松江二中期末数学试卷(高一上学期)

上海市松江区2020-2021学年高一第一学期期末质量监控试卷数学（满分150分，完卷时间120分）2021．01考生注意：1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（或择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分．2．答题前、务必在答题纸上填写姓名、学校和考号．3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知集合{}{}10,0,1,2A x x B =−≥=，则A B ⋂= __________．2若全集{}{}{}22,1,0,1,2,2,1,2,10U A B x x =−−=−=−=，则图中阴影部分所表示的集合为_________．3．函数()()3log 21xf x x =+−的定义域是__________． 4．已知函数()1xf x a =−的图像经过()1,1点，则()13f −=__________． 5．用“二分法”求函数()32231828f x x x x =−−+在区间12（，）内的零点时，取12（，）的中点1 1.5x =，则()f x 的下一个有零点的区间是__________．6．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时()21xf x x =−+，则当0x <时()f x =__________．7．已知不等式250ax x b ++>的解集是{}23x x <<，则不等式250bx x a −+>的解集是__________．8．已知函数()()8,20,1log 5,2a x x f x a a x x −+≤⎧=>≠⎨+>⎩的值域为[)6,+∞，则实数a 的取值范围是__________． 9．已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，满足()()11f x f x −=+，若()11f =，则()()()()12350f f f f +++⋯+=__________．10．已知函数()()log 310,1a y x a a =−+>≠的图像恒过定点A ，若点A 在一次函数2m y x n =+的图像上，其中0,0m n >>，则12m n+的最小值是__________． 11．已知函数()()2,3f x x g x x m =−=−++，若函数()f x 的图像恒在函数()g x 图像上方，则m 的取值范围为__________．12．数学上常用[]x 表示不大于x 的最大整数，若存在实数t 使得[]21,2,n t t t n ⎡⎤⎡⎤==⋯=⎣⎦⎣⎦同时成立，则正整数n 的最大值是__________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分．每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．要证明命题“所有实数的平方都是正数”是假命题，只需（ ）A ．证明所有实数的平方都不是正数B ．证明平方是正数的实数有无限多个C ．至少找到一个实数，其平方是正数D ．至少找到一个实数，其平方不是正数14．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．()()ln ,xf x eg x x == B ．()()24,22x f x g x x x −==−+ C ．()()0,1f x x g x == D ．(){}(){}2,1,0,1,,1,0,1f x x x g x x x =∈−=∈− 15．已知正数,a b 均不为1，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件16．已知0m >，当]1[0x ∈，时，函数()21y mx =−的图像与y x m 的图像有且只有一个交点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(])0,1⎡⋃+∞⎣ B ．(][)0,13,⋃+∞C ．()⎡⋃+∞⎣D ．([)3,⋃+∞ 三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分） 已知{}{}2220,240A x x x B x x ax a =+−==++−=，若B A ⊆，求实数a 的值． 18．（本题满分14分）已知x 是有理数，y 是无理数，求证；x y +是无理数．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知幂函数()()22421mm f x m x −+=−在区间()0,+∞上是严格增函数，()2x g x k =−． （1）求实数m 的值；（2）当[]1,2x ∈−时，()()f x g x 、的值域分别为A B 、．设命题:p x A ∈，命题：:q x B ∈，若命题p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围．20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 给出关于函数()f x 的一些限制条件：①在()0,+∞上严格减函数；②在(),0−∞上是严格增函数；③是奇函数；④是偶函数；⑤()00f =，只在这些条件中，选择必需的条件，补充下面的问题中：定义在R 上的函数()f x ，若满足__________（填写你选定条件的序号），且()10f −=，求不等式()10f x −>的解集．（1）若不等式的解集是空集，请写出选定条件的序号，并说明理由；（2）若不等式的解集是非空集合，请写出所有可能性的条件序号（不必说明理由）；（3）求解问题（2）中选定条件下不等式的解集．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知二次函数()f x 满足()()()4,03f x f x f =−−=，若12,x x 是()f x 的两个零点，且122x x −=．（1）求()f x 的解析式；（2）若()()f x g x x=，求函数()g x 的值域： （2）若不等式()220x x g k −⋅≥在[]1,1x ∈−上恒成立，求对数k 的取值范围．。

高一上学期期末数学试题一、填空题1化成有理数指数幂的形式为__________. 0)a >【答案】13a 【分析】根据给定条件，利用分数指数幂的意义求解作答. 【详解】. 0a >114111113333444()()()a a a a a +=⋅===故答案为：13a 2．不等式的解集是___________. |1|2x -<【答案】(1,3)-【分析】根据绝对值的意义直接求解即可. 【详解】, |1|2x -< ,212x ∴-<-<解得，13x -<<所以不等式的解集为. (1,3)-故答案为：(1,3)-3．已知a 、b 是方程的两个根，则______． 23410x x -+=11a b+=【答案】4【分析】直接利用韦达定理代入计算即可.【详解】由韦达定理可得，41,33a b ab +==4113413a b a b ab++===故答案为：4.4．已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的面积为________． 54︒10cm 2cm 【答案】15π【分析】根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角，再由扇形面积公式求解即可. 3π10α=【详解】由题意，根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角.则该扇形的面积为3π5410α=︒=. 213π1015π210⨯⨯=2cm 故答案为： 15π5．已知，则角属于第____________象限． sin 0tan θθ<θ【答案】二或三【分析】根据题意，结合三角函数在各个象限的符号，即可得到结果. 【详解】因为，即与的符号相反， sin 0tan θθ<sin θtan θ所以为第二或第三象限， θ故答案为: 二或三6．已知是定义在上的奇函数，当时，，则____. ()y f x =R 0x >()21x f x =-(2)f -=【答案】3-【详解】 由题意得，函数为奇函数，所以.()y f x =()2(2)2(21)3f f -=-=--=-7．已知函数的反函数为，若函数的图像过点，则实数a 的()3x f x a =+1()y f x -=1()y f x -=(3,2)值为__________． 【答案】-6【分析】由的图象过点得函数的图象过点，把点代入1()y f x -=(3,2)()y f x =(2,3)(2,3)()y f x =的解析式求得的值．a 【详解】解：的图象过点，1()y f x -= (3,2)函数的图象过点，∴()y f x =(2,3)又，()3x f x a =+，即．233a ∴+=6a =-故答案为：． 6-8．已知，则____________． cos )ααβ=-=π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos(2)αβ-=【分析】根据，得到，求出π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭sin )ααβ=-=法，结合余弦的和角公式求出答案.【详解】，故，π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭因为，所以，sin()0αβ-=>π0,2αβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭所以，sin )ααβ==-==故()()()()2cos cos cos sin sin cos αβααβααβααβ⎡⎤-=+--⎦=--⎣. ==9．在数学解题中，时常会碰到形如“”的式子，它与“两角和的正切公式”的结构类似.若1x yxy+-，则________.sincos855tan 15cos sin 55a b a b πππππ+=-b a =【分析】将已知条件左边分式分子分母同时除以，结合两角和的正切公式，求得的值. cos5a πba【详解】由已知分子分母同时除以得，sincos855tan 15cos sin 55a b a b πππππ+=-cos 5a π. tan85tan 151tan 5ba b a πππ+=-又，所以. tantan853tantan()15531tan tan 35πππππππ+=+=-tan 3b a π=【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查齐次方程的计算，属于中档题.10．