圆周角定理的推论

圆周角定理的推论
一、什么是圆周角定理：
圆周角定理是一种几何定理，它指出了一个三角形与它所多接的弧线之间满足的某种关系，即：圆周上相邻的弧线之间的集合所形成的内角之和等于180度。

即可简写为：当三条线接触同一个圆的时候，它们共组成的内角之和是180度。

二、圆周角定理的推论
（1）中点定理：在任意一个多边形内，任意一边都和多边形内心连接构成一个角，这个角的度数相加一定为180度。

三、圆周角定理的适用范围
圆周角定理可用于描述任意一个多边形关于圆周角的位置关系，主要用于计算圆周角的大小，以及计算多边形中不同角的大小。

圆周角定理在平面几何中有着重要的应用，即它是描述多边形的重要定理，熟练的掌握和复习这个定理有助于更
好的理解多边形的内容。

圆周角定理及推论知识点与练习(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--圆周角定理及推论知识点与练习1、圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

特别提示：证明圆周角定理时，可以分以下三种情况进行分类讨论： ①圆心在圆周角外 ②圆心在圆周角上 ③圆心在圆周角内特别提示：圆周角定理的证明分三种情况，利用三角形外角和定理证明。

2、推论：①圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半；②在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。

③半圆（直径）所对的圆周角是直角。

90°的圆周角所对的弦是直径。

注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有无数个，同一条弦所对的圆周角的度数有两个，一个是所对的劣弧度数，另一个是所对的优弧度数。

3、应用（1）运用圆周角定理及推论时，注意在同圆或等圆中；（2）运用此定理要善于从弧到角或从角到弧的转化，常用弧相等来证角相等；（3）在圆中常添加直角所对的弦或构造直径所对的圆周角为直角有关的辅助线，利用直角三角形解决有关的计算问题。

例：⊙O 半径OA ⊥OB ，弦AC ⊥BD 于E 。

求证：AD ∥BC证明：∵OA ⊥OB ，∴∠AOB ＝90º∵AB ⋂=AB ⋂，∴∠C=∠D=21∠AOB=45º∵AC ⊥BD ，∴∠AED=90º, ∴∠EAD=∠AED －∠D=45º ∴∠C=∠EAD, ∴AD ∥BC练习一、选择题1、在半径为R 的圆中有一条长度为R 的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( ) ° °或150° ° °或120°2、如图1，BD 是⊙C 的直径，弦AC 与BD 相交于点，则下列结论一定成立的是（） Ａ．ABD ACD ∠=∠ Ｂ．ABD AOD ∠=∠Ｃ．AOD AED ∠=∠ Ｄ．ABD BDC ∠=∠图5A P CB O 3. 如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，若它的一个外角70DCE ∠=，则BOD ∠=（） Ａ．35Ｂ．70Ｃ．110Ｄ．140 º4. 如图3，A C B 、、是⊙O 上三点，若40AOC ∠=，则ABC ∠的度数是 （ ） Ａ．10Ｂ．20Ｃ．40Ｄ．805. 如图4，⊙O 中弧AB 的度数为60，AC 是O 圆的直径，那么BOC ∠等于（ ）A ．150B ．130C ．120D ．606. 如图5，圆心角∠AOB=120︒，P 是AB ⋂上任一点（不与A ，B 重合），点C 在AP 的延长线上，则∠BPC 等于（ ）A.45︒B.60︒C.75︒D.85︒1、如图1，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 、E 均在⊙O 上，则∠1+∠2= 。

