北京科技大学量子力学考研真题

第 1 页, 共 1 页2012 年攻读硕士学位研究生入学考试试题 科目代码：×××科目名称：量子力学一、简答题（50分）（1）何谓微观粒子的波粒二象性？（2）分别说明什么是束缚态、简并态和负宇称态。

（3）波函数的物理意义是什么？它应满足什么条件？（4）物理上可观测量对应何种性质算符，为什么？（5）氢原子能量量子数 4n = 时，氢原子轨道角动量有哪些可能的取值和取向？二、（20分）质量为 m 的粒子在三维无限深势阱中运动，势阱箱的长、宽、高分别在0x a ≤≤，0y b ≤≤，0z c ≤≤ 区间，在势阱内势场为零。

（1）求粒子的波函数和能量可能值；（2）若 a b c ==，讨论系统第二、三激发的态简并度。

三、（20分）在磁场中运动的电子哈密顿量为 ˆˆz H S ω=，在 0t = 时电子处于2xS = 的状态，给出任意时刻的波函数及在此状态下测量得到 2z S =− 的概率。

四、（30分）ˆx σ、ˆy σ、ˆz σ 为泡利算符。

（1）在z σ表象中，求 ˆx σ和 ˆy σ 的归一化本征矢； （2）求算符 ˆ⋅σn 的归一化本征矢和本征值，其中 ˆσ 为 Pauli 矩阵，(cos ,cos ,cos )αβγ=n 为空间单位矢量；（3）在 ˆz σ本征值为 1 的态下，计算 ˆ⋅σn 的平均值 ⋅σn ； （4）在 ˆz σ本征值为 1 的态下，计算 2()x σ∆。

（5）证明 ˆi ˆe cos i sin z z λσλσλ=+； （6）证明 ˆˆi i ˆˆˆe cos e 2sin 2z z x x y λσλσσσλσλ−=−。

五、（30分）（1）若系统哈密顿量算符为 222ˆˆˆˆˆ()2x y z z H L L AL L =+++，在角动量算符 ˆzL 的本征态下，试求：（a ）系统的能量本征值；（b ）角动量算符 ˆxL 的平均值；（c ）角动量算符 ˆL沿矢量(cos ,cos ,cos )αβγ=n 投影的平均值 ⋅L n 。

量子力学考试题量子力学考试题（共五题，每题20分）1、扼要说明：（a ）束缚定态的主要性质。

（b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。

2、设力学量算符（厄米算符）∧F ，∧G 不对易，令∧K ＝i （∧F ∧G -∧G ∧F ），试证明：（a ）∧K 的本征值是实数。

（b ）对于∧F 的任何本征态ψ，∧K 的平均值为0。

（c ）在任何态中2F +2G ≥K3、自旋/2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为S H ??ω=∧H ＝ω∧z S +ν∧x S （ω，ν>0，ω?ν）（a ）求能级的精确值。

（b ）视ν∧x S 项为微扰，用微扰论公式求能级。

4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0<x</x5、某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。

已知单粒子“轨道”态只有3种：a ψ(→r )，b ψ(→r )，c ψ(→r )，试分别就以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目。

（i ）无自旋全同粒子。

（ii ）自旋 /2的全同粒子（例如电子）。

量子力学考试评分标准1、（a ），（b ）各10分（a ）能量有确定值。

力学量（不显含t ）的可能测值及概率不随时间改变。

（b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’）选择定则：l ?＝1±，m ?＝0,1±，s m ?＝0 根据：电矩m 矩阵元-e →r n’l’m’m s ’，n l m m s ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分（a ）∧K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。

