云南省师范大学附属中学高考适应性月考(八)文数试题

精心制作仅供参考唐玲出品高中数学学习材料唐玲出品云南师大附中2015届高考适应性月考卷（八）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DABBCDBCDCDB【解析】1．因为{|01}M x x =≤≤，{|0}N y y =>，所以(01]M N =，，故选D ．2．由112101(1i )1i1i i i i 1i 1i⨯-+++++===--，故选A ．另该题也可直接用i 的周期性解答．3．因为6787312a a a a ++==，所以74a =，1131313()522a a S +==，故选B ． 4．画出可行域，易知当00x y ==，时，z 有最小值，代入23x y z +=得1z =，故选B ． 5．当0m =时，直线0x my +=为0x =，此时两直线不垂直，所以0m ≠，所以0x my +=的斜率为1m -，若两直线垂直，则有11m-=-，即1m =，所以“1m =”是“直线0x y -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件，故选C ．6．因为四个命题均有线在面内的可能，所以均不正确，故选D ．精心制作仅供参考唐玲出品7．依题意，有121222212||||2||||18||||4PF PF a PF PF PF PF c +=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，，，可得224364c a +=，即229a c -=，故有3b =，故选B ．8．11211211212++++++++=，故选C ．9．由题得：40A k A k +=⎧⎨-+=⎩，，解得：22A k =⎧⎨=⎩，，又函数sin()y A x k =++ωϕ的最小正周期为π2，∴2π4π2==ω，∴2sin(4)2y x =++ϕ，又直线π3x =是其图象的一条对称轴， ∴ππ4π32k ⨯+=+ϕ，∴5ππ6k k =-∈，ϕZ ，故可得：π2sin 426y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭符合条件，故选D ． 10．易知该几何体是一三棱锥，其体积11321332V Sh ==⨯⨯=，故选C ．11．易知()f x 是以4为周期的函数，结合题意画出函数()f x 在(26)-，上的图象与log (2)a y x =+的图象如图1，结合图象分析可知，要使两个函数图象恰有一个交点，则有0114a a <<<<或，故选D ．12．由题意：62r r R +=，解得：(62)r R =-，故选B ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 13 1415 16答案 2022(4)(3)25x y -+-=312【解析】图1精心制作仅供参考唐玲出品13．200∶400∶1400=1∶2∶7，所以应抽取中型超市20家．14．易知：圆心(43)，，5r =，所以圆的标准方程为22(4)(3)25x y -+-=． 15．由2(9)293f a a ===得，所以． 16．以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，则10(11)(01)(00)2E C D A ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，，，，，设(cos sin )(11)P AC =，，，θθ，向量AC DE AP =+λμ，则有2s i n2c o s 2c o s s i n -=+θθλθθ，32cos sin =+μθθ，所以+=λμ 32s i n 2c o s3s i n 312c o s s i n 2c o s s i n +-+=-+++θθθθθθθ，由题意得，π0cos 12=≤≤，所以当，θθ1sin 02=+时，取最小值θλμ．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由21(2)8n n a S --=，所以21(2)8n n a S +-=，所以22114()n n n n a a a a ++-=+，又0n a >，所以14n n a a +-=，即数列{}n a 是等差数列．………………………………………………………………………………（4分）又214a a -=，所以42n a n =-． ……………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）141111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， 所以21n nT n =+． …………………………………………………………………（12分）18.（本小题满分12分）解：设事件A 为“方程2220x ax b ++=有实根”．当00a b ≥，≥时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥．（Ⅰ）基本事件共有12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为93()124P A ==． ………（6分）精心制作仅供参考唐玲出品图2（Ⅱ）试验的全部结果所构成的区域为{()|0302}a b a b ，≤≤，≤≤，构成事件A 的区域为{()|0302}a b a b a b ，≤≤，≤≤，≥，所以所求的概率为1322222()323P A ⨯-⨯⨯==⨯． ……………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图2所示，连接AC 交BD 于点O ，连接OF ， 在矩形ACEF 中，∵M 为EF 中点，∴CM OF ∥，………………………………………………（3分）∵CM BDF ⊄平面，OF BDF ⊂平面，∴CM BDF ∥平面． …………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：由题设和图形易知：323BF DE BE DF EF =====，，，CE ⊥平面ABCD ， ……………………（7分）∴11052222DEF BEF S S ===△△， ……………………………………………（8分）∵121222ABF CDE S S ===△△，111122ADF BCE S S ===△△，=12=2S ⨯矩形， ……………………………………………………………………………（10分） ∴512=2+2+2+25221222S ⨯⨯⨯=++表． ………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）把点212P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，代入2221x y a +=，可得22a =， 所以椭圆C 的方程为2212x y +=，椭圆C 的离心率为22e =． …………………………………………………………（4分） （Ⅱ）当APB ∠的平分线为PF 时，由212P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，和(10)F ，知：PF x ⊥轴．精心制作仅供参考唐玲出品记PA PB 、的斜率分别为12k k 、， 所以，PA PB 、的斜率满足120k k +=， 设直线AB 的方程为(1)y k x =-，代入椭圆方程2212x y +=并整理可得，2222(12)42(1)0k x k x k +-+-=，211221224()()12k A x y B x y x x k +=+设，，，，则，21222(1)12k x x k -=+， ………………（6分）所以121212121212121222222211112()1y y y y x x k k x x x x x x x x --+-+=+=+-⨯-----++ ………（8分）=222222422122222(1)4211212k k k k k k k k -+-⨯=---+++， ……………………………………（11分）即220k -=，所以22k =． ……………………………………………………（12分） 21.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当1a =-时，()ln f x x x =-， 得1()1f x x'=-， ……………………………………………………………………（2分）令()0f x '>，即110x->，解得1x >，所以函数()f x 在(1)+∞，上为增函数， 据此，函数()f x 在2[e e ]，上为增函数， ………………………………………（4分）而(e)e 1f =-，22(e )e 2f =-，所以函数()f x 在2[e e ]，上的值域为2[e 1e 2]--，． ………………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）由()1a f x x '=+，令()0f x '=，得10ax+=，即x a =-， 当(0)x a ∈-，时，()0f x '<，函数()f x 在(0)a -，上单调递减； 当()x a ∈-+∞，时，()0f x '>，函数()f x 在()a -+∞，上单调递增；若1e a -≤≤，即e 1a --≤≤，易得函数()f x 在2[e e ]，上为增函数，精心制作仅供参考唐玲出品此时，2max ()(e )f x f =，要使()e 1f x -≤对任意2[e e ]x ∈，恒成立，只需2(e )e 1f -≤即可，所以有2e 2e 1a +-≤，即2e e 12a -+-≤，而22e e 1(e 3e 1)(e)022-+---+--=<，即2e e 1e 2-+-<-，所以此时无解． ……（9分）若2e e a <-<，即2e e a -<<-，易知函数()f x 在[e ]a -，上为减函数，在2[e ]a -，上为增函数，要使()e 1f x -≤对任意2[e e ]x ∈，恒成立，只需2(e)e 1(e )e 1f f -⎧⎨-⎩≤，≤，即21e e 12a a -⎧⎪⎨-+-⎪⎩≤，≤， 由22e e 1e e 1(1)022-+--++--=<和222e e 1e e 1(e )022-+-+---=>，得22e e 1e 2a -+--<≤．