若函数有2个零点，则实数a 的取值范围是______．()2,1,x x x x af x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩【答案】(](]2,01,2- 【分析】画出的图像，分，，，，讨()2,1,x x x x af x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩2a ≤-20a -<≤01a <≤12a <≤2a >论观察图像可得答案.【详解】当时，函数零点为1，只有1个零点2a ≤-()2,1,x x x x af x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩当时，函数零点为-2，1，有2个零点，符合；20a -<≤()2,1,x x x x af x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩当时，函数零点为-2，0，1，有3个零点；01a <≤()2,1,x x x x af x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩当时，函数零点为-2，0，有2个零点；12a <≤()2,1,x x x x af x x x a⎧-<=⎨-≥⎩当时，函数零点为-2，0，2，有3个零点；2a >()2,1,x x x x af x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩综上：实数a 的取值范围是 (](]2,01,2- 故答案为：.(](]2,01,2- 【点睛】思路点睛：对于分段函数的零点问题，注意根据两段函数的零点合理分类，分类时注意按一定的次序进行.二、单选题11．以下命题正确的是（ ） A ．终边重合的两个角相等 B ．小于 的角都是锐角 90 C ．第二象限的角是钝角 D ．锐角是第一象限的角【答案】D【分析】根据象限角的定义判断求解即可.【详解】对于A,例如和中边相同，但两个角不相等，故A 错误；30 390对于B,例如，但不是锐角，故B 错误；090< 0 对于C,例如是第二象限角，但不是钝角，故C 错误； 210- 210- 因为锐角为大于小于，所以锐角在第一象限，故D 正确. 0 90 故选:D.12．若函数的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：32()22f x x x x =+-- (1)2f =- (1.5)0.625f = (1.25)0.984f =-(1.375)0.260f =-(1.4375)0.162f =(1.40625)0.054f =-那么方程的一个近似根（精确度0.1）为（ ）．A ．1.2 B ．1.4 C ．1.3 D ．1.5 32220x x x +--=【答案】B【分析】根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.【详解】解：因为，所以，所以函数在内有零点，因为(1)0,(1.5)0f f <>(1)(1.5)0f f <(1,1.5)，所以不满足精确度；1.510.50.1-=>0.1因为，所以，所以函数在内有零点，因为(1.25)0f <(1.25)(1.5)0f f <(1.25,1.5)，所以不满足精确度；1.5 1.250.250.1-=>0.1因为，所以，所以函数在内有零点，因为(1.375)0f <(1.375)(1.5)0f f <(1.375,1.5)，所以不满足精确度；1.5 1.3750.1250.1-=>0.1因为，所以，所以函数在内有零点，因为(1.4375)0f >(1.4375)(1.375)0f f <(1.375,1.4375)，所以满足精确度；1.4375 1.3750.06250.1-=<0.1所以方程的一个近似根（精确度）是区间内的任意一个值（包32220x x x +--=0.05(1.375,1.4375)括端点值），根据四个选项可知选B . 故选：B13．已知全集及集合，，则的U =R 2128,4aA a a -⎧⎫=≤<∈⎨⎬⎩⎭Z {}23100B b b b b =+->∈R ，A B 元素个数为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】可求出集合，，然后进行交集和补集的运算求出，然后即可得出的元素个A B A B A B 数．【详解】解：，2128,4a A a a -⎧⎫=≤<∈⎨⎬⎩⎭Z {}23100B b b b b =+->∈R ，，，，1，2，3，，或，且{|223A a a ∴=--<…}{|14a Z a a ∈=-<…}{0a Z ∈=4}{|5B b b =<-2}b >，U =R ，， ∴{|52}B b b =-……{0,1,2}A B = 的元素个数为：3．∴A B 故选：． B 14．函数，因其图像类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，下列说法中正确的个数为1()||1f x x =-（ ）①函数的定义域为； ②； ()f x {}1x x ≠2022((2023))2021f f =-③函数的图像关于直线对称； ④当时，函数的最大值为； ()f x 1x =(1,1)x ∈-()f x 1-⑤方程有四个不同的实根． 2()40f x x -+=A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】根据分式分母不为零可求得定义域判断①；利用解析式可求得判断()f x ()()2023f f ②；通过判断③；分别在和的情况下得到，判断④；利用()()20f f ≠(]1,0x ∈-[)0,1x ∈()max f x 数形结合判断⑤.【详解】对于①，由得：，的定义域为，①错误；10x -≠1x ≠±()f x \{}1x x ≠±对于②，，，②正确；()120232022f = ()()112022202312022202112022f f f ⎛⎫∴===-⎪⎝⎭-对于③，，，， ()12121f ==- ()10101f ==--()()20f f ∴≠不关于直线对称，③错误；()f x \1x =对于④，当时，，此时； (]1,0x ∈-()1111f x x x ==---+()()01f x f ≤=-当时，，此时； [)0,1x ∈()11f x x =-()()01f x f ≤=-综上所述：当时，，④正确；()1,1x ∈-()max 1f x =-对于⑤，在平面直角坐标系中，作出与的大致图象，()f x 24y x =-由图象可知与有四个不同交点，()f x 24y x =-方程有四个不同的根，⑤正确.∴()240f x x -+=所以正确的个数为3. 故选：B.三、解答题15．已知，求下列各式的值：1tan 2,tan 42παβ⎛⎫+==- ⎪⎝⎭(1)；tan α(2)． sin()2sin cos 2sin sin cos()αβαβαβαβ+-++【答案】(1)13(2) 1-【分析】(1)两角和的正切展开求解.(2)两角和的正余弦展开合并同类项，再运用两角和的正余的逆运用转化为正切求解.【详解】（1） πtantan π1tan 4tan 2π41tan 1tan tan 4ααααα++⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-⋅1tan 3α∴=（2）()()sin sin cos cos sin ,cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=⋅+⋅+=⋅-⋅sin()2sin cos 2sin sin cos()2sin sin cos cos sin 2sin cos cos s c s in o sin sin αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-∴=++⋅+⋅-⋅⋅-+⋅ ()()()sin cos sin sin cos tan sin sin cos cos cos βααβαββααβαββα-⋅-⋅===-⋅+⋅-又 ()11tan tan 523tan 1111tan tan 61132βαβααβ-----====-+⋅-⎛⎫+⨯- ⎪⎝⎭sin()2sin cos 12sin sin cos()αβαβαβαβ+-∴=-++16．某小微公司每年燃料费约20万元．为了“环评”达标，需要安装一块面积为（单位：平()0x x ≥方米）可用10年的太阳能板，其工本费为（单位：万元），并与燃料供热互补工作，从此，公司2x每年的燃料费为（，k 为常数）万元．记y 为该公司10年的燃料费与安装太阳能板1040kx +0x ≥的费用之和．(1)求k 的值，并写出函数的表达式；()y f x =(2)求y 的最小值，并指出此时所安装的太阳能板的面积x ． 【答案】(1)，()； 800k =80042xy x =++0x ≥(2)38万元，安装的太阳能板的面积为36平方米.【分析】(1)根据每年的燃料费计算可得k 值，进而写出函数的表达式. ()y f x =(2)利用(1)中函数表达式结合均值不等式即可计算最小值及所对x 值. 【详解】（1）依题意，当时，，解得， 0x =2040k=800k =于是得该公司10年的燃料费与安装太阳能板的费用之和，，800800101040242x xy x x =⋅+=+++0x ≥所以，函数的表达式为，. 800k =()y f x =80042xy x =++0x ≥（2）由(1)知，，， 0x ≥8004223842x y x +=+-≥=+当且仅当，即时取“=”， 800442x x +=+36x =所以y 的最小值是38万元，此时所安装的太阳能板的面积为36平方米. 17．已知函数的表达式为.()y f x =()9233x x f x a =-⋅+(1)若，求函数的值域； 1,[0,1]a x =∈()y f x =(2)当时，求函数的最小值；[1,1]x ∈-()y f x =()h a (3)对于（2）中的函数，是否存在实数，同时满足下列两个条件：（i ）；（ii ）()h a ,m n 3n m >>当的定义域为，其值域为；若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. ()h a [,]m n 22,m n ⎡⎤⎣⎦,m n 【答案】(1)[]2,6(2)22821,9331()3,33126,3aa h a a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩(3)不存在，理由见解析【分析】（1）由，利用的范围可得的范围，进而可得答案；()2312x y =-+x 3x （2）令，函数可转化为，分、、讨论可得答3x t =()f x ()()223g t t a a =-+-13a <133a ≤≤3a >案；（3）假设满足题意的，存在，函数在上是减函数，求出的定义域、值域，列m n ()h a ()3,+∞()h a 出方程组，求解与已知矛盾，即可得到结论.