类比探究问题

类比、拓展探究题类比、拓展探究题是近两年中考热门考题，题型的模式基本分为三步：初步尝试、类比发现、深入探究，考查的知识点有：三角形旋转、平行四边形性质、相似、全等、矩形折叠、勾股定理等．此类问题解答往往是层层深入，从特殊到一般，然后是拓展运用．在解题时需要牢牢把握特殊情况、特殊位置下的结论，然后探寻一般情况下是否也成立，最后是类比应用．类比模仿是解决此类问题的重要手段．例1数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD (∠BAD ＝120°)进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD 所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C 重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB ，AD 于点E ，F (不包括线段的端点)．(1)初步尝试如图①，若AD ＝AB ，求证：①△BCE ≌△ACF ，②AE ＋AF ＝AC ； (2)类比发现如图②，若AD ＝2AB ，过点C 作CH ⊥AD 于点H ，求证：AE ＝2FH ； (3)深入探究如图③，若AD ＝3AB ，探究得AE ＋3AFAC的值为常数t ，则t ＝________．例题分层分析(1)①先证明△ABC ，△ACD 都是________三角形，再证明∠BCE ＝________，即可解决问题． ②根据①的结论得到________，由此可证明．(2)设DH ＝x ，由题意，可得CD ＝________，CH ＝________(用含x 的代数式表示)，由△ACE ∽△HCF ，得AE FH ＝AC CH，由此即可证明．(3)如图③，过点C 作CN ⊥AD 于N ，CM ⊥BA ，交BA 的延长线于点M ，CM 与AD 交于点H .先证明△CFN ∽△CEM ，得CN CM ＝FN EM ，由AB ·CM ＝AD ·CN ，AD ＝3AB ，推出CM ＝3CN ，所以CN CM ＝FN EM ＝13，设CN ＝a ，FN＝b ，则CM ＝3a ，EM ＝3b ，想办法求出AC ，AE ＋3AF 即可解决问题．对应练习：我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．(1)概念理解请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子； (2)问题探究如图①，在等邻角四边形ABCD 中，∠DAB ＝∠ABC ，AD ，BC 的中垂线恰好交于AB 边上一点P ，连结AC ，BD ，试探究AC 与BD 的数量关系，并说明理由；(3)应用拓展如图②，在Rt △ABC 与Rt △ABD 中，∠C ＝∠D ＝90°，BC ＝BD ＝3，AB ＝5，将Rt △ABD 绕着点A 顺时针旋转角α(0°＜∠α＜∠BAC )得到Rt △AB ′D ′(如图③)，当凸四边形AD ′BC 为等邻角四边形时，求出它的面积．解题方法点析(1)矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”的条件；(2)连结PD，PC，根据PE，PF分别为AD，BC的垂直平分线，可得到PA＝________，PB＝________，∠DAP＝________＝∠ABC＝________，从而可得∠APC＝∠DPB，利用SAS可证得△APC≌△DPB，即可得到AC＝BD.(3)分两种情况考虑：(i)当∠AD′B＝∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，由S四边形ACBD′＝S△ACE－S△BED′，求出四边形ACBD′的面积；(ii)当∠D′BC＝∠ACB＝90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，由S四边形ACBD′＝S△AED′＋S矩形ECBD′，求出四边形ACBD′的面积即可．课后练习：1．【操作发现】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．(1)请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连结BB′；(2)在(1)所画图形中，∠AB′B＝________．【问题解决】如图，在等边三角形ABC中，AC＝7，点P在△ABC内，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积．小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连结PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连结PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系．……请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．(―种方法即可)【灵活运用】如图，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB(k为常数)，求BD的长(用含k的式子表示)．2．问题呈现：如图①，点E，F，G，H分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，AE＝DG.求证：2S四边形EFGH＝S矩形ABCD.(S表示面积)实验探究：某数学实验小组发现：若图①中AH≠BF，点G在CD上移动时，上述结论会发生变化．分别过点E，G 作BC边的平行线，再分别过点F，H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A1，B1，C1，D1，得到矩形A1B1C1D1.如图②，当AH＞BF时，若将点G向点C靠近(DG>AE)，经过探索，发现：2S四边形EFGH＝S矩形ABCD＋S矩形A1B1C1D1.如图③，当AH＞BF时，若将点G向点D靠近(DG<AE)，请探索S四边形EFGH、S矩形ABCD与S矩形A1B1C1D1之间的数量关系，并说明理由．迁移应用：请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题．(1)如图，点E，F，G，H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AH>BF，AE>DG，S四边形EFGH ＝11，HF＝29，求EG的长．(2)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E，H分别在边AB，AD上，BE＝1，DH＝2，点F，G分别是边BC，CD上的动点，且FG＝10，连结EF，HG，请直接写出四边形EFGH面积的最大值．3.【探索发现】如图①是一张直角三角形纸片，∠B＝90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE，EF剪下时，所得的矩形的面积最大．随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为________．【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC＝a，BC边上的高AD＝h，矩形PQMN的顶点P，N分别在边AB，AC上，顶点Q，M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为________．(用含a，h的代数式表示) 【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB＝32，BC＝40，AE＝20，CD＝16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形(∠B为所剪出矩形的内角)，求该矩形的面积．【实际应用】如图，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB＝50 cm，BC＝108 cm，CD＝60 cm，且tan B＝tan C＝43，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M，N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．答案与解析【例1】【解答】解：（1）AE+AF＝AC；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝120°，∴∠D＝∠B＝60°，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴∠B＝∠CAD＝60°，∠ACB＝60°，BC＝AC，∵∠ECF＝60°，∴∠BCE+∠ACE＝∠ACF+∠ACE＝60°，∴∠BCE＝∠ACF，在△BCE和△ACF中，，∴△BCE≌△ACF（ASA）．∴BE＝AF，∴AE+AF＝AE+BE＝AB＝AC；故答案为：AE+AF＝AC；（2）设DH＝x，由由题意，CD＝2x，CH＝，∴AD＝2AB＝4x，∴AH＝AD﹣DH＝3x，∵CH⊥AD，∴AC＝＝，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴∠BAC＝∠ACD＝90°，∴∠CAD＝30°，∴∠ACH＝60°，∵∠ECF＝60°，∴∠HCF＝∠ACE，∴△ACE∽△HCF，∴，（3），理由如下：如图3中，作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM与AD交于点H．∵∠ECF+∠EAF＝180°，∴∠AEC+∠AFC＝180°，∵∠AFC+∠CFN＝180°，∴∠CFN＝∠AEC，∵∠M＝∠CNF＝90°，∴△CFN∽△CEM，∴，∵AB•CM＝AD•CN，AD＝4AB，∴CM＝4CN，∴，设CN＝a，FN＝b，则CM＝4a，EM＝4b，∵∠MAH＝60°，∠M＝90°，∴∠AHM＝∠CHN＝30°，∴HC＝2a，HM＝2a，HN＝a，∴AM＝，AH＝，∴AC＝＝，AE+4AF＝（EM﹣AM）+4（AH+HN﹣FN）＝EM﹣AM+4AH+4HN﹣4FN＝4AH+4HN﹣AM＝，∴．∴t＝，故答案为：．【对应练习】【解答】解：（1）矩形或正方形；（2）AC＝BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示：∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，∴P A＝PD，PC＝PB，∴∠P AD＝∠PDA，∠PBC＝∠PCB，∴∠DPB＝2∠P AD，∠APC＝2∠PBC，即∠P AD＝∠PBC，∴∠APC＝∠DPB，∴△APC≌△DPB（SAS），∴AC＝BD；（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B＝∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，∴∠ED′B＝∠EBD′，∴EB＝ED′，设EB＝ED′＝x，由勾股定理得：42+（3+x）2＝（4+x）2，解得：x＝4.5，过点D′作D′F⊥CE于F，∴D′F∥AC，∴△ED′F∽△EAC，∴＝，即＝，解得：D′F＝，∴S△ACE＝AC×EC＝×4×（3+4.5）＝15；S△BED′＝BE×D′F＝×4.5×＝，则S四边形ACBD′＝S△ACE﹣S△BED′＝15﹣＝10；（ii）当∠D′BC＝∠ACB＝90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，如图3（ii）所示，∴四边形ECBD′是矩形，∴ED′＝BC＝3，在Rt△AED′中，根据勾股定理得：AE＝＝，∴S△AED′＝AE×ED′＝××3＝，S矩形ECBD′＝CE×CB＝（4﹣）×3＝12﹣3，则S四边形ACBD′＝S△AED′+S矩形ECBD′＝+12﹣3＝12﹣．【课后练习】1.【解答】解：【操作发现】（1）如图所示，△AB′C′即为所求；（2）连接BB′，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，∴AB＝AB′，∠B′AB＝90°，∴∠AB′B＝45°，故答案为：45°；【问题解决】如图②，∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，∴△APP′是等边三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，∴∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°，∴PP′＝PC，即AP＝PC，∵∠APC＝90°，∴AP2+PC2＝AC2，即（PC）2+PC2＝72，∴PC＝2，∴AP＝，∴S△APC＝AP•PC＝7；【灵活运用】如图③中，∵AE⊥BC，BE＝EC，∴AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠BAC＝∠DAG，∵AB＝AC，AD＝AG，∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，∴△ABC∽△ADG，∵AD＝kAB，∴DG＝kBC＝4k，∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，∴∠ADG+∠ADC＝90°，∴∠GDC＝90°，∴CG＝＝．∴BD＝CG＝．2.【解答】问题呈现：证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠A＝90°，∵AE＝DG，∴四边形AEGD是矩形，∴S△HGE＝S矩形AEGD，同理S△EGF＝S矩形BEGC，∴S四边形EFGH＝S△HGE+S△EFG＝S矩形ABCD．实验探究：结论：2S 四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣．理由：∵＝，＝，＝，＝，∴S 四边形EFGH＝+++﹣，∴2S 四边形EFGH＝2+2+2+2﹣2，∴2S 四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣．迁移应用：解：（1）如图4中，∵2S四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣．∴＝25﹣2×11＝3＝A1B1•A1D1，∵正方形的面积为25，∴边长为5，∵A1D12＝HF2﹣52＝29﹣25＝4，∴A1D1＝2，A1B1＝，∴EG2＝A1B12+52＝，∴EG＝．（2）∵2S 四边形EFGH＝S矩形ABCD+．∴四边形A1B1C1D1面积最大时，四边形EFGH的面积最大．①如图5﹣1中，当G与C重合时，四边形A1B1C1D1面积最大时，四边形EFGH的面积最大．此时矩形A1B1C1D1面积＝1•（﹣2）＝，∴2S 四边形EFGH＝S矩形ABCD+＝15+（﹣2）＝13+，∴S四边形EFGH＝②如图5﹣2中，当G与D重合时，四边形A1B1C1D1面积最大时，四边形EFGH的面积最大．此时矩形A1B1C1D1面积＝2•1＝2，∴2S 四边形EFGH＝S矩形ABCD+＝15+2＝17，∴S四边形EFGH＝8.5∵8.5＞，∴四边形EFGH的面积最大值8.5．3.【解答】解：【探索发现】设EF＝x，ED＝y，∵EF、ED为△ABC中位线，∴ED∥AB，EF∥BC，EF＝BC，ED＝AB，∴AB＝2ED＝2y，BC＝2EF＝2x，又∠B＝90°，∴四边形FEDB是矩形，则＝＝＝，故答案为：；【拓展应用】设PN＝b，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴，∵BC＝a，BC边上的高AD＝h，∴，PQ＝，∴S＝b•PQ＝＝﹣+bh，∴S的最大值为：＝；则矩形PQMN面积的最大值为；故答案为：；【灵活应用】如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG 的中点K，由题意知四边形ABCH是矩形，∵AB＝32，BC＝40，AE＝20，CD＝16，∴EH＝20、DH＝16，∴AE＝EH、CD＝DH，在△AEF和△HED中，∵，∴△AEF≌△HED（ASA），∴AF＝DH＝16，同理△CDG≌△HDE，∴CG＝HE＝20，∴BI＝＝24，∵BI＝24＜32，∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，过点K作KL⊥BC于点L，由【探索发现】知矩形的最大面积为×BG•BF＝×（40+20）×（32+16）＝720，答：该矩形的面积为720；【实际应用】如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，∵tan B＝，设EH＝4x，BH＝3x，∵tan C＝2＝，∴CH＝2x，∵BC＝BH+CH＝105＝3x+2x，x＝21，∴BH＝63，CH＝42，EH＝84，由勾股定理得：BE＝＝＝105，CE＝＝＝42，∵AB＝60，∴AE＝45，∴BE的中点Q在线段AB上，∵CD＝70，∴CE的中点P在线段CD上，∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为BC•EH＝＝2205cm2，答：该矩形的面积为2205cm2．。

