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正态分布及其应用

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正态分布与应用

正态分布与应用

正态分布
© 2023 maxiaofeng
正态分布的性质是什么
正态分布的突出性质：
➢ 分布围绕平均值对称：一半的值低于平均值，一半高于平均值。
➢ 分布可以用两个值来描述：平均值和标准差。
➢ 平均值是位置参数，而标准差是刻度参数。
➢ 平均值确定曲线峰值的中心位置，增加均值使曲线向右移动，而减小均值使曲
要首先得到 z 值，z 值告诉我们 1380 与平均值相差多少个标准差。
公式
=
−μ

计算
=
1380−1150
150
当 z 为 1.53 时， 为 0.937，这是 SAT 分数为 1380
或更低的概率，要获得阴影区域的概率(面积)，需要从整体中
减去 0.937：
S（x > 1380） = 1 – 0.937 = 0.063
即在=μ这条直线左右两边的面积各为0.5，即S(＜μ)=S(＞μ)=0.5；
⑤当＜μ时，曲线上升(增函数)；当＞μ时，曲线下降(减函数)，并且
当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近;
⑥当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
⑦当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越尖削，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越平阔，
线向左移动。
➢ 标准差拉伸或挤压曲线。小的标准差导致窄曲线，而大的标准差导致宽曲线。
正态分布
© 2023 maxiaofeng
正态分布的特点
➢
➢
➢
➢
➢
➢
➢
➢
➢
①曲线位于轴上方，与轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称；
③曲线在=u处达到峰值；

正态分布及其应用医本

正态分布及其应用医本
二、正态分布的应用
表9-1 某地140名正常成年男性血清尿素氮浓度(mmol/L)
6.00
5.28
3.90
5.30
4.20
3.90
5.60
5.66
4.10
4.00
4.50
3.77
4.34
4.30
4.22
5.30
5.13
3.79
4.80
5.20
4.70
2.94
5.90
4.50
2.10
5.60
5.90
5.90
2.85
4.90
4.22
5.63
3.21
4.66
3.00
5.96
3.45
3.50
4.23
3.90
3.88
4.24
4.53
4.88
2.48
3.40
3.26
3.21
3.60
2.73
4.15
4.60
4.35
4.96
5.61
5.87
5.01
4.33
5.74
4.87
3.96
3.00
3.93
3.15
5.00
3、标准正态分布
正态分布的图形由 和 所决定，即N（ ， 2） 对上式进行 u 代换，即： 可使一般的正态分布转换为标准正态分布（u 分布），此时 N（0，1）。 x = 0 = 1
问题：为什么一般的正态分布要转换成标准正态分布？
01
表中曲线下面积为 - ~ u 的面积；即 P ( u) P299
第九章 数值变量资料的统计分析 第二节 正态分布及其应用
单击此处添加副标题
温医环境公卫学院黄陈平

正态分布及其应用

正态分布及其应用

Part
04
正态分布在金融领域的应用
资产收益率的正态分布假设
资产收益率的正态分布假设
在金融领域中，正态分布被广泛用于描述资产收益率的概率分布。这一假设基于大量历史 数据的统计分析，认为资产收益率的分布近似于正态分布。
中心极限定理
中心极限定理是正态分布假设的理论基础，它表明无论总体分布是什么，当样本量足够大 时，样本均值近似服从正态分布。
生物医学研究
在生物医学研究中，许多生理指 标和疾病发生概率的分布并不服 从正态分布，而是呈现出偏态分 布或泊松分布等其他类型。
正态分布在大数据时代的发展
01 02
机器学习算法的改进
随着机器学习算法的不断改进，正态分布在大数据时代的 应用场景将得到进一步拓展。例如，深度学习算法可以处 理大规模、高维度的数据集，并能够自动提取特征，从而 减少对正态分布假设的依赖。
参数估计
在正态分布假设下，可以使用历史数据估计资产的预期收益率和风险波动率等参数，为投 资决策提供依据。
VaR（风险价值）的计算
VaR（风险价值）定义
VaR是指在一定置信水平下，某 一金融资产或投资组合在未来特 定时间段内的最大可能损失。
VaR计算方法
基于正态分布假设，可以使用历 史模拟法、蒙特卡洛模拟法等计 算VaR。这些方法通过模拟资产 价格的随机变动，计算出在给定 置信水平下的潜在损失。
无法处理复杂数据
正态分布在处理具有复杂结构或非线性关系的数据时可能表现不佳， 无法准确描述数据的分布特性。
非正态分布的适用场景
金融领域
自然语言处理
在金融领域中，许多金融变量的 分布并不服从正态分布，而是呈 现出尖峰厚尾的特点。例如，股 票收益率、波动率等金融时间序 列数据的分布往往具有这些特征。