【详解】（1）当时，由，得，1a =9233x x y =-⨯+()2312x y =-+因为，所以，，[]0,1x ∈[]31,3x∈[]2,6y ∈所以函数的值域为.()y f x =[]2,6（2）令，因为，故，函数可转化为3x t =[]1,1x ∈-1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x ， ()()222233g t t at t a a =-+=-+-①当时，；13a <()1282393ah a g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭②当时，；133a ≤≤()()23h a g a a ==-③当时，．3a >()()3126h a g a ==-综上所述，. ()22821,93313,33126,3a a h a a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩（3）假设满足题意的，存在，m n 因为，，3n m >>()126h a a =-所以在上是严格减函数，()y h a =()3,+∞所以在上的值域为，()y h a =[],m n ()(),⎡⎤⎣⎦h n h m 又在上的值域为，所以，即， ()y h a =[],m n 22,m n ⎡⎤⎣⎦()()22h n m h m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩22126126n m m n ⎧-=⎨-=⎩两式相减，得，()()()226m n m n m n m n -=-=+-因为，所以，3n m >>6m n +=而由，可得，与矛盾．3n m >>6m n +>6m n +=所以，不存在满足条件的实数，．m n 18．已知函数的定义域是使得解析式有意义的x 集合，如果对于定义域内的任意实数x ，函数()f x 值均为正，则称此函数为“正函数”.（1）证明函数是“正函数”； ()()2lg 11f x x =++（2）如果函数不是“正函数”，求正数a 的取值范围. ()11a f x x x =+-+（3）如果函数是“正函数”，求正数a 的取值范围. ()()()222242122x a x a f x x a x a +--+=+--+【答案】（1）证明见解析，（2）（3）(,1]-∞(){}6,13- 【解析】（1）有题知：，即证.()1f x ≥（2）首先讨论当时，显然不是“正函数”. 当时，从反面入手，假设0a ≤()11a f x x x =+-+0a >是“正函数”，求出的范围，再取其补集即可.()f x a （3）根据题意得到：或，解方程和不等式组即可. 22(2)4(42)0(1)8(22)0a a a a ⎧---<⎨---<⎩12242122a a a a --+==--+【详解】（1）.2()lg(1)1lg111f x x =++≥+=函数值恒为正数，故函数是“正函数”.2()lg(1)1f x x =++（2）当时，，0a ≤(0)10f a =-<显然不是“正函数”. ()11a f x x x =+-+当时0a >假设为“正函数”.则恒大于零. ()11a f x x x =+-+()f x. ()1221a f x x x =++-≥+所以，即20->1a >所以不是“正函数”时， ()11a f x x x =+-+.01a <≤综上：.1a ≤（3）有题知：若函数是“正函数”， ()22(2)242(1)22x a x a f x x a x a +--+=+--+则或. 22(2)4(42)0(1)8(22)0a a a a ⎧---<⎨---<⎩12242122a a a a --+==--+解得：或.61a -<<3a =【点睛】本题主要考查函数的新定义，同时考查了对所学知识的综合应用，属于难题.。

2020-2021学年上海市松江区高一上学期期末数学试题一、单选题1．要证明命题“所有实数的平方都是正数”是假命题，只需（ ）A ．证明所有实数的平方都不是正数B ．证明平方是正数的实数有无限多个C ．至少找到一个实数，其平方是正数D ．至少找到一个实数，其平方不是正数答案：D全称命题是假命题，则其否定一定是真命题，判断选项.解：命题“所有实数的平方都是正数”是全称命题，若其为假命题，那么命题的否定是真命题，所以只需“至少找到一个实数，其平方不是正数.故选：D2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．()()ln ,x f x e g x x ==B ．()()24,22x f x g x x x -==-+ C．()()0,1f x x g x == D ．(){}(){},1,0,1,1,0,1f x x x g x x =∈-=∈-答案：D两个函数要表示同一函数，需函数的三个要素相同，即只要定义域相同，对应关系都相同，两个函数就是同一函数，所以判断选项中两个函数的定义域和对应关系是否相同. 解：A.()ln x f x e =的定义域是()0,∞+，()g x x =的定义域是R ，两个函数的定义域不相同，所以不是同一函数；B.()242x f x x -=+的定义域是{}2x x ≠-，函数()2g x x =-的定义域是R ，定义域不相同，不是同一函数；C.()0f x x =的定义域是{}0x x ≠，()1g x =的定义域是R ，函数的定义域不相同，不是同一函数；D.()g x x ==，()f x x =，两个函数的对应关系相同，函数的定义域也相同，所以两个函数是同一函数.故选：D3．已知正数,a b 均不为1，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案：A根据指数函数对数函数的概念，分析“333a b >>”与“log 3log 3a b <”的推出关系即可.解：由题意知，3331a b a b ⇔>>>>，当1a b >>时，lg3lg3log 3log 3lg lg a b a b =<=成立， 反之不成立，例如1,33a b ==满足log 3log 3a b <,推不出1a b >>. 故“33a b <”是“33log log a b <”的充分不必要条件．故选：A4．已知当[0,1]x ∈ 时，函数2(1)y mx =- 的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是A ．(0,1])⋃+∞B ． (0,1][3,)⋃+∞C ． )⋃+∞D ． [3,)⋃+∞ 答案：B解：当01m <≤时，11m≥ ，2(1)y mx =- 单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，y m =单调递增，且[,1]y m m m =∈+ ，此时有且仅有一个交点；当1m 时，101m<< ，2(1)y mx =-在1[,1]m 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+⇒≥ 选B.【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题5．已知集合{}{}10,0,1,2A x x B =-≥=，则AB =__________． 答案：{}1,2先求集合A ，再根据交集定义求A B .解：{}1A x x =≥，{}0,1,2B =，所以{}1,2AB =. 故答案为：{}1,26．若全集2,1,0,1,2U ，{}2,1,2A =-，{}210B x x =-=，则图中阴影部分所表示的集合为_________．答案：{}0解出集合B ，利用韦恩图可知阴影部分区域所表示的集合为AB ，即可得解. 解：因为全集2,1,0,1,2U ，{}2,1,2A =-，{}{}2101,1B x x =-==-， {}2,1,1,2A B ∴=--，由图可知，阴影部分区域所表示的集合为{}0AB =.故答案为：{}0. 7．函数()()3log 211xf x x x=+--的定义域是__________． 答案：1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭根据函数的形式，直接求函数的定义域.解：根据函数的形式可知函数的定义域需满足10210x x ->⎧⎨->⎩， 解得：112x <<，所以函数的定义域是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭。

2022-2023学年上海市松江二中高一上学期期末数学试题一、填空题1．设全集，，则___________{}07,Z U x x x =≤≤∈{}2,4,6,7A =A =【答案】{}0,1,3,5【分析】直接利用补集的概念求解即可.【详解】全集，，{}07,Z U x x x =≤≤∈{}2,4,6,7A =则{}0,1,3,5A =故答案为：{}0,1,3,52．若函数_______________．()f x =【答案】[2,2]-【详解】因为函数函数()f x =0,a =()f x =2820x -≥解得 故函数的定义域为.22,x -≤≤[]2,2-及答案为.[]2,2-3．函数的反函数是___________()210y x x =-≥【答案】1)y x =≥-【分析】先解出，然后再将互换即可得其反函数.x ,x y【详解】由，得()210y x x =-≥x =所以的反函数为，()210y x x =-≥1)y x =≥-故答案为：1)y x =≥-4．方程，的解集是___________tan 1θ=[)0,2θ∈π【答案】π5π,44⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】利用可得，，结合角的范围即可求解tan 1θ=ππ4k θ=+Z k ∈【详解】由，得，，tan 1θ=ππ4k θ=+Z k ∈又由得或，[)0,2θ∈ππ4θ=5π4θ=方程，的解集是tan 1θ=[)0,2θ∈ππ5π,44⎧⎫⎨⎩⎭故答案为：π5π,44⎧⎫⎨⎬⎩⎭5．已知扇形OAB 的圆心角为6rad ，其面积是，则该扇形的周长是___________cm.29cm【答案】【分析】根据扇形面积公式求出半径，进而得到弧长和周长.