若2e a -≥，即2e a -≤，易得函数()f x 在2[e e ]，上为减函数， 此时，max ()(e)f x f =，要使()e 1f x -≤对任意2[e e ]x ∈，恒成立，只需(e)e 1f -≤即可， 所以有e e 1a +-≤，即1a -≤，又因为2e a -≤，所以2e a -≤．综上所述，实数a 的取值范围是2e e 12⎛⎤-+--∞ ⎥⎝⎦，． …………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】（Ⅰ）证明：∵AC DE CDE DCA ∠=∠∥，∴， 又DBA DCA CDE DBA ∠=∠∠=∠∵，∴，∵直线DE 为圆O 的切线，CDE DBC ∠=∠∴，故DBA DBC ∠=∠． …………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）解：CAB CDB ∠=∠∵且DBA DBC ∠=∠，AH ABABH DBC CD BD=∴△∽△，∴， 又EDC DAC DCA ∠=∠=∠，AD DC =∴，……………………………………（8分）精心制作仅供参考唐玲出品468AH ABAB AD BD AD BD====∴，∵，，， 故3AH =．……………………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由πcos 13⎛⎫-= ⎪⎝⎭ρθ得13cos sin 122⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭ρθθ， 从而曲线C 的直角坐标方程为13122x y +=，即32x y +=，0=θ时，2=ρ，所以(20)M ，， π2=θ时，233=ρ，所以23π32N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，． ……………………………………（5分）（Ⅱ）M 点的直角坐标为(20)，，N 点的直角坐标为230,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以P 点的直角坐标为31,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则P 点的极坐标为23π36⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，， 所以直线OP 的极坐标方程为π()6=∈-∞+∞，，θρ． ………………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】证明：（Ⅰ）1231231231111111()a a a a a a m a a a ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭……………………（2分）3312212132311193(3222)a a a a a a m a a a a a a mm ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥， ………………（4分） 当且仅当1233ma a a ===时，等号成立． …………………………………………（5分） （Ⅱ）2222222222()()()ax by ax by a b a x b y ab x y +=++=+++222222()a x b y abxy ax by ++=+≥，当且仅当x y =时，等号成立． ……………（10分）。

云南师大附中2018届高考适应性月考卷（八）文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．由题意知：集合[33]A =-，，集合(2)B =-∞，，则AB [32)=-，，故选D ． 2．在复平面内，z 的轨迹是以(11)，为圆心，1为半径的圆，由数形结合可知，||z 的最小值1，所以2||3z =-B ．3．由数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，所以246135()()33a a a a a a d ++-++==，即1d =，故选A ．4．设a 与b 的夹角为θ，由222|2|(2)()44()116a b a b a a b b +=+=++=+所以1cos 2θ=-，则a 与b 的夹角为2π3，故选A ．5．由题意可知圆柱的高为2，所以球心到底面的距离为1，又由底面的半径为1，所以圆柱的，故而圆柱的外接球的表面积为8π，故选C ．6．由函数()f x 的最大值为4，则选项A 不满足；由π23⎛⎫ ⎪⎝⎭，为其一个对称中心，即π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，选项D 不满足；由12()()2f x f x ==，且12m i n π||2x x -=，即函数的最小正周期为π，选项C不满足；而B 选项均满足，故选B ．7．如图1，在Rt ABC △中，15CA =，8CB =，则17AB ==， 设点I 为ABC △内切圆的圆心，设其内切圆的半径为r ，由ABC AIB BIC CIA S S S S =++△△△△，所以111222ABC S r AB r BC r CA =++=△1()2r AB BC CA ++，故而2158381517ABC S r AB BC CA ⨯===++++△，所以其 内切圆的直径为6步，故选B ．图18．到正四面体的四个顶点距离相等的截面，如图2 有两种情况：第一种情况，截面为边长为 1的正三角形，共有4种情况；第二种情况，截面为边长为1的正方形，共有3种情况，综 上所述，所有截面的个数为347+=，故选D ．9．由x y z ，，均为大于1的正数，令235log log log x y z m ===，则0m >，且2m x =，3m y =，5m z =，m =m =m ．又由6689=<=，由10103225=>=m y x =(0)m >在第一象限的单调性知，<B ．10．由程序框图可知，当n k =时，运算前的a 值记为k a ，则程序输出的是6a ，即61a =，由程序框图可知，当输入的a 为正整数时，对任意的k ，k a 均为正整数，而61a =，则必有52a =，此时，41213254123121()33216587()2344211()30()a a a a a a a a a a a a a ⎧=⎪⎪⎧⎪⎧=⎧=⇒⎪⎨⎪⎪=⎪⎩⎪⎪=⇒⎨⎪⎪⎪⎪⎪==⇒⎨⎪⎩⎪⎪=⇒⎨⎪⎧=⎧⎪⎪⎪⎪⎪=⇒⎨⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪=⎪⎩⎩⎩舍，，，舍，，舍，舍， 故而，a 的可能取值为4532，，，故选C ．11．如图3，设1PF m =，2PF n =，12F PF θ∠=，由题意知：22222162cos 4m n mn m n mn θ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，，所以 61cos mn θ=+，又121sin sin 33tan 21cos 2F PF S mn θθθθ===+△所以π3θ=．由正弦定理可知，三角形的外接圆的直径为122ππsin sin 33F F ==4π3，故选A ． 图3图212．当0a ≤时，()|1|f x x =-满足题意；当03a <≤时，(2)(4)3f f -==，要满足题意需满足(1)23f a =≤，即302a <≤；当3a >时，(1)26f a =>，不合题意．综上所述，a 的取值范围是32a ≤，故选C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）113⎛⎫⎪⎝⎭， 【解析】13．作出不等式组313x y x y x +⎧⎪--⎨⎪⎩≥，≥，≤表示的平面区域，如图4中阴影部分所示，作出直线20x y +=，平移直线 20x y +=，当直线经过点(12)A ，时，2z x y =+取得最小 值4，所以2z x y =+的最小值为4． 14．由126n n n a a a ++++=，当1n =时，则1236a a a ++=，由11a =，22a =，则33a =； 当2n =时，则2346a a a ++=，由22a =，33a =，则41a =； 当3n =时，则3456a a a ++=，由33a =，41a =，则52a =， ……观察可得，数列{}n a 是以3为周期的周期数列，且每个周期内的和为6，则数列{}n a 的前2018项的和20186726124035S =⨯++=．15．由()e e ln ||x x f x x -=++，则函数()f x 是定义在(0)(0)-∞+∞，，上的偶函数，当(0)x ∈+∞，时，令()e e x x g x -=+，所以()e e 0x x g x -'=->，即()g x 为(0)x ∈+∞，上的增函数，又由(0)x ∈+∞，时，()()ln f x g x x =+，所以()f x 为(0)+∞，上的增函数，则不等式(31)(2)f x f -<等价于2312x -<-<，且310x -≠，解得1111333x ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，． 图416．设11()A x y ，，22()B x y ，，0(4)Q y ，，则切点为A 的椭圆C 的直线方程为：11143x x y y +=，切点为B 的椭圆C 的直线方程为：22143x x y y+=．由两切线均过点Q ，故而有：1012021313y y x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，所以直线AB 的方程为013y y x +=，则直线AB 过定点(10)，，所以原点到直线AB 的距离的最大值为1．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由正弦定理可知：2sin cos sin 2sin 2sin()2sin cos 2cos sin A C C B A C A C A C -==+=+，所以sin 2cos sin C A C -=，因为sin 0C ≠，而(0π)A ∈，，则1cos 2A =-，所以2π3A =．