正态分布和其应用

正态分布和其应用
限和上限，即双侧界值；有些指标如
肺活量一般只以过低为异常，血铅以
过高为异常，只需要拟定下限或上限， 即单侧界值。
根据资料旳分布类型有下列两种计 算医学参照值范围旳常用措施。
➢正态近似法 合用于服从正态分布或近 似正态分布旳资料
➢双侧1 参照值范围
x u 2s➢单侧 1 源自照值范围x u s 或 x u s
或称 变换u 。
u x
• 实际应用中，经u 变换后，就可把 求解任意一种正态分布曲线下面积旳问 题，转化成原则正态分布曲线下相应旳 面积问题。附表1给出了原则正态分布 曲线下从 到 u旳面积，根据正态分布 旳对称性，我们能够求出任何一种区间 内原则正态分布曲线下旳面积，也就是
u 落在任何一种区间内旳概率。
1
2
exp(
(X )2 2 2
)
其中参数为均值， 为原则差，由此
决定旳正态分布记作 N (, 2 ) 。
正态分布概率密度曲线示意图
➢ 三．特征
➢ 正态分布是单峰曲线，形状呈钟型，中间高，两
端低，以 X 为对称轴，左右完全对称。
➢ 在 X 处，f ( X ) 取得最大值。
➢ 有两个参数：位置参数 和变异度参数 。 一定， 越大，数据越分散，曲线越平坦； 一
➢百分位数法 合用于偏态分布资料、分 布型未知旳资料以及分布末端有不拟定 值旳资料。
➢双侧95%参照值范围
P2.5 ~ P97.5
➢单侧95%参照值范围
P5 或 P95
• 根据正态 分布旳对称性知，外侧尾部面 积 u 2.21 与外侧尾部面积 u 2.21 相同，查附表1，得相应旳概率为0.0136， 体重在50kg以上旳12岁小朋友占1.36%。
第三节 医学参照值范围旳制定

第六章 正态分布及其应用

第六章 正态分布及其应用

一．正态分布
♦
正态分布（ 正态分布（normal distribution）也称
为常态分布， 为常态分布，是连续型随机变量概率分布的一 种，是在数理统计的理论与实际应用中占有最 重要地位的一种理论分布。 重要地位的一种理论分布。
♦
正态分布由棣．莫弗于1733年发现的。 正态分布由棣．莫弗于1733年发现的。拉 1733年发现的
无限延伸，但永不与基线相交。 无限延伸，但永不与基线相交。 差为１。从Ｚ＝－3至Ｚ＝＋3之间几乎分布着全 Ｚ＝－3 Ｚ＝＋3 部数据。 部数据。
♦
拐点为正负一个标准差处 ⑸．曲线的拐点为正负一个标准差处。 曲线的拐点为正负一个标准差处。
二．标准正态分布表及使用
1．标准正态分布表
♦
利用积分公式可求出正态曲线下任何
2σ 2
公式所描述的正态曲线， 两个参数决定。 公式所描述的正态曲线，由σ和μ两个参数决定。
2．标准正态分布曲线
将标准分数代入正态曲线函数 并且， 并且，令σ＝1 则公式变换为标准正态分布函数： 则公式变换为标准正态分布函数：
1 Y= ⋅e 2π
Z2 − 2
♦
以Ｚ为横坐标，以Ｙ 为横坐标，
为纵坐标，可绘制标准正 为纵坐标， 态分布曲线。 态分布曲线。
♦
标准正态分布曲线的
纵线高度Ｙ为概率密度， 纵线高度Ｙ为概率密度， 曲线下的面积为概率。 曲线下的面积为概率。
3．标准正态分布曲线的特点
♦ ♦ ♦ ♦
⑴．曲线在Ｚ＝０处达到最高点 曲线在Ｚ＝０ Ｚ＝ ⑵．曲线以Ｚ＝０处为中心，双侧对称 曲线以Ｚ＝０处为中心， Ｚ＝ ⑶．曲线从最高点向左右缓慢下降，向两侧 曲线从最高点向左右缓慢下降， 平均数为 ⑷．标准正态分布曲线的平均数为０，标准 标准正态分布曲线的平均数

