2021年海南省中考数学复习题及答案 (98)

第五章四边形第一节多边形(建议用时:40分钟)考点1多边形的性质1.一个多边形的边数由原来的3增加到n(n>3,且n为正整数),则它的外角和( D )A.增加(n-2)×180°B.减小(n-2)×180°C.增加(n-1)×180°D.没有改变2.[2020广东]若一个多边形的内角和是540°,则该多边形的边数为( B )A.4B.5C.6D.73.如图,已知∠1,∠2,∠3是五边形ABCDE的三个外角,边CD,AE的延长线交于点F,如果∠1+∠2+∠3=225°,那么∠DFE的度数是45°.考点2正多边形的性质4.[2020承德二模]把边长相等的正五边形ABCDE和正方形ABFG,按照如图所示的方式放置,连接AD,则∠DAG= ( A ) A.18° B.20°C.28°D.30°5.[2020 邢台二模]如图,有n个全等的正五边形按如下方式拼接,使相邻的两个正五边形有一个公共顶点,所夹的锐角为24°,拼接一圈后,中间形成一个正多边形,则n的值为( B )A.5B.6C.8D.106.[2020石家庄新华区一模]连接正八边形的三个顶点,得到如图所示的图形,则下列说法错误的是( D )A.四边形AFGH与四边形CFED的面积相等B.连接BF,则BF平分∠AFC和∠ABCC.整个图形是轴对称图形,但不是中心对称图形D.△ACF是等边三角形7.[2020江苏扬州]如图,工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽,现测得扳手的开口宽度b=3 cm,则螺帽边长a=√3cm.8.[2020江苏连云港]如图,正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5,且A3A4∥B3B4,直线l经过B2,B3,则直线l与A1A2的夹角α=48°.9.如图,在正八边形中,四边形BCFG的面积为2a cm2,则正八边形的面积为4a cm2(用含a的代数式表示).10.[2020湖南株洲]一蜘蛛网如图所示,若多边形 ABCDEFGHI为正九边形,其中心为点O,点M,N分别在射线OA,OC上,则∠MON=80°.11.[2020福建]如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的,则∠ABC等于30度.12.若将n个边长为1的正m边形进行拼接,相邻的两个正m边形有一条公共边,围成一圈后中间恰好形成一个正n边形.(1)当m=8时,围成的图形如图所示,则该图形外轮廓的周长为20;(2)当n=3时,围成的图形的外轮廓的周长是27;(3)当m=5时,得到的正n边形的周长是10.13.[2019 唐山丰南区二模]关于n边形,甲、乙、丙三位同学有以下三种说法:甲:五边形的内角和为520°.乙:正六边形每个内角为130°.丙:七边形共有14条对角线.(1)判断三种说法是否正确,并对其中你认为不对的说法用计算进行说明;(2)若n边形的对角线共有35条,求该n边形的内角和.解:(1)甲、乙的说法不正确,丙的说法正确.正五边形的内角和为 180×(5-2)=540°.正六边形外角和为 360°,每个外角为 360÷6=60°,故每个内角为 180°-60°=120°.=35,(2)由题意知n(n−3)2解得n=10或n=-7(不合题意,舍去),180°×(10-2)=1 440°,故该n边形的内角和为1 440°.第二节平行四边形基础分点练（建议用时：45分钟）考点1平行四边形的判定1.下列条件中,不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( C )A.AB平行且等于CDB.∠A=∠C,∠B=∠DC.AB=AD,BC=CDD.AB=CD,AD=BC2.[2019广西河池]如图,在△ABC中,D,E分别是AB,BC的中点,点F在DE的延长线上,连接CF.添加一个条件,使四边形ADFC为平行四边形,则这个条件可以是( B )A.∠B=∠FB.∠B=∠BCFC.AC=CFD.AD=CF3.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BO=DO,点E,F分别在AO,CO上,且BE∥DF,AE=CF.求证:四边形ABCD为平行四边形.证明:∵BE∥DF,∴∠BEO=∠DFO,又BO=DO,∠BOE=∠DOF,∴△BEO≌△DFO,∴EO=FO.∵AE=CF,∴AE+EO=CF+FO,即AO=CO.又BO=DO,∴四边形ABCD为平行四边形.考点2平行四边形的性质4.在▱ABCD中,若∠A=2∠B,则∠D的度数为( C )A.30°B.45°C.60°D.120°5.[2019 石家庄十八县联考]证明:平行四边形对角线互相平分.已知:四边形ABCD是平行四边形,如图所示.求证:AO=CO,BO=DO.以下是排乱的证明过程:①∴∠ABO=∠CDO,∠BAC=∠DCA.②∵四边形ABCD是平行四边形.③∴AB∥CD,AB=DC.④∴△AOB≌△COD.⑤∴OA=OC,OB=OD.正确的顺序应是( C ) A.②①③④⑤ B.②③⑤①④C.②③①④⑤D.③②①④⑤6.[2020浙江温州]如图,在△ABC中,∠A=40°,AB=AC,点D在AC边上,以CB,CD为边作▱BCDE,则∠E的度数为( D )A.40°B.50°C.60°D.70°7.小宇利用尺规在▱ABCD内作出点E,又在BC边上作出点F,作图痕迹如图所示,若EF=2,则AB,CD之间的距离为( C )A.2B.3C.4D.58.[2019海南]如图,在▱ABCD中,将△ADC沿AC折叠后,点D恰好落在DC的延长线上的点E处.若∠B=60°,AB=3,则△ADE的周长为( C ) A.12 B.15 C.18 D.219.