应用参考6 可对角化矩阵的应用两例

附件：分类号O15商洛学院学士学位论文矩阵的可对角化及其应用作者单位数学与计算科学系指导老师刘晓民作者姓名陈毕专业﹑班级数学与应用数学专业07级1班提交时间二0一一年五月矩阵的可对角化及其应用陈毕（数学与计算科学系2007级1班）指导老师刘晓民摘要：矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义。

本文对可对角化矩阵做出了全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的求解方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂﹑利用特征值求行列式的值﹑由特征值和特征向量反求矩阵﹑判断矩阵是否相似﹑向量空间﹑线性变换等方面的应用.关键词：对角化；特征值；特征向量；相似；线性变换Matrix diagonolization and its applicationChen Bi(Class 1,Grade 2007,The Depart of Math and Calculation Science)Advisor:Lecturer Liu Xiao MinAbstract: Matrix diagonolization problem is an important problem in matrix theory diagonolization matrix, as a kind of special matrix, in theory and application has the extremely vital significance. This paper has made diagonolization matrix analysis and generalization, and using higher algebra and linear algebra are given the relevant theory of matrix several conditions diagonolization, also discussed the matrix of the diagonal shape of solving method, and finally summarized; diagonolization matrix in high power, the policy of using eigenvalue beg determinant by characteristic value and value, feature vector reverse matrix, judgment matrix is similar, vector Spaces, the application of linear transformation, etc.Key words: The diagonalization; Eigenvalue; Feature vector; Similar; Linear transformation引言所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似，而说线性变换是可对角化的指的是这个线性变换在某一组基下是对角阵（或者说线性变换在一组基下的矩阵是可对角化的），同样可以把问题归到矩阵是否可对角化。

矩阵交换性的应用（二）：同时对角化矩阵交换性的应用(二)1.设和都是维线性空间的线性变换，如果的个特征值互异，则的充要条件是的特征向量也是的特征向量.证明：充分性：若的特征向量也是的特征向量.那么取一组基使得：在这组基下的矩阵为对角阵，由于前提，所以在这组基下的矩阵也是对角阵，因此,所以可交换.必要性：由于的特征值互异，因此可对角化，设其在某一组基下的矩阵式是角阵,记在这组基下的矩阵为,因此有：但是由于的个特征值互异，我们将具体写出来和相乘，简单验证就会发现必须是对角阵，因此结论得证.2.设,且,且都可对角化，证明存在可逆矩阵使得同时为对角阵.证明：由于可对角化，因此存在可逆矩阵使得：而由于可对角化，因此它的所有初等因子都是一阶的，因此存在可逆阵使得,令为：所以：这时取：可逆，且：故可同时对角化！推论：设均为阶实对称阵. 证明:有阶正交阵 , 使与同时为对角矩阵的充分必要条件是 .练习1：设与是实正定矩阵,证明: 是正定矩阵的充要条件时.练习2：若都是复数域上的阶方阵，且(k为某个正整数)，则存在可逆矩阵使得,同时为对角阵.习题训练：目录●数分训练（一）解答及（二）预告●每日一题：数分训练（二）：上下极限●数分训练（三）：一道三角函数题目●数分训练（四）：数列与级数训练●数分训练（五）：定积分定义处理问题●数分训练（六）：一道中值定理的渐进形态●高代训练（一）：有限不覆盖定理●数分训练（八）：一道积分不等式●数分训练（九）：反正切函数的裂项●(十)：高代训练：迹的基本应用●（十一）：高代训练：正定矩阵习题●高代训练：矩阵交换性的应用（一）●Problem13：一道矩阵方程与特征多项式的关系。

矩阵的对角化及其在高等数学中的应用矩阵是高等数学中的基础概念之一，它在解决线性方程组和矩阵变换问题中具有重要作用。

在实际问题中，矩阵常常需要进行对角化处理，以便更方便地求解问题。

本文将介绍矩阵的对角化及其在高等数学中的应用。

一、什么是矩阵的对角化对角化是指将一个矩阵变换为对角形式的过程，使得矩阵的主对角线上为非零元素，而其余元素均为零。

举个例子，一个2×2的矩阵A可以进行对角化，其对角化后的形式可以写成：> P^-1 * A * P = D其中P是一个可逆矩阵，D为对角矩阵。

对角矩阵只有主对角线上有非零元素，其他位置都为零。

通过对角化，矩阵变得更加简单，容易处理。

二、如何进行矩阵的对角化对于一个n×n的矩阵A，要进行对角化处理，需要满足以下条件：1.矩阵A必须有n个线性无关的特征向量，这些特征向量组成的矩阵可以写成P=[v1，v2，···，vn]。

2.对于对角矩阵D，其主对角线上的元素必须是矩阵A的n个特征值。

基于这些条件，可以得到矩阵A的对角化公式：> P^-1 * A * P = D其中P=[v1，v2，···，vn]，D=[λ1，λ2，···，λn]为对角矩阵。

λ1、λ2···λn为A的特征值，v1、v2···vn为对应的特征向量。

三、高等数学中的应用在高等数学中，矩阵的对角化在求解一些实际问题中具有重要作用。

1. 矩阵的对角化在求解差分方程中的应用线性差分方程是数学中的一种经典问题。

对于一个n阶线性差分方程，其解法是先对其进行离散化处理，变成一个线性方程组。

接着，对该线性方程组进行矩阵形式的表示，就可以得到一个n×n矩阵。

通过矩阵的对角化，可以将线性方程组解放到主对角线上，从而得到差分方程的通解。

2. 矩阵的对角化在离散傅里叶变换中的应用离散傅里叶变换是一种将时域上信号变换为频域上信号的重要算法。

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基下的矩阵为 1






1






t




t
对角线上每个λi有xi个. 于是σ的特征多项式为
f ( x) = ( x - 1 )r1 ( x - 2 )r2 ( x - t )rt
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因此λ1,λ2 ,…,λt是它的全部互异的特征根， 均属于数域F，且λi的重数是ri, i=1,2, …,t
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例2 判断下列矩阵A能否与对角矩阵相似． 若能, 求出可逆矩阵T, 使T-1AT是对角形矩阵．
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要条件．对没有n个不同特征根的线性变换，要 判断它能否对角化，还需作进一步的讨论．
3. 线性变换可对角化的充要条件之二
定理6.5.3 如果λ1,λ2,…,λs 是线性变换σ的 s 个不同的特征根，而 ai1, …, airi 是σ的属于特征 根λi 的线性无关的特征向量, i = 1, 2, …, s. 那么, 向量组 a11 , …, a1r1 , a21 , …, a2r2 , …, as1 , …, asrs 线性无关．
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如果数域F上的n阶矩阵A可以对角化，那么对A 的每个特征根λi∈F，i=1,2, …, n.齐次线性方程 组(λiI-A)X=0的基础解系中的每个解向量都是A 的特征向量．设A有s个两两不同的特征根就求得 s个基础解系：T11, ,T1r1 , T21, ,T2r2 , Ts1, ,Tsrs 这s个基础解系中共含n个特征向量. 它们是线性 无关的. 把这n个特征向量Tij作为列, 按照λ1,λ2, …,λn的相应顺序拼成一个可逆矩阵T, 于是