【详解】由得：，解得：cm ，21122S lR R θ==21962R =⨯R =故cm ，则扇形周长为cm.l R θ==2l R +==故答案为：6．已知角的终边过点，则___________α()43P ,-()()32cos πtan π2αα+--=【答案】3920【分析】先利用三角函数的定义得到，，然后利用诱导公式计算即可3sin 5α=3tan 4α=-【详解】因为角的终边过点，所以，，α()43P ,-3sin 5α==3tan 4α=-所以()()363392cos πtan π2sin tan 25420αααα+--=-=+=故答案为：39207．已知，，则的值为___________9log 18a =916b =23ba -【分析】利用对数运算和指对数互换可化简，即可求得答案log a =32log 2b =【详解】由可得9331log 18log 18log 2a ===3log a =由可得，916b =93log 162log 2b ==所以3log log log 22333b a -===8．设，则方程的解集为___________x ∈R 35243x x x -++=-【答案】(]5,2,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭ 【分析】分，，，讨论去绝对值来解方程.2x ≤-324x -<<3543x ≤≤53x >【详解】当时，方程为，解得；2x ≤-()()()35243x x x ---+=--2x ≤-当时，方程为，方程无解；324x -<<()()()35243x x x --++=--当时，方程为，；3543x ≤≤()()()35243x x x --++=-53x =当时，方程为，解得；53x >()()()35243x x x -++=-53x >综上所述方程的解集为35243x x x -++=-(]5,2,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭故答案为：.(]5,2,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭ 9．设，，且，若的最小值为4，则实数a 的值为___________0x >1y >111ax y +=-x y +【答案】43【分析】变形得，展开利用基本不等式求最小值，然后根据题中最小11211x a y x y x y -+-⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭值列方程求解.【详解】，()11111211111x y x x y x y x y y a a ⎛⎫⎛⎫+=+-++--=+ ⎪⎝+ ⎭-⎪⎭+⎝14211a a ⎛≥++=+ ⎝当且仅当，即时等号成立，11y x xy -=-22,1x y a a ==+又的最小值为4，x y +，得414a ∴+=43a =故答案为：.4310．如图，在平面直角坐标系的电场中，一带电粒子σ从点射出，落入x 轴上的区()()0,24P t t ≤≤间，粒子σ的运动轨迹是函数的图象的一部分，[]()1212,0D x x x x =<<()()()2log R f x x b b +=+∈则使取最小值的区间D 是___________21x x -【答案】[15,3]--【分析】由题意可得，再由可得，令，可得，从而可求出2log t b =24t ≤≤416b ≤≤0y =1x b +=的范围，进而可求得答案.x 【详解】因为在函数的图象上，()0,P t ()()()2log R f x x b b +=+∈所以，2log t b =由，得，24t ≤≤22log 4b ≤≤所以，即，2422b ≤≤416b ≤≤令，则，0y =()2log 0x b +=所以，得，1x b +=1b x =-所以，4116x ≤-≤所以，153x -≤≤-所以使取最小值的区间D 是，21x x -[15,3]--故答案为：[15,3]--11．已知集合，且关于x 的不等式至少有一个负数解}，则集合A 中的元素|Z {A t t =∈23x t x -≤-之和等于___________【答案】3-【分析】作出两个函数和的图象，利用数形结合可得，进而解()g x x t =-2()3f x x =-13,34t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭出．【详解】作出函数和的大致图象，()g x x t=-2()3f x x =-由图象可知，当的左边射线过点时，，()g x x t=-()0,33t =当的右边射线与的图象相切时，()g x x t=-()f x 由，即，可得，即，23x t x -=-230x x t +--=14120t ∆=++=134t =-∴满足题意的取值范围是，其中整数有，它们的和为，t 13,34⎛⎫- ⎪⎝⎭2,1,0,1,2,3---3-即集合A 中的元素之和等于．3-故答案为：．3-12．已知函数，，其中，若对任意的，总存在，使得()f x x=()2g x ax x=-0a >[]11,3x ∈[]21,4x ∈成立，则实数a 的取值范围是___________()()()()1212f x f x g x g x =【答案】54,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据题意可得，分别求两边的范围，利用子集关系，得到结果.2111a x x -=【详解】由可得，化简得：()()()()1212f x f x g x g x =()()22121122x x ax x ax x =--，222221212120a x x ax x ax x --=因为，，，所以，即，0a >[]11,3x ∈[]21,4x ∈12120ax x x x --=12121211x x a x x x x +==+所以，，因为，且，2111a x x -=111,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2111,4a a a x ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦因为对任意的，总存在，有成立，[]11,3x ∈[]21,4x ∈2111a x x -=所以，，所以1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦11,4a a ⎡⎤⊆--⎢⎥⎣⎦113114a a ⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩所以，，即实数a 的取值范围是5443a ≤≤54,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：54,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、单选题13．已知集合，则下列集合中与相等的是（ ）2121|,3232x x P x x R x x --⎧⎫==∈⎨⎬--⎩⎭P A ．B ．21|0,32x x x R x -⎧⎫>∈⎨⎬-⎩⎭{|(21)(32)0,}x x x x R --≥∈C ．D ．21|lg 32x x y x -⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭{}|(32)x y x =+-【答案】D【解析】利用集合相等的定义即可判断.【详解】集合，212121|,|0323232x x x P x x R x x x x ⎧--⎫-⎧⎫==∈=≥⎨⎬⎨⎬---⎩⎭⎩⎭所以且，故A 、B 选项不正确；()(){|21320P x x x =--≥}320x -≠选项C ：，故C 不正确；2121|lg |03232x x x y x x x --⎧⎫⎧⎫==>⎨⎨⎬--⎩⎭⎩⎭选项D ：且，{}()(){0|(32)|21320x y x x x x =-=--≥}320x -≠故D 选项正确.故选：D.【点睛】本题主要考查了集合相等的定义，属于基础题.14．设a ，且，则“成立”是“成立”的（ ）b ∈R 0ab ≠1ab <1b a >A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】“成立”，或，1a b <()0a b b ⇔-<00a b b ->⎧⇔⎨<⎩00a b b -<⎧⎨>⎩“成立”，或，或．1b a >()000a b a a b a ->⎧⇔-<⇔⎨<⎩000a b a b a -<⎧⇔>>⎨>⎩0a b <<由“成立”可得“成立”，反之不成立，∴1b a >1ab <例如：取，．2a =1b =-“成立”是“成立”的必要非充分条件．∴1ab <1b a >故选：B ．15．函数的零点所在的区间为（ ）()()12213x f x x -=-A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）【答案】A【分析】计算选项中区间端点对应函数值的正负，再利用零点存在定理来判断.【详解】，，()()121003f -=-=<()()112111103f -=-=>，，()()()13222211224033f -=-=->()()()15322211339033f -=-=->，()()()174222114416033f -=-=->，()()010f f ∴<由零点存在定理结合函数在上单调递增，所以零点所在的区间为（0，1）.()()12213x f x x -=-()0,+∞故选：A.16．已知函数，有下列两个结论：()2,,x x f x x x ⎧=⎨⎩为无理数为有理数①的值域为；()f x R ②对任意的正有理数a ，存在奇数个零点()()g x f x a=-则下列判断正确的是（ ）A ．①②均正确B ．①②均错误C ．①对②错D ．①错②对【答案】D【分析】根据值域中不含负无理数可判断①；根据为有理数或为无理数，解出可判,x a x =2,x a x =断②.【详解】对于①，因为，显然的值域中不含负无理数，2,(),x x f x x x ⎧=⎨⎩为无理数为有理数()f x 故的值域不为，故错误；()f x R 对于②，的零点，即为有理数或为无理数，()()g x f x a =-,x a x =2,x a x =对于为有理数，必有解，,x a x =x a =对于为无理数，必有解2,x a x =x =故零点有三个或一个，故正确；()()g x f x a =-故选：D三、解答题17．