[2019保定定州二模]如图,已知点M为▱ABCD的边AB的中点,线段CM交BD于点E,S△BEM=1,则图中阴影部分的面积为( C )A.2B.3C.4D.510.[2020陕西]如图,在▱ABCD 中,AB=5,BC=8.E 是边BC 的中点,F 是▱ABCD 内一点,且∠BFC=90°.连接AF 并延长,交CD 于点G.若EF ∥AB,则DG 的长为( D )A.52B.32C.3D.211.[2020山东潍坊]如图,点E 是▱ABCD 的边AD 上的一点,且DE AE =12,连接BE 并延长交CD 的延长线于点F,若DE=3,DF=4,则▱ABCD 的周长为( C )A.21B.28C.34D.4212.[2020广西河池]如图,在▱ABCD 中,CE 平分∠BCD,交AB 于点E,连接DE,EA=3,EB=5,ED=4,则CE 的长是( C )A.5√2B.6√2C.4√5D.5√513.[2020贵州黔东南州]以▱ABCD 对角线的交点O 为原点,平行于BC 边的直线为x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系.若A 点坐标为(-2,1),则C 点坐标为 (2,-1) .14.[2019广西梧州]如图,▱ABCD 中,∠ADC=119°,BE ⊥DC 于点E,DF ⊥BC 于点F,BE 与DF 交于点H,则∠BHF= 61 度.15.[2020浙江金华]如图,平移图形M,与图形N 可以拼成一个平行四边形,则图中α的度数是 30 °.综合提升练（建议用时：25分钟）1.[2019广东广州]如图,▱ABCD 中,AB=2,AD=4,对角线AC,BD 相交于点O,且E,F,G,H 分别是AO,BO,CO,DO 的中点,则下列说法正确的是( B )A.EH=HGB.四边形EFGH 是平行四边形C.AC ⊥BDD.△ABO的面积是△EFO的面积的2倍2.[2020重庆A卷]如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,分别过点A,C作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为点E,F,AC平分∠DAE.(1)若∠AOE=50°,求∠ACB的度数;(2)求证:AE=CF.(1)解:∵AE⊥BD,∴∠AEO=90°.∵∠AOE=50°,∴∠EAO=40°.又∵AC平分∠DAE,∴∠OAD=∠EAO=40°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠ACB=∠OAD=40°.(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO.∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEO=∠CFO=90°.在△AEO和△CFO中,{∠AEO=∠CFO,∠EOA=∠FOC, AO=CO,∴△AEO≌△CFO,∴AE=CF.3.如图,在四边形ABCD中,AD∥CB,E为BD的中点,延长CD到点F,使DF=CD.(1)求证:AE=CE;(2)求证:四边形ABDF为平行四边形;(3)若CD=1,AF=2,∠BEC=2∠F,求四边形ABDF的面积.(1)证明:∵AD∥CB,∴∠DAC=∠BCA.∵E为BD的中点,∴DE=BE,在△ADE和△CBE中,{∠DAC=∠BCA,∠AED=∠CEB, DE=BE,∴△ADE≌△CBE,∴AE=CE.(2)证明:由(1)得,AE=CE,BE=DE,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.又∵DF=CD,∴AB=DF,∴四边形ABDF为平行四边形.(3)∵四边形ABDF为平行四边形,∴∠F=∠DBA,BD=AF=2.又∵∠BEC=2∠F,∠BEC=∠DBA+∠BAC,∴∠DBA=∠BAC,∴AE=BE=DE,∴∠BAD=90°.∵AB=CD=1,∴AD=√BD2-AB2=√3,∴四边形ABDF的面积为AB×AD=√3.新角度[2020江苏扬州]如图,在▱ABCD中,∠B=60°,AB=10,BC=8,点E为边AB上的一个动点,连接ED并延长DF=1DE,以EC,EF为邻边构造▱EFGC,连接EG,则EG的最小值为9√3.4第三节矩形、菱形、正方形课时一:矩形的性质与判定基础分点练（建议用时：30分钟）考点1矩形的判定1.[2020湖北十堰]已知平行四边形ABCD,有下列条件:①AB=BC;②AC=BD;③AC⊥BD;④AC平分∠BAD.其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是( B )A.①B.②C.③D.④2.如图,AB=AC,AD=AE,DE=BC,且∠BAD=∠CAE.求证:四边形BCDE是矩形.证明:∵∠BAD=∠CAE,∴∠BAD-∠BAC=∠CAE-∠BAC,即∠CAD=∠BAE.又∵AB=AC,AD=AE,∴△BAE≌△CAD,∴∠ABE=∠ACD,BE=CD.又∵DE=CB,∴四边形BCDE是平行四边形,∴BE∥CD.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠EBC=∠DCB.∵BE∥CD,∴∠EBC+∠DCB=180°,∴∠EBC=∠DCB=90°,∴四边形BCDE是矩形.考点2与矩形性质有关的证明与计算3.[2020湖南怀化]如图,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,若△AOD的面积为2,则矩形ABCD的面积为( C )A.4B.6C.8D.104.