[名校试卷]2020届高三3月线上调研考试数学(理)试题 Word版含答案

2020年湖北省武汉市高三三月调考数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数(12)(1)()z i ai a R =++∈，若z R ∈，则实数(a = ) A ．12B ．12-C ．2D ．2- 2．（5分）已知集合{|12}M x x =-<<，{|(3)0}N x x x =+，则(M N = )A ．[3-，2)B ．(3,2)-C ．(1-，0]D ．(1,0)-3．（5分）同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为( ) A ．19B ．16C ．118D ．5124．（5分）在正项等比数列{}n a 中，5115a a -=，426a a -=，则3(a = ) A ．2B ．4C ．12D ．85．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s 的值为( )A ．53B ．85C ．138D ．21136．（5分）已知等边ABC ∆内接于圆22:1x y Γ+=，且P 是圆Γ上一点，则()PA PB PC +的最大值是( ) A 2B ．1C 3D ．27．（5分）已知函数22()sin sin ()3f x x x π=++，则()f x 的最小值为( )A ．12B ．14C 3D 2 8．（5分）已知数列{}n a 满足11a =，211(1)4n n n n a a a a +++-=，且1(*)n n a a n N +>∈，则数列{}n a的通项公式(n a = ) A ．2nB ．2nC ．2n +D ．32n -9．（5分）已知0.40.8a =，0.80.4b =，8log 4c =，则( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<10．（5分）青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为( )A ．25B ．35C ．15D ．21511．（5分）已知点P 在椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>上，点P 在第一象限，点P 关于原点O的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆Γ的另一个交点为B ，若PA PB ⊥，则椭圆Γ的离心率(e = )A ．12B C D 12．（5分）已知关于x 的不等式31xe x alnx x --对于任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(-∞，1]e -B ．(-∞，3]-C ．(-∞，2]-D ．(-∞，22]e -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知以20x y ±=为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为 ． 14．（5分）若函数cos ()sin x af x x+=在(0,)2π上单调递减，则实数a 的取值范围为 ．15．（5分）根据气象部门预报，在距离某个码头A 南偏东45︒方向的600km 处的热带风暴中心B 正以30/km h 的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，从现在起经过 小时后该码头A 将受到热带风暴的影响（精确到0.01)．16．（5分）在三棱锥S ABC -中，底面ABC ∆是边长为3的等边三角形，SA =SB =若此三棱锥外接球的表面积为21π，则二面角S AB C --的余弦值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4a =，tantan tan tan A B c bA B c--=+． （1）求A 的余弦值； （2）求ABC ∆面积的最大值．18．（12分）如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，L 分别为棱11A D ，11C D ，BC 的中点．（1）求证：AC QL ⊥；（2）求点A 到平面PQL 的距离．19．（12分）已知抛物线2:2(0)y px p Γ=>的焦点为F ，P 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足(2FP =，3) （1）求抛物线Γ的方程；（2）已知经过点(3,2)A -的直线交抛物线Γ于M ，N 两点，经过定点(3,6)B -和M 的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．20．（12分）有人收集了某10年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的总和）与某种商品的销售额的相关数据： 第n 年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年收入/亿元()x32.031.033.036.037.038.039.043.045.010x商品销售额/25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.010y且已知1380.0i i x ==∑（1）求第10年的年收入10x ；（2）若该城市居民收入x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程363ˆˆ254yx a=+ ()I 求第10年的销售额10y ；（Ⅱ）若该城市居民收入达到40.0亿元，估计这种商品的销售额是多少？（精确到0.01)附加：（1）在线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆni i i nii x yn xy b xnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =- （2）1022110254.0ii x x =-=∑，9112875.0i i i x y ==∑，91340.0i i y ==∑．21．（12分）（1）证明函数2sin 2cos x y e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增； （2）证明函数()2sin xe f x x x =-在(,0)π-上有且仅有一个极大值点0x ，且00()2f x <<．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5cos (4sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线22:4cos 30C ρρθ-+=． （1）求曲线1C 的一般方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）若点P 在曲线1C 上，点Q 曲线2C 上，求||PQ 的最小值． [选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 23．已知函数()|2||1|f x x a x a =-+-+． （1）当4a =时，求解不等式()8f x ；（2）已知关于x 的不等式2()2a f x 在R 上恒成立，求参数a 的取值范围．2020年湖北省武汉市高三三月调考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数(12)(1)()z i ai a R =++∈，若z R ∈，则实数(a = ) A ．12B ．12-C ．2D ．2-【解答】解：(12)(1)(12)(2)z i ai a a i R =++=-++∈，20a ∴+=，即2a =-．故选：D ．2．（5分）已知集合{|12}M x x =-<<，{|(3)0}N x x x =+，则(M N = )A ．[3-，2)B ．(3,2)-C ．