边有偶数个零极点时，有根轨迹

②根轨迹条数=Max（n,m），

起点为开环极点（0gK），终点为开环零点（gK）

③渐进线条数：（n-m）条，与实轴交点坐标：mn零点极点1

与实轴夹角：mnk121。 ④分离点与会合点：使0*dsdK，并使*K>0的点

⑤复数极点出射角：

量辐角其他极点至该极点的向零点至极点的向量辐角1801p

对非最小相位系统

量辐角其他极点至该极点的向零点至极点的向量辐角1p

复数零点的入射角：

角极点至该零点的向量辐量辐角其他零点至该零点的向1801z

对非最小相位系统

角极点至该零点的向量辐量辐角其他零点至该零点的向1z

⑥与虚轴交点：

（a）用劳斯判据确定，用辅助方程求得

（b）js代入闭环特征方程，由实部=0，虚部=0求得

例1：210sssKsG

解：渐进线（3条）：10321，,3312k

由0211sssK，则21sssK， 026323223*ssdssssddsdK，得

385.0,577.1385.0,423.0*22*11KsKs

与虚轴的交点：方法一

02323Ksss，劳斯阵：

KsKsKss0123323021

要与虚轴有交点，则有一行全零，即6032KK

辅助方程：jss20632,12

方法二

将js代入特征方程：02323Kjjj

2,60320332KK虚部：实部：，

则与虚部的交点6,22,1Kjs 根轨迹如下图 例2：32220sssKsG

解：渐进线一条。出射角140022tan2tan180111p

分离点与会合点：2322*sssK，

故：023222222*sssssdsdK，则0142ss，得464.5,752.3265.0221Kss，可见根轨迹是圆弧。

证明：取圆弧上一点js。

1803222tan2tan32222112jjjsG（应用辐角条件）

两边取正切：

222222232222132222 可见是圆。

例3：

解：结构图化简,有:

闭环特征方程为001112121KsKKssKKsKhh

hhKKKKssKK1121*,01,由此画hK根轨迹图。

也可以由01121ssKKh，画1K根轨迹。

例4：0,1*0sssKsG

解：12*sssK，0123222*ssssdsdK，

则：0416332ss或 hKKssK11 ① α=1，α=9时，有一个分离点

②19,01632或解得

当α<1时，显然不稳定。

当α>9时，如取α=10，则5.4131101，

4,4104160131322,1s，根轨迹如上图。

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第四章 根轨迹法习题

第四章 根轨迹法习题

56 第四章 根轨迹法习题

4-1 系统的开环传递函数为

)4)(2)(1()()(*sssKsHsG

试证明点311js在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K和开环增益K。

4-2 已知开环零、极点如图4-2 所示，试绘制相应的根轨迹。

4-3 单位反馈系统的开环传递函数如下，试概略绘出系统根轨迹。

⑴ )15.0)(12.0()(sssKsG ⑵ )3)(2()5()(*ssssKsG ⑶ )12()1()(sssKsG

4-4单位反馈系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的根轨迹。

⑴

)21)(21()2()(*jsjssKsG

⑵ )1010)(1010()20()(*jsjsssKsG （ａ） （ｂ） （ｃ） （ｄ）

（ｅ） （ｆ） （ｇ） （ｈ）

题4-2图 开环零、极点分布图 57 4-５ 系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的根轨迹。

⑴

)208()()(2sssKsHsG ⑵ )5)(2)(1()()(ssssKsHsG

⑶ )22)(3()2()()(2sssssKsHsG ⑷ )164)(1()1()()(2sssssKsHsG

4-６ 已知单位反馈系统的开环传递函数)(sG，要求：

（1）确定)20)(10()()(2ssszsKsG产生纯虚根为1j的z值和K值；

（2）概略绘出)23)(23)(5.3)(1()(jsjssssKsG的闭环根轨迹图（要求确定根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点和起始角）。

4-７ 已知控制系统的开环传递函数为

22)94(2)()(sssKsHsG）（

根轨迹法与频率响应法

根轨迹法与频率响应法

根轨迹法与频率响应法

根轨迹法和频率响应法是控制系统理论中常用的分析和设计方法。本文将从定义、应用领域和分析步骤等方面介绍这两种方法，并比较它们的优劣之处。

一、根轨迹法

根轨迹法是一种基于系统极点和零点的图形分析工具。通过绘制极点和零点随参数变化时系统特征根的轨迹，可以直观地分析系统的稳定性、阻尼比、超调量和静态误差等性能指标。根轨迹法适用于线性时不变系统的分析和设计。

根轨迹法的分析步骤如下：

1. 绘制系统的极点和零点图；

2. 根据系统的传输函数，确定所有参数变化时系统的特征根；

3. 根据特征根的性质，绘制根轨迹图；

4. 根据根轨迹图，分析系统的稳定性、阻尼比、超调量和静态误差等性能指标。

根轨迹法的优点是直观、简单易懂，可以用于初步分析系统的性能指标。然而，由于它只能描述系统在参数变化时特征根轨迹的变化，不能给出系统在不同频率下的精确响应信息。

二、频率响应法 频率响应法是一种基于输入输出频率特性分析的方法。通过对系统的输入信号进行频率扫描，观察输出信号的幅值和相位随频率变化的规律，可以得出系统的频率响应曲线，进而分析系统的稳定性、幅频特性、相频特性和带宽等性能指标。频率响应法适用于线性时不变系统的分析和设计。