[2020 江苏连云港]如图,将矩形纸片ABCD沿BE折叠,使点A落在对角线BD上的A'处,若∠DBC=24°,则∠A'EB等于( C )A.66°B.60°C.57°D.48°5.[2019广东广州]如图,矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若BE=3,AF=5,则AC的长为( A )A.4√5B.4√3C.10D.86.[2020贵州黔东南州]如图,矩形ABCD中,AB=2,E为CD的中点,连接AE,BD交于点P,过点P作PQ⊥BC于点Q,则PQ=4.37.[2020山东菏泽]如图,矩形ABCD中,AB=5,AD=12,点P在对角线BD上,且BP=BA,连接AP并延长,交DC的延长线于点Q,连接BQ,则BQ的长为3√17.8.[2020 湖南长沙]如图,在矩形ABCD中,E为DC边上一点,把△ADE沿AE翻折,使点D恰好落在BC边上的点F处.(1)求证:△ABF∽△FCE.(2)若AB=2√3,AD=4,求EC的长.(3)若AE-DE=2EC,记∠BAF=α,∠FAE=β.求tan α+tanβ的值.(1)证明:∵∠AFE=∠D=90°,∴∠AFB+∠EFC=90°.∵四边形ABCD为矩形,∴∠B=∠C=90°,∴∠AFB+∠BAF=90°,∴∠EFC=∠BAF,∴△ABF∽△FCE.(2)由翻折的性质可得AF=AD=4,在Rt△ABF中,由勾股定理得,BF=√42-(2√3)2=2,∴FC=BC-BF=4-2=2.由(1)知△ABF ∽△FCE,∴AB FC =BFCE ,即2√32=2CE ,∴CE=2√33. (3)设EC=1,DE=x,则AE=x+2,AB=x+1,FE=x, ∴BC=AD=√AE 2-DE 2=√(x +2)2-x 2=2√x +1,FC=√FE 2-CE 2=√x 2-1,∴BF=BC-FC=2√x +1-√x 2-1.由(1)知△ABF ∽△FCE,∴AB FC =BFCE ,∴AB·CE=FC·BF, 即x+1=√x 2-1×(2√x +1-√x 2-1), 得x+1=2(x+1)√x −1-x 2+1, 整理,得x 2=4(x-1),解得x 1=x 2=2, ∴AB=3,BF=√3,AF=2√3, ∴tan α+tan β=BF AB +EF AF =√33+2√3=2√33.内蒙古呼和浩特]如图,把某矩形纸片ABCD 沿EF,GH 折叠(点E,H 在AD 边上,点F,G 在BC 边和点C 落在AD 边上同一点P 处,A 点的对称点为A',D 点的对称点为D',若∠FPG=90°,S △A'EP =8,S △D′PH =2,则矩形ABCD 的长为( D )A.6√5+10B.6√10+5√2C.3√5+10D.3√10+5√22.新角度[2020江西]如图,矩形纸片ABCD 中,AD=8 cm,AB=4 cm,折叠纸片使折痕经过点B,交AD 边于点E,点A 落在点A'处,展平后得到折痕BE,同时得到线段BA',EA',不再添加其他线段.当图中存在30°角时,AE 的长为 43 √3,4√3或(8-4√3) cm.课时二:菱形的判定与性质基础分点练（建议用时：40分钟）考点1 菱形的判定1.[2020浙江嘉兴]如图,平行四边形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,请添加一个条件: AD=DC(答案不唯一) ,使平行四边形ABCD 是菱形.2.[2020广西玉林]如图,将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起,则重合部分构成的四边形ABCD 是 菱形(填“是”或“不是”).3.[2020 山东滨州]如图,过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线,分别交边AB,BC,CD,DA 于点P,M,Q,N.(1)求证:△PBE≌△QDE;(2)顺次连接点P,M,Q,N,求证:四边形PMQN是菱形.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,且对角线AC与BD的交点为E,∴AB∥CD,BE=DE,∴∠PBE=∠QDE,∠BPE=∠DQE,∴△PBE≌△QDE.(2)证明:如图.由(1)可得PE=QE,同理可得ME=NE,∴四边形PMQN是平行四边形.又∵PQ⊥MN,∴▱PMQN是菱形.考点2与菱形的性质有关的计算4.[2020黑龙江绥化]如图,四边形ABCD是菱形,E,F分别是BC,CD两边上的点,不能保证△ABE和△ADF一定全等的条件是( C )A.∠BAF=∠DAEB.EC=FCC.AE=AFD.BE=DF5.[2020湖北黄冈]若菱形的周长为16,高为2,则菱形两邻角的度数之比为( B )A.4∶1B.5∶1C.6∶1D.7∶16.[2020黑龙江龙东地区]如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH,若OA=6,S菱形ABCD=48,则OH的长为( A ) A.4 B.8 C.√13 D.67.[2020四川乐山]如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,O是对角线BD的中点,过点O作OE⊥CD 于点E,连接OA.则四边形AOED的周长为( B )A.9+2√3B.9+√3C.7+2√3D.88.[2020辽宁抚顺]如图,四边形ABCD 是菱形,对角线AC,BD 相交于点O,AC=8,BD=6,点E 是CD 上一点,连接OE,若OE=CE,则OE 的长是( B ) A.2B.52C.3D.49.