设集合，02x a A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭{}220B x x x =+-≥(1)若，求和；1a =A B ⋂A B ⋃(2)若，求实数a 的取值范围.A B ⊆【答案】(1){}1,RA B A B ⋂=⋃=(2){}2a a ≤-【分析】（1）化简集合，然后利用并集和交集的定义即可求解；,A B （2）分，和三种情况进行讨论，验证是否满足即可2a <-2a =-2a >-A B ⊆【详解】（1）由可得解得．∴．102x x -≤+()()12020x x x ⎧-+≤⎨+≠⎩2<1x -≤{}2<1A x x =-≤或,{}{2202B x x x x x =+-≥=≤-}1x ≥∴．{}1,RA B A B ⋂=⋃=（2）当时，由可得，解得,2a <-02x a x -≤+()()2020x a x x ⎧-+≤⎨+≠⎩2a x ≤<-所以，满足；{}2A x a x =≤<-A B ⊆当时，由得该不等式解集为,故，满足；2a =-22x x +≤+∅A =∅A B ⊆当时，由可得，解得,2a >-02x a x -≤+()()2020x a x x ⎧-+≤⎨+≠⎩2x a -<≤所以，不满足；{}2A x x a =-<≤A B ⊆综上所述，实数a 的取值范围为{}2a a ≤-18．幂函数的图像关于y 轴对称，且在区间上是严格增函数.()()223Z mm f x x m --=∈(),0∞-(1)求f （x ）的表达式；(2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t 的取值范围.1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()4x f x t ≤+【答案】(1)4()f x x-=(2)[)14,t ∈+∞【分析】（1）由幂函数的单调性及得m 的可能值，再验证奇偶性，得的解析式；m ∈Z ()f x （2）将条件转化为在上恒成立，求在上的最大值即可.44x t x -≥-1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦4()4x g x x -=-1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【详解】（1）因为幂函数为偶函数，在区间上是严格增函数，223()mm f x x --=(),0∞-则在区间上单调递减，所以，解得，223()mm f x x--=()0,∞+2230m m --<13m -<<又因为，所以或2，m ∈Z 0,1m =当或2时，不是偶函数，舍去；0m =3()-=f x x 当时，是偶函数，合题意，所以.1m =4()f x x -=4()f x x -=（2）对任意实数，不等式恒成立，1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()4xf x t ≤+即在上恒成立，44xt x -≥-1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦设，，4()4xg x x -=-1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因为在上单调递减，所以，()g x 1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1()142g x g ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭所以，即.14t ≥[)14,t ∈+∞19．通过对方舱隔离室的调查研究发现，一天中病毒污染指数f （x ）与时刻x （时）的关系为，，其中a 是与环境有关的参数，且.若用每天的()242331x f x a a x =-+++[]0,24x ∈30,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 最大值作为当天方舱隔离室的病毒污染指数，并记作.()M a (1)令，，求t 的取值范围；241x t x =+[]0,24x ∈(2)按规定，每天方舱隔离室的病毒污染指数不得超过5，则环境参数a 需要控制在什么范围？【答案】(1)[]0,2(2)环境参数a 需要控制在范围内.130,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】(1)讨论，证明函数，的单调性，求时的取值范围；x ()1g x x x =+(]0,24x ∈[]0,24x ∈t (2)由条件，分区间讨论求的最大值，由此列不等式求a 的范围.()f x 【详解】（1）因为，，所以时，，241x t x =+[]0,24x ∈0x =0=t 当时，，0x >24411x t x x x ==++设，，()1g x x x =+(]0,24x ∈任取，且，则，[]12,1,24x x ∈12x x <()()()122121212112111x x g x g x x x x x x x x x ⎛⎫--=+--=- ⎪⎝⎭因为，所以，因为，所以，12x x <210x x ->211x x >≥1210x x ->所以，即，所以函数在为增函数，同理可证函数在()()210g x g x ->()()21g x g x >()g x []1,24()g x 为减函数，当趋向0时，趋向无穷大，，所以当时，()0,1x ()g x ()12g =(]0,24x ∈，所以，()2g x ≤<+∞()402g x <≤所以函数，中，t 的取值范围为；241x t x =+[]0,24x ∈[]0,2（2）因为，，()242331x f x a a x =-+++[]0,24x ∈当时，，2421x a x ≥≥+()2422822223331x f x a a a x =++≤++=++当，，2401x a x ≤<+()242234331x f x a a a x =-++≤++又，所以且，又()5f x ≤2453a +≤8253a +≤30,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，故环境参数a 需要控制在范围内才能满足要求.13012a ≤≤130,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦20．已知函数．()22x xf x =--(1)判断函数f (x )的单调性，并用定义给出证明；(2)解不等式：；()f x <(3)若关于x 的方程只有一个实根，求实数m 的取值范围．14()223x x f x m m -=⋅--【答案】(1)f (x )在R 上单调递增；证明见解析；(2)；1(,)2-∞(3){－3} （1，+∞）.【分析】（1）利用函数单调性的定义及指数函数的性质即得；（2）由题可得，然后利用函数单调性即得；1()()2f x f <（3）由题可得方程有且只有一个正数根，分m =1，m ≠1讨论，利用二次函数的24(1)103m t mt -=--性质可得.【详解】（1）f (x )在R 上单调递增；任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则()()112212 (22)(22)x x x x f x f x =------1212122(1)22x x x x =+⋅(-)∵12x x <∴，12022x x <<∴．()()120f x f x <-即．()()12f x f x <∴函数f (x )在R 上单调递增．（2）∵1()2f =∵，∴，()f x 1()(2f x f <又∵函数f (x )在R 上单调递增，∴，12x <∴不等式的解集为．1(,)2-∞（3）由可得，14()223x x f x m m -=⋅--，4(1)2203x x m m ⋅=----即，此方程有且只有一个实数解．24122103x x m m ⋅-⋅=（-）-令，则t >0，问题转化为：2xt =方程有且只有一个正数根．24(1)103m t mt -=--①当m =1时，，不合题意，34t =-②当m ≠1时，（i ）若△=0，则m =－3或，34若m =－3，则，符合题意；12t =若，则t = －2，不合题意，34m =（ii ）若△>0，则m <－3或，34m >由题意，方程有一个正根和一个负根，即，解得m >1．101m -<-综上，实数m 的取值范围是{－3} （1，+∞）．21．若函数f （x ）满足：对于任意正数s ，t ，都有，，且，()0f s >()0f t >()()()f s f t f s t +<+则称函数f （x ）为“L 函数”.(1)试判断函数是否是“L 函数”，并说明理由；()2h x x =(2)若函数为“L 函数”，求实数a 的取值范围；()()3131x x g x a -=-+-(3)若函数f （x ）为“L 函数”，且，求证：对任意，都有.()11f =()()1*2,2N k k x k -∈∈()2xf x >【答案】(1)是“L 函数”，理由见解析；(2)；[1,1]-(3)证明见解析.【分析】（1）根据“L 函数”的定义分析判断即可；（2）由为“L 函数”，可得，则，得，可得，()g x ()0g t >3t a <1a ≤()()()g s g t g s t +<+30s t a ++>得，从而可求出实数a 的取值范围；10a +≥（3）由函数f （x ）为“L 函数”，可得，即，则(2)2()f s f s >(2)2()f s f s >，再结合可证得结论.112(2)(2)(2)(2)2()(2)(2)()k k k kk k f s f s f s f s f s f s f s f s ---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅>111()(2)(2)(2)k k k f x f x f f --->-+>【详解】（1）对于，当时，，，()2h x x =0,0t s >>()20h t t =>()20h s s =>因为，()()()222()20h s h t h s t s t s t st +-+=+-+=<所以，()()()h s h t h s t +<+所以是“L 函数”；()2h x x =（2）当时，由是“L 函数”，得0,0t s >>()()3131x x g x a -=-+-，即对一切正数恒成立，()()31310t t g t a -=-+->(31)(3)0t t a -->t 因为，所以对一切正数恒成立，310t ->3t a <t 所以，1a ≤由，得，()()()g s g t g s t +<+3331(3331)0s t s t s t s t a +------++--+>所以，(31)(31)(3)0s t s t a +--+>因为，所以，(31)(31)0s t -->30s t a ++>由对一切正数恒成立，30s t a ++>,s t 所以，即，10a +≥1a ≥-综上可知，实数a 的取值范围为；[1,1]-（3）因为函数f （x ）为“L 函数”，所以对于任意正数都有，，且，,s t ()0f s >()0f t >()()()f s f t f s t +<+令，可知，即，s t =(2)2()f s f s >(2)2()f s f s >所以对于正整数与正数都有k s ，112(2)(2)(2)(2)2()(2)(2)()k k k kk k f s f s f s f s f s f s f s f s ---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅>对任意，可得，()()1*2,2N k k x k -∈∈()()1*12,2N k k k x --∈∈因为，(1)1f =所以.11112()(2)(2)(2)2(1)22k k k k k x f x f x f f f ---->-+>≥=>【点睛】关键点点睛：此题考查函数的新定义，解题的关键是对函数新定义的正确理解，然后结合已知条件求解即可，考查理解能力和运算能力，属于较难题.。

