可对角化矩阵的应用
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高教视野
GAOJIAO SHIYE • •
可对角代矩阵的应用
◎李俊1周文2 (1.国防科技大学文理学院，湖南长沙410072；
2.国防科技大学系统工程学院，湖南长沙410073)
!摘要】可相似对角化 在理论分析及 应用中都
十分重要.本文 个典型的应用 ， 可对角化矩
在求 数、 线性动力系统和微分方程组问题
的应用方法.!关键词】可对角化 ；谱分；应用
!基金项目】国科 学本科教育教学研究立项课
题(U2018005).
—弓| 言U阵也称为单纯矩阵,不仅在线性代数的理 论 中十分重要，而且 ：由特 特征向量反求矩阵、求矩阵多项式的行列式⑴、判断矩阵是否相似、计
方阵的幕、求斐波那契 项［2-3］等等.除了这些常规
夕卜,对于求解矩阵 、离 性 、微分方程
等问题， 涉及的矩阵是 矩阵时，这些问题也
是可以求解的.矩阵具有谱分解，该分解对相关的
理论分析都具有极为重要的意义. 矩阵的谱分
解定理［4］具 为:设#是一个" 矩阵，则存以#有2个 异特 11 =4,1 =1,此,#可相
.这两个特 的特征向量分别取为P1 =(1,
1) D,P2 =( -2,1) D,则
$ = (P1 ,P2 ) = ( 10
1)，
—1 ；)=(
&D
1 (—1 —2),
在可逆矩阵$和对角矩阵!= diag( 11 12…,1")，使得
< 11 0… 0、
A =$/l$_1 = (P1 ,P2 ,…,,P")0 12… 06
、0 0…1"丿、6丿$1 =P1 &D 二+ ( 1 2 )，$2 二卫
2 &D =
(P1，P
2) (
0 1)( 2)++卩
2.
由于 $1 =$1 ,$2 二 $2, $1 $2 =$2 $1 =0,因此，
A! =(4$1 +$2)! =4"$1 + $2( 1 2) +丄(2 #)
_ 3 1 2 3 -1 1 丿
=丄/4! +2 2 x4! -2\
-3 (
4!-1 2 x4! +1丿
，
/(A) =7( 11) $1 +/(1) $2 =(4) $1 ++(1) $2
=24$1 +3$2 =G0 14).A 二$!$-
=11P1 &D +心2 &D + …+5&D.将上式中 相同的放在一起，提出系数，则有
#=11 $1 +1 $2 + …+1$,其中11,1，…,1*是#祈有的互不相同的特征值.一
般地，设#的谱为.11,1，…，1,其中1的重数为!,则
存在唯一一组*个"阶方阵$1 ,$2 ,+•,$「 :
# i1 $1 +12 $2 + …+1$,,
其中 $2=$,$$=O('j),enk( $) =!,$ + $2 +…+ $* =(上述矩阵$称为#的谱分解的成分矩阵或主幕等
矩阵.二、应用举例
下 分别从求矩阵 、处理离 性 •系统
和求解微分方程 个方 论 矩阵的 .(一)计算矩阵函数7 #)
一般来说，求矩阵的高次幕比较困难.若矩阵#能相似
对角化，即存在可逆矩阵$,使得$##$=!,其中！是对角
阵，则# = ( $!$t )! =$!*$t .除了上述对角化的方法
外， 以利用谱分解来求#.首先可求到矩阵#的
谱分解 #=$!$# =11 $1 +12$2 + …+1$,于主幕等矩阵！ 交,因此，# =$!*$T =1$］ +1$2 +••• +1$*.
令 7 = c”+ +…+ L1 + +L,考虑矩阵函数7 #)=
C”#" + …+L1 # +L0(，则
7 #) =$(!) $# ==( 11 ) $1 ++( 1 ) $2 + …++(1) $*.
例 1 令# = ( 1 2)，/( + =+ +2+,求#!和/(#).
解 \AI-AI = 11-12 1—23 | = (1-4)( 1-1),注： 方不仅 来 矩阵 的矩
阵多项式，还可用来计算相应的矩阵函数，比如，eA, onA,
cost等等.
(二)离散线性动力系统
劳动力就业转移、污染水平与工业发展以及生物数学
中的 殖等问题 以转换为离 性
", =A"»_［进行描述，其中"，表示第！时间点的状态向量，
A表示状态转移矩阵.通过 ，有"，=A*"0.
问题的求解! 规的方 是先求解出 A !
"”. 不需要求出A， 把问题的解 出来.
这里考虑的 中仍 求A ，即存在可逆矩阵
$ =(P1』2 ,•••,”")以及 阵！ = diag( 1 ,1，…，1"),使
得A =$!$-1, A，=$!$7 .为$是可逆矩阵，所以
P1 ,P2，…,P"成"维向量空间的一组基,故初始向量"0 这一组基表示,即存在C = ( C1 , L，…,C" ) D ,使得"0 =
C［P［ +c2p2 + …+C"P" =$C,因此,",=A，"0 =$!$7($c)=
$! C = C111P1 + C212 ^2 + …+ C" 1"P".例2 (兔子 的 模型［5］)为了 息在某
地区的兔子和 ，用1" ,R分别表示第" 子和 的
数量.假设：没 子的出生率高于 率，即
有1" =1.21"# ；没有兔子作为食物时狐狸的死亡率超过出
生率，即有R =0. 6r_1 •而实际情况是狐狸总是要抓兔子
的，故兔子的数目影响着狐狸的生存，设R =0. 51"# + 0. 6r_1 ；并且狐狸的侵袭会造成兔子的损耗，设狐狸对兔子
的捕杀率为，,则1 = 1.21”_1 现在假定11 =1 000,
r =100，试讨论当捕杀率！ =0. 16 ，第" 和兔子的
数量.