[2020四川南充]如图,面积为S 的菱形ABCD 中,点O 为对角线的交点,点E 是线段BC 的中点,过点E 分别作EF ⊥BD 于点F,EG ⊥AC 于点G,则四边形EFOG 的面积为( B )A.14SB.18SC.112S D.116S10.[2020广东]如图,在菱形ABCD 中,∠A=30°,取大于12AB 的长为半径,分别以点A,B 为圆心作弧相交于两点,过此两点的直线交AD 边于点E(作图痕迹如图所示),连接BE,BD.则∠EBD 的度数为 45° .11.[2020陕西]如图,在菱形ABCD 中,AB=6,∠B=60°,点E 在边AD 上,且AE=2.若直线l 经过点E,将该菱形的面积平分,并与菱形的另一边交于点F,则线段EF 的长为 2√7 .12.[2020北京]如图,菱形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,E 是AD 的中点,点F,G 在AB 上,EF ⊥AB,OG ∥EF.(1)求证:四边形OEFG 是矩形; (2)若AD=10,EF=4,求OE 和BG 的长.(1)证明:∵四边形ABCD 为菱形,∴点O 为BD 的中点. 又∵点E 为AD 的中点,∴OE 为△ABD 的中位线, ∴OE ∥FG.又∵OG∥EF,∴四边形OEFG为平行四边形.又∵EF⊥AB,∴四边形OEFG为矩形.AD=5.(2)∵点E为AD的中点,AD=10,∴AE=12又∵∠EFA=90°,EF=4,∴AF=√AE2-EF2=√52-42=3.AB=5.∵四边形ABCD为菱形,∴AB=AD=10,∴OE=12∵四边形OEFG为矩形,∴FG=OE=5,∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2.动态型[2020浙江绍兴]如图,点O为矩形ABCD的对称中心,点E从点A出发沿AB向点B运动,移动到点B 停止,延长EO交CD于点F,则四边形AECF形状的变化依次为( B )A.平行四边形→正方形→平行四边形→矩形B.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C.平行四边形→正方形→菱形→矩形D.平行四边形→菱形→正方形→矩形课时三:正方形的性质和判定基础分点练（建议用时：40分钟）考点1正方形的判定1.[2020石家庄新华区一模]如图,已知线段AB,按下列步骤作图:分别以点A,B为圆心、大于1AB的长为半径画2弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交AB于点O,连接MA,MB,NA,NB,若四边形MANB是正方形,则需要添加的条件是( A )A.AO=MOB.MA∥NBC.MA=NBD.AB平分∠MAN2.[2020山东滨州]下列命题是假命题的是( D )A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B.对角线互相垂直的矩形是正方形C.对角线相等的菱形是正方形D.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形3.[2020山东威海]如图,在▱ABCD中,BD⊥AD,AB=10,AD=6,O为BD的中点,E为边AB上一点,连接EO并延长交CD于点F,连接DE,BF.下列结论不成立的是( D )A.四边形DEBF为平行四边形B.若AE=3.6,则四边形DEBF为矩形C.若AE=5,则四边形DEBF为菱形D.若AE=4.8,则四边形DEBF为正方形考点2正方形的性质4.[2020浙江湖州]四边形具有不稳定性,对于四条边长确定的四边形,当内角度数发生变化时,其形状也会随之改变.如图,改变正方形ABCD的内角,正方形ABCD变为菱形ABC'D'.若∠D'AB=30°,则菱形ABC'D'的面积与正方形ABCD的面积之比是( B )A.1B.12C.√22D.√325.[2019内蒙古鄂尔多斯]如图,以AB为边在正方形ABCD外部作等边三角形ABE,连接DE,则∠BED的度数为( C )A.15°B.35°C.45°D.55°6.[2020邢台二模]如图,在正方形ABCD中,AB=6,点Q是AB边上的一个动点(点Q不与点B重合),点M,N分别是DQ,BQ的中点,则线段MN= ( A )A.3√2B.3√22C.3D.67.[2020湖北恩施州]如图,正方形ABCD的边长为4,点E在AB上且BE=1,F为对角线AC上一动点,则△BFE 周长的最小值为( B )A.5B.6C.7D.88.[2020浙江湖州]七巧板是我国祖先的一项卓越创造,流行于世界各地.由边长为2的正方形木板可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板,如图(1)所示.分别用这两副七巧板试拼如图(2)中的平行四边形或矩形,则这两个图形中,中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是( D )图(1)图(2)A.1和1B.1和2C.2和1D.2和29.[2020河南]如图,在边长为2√2的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点,连接EC,FD,点G,H分别是EC,FD的中点,连接GH,则GH的长度为1.10.[2020甘肃天水]如图,在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF=45°,AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.若DF=3,则BE的长为2.11.[2020张家口桥东区一模]如图,将边长分别为a,b的两个正方形放在一起.a(a+b);(1)图中阴影部分的三角形的面积为12(2)△ABC的面积为1b2.2(用含a,b的代数式表示)12.