类比探究问题（讲义）➢ 课前预习1. 类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主．2. 解决类比探究问题的一般方法：（1）根据题干条件，结合_______________先解决第一问； （2）用解决_______的方法类比解决下一问，整体框架照搬． 整体框架照搬包括_________________，________________， _________________．3. 用铅笔做讲义第1，2题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知识点睛，再做题，思路受阻时（某个点做了2~3分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听．➢ 知识点睛1. 类比探究属于几何综合题，类比（__________，___________，___________）是解决此问题的主要方法，做好类比需要把握变化过程中的____________． 2. 类比探究问题中常见结构举例①旋转结构AB=AC DCD'A②中点结构ABCE MDA BMCNM A（类）倍长中线 平行夹中点 中位线➢ 精讲精练1. 原题：如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，∠EAF =45°，连接EF ，易证EF =BE +DF ．图1B C DEF A（1）类比引申：如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =90°，∠B +∠D =180°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF =45°，连接EF ，则原题中的结论是否仍然成立？请说明理由．AF E DCB 图2（2）联想拓展：如图3，在△ABD 中，∠BAD =90°，AB =AD ，点E ，F 均在边BD 上，且∠EAF =45°．猜想EF ，BE ，DF 之间满足的数量关系，并写出推理过程．图3B DEF A2. 在△ABC 中，∠ACB =90°，∠A < 45°，O 为AB 的中点，一个足够大的三角板的直角顶点与点O 重合，一边OE 经过点C ，另一边OD 与AC 交于点M ．（1）如图1，当∠A =30°时，求证：222MC AM BC =+． （2）如图2，当∠A ≠30°时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你认为正确的结论，并说明理由．（3）如图3，将三角板ODE 绕点O 旋转，若直线OD 与线段AC 的延长线相交于点M ，直线OE 与线段CB 的延长线相交于点N ，连接MN ，则MN 2=AM 2+BN 2成立吗？请说明理由．N图3E BC O MD A图1EBCOMD AADM OCBE图23.已知P是Rt△ABC的斜边AB上一动点（不与点A，B重合），分别过点A，B向直线C P作垂线，垂足分别为点E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是___________，QE与QF的数量关系是______________．图1B CQ(P)EFA（2）如图2，当点P不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明．A FEPQCB 图2（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？请画出图形并给予证明．4.某校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程．（1）操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是___________．（填写序号）①12AF BA AG==；②MD=ME；③MD⊥ME．（2）数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量关系和位置关系？请给出证明．（3）类比探究：在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则△MED是_____________三角形．图1CD EF GMBA图2C DEMA图3AB CMDE【参考答案】➢课前预习2.（1）分支条件（2）第一问；照搬字母，照搬辅助线，照搬思路➢知识点睛1.类比字母，类比辅助线，类比思路，不变特征➢精讲精练1.（1）原题中的结论仍成立，理由略提示：延长CD到点G，使DG=BE，证明△ABE≌△ADG（SAS）；再证明△AEF ≌△AGF（SAS），得EF=FG=BE+DG。