（b ）∧F ψ＝λψ，ψ∧F ＝λψ K ＝ψ∧K ψ＝i ψ∧F ∧G -∧G ∧F ψ ＝i λ｛ψ∧G ψ-ψG ψ｝＝0 （c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧F 2+∧G 2-∧Kψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧F -i ∧G )ψ︱2≥0 ∴<∧F 2+∧G 2-∧K >≥0，即2F +2G ≥K 3、(a)，(b)各10分(a) ∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝2 ω［1001-］+2 ν［0110］＝2 ［ωννω-］∧H ψ＝E ψ，ψ＝［b a ］，令E ＝2λ，则［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λωννλω---︱＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22νω+，E 1＝-2 22νω+，E 2＝222νω+ 当ω?ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+2 22ων）＝ω+ων22E 1≈-2 ［ω+ων22］，E 2 ＝2［ω+ων22］（b ）∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝∧H 0+∧H’，∧H 0＝ω∧z S ，∧H ’＝ν∧x S∧H 0本征值为ω 21±，取E 1（0）＝-ω 21，E 2（0）＝ω 21相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2(0)＝[01 ]则∧H ’之矩阵元（S z 表象）为'11H =0，'22H =0，'12H ＝'21H ＝ν 21E 1＝E 1（0）+'11H +)0(2)0(12'21E E H-＝-ω 21+0-ων2241＝-ω21-ων241 E 2＝E2（0）+'22H +)0(1)0(22'12E E H -＝ω 21+ων2414、E 1＝2222ma π，)(1x ψ＝0sin 2a xa π a x x a x ≥≤<<,00x ＝dx x a ?021ψ＝2sin 202a dx a x x a a=?π x p ＝-i ?=a dx dx d011ψψ-i ?=aa x d a 020)sin 21(2π x xp ＝-i ??-=aaa x d a x x a i dx dx d x 0011)(sin sin 2ππψψ ＝-a a x xd a i 02)(sin 1π ＝0sin [12a a x x a i π --?adx a x 02]sin π＝0+?=ai dx ih 02122 ψ 四项各5分5、（i ），（ii ）各10分（i ）s ＝0，为玻色子，体系波函数应交换对称。

量子力学考研2021量子力学导论考研真题解析一、考研真题解析0粒子在势场（，）中运动，试用不确定关系估计基态能量。

[中国科学院2006研]【解题思路】利用不确定关系求解哈密顿量的最小值问题。

【解析】根据不确定原理有即因为所以只需要求解出的最小值就可以估计基态的能量。

令由得出所以基态能量为【知识储备】若[F，G]＝0，则算符F和G有共同的本征函数系；其逆定理也成立。

对易算符的性质：在F和G的共同本征函数系中测量F和G，都有确定值。

若[F，G]≠0，则有不确定关系或经常使用的关系式21设粒子所处的外场均匀但与时间有关，即，与坐标r无关，试将体系的含时薛定谔方程分离变量，求方程解的一般形式，并取，以一维情况为例说明V（t）的影响是什么。

[中国科学院2006研]【解题思路】理解记忆含时薛定谔方程和定态薛定谔方程，以及分离变量法在求解薛定谔方程时的应用。

【解析】根据含时薛定谔方程令带入可得即上式左边是关于时间t的函数，右边是关于坐标r的函数，因此令它们等于常数s，得和所以对于令所以因此当时，相对于一维自由平面波函数，使得波函数是自由平面波随时间做改变的形式。

【知识储备】 薛定谔方程：波函数随时间的变化规律由含时薛定谔方程给出当U （r →，t ）与t 无关时，可以利用分离变量法，将时间部分的函数和空间部分的函数分开考虑，y （r →）满足定态薛定谔方程此方程即是能量算符的本征方程。

其中，整个定态波函数的形式为一般情况下，若所求解能量的本征值是不连续的，则最后的波函数写成各个能量定态波函数的求和形式；如果能量是连续值，则相应的写成积分形式。

【拓展发散】当粒子所处的外场与时间和位置坐标都有关，即，可以利用题解相同的方式去探索波函数的具体形式，并且和定态以及只与时间有关的两种情形相比较，得出在这些不同情况下相应的势场函数的具体形式变化对波函数的影响。

22设U为幺正算符，若存在两个厄米算符A和B，使U＝A＋iB，试证：（1）A2＋B2＝1，且；（2）进一步再证明U可以表示成，H为厄米算符。

量子力学考试试题（附答案）1.束缚于某一维势阱中的粒子，其波函数由下列诸式所描述：()()()023cos 222ikx L x x x L L x Ae x L L x x ψπψψ=<-=-<<=>（a ）、求归一化常数A,（b ）、在x=0及x=L/4之间找到粒子的概率为何？ 解：（a ）由波函数的归一化条件()222222222331coscos 33cos cos 3cos 6cos 126sin 262ikx ikx ikx ikx LLx x x dx Ae Ae dx L Lx x A e e dxL L x A dx L A x dx L A L x x L A L ππψππππππ∞∞-∞-∞∞--∞∞-∞∞-∞-====⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰于是：A =(b)()224406sin 0.196926LL A L x x dx x L πψπ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰2、证明在定态中，概率流密度与时间无关。

证：对于定态，可令)]()()()([2 ])()()()([2 )(2 )( )()()(******r r r r mi e r e r e r e r m i mi J e r t f r t r Et i Et i Et iEt i Etiψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=ψ∇ψ-ψ∇ψ===ψ-----）（）（， 可见t J 与无关。