[2020四川自贡]如图,在正方形ABCD中,点E在BC边的延长线上,点F在CD边的延长线上,且CE=DF,连接AE,BF交于点M.求证:AE=BF.证明:∵四边形ABCD 为正方形, ∴AB=BC=CD,∠ABE=∠BCF=90°.又∵CE=DF,∴CE+BC=DF+CD,即BE=CF.在△ABE 和△BCF 中,{BE =CF,∠ABE =∠BCF,AB =BC,∴△ABE ≌△BCF,∴AE=BF.13.[2020浙江杭州]如图,在正方形ABCD 中,点E 在BC 边上,连接AE,∠DAE 的平分线与CD 边交于点G,与BC 的延长线交于点F.设CEEB =λ(λ>0).(1)若AB=2,λ=1,求线段CF 的长. (2)连接EG,若EG ⊥AF, ①求证:点G 为CD 边的中点. ②求λ的值.(1)解:因为在正方形ABCD 中,AD ∥BC,所以∠DAF=∠F.因为AG 平分∠DAE,所以∠DAF=∠EAF,所以∠EAF=∠F,所以EA=EF. 因为λ=1,BC=AB=2,所以BE=EC=1. 在Rt △ABE 中,由勾股定理,得EA=√5, 所以CF=EF-EC=EA-EC=√5-1.(2)①证明:由(1)可知EA=EF,又因为EG ⊥AF, 所以AG=GF.又因为∠AGD=∠FGC,∠DAG=∠F, 所以△DAG ≌△CFG.所以DG=CG, 所以点G 为CD 边的中点.②不妨设CD=2,则AD=2,CG=1.由①得CF=AD=2. 易证△FGC ∽△GEC,所以EC CG =CG CF =12, 所以EC=12,所以BE=32,所以λ=CE EB =13.综合提升练（建议用时：30分钟）1.[2020湖南常德]如图(1),已知四边形ABCD 是正方形,将△DAE,△DCF 分别沿DE,DF 向内折叠得到图(2),此时DA 与DC 重合(点A,C 都落在点G 处),若GF=4,EG=6,则DG 的长为 12 .2.[2020山东青岛]如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,点E在CD的延长线上,连接AE,点F是.AE的中点,连接OF交AD于点G,连接DF.若DE=2,OF=3,则点A到DF的距离为4√553.[2020湖北咸宁]如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,点E是边BC上一动点(不与点B,C重合),∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F,交CD于点G,连接AF,有下列结论:①△ABE∽△ECG;②AE=EF;③∠DAF=∠CFE;④△CEF的面积的最大值为1.其中正确结论的序号是①②③.(把正确结论的序号都填上)4.[2020唐山路南区二模]如图,在边长为2的正方形ABCD中,动点F,E以相同的速度分别从点D,C同时出发向点C,B运动(任何一个点到达终点时,两点都停止运动).连接AE,BF,AE与BF交于点P,过点P分别作PM∥CD 交BC于点M,PN∥BC交CD于点N,连接MN,在运动过程中,(1)AE和BF的数量关系为AE=BF;(2)MN长度的最小值为√5-1.5.[2020湖南株洲]如图所示,△BEF的顶点E在正方形ABCD对角线AC的延长线上,AE与BF交于点G,连接AF,CF,满足△ABF≌△CBE.(1)求证:∠EBF=90°;(2)若正方形ABCD的边长为1,CE=2,求tan∠AFC的值.(1)证明:∵△ABF≌△CBE,∴∠ABF=∠CBE.∵∠ABF+∠CBF=90°,∴∠CBF+∠CBE=90°,∴∠EBF=90°.(2)∵△ABF ≌△CBE,∴∠AFB=∠CEB. 又∵∠FGA=∠EGB,∴∠FAC=∠EBF=90°. ∵正方形的边长为1,CE=2,∴AC=√2,AF=CE=2, ∴tan ∠AFC=AC AF =√22.6.[2020四川南充]如图,边长为1的正方形ABCD 中,点K 在AD 上,连接BK,分别过点A,C 作BK 的垂线,垂足分别为点M,N,点O 是正方形ABCD 的中心,连接OM,ON.(1)求证:AM=BN.(2)请判定△OMN 的形状,并说明理由.(3)设AK=x,若点K 在线段AD 上运动(不包括端点),△OMN 的面积为y,求y 关于x 的函数解析式(写出此时x 的范围);若点K 在射线AD 上运动,且△OMN 的面积为110,请直接写出AK 长. (1)证明:∵AM ⊥BM,CN ⊥BN,∴∠AMB=∠BNC=90°. 又∵∠ABC=90°,∴∠MAB+∠MBA=∠CBN+∠MBA=90°, ∴∠MAB=∠CBN.又AB=BC,∴△AMB ≌△BNC,∴AM=BN. (2)△OMN 是等腰直角三角形.理由:连接OB,如图.∵O 为正方形的中心,∴∠OAB=∠OBC,OA=OB,∴∠MAB-∠OAB=∠NBC-∠OBC,即∠MAO=∠OBN.又∵AM=BN,∴△AMO ≌△BNO, ∴OM=ON,∠AOM=∠BON.易知∠AOB=∠AON+∠BON=90°, ∴∠MON=∠AON+∠AOM=90°, ∴△OMN 是等腰直角三角形.(3)在Rt △ABK 中,BK=√AK 2+AB 2=√x 2+1. 易知BK·AM=AB·AK,则BN=AM=AB·AK BK=√x 2+1.∵∠AKM=∠BKA,∠AMK=∠BAK=90°,∴△AKM ∽△BKA,∴AK BK =KMAK,∴KM=AK 2BK=2√x 2+1,∴MN=BK-BN-KM=√x 2+1-√x 2+1-2√x 2+1=√x 2+1,∴S △OMN =12×(√22MN)2=14MN 2=(1-x)24x 2+4,即y=x 2-2x+14x 2+4(0<x<1).