类比探究（讲义）➢知识点睛1.类比：就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式．探究：是指学生在学习情境中通过观察、阅读，发现问题，搜集数据，形成解释，获得答案并进行交流、检验、探究性学习．学习过程的本质 类比与探究．2.类比探究问题的处理思路（1）根据题干条件，结合分支条件先解决第一问；（2）整体类比第一问，迁移解决下一问．①类比是解决类比探究问题的第一原则，如类比字母、类比辅助线、类比思路；②对比前后条件变化，寻找并利用不变特征，考虑相关几何结构解决问题．3.类比探究问题中的常见特征举例手拉手模型：条件：AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE结论：△ABD≌△ACE➢精讲精练1.在△ABC 中，AB=AC，D 是直线BC 上一点，以AD 为一条边在AD 的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，求证：BD=CE；（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，求证：BD=CE；（3）如图3，当点D 在线段CB 的延长线上时，上述结论还成立吗？请证明你的猜想．2.（1）操作发现：如图1，D 是等边△ABC 边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC，以DC 为边在BC 上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF 与BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图2，当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．（3）深入探究：①如图3，当动点D 在等边△ABC 边BA 上运动时（点D 与点B 不重合），连接DC，以DC 为边在BC 上方、下方分别作等边△DCF 和等边△DCF′，连接AF，BF′，探究AF，BF′与AB 有何数量关系？并证明你探究的结论．②如图4，当动点D 在等边△ABC 边BA 的延长线上运动时，其他作法与图3相同，①中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．33.在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CA=CB，点D 是直线AB 上的一点，连接CD，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．（1）操作发现如图1，当点 D 在线段AB 上时，请你直接写出AB 与BE 的位置关系为；线段BD，AB，EB 的数量关系为．（2）猜想论证当点D 在直线AB 上运动时，如图2，是点D 在射线AB 上，如图3，是点D 在射线BA 上，请你写出这两种情况下，线段BD，AB，EB 的数量关系，并对图2 的结论进行证明．（3）拓展延伸若AB=5，BD=7，请你直接写出△ADE 的面积．4.（1）如图1，两个等腰三角形△ABC 和△ADE 中，∠BAC=∠DAE，AB=AC，AE=AD，连接BD，CE，则线段BD 和CE 的数量关系是；（2）如图2，两个等腰直角三角形△ABC 和△ADE 中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD 和CE 的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）如图3，已知△ABC，请完成作图：以AB，AC 为边分别向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE，连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE 和CD 的数量关系及∠PBC+∠PCB 的度数．【参考答案】1. （1）证明略；（2）证明略；（3）成立，BD=CE，证明略．2.（1）AF=BD，证明略；（2）成立，AF=BD，证明略；（3）①AB=AF+BF′，证明略；②不成立，AB=AF-BF′，证明略．3.（1）AB⊥BE，AB=BE+BD；（2）AB=BE-BD，证明略；（3）△ADE 的面积为72 或2．4. （1）BD=CE；（2）BD=CE，BD⊥CE，证明略；（3）BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°．类比探究（习题）➢已知，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点B，C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF，AD=AF，∠DAF=90°，连接CF．•如图1，当点D 在线段BC 上时，求证：CF+CD=BC；•如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD 三条线段之间的关系；•如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变，求CF，BC，CD 三条线段之间的关系．➢如图1，点C 在线段AB 上（点C 不与A，B 重合），分别以AC，BC 为边在AB 同侧作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接AE，BD 交于点P．4.观察猜想：①AE 与BD 的数量关系为；②∠APD 的度数为．5.数学思考：如图2，当点C 在线段AB 外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．6.拓展应用：如图3，点E 为四边形ABCD 内一点，且满足∠AED=∠BEC=90°，AE=DE，BE=CE，对角线AC，BD 交于点P，AC=10，则四边形ABCD 的面积为．【参考答案】1. （1）证明略；5.CF-CD=BC；6.CD-CF=BC，证明略．2. （1）①AE=BD；②60°；（2）成立，AE=BD，∠APD=60°，证明略；（3）50．。

类比探究专题例1 如图1，在等腰直角△ABC 和等腰直角△CDE 中,CD>BC ，点C ，B ，D 在同一直线上，M 是AE 的中点，易证MD ⊥MB ，MD=MB ．（1）如图2,将图1中的△CDE 绕点C 顺时针旋转45°，使△CDE 的斜边CE 恰好与△ABC 的边BC 垂直，题干中的其他条件不变,则上述结论是否仍然成立？（2）将图2中的△ABC 绕点C 逆时针旋转大于0°且小于45°的角，如图3所示，请直接写出你的结论．MEDCBA图2ABC DE M图1图3ABCDEM例2 如图1,在ABC △中，AC BC =,120C ∠=︒,D 在BC 边上。