(1-，0]D ．(1,0)-【解答】解：{|(3)0}[3N x x x =+=-，0]， 集合{|12}M x x =-<<， 则(1MN =-，0]，故选：C ．3．（5分）同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为( ) A ．19B ．16C ．118D ．512【解答】解：同时抛掷两个质地均匀的骰子， 基本事件总数6636n =⨯=，向上的点数之和小于5包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6个，∴向上的点数之和小于5的概率为61366p ==． 故选：B ．4．（5分）在正项等比数列{}n a 中，5115a a -=，426a a -=，则3(a = ) A ．2B ．4C ．12D ．8【解答】解：设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，5115a a -=，426a a -=，41(1)15a q ∴-=，31()6a q q -=，解得：2q =，11a =． 则34a =． 故选：B ．5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s 的值为( )A ．53B ．85C ．138D ．2113【解答】解：0i =，1s =，第一次执行循环体后，1i =，2s =，不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体后，2i =，32s =，不满足退出循环的条件； 第三次执行循环体后，3i =，53s =，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，4i =，85s =，不满足退出循环的条件；第五次执行循环体后，5i =，138s =，满足退出循环的条件； 故输出S 值为138， 故选：C ．6．（5分）已知等边ABC ∆内接于圆22:1x y Γ+=，且P 是圆Γ上一点，则()PA PB PC +的最大值是( ) A 2B ．1C 3D ．2【解答】解：设BC 的中点为E ，连接AE ，PE ； 并设PO 与OE 的夹角为θ如图：因为等边ABC ∆内接于圆22:1x y Γ+=， 所以O 在AE 上且21OA OE ==；∴2222211()22()()2[()]2[()2]2[11cos 2()]1cos 22PA PB PC PA PE PO OA PO OE PO PO OA OE OA OE PO PO OE OE θθ+==++=+++=+--=-⨯⨯-⨯=-；∴当cos 1θ=-即点P 在AE 的延长线与圆的交点时；()PA PB PC +取最大值，此时最大值为1(1)2--=；故选：D ．7．（5分）已知函数22()sin sin ()3f x x x π=++，则()f x 的最小值为( )A ．12B ．14C 3D 2 【解答】解：函数222222135331()sin sin ()sin (sin )sin cos 2sin(2)1324426f x x x x x x x x x x ππ=++=+=+=-+，当sin(2)16x π-=-时，函数11()122min f x =-=．故选：A ．8．（5分）已知数列{}n a 满足11a =，211(1)4n n n n a a a a +++-=，且1(*)n n a a n N +>∈，则数列{}n a 的通项公式(n a = ) A ．2nB ．2nC ．2n +D ．32n -【解答】解：11a =，211(1)4n n n n a a a a +++-=，且1(*)n n a a n N +>∈， 111n n n n a a a a ++∴+-=∴11n n a a +-11a =，∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列，∴1(1)1n n =+-⨯=，2n a n ∴=．故选：B ．9．（5分）已知0.40.8a =，0.80.4b =，8log 4c =，则( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【解答】解：根据题意，20.4540.8()5a ==，40.8520.4()5b ====，842log 483lg c lg ===== 又由16321662524325<<， 故有b c a <<； 故选：D ．10．（5分）青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为( )A ．25B ．35C ．15D ．215【解答】解：现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，基本事件总数113221354353132222()150C C C C C C n A A A =+=， 恰好有2名大学生分配去甲学校包含的基本事件个数2212531260m C C C A ==， ∴恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为6021505m P n ===． 故选：A ．11．（5分）已知点P 在椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>上，点P 在第一象限，点P 关于原点O的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆Γ的另一个交点为B，若PA PB⊥，则椭圆Γ的离心率(e=)A ．12B．2C．3D．3【解答】解：设(P x，)y由题意可得(A x-，)y-，(Q x，)y-，由34PD PQ=可得(D x，0)2y-，所以0PAykx=，00024ADyy ykx x x-+==+设(,)B x y，则2200022000PB ABy y y y y yk kx x x x x x-+-==-+-，因为P，B在椭圆上，所以222222002211x ya bx ya b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减可得222222y y bx x a-=--，所以可得22PB ABbk ka=-所以222222411BPAB ADxb b bka k a k a y=-=-=-，因为PA PB⊥，则1AP PBk k=-，即2002004()1y xbx a y-=-，整理可得：224a b=，所以离心率222213114c c bea a a===-=-=，故选：C．12．（5分）已知关于x的不等式31xex alnxx--对于任意(1,)x∈+∞恒成立，则实数a的取值范围为()A．(-∞，1]e-B．(-∞，3]-C．(-∞，2]-D．(-∞，22]e-【解答】解：由题意可知，分离参数31xx e xalnx---，令31()xx e xf xlnx---=，由题意可知，()min a f x ，由31()x lnx e xf x lnx ---=，又1x e x -，所以313()3x lnx e xx lnx xf x lnx lnx-----==-，所以3a -， 故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知以20x y ±=为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为221123x y -= ． 【解答】解：由渐近线的方程以20x y ±=可以设双曲线的方程为：224x y λ-=，又过(4,1)，所以1614λ-=，可得3λ=，所以双曲线的方程为：221123x y -=；故答案为：221123x y -=．14．（5分）若函数cos ()sin x af x x +=在(0,)2π上单调递减，则实数a 的取值范围为 1a - ．【解答】解：22(cos )cos ()0sin x x a xf x sin x --+'=，即22sin cos cos 1cos 0x x a x a x ---=--，cos 1a x -，(0,)2x π∈，1cos ax -，由于1cos y x =-在(0,)2x π∈递减，最大值为(0)1y =-， 所以1a -， 故答案为：1a -．