第三章 多元正态分布

的分布遵从非中心Wishart分布，记为 其中 时称为中心Wishart分布，记为
Wishart分布的基本性质：
1．设 是从P维正态总体
中随机抽取的n个样品,则样本离差阵
2．若
且相互独立，则
3．若
为非奇异矩阵，则
第六节
随机向量数字特征的上机实现
第四节 多元正态分布的参数估计 多元正态分布的参数估计.doc
第三节 多元正态分布的定义及基本性质
一、多元正态分布的定义
定义1：若p维随机向量
的密度函数为：
其中：
是p维均值向量，
是p阶正定阵，则称X服
从p元正态分布 ，记为：
当
当p等于1时，即为一元正态分布。
时，也有正态分布的定义。
二、多元正态变量的基本性质
1、若 是对角阵，则
相互独立。
2、
A为s×p阶常数阵，d为s维常数向量，则：
的分布称为t分布。记为 4. F分布 设随机变量 且x与y相互独立，则随机变量 服从自由度为（n，m）的F分布，记为
第二节 多元统计分析中的基本概念

一、随机向量及概率分布 （一）随机向量
的整体称为p维随机向量，记为：
将p个随机变量
在多元统计分析中，仍将所研究对象的全体称为总体。如果构成总体中的个
二、随机变量的数字特征 （一）离散型随机变量的数字特征
若X为离散型随机变量，其概率分布为 则X的数学期望（或称均值）和方差分别定义为：
（二）连续型随机变量的数字特征 若X为连续型随机变量，其密度函数为f（x），则X的数学期 望（或称均值）和方差分别定义为：
数学期望有如下的数学性质： 1.设C是常数，则E（C）=C 2.设X是随机变量，C是常数，则E（CX）=CE（X） 3.设X、Y是任意两个随机变量，则E（X+Y）=E（X）+E（Y） 4.设X、Y是两个相互独立的随机变量，则E（XY）=E（X）E（Y） 方差有如下数学性质： 1.设C是常数，则D（C）=0 2.设X是随机变量，C是常数，则D（CX）=C2D（X）
3、设X、Y是两个相互独立的随机变量，则D（X+Y）=D（X）+D（Y）
三、一些重要的一元分布 1.正态分布 连续型随机变量X的概率密度函数为：
则称X服从正态分布。
2.卡方分布 设X~N（0，1）， 服从自由度为n的 为抽自总体的一个样本，其平方和 分布，记为：
3.t分布 设x~N（0，1），
且x与y相互独立，则随机变量
2.随机向量的协方差矩阵 设 称
为X的方差阵或协差阵.
3.随机向量X和Y的协差阵
当X=Y时，即D(X)
4.随机向量的相关系数矩阵 若 相关阵为 的协差阵存在，且每个分量的方差都大于0，则随机向量的
5.协方差阵和相关系数矩阵的关系 设标准离差阵为 则： 协差阵有如下数学性质： 即X的协差阵为非负定阵。 对于常数向量a，有D（X+a）=D（X） 设A为常数矩阵，则 其中，a，A，B为大小 适合运算的常数向量和 矩阵。
因为：
样本离差阵的定义为：
因为：
样本协差阵定义为：
样本相关阵定义为：
其中：
三、 设 每个样品为：
的最大似然估计及基本性质
来自于正态总体 的样本（样本容量为n）， 样本资料阵为：
则用极大似然估计法可求出
的估计量：
的估计量同样具有以下的优良性质：
第五节
一、样本均值向量 （一）正态总体 设
的抽样分布
对随机向机向量，它的多元分布函数定义为： 记为 其中：
1、离散型随机向量的概率分布
定义：若 记 则称X为离散型随机向量，并称 为离散型随机变量X的概率分布。 它具有两个性质： 是p维随机向量，若存在有限或可列个p维随机向量 且
2、连续型随机向量的概率分布 定义：设 使得对一切 若存在一个非负函数 有：
值得注意的是： 1、多元样本中的每个样品，对p 个指标的观测值往往是有相关关 系的，但不同样品之间的观测值 一定是相互独立的。 2、多元分析所处理的多元样本观 测数据一般都属于横截面数据， 即在同一时间不同空间上的数据。
二、多元样本的数字特征
定义：设 为来自p元总体的样本，其中：
则：样本均值向量定义为：
即正态随机向量的线性函数还是正态的。
3、 ,将 做如下剖析：
则
多元分析中的许多方法，大都假定数据来自多元正态总体。但 要 判断已有的一批数据是否来自多元正态总体，是很困难的。可是 反过来要肯定数据不是来自多元正态总体，比较容易。即如果
则它的每个分量必服从一元正态分布，因
此把每个分量的n个样品值作成直方图，如果断定不是正态分布，就可以
则称X为连续型随机向量，称 它具有两个性质： 二、随机向量的数字特征 1.随机 向量的数学期望 设 若
为分布密度函数。
存在且有限，则称
为X的均值向量或数学期望
均值向量有以下性质： 1.E（AX）=AE（X） 2.E（AXB）=AE（X）B 3.E（AX+BY）=AE（X）+BE（Y） 其中：X、Y为随机变量，A、B为适合运算的常数矩阵。
1、离散型随机变量的概率分布 若随机变量X在有限或可列个值上取值，记
且 则称X为离散型随机变量，并称
为离散型随机变量X的概率分布。 它具有两个性质： 2、连续型随机变量的概率分布 对于随机变量X的分布函数， 一切实数x有： 则称X为连续型随机变量，称f（x）为X的分布密度函数。 它具有两个性质： 若存在一个非负函数f（x），使得对
体是由p个需要观测指标的个体，称这样的总体为p维总体，或p元总体。由 于从p维总体中随机抽到一个个体，其p个指标观测值是不能事先精确知道， 它依赖于被抽到的个体，因此，p维总体可用p维随机向量来表示，这里的维 或元表示共有几个分量。例如，要研究某类企业的三项经济效益指标，则所
有这类企业的三项经济效益指标就构成了一个三元总体。
断定随机向量 不服从正态分布。
第四节
多元正态分布的参数估计
一、多元样本的概念
多元分析研究的总体是多元总体，从多元总体中随机抽取n个个体： 若 相互独立，且与总体同分布，则称
为该总体的一个随机样本 。每个
称为一个样品，
为第a个样品对第j个指标的观测值，显然每个样品都
是一个随机向量，将n个样品对p个指标都进行观测，得到如下一个随机 矩阵（观测矩阵、样本资料阵）：
的分布
是从总体中抽到的一个样本，则样本均值
的分布服从正态分布，即

（二）非正态总体 中心极限定理： 是来自总体的一个样本，该总体有均值 和有限协方差阵
则当样本容量 n很大且 n相对于 p也很大时，样本平均数的分布近似于正态分布，
二、样本离差阵
Wishart分布
定义:设 维正态总体 则
的分布
分别来自于协方差阵相等的 p 维随机矩阵