频率响应法的分析步骤如下：

1. 对系统输入信号进行频率扫描，获取输出信号的幅值和相位信息；

2. 根据频率扫描结果，绘制系统的幅频特性曲线和相频特性曲线；

3. 分析幅频特性曲线和相频特性曲线，得出系统的稳定性、幅值裕度、相位裕度和带宽等性能指标。

频率响应法的优点是可以直接观察系统在不同频率下的响应特性，并定量分析各种性能指标。但是，频率响应法需要对系统进行频率扫描，对于复杂系统来说，计算复杂度较高。

三、根轨迹法与频率响应法的比较

根轨迹法和频率响应法都是常用的控制系统分析和设计方法，各有优劣之处，适用于不同的应用场景。

根轨迹法适用于初步分析系统的性能指标，特别是稳定性、阻尼比、超调量和静态误差等方面。它直观、简单易懂，可以帮助工程师快速把握系统的基本特性。 频率响应法适用于精确分析系统的频率特性，并定量评估系统的稳定性、幅值裕度、相位裕度和带宽等性能指标。它可以给出系统在不同频率下的精确响应信息，对于复杂系统的分析和设计更为有效。

基于根轨迹法的串联校正

基于根轨迹法的串联校正

基于根轨迹法的串联校正

注意：

1）一般了解根轨迹校正方法。若指标为时域指标采用；

方法简单，容易理解；虽然计算均为代数计算，但是太繁杂，一般不采用。

2）重点掌握频率法的串联校正。若指标为频域指标采用。

例5 已知待校正系统的单位反馈系统的开环传递函数为

0()(0.51)KGsss

试设计串联校正环节()cGs，使得校正后系统

1) 静态速度误差系数150vKs；

2) 超调量%25%；

3) 调节时间2sts。

解：1) 求取主导极点位置

由21%e100%20%，得0.4，这里取0.5。

取0.02，由42snt，得4n，这里取4n。

则闭环主导极点21,21223nnsjj。

2）将系统传递函数化成零极点形式：02()(0.51)(2)KKGsssss

011(0)(2)(2230)(2232)30(21),0,1,2ssjjll

不满足则进行动态校正。

3） 动态校正——相当于频率法中超前校正

-----------------------------------------------------以下是讨论---------------------------------------

-设校正装置111()()cccccszGsksp，则此时'1112()()(2)()cccKkszGssssp。

注意：校正前系统阶数为2，现在系统阶数为3。因此，会出现两种情况：

A: 校正后系统的阶数不变。——加入的校正装置后系统的一个极点会与一个零点相互抵消。

这里令12cszs（为什么不11ccszsp，那就白加校正装置了）

则12cz，此时，'112()()ccKkGsssp阶数不变。 '21112()()2()()416ccDssspKkssssss（校正后系统特征多项式与期望特征多项式相等）

四.根轨迹法

四.根轨迹法

25 四．根轨迹法

反馈系统的稳定性由系统的闭环极点确定。研究系统参数变化对闭环系统特性的影响，是分析系统和设计控制器的重要内容。参数变化的作用，体现在对闭环极点的影响上。

对于高阶系统，用解析方法说明这种影响，很困难，且不易理解。图解法是一种方便的近似方法。

4-1 根轨迹法的基本概念

1． 根轨迹概念

根轨迹法：根据参数变化0，研究系统闭环极点变化轨迹的一种图解方法。即在参数变化时图解特征方程。

近似作图；重要区域，如与虚轴的交点与实轴的交点等，根轨迹要准确；依据根轨迹图，可以确定合适的系统参数，为设计控制器提供依据。

例图4-1，研究系统的开环增益K的变化0， 对闭环极点的影响。

开环传递函数)15.0()(ssKsG，闭环传递函数KssKs222)(2，

特征方程0222Kss，根轨迹方程1)2(ssk，0,2Kk。

该例的解析分析为2/11)21(1Ks，2/12)21(1Ks。参见图4-2。

开环极点X，开环零点O；根轨迹上的箭头表示参数增大的方向。

2． 根轨迹与系统性能

以图4-2为例，

(1) 稳定性： 根轨迹始终都处于S平面左半部，则无论参数取多大的值，闭环系统稳定；若在参数的某些取值范围，有根轨迹段(闭环极点)处于S平面右半部，则闭环系统在该参数范围不稳定。根轨迹与虚轴的交点出的参数值，为参数临界值。

(2) 稳态性能：在研究开环增益K对闭环极点作用时，据在原点处的开环极点个数就可以知道系统的误差型别。

(3) 动态性能：从根轨迹上的共轭复数极点，能够知道该振荡模态的阻尼系数，对高阶系统的动态性能有粗略估计。

3． 根轨迹方程

根轨迹方程实际上是便于应用规则绘制根轨迹图的标准形式的特征方程。

例 已知负反馈开环传递函数： 26 niimjjnnnnmmmmpszskasasasbsbsbsbsHsG111111110)()()()(；根轨迹方程1)()(11niimjjpszsk。