15．（5分）根据气象部门预报，在距离某个码头A 南偏东45︒方向的600km 处的热带风暴中心B 正以30/km h 的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，从现在起经过 9.14 小时后该码头A 将受到热带风暴的影响（精确到0.01)．【解答】解：设风暴中心最初在A 处，经th 后到达B 处．自B 向x 轴作垂线，垂足为C ． 若在点B 处受到热带风暴的影响，则450OB =，450，即22(600cos45)(600sin4530)450t ︒+︒-=； 式两边平方并化简、整理得22021750t t -+= 1025t ∴=-或1025+10259.14-≈，1025(1025)15210+--==9.14时后码头将受到热带风暴的影响，影响时间为10h ． 故答案为：9.14．16．（5分）在三棱锥S ABC -中，底面ABC ∆是边长为3的等边三角形，3SA =23SB =若此三棱锥外接球的表面积为21π，则二面角S AB C --的余弦值为 12- ．【解答】解：由题意得222SA AB SB +=，得到SA AB ⊥，取AB 中点为D ，SB 中点为M ，得到CDM ∠为S AB C --的二面角的平面角， 设三角形ABC 的外心为O '，则32333CO '==，3DO '， 球心为过M 的平面ABS 的垂线与过O '的平面ABC 的垂线的交点， 三棱锥外接球的表面积为2214OB ππ=，2214OB =， 3MB 32OM =，由132MD SA ==，所以tan 3ODM ∠=60ODM ∠=︒， 同理60ODO '∠=︒，得到120MDC ∠=︒， 由1cos 2MDC ∠=-，故答案为：12-三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4a =，tan tan tan tan A B c bA B c--=+． （1）求A 的余弦值； （2）求ABC ∆面积的最大值． 【解答】解：（1）tan tan tan tan A B c bA B c--=+． 所以sin sin sin sin cos cos sin sin sin cos cos A BC BA B A B C A B--=+，即sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin A B B A C BA B B A C --=+， 所以sin cos sin cos sin()sin sin sin A B B A A B BC C-+-=， 所以sin cos sin cos sin cos sin cos sin A B B A A B B A B -=+-， 所以1cos 2A =， （2）由（1）可知60A =︒，由余弦定理可得，2211622b c bc +-=所以22162b c bc bc +=+，故16bc ，当且仅当4b c ==时取等号，此时ABC ∆面积取得最大值1sin 60432bc ︒=．18．（12分）如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，L 分别为棱11A D ，11C D ，BC 的中点．（1）求证：AC QL ⊥；（2）求点A 到平面PQL 的距离．【解答】（1）证明：2222222112()()2222PQ QLa a a a PL +=⨯+⨯+==，PQ QL ∴⊥．11////AC AC PQ ，AC QL ∴⊥．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，(0D ，0，0)，(A a ，0，0)， 1(2P a ，0，)a ，1(2L a ，a ，0)，(0Q ，12a ，)a ， 1(2PQ a =-，12a ，0)，(0PL =，a ，)a -，1(2AL a =-，a ，0)，设平面PQL 的法向量为：(n x =，y ，)z ，则0n PQ n PL ==，可得：11022ax ay -+=，0ay az -=，可得：(1n =，1，1)，∴点A 到平面PQL 的距离1||32||3an AL d a n ===．19．（12分）已知抛物线2:2(0)y px p Γ=>的焦点为F ，P 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足(2FP =，3) （1）求抛物线Γ的方程；（2）已知经过点(3,2)A -的直线交抛物线Γ于M ，N 两点，经过定点(3,6)B -和M 的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．【解答】解：（1）由抛物线的方程可得焦点(2p F ，0)，满足(2FP =的P 的坐标为(22p+，，P 在抛物线上，所以22(2)2pp =+，即24120p p +-=，0p >，解得2p =，所以抛物线的方程为：24y x =；（2）设0(M x ，0)y ，1(N x ，1)y ，2(L x ，2)y ，则2114y x =，2224y x =， 直线MN 的斜率10102210101044MN y y y y k y y x x y y --===--+， 则直线MN 的方程为：200104()4y y y x y y -=-+，即01014x y y y y y +=+①， 同理可得直线ML 的方程整理可得02024x y y y y y +=+②，将(3,2)A -，(3,6)B -分别代入①，②的方程可得01010202122126y y y y y y y y +⎧-=⎪+⎪⎨+⎪-=⎪+⎩，消0y 可得1212y y =，易知直线124NL k y y =+，则直线NL 的方程为：211124()4y y y x y y -=-+， 即1212124y y y x y y y y =+++，故1212412y x y y y y =+++， 所以124(3)y x y y =++， 因此直线NL 恒过定点(3,0)-．20．（12分）有人收集了某10年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的总和）与某种商品的销售额的相关数据：且已知1380.0i i x ==∑（1）求第10年的年收入10x ；（2）若该城市居民收入x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程363ˆˆ254yx a=+ ()I 求第10年的销售额10y ；（Ⅱ）若该城市居民收入达到40.0亿元，估计这种商品的销售额是多少？（精确到0.01)附加：（1）在线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆni i i nii x yn xy b xnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =- （2）1022110254.0ii x x =-=∑，9112875.0i i i x y ==∑，91340.0i i y ==∑．【解答】解：（1）因为101380.0i i x ==∑，所以10323133363738394345380x +++++++++=，所以1046x =； （2）()I 由题意可知，101380381010ii xx ====∑，10102530343739414244483401010y y y ++++++++++==， 因为363ˆˆ254yx a=+且1221ˆni i i nii x yn xyb xnx ==-=-∑∑，所以10103401287546103836310254254y y ++-⨯⨯=，解得1051y =，所以第10年的销售额1051y =； （Ⅱ）因为1051y =，所以3405139.110y +==， 因为ˆˆa y bx =-，所以363ˆ39.13815.21254a =-⨯≈-，所以线性回归方程为363ˆ15.21254yx =-， 由题可知，40x =，将其代入线性回归方程有363ˆ4015.2141.96254y=⨯-≈． 故估计这种商品的销售额是41.96万元．21．