BDE △为等边三角形,连接AE ,F 为AE 中点，连CF DF ，。

⑴请直接写出CF DF 、的关系，不必说明理由;⑵若将图1中的DBE △绕点B 顺时针旋转90︒，其它条件不变，请作出相应图形，并直接给出结论，不必说明理由。

⑶将图中的DBE △绕点B 顺时针旋转α（0°＜α＜60°），其它条件不变，如图2，试回答⑴中的结论是否成立?并说明理由。

图1AB C DEFFDCBAE图2例3 （1）操作发现：如图1，在矩形ABCD 中,E 是BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE ，点F 在矩形ABCD 内部，延长AF 交CD 于点G ．猜想线段GF 与GC 有何数量关系？并证明你的结论． （2）类比探究：如图2,将（1)中的矩形ABCD 改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．图1 图2例4 已知：如图所示，直线MA NB MAB ∠∥，与NBA ∠的平分线交于点C ,过点C 作一条直线l 与两条直线MA NB 、分别相交于点D E 、．（1）如图1所示，当直线l 与直线MA 垂直时,猜想线段AD BE AB 、、之间的数量关系，请直接写出结论,不用证明；（2）如图2所示，当直线l 与直线MA 不垂直且交点D E 、都在AB 的同侧时，（1）中的结论是否成立?如果成立，请证明;如果不成立，请说明理由；(3）当直线l 与直线MA 不垂直且交点D E 、在AB 的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立?如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD BE AB 、、之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．ABMNCC NMBAABCDEMNl lNMEDCB A图1 图2 备用图 备用图例5 在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 在线段BC 上，∠EDB ＝12∠C,BE ⊥DE,垂足为E ，DE 与AB 相交于点F ．(1）当AB ＝AC 时（如图1）， ①∠EBF ＝_______°；②探究线段BE 与FD 的数量关系,并加以证明；(2）当AB ＝kAC 时(如图2），求BEFD 的值（用含k 的式子表示）．图1 图2例6 如图1，在Rt △ABC 中,∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D,点E 在AC 上，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F,AC=mBC ，CE=nEA （m ，n 为实数).试探究线段EF 与EG 的数量关系．(1）如图2，当m=1，n=1时,求EF 与EG 的数量关系．（2）如图3，当m=1，n 为任意实数时，求EF 与EG 的数量关系． （3）如图1，当m ，n 均为任意实数时,求EF 与EG 的数量关系．C EFD A B G图1CEFD A G 图2EFD ABGC 图3例7 在等腰直角三角形ABC 中,∠BAC=90°，AB=AC ，直线MN 过点A 且MN ∥BC ．以点B 为一锐角顶点作Rt △BDE ，∠BDE=90°，且点D 在直线MN 上（不与点A 重合）．如图1,DE 与AC 交于点P ，易证：BD=DP ． (1）在图2中，DE 与CA 的延长线交于点P,则BD=DP 是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立,请说明理由．（2）在图3中，DE 与AC 的延长线交于点P ，BD 与DP 是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．图1ADNPECBM图2M BCEPNDA图3A D NPECBM例8 如图1，在Rt △ABC 中,∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO ，交AD 于点F ，OE ⊥OB 交BC 于点E ．(1）求证：ABF COE △∽△；（2）如图2,当O 为AC 边中点，2AC AB =时,求OFOE 的值;（3）如图3，当O 为AC 边中点，AC nAB =时，请直接写出OFOE 的值．DEO CFBA图2AEO D FB图3AED FB图1例9 如图1，已知∠MAN=120°,AC 平分∠MAN ，∠ABC=∠ADC=90°，可以证明：①DC=BC;②AC = AB+AD ．（1）如图2，把题干中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变,证明结论①和结论②仍然成立．（2）如图3,如果D 在AM 的反向延长线上，把题干中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC=∠ADC ，其他条件不变，结论①和②是否仍然成立？成立，请证明;不成立，请说明理由．图1A BCDM图2NMDCB A图3NMDCB A例10 如图,在等边三角形ABC 中，点D 在直线BC 上，连接AD,作∠ADN=60°,直线DN 交射线AB 于点E ，过点C 作CF ∥AB 交直线DN 于点F ．（1）当点D 在线段BC 上，∠NDB 为锐角时，如图1,求证：CF+BE=CD ．（提示：过点F 作FM ∥BC 交射线AB 于点M ）（2）当点D 在线段BC 的延长线上，∠NDB 为锐角时，如图2；当点D 在线段CB 的延长线上，∠NDB 为钝角时，如图3，请分别写出线段CF ，BE,CD 之间的数量关系，不需要证明． （3）在（2）的条件下，若∠ADC=30°，43ABC S △,则BE=_________，CD=________．图1N MFEDCB ADCABFEN图2例11已知，△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作菱形ADEF ，使∠DAF=60°，连接CF ． （1）如图1，当点D 在边BC 上时， ①求证：∠ADB=∠AFC ；②请直接判断结论∠AFC=∠ACB ＋∠DAC 是否成立；(2）如图2，当点D 在边BC 的延长线上时，其他条件不变,结论∠AFC=∠ACB ＋∠DAC 是否成立？请写出∠AFC 、∠ACB 、∠DAC 之间存在的数量关系，并写出证明过程；（3)如图3,当点D 在边CB 的延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC 、∠A CB 、∠DAC 之间存在的等量关系．AA FFEDC BA图1 图2 图3例12(1)阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：D CABFEN图3如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD 绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC 、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．(2)问题解决：受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中,D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．①求证:BE+CF＞EF；②若∠A=90°,探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．（3）问题拓展：如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°,DB=DC,∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点,连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．图1 图2 图3例13 如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．例如，平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．(1)三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有________；（2）如图1,梯形ABCD中,AB∥DC，如果延长DC到E，使CE＝AB，连接AE,那么有S梯形ABCD＝S△ADE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；（3）如图2，四边形ABCD中，AB与CD不平行,S△ADC＞S△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能,请画出面积等分线，并给出证明;若不能，说明理由．图1 图2阅读下列材料:问题：如图1，在四边形ABCD中，M是BC边的中点,且90∠=︒，试判断AB＋CD与AD之间的大小AMD关系。

专题7类比探究—图形旋转中三角形相似题型知识归纳图形的类比探究常以三角形、四边形为背景，与翻折、旋转相结合，考查三角形全等或相似的性质与判定，难度较大．此类题目第一问相对简单，后面的问题需要结合第一问的方法进行类比解答．根据其特征大致可分为：几何变换类比探究问题、旋转综合问题、翻折类问题等。

本专题主要对类比探究—图形旋转中三角形相似题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。

知识点睛（1）类比探究属于几何综合题，类比（类比字母，类比辅助线，类比思路）是解决此问题的主要方法，做好类比需要把握变化过程中的不变特征．（2）类比探究问题中常见结构举例①旋转结构②中点结构（类）倍长中线平行夹中点中位线方法总结（1）类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主．（2）解决类比探究问题的一般方法：①根据题干条件，结合分支条件先解决第一问；②用解决第一问的方法类比解决下一问，整体框架照搬．整体框架照搬包括照搬字母，照搬辅助线，照搬思路。