…………………………………………（6分）（Ⅱ）如图5，由b c =ABC △是顶角为2π3的等腰三角形，则π6ABC ∠=， 所以2222π2cos63BC b c bc =+-=，即BC =， 又2AD DC =，所以1233BD BC BA =+，则222π9||||4||4||||cos 266BD BC BA BA BC =++=，所以BD =．………………………………………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2×2列联表补充如下：……………………………………………………………………………………（2分）（Ⅱ）由题意知：22100(40252015)8.25 6.63555456040K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，图5所以有99%的把握认为数学与物理的学习情况有关．………………………………（6分） （Ⅲ）由题意知，数学优秀的同学为60名，数学不优秀的同学为40名. 按分层抽样抽取的5名同学中包含了3名数学优秀的同学，记为123A A A ，，， 按分层抽样抽取的5名同学中包含了2名数学不优秀的同学，记为12B B ，， 所以从这5名同学中随机选取2人的所有情况共有如下10种情况，即：12()A A ，，13()A A ，，11()A B ，，12()A B ，，23()A A ，，21()A B ，，22()A B ，，31()A B ，， 32()A B ，，12()B B ，，其中2名同学数学都优秀的情况包括：12()A A ，，13()A A ，，23()A A ，共3种情况， 所以参加该活动的2名同学数学都优秀的概率为310．………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图6，连接AC BD ，交于点O ，连接MO ，NO ，所以AC BD ⊥，又AM ⊥平面ABCD ，AM BD ⊥且ACAM A =，所以BD ⊥平面ACNM ，则有MO BD ⊥，NO BD ⊥， 由1CN =，3AM =，ABCD 是边长为2的菱形，且2π3ABC ∠=，可得MO =，2NO =，又由4MN =，即222MN MO NO =+， 所以NO MO ⊥，又MOBD O =，所以NO ⊥平面MDB ，所以平面MDB ⊥平面NDB ．………………………………（6分）图6（Ⅱ）解：由O 为AC 的中点，则点A 到平面BMD 的距离等于点C 到平面BMD 的距离，设点A 到平面BMD 的距离为d ，由（Ⅰ）知BD ⊥平面ACNM ，所以2A BMD B AOM D AOM B AOM V V V V ----=+=，即11233BMD AOM d S BO S ⨯⨯=⨯⨯⨯△△，所以1212322122AOMBMDAM AOBO S d S BD MO ⨯⨯⨯⨯⨯⨯====⨯⨯△△．……………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设圆心M 的坐标为()x y ，，则0x >．由题意知：||1x +24y x =(0)x >．………………………（4分） （Ⅱ）设AB 所在的直线的倾斜角为(0)θθ≠，则直线AB 的方程为tan (1)y x θ=-，与抛物线的方程联立得：2222(tan )(2tan 4)tan 0x x θθθ-++=，设A B ，的横坐标分别是12x x ，，则有：22122222tan 4tan 14||224tan tan sin AB x x θθθθθ++=++=+==， 同理：2244||πcos sin 2CD θθ==⎛⎫± ⎪⎝⎭， 所以四边形的面积22214432322sin cos sin (2)S θθθ=⨯⨯=≥，当且仅当π4θ=或3π4θ=时，不等式取等号，所以四边形面积的最小值为32．…（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由0a b +=，则()ln f x x ax a =-+， 所以1()f x a x'=-． 若0a ≤，则1()0f x a x '=->，即函数()f x 为定义域上的增函数，由(1)0f =，不合题意；若01a <<，则11()ax f x a x x -'=-=，所以()f x 为10a ⎛⎫⎪⎝⎭，上的增函数，且101a <<，由(1)0f =，不合题意；若1a >，则11()ax f x a x x -'=-=，所以()f x 为1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上的减函数，且11a >，由(1)0f =，不合题意；若1a =，()ln 1f x x x =-+，11()1x f x x x-'=-=，所以()f x 为(01)，上的增函数，为(1)+∞， 上的减函数，所以()(1)0f x f =≤，满足题意．综上所述，满足题意的1a =．…………………………………………………………（5分） （Ⅱ）由()0f x ≤恒成立，则0a >，又由()0f x ≤，等价于ln x ax b +≤，即等价于函数ln y x =的图象不在函数y ax b =+图象的上方，对于每一个大于零的a ，要使得a b +的值最小，需使直线y ax b =+与函数ln y x =的图象相切，此时，设切点为00(ln )x x ，且00x >， 则切线方程可以表示为0001ln ()y x x x x -=-，即001ln 1y x x x =+-， 所以001ln 1a b x x +=+-． 令1()ln 1(0)g x x x x =+->，则22111()x g x x x x-'=-+=， 所以()g x 为(01)，上的减函数，为(1)+∞，上的增函数，则()(1)0g x g =≥，所以a b +的最小值为0．………………………………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）曲线C 的参数方程为：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，，π02θθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭其中为参数，，， 所以曲线C 的普通方程为：2214x y +=，00x y ≥，≥．又由cos x ρθ=，sin y ρθ=， 所以曲线C 的极坐标方程为：2224cos 4sin ρθθ=+，π02θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， 直线l 的极坐标方程为：4sin cos ρθθ=+．……………………………………………（5分）（Ⅱ）如图7，由题意知：1π1π=sin sin 2626ABCD BOC AOD S S S OB OC OA OD =-⨯⨯-⨯⨯△△，由（Ⅰ）知，OA =OB ==OD =，OC =所以，1()8(24ABCD S OB OC OA OD =⨯-⨯=10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 （Ⅰ）解：由()2|1||2|f x x x =-++，所以31()4[21)32x x f x x x x x ⎧⎪=-∈-⎨⎪-<-⎩，≥，，，，，，则函数()f x 的图象如图8， 图7则函数()f x 的最小值为3，即3m =．……………（5分）（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，3a b c ++=，所以1116a b c a b c +++++≥， 当且仅当1a b c ===时不等式取等号，所以1113a b c++≥．…………………（10分）图8。

云南师大附中2013届高考数学适应性月考试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式：样本数据12,,,n x x x L 的标准差s =其中x 为样本平均数 柱体体积公式V Sh =其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式 13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径 第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数11ii-+（i 是虚数单位）化简的结果是 A ．i - B ．iC ．1D ．1-2．已知集合101x A xx ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，{}2|log (2)B x y x ==+，则A B I ＝ A ．()2,1-- B ．()[)2,11,--+∞UC ．[)1,+∞D ．()()2,11,---+∞U3．已知两条直线,m n 和平面α，且m 在α内，n 在α外，则“n ∥α”是“m ∥n ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知等差数列{}n a 中，39159a a a ++=，则数列{}n a 的前17项和17S ＝A ．102B ．51C ．48D ．36 5．阅读如图1所示的程序框图，则输出的S 的值是A ．910 B ．89 C ．78D ．67正视图 侧视图俯视图1 1 12 6．开学不久，学校从某班的学生中随机抽取25名学生进行学情调查，经过一段时间再次从该班的学生中随机抽取15名学生进行健康状况调查，发现有5名学生上次被抽查过，据此估计该班的学生人数为A ．75B ．65C ．60D ．50 7．某四面体的三视图如图2所示，该四面体的六条棱长中，长度最大的是ABCD ．8．设变量,x y 满足约束条件0,1,21,x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩目标函数222z x x y =++，则z 的取值范围是A ．17,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2⎤⎥⎣⎦C ．8,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2⎤⎥⎣⎦9．定义在R 上的偶函数()f x 满足2(1)()f x f x +=-(()0)f x ≠，且(1)2013f =，则(2013)f ＝A ．12013B ．1C ．4D ．2013 10．已知方程ln 10x ax -+=（a 为实常数）有两个不等实根，则实数a 的取值范围是A ．