（12分）（1）证明函数2sin 2cos x y e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增；（2）证明函数()2sin xe f x x x=-在(,0)π-上有且仅有一个极大值点0x ，且00()2f x <<．【解答】解：（1）求导，2cos 2(cos sin )2sin 4cos x x y e x x x x e x x x '=---=+-，(,)2x ππ∈--，因为0x e >，2sin 0x x >，4cos 0x ->，故0y '>， 函数y 在定义区间递增；（2）由22(1)2cos ()x e x x xf x x--'=， 令2()(1)2cos x g x e x x x =--，()(2sin 4cos )x g x x e x x x '=+- 当(,)2x ππ∈--，由（1）得()0g x '<，()g x 递减，由2()(1)022g e πππ--=--<，()8(1)0g e πππ--=-+>，根据零点存在性定理，存在唯一零点0(,)2x ππ∈--，0()0g x =，当0(,)x x π∈-时，()0g x >，()f x 递增； 当0(x x ∈，)2π-时，()0g x <，()f x 递减，当(2x π∈-，0)时，2(1)()2cos 0x e x f x x x -'=-<，所以()f x 递减， 故()f x 在0(x ，0)为减函数， 所以()f x 有唯一的极大值点0x ，由()f x 在0(x ，)2π-递减，得2021()()220222ef x f e πππππ->-=+=-+>-， 又000()2sin x o e f x x x =-，当0(,)2x ππ∈--时，0(1,0)o x e x ∈-，002sin 2x <-<， 故0()2f x <，综上，命题成立．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5cos (4sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线22:4cos 30C ρρθ-+=． （1）求曲线1C 的一般方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）若点P 在曲线1C 上，点Q 曲线2C 上，求||PQ 的最小值．【解答】解：（1）曲线1C 的参数方程为5cos (4sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数），转换为直角坐标方程为：2212516x y +=． 曲线22:4cos 30C ρρθ-+=．转换为直角坐标方程为22430x y x +-+=，整理得22(2)1x y -+=．（2）设点(5cos ,4sin )P θθ在曲线1C 上，圆心(2,0)O ，所以：||PO = 当cos 1θ=时，||3min PO =， 所以||PQ 的最小值312-=．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 23．已知函数()|2||1|f x x a x a =-+-+． （1）当4a =时，求解不等式()8f x ；（2）已知关于x 的不等式2()2a f x 在R 上恒成立，求参数a 的取值范围．【解答】解：（1）当4a =时，()|24||3|f x x x =-+-，()i 当3x 时，原不等式可化为378x -，解可得5x ，此时不等式的解集[5，)+∞；()ii 当23x <<时，原不等式可化为2438x x -+-，解可得59x ，此时不等式的解集∅；()iii 当2x 时，原不等式可化为378x -+，解可得13x -，此时不等式的解集(-∞，1]3-，综上可得，不等式的解集[5，)(+∞-∞⋃，1]3-，（2）()i 当112a a -=即2a =时，2()3|1|22a f x x =-=显然不成立， ()ii 当112a a ->即2a >时，1321,21()1,12321,1x a x a f x x a x a x a x a ⎧-+-⎪⎪⎪=-<<-⎨⎪-+-⎪⎪⎩，结合函数的单调性可知，当12x a =时，函数取得最小值11()122f a a =-，若2()2a f x 在R 上恒成立，则211122a a -，此时a 不存在，()iii 当112a a -<即2a <时，321,11()1,121321,2x a x a f x x a x a x a x a ⎧⎪-+--⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪-+⎪⎩若2()2a f x 在R 上恒成立，则211122a a -，解可得21a -，此时a 的范围[2-，1]， 综上可得，a 的范围围[2-，1]．。

名校联盟2020届高三数学下学期尖子生3月调研考试试题理（含解析）一､选择题1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解指数不等式求得集合，解对数不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.【详解】，，所以.故选：C．【点睛】本小题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2.（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的模、除法运算化简所求表达式.【详解】.故选：A．【点睛】本小题主要考查复数的模和除法运算，属于基础题.3.已知a，b都是实数，那么“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用对数函数的单调性解不等式得到，取特殊值得到，从而得到“”是“”的充分不必要条件.【详解】因为，所以根据不等式的性质得到：即反过来，因为当时，的值没有意义，所以则“”是“”的充分不必要条件故选:A【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的证明，属于基础题.4.的展开式中的系数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用乘法分配律以及二项式展开式的通项公式，求得展开式中的系数.【详解】的展开式中，的系数分别为，所以的展开式中的系数为.故选：D．【点睛】本小题主要考查二项式展开式通项公式的运用，属于基础题.5.已知椭圆的离心率与双曲线的离心率的一个等比中项为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据等比中项的性质列方程，化简后求得，进而求得双曲线的渐近线方程.【详解】由题意得，所以，，所以双曲线渐近线方程为.故选：D．【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查椭圆和双曲线的离心率，考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题. 6.函数在上是减函数，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求得的单调减区间，根据在上是减函数，求得，由此求得的取值范围.【详解】的递减区间是，又，，所以，所以，所以.故选：B．【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性，属于基础题. 7.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】运行程序进行计算，当时结束循环，输出.【详解】第一次循环，，；第二次循环，，；第三次循环，，，结束循环，故输出的值为．故选：D．【点睛】本小题主要考查根据循环结构程序框图计算输出结果，属于基础题.8.一底面半径为的圆柱形封闭容器内有一个半径为的小球，与一个半径为的大球，则该容器容积最小为（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】画出容器容积最小时几何体的截面图，由此计算出此时容器的高，进而求得该容器容积的最小值.