（3）用铅笔做讲义第1，2题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知识点睛，再做题，思路受阻时（某个点做了2~3分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听．常考题型专练一、解答题1.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．（1）如图1，当α＝60°时，①求证：PA＝DC；②求∠DCP的度数；（2）如图2，当α＝120°时，请直接写出PA和DC的数量关系．（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP=31，请直接写出点D到CP的距离为．2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D．（1）如图1，当A′B′∥AC时，过点B作BE⊥A′C，垂足为E，连接AE．①求证：AD＝BD；②求S△ACE S△ABE的值；（2）如图2，当A′C⊥AB时，过点D作DM∥A′B′，交B′C于点N，交AC的延长线于点M，求DN NM的值．3.（1）问题发现如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：①的值为；②∠AMB的度数为．（2）类比探究如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．4．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．（1）观察猜想如图1，当α＝60°时，的值是，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是．（2）类比探究如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．5.已知，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α°，点D为BC边中点，连接AD，点E为线段AD上一动点，把线段CE 绕点E顺时针旋转2α°得到线段EF，连接FG，FD．（1）如图1，当∠BAC＝60°时，请直接写出BFAE的值；（2）如图2，当∠BAC＝90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；（3）如图3，当点E在AD上移动时，请直接写出点E运动到什么位置时DFDC的值最小．最小值是多少？（用含α的三角函数表示）6．在ABC ∆中，CA CB =，(0180)ACB αα∠=<<．点P 是平面内不与A ，C 重合的任意一点，连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，CP 点M 是AB 的中点，点N 是AD 的中点．（1）问题发现,如图1，当60α=时，MN PC 的值是，直线MN 与直线PC 相交所成的较小角的度数是；（2）类比探究，如图2，当120α=时，请写出MN PC的值及直线MN 与直线PC 相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由；（3）解决问题，如图3，当90α=时，若点E 是CB 的中点，点P 在直线ME 上，MN =请直接写出点B ，P ，D 在同一条直线上时PD 的长．7.如图(1)，在矩形ABCD中，AD＝nAB，点M，P分别在边AB，AD上(均不与端点重合)，且AP＝nAM，以AP和AM为邻边作矩形AMNP，连接AN，CN.【问题发现】（1）如图(2)，当n＝1时，BM与PD的数量关系为，CN与PD的数量关系为.【类比探究】（2）如图(3)，当n＝2时，矩形AMNP绕点A顺时针旋转，连接PD，则CN与PD之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图(3)给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图(3)说明理由.【拓展延伸】（3）在(2)的条件下，已知AD＝4，AP＝2，当矩形AMVP旋转至C，N，M三点共线时，请直接写出线段CN的长8.(1)问题发现如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=45°，点D是线段AB上一动点，连接BE.填空:①BEAD的值为；②∠DBE的度数为.(2)类比探究如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=60°，点D是线段AB上一动点，连接BE.请判断BEAD的值及∠DBE的度数，并说明理由.(3)拓展延伸如面3，在(2)的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE的中点M，连接BM、CM，若AC=2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少?请直接写出答案.。

图1AB CDGEF M图2A BCDG EFM图3AB CDG EFM类比探究（讲义）➢ 课前预习1.小明同学碰到如下问题：如图1，在正方形ABCD 和正方形CGEF （CG > BC ）中，点B ，C ，G 在同一直线上，点M 是AE 的中点．（1）探究线段MD ，MF 的位置关系及数量关系，并证明． （2）若将图1中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转，使D ， C ，G 三点在同一直线上，如图2，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．（3）若将图1中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转，使正方形CGEF 的对角线CE 恰好与正方形ABCD 的边BC 在同一直线上，如图3，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明． 小明同学分析第一问发现，问题关键在于中点的应用． 经过尝试，小明成功解决了第（1）问，并将思路记录如下：MD ⊥MF MD =MF等腰Rt △M 为DH 中点FD =FH DFH =90°DM =AD =EH △ADM ≌△EHM 延长DM ，交EF H （平行夹中点）仿照小明的证明方法，你能解决（2）（3）问吗？2. ①如图，在△ABC 中，AF :FB =2:3，延长BC 至点D ，使得BC =2CD ，则AEEC=_________．提示：求比例，找相似．利用平行线构造“A 型”或“X 型”相似是我们常用的一种做法．A BEF②如图，AB =4，射线BM 和AB 相互垂直，点D 是AB 上的一个动点，点E 在射线BM 上，2BE =DB ，作EF ⊥DE 并截取EF =DE ，连接AF 并延长交射线BM 于点C ．设BE =x ，BC =y ，则y 关于x 的函数解析式是（ ）A ．124xy x =--B ．21xy x =--C ．31xy x =-- D ．84x y x =-- 提示：结合直角特征考虑分析，可构造一线三等角，利用相似整合信息．➢ 知识点睛类比探究问题的处理思路1. 若属于类比探究常见的结构类型，调用结构类比解决．类比探究结构举例：中点结构、直角结构、旋转结构、平行 结构．2. 若不属于常见结构类型：①根据题干条件，结合_______________先解决第一问．M FE DC B A②类比解决下一问．如果不能，分析条件变化，寻找______________．③结合所求目标，依据__________，大胆猜测、尝试、验证．➢ 精讲精练1. 已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =1，AB =2，BC =3．（1）如图1，P 为AB 边上的一点，以PD ，PC 为边作□PCQD ，则当点P 与点A 重合时，PQ 的长为__________．（2）如图2，若P 为AB 边上任意一点，以PD ，PC 为边作□PCQD ，请问对角线PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．（3）若P 为AB 边上任意一点，延长PD 到E ，使DE =PD ，再以PE ，PC 为边作□PCQE ，请探究对角线PQ 的长是否也存在最小值．如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．（4）如图3，若P 为直线DC 上任意一点，延长PA 到E ，使AE =nPA （n 为常数），以PE ，PB 为边作□PBQE ，请探究对角线PQ 的长是否也存在最小值．如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．DQCBA (P )图1AP BCQD图2AC D EPQ图3A B CDA B CD2. 已知△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，点P 是射线CB 上一点（点P 不与点B ，C 重合），线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ，连接QB 交射线AC 于点M ．（1）如图1，当AC =BC ，点P 在线段CB 上时，线段PB ，CM 的数量关系是__________．（2）如图2，当AC =BC ，点P 在线段CB 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）如图3，若52AC BC ，点P 在线段CB 的延长线上时，CM =2，AP =13，求△ABP 的面积．图1M QPABC图2M QPAB CMC BAPQ图33. （1）问题发现如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ．填空：①∠AEB 的度数为___________；②线段AD ，BE 之间的数量关系为___________．图1CDABE（2）拓展探究如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，点A ，D ，E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ．请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由．图2MEDCBA（3）解决问题如图3，在正方形ABCD 中，CD．若点P 满足PD =1，且∠BPD =90°，请直接写出点A 到BP 的距离．A BCD图34. 如图1，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC =2AB =8，点D ，E 分别是边BC ，AC的中点，连接DE ．将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α． （1）问题发现①当α=0°时，=BD AE ______；②当α=180°时，=BDAE______． （2）拓展探究试判断：当0°≤α<360°时，AEBD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）问题解决当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．图3图2图1ABCAEBDCDECB A【参考答案】 ➢ 课前预习1. 能，证明略2. ①2②A➢ 知识点睛2. ①分支条件 ②不变特征 ③不变特征➢ 精讲精练1. （1）（2）存在，最小值为4． （3）存在，最小值为5．（44)n +． 2. （1）PB =2CM ．（2）成立，证明略． （3）△ABP 的面积为25． 3. （1）①60°；②AD =BE ．（2）AE =2CM +BE ．（3）点A 到BP ．4. （1 （2）0360α︒<︒≤时，AEBD的大小没有变化，证明略．（3）线段BD 的长为5． 类比探究（随堂测试）1. 如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合，三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点G ．（1）求证：EF =EG ．（2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB =a ，BC =b ，求EFEG的值．E (A )BC D FGG FDC BAEEACDFG (B )图1图2图3【参考答案】1. （1）证明略．（2）成立，证明略． （3）EF bEG a．。