()0,eB ．[]1,eC ．()0,1D ．[]0,111．在平面直角坐标系中，定义1212(,)||||d A B x x y y =-+-为两点11(,)A x y ，22(,)B x y 间的“折线距离”，在此定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”为1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”为1的点的集合是一个圆；③到(1,0)M -，(1,0)N 两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是0x =． 其中，正确的命题有A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个12．已知点P 在圆22:(3)1C x y +-=上，点Q 在双曲线22152x y -=的右支上，F 是双曲线的左焦点，则||||PQ QF +的最小值为A．1B．3+C．4+D ．5+第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 13．已知1sin 3α=-，且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin 2α＝ ． 14．直线cos sin 10x y θθ++=与圆221x y +=的位置关系为 ．15．已知向量AB u u u r与AC u u u r 的夹角为30°，且||6AB =u u u r ，则||AB AC -u u u r u u u r 的最小值是 ．16．已知函数*(1)()log (2)()m f m m m N +=+∈，令(1)(2)()f f f m k ⋅⋅⋅=L ，当[]1,2013m ∈，且*k N ∈时，满足条件的所有k 的值的和为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n a S 在直线34y x =+上． （1）求数列{}n a 的通项a ；（2）令*()n n b na n N =∈，试求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）如图3，在直三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=o ，且1AB AA =，E 、F 分别为BC 、1CC 的中点．（1）求证：1B E ⊥平面AEF ；（2）当2AB =时，求点E 到平面1B AF 的距离．19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，满足229x y +≤的点(,)P x y 组成的平面区域（或集合）记为Ω，现从Ω中随机取点(,)M x y ． （1）设,x Z y Z ∈∈，22x y ξ=+，求5ξ=的概率；（2）设,x R y R ∈∈，若直线(0)y x b b =-+>被圆229x y +=截得的弦长为y x b ≥-+的概率．20．（本小题满分12分）已知抛物线的顶点在原点，准线方程为1x =，F 是焦点．过点(2,0)A -的直线与抛物线交于11(,)P x y ，22(,)Q x y 两点，直线PF ，QF 分别交抛物线于ABCEF B 1C 1 A 1点M ，N ．（1）求抛物线的方程及12y y 的值；（2）记直线PQ ，MN 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k 为定值． 21．（本小题满分12分）已知函数2()416mx f x x =+，||1()2x m g x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中m R ∈且0m ≠．（1）判断函数()f x 的单调性；（2）设函数(),2,()(),2,f x x h x g x x ≥⎧=⎨<⎩当2m ≥时，若对于任意的[)12,x ∈+∞，总存在唯一的()2,2x ∈-∞，使得12()()h x h x =成立，试求m 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】 如图4，已知,AB CD 是圆O 的两条平行弦，过点A 引圆O点P ，F 为»CD 上的一点，弦,FA FB 分别与CD 交于点,G H （1）求证：GP GH GC GD ⋅=⋅；（2）若39AB AF GH ===，6DH =，求PA 的长． 23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】 已知椭圆C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，点1F ，2F 为其左右焦点．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为2,2,2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数，t R ∈）．（1）求直线l 的普通方程和椭圆C 的直角坐标方程； （2）求点1F ，2F 到直线l 的距离之和．24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 已知函数()2()log |1||5|1f x x x =-+--． （1）当5a =时，求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围．云南师大附中2013届高考适应性月考卷（八）文科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 【解析】 4．11717917()172a a S a +==，3915939a a a a ++==，93a =∴．故选B ．5．依题意，知11,2,0,12i n S ===+⨯ 112,3,,1223i n S ===+⨯⨯ 1113,4,,122334i n S ===++⨯⨯⨯ ……，1111188,9,11223348999i n S ===++++=-=⨯⨯⨯⨯…. 故选B ． 6．设该班学生人数为n ，依题意知25515n =，75n =，故选A ． 7．由题图可知，几何体为如图1所示的三棱锥P ABC -， 其中1,,PA AC PA AC PA AB ==⊥⊥，由俯视图可知， 5,22AB BC ==，6PB =，故选D ．8．2222+2(1)1z x x y x y =+=++-，用线性规划，可求得22(1)x y ++的范围是17,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以8,39z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选C ． 9．22(4)()2(2)()f x f x f x f x +=-=-=+-，故()f x 为周期函数，周期4T =，(2013)(45031)(1)2013f f f =⨯+==∴．故选D ．10．ln 1=0ln =1x ax x ax -+⇔-，令12ln ,1y x y ax ==-，直线21y ax =-过定点(0,1)-， 设直线21y ax =-与1y 的切点为00(,ln )x x ，由于11y x'=， 所以切线斜率0000ln 11,1,1x a x a x x +====∴， 当(0,1)a ∈时，直线21y ax =-与1y 的图象有2个交点．故选C. 11．设到原点的“折线距离”为1的点为(,)x y ，则||||1x y +=，其轨迹为如图2所示的正方形，所以①正确，②错误； 设到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”相等的点为(,)x y ， 则|1||||1|||,|1||1|x y x y x x ++=-++=-， 从而0x =，所以③正确．故选B ．图1图212．设双曲线22152x y -=的右焦点为F '，则(7,0),(7,0)F F '-，由双曲线定义知||||25QF QF '=+ ，||||||||25QF PQ QF PQ '+=++，当,,,C P Q F '共线时，min (||||)3QF PQ '+=， min (||||)325QF PQ +=+∴．故选C.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 题号 13 14 15 16 答案 429- 相切354【解析】15．如图3所示，点C 的轨迹为射线AC '（不含端点A ），当BC AC ⊥时，min min ||||3AB AC CB -==u u u r u u u r u u u r．16．234(1)(1)(2)()log 3log 4log 5log (2)m f f f m m +=+g g g g g g g ……2log (2)m k =+=，22k m =-，[1,2013],m k ∈∈*N ∵，101121024,22013=>，所以，k 值组成的集合为{2,3,4,5,6,7,8,9,10}，2391054++++=…． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为点(,)n n a S 在直线34y x =+上，所以34n n S a =+，1134n n S a ++=+， 11133n n n n n a S S a a +++=-=-，化简得123n n a a +=，所以数列{}n a 为等比数列，公比32q =，由11134S a a ==+得12a =-， 故11132()2n n n a a qn --⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭*N g ．