【详解】当容器容积最小时，两个球相外切，且分别与两个底面相切，小球与容器的侧面相切，此时容器的高为（其中表示如图的直角边的长），所以该容器容积最小值为.故选：C．【点睛】本小题主要考查与球有关的几何体体积最小值的计算，考查空间想象能力，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.9.已知正项数列的前项和为，且成等比数列，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据递推关系式证得为等差数列，由此求得，结合成等比数列列方程，求得，由此求得的值.【详解】由得，所以为等差数列，且公差，所以，，由成等比数列，得，所以，，.故选：A．【点睛】本小题主要考查根据等比中项的性质，考查的运用，属于中档题.10.已知点是椭圆上的两点，且线段恰为圆的一条直径，为椭圆上与不重合的一点，且直线斜率之积为，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意知点关于原点对称，设出的坐标并代入椭圆方程，利用直线斜率之积为列方程，化简后求得，由此求得椭圆离心率.【详解】由题意知点关于原点对称，设，则，设，由，相减得，所以，所以，椭圆的离心率为.故选：D．【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.11.已知圆与轴切于点，与轴正半轴交于点，且，设点是圆上与点不重合的点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设出圆的方程，根据圆与轴相切于点以及求得圆的半径，由此求得圆的方程，进而求得的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算化简，由此求得的取值范围.【详解】由题意，设圆方程为，则，，所以，圆方程为，可得，，设则.故选：D．【点睛】本小题主要考查圆的标准方程的求法，考查向量数量积的坐标运算，属于中档题.12.已知函数的图象与的图象在有个交点，分别记作则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】判断出和的图象都关于对称，结合两个函数图象求得的值，根据对称性求得.【详解】，由是奇函数，可得图象关于点对称，的图象也关于点对称，函数的图象与的图象在有个交点，其中个为，其余对关于点对称，所以，，所以.故选：C．【点睛】本小题主要考查函数图象的对称性，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三､填空题13.已知正数满足约束条件则的最大值为______．【答案】【解析】【分析】画出可行域，平移基准直线到可行域边界点位置，由此求得的最大值.【详解】作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，其中，设，则，平移直线至经过点时，直线的纵截距最大，所以．故答案为：【点睛】本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.14.已知数列满足，，则______．【答案】【解析】【分析】根据递推关系式证得数列是等比数列，由此求得的值.【详解】由得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，．故答案为：【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，属于基础题.15.在中，内角内角所对的边分别为，若，且，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理、两角和的正弦公式化简已知条件，求得的值，进而求得，利用正弦定理将表示为角的形式，结合三角函数值域的求法，求得的取值范围.【详解】由得，因为，所以，，所以，所以，因为，所以，，，的取值范围是．故答案为：【点睛】本小题主要考查利用正弦定理进行边角互化，考查利用三角函数的值域来求解边的取值范围，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.16.已知则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】利用导数判断出在上的单调性，由此化简不等式，求得不等式的解集.【详解】当时，，所以在上是增函数，且，所以或．故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数不等式的求法，属于中档题.三､解答题17.已知数列，满足，，且是等差数列．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）．（2）【解析】【分析】（1）求得数列的公差，由此求得数列的通项公式，进而求得的通项公式.（2）利用裂项求和法求得数列的前项和．【详解】（1）设等差数列的公差为，由，，得，所以，所以，．（2）因为，所以．【点睛】本小题主要考查等差数列基本量的计算，考查裂项求和法，属于基础题.18.经十三届全国人大常委会第五次会议表决通过了新个税法，新个税法规定：居民个人的综合所得，以每一纳税年度的收人额减除费用六万元以及专项扣除､专项附加扣除和依法确定的其他扣除后的余额，为应纳税所得额．某公司下属分公司有名员工，把这名员工2020年1月份的工资(把月工资额减去元作为应纳税所得额)编成如图的茎叶图(单位：百元)（1）求这名员工中需缴纳个人所得税的员工的2020年1月份的工资(单位：百元)的中位数；（2）若从月应纳税超过百元的员工中选名参加个税法宣传活动，用表示所选员工中女员工的人数，试写出的分布列，并求的数学期望．【答案】（1）．（2）分布列见解析，期望为【解析】【分析】（1）先根据茎叶图判断出需纳税的人数，再求得中位数.（2）利用超几何分布分布列计算公式，计算出分布列，并求得数学期望.【详解】（1）根据茎叶图可知：月工资在元以上的员工需缴纳个人所得税，共人，这人月工资的中位数为百元.（2）月工资超过百元的员工年度应纳税超过百元，有人，其中女员工人，所以的取值依次为．，，，．所以的分布列为．【点睛】本小题主要考查根据茎叶图求中位数，考查超几何分布的分布列和数学期望的求法，考查生活中的数学应用，属于中档题.19.如图所示，在三棱锥中，，，，点为中点．（1）求证：平面平面；（2）若点为中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）答案见解析．（2）【解析】【分析】（1）通过证明平面，证得，证得，由此证得平面，进而证得平面平面.（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出平面与平面所成锐二面角的余弦值.【详解】（1）因为，所以平面，因为平面，所以．因为，点为中点，所以．因为，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）以点为坐标原点，直线分别为轴，轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，设平面的一个法向量，则即取，则，，所以，设平面的一个法向量，则即取，则，，所以，设平面与平面所成锐二面角为，则．所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.已知焦点为的抛物线与圆交于点．（1）求抛物线的方程；（2）在第一象限内，圆上是否存在点，过点作直线与抛物线交于点(为第四象限的点)，与轴交于点，且以点为圆心的圆过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）．（2）不存在，理由见解析．【解析】【分析】（1）根据在抛物线和圆上，求得的值，由此求得抛物线的方程.（2）假设存在点，根据圆的几何性质得到，点为线段中点.设出直线的方程，由此写出直线的方程，分别与圆的方程联立，求得两点的坐标，进而求得点的坐标，根据的纵坐标为零列方程，由此判断出符合条件的点不存在.【详解】（1）由抛物线与圆交于点，点在圆上，即，可得，又在抛物线上，则，解得，所以抛物线的方程为．