第2课时圆周角定理的推论一、学法点津本节课的内容比拟简单，学好本节课的关键是掌握一些数学思想方法在探究过程中的运用．在探究直径所对的圆周角这一定理时利用度量的方法可以初步探究出“直径所对的圆周角是直角〞这一性质；在探究圆内接四边形的性质时可以利用类比上节课探究圆周角定理的方法进展探究；在探究圆内接四边形的对角互补性质时利用“由特殊到一般〞，先探究对角是直角的特殊情况时的结论，使自己有了初步的感知，然后再对一般的情况进展证明就比拟容易了．二、学点归纳总结(一)知识要点总结1．圆周角定理推论：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．2．圆内接四边形的概念：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．3．圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．(二)规律方法总结1．运用圆周角定理的推论作辅助线的口诀记忆法：(1)直径所对的圆周角是直角→“见直径出直角〞；(2)90°的圆周角所对的弦是直径→“见直角连直径〞．2．圆内接四边形的性质的推论：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．(三)易错问题误区点拨对圆内接四边形的性质把握不清．【典例】如图3－4－86，∠EAD是圆内接四边形ABCD的一个外角，那么()图3－4－86A．∠EAD＝∠B B．∠EAD＝∠DC．∠EAD＝∠C D．∠EAD＝∠B＋∠C【错解】D【错解分析】圆内接四边形的两个性质：内角互补；外角等于其内对角．往往容易与三角形外角的性质混淆．【正解】C【正解分析】∵∠EAD是圆内接四边形ABCD的一个外角，∴∠BAD＋∠EAD＝180°，∠BAD＋∠C＝180°，∴∠EAD＝∠C.应选C.三、稳固拓展练习1．[湖州中考] 如图3－4－87，AB是△ABC外接圆的直径，∠A＝35°，那么∠B的度数是(C)图3－4－87A．35°B．45°C．55°D．65°[解析] ∵AB是△ABC外接圆的直径，∴∠C＝90°.∵∠A ＝35°，∴∠B ＝90°－∠A ＝55°.应选C.2．[日照中考] 如图3－4－87，在△ABC 中，以BC 为直径的圆分别交边AC ，AB 于E ，D 两点，连接BD ，DE.假设BD 平分∠ABC ，那么以下结论不一定成立的是(D)A ．BD ⊥ACB ．AC 2＝2AB·AEC ．△ADE 是等腰三角形D ．BC ＝2AD[解析] ∵BC 是直径，∴∠BDC ＝90°，∴BD ⊥AC ，故A 正确；∵BD 平分∠ABC ，BD ⊥AC ，∴△ABC 是等腰三角形，∴∠A ＝∠C ，AD ＝CD.∵四边形BCDE 是圆内接四边形，∴∠AED ＝∠C ，∴△ADE ∽△ABC ，△ADE 是等腰三角形，∴AD ＝DE ＝CD ，∴AC AE ＝BC DE ＝2BC 2DE ＝2AB AC，∴AC 2＝2AB·AE ，故B 正确；由B 的证明过程，可得C 选项正确．应选D.图3－4－88 图3－4－893．[常州中考] 如图3－4－89，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，BD 为⊙O 的直径，AD ＝6，那么DC ＝．[解析] ∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BAD ＝∠BCD ＝90°.∵∠BAC ＝120°，∴∠CAD ＝120°－90°＝30°，∴∠CBD ＝∠CAD ＝30°.∴∠BDC ＝90°－∠CBD ＝90°－30°＝60°.∵AB ＝AC ，∴∠ADB ＝∠ADC ，∴∠ADB ＝12∠BDC ＝12×60°＝30°.在Rt △ABD 中，∵AD ＝6，∴BD ＝AD÷cos30°＝6÷32＝4 3.在Rt △BCD 中，DC ＝12BD ＝12×43＝2 3.故答案为2 3. 4.如图3－4－90，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，OD ⊥AC ，垂足为E ，图3－4－90连接BD.(1)求证：BD 平分∠ABC ；(2)当∠ODB ＝30°时，求证：BC ＝OD.证明：(1)∵OD ⊥AC ，OD 为半径，∴CD ︵＝AD ︵，∴∠CBD ＝∠ABD ，∴BD 平分∠ABC.(2)∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ＝30°，∴∠AOD ＝∠OBD ＋∠ODB ＝30°＋30°＝60°.又∵OD ⊥AC 于点E ，∴∠OEA ＝90°，∴∠A ＝180°－∠OEA －∠AOD ＝180°－90°－60°＝30°.又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∴在Rt △ACB 中，BC ＝12AB.又∵OD ＝12AB ，∴BC ＝OD. 5．如图3－4－91，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，DP ∥AC ，交BA 的延长线于点P ，求证：AD·DC ＝PA·BC.图3－4－91 图3－4－92证明：如图3－4－92，连接BD.∵DP ∥AC ，∴∠PDA ＝∠DAC.∵∠DAC ＝∠DBC ，∴∠PDA ＝∠DBC.∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠DAP ＝∠DCB ，∴△PAD ∽△DCB.∴PA ∶DC ＝AD ∶BC ，即AD·DC ＝PA·BC.四、挑战课标中考1．[毕节中考] 如图3－4－93是以△ABC 的边AB 为直径的半圆O ，点C 恰好在半圆上，过点C 作CD ⊥AB 于点D.cos ∠ACD ＝35，BC ＝4，那么AC 的长为(D) 图3－4－93A ．1 B.203 C ．3 D.163[解析] ∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCD ＝90°.∵CD ⊥AB ，∴∠BCD ＋∠B＝90°，∴∠B ＝∠ACD.∵cos ∠ACD ＝35，∴cosB ＝35，∴tanB ＝43.在Rt △ABC 中，∵BC ＝4，∴tanB ＝AC BC ＝AC 4＝43，∴AC ＝163. [解题策略] 此题考察了圆周角定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．2．[兰州中考] 如图3－4－94，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，∠ADC ＝54°，那么∠BAC 的度数等于__36°__．图3－4－94[解析] ∵∠ABC 与∠ADC 是AC ︵所对的圆周角，∴∠ABC ＝∠ADC ＝54°.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠BAC ＝90°－∠ABC ＝90°－54°＝36°.[解题策略] 此题考察了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比拟简单，注意掌握“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等〞与“直径所对的圆周角是直角〞定理的应用．3．[无锡中考] 如图3－4－95，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是半圆O 上的两点，且OD ∥BC ，OD 与AC 交于点E.(1)假设∠B ＝70°，求∠CAD 的度数；(2)假设AB ＝4，AC ＝3，求DE 的长．图3－4－95[解析] (1)根据圆周角定理的推论可得∠ACB ＝90°，那么∠CAB 的度数即可求得．在等腰三角形AOD 中，根据等边对等角求得∠DAO 的度数，那么∠CAD 的度数即可求得；(2)易证OE 是△ABC 的中位线，利用中位线定理求得OE 的长，那么DE 的长即可求得． 解：(1)∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB ＝90°.又∵OD ∥BC ，∴∠AEO ＝∠ACB ＝90°，即OE ⊥AC ，∠CAB ＝90°－∠B ＝90°－70°＝20°，∠AOD ＝70°.∵OA ＝OD ，∴∠DAO ＝∠ADO ＝180°－∠AOD 2＝180°－70°2＝55°. ∴∠CAD ＝∠DAO －∠CAB ＝55°－20°＝35°.(2)在直角三角形ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝42－32＝7.∵OE ⊥AC ，∴AE ＝EC.又∵OA ＝OB ，∴OE ＝12BC ＝72. 又∵OD ＝12AB ＝2，∴DE ＝OD －OE ＝2－72. [解题策略] 此题考察了圆周角定理以及三角形的中位线定理，证明OE 是△ABC 的中位线是解(2)题的关键．。