2023-2024学年上海市松江区高一上册期末数学试题一、填空题1．已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B = ___________【正确答案】{1,2}【分析】利用交集的定义进行求解.【详解】因为{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，所以{1,2}A B = .故答案为.{1,2}2．函数()()lg 1f x x =-的定义域为______.【正确答案】()1,+∞根据对数型复合函数定义域可得：010x x ≥⎧⎨->⎩，解不等式即可求解.【详解】由()()lg 1f x x =-，则010x x ≥⎧⎨->⎩，解得1x >，所以函数的定义域为()1,+∞.故()1,+∞3．若41log 2x =，则x =__________.【正确答案】2【分析】将对数式化为指数式，由此求得x .【详解】由于41log 2x =，所以1242x ===.故24．已知1x 、2x 是方程2330x x +-=的两个根，则1211x x +=______．【正确答案】1【分析】利用根与系数关系求得正确答案.【详解】由题意得12123,3x x x x +=-=-，所以121212111x x x x x x ++==．故15．设a 、b 为实数，比较两式的值的大小：22a b +_______222a b --（用符号,,,>≥<≤或=填入划线部分）．【正确答案】≥【分析】利用作差比较法求得正确答案.【详解】因为2222(222)(1)(1)0a b a b a b +---=-++≥，1,1a b ==-时等号成立，所以22222a b a b +≥--．故≥6．已知()y f x =是奇函数，当0x >时，()2f x x =-，则1()2f -的值为________．【正确答案】32##1.5【分析】根据奇函数的定义求值.【详解】由题意1113(()(2)2222f f -=-=--=.故32．7．函数2()lg(4)f x x x =-的严格减区间是_________.【正确答案】[)2,4先由函数解析式，求出定义域，再由对数型复合函数单调性的判定方法，即可求出减区间.【详解】由2()lg(4)f x x x =-可得240x x ->，解得04x <<，即2()lg(4)f x x x =-的定义域为()0,4，令24t x x =-，则24t x x =-是开口向下，对称轴为2x =的二次函数，所以24t x x =-在(]0,2上单调递增，在[)2,4上单调递减，又lg y t =是增函数，所以函数2()lg(4)f x x x =-的严格减区间是[)2,4.故[)2,48．已知函数()1||x f x x =+，则不等式(3)(2)0f x f x -+>的解集为____【正确答案】（1，＋∞）【分析】由已知条件得出函数()f x 为奇函数，并且在在R 时单调递增，由此可得出关于x 不等式，解之可得不等式的解集.【详解】因为()()1||1||x x f x f x x x --==-=-+-+，所以函数()f x 为奇函数，又01()1,01x x x x f x x x x x ⎧≥⎪⎪+==⎨+⎪<⎪-⎩，，当0x ≥时，1+11()111+1+x x f x x x x -===-+，所以函数()f x 在[)0+∞，时单调递增；当0x <时，111()1+111x x f x x x x--==-=----，所以函数()f x 在()0-∞，时单调递增，所以函数()f x 在R 时单调递增.所以不等式(3)(2)0f x f x -+>化为(3)(2)(2)f x f x f x ->-=-，所以3>-2x x -，解得>1x ，所以不等式(3)(2)0f x f x -+>的解集为()1+∞，，故答案为.()1+∞，本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解不等式，属于中档题.9．若存在实数x 使13x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是___________．【正确答案】2 4.a -≤≤【考点定位】本题主要考察绝对值不等式的性质及其运用【详解】试题分析：本题的几何意义是：存在在数轴上到的距离与到的距离之和小于的点.有13a -≤，24a ∴-<<.含绝对值的不等式的解法.【易错点晴】本题主要考查了含绝对值不等式的解法.含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如或，利用实数绝对值的几何意义求解较简便．选择或填空题可采用绝对值几何意义的方法，解答题要采用零点分段求解的方法.本题难度不大，属于中档题.10．对任意的正实数x 、y≤m 的取值范围是________．【正确答案】)+∞【分析】分离参数为m ≥的最大值即得．【详解】由题意得m因为22()2x y x y +=≤=+，当且仅当x y =时取等号，所以m ≥m的取值范围是)+∞．故)+∞．11．设平行于y 轴的直线l 分别与函数2log y x =和2log 1y x =-的图像相交于点A 、B ，若在函数2log y x =的图像上存在点C ，使得ABC 是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则点C 的横坐标为_______.【正确答案】12【分析】设22(,log ),(,log 1)A t t B t t -，求得C 点坐标并代入2log y x =，求得t ，进而求得C 的横坐标.【详解】设22(,log ),(,log 1)A t t B t t -，线段AB 的中点坐标为22log 1,2t t -⎛⎫ ⎪⎝⎭，122AB =，因为ABC 是以AB 为斜边的等腰直角三角形，所以22log 11(,)22t C t --，因为点C 在函数2log y x =的图像上，所以222log 11log (22t t -=-，22221111log log (log (2222t t t t -=---=，所以21log 122t t =-，所以12212t t =-，解得22t +=，所以点C 的横坐标为11222t -=.故1212．已知()32,,x x a f x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是________．【正确答案】()(),01,-∞⋃+∞【分析】由()()g x f x b =-有两个零点可得()f x b =有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a 的范围【详解】()()g x f x b =- 有两个零点，()f x b ∴=有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，由32x x =可得，0x =或1x =①当1a >时，函数()f x 的图象如图所示，此时存在b ，满足题意，故1a >满足题意②当1a =时，由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意③当01a <<时，函数()f x 单调递增，故不符合题意④0a =时，()f x 单调递增，故不符合题意⑤当a<0时，函数()y f x =的图象如图所示，此时存在b 使得，()y f x =与y b =有两个交点综上可得，a<0或1a >故()(),01,-∞⋃+∞本题考查了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．二、单选题13．下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（）A ．2()y x =与y x=B ．y x =与ln e x y =C ．22x y =与4x y =D ．y x =与11y x -⎛⎫= ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】根据相同函数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，2y =的定义域是[)0,∞+，y x =的定义域是R ，不是相同函数.B 选项，y x =的定义域是R ，ln e x y =的定义域是()0,∞+，不是相同函数.C 选项，224x x y ==，定义域、值域、和对应关系完全相同，是相同函数，C 选项正确.D 选项，y x =的定义域是R ，11y x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域是{}|0x x ≠，不是相同函数.故选：C14．已知函数()y f x =可表示为x 02x <<24x ≤<46x ≤<68x ≤≤y 1234则下列结论正确的是（）A ．()()43f f =B ．()f x 的值域是{}1,2,3,4C ．()f x 的值域是[]1,4D ．()f x 在区间[]4,8上单调递增【正确答案】B ()()42f f =，所以选项A 错误；由表得()f x 的值域是{}1,2,3,4，所以选项B 正确C 不正确；()f x 在区间[]4,8上不是单调递增，所以选项D 错误.【详解】A.()()(4)3,4(3)2f f f f ===，所以该选项错误；B.由表得()f x 的值域是{}1,2,3,4，所以该选项正确；C.