（2）假设存在点，以点为圆心的圆过点，则，点为线段中点，由题意知，直线的斜率存在且大于，设的方程为，则的方程为，又圆方程为，由得，所以得，由得，所以得，因为点为线段中点，所以，整理得，符合条件的不存在，所以满足条件的点不存在．【点睛】本小题主要考查抛物线的方程和圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题. 21.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）判断方程在上的实根个数；【答案】（1）答案见解析．（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求得的定义域和导函数，由此判断出的单调性.（2）利用的最小值判断出，对分成三种情况进行分类讨论，结合，判断出方程在上的实根个数.【详解】（1）的定义域为.由，得，所以当时，减函数；当时，是增函数．（2）由（1）知，，由，得，所以．①若，由可得在上没有实数根；②若，由可知，在上有个实数根；当时在上是减函数，在上是增函数，由，，可得在上有一个实根，又设，则，所以在上是增函数，所以，所以，，所以在上有个实根，综上可得，若，在上没有实数根；若，在上有个实数根；若时在上有个实根．【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究方程的根，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，点是曲线上的动点，点在延长线上，且．（1）求点轨迹的参数方程；（2）以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线(与原点不重合)的交点分别为，求．【答案】（1）(参数)．（2）【解析】【分析】（1）由得，设，则，将点坐标代入曲线的参数方程，化简后求得的轨迹的参数方程.（2）将参数方程消参，求得其对应的直角坐标方程，转【详解】（1）由点在延长线上，且，可得，设，则，由点是曲线上动点，可得即所以点轨迹的参数方程为(为参数)．（2）因为曲线的参数方程分别为消去参数，得曲线的直角坐标方程分别为，，由，，得曲线的极坐标方程分别为，，所以，，所以．【点睛】本小题主要考查代入法求轨迹方程，考查利用极坐标的几何意义求弦长，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.23.已知．（1）若，求不等式的解集；（2）若存在，对任意恒有，求实数的取值范围．【解析】【分析】（1）当时，利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此求得出不等式的解集.（2）先求得的最小值为，利用基本不等式求得，依题意得到，解绝对值不等式求得的取值范围.【详解】（1）当时，当时，由得，所以，当时，由得，所以，当时，由得，所以，综上得的解集为．（2）因为，当时取等号，．则，，即所以实数的取值范围是．【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式能成立、恒成立问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.名校联盟2020届高三数学下学期尖子生3月调研考试试题理（含解析）一､选择题1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解指数不等式求得集合，解对数不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.【详解】，，所以故选：C．【点睛】本小题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2.（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的模、除法运算化简所求表达式.【详解】.故选：A．【点睛】本小题主要考查复数的模和除法运算，属于基础题.3.已知a，b都是实数，那么“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用对数函数的单调性解不等式得到，取特殊值得到，从而得到“”是“”的充分不必要条件.【详解】因为，所以根据不等式的性质得到：即反过来，因为当时，的值没有意义，所以故选:A【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的证明，属于基础题.4.的展开式中的系数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用乘法分配律以及二项式展开式的通项公式，求得展开式中的系数.【详解】的展开式中，的系数分别为，所以的展开式中的系数为.故选：D．【点睛】本小题主要考查二项式展开式通项公式的运用，属于基础题.5.已知椭圆的离心率与双曲线的离心率的一个等比中项为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据等比中项的性质列方程，化简后求得，进而求得双曲线的渐近线方程.【详解】由题意得，所以，，所以双曲线渐近线方程为.【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查椭圆和双曲线的离心率，考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题.6.函数在上是减函数，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求得的单调减区间，根据在上是减函数，求得，由此求得的取值范围.【详解】的递减区间是，又，，所以，所以，所以.故选：B．【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性，属于基础题.7.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. B.C. D.【解析】【分析】运行程序进行计算，当时结束循环，输出.【详解】第一次循环，，；第二次循环，，；第三次循环，，，结束循环，故输出的值为．故选：D．【点睛】本小题主要考查根据循环结构程序框图计算输出结果，属于基础题.8.一底面半径为的圆柱形封闭容器内有一个半径为的小球，与一个半径为的大球，则该容器容积最小为（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】画出容器容积最小时几何体的截面图，由此计算出此时容器的高，进而求得该容器容积的最小值.【详解】当容器容积最小时，两个球相外切，且分别与两个底面相切，小球与容器的侧面相切，此时容器的高为（其中表示如图的直角边的长），所以该容器容积最小值为.故选：C．【点睛】本小题主要考查与球有关的几何体体积最小值的计算，考查空间想象能力，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据递推关系式证得为等差数列，由此求得，结合成等比数列列方程，求得，由此求得的值.【详解】由得，所以为等差数列，且公差，所以，，由成等比数列，得，所以，，.故选：A．【点睛】本小题主要考查根据等比中项的性质，考查的运用，属于中档题.10.已知点是椭圆上的两点，且线段恰为圆的一条直径，为椭圆上与不重合的一点，且直线斜率之积为，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意知点关于原点对称，设出的坐标并代入椭圆方程，利用直线斜率之积为列方程，化简后求得，由此求得椭圆离心率.，相减得，所以，所以，椭圆的离心率为.故选：D．【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.11.已知圆与轴切于点，与轴正半轴交于点，且，设点是圆上与点不重合的点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设出圆的方程，根据圆与轴相切于点以及求得圆的半径，由此求得圆的方程，进而求得的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算化简，由此求得的取值范围.【详解】由题意，设圆方程为，则，，所以，圆方程为，可得，，设则.