……………………………………………（6分）（Ⅱ）因为 ()n n b na n =∈*N ， 所以12341n n n T b b b b b b -=++++++L图323213333321234(1)22222n n n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ，①234133333332234(1)2222222n n n T n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯=-+⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ，② ①-②得23113333321+222222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯=-++++-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ，………（8分）2313333341+22222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L31332444(2)8()32212nn nn n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⨯-⨯=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-*N g ． ……………………（12分）18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，不妨设1||||=AB AA a =，ABC ∵△为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，11||BC B C ==∴，∵E 、F 分别为BC 、1CC 的中点，222222113||||||2B E BE BB a a ⎫=+=+=⎪⎪⎝⎭∴，22222213||||||44EF EC CF a a ⎫=+=+=⎪⎪⎝⎭，222222111119||||||244B F B C C F a a a =+=+=，有22222211339||||||244B E EF a a a B F +=+==，1B E EF ⊥∴，又1,AE BC B B ⊥⊥∵平面ABC ，1B E AE ⊥∴，AE EF E =I ， 1B E ⊥∴平面AEF ．…………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：由条件知，1||||||||AE B E EF AF ===11||||3AB B F ==，…………………………………………………………（8分）AE EF ⊥∵，11||||22AEF S AE EF ===g △∴ 在1AFB △中，11cos sin B AF B AF ∠=∠=，11111||||sin 322AB F S AB AF B AF =∠=⨯=g △∴，………………（10分）设点E 到平面1B AF 的距离为d ， 则11||AB F AEF d S B E S =g g △△，所以213d ==，即点E 到平面1B AF 的距离为1． ………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当,x y ∈∈Z Z 时，圆229x y +=内共有29个点， 满足225x y +=的点有8个， 所以8(5)29P ξ==． ……………………………………………………………（5分）（Ⅱ）当直线(0)y x b b =-+>被圆229x y +=截得的弦长为 设圆心O 到直线(0)y x b b =-+>的距离为d ，由2223d +=⎝⎭，d =，从而得3b =． ………………………………（8分）满足y x b -+≥的(,)M x y位于弦长为所以y x b -+≥的概率为9π91142==9π42πS P S -=-弓形圆． ………………………（12分）20．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：依题意，设抛物线方程为22(0)y px p =->， 由准线12px ==，得2p =， 所以抛物线方程为24y x =-．………………………………………………（2分）设直线PQ 的方程为2x my =-，代入24y x =-， 消去x ，整理得2480y my +-=， 从而128y y =-．………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）证明：设3344(,),(,)M x y N x y ，则223434341121222122123434124444y y x x y y k y y y y y y k x x y y y y y y --+----=⨯=⨯=---+---． …………………（8分）设直线PM 的方程为1x ny =-，代入24y x =-， 消去x ，整理得2440y ny +-=， 所以134y y =-， 同理244y y =-．………………………………………………………………（10分）故3411221212124444182y y k y y k y y y y y y --++--=====++-，为定值． …………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，22222(4)(2)(2)()4(4)4(4)m x m x x f x x x --+'==++，当0m >时，()022,()02f x x f x x ''>⇒-<<<⇒<-或2x >， 所以()f x 在(2,2)-上单调递增；在(,2),(2,)-∞-+∞上单调递减． 当0m <时，()022,()02f x x f x x ''<⇒-<<>⇒<-或2x >，所以()f x 在(2,2)-上单调递减；在(,2),(2,)-∞-+∞上单调递增． …………（6分） （Ⅱ）当2m ≥，1[2,)x ∈+∞时，11121()()416mx h x f x x ==+，由（Ⅰ）知1()h x 在[2,)+∞上单调递减， 从而1()(0,(2)]h x f ∈，即1()0,16m h x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；……………………………………（8分）当2m ≥，22x <时，222||22111()()2222x m m x mx h x g x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，在(,2)-∞上单调递增，从而2()(0,(2))h x g ∈，即221()0,2m h x -⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………（10分）对于任意的1[2,)x ∈+∞，总存在唯一的2(,2)x ∈-∞，使得12()()h x h x =成立， 只需21162m m -⎛⎫< ⎪⎝⎭，即210162m m -⎛⎫-< ⎪⎝⎭成立即可．记函数21()162m m H m -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知21()162m m H m -⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[2,)+∞上单调递增，且(4)0H =，所以m 的取值范围为[2,4)． …………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】（Ⅰ）证明：∵PE 与圆O 切于点A ， ∴EAB BFA ∠=∠， ∵//AB CD ， ∴EAB APD ∠=∠．在HGF △和AGP △中，,,HFG APG HGF AGP ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩∴HGF △∽AGP △， ………………………………………………………………（2分） ∴GH GP GF GA =g g ． 又∵GC GD GF GA =g g ，∴GP GH GC GD =g g ． ……………………………………………………………（5分） （Ⅱ）解：∵AB AF =， ∴ABF AFB APH ∠=∠=∠． 又∵//AB CD ，∴四边形ABHP 为平行四边形， ………………………………………………（7分）∴9AB PH ==， ∴6GP PH GH =-=， ∴6329GP GH GC GD ⨯===g ，∴4PC =．∵PA 是⊙O 的切线，∴2PA PC PD =g ，PA =．………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由l 的参数方程消去t ，得2y x =-， 故直线l 的普通方程为20x y --=． …………………………………………（2分）由22222123(cos )4(sin )123cos 4sin ρρθρθθθ=⇒+=+，而cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 所以223412x y +=，即22143x y +=，故椭圆C 的直角坐标方程为22143x y +=．……………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12(1,0),(1,0)F F -，点1(1,0)F -到直线l 的距离12d =，点2(1,0)F 到直线l 的距离2d ==，12d d +=12,F F 到直线l 的距离之和为…………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ） 当5a =时，要使函数2()log (|1||5|)f x x x a =-+--有意义， 需|1||5|50x x -+-->恒成立．1,15,5,|1||5|50210102110x x x x x x x <<⎧⎧⎧-+-->⇔⎨⎨⎨-+>->->⎩⎩⎩≤≥或或11122x x ⇒<>或，所以函数()f x 的定义域为111,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ．……………………………（5分）（Ⅱ）函数()f x 的值域为R ，需要()|1||5|g x x x a =-+--能取到所有正数， 即min ()0g x ≤．由62,1,|1||5|4,15,26,5,x x x x x x x -<⎧⎪-+-=⎨⎪->⎩≤≤ 易知|1||5|4x x -+-≥，故min ()40g x a =-≤，得4a ≥，所以实数a 的取值范围为4a ≥． ……………（10分）。