由表得()f x 的值域是{}1,2,3,4，不是[]1,4，所以该选项错误；D.()f x 在区间[]4,8上不是单调递增，如：54>，但是(5)=(4)=3f f ，所以该选项错误.故选：B方法点睛：判断函数的性质命题的真假，一般要认真理解函数的定义域、值域、单调性等的定义，再根据定义分析判断.15．设x 、y 是实数，则“0x >”是“x y >且11x y >”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【正确答案】B【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】0x >时不能推出x y >且11x y >，例如3x =，2y =满足0x >，此时x y >但11x y <，当x y >且11x y>同时成立时，110--=>y x x y xy ，而0y x -<，因此有0xy <，而x y >，所以0x y >>，即0x >成立，因此题中应不必要非充分条件．故选：B ．16．已知函数13,0()3,0x x x f x x +⎧-≥=⎨<⎩，若123x x x <<，且123()()()f x f x f x ==，则2123()x f x x x ⋅+的取值范围是（）A ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3(0,2D ．30,8⎛⎤ ⎥⎝⎦【正确答案】D【分析】结合对称性以及二次函数的性质求得正确答案.【详解】由解析式易得()f x 的图象如下图所示，当0x <时，1()33x f x +=<，令|3|3x -=，得0x =或6x =，因为123x x x <<，且123()()()f x f x f x ==，所以2326,03x x x +=<<，所以2212222223()()11333(3)()0,666288x f x x f x x x x x x ⋅⋅⎛⎤==-=--+∈ ⎥+⎝⎦，故选：D三、解答题17．已知全集U =R ，集合{}2230A x x x =--<，{}1216x B x =<<．(1)求A B ⋃；(2)设集合{3,}D x a x a a =<<+∈R ，若D A ⊆，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)()1,4A B =- (2)(,4][3,)∞∞--⋃+．【分析】（1）解不等式求得集合,A B ，由此求得A B ⋃.（2）根据D A ⊆列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）因为{}2230A x x x =--<，{}1216x B x =<<，()()223310x x x x --=-+<，解得13x -<<.412162x <<=，解得04x <<.所以{13}A x x =-<<，{04}B x x =<<．所以()1,4A B =- ．（2）因为{|1A x x =≤-或}3x ≥，由题意得31a +≤-或3a ≥，解得4a ≤-或3a ≥，所以实数a 的取值范围是(,4][3,)∞∞--⋃+．18．已知函数2||1()1x f x x +=-．(1)证明：函数()y f x =为偶函数；(2)证明：函数()y f x =在区间(1,)+∞上是严格减函数.【正确答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据奇偶性定义证明；（2）根据单调性的定义证明．【详解】（1）因为2||1()1x f x x +=-，所以()f x 的定义域为{|D x x R =∈，且1}x ≠±．对于任意x D ∈，因为2211()()()11x x f x f x x x -++-===---，所以()f x 为偶函数．（2）当(1,)x ∈+∞时，211()11x f x x x +==--．任取12,(1,)x x ∈+∞，且12x x <，那么2112121211()()11(1)(1)x x f x f x x x x x --=-=----因为121x x <<，所以210x x ->，12()1(1)0x x ->-，所以12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >．所以()f x 是(1,)+∞上的严格减函数．19．环保生活，低碳出行，新能源电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号国产电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速80km/h （不含80km/h ）．经多次测试得到，该汽车每小时耗电量M （单位：Wh ）与速度v （单位：km/h ）的下列数据：v0204060M 0300056009000为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：321()40M v v bv cv =++，2()800()3v M v a =+，()500log (1)a M v v b =++．(1)当080v ≤<时，请选出符合表格所列实际数据的函数模型，并求出相应的函数解析式；(2)现有一辆同型号汽车在200km 的国道上行驶，如何行使才能使得总耗电量最少，最少为多少？【正确答案】(1)321()40M v v bv cv =++符合，且321()218040M v v v v =-+(2)此汽车以40km/h 的速度行驶时，总耗电量最少，最少为28000Wh【分析】（1）利用特殊值以及函数的单调性求得正确答案.（2）结合二次函数的性质求得正确答案.【详解】（1）选321()40M v v bv cv =++，理由如下：若()500log (1)a M v v b =++，由(0)0M =得0b =，由(20)3000M =得1621a =；由(40)5600M =得55641a =，矛盾，舍若2()800()3v M v a =+，此时函数是减函数，(40)(60)M M <，不符合题意；若321()40M v v bv cv =++，由323212020203000401404040560040b c b c ⎧⨯+⨯+⨯=⎪⎪⎨⎪⨯+⨯+⨯=⎪⎩，解得2180b c =-⎧⎨=⎩，321()218040M v v v v =-+，将()60,9000代入，也符合．（2）汽车在200km 的国道上行驶所用时间为200v ，总耗电量为()2322002001()(2180)5402800040S M v v v v v v v =⋅=⋅-+=-+，由于080v ≤<，所以当40v =时，min =28000WhS 所以，此汽车以40km/h 的速度行驶时，总耗电量最少，最少为28000Wh .20．已知函数2()1x f x x -=+.(1)求不等式(4)1(2)f x f x -+<+的解集；(2)若关于x 的方程()0f x m -=在[1,)x ∈+∞上有解，求实数m 的最大值；(3)证明：函数()y f x =关于点(1,1)--中心对称.【正确答案】(1)()3,3-(2)最大值为12(3)证明见解析【分析】（1）解分式不等式来求得不等式(4)1(2)f x f x -+<+的解集.（2）通过求()f x 在[)1,+∞上的值域来求得m 的取值范围，进而求得m 的最大值.（3）通过证明(,)P a b 、(2,2)Q a b ----都在()y f x =的图象上来证得函数()y f x =关于点(1,1)--中心对称.【详解】（1）()f x 的定义域为{}|1x x ≠-，因为(4)1(2)f x f x -+<+，所以2422133x x x x -+--+<-+，即3033x x x +<-+，所以290(3)(3)x x x +<-+，因为290x +>，所以(3)(3)0x x -+<，解得33x -<<，由4121x x -≠-⎧⎨+≠-⎩，解得3x ≠±，所以不等式(4)1(2)f x f x -+<+的解集为()3,3-.（2）由题意得关于x 的方程()0f x m -=在[1,)x ∈+∞上有解，则m 的取值范围即()f x 在[)1,+∞上的值域.因为23()111x f x x x -==-+++，所以3312,012x x +≥<≤+，所以11()2f x -<≤，即112m -<≤，所以实数m 的最大值为12.（3）在函数()y f x =的图象上任意取一点(,)P a b ，关于点()1,1--的对称点(2,2)Q a b ----，由()f a b =得21a b a -=+，即2(1)1b a b b -=≠-+,把2x a =--代入得224(2)211a a f a a a +++--==--+--24+3611221311bb b b b b b b -+++==⋅=---+---+,所以对称点(2,2)Q a b ----在函数()y f x =的图象上.即函数()y f x =的图象关于()1,1--中心对称.21．函数()y f x =的定义域为D ，若存在正实数k ，对任意的x D ∈，总有|()()|f x f x k --≤，则称函数()f x 具有性质()P k .(1)分别判断函数()2021f x =与()g x x =是否具有性质(1)P ，并说明理由；(2)已知()y f x =为二次函数，若存在正实数k ，使得函数()y f x =具有性质()P k .求证：()y f x =是偶函数；(3)已知0a k >，为给定的正实数，若函数()2()log 4x f x a x =+-具有性质()P k ，求a 的取值范围.【正确答案】(1)()f x 具有性质(1)P ，()g x 不具有性质(1)P ，理由见解析(2)证明见解析(3)[2,2]k k -【分析】（1）根据性质()P k 的定义对函数()2021f x =与函数()g x x =进行判断，从而确定正确答案.（2）性质()P k 的定义列不等式，求得b ，进而判断出()f x 是偶函数.（3）性质()P k 的定义列不等式，结合对数函数、指数函数的知识求得a 的取值范围.【详解】（1）对任意x ∈R ，得|()()||20212021|01f x f x --=-=<，所以()f x 具有性质(1)P ；对任意x ∈R ，得|()()||()||2|g x g x x x x --=--=.易得只需取1x =，则|(1)(1)|21g g --=>，所以()g x 不具有性质(1)P .（2）设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足性质()P k .则对任意x ∈R ，满足22|()()||()||2|f x f x ax bx c ax bx c bx k --=++--+=≤.