第四章 根轨迹法4-1

56 第四章 根轨迹法习题

4-1 系统的开环传递函数为

)4)(2)(1()()(*sssKsHsG

试证明点311js在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K和开环增益K。

4-2 已知开环零、极点如图4-2 所示，试绘制相应的根轨迹。

4-3 单位反馈系统的开环传递函数如下，试概略绘出系统根轨迹。

⑴ )15.0)(12.0()(sssKsG ⑵ )3)(2()5()(*ssssKsG ⑶ )12()1()(sssKsG

4-4单位反馈系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的根轨迹。

⑴

)21)(21()2()(*jsjssKsG

⑵ )1010)(1010()20()(*jsjsssKsG （ａ） （ｂ） （ｃ） （ｄ）

（ｅ） （ｆ） （ｇ） （ｈ）

题4-2图 开环零、极点分布图 57 4-５ 系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的根轨迹。

⑴

)208()()(2sssKsHsG ⑵ )5)(2)(1()()(ssssKsHsG

⑶ )22)(3()2()()(2sssssKsHsG ⑷ )164)(1()1()()(2sssssKsHsG

4-６ 已知单位反馈系统的开环传递函数)(sG，要求：

（1）确定)20)(10()()(2ssszsKsG产生纯虚根为1j的z值和K值；

（2）概略绘出)23)(23)(5.3)(1()(jsjssssKsG的闭环根轨迹图（要求确定根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点和起始角）。

4-７ 已知控制系统的开环传递函数为

22)94(2)()(sssKsHsG）（

116 4-23 在带钢热轧过程中，用于保持恒定张力的控制系统称为“环轮”，其典型结构图如图4-47所示。环轮有一个0.6m~0.9m长的臂，其末端有一卷轴，通过电机可将环轮升起，以便挤压带钢。带钢通过环轮的典型速度为10.16ms。假设环轮位移变化与带钢张力的变化成正比，且设滤波器时间常数T可略去不计。要求：

(1) 概略绘出0aK时系统的根轨迹图；

(2) 确定增益aK的取值，使系统闭环极点的阻尼比0.707。

－+滤波器2110sTs电机放大器1aKs发电机11s电机0.251s轧辊1s1sRsCs－+

(b)

图4-47

轧钢机控制系统

解 本题主要研究根轨迹的绘制及系统参数选择。

(1) 绘系统根轨迹图

电机与轧辊内回路的传递函数

120.250.2510.250.5Gssss

令0T，系统开环传递函数为

2220.50.50.510.51aKsKGsssssss

式中，0.5aKK。概略绘制根轨迹图的特征数据为：

渐近线：交点与交角

2.50.6254a 45,135a

分离点：由

11200.51ddd

解出

0.212d。

根轨迹与虚轴交点：闭环特征方程

20.51sssK

4322.520.50ssssK

列劳思表 117 4s 1 2 K

3s 2.5 0.5

2s 1.8 K

1s 0.92.51.8K

0s K

令0.92.50K，得0.36K。令

21.80sK

第四章 根轨迹法

4-1试粗略画出对应反馈控制系统具有以下前向和反馈传递函数的根轨迹图：

ssHsssKsG6.01,01.01.02

4-2 试粗略地画出反馈系统函数

2411sssKsG 的根轨迹。

4-3 对应负反馈控制系统，其前向和反馈传递函数为

1,42)1(2sHssssKsG 试粗略地画出系统的根轨迹。

4-4 对应正反馈重做习题4-3，试问从你的结果中得出什么结论？

4-5 试画出具有以下前向和反馈传递函数的，正反馈系统根轨迹的粗略图。

1,4122sHssKsG

4-6 试确定反馈系统开环传递函数为

5284)2(2ssssssKsHsG

对应-

4-7 设一负反馈系统，其开环传递函数

90020040)4(2sssssKsHsG

a) 画出根轨迹并表明根轨迹上全部特征值。

b) 增益值在一个什么样的范围内，系统才是稳定的？

c) 画出系统的伯德图，并使其稳定性和不稳定性区域，与根轨迹图连系起来说明。

4-8 对应负反馈情况，重做习题4-7.

4-9 对应如下的负反馈控制系统，粗略地作出根轨迹，并确定系统稳定下K的范围。

1,41)6(sHssssKsG

4-10 对应习题4-10图所示系统，根据以下条件，试确定导致系统稳定的正实数增益K的范围：

a) 具有负反馈的系统。

b) 具有正反馈的系统。

习题4-10图

4-11 已知反馈系统的开环传递函数

*()()(1)(2)KGsHssss

试绘制系统的根轨迹图，详细列写根轨迹的计算过程，其中包括零点、极点、渐近线及与实轴交点，根轨迹分离点及与虚轴的交点、渐近线与实轴夹角。求出根轨迹及与虚轴相交时的K*及相应的开环增益K。

第4章 根轨迹法

在时域分析中已经看到，控制系统的性能取决于系统的闭环传递函数，因此，可以根据系统闭环传递函数的零、极点研究控制系统性能。但对于高阶系统，采用解析法求取系统的闭环特征方程根（闭环极点）通常是比较困难的，且当系统某一参数（如开环增益）发生变化时，又需要重新计算，这就给系统分析带来很大的不便。1948年，伊万思根据反馈系统中开、闭环传递函数间的内在联系，提出了求解闭环特征方程根的比较简易的图解方法，这种方法称为根轨迹法。因为根轨迹法直观形象，所以在控制工程中获得了广泛应用。

本章介绍根轨迹的概念，绘制根轨迹的法则，广义根轨迹的绘制以及应用根轨迹分析控制系统性能等方面的内容。

4.1 根轨迹法的基本概念

本节主要介绍根轨迹的基本概念，根轨迹与系统性能之间的关系，并从闭环零、极点与开环零、极点之间的关系推导出根轨迹方程，并由此给出根轨迹的相角条件和幅值条件。

4.1.1 根轨迹的基本概念

根轨迹是当开环系统某一参数（如根轨迹增益K）从零变化到无穷时，闭环特征方程的根在s平面上移动的轨迹。根轨迹增益K是首1形式开环传递函数对应的系数。

在介绍图解法之前，先用直接求根的方法来说明根轨迹的含义。

控制系统如图4-1所示。其开环传递函数为

)2()15.0()(*ssKssKsG

根轨迹增益KK2*。闭环传递函数为

*2*2)()()(KssKsRsCs

闭环特征方程为

02*2Kss

特征根为： *111K, *211K

当系统参数*K（或K）从零变化到无穷大时，闭环极点的变化情况见表4-1。

表4-1 *K、K=0～时图4-1系统的特征根

*K K 1 2

0 0 0 -2

0.5 0.25 -0.3 -1.7

1 0.5 -1 -1

2 1 -1+j -1-j

5 2.5 -1+j2 -1-j2

   