若点K 在射线AD 上运动,S △OMN =110,则AK 长为13或3.湖北孝感]如图(1),四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间是个小正方形,这个图形是我,人们称它为“赵爽弦图”.在此图形中连接四条线段得到如图(2)所示的图形,记阴影部分的面积为S 1,空白部分的面积为S 2,大正方形的边长为m,小正方形的边长为n,若S 1=S 2,则nm 的值为 √3-12.图(1) 图(2)参考答案第一节 多边形1.D 因多边形的外角和等于360°,与边数无关,故选D.2.B 设该多边形的边数是n,由多边形的内角和公式,得180°×(n-2)=540°,解得n=5.故选B.3.45° ∵多边形的外角和为360°,∴∠DEF+∠EDF=360°-225°=135°.∵∠DEF+∠EDF+∠DFE=180°,∴∠DFE=180°-135°=45°.4.A 正五边形的每一个内角为(5-2)×180°5=108°,即∠AED=∠EAB=108°.又EA=ED,∴∠EAD=180°−108°2=36°,∴∠DAB=∠EAB-∠EAD =72°.在正方形ABFG 中,∠GAB=90°,故∠DAG=∠GAB-∠DAB =18°.故选A. 5.B 正五边形每一个内角的度数为(5-2)×180°5=108°,所以中间形成的正多边形的每一个内角的度数为360°-24°-108°-108°=120°.易得120°n=(n-2)×180°,解得n=6.故选B.6.D 易知该图形关于直线BF 对称,四边形AFGH 与四边形CFED 关于直线BF 对称,故S 四边形AFGH =S 四边形CFED ,BF 平分∠AFC和∠ABC.因△ACF 不是中心对称图形,故整个图形不是中心对称图形.设该正八边形的中心为点O,连接OA,OC,则∠AFC=12∠AOC=12×360°4=45°,故△ACF 不是等边三角形.7.√3 如图,作螺帽的外接圆,连接AB,AC,则AC 是其直径,易知∠BAC=30°,∠ABC=90°,∴BC=√33AB=√3 cm.8.48 如图,由正五边形内角和为(5-2)×180°=540°,可知∠1=108°.又A 3A 4∥B 3B 4,∴∠2=∠1=108°,∴∠3=72°.在四边形A 2A 3MN 中,∠3+∠4+∠A 2+∠A 3=360°,∠A 2=∠A 3=120°,∴α=∠4=48°.9.4a 如图,连接HE,AD,分别交BG 于点M,N,正八边形每个内角的度数为(8-2)×180°8=135°.易得∠DAH=∠CBG=90°,∴∠BAN=∠ABN=45°,∴AN=BN,AB=√2AN=√2BN.设AN=BN=x,则AB=BC=AH=HG=√2x,MG=x,∴S 四边形BCFG =BC×BG=√2x·(2x+√2x)=2(√2+1)x 2=2a,∴S 四边形ABGH =12(AH+BG)×AN=12(√2x+2x+√2x)·x=(√2+1)x 2=a,故正八边形的面积为a×2+2a=4a(cm 2).10.80 正九边形的中心角度数为360°÷9=40°,即∠AOB=40°,∴∠MON=2∠AOB=2×40°=80°. 11.30 如图,∵六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的,∴六边形ABMNEF 是正六边形,∴∠ABM=(6-2)×180°6=120°.又∠CBM=90°,∴∠ABC=120°-90°=30°.12.20 27 10 (1)每个正八边形的周长为8,故题中图形外轮廓的周长为(8-3)×4=20.(2)设正m 边形的一个内角的度数为α,依据题意,得2α+60°=360°,解得α=150°,∴m=360°÷(180°-150°)=12,∴当n=3时,围成的图形的外轮廓的周长是(12-3)×3=27.(3)正五边形一个内角的度数为180°-360°÷5=108°,∴得到的正n 边形的一个内角的度数为360°-108°-108°=144°,一个外角的度数为180°-144°=36°,∴n=360°÷36°=10,∴得到的正n 边形的周长是10. 13.略第二节 平行四边形 基础分点练 1.C2.B 在△ABC 中,D,E 分别是AB,BC 的中点,∴DE 是△ABC 的中位线,∴DE ∥AC.当∠B=∠BCF 时,AD ∥CF.根据平行四边形的定义可知此时四边形ADFC 是平行四边形.故选B.3.略4.C ∵四边形ABCD 为平行四边形,∴AD ∥BC,∠B=∠D,∴∠A+∠B=180°.∵∠A=2∠B,∴2∠B+∠B=180°,∴∠B=60°,∴∠D=60°.故选C. 5.C ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD,AB=DC,∴∠ABO=∠CDO,∠BAC=∠DCA,∴△AOB ≌△COD,∴OA=OC,OB=OD.故正确的顺序为②③①④⑤,故选C.6.D ∵AB=AC,∠A=40°,∴∠C=∠ABC=70°.又∵四边形BCDE 为平行四边形,∴∠E=∠C=70°.故选D.7.C 如图,过点E 作EM ⊥BA 交BA 的延长线于点M,延长ME 交CD 于点N.∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD,∴EN ⊥CD.由尺规作图的痕迹可知,BE,CE 分别平分∠ABC,∠BCD,EF ⊥BC, ∴EM=EF=2, EN=EF=2,∴MN=4,即AB,CD 之间的距离为4.故选C.8.C ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴∠D=∠B=60°,CD=AB=3.由折叠的性质可知AE=AD,DC=CE,又D,C,E 三点共线,∴△ADE 是等边三角形.