理科数学参考答案·第1页（共8页）云南师大附中2019届高考适应性月考卷（八）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A D B B C D C D B A B【解析】1．{1012}A B =- ，，，，故选C ． 2．i i(1i)1i11i 1i (1i)(1i)222z -+====+++-，故选A ． 3．②④正确，故选D ．4．由题意得220q q +-=，解得2q =-或1q =，故选B ．5．由|2|a b -= ，得2(2)3a b -= ，即22443a b a b +-= ，设单位向量a 与b 的夹角为θ，则有144cos 3θ+-=，解得1cos 2θ=，又[0π]θ∈，，所以π3θ=，故选B ． 6．考虑正方体过同一顶点的三个平面，可知A 错误；考虑圆锥的两条母线与底面，可知B 错误；若一个平面内的所有直线都和另一个平面平行，则该平面内有两条相交直线与另一个平面平行，所以这两个平面平行，故C 正确；当另一条直线不在该平面内时，结论成立；当另一条直线在该平面内时，结论不成立，故D 错误，故选C ．7．记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件A ，“小明在第二个路口遇到红灯”为事件B ，“小明在第一个路口遇到了红灯，在第二个路口也遇到红灯”为事件C ，则()0.4P A =，()0.5P B =，()0.2P AB =，()0.2(|)0.5()0.4P AB P B A P A ===，故选D . 8．设点P 为00()x y ，，则由抛物线的定义知点P 到抛物线C 的焦点的距离为02p x +，同时由题知这个距离也等于02x ，所以0022p x x +=，解得02p x =，0y p =，于是2OP k =，故选C .理科数学参考答案·第2页（共8页）9．当0x >时，()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，由()f x 是偶函数可得(1)(1)0f f -==，结合图象特征可知(1)(1)1f f ''-=-=-，所以()f x 在(1(1))f --，处的切线方程为0(1)y x -=-+，即10x y ++=，故选D ．10．如图1，()g x 有且仅有一个零点等价于()f x x =-有且仅有一个零点，结合()y f x =的图象与y x =-的图象可知,当0e 0a +≥，即1a -≥时，()y f x =的图象与y x =-的图象有唯一交点，故选B ． 11．设11()A x y ，，22()B x y ，，由题意知(12)C --，，C 为AB 的中点，由点差法得1AB k =，直线l ：1y x =-与双曲线2212y x -=联立，解得34x y =-⎧⎨=-⎩，或10x y =⎧⎨=⎩，，所以||AB =，可得3m =-，故选A ．12．如图2，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O ，则二面角A BC D --的平面角为AMD ∠，点A 在截面圆1O 上运动，点D 在截面圆2O 上运动，由图知，当AB AC =，BD CD =时，三棱锥A BCD -的体积最大，此时ABC △与BDC △是等边三角形，设BC a =，则2AM DM a ==，24BCD S a =△，sin(π)h AM AMD =-∠=3a，313124A BCD DBC V S h a -=== △，解得a =32DM =，21DO =，212O M =，设2AMD θ∠=，则21cos 22cos 13θθ=-=-，解得tan θ=，∴22tan 2OO O M θ==，球O的半径2R ==，所求外接球的表面积为24π6πS R ==，故选B． 图1图2理科数学参考答案·第3页（共8页）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 题号13 14 15 16 答案3 16-54 ①②③【解析】 13．如图3，最小值在点(11)，处取得，所以z 的最小值为3． 14．由2(1)n n S a =+，得112(1)n n S a --=+，两式相减得122n n n a a a -=-，即12n n a a -=，由112(1)a a =+，得12a =-，所以416a =-．15．千位数字为1时有242A 24=个；千位数字为2时有242A 24=个；千位数字为3时且比3125小的有5个(30153025304531053120)，，，，，比3125小的共有53个，所以3125是第54个数．16．(π)2|sin(π)||cos(π)|2|sin ||cos |()f x x x x x f x +=+++=+=，故①正确；因为()f x -=2|sin()||cos()|2|sin ||cos |()x x x x f x -+-=+=，所以()f x 为偶函数，故②正确；由①②得()f x 在R 上的值域与其在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的值域相同，当π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()2sin cos )f x x x x θ=+=+π||2θ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤，角θ的终边过点，故π4θ<，π2x θθθ++≤≤π()2f x θ≤，所以()f x 的值域为[1，故③正确； ()y f x=，[0π]x ∈，的图象如图4，所以()y f x =，[0π]x ∈，与2y =有且只有3个公共点，故④错误.（填对得5分，出现④得0分，不全得2分） 图3图4理科数学参考答案·第4页（共8页）三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1）在ABD △中，56sin sin(π())sin()sin cos cos sin 65ADB A ABD A ABD A ABD A ABD ∠=-+∠=+∠=∠+∠=， 由正弦定理得sin sin BD AB A ADB =∠， 即sin 13sin AB A BD ADB==∠ . ………………………………………………………（6分） （2）由已知得，πC A =-，所以3cos 5C =-， 在BCD △中，由余弦定理可得2222cos 169BC DC BC DC C BD +-== ， 则2261616955BC DC BC DC BC DC =++≥，即516916BC DC ⨯ ≤， 所以1154169sin 169221658BCD S BC CD C ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ △≤，当且仅当4BC DC ==时取等号. ……………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）（1）证明：设点F 是1A B 的中点，连接FC FE ，，∵E F ，分别是111A B A B ，的中点，∴1//EF BB ，且112EF BB =． 又在平行四边形11BB C C 中，D 是1CC 的中点，∴1//CD BB ，且112CD BB =， ∴//CD EF ，且CD EF =，∴四边形CFED 是平行四边形，∴//DE CF ．……………………………………………………………………………（4分） 又∵DE ⊄平面1A BC ，CF ⊂平面1A BC ，∴//DE 平面1A BC . ………………………………………………………………（6分）理科数学参考答案·第5页（共8页） （2）解：如图5，延长EF 交AB 于点O ，连接OC ，则由（1）1//EF BB 及1BB AB ⊥知OE AB ⊥，且O 是AB 的中点，∵ABC △是正三角形，∴CO AB ⊥． 又在直三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA B B ⊥平面ABC ，平面11AA B B 平面ABC AB =， ∴CO ⊥平面11AA B B ，故CO OE ⊥，所以OA OE OC ，，两两垂直． ………………………………………………………（8分） 如图，分别以OA OE OC ，，为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，则11(10)(0(100)(00A C B C -，，，，，，，，，∴11(10A C =- ，，1(20)BA = ，，(10BC = ，．设平面1A BC 的法向量为()n x y z = ，，，则100n BA n BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，，即200x x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，，解得x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，∴可取(1n = ． …………………………………………………………（10分）设直线11A C 与平面1A BC 的所成角为θ，则111111sin |cos |3||||A C n A C n A C n θ==== <，>， 所以直线11A C 与平面1A BC………………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）由已知得椭圆的离心率为2c e a ==，解得1a b ==，所以椭圆C 的方程为2212x y +=. …………………………………………………（4分） 图5理科数学参考答案·第6页（共8页）（2）设直线l 的方程为y kx m =+，则直线AB 与y 轴交点的纵坐标为m ，设点11()A x y ，，22()B x y ，，将直线AB 的方程与椭圆方程联立并化简，得222(21)4220k x kmx m +++-=， 由韦达定理得122421km x x k +=-+，21222221m x x k -=+， 2222164(21)(22)0k m k m ∆=-+->，化简得2221m k <+.