4、波长为1.0*10-12m 的X 射线投射到一个静止电子上，问在与入射光成60o 角的方向上，探测到散射光的波光为多少？解：由公式 22sin 2c θλλλ'-=其中：120 2.43102ch m m cλ-==⨯可得：1212212601.0102 2.4310sin 1.215102λλλ---''-=-⨯=⨯⨯⨯=⨯ 01212212601.0102 2.4310sin 1.215102λλ---'-=-⨯=⨯⨯⨯=⨯122.21510m λ-=⨯。

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2014年北京科技大学876量子力学考研真题
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2004年北京科技大学476量子力学B考研真题
2014年北京科技大学876量子力学考研真题
试题编号： 876
试题名称：　量子力学　
适用专业：物理学
一、多选题（每题2分，共40分，答案可能是一个，也可能是多个）：1．以下哪个波函数表示的质量为m的非相对性粒子具有较高的能量：______
A．
B．
C．
D．
2．以下哪些函数是奇函数：______
A．
B．
C．狄拉克德尔塔函数
D．狄拉克德尔塔函数的一阶导数
3．“*”是取复共轭运算，以下算式正确的是：______
A．。

量子力学和原子物理1.原子物理和量子力学有什么联系量子力学是研究微观粒子运动规律的物理学分支学科，它主要研究原子、分子、以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论，它与相对论一起构成了现代物理学的理论基础。

原子物理学是研究原子的结构、运动规律及相互作用的物理学分支。

它主要研究：原子的电子结构；原子光谱；原子之间或与其他物质的碰撞过程和相互作用。

原子物理是经典力学与量子力学之间的过渡，为了使人们更好地接受量子力学中的微观概念。

且原子物理主要为介绍实验事实，量子力学是更升入的学习。

2.定态薛定谔方程和一般的薛定谔方程的区别？定态薛定谔方程描述了给定确定值E的态。

3.薛定谔方程的适用范围？微观低速4.费米子，玻色子的区别？玻色子在物理上遵循玻色爱因斯坦统计分布，并有玻色爱因斯坦凝聚，其自旋为整数，波函数满足交换对称。

费米子遵循费米-狄拉克统计分布，并服从泡利不相容原理，其自旋为半整数，波函数满足交换反对称。

5.玻尔假设的不完善的地方是什么（缺点）？玻尔的定态假设包括哪些内容？*角动量取整数倍的假设生硬；无法解释简单程度仅次于氢原子的氦原子；对于氢原子的也只能解释谱系的分立不能解释其强度；6.康普顿散射和汤姆孙散射有什么区别？汤姆逊散射的本质为光和物质的相互作用。

当波长较短的电磁波照射到物质上时，其电场分量会使物质内的电子产生强迫振动，振动电子将向周围辐射电磁波，这种散射现象称为汤姆逊散射（弹性散射）。

康普顿散射：高能光子+非相对论物质汤姆逊散射：低能光子+非相对论自由带电粒子而布拉格散射是以原子对入射波的总散射为单元，被同一方向排列的一组晶面上的原子散射后，在一个满足布拉格条件（2dsinθ =nλ ）的角度，发生相干散射，强度叠加增强。

（与汤比作用对象不同）7.描述微观粒子需要几个量子数？分别代表什么？（1）主量子数n=1，2,3…代表电子运动区域的大小和它总能量的主要部分，前者按轨道的描述也就是轨道的大小。

《量子力学》试题(A) 答案及评分标准一、简答题（30分，每小题5分） 1．何谓势垒贯穿？是举例说明。

答：微观粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象，称为势垒贯穿。

它是一种量子效应，是微观粒子波粒二象性的体现。

例如金属电子冷发射、α衰变等现象都是由隧道效应产生的，利用微观粒子势垒贯穿效应的特性制造了隧道二极管。

2．波函数()t r ,ψ是应该满足什么样的自然条件？()2,t r ψ的物理含义是什么？ 答：波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。

()2,t r ψ表示在t 时刻r 附近τd 体积元中粒子出现的几率密度。

3．分别说明什么样的状态是束缚态、简并态、正宇称态和负宇称态？答：当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。

若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是本征值相应的简并度。

将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数一样，则称其为正宇称态；将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。