又∵DE=DC+CE=6,∴△ADE 的周长为6×3=18.9.C ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD,AB=CD.易得△BEM ∽△DEC,∴BE DE =EM EC =BM CD =12, ∴S △DEM =2S △EBM =2,S △EBC =2S △EBM =2,∴S 阴影=2+2=4,故选C.10.D 如图,延长EF 交AD 于点H,则AB ∥EH ∥CD,∴四边形ABEH 和四边形CDHE 都是平行四边形,∴EH=AB=5,AH=BE,HD=EC.∵∠BFC=90°,E 是边BC 的中点,BC=8,∴EF=BE=EC=12×8=4, ∴AH=HD,FH=EH-EF=5-4=1.易得FH 是△ADG 的中位线,∴DG=2FH=2.11.C ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CF,AB=CD,∴△ABE ∽△DFE,∴AB DF =AEDE =2,又∵DE=3,DF=4, ∴AE=6,AB=8,∴AD=AE+DE=6+3=9,∴▱ABCD 的周长为(8+9)×2=34.故选C. 12.C ∵CE 平分∠BCD,∴∠BCE=∠DCE.∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,AB ∥CD,∴∠BEC=∠DCE,∠CDE=∠AED,∴∠BEC=∠BCE,∴BC=BE=5,∴AD=5.又∵EA=3,ED=4,∴EA 2+ED 2=AD 2,∴∠AED=90°,∴∠CDE=90°.又CD=AB=3+5=8,∴CE=√DE 2+DC 2= √42+82=4√5.故选C.13.(2,-1) ∵▱ABCD 对角线的交点O 为坐标原点,∴点A 与点C 关于原点O 中心对称.又点A 的坐标为(-2,1),∴点C 的坐标为(2,-1).14.61 ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ∥BC,DC ∥AB.∵∠ADC=119°,DF ⊥BC, ∴∠ADF=∠DFC=90°, ∠EDH=29°.∵BE ⊥DC,∴∠DEH=90°,∴∠BHF=∠DHE=90°-29°= 61°. 15.30 如图,由题意可知α+∠BCD=180°.过点B 作BF ∥CD,则BF ∥AE,∴∠ABF=180°-∠A=110°, ∴∠CBF=140°- ∠ABF=30°,∴∠BCD=180°-∠CBF=150°,∴α=180°-∠BCD=30°.综合提升练1.B ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴BC ∥AD,AB ∥CD.∵E,F,G,H 分别是AO,BO,CO,DO 的中点,∴EH ∥AD,EH=12AD,EF ∥AB,EF=12AB,FG ∥BC,FG=12BC,GH ∥CD,GH=12CD,∴EH ∥FG,EF ∥HG,∴四边形EFGH 是平行四边形,故B 中的说法正确.∵AB=2,AD=4,∴EH=2,HG=1,故A 中的说法错误.∵AB ≠AD,∴平行四边形ABCD 不是菱形,故AC 与BD 不垂直,故C 中的说法错误.由EF ∥AB,得△OEF ∽△OAB,∴S △ABO S △EFO=(ABEF )2=4.故D 中的说法错误.2.略3.略 全国视野创新练9√3 设CD 与EG 交于点O.∵四边形EFGC 是平行四边形,∴EF=CG,EF ∥CG,∴△DOE ∽△COG,∴OE OG =DECG .又∵DF=14DE,∴DE CG =45,即OE OG =45,∴OE EG =49,即EG=94OE,∴当OE 最小时,EG 也最小.当OE ⊥AB 时,OE 取最小值.如图,过点C 作CH ⊥AB 于点H.在Rt △BCH 中,BC=8,∠B=60°,∴CH=sin B×BC=4√3,∴OE 的最小值为4√3,∴EG 的最小值为94×4√3=9√3.第三节 矩形、菱形、正方形 课时一:矩形的性质与判定基础分点练1.B AB=BC,邻边相等的平行四边形是菱形;AC=BD,对角线相等的平行四边形是矩形;AC ⊥BD,对角线互相垂直的平行四边形是菱形;由AC 平分∠BAD,可推得平行四边形ABCD 是菱形.故选B.2.略3.C 由四边形ABCD 是矩形,对角线AC,BD 相交于点O,得OA=OB=OC=OD,故S △AOB =S △COB =S △COD =S △AOD =2,所以矩形ABCD 的面积为4S △AOD =8,故选C.4.C 由折叠可得∠ABE=∠A'BE,∠BA'E=∠A=90°.∵∠DBC=24°,∴∠ABA'=90°-24°=66°,∴∠A'BE=33°, ∴∠A'EB=90°-33°=57°.5.A 如图,连接AE,设AC,EF 交于点O,∵四边形ABCD 是矩形,∴AD ∥BC,∴∠DAC=∠ACB.∵直线EF 垂直平分AC,∴OA=OC,AE=EC,又∵∠AOF=∠COE,∴△AOF ≌△COE,∴AE=CE=AF=5,∴BC=BE+EC=8.在Rt △ABE 中,AB=√AE 2-BE 2=√52-32=4.在Rt △ABC 中,AC=√AB 2+BC 2=√42+82=4√5,故选A.6.43 根据矩形的性质得到AB ∥CD,AB=CD.∵点E 为CD 的中点,∴DE=12CD=12AB.易得△ABP ∽△EDP,则PB PD =ABDE =2,∴PB BD =23.易得△BPQ ∽△BDC,则PQ CD =BP BD =23,∴PQ=23CD=43. 7.3√17 在矩形ABCD 中,AB=5,AD=12,∠BAD=90°,根据勾股定理,可得BD=13.