圆周角的定理及推论的应用圆周角是数学中的一个重要概念，掌握圆周角的定理及其推论，对于解决许多几何问题非常有帮助。

本文将围绕圆周角的定理及推论的应用展开阐述。

一、圆周角的定义圆周角是指落在圆周上的两条弧所对的角，即两个弧之间的角度量。

一般用大写字母表示圆周角，如∠ABC。

二、圆周角的定理1、相等圆周角定理：在同一个圆周上，所对的圆周角相等。

证明：作弦AB、CD相交于点E，则∠AEB=∠CED。

由于AE、BE、CE、DE均是从一个圆心O引出的弦，故∠AEB=∠CEB，∠CED=∠BED，又因为OE=OE，故OEB≌OED，由此可得∠OEB=∠OED，即∠AEB=∠CED。

2、圆心角的定理：在同一个圆中，所对的圆心角相等。

证明：连接圆心O到AB的中垂线OH，H为AB的中点。

则OH垂直于AB，因此∠AOH、∠BOH均为直角，所以∠AOB=2∠AOH=2∠BOH。

3、正弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R证明：如下图所示，以AB、BC、CA为边作三角形ABC的外接圆，设圆心为O。

连接AO、BO、CO，过O点作弦AD、BE、CF，则OD=OE=OF=R，所以AOD、BOE、COF都是等边三角形。

因此，∠OAB=∠CFO、∠OBA=∠CEO、∠OBC=∠AEO、∠OCB=∠AFO。

设∠BAC=x，∠ABC=y，∠ACB=z，由三角形内角和公式得：x+y+z=180又由圆周角定理得：∠BOC=2y，∠AOC=2z，∠AOB=2x于是：∠AOB+∠BOC+∠AOC=3602x+2y+2z=360，即x+y+z=180。