三角形全等之类比探究（导学案）知识过关1. 类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主． 2. 解决类比探究问题的一般方法：（1）根据题干条件，结合_______________先解决第一问； （2）用解决_______的方法类比解决下一问，整体框架照搬．整体框架照搬包括_________________，________________，_________________． 3. 常见几何特征及做法：见中点，___________________________．➢ 典型题型1. 在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ． （1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时， 求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE =AD +BE ．（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE =AD BE ．（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，请直接写出DE ，AD ，BE 之间的数量关系．图1B NE CDM A图2ACDEMNB 图3ABC D EM N2. 如图1，四边形ABCD 是正方形，AB =BC ，∠B =∠BCD =90°，点E 是边BC 的中点，∠AEF =90°，EF 交正方形外角∠DCG 的 平分线CF 于点F ．（1）求证：AE =EF （提示：在AB 上截取BH =BE ，连接HE ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决）．（2）如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立吗？说明理由．（3）如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”是否成立？说明理由．GABCDFE 图1E FDC BA G图2FDC A G图3图1M ADC E3. 以△ABC 的边AB ，AC 为直角边向外作等腰直角三角形ABE 和等腰直角三角形ACD ，∠BAE =∠CAD =90°，AB =AE ，AC =AD ，M 是边BC 的中点，连接AM ，DE ．（1）如图1，在△ABC 中，当∠BAC =90°时，求AM 与DE 的数量关系和位置关系． （2）如图2，当△ABC 为一般三角形时，（1）中的结论是否成立？并说明理由．（3）如图3，若以△ABC 的边AB ，AC 为直角边向内作等腰直角三角形ABE 和等腰直角三角形ACD ，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，并说明理由．4. （1）如图1，已知∠MAN =120°，AC 平分∠MAN ，∠ABC =∠ADC =90°，则能得到如下两个结论： ①DC =BC ；②AD +AB =AC ．请你证明结论②．（2）如图2，把（1）中的条件“∠ABC =∠ADC =90°”改为“∠ABC +∠ADC =180°”，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，如果D 在AM 的反向延长线上，把（1）中的条件“∠ABC =∠ADC =90°”改为“∠ABC =∠ADC ”，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请直接回答；若不成立，请直接写出你的结论．E D A M 图2B MCEA D图3A B CDMN图3图1NMDCBA B CDMN图2【参考答案】➢ 知识过关：解决类比探究问题的一般方法：（1）根据题干条件，结合分支条件先解决第一问；（2）用解决第（1）问的方法类比解决下一问，整体框架照搬． 整体框架照搬包括照搬字母，照搬辅助线， 照搬思路 ． 常见几何特征及做法： 见中点， 考虑倍长中线 ． ➢ 典型题型1. 证明：（1）如图，∵∠ACB =90° ∴∠1+∠2=90° ∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ∴∠ADC =∠CEB =90° ∴∠3+∠2=90° ∴∠1=∠3在△ADC 和△CEB 中∴△ADC ≌△CEB (AAS) ∴AD =CE ，DC =EB ∴DE =CE +DC=AD +BE （2）如图，∵∠ACB =90° ∴∠1+∠2=90° ∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ∴∠ADC =∠CEB =90° ∴∠CBE +∠2=90° ∴∠1=∠CBE 在△ADC 和△CEB 中∴△ADC ≌△CEB (AAS) ∴AD =CE ，DC =EB ∴DE =CE -DC=AD -BE13ADC CEB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩1ADC CEB CBEAC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩321AM DC E NB321NM ED C BA（3）DE =BE -AD ，理由如下： 如图，∵∠ACB =90° ∴∠1+∠2=90° ∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ∴∠ADC =∠CEB =90° ∴∠3+∠2=90° ∴∠1=∠3在△ADC 和△CEB 中∴△ADC ≌△CEB (AAS) ∴AD =CE ，DC =EB ∴DE =DC -CE=BE -AD2. 解：（1）AE =EF ，理由如下：如图，在AB 上截取BH =BE ，连接HE ．∵AB =BC ∴AH =EC ∵∠B =90° ∴∠1=∠2=45° ∴∠AHE =135° ∵∠BCD =90° ∴∠DCG =90° ∵CF 平分∠DCG ∴∠GCF =45° ∴∠ECF =135° ∴∠AHE =∠ECF ∵∠AEF =90°，∠B =90°∴∠AEB +∠3=90°，∠AEB +∠4=90° ∴∠3=∠4在△AHE 和△ECF 中∴△AHE ≌△ECF (ASA) ∴AE =EF（2）AE =EF 仍成立，理由如下：13ADC CEB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩43AH ECAHE ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩21B NM EDC A4321H GA B CDFE如图，在AB 上截取BH =BE ，连接HE ．∵AB =BC ∴AH =EC ∵∠B =90° ∴∠1=∠2=45° ∴∠AHE =135° ∵∠BCD =90° ∴∠DCG =90° ∵CF 平分∠DCG ∴∠GCF =45° ∴∠ECF =135° ∴∠AHE =∠ECF ∵∠AEF =90°，∠B =90°∴∠AEB +∠3=90°，∠AEB +∠4=90° ∴∠3=∠4在△AHE 和△ECF 中∴△AHE ≌△ECF (ASA) ∴AE =EF（3）AE =EF 仍成立，理由如下：如图，延长BA 到H ，使BH =BE ，连接HE ．∵AB =BC ∴AH =EC ∵∠B =90° ∴∠H =45° ∵∠BCD =90° ∴∠DCG =90° ∵CF 平分∠DCG ∴∠1=45° ∴∠H =∠1∵∠AEF =90°，∠B =90°∴∠AEB +∠3=90°，∠AEB +∠2=90° ∴∠2=∠3∵∠HAE +∠2=180°，∠CEF +∠3=180° ∴∠HAE =∠CEF 在△AHE 和△ECF 中43AH ECAHE ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩H 4123E FDC BA G∴△AHE ≌△ECF (ASA) ∴AE =EF3. 解：（1）DE =2AM ，AM ⊥DE ，理由如下：如图，延长AM 到F ，使MF =AM ，连接BF ，延长MA 交DE 于G ．∴AF =2AM ∵M 是BC 中点 ∴BM =CM在△BMF 和△CMA 中∴△BMF ≌△CMA (SAS) ∴FB =AC ，∠3=∠4 ∴BF ∥AC∴∠FBA +∠BAC =180° ∵∠BAE =∠CAD =90° ∴∠DAE +∠BAC =180° ∴∠FBA =∠DAE ∵AC =AD ∴BF =AD在△FBA 和△DAE 中∴△FBA ≌△DAE (SAS) ∴AF =ED ，∠5=∠6 ∴DE =2AM ∵∠BAE =90° ∴∠5+∠7=90° ∴∠6+∠7=90° ∴∠EGA =90° 即AM ⊥DE（2）（1）中的结论成立，理由如下：如图，延长AM 到F ，使MF =AM ，连接BF ，延长MA 交DE 于G ．∴AF =2AM ∵M 是BC 中点1H AH ECHAE CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩12BM CM MF MA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩BF AD FBA DAE AB EA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩H123FDB AG∴BM =CM在△BMF 和△CMA 中∴△BMF ≌△CMA (SAS) ∴FB =AC ，∠3=∠4 ∴BF ∥AC∴∠FBA +∠BAC =180° ∵∠BAE =∠CAD =90° ∴∠DAE +∠BAC =180° ∴∠FBA =∠DAE ∵AC =AD ∴BF =AD在△FBA 和△DAE 中∴△FBA ≌△DAE (SAS) ∴AF =ED ，∠5=∠6 ∴DE =2AM ∵∠BAE =90° ∴∠5+∠7=90° ∴∠6+∠7=90° ∴∠EGA =90° 即AM ⊥DE（3）（1）中的结论成立，理由如下：如图，延长AM 到F ，使MF =AM ，交DE 于G ，连接BF ．∴AF =2AM ∵M 是BC 中点 ∴BM =CM在△BMF 和△CMA 中∴△BMF ≌△CMA (SAS) ∴FB =AC ，∠FBM =∠ACM ∴BF ∥AC∴∠FBA +∠BAC =180°12BM CM MF MA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩BF AD FBA DAE AB EA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩BM CM BMF CMA MF MA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩FGD A EC MB∵∠BAE =∠CAD =90°∠BAC =∠BAE +∠CAD -∠DAE ∴∠DAE +∠BAC =180° ∴∠FBA =∠DAE ∵AC =AD ∴BF =AD在△FBA 和△DAE 中∴△FBA ≌△DAE (SAS) ∴AF =ED ，∠BAF =∠AED ∴DE =2AM ∵∠BAE =90° ∴∠BAF +∠EAF =90° ∴∠AED +∠EAF =90° ∴∠EGA =90° 即AM ⊥DE4. （1）证明：如图，在BN 上截取BE=AD ．∵AC 平分∠DAB ，∠MAN =120° ∴∠1=∠2=60° 在△CDA 和△CBA 中∴△CDA ≌△CBA (AAS) ∴DC =BC ，AD =AB 在△CDA 和△CBE 中∴△CDA ≌△CBE (SAS) ∴AC =EC ∵∠2=60°∴AC=AE =BE+AB =AD+AB（2）成立，证明如下：如图，过C 作CG ⊥AM 于G ，CF ⊥AN 于F ，在BN 上截取BE=AD ．BF AD FBA DAE AB EA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩12CDA CBA CA CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩DC BC CDA CBE AD EB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩21E图1NM DCB A∵CG ⊥AM ，CF ⊥AN ∴∵AC 平分∠DAB ，∠MAN =120° ∴∠1=∠2=60°，CG=CF ∵∠ABC +∠ADC =180° ∠CDG +∠ADC =180° ∠ABC +∠EBC =180°∴∠CDG =∠CBF ，∠ADC =∠EBC 在△CGD 和△CFB 中∴△CGD ≌△CFB （AAS ） ∴CD =CB在△CDA 和△CBE 中三角形全等之类比探究（实战演练）1. 在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =90°，P 是直线CD 上一点，连接PA ，过点B ，D 作BE ⊥PA ，DF ⊥PA ，垂足分别为点E ，F ．（1）如图1，请探究BE ，DF ，EF 这三条线段的数量关系．（2）若点P 在DC 的延长线上，如图2，则这三条线段又具有怎样的数量关系？（3）若点P 在CD 的延长线上，如图3，直接写出BE ，DF ，EF 这三条线段的数量关系．【参考答案】CGD CFB ∠=∠CDG CBF CGD CFB CG CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩CD CB ADC AD EB =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩G FE A B C DMN图3图3图2图1PABCDEFP FED CBA PF EDCBA1. （1）EF=BE -DF ，证明略 （2）EF= DF -BE ，证明略 （3）EF=BE +DF 路线图：(AAS) 123ABE DAF AE DF BE AF EF AF AEBE DFEF AE AFDF BEEF AF AEDF BE↓==↓=-=-=-=-=+=+△≌△（）（）（）三角形全等之类比探究（作业）➢ 例题示范例1：已知，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点B ，C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF ，AD =AF ，∠DAF =90°，连接CF ． （1）如图1，当点D 在线段BC 上时，求证：CF +CD =BC ；（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF ，BC ，CD 三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变，求CF ，BC ，CD 三条线段之间的关系．【思路分析】结合题目特征，本题为类比探究问题． 解决方法：（1）根据题目条件及（1）问中D 在线段BC 上，证明△ABD ≌△ACF ，就可以得出BD =CF ，结论可证．图2图1ABCDEFFED CBA图3AB CDF 图1FED CBA（2）用解决第（1）问的方法解决后续问题，方法上完全照搬．如图2，通过证明△ABD ≌△ACF ，就可以得出BD =CF ，进而得到BC +CD =CF ； 如图3，通过证明△ABD ≌△ACF ，就可以得出BD =CF ，进而得到BC +CF =CD ． 【过程书写】证明：如图，∵∠DAF =90°，∠BAC =90° ∴∠BAD =∠CAF 在△BAD 和△CAF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAD ≌△CAF （SAS ） ∴BD =CF ∵BD +CD =BC ∴CF +CD =BC （2）BC +CD =CF（3）BC +CF =CD ，理由如下： ∵∠DAF =90°，∠BAC =90° ∴∠BAD =∠CAF 在△BAD 和△CAF 中，∴△BAD ≌△CAF （SAS ） ∴BD =CF ∵BC +BD =CD ∴BC +CF =CD➢ 巩固练习1. 已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AC ⊥CE ，BC =DE ，如图1．（1）求证：AC =CE ．（2）若将△ECD 沿CB 方向平移至如图2的位置（C 1，C 2不重合），其余条件不变，结论AC 1=C 2E 还成立吗？请说明理由．（3）若将△ECD 沿CB 方向平移至如图3的位置（B ，C 2重合），其余条件不变，结论AC 1=C 2E 还成立吗？请说明理由．AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩图3图2图1A C DEEDAEDB (C 2)AC 2C 1C 1图3AB CDEF图2图1CE MN NM D C BA2. （1）【问题发现】小明学习中遇到这样一个问题：如图1，△ABC 是等边三角形，点D 为BC 的中点，且满足∠ADE =60°，DE 交等边三角形外角平分线CE 所在直线于点E ，试探究AD 与DE 的数量关系．小明发现，过点D 作DF ∥AC ，交AB 于点F ，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够使问题得到解决，请直接写出AD 与DE 的数量关系：_______________；（2）【类比探究】如图2，当点D 是线段BC 上（除B ，C 外）任意一点时（其他条件不变），试猜想AD 与DE 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）【拓展应用】如图3，当点D 在线段BC 的延长线上（其他条件不变），试猜想AD 与DE 之间的数量关系，并证明你的结论．3. 如图1所示，在△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE ，且点B ，A ，D 在一条直线上，连接BE ，CD ，M ，N 分别为BE ，CD 的中点，连接AM ，AN ，MN ． （1）求证：①BE =CD ；②△AMN 是等腰三角形．（2）在图1的基础上，将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到如图2所示的图形．（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．图3EDC BA图2E DCBA【参考答案】1. 证明略路线图：(AAS) A DCE ABC CDE AC CE∠=∠↓↓=△≌△ 提示：（1）AC=CE ，由垂直转互余可以得到∠A =∠DCE ， 结合BC=DE 证明△ABC ≌△CDE ，得到对应边相等， 可以得到AC=CE ．（2）成立，照搬第一问的字母、思路和过程可以得到AC 1=C 2E ． （3）成立，照搬第一问的字母、思路和过程可以得到AC 1=C 2E ． 2. 证明略D DF AC AB F 过点作∥，交于点路线图(AAS) BDF BF BD AF CD ADF DEC AD DE↓==↓↓=△为等边三角形，△≌△ 提示： （1）AD =DE（2）AD =DE 成立，根据△ABC 以及△BDF 是等边三角形，得到AF =DC ，再结合∠ADE =60°，倒角，得到∠DAF =∠EDC ，结合外角平分线，知∠DCE =∠AFD =120°，得到△ADF ≌ △DEC ，得到对应边相等，可得AD =DE ．（3）成立，照搬第二问的字母、思路和过程可以得到AD =DE ．图1F E DC B A3. 证明略路线图(SAS) (SAS) BAE CAD BE CD ABE ACD ABM ACN AM AN AMN ↓=∠=∠↓↓=↓△≌△，△≌△△是等腰三角形提示：（1）由已知条件先证明△BAE ≌△CAD (SAS)，得到BE=CD ，结合第一次全等提供的条件证明△ABM ≌△ACN (SAS)得到AM=AN ，因而△AMN 是等腰三角形．（2）成立，照搬第一问的字母、思路和过程可以得到BE=CD ，△AMN 是等腰三角形．。