正态分布及其在统计学中的应用

正态分布及其在统计学中的应用

正态分布及其在统计学中的应用正态分布，也被称为高斯分布或钟形曲线分布，是统计学中最为重要的概率分布之一。

它具有许多重要的性质，使其在统计学中得以广泛应用。

本文将介绍正态分布的定义及其性质，并阐述其在统计学中的重要应用。

一、正态分布的定义及性质正态分布是指在数理统计中，变量的分布呈钟形曲线，其概率密度函数具有如下的形式：f(x) = (1/σ√(2π)) * e^(-(x-μ)²/2σ²)其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数，μ和σ²分别表示分布的均值和方差。

正态分布具备以下重要性质：1. 对称性：正态分布呈现出关于均值的对称性，即其曲线在均值处达到峰值，两侧呈现对称的形态。

2. 稳定性：当若干个相互独立的随机变量服从正态分布时，它们的线性组合仍服从正态分布。

3. 唯一性：当均值和方差确定时，整个正态分布曲线也唯一确定。

二、正态分布在统计学中的应用1. 统计推断：正态分布广泛应用于统计推断中的参数估计和假设检验。

由于中心极限定理的存在，当样本容量较大时，许多统计量的抽样分布近似服从正态分布，从而使得我们能够基于正态分布的性质进行参数估计和假设检验的推断。

2. 质量控制：正态分布在质量控制中具有重要的应用。

通过对产品质量进行抽样检测，并基于正态分布的假设，可以进行合格品率和不合格品率的估计，进而进行质量控制决策。

3. 经济金融：正态分布在经济金融领域广泛用于建模和预测。

许多经济指标和金融资产的波动性往往能够通过正态分布来描述，例如股票收益率、汇率变动等。

4. 人口统计学：正态分布在人口统计学中应用广泛，例如身高、体重等指标常常能够通过正态分布进行描述和分析。

这种应用对于公共卫生、医学研究等领域具有重要意义。

5. 效应分析：在实验研究中，正态分布常用于描述实验处理的效应。

通过对实验样本数据进行分析，可以判断实验处理对于观测指标是否产生显著影响，以及这种影响的大小。

三、结语正态分布作为统计学中最重要的概率分布之一，具有许多重要的性质和应用。

正态分布及其应用

（2）正常值范围要与可信区间有交叉，
则漏诊和误诊都将不可避免。
本章重点
• 平均数的意义及其应用
• 离散趋势指标的意义及其应用
• 正态分布的概念、特征、转换与应 用。 • 正常值范围的意义和制定、应用的 注意事项。
• μ±1.96σ范围内的面积为95%
• μ±2.58σ范围内的面积占99%
正态分布的应用
• 正态分布的判断和检验：经验法和正
态性检验
• 描述正态分布资料的频数（频率）分
布范围
• 医学参考值范围的制定（后）
• 质量控制：
正态分布的应用
• 例：从某地随机抽取100名一年级男
大学生，测得平均身高为166.2cm， 标准差为5.3cm，现欲估计该地身高 界于低于160cm，身高高于180cm， 以及身高在165cm~175cm范围内的一 年级男大学生的比例和人数。
1 ( x ) 2 / 2 2 f ( x) e 2
则称x服从均数为μ，标准差为σ2的正态分布。
正态分布的特征
40 30
20
10
0
正态分布的特征
• 均数处最高 • 以均数为中心，两端对称 • 永远不与x轴相交的钟型曲线 • 有两个参数：均数——位置参数， 标准差——形状（变异度）参数。 • 正态曲线下的面积分布有一定规律 • 正态分布具有可加性
标准正态分布与正态分布的 转换
• 标准正态分布：指均数为0，标准差为1 的正态分布。常称z 分布或u分布。 • 标准正态分布与正态分布的转换公式：
z