若0b ≠，取00||k x b =>，000|()()||2|2f x f x bx k k --==>，矛盾.所以0b =，此时2()(0)f x ax c a =+≠，满足()()f x f x -=，即()y f x =为偶函数（3）由于0a >，函数2()log (4)x f x a x =+-的定义域为R .易得22()log (4)log (22)x x x f x a x a -=+-=+⋅.若函数()f x 具有性质()P k ，则对于任意实数x ，有22|()()||log (22)log (22)|x x x x f x f x a a ----=+⋅-+⋅222|log |22x xx xa k a --+⋅=≤+⋅，即222log 22x x x x a k k a --+⋅-≤≤+⋅.即24log 14x x a k k a +-≤≤+⋅.由于函数2log y x =在(0,)+∞上严格递增，得42214x kk x a a -+≤≤+⋅.即112214k k x a a a a --≤+≤+⋅.当1a =时，得212k k -≤≤，对任意实数x 恒成立.当1a >时，易得10a a ->，由141x a +⋅>，得10114x a <<+⋅，得11014x a a a a a -<<-+⋅，得11114xa a a a a a -<+<+⋅.由题意得112214k k x a a a a --≤+≤+⋅对任意实数x 恒成立，所以122k k a a -⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，即12.k a <≤当1a <时，易得10a a -<，由141x a +⋅>，得10114x a <<+⋅，得11014x a a a a a ->>-+⋅，得11114xa a a a a a ->+>+⋅.由题意得112214k k x a a a a --≤+≤+⋅对任意实数x 恒成立，所以212kk a a-⎧≥⎪⎨≤⎪⎩，即12.k a ->≥综上所述，a 的取值范围为[2,2]k k -.求解新定义函数类型的题目，关键点是理解和运用新定义，将新定义的知识，转化为学过的知识来进行求解.求解含参数的不等式问题，需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.。

2024-2025学年上海市松江二中高一（上）学情调研数学试卷（10月份）一、单选题：本题共4小题，共18分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若a <b <0，则下列不等式中不成立的是( )A. |a|>|b|B. a 2>b 2C. 1a >1bD. 1a−b >1a2.如图，I 为全集，M 、P 、S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )A. (M ∩P)∩SB. (M ∩P)∪SC. (M ∩P)∩−S D. (M ∩P)∪−S 3.一元二次方程ax 2+bx +c =0有解是一元二次不等式ax 2+bx +c >0有解的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.关于x 的不等式(ax−1)2<x 2恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是( )A. (−32,−43]∪(43，32]B. (−32,−43]∪[43,32)C. [−32,−43)∪(43,32]D. [−32,−43)∪[43，32)二、填空题：本题共12小题，共54分。

5.已知集合A ={1,2,3}，B ={x|x >2}，则A ∩B = ______．6.不等式|2x−1|≤3的解是______．7.若⌀⊆M ⊆{0,1,2}，则符合条件的集合M 有______个.8.若A ={x|x ≥a}，B ={x|x <1}，且A ∩B =⌀，则实数a 的取值范围是______．9.“x >0且y >0”是“x 2+y 2>0”的______条件．10.已知P ={x|a−4<x <a +4}，Q ={x|x 2−4x +3<0}，且x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，则实数a 的取值范围是______．11.若关于x 的不等式ax 2−2ax ≥4的解集为⌀，则实数a 的取值范围是______．12.已知−1<a <1，2<b <3，则2a−3b 的取值范围是______．13.已知关于x的一元二次方程x2+px+p=0的两个实根分别为α和β，且α2+β2=3，则实数p= ______．14.已知全集U={(x,y)|x∈R，y∈R}，集合A={(x,y)|x+y=1}，B={(x,y)|y1−x =1}，则A∩−B=______．15.设P为非空实数集且满足：对任意给定的x，y∈P(x,y可以相同)，都有x+y∈P，x−y∈P，xy∈P，则称P为幸运集．有以下结论：①集合P={−2,−1,0,1,2}为幸运集；②集合P={x|x=2n,n∈Z}为幸运集；③若集合P1，P2为幸运集，则P1∪P2为幸运集；④若集合P为幸运集，则一定有0∈P．其中正确结论的序号是．16.对于集合{x|a≤x≤b}，我们把b−a称为该集合的长度，设集合A={x|a≤x≤a+1907}，集合B={x|x2−(2b−1004)x+b(b−1004)≤0}，且A，B都是集合U={x|0≤x≤2022}的子集，则集合A∩B的长度最小值为______．三、解答题：本题共5小题，共78分。

松江二中2025届高三数学第一学期开学考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知集合，则______．2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则______．3．在的展开式中，的系数为______．4．双曲线的两条渐近线的夹角为______．5．已知向量，且，则______．6．函数在上可导，若，则______．7．已知随机变量的分布为，且，若，则实数______．8．正方体的棱长为2，P 为棱的中点，以为轴旋转一周，则得到的旋转体的表面积是______．9．已知集合，设函数的值域为，若，则实数的取值范围为______．10．已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为______．11．如图，已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上两点，满足，且，则椭圆的离心率为______．{}{}1,0,1,2,03A B x x =-=<<A B = z ()1,2i z ⋅=)52-2x 2213x y -=()()21,2,,2a b x =-= 3cos ,5a b 〈〉= x =()f x R ()23f '=()()Δ023Δ2ΔlimΔx f x f x x→+--=X 123111236⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭3Y aX =+[]2E Y =-a =1111ABCD A B C D -1CC 1BPD △1BD 21,2A xx x ⎧⎫=≥∈⎨⎬-⎩⎭R ()12log ,y x a x A =+∈B B A ⊆a12,F F 2222:1(0)x y C a b a b+=>>,M N 12F M F N ∥221::1:2:3F N F M F M =C12．已知都是平面向量，且，若，则的最小值为______．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．“”是“直线与直线垂直”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14．已知是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题错误的是（ ）A ．若平行于同一平面，则与可能异面B ．若不平行，则在内不存在与平行的直线C ．若不平行，则与不可能垂直于同一平面D ．若垂直于同一平面，则与可能相交15．在中，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则为（ ）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．锐角三角形16．已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤。

上海市第二中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________四、单选题13．如果1a >，那么0.7a ，0.7a ，0.7log a 的大小顺序为（ ）．A ．0.70.70.7log a a a <<B ．0.70.70.7log a a a<<C ．0.70.7log0.7a a a <<D ．0.70.7log0.7aa a <<表示出n m-的取值,转化为二次函数的最值问题后,根据二次函数的性质,可以得到答案.试题解析：（1）y=x2在区间[0，1]上单调递增．又f（0）=0，f（1）=1，值域为[0，1]，区间[0，1]是y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集．故函数在[m，n]上单调递增．若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则故m、n是方程的同号的相异实数根．﹣无实数根，x23x+5=0函数不存在“和谐区间”．（3）设[m，n]是已知函数定义域的子集．x≠0，故函数在[m，n]上单调递增．若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则的同号的相异实数根．故m、n是方程，即222-++=a x a a x()10，m ，n 同号，只须，即a ＞1或a ＜﹣3时，已知函数有“和谐区间”[m ，n]，当a=3时，n m ﹣取最大值考点：1.函数的单调性的性质；2.集合的关系；3.二次函数的图象和性质.【方法点晴】（1）根据二次函数的性质，我们可以得出区间上单调递增，且值域也为满足“和谐区间”的定义，即可得到结论．（2）该问题是一个确定性问题，从正面证明有一定的难度，故可采用反证法来进行证明，即先假设区间为函数的“和谐区间”，然后根据函数的性质得到矛盾，进而得到假设不成立，原命题成立．（3）设是已知函数定义域的子集，我们可以用a 表示出的取值，转化为二次函数的最值问题后，根据二次函数的性质，可以得到答案．。