类比探究（讲义）➢知识点睛1.类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单到复杂）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主——“条件类似、图形结构类似、问法类似”．2.类比探究问题的处理思路（1）根据题干条件，结合分支条件先解决第一问；（2）整体类比第一问，迁移解决下一问．①类比是解决类比探究问题的第一原则，如类比字母、类比辅助线、类比思路；②对比前后条件变化，寻找并利用不变特征，考虑相关几何结构解决问题．3.类比探究问题中的常见特征举例手拉手模型：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形．EDAB C条件：AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE结论：△ABD≌△ACE➢精讲精练1.如图，在△ABC，△CDE中，∠ACB=∠ECD=90°，CA=CB，CD=CE，点D在AB边上．若AD=5，BD=12，则AE=______，DE=_______．ADEB2. 如图，点D 为等边三角形ABC 内一点，AD =4，BD =3，CD =5．以BD 为一边作等边三角形BDE ，连接CE ． （1）判断△DEC 的形状，并说明理由； （2）求∠ADB 的度数．EDCBA3. 如图，在△ABC ，△ADE 中，∠BAC =∠DAE =90°，AB =AC ，AD =AE ，点C ，D ，E 在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下五个结论：①BD =CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE +∠DBC =45°；④BE 2=ED 2+EC 2；⑤BE 2=2(AD 2+AB 2)，其中正确结论的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5ABC DE4. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 是BC 上一动点，连接AD ，过点A 作AE ⊥AD ，并且始终保持AE =AD ，连接CE ，AF 平分∠DAE 交BC 于F ． （1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）若BD =3，CF =4，则DF =_________．ECFDBA5. 已知△ABC 和△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，点D 是等腰直角三角形ABC 斜边AB 所在直线上一点（不与点B 重合）．（1）如图1，当点D在线段AB上时，直接写出DA2，DB2，DE2三者之间的数量关系：_______________．（2）如图2，当点D在线段AB的延长线上时，（1）中的结论仍然成立，请你利用图2给出证明过程．（3）若点D满足14ADAB，直接写出DEDB的值：_________．图1ECBA图2ECAA BC备用图6. 在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，在BC 的同侧作任意Rt △DBC ，∠BDC =90°．（1）若CD =2BD ，M 是CD 中点（如图1）， 求证：△ADB ≌△AMC ．（2）若CD ＜BD （如图2），在BD 边上是否存在一点N ，使得△ADN 是以DN 为斜边的等腰直角三角形？若存在，请在图2中确定点N 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．（提示：在BD 上截取BN =CD ，连接AN ） （3）当CD =1，BD =4时，则AD 的长为__________．MOD CBA图1OD BA图27.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D．（1）如图1，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF=90°，求证：BE=AF．（2）如图2，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN=90°，求证：AB+ANAM．（提示：过点M作AM的垂线，交AB的延长线于点P）AEB D FC图1ADNMB C图2【参考答案】➢精讲精练1.12，132.（1）△DEC是直角三角形，理由略；（2）∠ADB=150°3. C4.（1）略；（2）55.（1）222DA DB DE；（2）略；（3+=6.（1）略；（2）存在，证明略；（3）27.（1）略；（2）略。