故选：D．【点睛】本小题主要考查圆的标准方程的求法，考查向量数量积的坐标运算，属于中档题. 12.已知函数的图象与的图象在有个交点，分别记作则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】判断出和的图象都关于对称，结合两个函数图象求得的值，根据对称性求得.【详解】，由是奇函数，可得图象关于点对称，的图象也关于点对称，函数的图象与的图象在有个交点，其中个为，其余对关于点对称，所以，，所以.故选：C．【点睛】本小题主要考查函数图象的对称性，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三､填空题13.已知正数满足约束条件则的最大值为______．【答案】【解析】【分析】画出可行域，平移基准直线到可行域边界点位置，由此求得的最大值.【详解】作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，其中，设，则，平移直线至经过点时，直线的纵截距最大，所以．故答案为：【点睛】本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.14.已知数列满足，，则______．【答案】【解析】【分析】根据递推关系式证得数列是等比数列，由此求得的值.【详解】由得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，．故答案为：【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，属于基础题.15.在中，内角内角所对的边分别为，若，且，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理、两角和的正弦公式化简已知条件，求得的值，进而求得，利用正弦定理将表示为角的形式，结合三角函数值域的求法，求得的取值范围.【详解】由得，因为，所以，，所以，所以，因为，所以，，，的取值范围是．故答案为：【点睛】本小题主要考查利用正弦定理进行边角互化，考查利用三角函数的值域来求解边的取值范围，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.16.已知则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】利用导数判断出在上的单调性，由此化简不等式，求得不等式的解集.【详解】当时，，所以在上是增函数，且，所以或．故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数不等式的求法，属于中档题.三､解答题17.已知数列，满足，，且是等差数列．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）．（2）【解析】【分析】（1）求得数列的公差，由此求得数列的通项公式，进而求得的通项公式.（2）利用裂项求和法求得数列的前项和．【详解】（1）设等差数列的公差为，由，，得，所以，所以，．（2）因为，所以．【点睛】本小题主要考查等差数列基本量的计算，考查裂项求和法，属于基础题.18.经十三届全国人大常委会第五次会议表决通过了新个税法，新个税法规定：居民个人的综合所得，以每一纳税年度的收人额减除费用六万元以及专项扣除､专项附加扣除和依法确定的其他扣除后的余额，为应纳税所得额．某公司下属分公司有名员工，把这名员工2020年1月份的工资(把月工资额减去元作为应纳税所得额)编成如图的茎叶图(单位：百元)（1）求这名员工中需缴纳个人所得税的员工的2020年1月份的工资(单位：百元)的中位数；（2）若从月应纳税超过百元的员工中选名参加个税法宣传活动，用表示所选员工中女员工的人数，试写出的分布列，并求的数学期望．【答案】（1）．（2）分布列见解析，期望为【解析】【分析】（1）先根据茎叶图判断出需纳税的人数，再求得中位数.（2）利用超几何分布分布列计算公式，计算出分布列，并求得数学期望.【详解】（1）根据茎叶图可知：月工资在元以上的员工需缴纳个人所得税，共人，这人月工资的中位数为百元.（2）月工资超过百元的员工年度应纳税超过百元，有人，其中女员工人，所以的取值依次为．，，，．所以的分布列为．【点睛】本小题主要考查根据茎叶图求中位数，考查超几何分布的分布列和数学期望的求法，考查生活中的数学应用，属于中档题.19.如图所示，在三棱锥中，，，，点为中点．（1）求证：平面平面；（2）若点为中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）答案见解析．（2）【解析】【分析】（1）通过证明平面，证得，证得，由此证得平面，进而证得平面平面.（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出平面与平面所成锐二面角的余弦值.【详解】（1）因为，所以平面，因为平面，所以．因为，点为中点，所以．因为，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）以点为坐标原点，直线分别为轴，轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，设平面的一个法向量，则即取，则，，所以，设平面的一个法向量，则即取，则，，所以，设平面与平面所成锐二面角为，则．所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.已知焦点为的抛物线与圆交于点．（1）求抛物线的方程；（2）在第一象限内，圆上是否存在点，过点作直线与抛物线交于点(为第四象限的点)，与轴交于点，且以点为圆心的圆过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）．（2）不存在，理由见解析．【解析】（1）根据在抛物线和圆上，求得的值，由此求得抛物线的方程.（2）假设存在点，根据圆的几何性质得到，点为线段中点.设出直线的方程，由此写出直线的方程，分别与圆的方程联立，求得两点的坐标，进而求得点的坐标，根据的纵坐标为零列方程，由此判断出符合条件的点不存在.【详解】（1）由抛物线与圆交于点，点在圆上，即，可得，又在抛物线上，则，解得，所以抛物线的方程为．（2）假设存在点，以点为圆心的圆过点，则，点为线段中点，由题意知，直线的斜率存在且大于，设的方程为，则的方程为，又圆方程为，由得，所以得，由得，所以得，因为点为线段中点，所以，整理得，符合条件的不存在，所以满足条件的点不存在．【点睛】本小题主要考查抛物线的方程和圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.21.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）判断方程在上的实根个数；【答案】（1）答案见解析．（2）答案见解析。

∵ f (x) 在 (1, 2) 上单调递减，∴ x2 2 x1 ，即 x1 x2 2
设 2 ( x)
f
(x)
f (4 x)(1
x
4) ，2(x)
2 x
2 4x
2
2(x 2)2 x(4 x)
0
∴2 (x) 在 (1, 4) 上单调递增，∴ x (1, 2) ，2 (x) 2 (2) 0 ∴2 (x2 ) f (x2 ) f (4 x2 ) 0(1 x2 2) ，即 f (x2 ) f (4 x2 ) ∵ f (x2 ) f (x3) t ，∴ f (x3) f (4 x2 ) ，其中 x3 (2, ) ， 4 x2 (2,3)
1
1 1
2 n 1 2 n1
3 2
2n 3 2 n1
2
Hn
3
2n 3 2n
3 恒成立，得证.
19.（1）由题意可得，焦点 F ( p , 0), p 0 ，则 2
d1
3 p 2 2 5
3
p 2
2 5
, d2
p, d1 d2
3 p 2 2 5 p
1 2
解得 p 2 .抛物线 C 的标准方程为 y2 4x
一、选择题 题号 答案
宜昌市 2020 届高三年级 3 月线上统一调研测试
理科数学参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABDCCDADCBAC
二、填空题
13.135
14. 3 2
1
15.
2
16.