X

即若x服从正态分布N（μ，σ2），则z就服 从均数为0，标准差为1的正态分布。
标准正态分布
Φ(u)
u

医学统计学. 正态分布及其应用

44
表4.6 参考值范围的制定
45

例4.24 某地调查正常成年男子200人的红 细胞数，得均数 X =55.26×1012/L，标准 差S=0.38×1012/L，试估计该地正常成年 男子红细胞数的95%参考值范围。
46
解：该地正常成年男子红细胞数的95%参考值范围为
下限：
X－1.96S =55.26 － 1.96×0.38=54.52(×1012/L)
生不同位置、不同形状正态分布， （x1，x2）范围内的面积也不同， 计算起来很麻烦。
22
三、标准正态分布 为了计算方便，对于正态或近似正态 分布的资料，只要得出均数和标准 差，可通过标准转化，转化成求标 准正态曲线下横轴自-∞到z的面积。 为了便于应用，统计学家按Φ(z)编 制了标准正态分布曲线下的面积表， 由此表可查出曲线下某区间的面积， 这样就可对符合正态分布资料的频 数分布作出估计。
曲线下在区间(μ－2.58σ，μ＋2.58σ)的面积为99%。
16
■μ士σ范围内的面积占正态曲线下面积的68.27％，也
就是说有68.27％的变量值分布在此范围内。
68.27%
-

+
17
μ士1.64σ范围内的面积占正态曲线下面积的90％，也就是 说有90％的变量值分布在此范围内。
90%
5%
线,近似于数学上的正态分布曲线。
7
一.正态分布的概念和特征
1.正态分布的概念
在医学卫生领域中，许多变量的频 数分布是中间(靠近均数处)频数多，两边 频数少，且左右对称。如人体的许多生 理、生化指标等。这种变量的频数分布 规律可用概率论中的一种重要的随机变 量分布—正态分布(Normal distribution)加 以描述。

正态分布及其应用

正态分布及其应用
主要内容
正态分布的概念和特征 标准正态分布 正态分布曲线下的面积 医学参考值范围 正态性判定
正态分布
正态分布（normal distribution）又称高斯 （Gauss）分布，是以均数为中心，左右两侧基 本对称的钟型分布。 越接近均数，频数分布越多，离均数越远，频数 分布越少。 正态分布是一种重要的连续型分布， 是许多统 计方法的理论基础。
正态分布的两个参数：μ和σ
μ是位置参数，用以描述正态分布的集中位置。
当σ恒定，改变μ，则曲线沿x轴平移，但形状不变， μ 越大，则曲线沿横轴越向右移动；μ 越小，则曲线 沿横轴越向左移动。
σ是变异度参数或形状参数，用以描述曲线的离 散程度。
当μ 恒定时，改变σ，则曲线的形状会发生变化，而 曲线的中心位置不变， σ越大，表示数据越分散，曲线越扁平，变异越大；σ 越小，表示数据越集中，曲线越陡峭，变异越小。
百分位数法确定参考值范围
当资料不能满足正态性要求时，可用百分位数法 按照下式估计参考值范围。 （P2.5，P97.5）（双侧） （ -∞， P95）或（P5，+ ∞）（单侧） 例：某市1974年为了解该地居民发汞的基础水 平，调查了留住该地一年以上，无明显肝、肾疾 病，无汞作业接触史的居民238人的发汞含量 （μmol/kg）：试估计该地居民发汞值的95%参考 值范围？
曲线下对称于0的区间，面积相等。区间 （-∞，-u）和区间（u，+∞）的面积相 等，因而附表2中只列出Φ(-u)的值， Φ(u)=1-Φ(-u)。 正态曲线下面积的计算公式为： P(u1 < U < u2) =Φ(u2) −Φ(u1)。
正态曲线下面积的分布规律
Φ(1.96)=1-Φ(-1.96)=1-0.025=0.975， 从u=-1.96到u=1.96的面积： P(-1.96<U<1.96) = Φ(1.96) -Φ(-1.96) =0.975-0.025=0.95