4．物理上可观测量应该对应什么样的算符？为什么？答：物理上可观测量对应线性厄米算符。

线性是状态叠加原理要求的，厄米算符的本征值是实数，可与观测值比较。

5．坐标x 分量算符与动量x 分量算符x pˆ的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。

答：对易关系为[] i ˆ,=x px ，测不准关系为2≥∆⋅∆x p x 6．厄米算符F ˆ的本征值nλ与本征矢n 分别具有什么性质？ 答：本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系二、证明题：（10分，每小题5分）（1）证明：i z y x =σσσˆˆˆ 证明：由对易关系z x y y x i σσσσσˆ2ˆˆˆˆ=-及反对易关系0ˆˆˆˆ=+x y y x σσσσ ，得z y x i σσσˆˆˆ=上式两边乘z σˆ，得2ˆˆˆˆz z y x i σσσσ= ∵ 1ˆ2=z σ ∴ i z y x =σσσˆˆˆ （2）证明幺正变换不改变矩阵的本征值。

北京科技大学2003——2004学年度第一学期量子力学与原子物理试题答案可能会有用的公式：薛定谔方程：ˆHi tψψ∂=∂一维定态薛定谔方程：()()()2222d V x x E x m dx ψψ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭动量算符：ˆpi x∂=∂高斯积分：2xe dx α∞--∞=⎰一。

[30分]一维无限深方势阱：质量为m 的粒子在一维无限深方势阱中运动，势阱可表示为：()()0;0,;0,x a V x x x a∈⎧⎪=⎨∞<>⎪⎩ 1。

[10分]求解能量本征值n E 和归一化的本征函数()n x ψ； 2。

[5分]若已知0t =时，该粒子状态为：())12,0()()x x x ψψψ=+，求t 时刻该粒子的波函数；3。

[5分]求t 时刻测量到粒子的能量分别为1E 和2E 的几率是多少？ 4。

[10分]求t 时刻粒子的平均能量E 和平均位置x 。

解：1）[10分] 22222n n n x a n E m a πψπ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩2）[5分]()(),n iE t n n x t x eψψ-=t 时刻的波函数：()1212,()()iE t iE t x t x ex e ψψψ--⎛⎫=+⎪⎭3）[5分] t 时刻测量到粒子的能量为1E 的几率是：()()211,,2x t x t ψψ=t 时刻测量到粒子的能量为2E 的几率是：()()221,,2x t x t ψψ=4）[10分]平均能量：()()()()221225ˆ,,,,24E E E x t E x t x t i x t t maπψψψψ+∂====∂ 平均位置：()()()12216,,cos 29E E t aax x t x x t ψψπ-⎛⎫==- ⎪⎝⎭二。

[30分]一维线性谐振子：质量为m 的粒子在一维线性谐振子势：22()2m x V x ω=中运动。

按占有数表象，哈密顿可写为： ()†12Ha a ω=+ 。

XXX大学2021年物理类专业究生入学考试《量子力学》试题（试卷一、二、三）试卷一一、简答题（每题8 分，共40分）。

1、设ˆU为么正算符，而()()11ˆˆˆˆˆˆ,22A U U B U U i++=+=-，试证： （1）ˆA和ˆB 均为厄密算符； （2）22ˆˆ1AB +=。

2、已知)ˆ,,1L l m l m +=+， （1）写出矩阵元ˆ,,l m L l m +''的表达式； （2）若2,l =试写出ˆL +的全部不为零的矩阵元。

3、氢原子处于态()433141104111122,,333r R Y R Y R Y ψθϕ-=+-中，问： （1）(),,r ψθϕ是否为能量的本征态？若是，写出其本征值。

若不是，说明理由；（2）在(),,r ψθϕ中，测角动量平方的结果有几种可能值？相应几率为多少？4、一小球在xy 平面内绕原点转动。

试写出同时确定此转子的方位角ϕ和角动量分量z L 的不准关系。

粒子被约束在半径为r 的圆周上运动。

（1）设立路障进一步限制粒子在00ϕϕ<<的一段圆弧上运动，()000,0,2U ϕϕϕϕϕπ<<⎧=⎨∞<<⎩；求粒子的能量本征值和本征函数；（2）设粒子处于（1）的基态，突然撤去路障后，粒子仍然在最低能态的几率是多少？一量子体系的哈密顿算符0ˆˆˆ,H H H '=+在0ˆH 表象中。

40ˆ0200100H ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 00ˆ00000k H k ⎛⎫⎪'= ⎪⎪⎝⎭； 其中常数1k <<，（1）用微扰法求体系的能级，精确到二级近似；（2）求出体系能量的精确解，并与（1）式结果比较。

考虑微弱地相互作用着的三个玻色子组成的系统，各粒子皆处于已知的单粒子态(),iq j ψξ其中i q 表示包含空间和自旋运动的第i 个态，j ξ表示第j 个粒子的所有坐标。

试写出系统的各种可能的零级近似波函数。