…………………………………………………………………………（8分）由线段AB 的中点在直线12x =-上，得121x x +=-， 故24121km k -=-+，即2421km k =+，所以22114242k k m k k +==+=≥， 当且仅当124k k =，即2k =时取等号，此时2221m k <+，满足0∆>， 因此，直线l 与y轴交点纵坐标的最小值为2. ………………………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）由频率分布直方图可得1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 22222222(30)0.02(20)0.09(10)0.2200.33100.24200.08300.02s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 150=. ………………………………………………（4分）（2）（i ）方法一：由（1）得(22)(175.6224.4)x s x s -+=，，，由图可得质量指标值在(165175)，和(225235)，的频率为0.020.020.040.03+=>， 所以该工厂一天生产的产品中不合格品超过3%. ……………………………（6分） 方法二：由于(||2)1(22)10.95440.04560.03P x P x μσμσμσ->=--<+=-=>≤. 所以该工厂一天生产的产品中不合格品超过3%. ……………………………（6分） （ii ）设1W ，2W 分别为设备A ，B 一天为工厂创造的利润，则1()1000(500.6826300.2718400.0456)E W =⨯⨯+⨯-⨯=1000(34.138.154 1.824)40460=⨯+-=，理科数学参考答案·第7页（共8页）2()1200(500.7300.26400.04)1200(357.8 1.6)49440E W =⨯⨯+⨯-⨯=⨯+-=，……………………………………………………（10分） 所以采用新设备利润每天增加21()()()49440404608980E W E W E W ∆=-=-=，因此，只需56天使用设备B 产生的利润就超过使用设备A 产生的利润和换购费用总和，从长远来看，应该换购设备B . ………………………………………………（12分） （此处只要理由充足均可给分）21．（本小题满分12分）解：（1）由题得，当0a >时，()f x 的定义域为1 a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，； 当0a <时，()f x 的定义域为1a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，， 又(0)0f =，且()0f x ≥，所以0x =是()f x 的极小值点，故(0)0f '=． 而()11a f x ax '=-+，于是10a -=，解得1a =． …………………………………（2分） 下面证明当1a =时，()0f x ≥．当1a =时，()ln(1)f x x x =-+，1()111x f x x x '=-=++，1x >-， 所以当0x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当10x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()(0)0f x f =≥，即1a =符合题意．综上，1a =． ………………………………………………………………………（4分）（2）（ⅰ）由于n 人生日都不相同的概率为365364363(3651)365nn ⨯⨯⨯⨯-+ ， 故n 人生日至少有两人相同的概率为365364363(366)()1365n n P n ⨯⨯⨯⨯-=-． ………………………………………………………………………………（6分）（ⅱ）由（1）可得当1x >-时，ln(1)0x x -+≥，即ln(1)x x +≤，当且仅当0x =时取等号，………………………………………………………………………………（8分）由（ⅰ）得36536436330612359(60)111111365365365365365365365365P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯⨯⨯=----- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．理科数学参考答案·第8页（共8页） 记1259111365365365t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则125912591259ln ln 1ln 1ln 1365365365365365365365t +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-<----=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5960354236573⨯=-=-⨯，即35473e t -<， 由参考数值得35473e 0.0079t -<<，于是(60)110.00790.9921P t =->-=，故(60)0.99P ≈． ……………………………………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）当π2α=时，直线l 的直角坐标方程为0x =； 当π2α≠时，直线l 的直角坐标方程为tan 1y x α=+． ………………………………………………………………………………（5分）（2）点M 的直角坐标为(01)，，曲线C 的直角坐标方程为22230x y x ++-=， 把cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩，代入曲线C 的直角坐标方程， 化简得22(sin cos )20t t αα++-=，由120t t +=，得tan 1α=-，所以直线l 的斜率为1-． ……………………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）当1a =时，211()321212x x f x x x x +⎧⎪=-<⎨⎪--<-⎩，≥，，≤，，， 由()4f x >，解得32x >或52x <-． ……………………………………………………（5分） （2）()|||2|f x x a x =-++表示数轴上的点到a 和2-的距离之和，()1f x ≥表示到a 和2-的距离之和大于等于1恒成立，则3a -≤或1a -≥．…………………………………………………………………（10分）文科数学参考答案·第1页（共8页）云南师大附中2019届高考适应性月考卷（八）文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A D B B C D C D B A A【解析】1．{1012}A B =- ，，，，故选C ． 2．i i(1i)1i11i 1i (1i)(1i)222z -+====+++-，故选A ． 3．②④正确，故选D ．4．由题意得220q q +-=，解得2q =-或1q =，故选B ．5．由|2|a b -= ，得2(2)3a b -= ，即22443a b a b +-= ，设单位向量a 与b 的夹角为θ，则有144cos 3θ+-=，解得1cos 2θ=，又[0π]θ∈，，所以π3θ=，故选B ． 6．考虑正方体过同一顶点的三个平面，可知A 错误；考虑圆锥的两条母线与底面，可知B 错误；若一个平面内的所有直线都和另一个平面平行，则该平面内有两条相交直线与另一个平面平行，所以这两个平面平行，故C 正确；当另一条直线不在该平面内时，结论成立；当另一条直线在该平面内时，结论不成立，故D 错误，故选C ．7．记“小明在这个路口等待通过的时间不超过20秒”为事件A ，则20404()755P A +==，故选D . 8．设点P 为00()x y ，，则由抛物线的定义知点P 到抛物线C 的焦点的距离为02p x +，同时由题知这个距离也等于02x ，所以0022p x x +=，解得02p x =，0y p =，于是2OP k =，故选C .文科数学参考答案·第2页（共8页） 9．由()f x 是(0)(0)-∞+∞ ，，上的偶函数得，当0x <时，2()()()()f x f x x x =-=---=2x x +，则()21f x x '=+，(1)1f '-=-，(1)0f -=，故()f x 在(1(1))f --，处的切线方程为0(1)y x -=-+，即10x y ++=，故选D ．10．如图1，()g x 有且仅有一个零点等价于()f x x =-有且仅有一个零点，结合()y f x =的图象与y x =-的图象可知,当0e 0a +≥，即1a -≥时，()y f x =的图象与y x =-的图象有唯一交点，故选B ． 11．设11()A x y ，，22()B x y ，，由题意知(12)C --，，C 为AB 的中点，由点差法得1AB k =，直线l ：1y x =-与双曲线2212y x -=联立，解得34x y =-⎧⎨=-⎩，或10x y =⎧⎨=⎩，，所以||AB =，可得3m =-，故选A ．12．如图2，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O ，BC 的中点为M ，则点A 在截面圆1O 上运动，在D 在截面圆2O 上运动，四边形12OO MO 为正方形，由图知，当AB AC =，BD CD =时，三棱锥A BCD -的体积最大，此时，ABC △与BDC △是等边三角形.设BC a =，则2AM DM ==，24BCD S a =△，2h =，311388A BCD DBC V S h a -=== △，解得a =，所以32DM =，21DO =，212O M =，2212OO O M ==，球O的半径R ==，所以所求外接球的表面积为24π5πS R ==，故选A．图1 图2文科数学参考答案·第3页（共8页）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．如图3，最小值在点(11)，处取得，所以z 的最小值为3． 14．由2(1)n n S a =+，得112(1)n n S a --=+，两式相减得122n n n a a a -=-，即12n n a a -=，由112(1)a a =+，得12a =-，所以416a =-．15．由题意，得||||PA PB =，∴||||||||6||4PA PC PB PC r AC +=+==>=，∴点P 的轨迹E 是以A C ，为焦点的椭圆，其中2c =，3a =，∴b =22195y x +=． 