正态分布及其实际应用

正态分布及其实际应用正态分布是概率论和数理统计中最为重要的分布之一，广泛应用于各个领域，如物理学、化学、生物学、医学、社会科学等。

本文将介绍正态分布的概念、性质、实际应用及其意义。

1.概念$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}$x为随机变量，μ为均值，σ为标准差，e为自然对数的底数，π≈3.14。

2.性质（1）对称性：正态分布的概率密度函数关于均值轴呈对称分布，即在μ左右相同。

（2）峰度：正态分布的峰度为3，表示相对于正态分布而言，它的峰度较低、扁平。

（3）尾部：正态分布的尾部非常长，远远超过其他分布。

（4）标准正态分布：当μ=0，σ=1时，称为标准正态分布（Standard Normal Distribution），记作Z。

（5）标准化：任何正态分布都可以通过标准化将其转化为标准正态分布。

3.实际应用（1）自然科学领域：在自然科学领域，正态分布是最常见的分布之一，如测量误差、实验误差、天文观测误差等都可以用正态分布来描述。

（2）社会科学领域：在社会科学领域，正态分布被广泛应用于家庭收入、身高体重等数据分析中，也可以用来解释一些现象，如IQ分布、心理测试分数分布等。

（3）金融领域：在金融领域，正态分布所具有的对称性、峰度和长尾等特征，被广泛用来描述股价变动、货币汇率变动等现象。

（4）医学领域：在医学领域，正态分布被用来描述许多生理指标的分布，如体温、心跳率、血压等，也可以用来评估一些医学实验数据。

4.意义正态分布在统计学中占有着重要的地位，其背后有着深刻的意义。

正态分布可以看作是各种复杂过程的近似，而且许多自然界的随机现象都可以近似地看成正态分布。

通过对正态分布的深入研究，我们能够揭示自然界中普遍存在的规律，并开发出一系列实用的工具方法，如最小二乘法、置信区间、假设检验等。

正态分布被认为是统计学的基础和核心之一。

5.结论正态分布是一种非常重要的分布，具有对称性、峰度和长尾等特征，应用广泛。

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查表确定标准正态分布曲线下的面积时必须注意： （1）当μ，σ和X已知时，先按u变换公式求得u值， 再用u值查表； u=（X－μ）/ σ 当μ，σ和X未知时，用样本均数X和样本标准 差S代替求u值。
u
x x
s
（2）查表时，可以利用标准正态分布的两个 特征： a.曲线下对称于0的区间，面积相等； b.曲线下横轴上的总面积为100％或1。
异常
正常
正常
异常
正常 异常
异常
单侧下限
单侧上限
双侧下限
双侧上限
医学参考值范围制定的一般原则 （四）选定适当的百分界限
习惯上指正常人的80％、90％、95％、99％ （最常用是95％）。那么，在正常值范围之外的正 常人有： 单侧： 20％、 10％、 5％、 1％ 双侧每侧：10％、 5％、 2.5％ 0.5％ 根据所选定的百分界限，会造成假阳性（即误诊， 即将没有病的人当作有病）或/和假阴性（即漏诊， 将有病的人当作无病）
25.00 20.00 频率（%）
X=18.61
15.00
10.00
5.00
0.00 6～ 8～ 10～ 12～ 14～ 16～ 18～ 20～ 22～ 24～ 26～ 28～30
血清铁（μ mol/L）
图2-3 120名18-35岁健康男性居民血清铁含量频数分图
f (X ) f (X )
X
X
三．正态分布的特征
范围内曲线下的面积占总面积的99%。
四、正态分布的应用
制定医学参考值范围 误差分析和质量控制 观察结果常以 X±2S作为上、下警戒线，以 X±3S作为上、下控制线，进行误差分析和检测 的质量控制 是很多统计方法的理论基础 。t分布、F分布、 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分布 。
估计频数分布。
第二节 标准正态分布及其应用
上限值提高，假阳性减少（误诊减少）， 假阴性增多（漏诊增多）； 上限值降低，假阳性增多（误诊增多）， 假阴性减少（漏诊减少）
医学参考值范围制定的一般原则
（四）选定适当的百分界限 如何选定百分位数，以平衡假阳性和假阴性： （1）正常人的分布和病人的分布没有重叠，这是 只要求减少假阳性，则取99％较为理想。
f (X )
X
故正态分布有以下特征：
1、正态分布以均数为中心（X=μ），左右完全对 称； 2、正态曲线在横轴上方以均数（X=μ）处为最高 （均数处有最大值）； 3、正态分布的两个参数，即位置参数μ和形态参 数 （1）当 固定时，改变μ
不同均值（位置）正态分布示意图
（2）当μ固定时，σ变化
举例3-1,3-2 见课本 P31-32， 刘桂芬《医学统计学》第二版
二、
医学参考值范围的估计
医学参考值范围（Reference Range）：
指某群体“正常人”的解剖、生理、
生化等各种指标大多数个体值的波动范围。
医学参考值范围制定的一般原则 （一）抽取足够数量的同质“正常人”作为研 究对象 ； 1、“正常人”－－不是指任何一点小病都没有 的人，而是指排除了对研究指标有影响的疾 病或有关因素的人。 2、依据指标的性质判定是否需要分组 (1)从频数分布表，直接比较各组的分布范 围，高峰位置，分布趋势等是否相近，如相 近就合并，如差异明显，就分组。 (2)作两个或多个样本均数间比较，有差异 则分组，无差异则合并。 3、医学参考值范围制定所需的样本例数一般要 求 n>100。
不同标准差的正态分布示意图
4、正态曲线下面积的分布规律
正态曲线下的面积即为概率；其总面积为1或100% 。理 论上：