将sinA、sinB、sinC带入上述公式中，可得：sinA/BC=sinB/CA=sinC/AB=1/2R即sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R。

4、余弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：cosA=(b²+c²-a²)/2bc，cosB=(a²+c²-b²)/2ac，cosC=(a²+b²-c²)/2ab证明：将ABC的外接圆的半径延长到BC、AC和AB上分别交于点D、E、F。

初三圆周角定理及其推论练习题圆周角定理是初中数学中的一个重要概念，它帮助我们理解和计算圆内的角度。

本文将介绍圆周角定理及其推论，并提供一些相关的练习题供读者加深理解和巩固知识。

一、圆周角定理圆周角定理是指：圆心角的度数等于其所对的弧的度数的两倍。

记作：∠AOB = 2∠ACB。

在一个圆中，以圆心为顶点的角叫做圆心角，以圆弧为底的角叫做弦对的圆周角。

图1: 圆心角和弦对的圆周角示意图根据圆周角定理，可以得出以下推论：推论1：在同一个圆上，圆心角相等的弧相等；弧相等的圆心角相等。

推论2：在同一个圆上，以弦分割的圆弧所对的圆心角相等。

推论3：在同一个圆上，以弦为底的圆周角相等的弧相等；弧相等的圆周角相等。

推论4：在同一个圆上，平分相同弧的两个圆心角的弦相等。

二、练习题现在我们来做一些练习题，加深对圆周角定理及其推论的理解。

1. 图2中，∠AOB = 80°，求∠ACB的度数。

图2: 圆心角的度数求解解：根据圆周角定理可知，∠AOB = 2∠ACB，代入已知条件80°，得到2∠ACB = 80°，再将其化简得∠ACB = 40°。

2. 图3中，∠ACD = 30°，求∠AED的度数。

图3: 弦对的圆周角的度数求解解：根据圆周角定理的推论3可知，以弦分割的圆弧所对的圆心角相等，∠ACB = ∠AED。

又已知∠ACD = 30°，所以∠AED = ∠ACB = 30°。

3. 图4中，弧AB = 80°，求∠AOB的度数。

图4: 弧长求解圆心角的度数解：根据推论1可知，圆心角相等的弧相等，所以∠AOB =2∠ACB。

又已知弧AB = 80°，所以∠AOB = 2 × 80° = 160°。

4. 图5中，弧CD = 弧EF，求∠CED的度数。

图5: 弧长相等的圆心角的度数求解解：根据推论3可知，以弦为底的圆周角相等的弧相等，所以弧CD = 弧EF。

圆周角定理的推论
圆周角定理指出了封闭图形中两个角的平行边之间的角的大小，可以用公式表示如下：
内角和 = 封闭图形中真实角的总和 - 360°
圆周角定理可以根据某些假设推出许多有用的结论。

一般来讲，由某一条边把图形分
割成两部分，图形中所有的角构成的闭合图形的内角和等于上面的定理中的表达式。

另外，如果一个图形有m条边，那么它的总角度数等于180（m - 2）。

例如，考虑一个六边形。

由定理可以推出，六边形的内角和等于720°，显然，它的
每一个角等于120°，证明了定理的准确性。

另外，如果在一个多边形中用一条边将其分
割为两个三边形，那么两个三边形内角和应该等于360°，三角形每一个内角应该等于180°/3 = 60°。

此外，如果一个图形中每个内角都相等，该图形是正多边形；正多边形中每个内角等
于（180•（n-2））/ n，其中n是多边形边数。

同样，如果图形中有两个内角是等腰三角形，那么其余一个内角的角度就是90°；若有四个等腰三角形，那么其他两个内角角度分别等于120°和30°。

由圆周角定理也可以推出，当一个图形三边框围时，其内角和等于180°；两个角等
于120°和60°；多边形三边框围时，其内角和等于270°；其余的内角等于80°和110°。

总而言之，圆周角定理为图形的绘制和多边形的构造提供了有用的信息。

圆周角定理
从几何学的角度给出了许多有用的结果和信息，并可以用于各种形状的几何图案的绘制。