学生做题前请先回答以下问题问题1：类比探究往往会围绕一个不变结构进行考查．类比探究中常见的不变结构有哪些？问题2：处理类比探究问题时，若属于常见结构，则________．问题3：处理类比探究问题时，若不属于常见结构类型，则需要我们尝试着去寻找不变结构解决问题．此时常见的处理思路是什么？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：类比探究往往会围绕一个不变结构进行考查．类比探究中常见的不变结构有哪些？答：类比探究中常见的不变结构有：①中点结构，常考虑平行夹中点，构造中位线等；②旋转结构，特征：等线段共点③平行结构，常考虑作平行，造相似④直角结构．常考虑斜直角放正问题2：处理类比探究问题时，若属于常见结构，则．答：调用结构类比解决．问题3：处理类比探究问题时，若不属于常见结构类型，则需要我们尝试着去寻找不变结构解决问题．此时常见的处理思路是什么？答：①根据题干条件，结合支干条件先解决第一问．②类比解决下一问．如果不能，分析条件变化，寻找不变特征．③结合所求目标，依据不变特征尝试找不变结构，大胆猜测、尝试、验证．类比探究专题（五）——探究应用一、单选题(共3道，每道33分)1.如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是_________；②设△BDC的面积为，△AEC的面积为，则与之间的数量关系是_______．( )A.DE=2AC；B.DE⊥AC；C.DE∥AC；D.DE∥AC；答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：探究应用2.（上接第1题）（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，△BDC的面积与△AEC的面积之间的数量关系是( )A. B. C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：探究应用3.（上接第1，2题）（3）拓展探究如图4，已知∠ABC=60°，D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB，交BC于点E．若在射线BA上存在点F，使，则BF的长为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：探究应用。