范围内曲线下的面积占总面积的68.27%；
1.645 范围内曲线下的面积占总面积的90%；
1.96
2.58
范围内曲线下的面积占总面积的95%；
医学参考值范围制定的一般原则
（二）对选定的正常人进行统一而准确的测定， 以控制误差。 1、测定的方法、仪器、试剂，操作的 熟练程度，方法的精确度均要统一； 2、要尽量与应用医学参考值范围时的 实际情况一致
医学参考值范围制定的一般原则
（三）选择单侧、双侧界值。 应根据专业知识确定是采用单侧还是 双侧医学参考值范围
医学参考值范围制定的一般原则 （四）选定适当的百分界限 如SGPT，正常值单侧95％上限为146单位 （King法）即0-146u 为正常值范围 . 假阳性(误诊): 按该范围，5％的正常人 （>146）被错判为异常.
假阴性（漏诊）: 而肝功能异常者中，也 可能有<146者，按该范围错判为正常。
医学参考值范围制定的一般原则 （四）选定适当的百分界限 如SGPT，正常值单侧95％上限为146单位 （King法）即0-146u 为正常值范围 .
如何选定百分位数，以平衡假阳性和假阴性： （2）正常人分布与病人分布有重叠
a.如需兼顾假阳性和假阴性，取95％较适当； b.如主要目的是减少假阳性（误诊）（如用于确定 病人或选定科研病例），宁取99％。 c.如主要目的是减少假阴性（漏诊）（如用于初筛 搜查病人），宁取80％或90％。
第三章 正态分布及其应用
(normal distribution
正态分布
一.概念
正态分布(Normal Distribution)又称高斯（Gauss）分布： 是指一种连续型随机变量的概率分布，它 是一种对称分布，以均数为中心，越接近 均数频数分布越多，越远离均数频数分布 越少。
二．正态分布图形
一、标准正态分布的概念
u=（X－μ）/σ 若X服从正态分布N（μ，σ2），经u =（X－μ）
/σ此变换后，则μ就服从均数为0，标准差为1的正态
分布，这种正态分布称为标准正态分布（standard normal distribution）。记作N(0，1)。
二、标准正态分布曲线下一定区间的面 积 标准正态分布曲线下的面积，通过 查表(附表1)代替计算确定正态分布曲线 下的面积。
正态分布曲线的密度函数
f (X )
1
2
e

( X )2 2 2
式中，有4个常数，μ为总体均数， 为总体 标准差， 为不确定的常数，称为正态分布的参数。由此决定 的正态分布记作 N(μ,σ2 )。

为圆周率，
e 为自然对数的底，其中μ、
仅 X 为随机变量。
正态分布曲线图形