16．πππsin cos |cos ||sin |()222f x x x x x f x⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以①正确；由于周期为π2，故只需考虑一个周期的情况，当π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，π()sin cos 4f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则1()f x ≤所以②正确；()f x 的单调递增区间为πππ224k k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，，，所以③错误；()|sin()||cos()||sin ||cos |()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以④正确． （填对得5分，出现③得0分，不全得2分）三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1）在ABD △中，56sin sin(π())sin()sin cos cos sin 65ADB A ABD A ABD AABD A ABD ∠=-+∠=+∠=∠+∠=， 由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠， 即sin 13sin AB ABD ADB==∠ ．………………………………………………………………（6分） 图3文科数学参考答案·第4页（共8页）（2）由已知得，πC A =-，所以3cos 5C =-，在BCD △内，由余弦定理可得2222cos 169BC DC BC DC C BD +-== ， 则2261616955BC DC BC DC BC DC =++≥，即516916BC DC ⨯ ≤，所以1154169sin 169221658BCD S BC CD C ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ ≤△，当且仅当BC DC ==（12分） 18．（本小题满分12分）（1）证明：如图4，设点F 是1A B 的中点，连接FC FE ，， ∵E F ，分别是111A B A B ，的中点， ∴1//EF BB ，且112EF BB =． 又在平行四边形11BB C C 中，D 是1CC 的中点， ∴1//CD BB ，且112CD BB =， ∴//CD EF ，且CD EF =， ∴四边形CFED 是平行四边形，∴//DE CF ．……………………………………………………………………………（4分） 又∵DE ⊄平面1A BC ，CF ⊂平面1A BC ，∴//DE 平面1A BC . ………………………………………………………………（6分） （2）解：由（1）得3CF DE ==，且2BC =，1AA =，所以12111233A ABC ABC V S AA -==⨯= △．………………………………………………………………………………（8分）又在1A BC △中，11A B A C ==，2BC =， BC边上的高为h ==图4文科数学参考答案·第5页（共8页）所以112A BC S BC h == △． ……………………………………………………（10分） 设点A 到平面1A BC 的距离为d，则111133A A BC A BC V S d d -==⨯= △，因为11A ABC A A BC V V --=，所以=，解得d =， 所以点A 到平面1A BC的距离为3． ……………………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）解：（1）由已知得椭圆的离心率为2c e a ==，解得a =，1b =，所以椭圆C 的方程为212x y 2+=． ……………………………………………………（4分）（2）当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的中点在直线12x =-上，符合题意；当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，点11()A x y ，，22()B x y ，， 将直线AB 的方程与椭圆方程联立并化简，得222(21)4220k x kmx m +++-=， 由韦达定理可得122421km x x k +=-+，21222221m x x k -=+， 2222164(21)(22)0k m k m ∆=-+->，化简得2221m k <+． ………………………（8分）由线段AB 的中点在直线12x =-上，得121x x +=-，故24121km k -=-+，即2421km k =+，即2222(21)16k m k +=，代入2221m k <+，得22(21)(141)0k k +->，解得14k <或14k >， 因此，直线AB的斜率的取值范围是1414⎛⎫⎫-∞-+∞ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，． ………………………………………………………………………………（12分）文科数学参考答案·第6页（共8页）20．（本小题满分12分）解：（1）由频率分布直方图可得1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 22222222(30)0.02(20)0.09(10)0.2200.33100.24200.08300.02s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯150=. ………………………………………………（4分）（2）（i ）由（1）得( 1.5 1.5)(181.7218.3)x s x s -+=，，，由图可得质量指标值在(185215)，之间的频率为0.220.330.240.790.75++=>， 所以有75%以上为一等品. ………………………………………………（8分） （ii ）补全的表格如下.一等品个数非一等品个数总计 早上 36 14 50 下午 26 24 50 总计6238100由此得22100(36242614) 4.244 3.84162385050K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为一等品率与生产时间有关. …………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）（1）解：由题得22()2a x x af x x x x-+'=-+=，其中0x >，考察2()20g x x x a x =-+>，，其中对称轴为144x a =∆=-，． 若1a ≥，则0∆≤，此时()0g x ≥，则()0f x '≥，所以()f x 在(0)+∞，上单调递增；………………………………………………………………………………（3分）若01a <<，则0∆>，此时220x x a -+=在R 上有两个根1211x x =-=+1201x x <<<， 所以当1(0)x x ∈，时，()0g x >，则()0f x '>，()f x 单调递增；文科数学参考答案·第7页（共8页）当12()x x x ∈，时，()0g x <，则()0f x '<，()f x 单调递减； 当2()x x ∈+∞，时，()0g x >，则()0f x '>，()f x 单调递增，综上，当1a ≥时，()f x 在(0)+∞，上单调递增；当01a <<时，()f x在(01-，上单调递增，在(11上单调递减，在(1)++∞上单调递增．………………………………………………………………………………（6分）（2）证明：由（1）知，当01a <<时，()f x 有两个极值点12x x ，，且12122x x x x a +==，， 所以221211122211()()2ln 2ln 22f x f x x x a x x x a x +=-++-+ 221212121()2()(ln ln )2x x x x a x x =+-+++ 2121212121[()2]2()ln()2x x x x x x a x x =+--++ 21(22)4ln ln 22a a a a a a =--+=--． ……………………………………………（9分） 令()ln 2h x x x x =--，01x <<，则只需证明3()2h x -<<-，由于()ln 0h x x '=<，故()h x 在(01)，上单调递减，所以()(1)3h x h >=-． 又当01x <<时，ln 11(ln 1)0x x x -<--<，， 故()ln 2(ln 1)22h x x x x x x =--=--<-， 所以，对任意的01x <<，3()2h x -<<-．综上，可得123()()2f x f x -<+<-． ……………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）当π2α=时，直线l 的直角坐标方程为0x =； 当π2α≠时，直线l 的直角坐标方程为tan 1y x α=+． ………………………………………………………………………………（5分）文科数学参考答案·第8页（共8页）（2）点M 的直角坐标为(01)，，曲线C 的直角坐标方程为22230x y x ++-=， 把cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩，代入曲线C 的直角坐标方程， 化简得22(sin cos )20t t αα++-=， 由120t t +=，得tan 1α=-，所以直线l 的斜率为1-．……………………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）当1a =时，211()321212x x f x x x x +⎧⎪=-<⎨⎪--<-⎩，≥，，≤，，，由()4f x >，解得32x >或52x <-． …………………………………………………（5分） （2）()|||2|f x x a x =-++表示数轴上的点到a 和2-的距离之和，()1f x ≥表示到a 和2-的距离之和大于等于1恒成立，则3a -≤或1a -≥． …………………………………………………………………（10分）。