5 4
,
2 1
三、解答题
17.（1） ∵ AB AM AD 2 ， MB MD 2 2 ，
关于 ln(2 3) 3 3 0 的证明：

山东省六地市部分学校2020届高三数学3月线上考试试题注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必将自己的姓名、准考证号涂写清楚.2．第Ⅰ卷，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.第Ⅰ卷（非选择题 共60分）1、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}|2,0xA y y x -==<，12|B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则A B =A ．[)1,+∞ B. ()1,+∞ C. ()0,+∞ D. [)0,+∞2.设（为虚数单位），其中，是实数，则等于()()()2i 3i 35i x y +-=++i x y i x y +A ．5B ．．23.已知a,b 都是正数，则“”是 “”的3log 3log b a <333>>b a A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C. 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件4.甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知.3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名.若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是A.甲 B.乙 C.丙 D.无法预测5.《九章算术》是我国算术名著，其中有这样一个问题：今有碗田，下周三十步，径十六步，问为田几何？意思是说现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法，以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4,在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是A.B. C. D.1201544158156.若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是n x x ）（22-A.210 B.180 C.160 D.1757.泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征. 为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点处测得“泉标”顶端的仰角为，沿点向北偏东A 45 A 前进到达点，在点处测得“泉标”顶端的仰角为，则“泉标”的高度为30 100m B B 30 A. B. C. D. 50m 100m 120m 150m8.已知函数满足，且的图象交点)(x f 213)(,6)2()-2(--==++x x x g x f x f )()(x g x f 与为则的值为),,(),,(),,(882211y x y x y x 128128x x x y y y +++++++L L A.20 B.24 C.36 D.40二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面m 千米，远地点B （离地面最远的点）距地面n 千米，并且F 、A 、B 三点在同一直线上，地球半径约为R 千米，设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a 、2b 、2c ，则A.a -c =m +RB.a+c=n+RC.2a=m+nD.b=)(m R n R ++）（10.甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是红球，白球和321,,A A A 黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是A. P(B)=B. P 52115A |B 1=）（C. 事件B 与事件相互独立 D.、、两两互斥1A 1A 2A 3A 11.已知点P 是双曲线的右支上一点，为双曲线E 的左、右焦点，1916E 22=-y x ：21,F F 的面积为20，则下列说法正确的是21F PF ∆ A.点P 的横坐标为B.的周长为32021F PF ∆380C.D.的内切圆半径为321π小于PF F ∠21F PF ∆4312.已知正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，侧棱AA 1=1，P 为上底面A 1B 1C 1D 1上的动点，给出下列四个结论中正确结论为A.若PD=3，则满足条件的P 点有且只有一个B.若PD=，则点P 的轨迹是一段圆弧3C.若PD//平面ACB 1，则PD 长的最小值为2D.若PD//平面ACB 1，且PD=，则平面BDP 截正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的外接球所得平面3图形的面积为49π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量＝(1，＋1)，＝(，2)，若满足//，且方向相同，则＝ .x x x 14.已知 m 是2与8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是_____________.1x 22=-m y 15.对于函数f(x),若在定义域内存在实数满足，则称函数f(x)为0x )()(f 00x f x -=-“倒戈函数”，设是定义在[-1,1]上的“倒戈函数”，则)0,(123)(f ≠∈-+=m R m m x x 实数m 的取值范围是 .16. 已知函数是这两个函数图(),()0,,,f x x g x x A B C ωωω==>，其中象的交点，且不共线.①面积的最小值为 ;1ABC ω=∆当时，②若存在是等腰直角三角形，则的最小值为 .ABC ∆ω四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. （10分）数列).13(21}{321-=++++n n n a a a a a 满足：（1）求的通项公式；}{n a （2）若数列.T }{,3}{n 项和的前求满足：n b a b n b a n n n n =18. （12分）在锐角中，内角所对的边分别为.已知ABC ∆A B C ，，,,a b c sin b A .sin()3a B π=+（1）求角的大小；B （2）求的取值范围.a c19.（12分）如图，三棱柱中，，，平面平面.（1）求证：；（2）若，直线与平面所成角为，为的中点，求二面角的余弦值.20.（12分）为提高城市居民生活幸福感,某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少居民乘车候车时间.为此,该公司对某站台乘客的候车时间进行统计.乘客候车时间受公交车准点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响.在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下,乘客候车时间随机变量X 满足正态分布·在公交车准点率正常、交通拥堵情况N(μ,σ2)正常、非节假日的情况下,调查了大量乘客的候车时间,经过统计得到如图频率分布直方图.（1）在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组中的各个值，试估计μ，的σ2值；（2）在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，一次试验中，小概率事件是不能发生的.在交通拥堵情况正常、非节假日的某天，随机调查了该站的10名乘客的候车时间，发现其中有3名乘客候车时间超过15分钟，试判断该天公交车准点率是否正常，说明理由.(参考数据： ≈4.38， 19.221.4≈5.16，0.84137≈0.2898，0.84136≈0.3546，0.15873≈0.0040，0.1587426.6≈0.0006， ，，(+)0.6826P X μδμδ-<<=(2+2)0.9544P X μδμδ-<<=)(3+3)0.9973P X μδμδ-<<=21.（12分）已知抛物线为抛物线的焦点，焦点F 到直线F p px y C 点),0(2:2>=的距离为，焦点F 到抛物线0343=+-y x 1d 1223.5,d d C d =的准线的距离为且（1）抛物线C 的标准方程；（2）若在轴上存在点M ，过点M 的直线l 与抛物线C 相交于P ,Q 两点，x 且为定值，求点M 的坐标.2211|PM|||QM +22.（12分）已知函数).0(ln )(2≥+--=a x ax x x f （1）讨论函数的极值点的个数；)(x f （2）若函数有两个极值点)(x f .2ln 23)()(,,2121->+x f x f x x 证明：答案订正。