解记"" = (；")
，A = ( 0. 0# )，则有
数学学习与研究
2020.5高教视野
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"/ =#"_% 二…=#/_1"% 申=2,3,….
矩阵#的特 项式为
IAZ-AI = 1 -1. 、! =12 -1.81+0.5!+0.72,0. 5 1 — 0. 6
则#的特 为1 = 0. 9 士 /0. 09-0.5!.当捕杀率
!=0, 16时,#的特 为1% =1,1 =0.8,对应的特征向量
分别取为P% =(4,5)D,p2 =(2,5)D,因此,#
4$ = ( P1 ,02)=( 5-5 -2)=&D)
,
$ t 1/20
$1 =p1 &1 =10 ( 25-10),$ =p2&D=命(-10 20
则# =P( 1 1)$T =11 $1 +1 $ ,
#_% =1%-% $% +1-% $2
=1 / 20-101/-
=10 (
25 -251/ —
/ -1"” =# "1-8 +81厂
-10+201；-
% /20-101；-
10(
25 -251/--8 + 81 % \( 1 000
-10+201厂)(
100
1 290 -9202/1 500 -5202/
此，当捕杀率!=0, 16时第/年兔子和狐狸的数量分
别是% =1 920 -9201；-1，兀=2 400 -2 3001厂.
事 ，当狐狸对兔子的捕杀率！过低时，兔子的
群体将无限发展，狐狸的群体也无限发展，这将是一种灾
! 捕杀率适中时(!=0, 16),兔子的群 狐狸的群体
将达到一个平衡.若狐狸对兔子的捕杀率过高，兔子将会灭
绝，狐狸也将会灭绝!这也是成语“兔死狐悲”的一个很好
的诠释.
(三)求解一阶常系数微分方程组(% -%),令x 二$*其中y 二(R%)•于是
字二 $_ 哼二 $_
% #x =$-1 #$* = ( 3 0 )* dt dt 0 1
从而dR = 3R1，~r+ =R2 ,其通解为 R1 =L> , R2 =L>.再
由x二$求得原微分方程组的解为
(12)=1 第仁)…1)+-(_%%)
(3t + > +q63t '代)，L% , L为任意常数.
12
注(1 )我们最后得到的解实际上可以表述为x =
qe11》％ +少12》2. (2)当系数矩阵不能相似对角化时，可以
矩阵相似于Jordan 形来求解,只是解的形式会
复杂些.
相 (或Jordan 形)的方法,我们不仅
能解一般的微分方程组， 求解一些 分方程.
例4求解二阶微分方程器+T牛+ey =0,其中
解令"=(1)
,则把书―—和殊孰在
一起改写成竽=(--')"•
令# = ( — T -C),则系数矩阵A的特征多项式为
- A I = |1 —%T 1 | =12 +b1 + c.
因此,矩阵#的两个特征值为：
1 - 1 + — -4c 1 - 1 - /1 -4c1 二 2 ，1 二 2 -
假设一阶常系数微分方程组d+=#1的系数矩阵#可
以 ，1% ,12，…,1”为#的全部特征值，相应的特征向
量为P1 ,p，…,
$ =(P%,%，…,p”),! =dmr(11,1，…，1”)，因为C#寺1,矩阵A有两个互不相同的特征值,此时
特 的特征向量为P1 =( 11, 1) D ,P2 =(1,1) D•则由
一 分方程解的一般形式
则A =$A$-•原微分方程组能表示成dt)二+ = c% e111^% +112»2+ /eA1t1%)+c2 e12t21)
dxd+PMT 宀+$- 1d+=A( $-% x),其中c%, C2为任意常数.因此，+ = C%eA1t +ce12t =
令y=P- 1 x,则警=!儿因此,其解的形式为
y = (R1 ,R，…,R”)D =(。亡小‘勺亡12,…，L”e>)t,
! =$* =( P1 ,P2，…,P”)儿故该微分方程组的通解形式为
x 二 C%>1JP1 +5>2》2 + …+L >”p” ,
其中L1心，…，L”为-1 +c1 e中 c1 c2 为
注 当C (+12时，我们可以利用Jordan标准形求得
例3解一阶线性常系数微分方程组=21% +1,
=1 1 + 212 .+ = (c% +| + e 1 ,其中c% , c为任意常数
三、小结
本文通过求解矩阵、离 形 、微分方程
等问题 了矩阵 方法的具 ， 学在
学习相关理论部分时参考,从而加深对矩阵理论的理解.
解 把微分方程组改写成矩阵形式0+=Ax,其中,
x 二11 dx1 丿，dt/ d1%、
dt # = (2 d12， _\1
< dt丿1
2)
方阵A的特征值为1% =3,1 =1 ,对应的特征向量取为
P1 = ( %,% ) D , P2 = ( % , - % ) D ,故相似变换矩阵 $ =!参考文献】
[1] 张正成•可对角化矩阵的应用[J] •科技资讯,2007
(24) ：252 -253.
[2] 志.线性代数精彩应用案例之一 [J] •大学数
学,2006(3) ：1 -8.
[3 ] Gilbert Strang. Introduction to lineaa algebra： 3th
Edition [ M ]. Massachusetts: Wellesley - Cambridge Press,
2009.
[4] 张跃辉•矩阵理论与应用[M] •北京：科学出版
社,2011.
[5] 谢政.线性代数[M] •北京：高等教育出版社,2012.
数学学习与研究2020.
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