广义容斥原理及其应用ppt课件

点算的奥秘：容斥原理基本公式「容斥原理」(Principle of Inclusion and Exclusion)(亦作「排容原理」)是「点算组合学」中的一条重要原理。

但凡略为复杂、包含多种限制条件的点算问题，都要用到这条原理。

现在首先从一个点算问题说起。

例题1：设某班每名学生都要选修至少一种外语，其中选修英语的学生人数为25，选修法语的学生人数为18，选修德语的学生人数为20，同时选修英语和法语的学生人数为8，同时选修英语和德语的学生人数为13 ，同时选修法语和德语的学生人数为6，而同时选修上述三种外语的学生人数则为3，问该班共有多少名学生？答1：我们可以把上述问题表达为下图：其中红色、绿色和蓝色圆圈分别代表选修英语、法语和德语的学生。

根据三个圆圈之间的交叉关系，可把上图分为七个区域，分别标以A至G七个字母。

如果我们用这七个字母分别代表各字母所在区域的学生人数，那么根据题意，我们有以下七条等式：(1) A+D+E+G = 25；(2) B+D+F+G = 18；(3) C+E+F+G = 20；(4) D+G = 8； (5) E+G = 13；(6) F+G = 6；(7) G = 3。

现在我们要求的是A+B+C+D+E+F+G。

如何利用以上数据求得答案？把头三条等式加起来，我们得到A+B+C+2D+2E+2F+3G = 63。

可是这结果包含了多余的D、E、F和G，必须设法把多余的部分减去。

由于等式(4)－(6)各有一个D、E和F，若从上述结果减去这三条等式，便可以把多余的D、E和 F减去，得A+B+C+D+E+F = 36。

可是这么一来，本来重复重现的G却变被完全减去了，所以最后还得把等式(7)加上去，得最终结果为A+B+C+D+E+F+G = 39，即该班共有39名学生。

□在以上例题中，给定的数据是三个集合的元素个数以及这些集合之间的交集的元素个数。

在该题的解答中，我们交替加上及减去这些给定的数据。

广义容斥原理广义容斥原理，是高等数学中比较重要的一个概念。

它可以有效地解决一些复杂的计数问题，并且在离散数学等领域也有广泛的应用。

广义容斥原理最早是由西方数学家Lucas在19世纪提出的，它是一种使用集合交、并运算的思想来求解问题的方法。

它的核心思想是采用容斥原理，在计算某个数量时，分别去除多个集合的重复算数，再将不重复的算数重新相加起来。

这样可以避免重复计算，使计算更加准确和高效。

广义容斥原理可以用一个简洁的公式来表示：$N(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n) = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i-1} \sum_{1 \leq j_1 < j_2 < \cdots < j_i \leq n} N(A_{j_1} \cap A_{j_2} \cap \cdots \cap A_{j_i})$广义容斥原理的表述可能比较抽象，下面我们通过一个例子来加深理解。

例子1：有一个班级，学生会征集学生参加文艺晚会，分别需要找一个唱歌的、跳舞的、朗诵的和乐器演奏的学生。

假设有 $20$ 名学生，其中有 $5$ 名会唱歌，$6$ 名会跳舞，$4$ 名会朗诵，$3$ 名可以演奏乐器，$2$ 名既能唱歌又会跳舞，$1$ 名既能唱歌又会朗诵，$1$ 名既能唱歌又能演奏乐器，$1$ 名既能跳舞又会朗诵，$1$ 名既能跳舞又能演奏乐器，$1$ 名既能朗诵又能演奏乐器，$1$ 名既会唱歌、跳舞又会朗诵，$1$ 名既会唱歌、朗诵又会演奏乐器，$1$ 名既会唱歌、跳舞又会演奏乐器，$1$ 名既会跳舞、朗诵又会演奏乐器。

问共有多少名学生可以参加这个文艺晚会？解：根据题目可以得到：参加唱歌的学生数为 $5$ 人，同时知道：1. 既能唱歌又会跳舞的学生有 $2$ 人；现在需要计算至少符合其中一个条件的学生数目。

假设 $A_1$ 表示所有会唱歌的学生, $A_2$ 表示所有会跳舞的学生，$A_3$ 表示所有会朗诵的学生，$A_4$ 表示所有会演奏乐器的学生，那么符合条件的学生数目就是：$N(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4)$。

广义容斥原理的应用什么是广义容斥原理广义容斥原理是组合数学中一种重要的计数方法，用于解决多重集合的计数问题。

它是容斥原理的一种推广形式，可以帮助我们计算包含多个集合的交集或并集的元素个数，从而解决一些复杂的计数问题。

广义容斥原理的表述方式广义容斥原理可以用以下的数学表达式来描述：$$ \\left| A_1 \\cup A_2 \\cup \\ldots \\cup A_n \\right| = \\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} \\left( \\sum_{1 \\leq i_1 < i_2 < \\ldots < i_k \\leq n} \\left| A_{i_1}\\cap A_{i_2} \\cap \\ldots \\cap A_{i_k} \\right| \\right) $$其中，$A_1, A_2, \\ldots, A_n$ 是 n 个集合的集合，|A|表示集合 A 的元素个数，$A_1 \\cup A_2 \\cup \\ldots \\cup A_n$ 表示 n 个集合的并集。

广义容斥原理的应用场景广义容斥原理在实际问题中有着广泛的应用。

下面我们来看一些常见的应用场景。

1. 事件概率的计算广义容斥原理可以用于事件概率的计算，特别适用于计算多个事件的交集概率或并集概率。

例如，考虑一个有限样本空间 $\\Omega$，有 n 个事件 $A_1, A_2, \\ldots,A_n$，其中 $A_i \\subset \\Omega$ 表示事件 i。

可以利用广义容斥原理计算这 n个事件的交集的概率或并集的概率。

2. 数值问题的计数广义容斥原理还可以用于解决数值问题的计数，尤其适用于计算满足特定条件的元素个数。

例如，考虑一个集合S，其元素满足一定的条件。

我们可以利用广义容斥原理计算满足这些条件的元素个数。

3. 排列组合问题的计数广义容斥原理也可以用于排列组合问题的计数，帮助我们计算满足一定条件的排列或组合的个数。