∵BP=BA=5,∴PD=BD-BP=8,∠BAP=∠BPA=∠DPQ.∵AB ∥CD,∴∠BAP=∠DQP,∴∠DPQ=∠DQP,∴DQ=DP=8,∴CQ=DQ-CD=DQ-AB=8-5=3.在Rt △BCQ 中,BC=AD=12,CQ=3,根据勾股定理,得BQ=3√17.8.略全国视野创新练1.D ∵四边形ABCD 是矩形,∴AB=CD,AD=BC.设AB=CD=x,由折叠的性质可知,PA'=AB=x,PD'=CD=x.易证△A'EP ∽△D'PH,∴A'P 2∶D'H 2=8∶2,∴A'P ∶D'H=2∶1,∴D'H=12x.∵S △D'PH =12D'P·D'H=12·x·12x=2,∴x=2√2(负值已舍去),∴D'P=A'P=2√2,DH=D'H=√2,∴A'E=2D'P=4√2,∴PE=√(4√2)2+(2√2)2=2√10,PH=√(2√2)2+(√2)2=√10,∴AD=4√2+2√10+√10+√2=3√10+5√2. 2.43√3,4√3或(8-4√3) ①如图(1),当∠ABE=30°时,在Rt △ABE 中,AB=4,tan ∠ABE=AE AB ,∴AE=AB·tan ∠ABE=4×tan 30°=43√3.②如图(2),当∠AEB=30°时,在Rt △ABE中,tan ∠AEB=AB AE ,∴√33=4AE,∴AE=4√3.③如图(3),当∠ABA'=30°时,∠DEA'=30°,由折叠的性质可知,AE=A'E, A'B=AB=4,过点A'作FG ⊥BC 于点G,交AD 于点F,则FG=AB=4.∵AB ∥FG,∴∠BA'G=∠ABA'=30°, ∴BG=12A'B=2.∵tan ∠BA'G=BG A'G =√33,∴A'G=2√3,∴A'F=FG-A'G=4-2√3.在Rt △A'EF 中,sin ∠FEA'=A'F A'E =12,∴AE=A'E=8-4√3.综上所述,AE 的长为43√3,4√3或(8-4√3)cm.图(1) 图(2)图(3)课时二:菱形的判定与性质基础分点练 1.AD=DC(答案不唯一)2.是 如图,∵AB ∥CD,AD ∥BC,∴四边形ABCD 是平行四边形.过点A 作AE ⊥BC 于点E,AF ⊥DC 于点F,∵两张纸条等宽,∴AE=AF,又S ▱ABCD =BC·AE=DC·AF,∴BC=DC,∴四边形ABCD 是菱形.3.略4.C 由四边形ABCD 是菱形,得AB=AD,∠B=∠D.选项A 中,由∠BAF=∠DAE,得∠BAE=∠DAF,故△ABE ≌△ADF.选项B 中,由EC=FC,得BE=DF,∴△ABE ≌△ADF.选项C 中,添加条件AE=AF,不能保证△ABE 和△ADF 一定全等.选项D 中,由BE=DF,易得△ABE ≌△ADF.故选C.5.B 如图,∵菱形ABCD 的周长为16,高为2,∴AB=4,AH=2.在Rt △ABH 中,sin B=AH AB =24=12,∴∠B=30°. ∵AB ∥CD,∴∠C=150°,∴∠C ∶∠B=5∶1.6.A ∵四边形ABCD 是菱形,OA=6,∴AC=2OA=12,OB=OD.又DH ⊥AB,∴OH=12BD.∵S 菱形ABCD =48,∴12AC·BD=48,∴BD=8,∴OH=4. 7.B ∵四边形ABCD 是菱形,O 是对角线BD 的中点,∴AO ⊥BD,AD=AB=4,AB ∥DC.又∵∠BAD=120°, ∴∠CDB=∠ABD=∠ADB=30°,∴AO=12AD=2,∴DO=√AD 2-AO 2=2√3.又OE ⊥CD,∴OE=12OD=√3, DE=√32OD=3, ∴四边形AOED 的周长为AO+OE+DE+AD=2+√3+3+4=9+√3.8.B ∵四边形ABCD 是菱形,∴OC=12AC=4,OD=12BD=3,∠COD=90°.在Rt △OCD 中,根据勾股定理可知,CD=√OD 2+OC 2=5.∵∠EOC=∠ECO,∠EOC+∠EOD=90°,∠ECO+∠EDO=90°,∴∠EOD=∠EDO,∴DE=OE.又OE=CE,∴DE=OE=CE,∴OE=12CD=52.9.B 方法一:如图(1),连接OE.∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD,AO=OC,BO=DO, ∴S △BOC =S △AOB =S △AOD = S △DOC = 14S.由点E 是BC 的中点,EF ⊥BD,EG ⊥AC,∠BOC=90°,易知点F 是BO 的中点,点G 是CO 的中点, S △BOE = S △COE =12S △BOC ,∴S △OEF =12S △BOE ,S △OEG =12S △COE ,∴S 四边形EFOG = S △OEF +S △OEG =12S △BOE +12S △COE =12S △BOC =18S,故选B.图(1) 图(2)方法二:如图(2),连接FG.∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD,AO=OC,BO=DO,∴S △BOC =S △AOB =S △AOD =S △DOC =14S.由点E 是BC 的中点,EF ⊥BD,EG ⊥AC,∠BOC=90°,易知点F 是BO 的中点,点G 是CO 的中点,∴FG 是△OBC 的中位线,∴FG ∥BC,FG=12BC,∴△OFG ∽△OBC,∴S △OFG =14S △OBC =116S.易知S △OFG =S △EFG =12S 四边形EFOG ,∴S 四边形EFOG =2S △OFG =18S.故选B.10.45° 设尺规作图所作直线与AB 交于点F,由尺规作图可知,EF 是线段AB 的垂直平分线,∴AE=BE,∴∠A=∠EBA=30°.由菱形的性质可知AB=AD,∴∠ABD=∠ADB=75°,∴∠EBD=∠ABD-∠EBA=75°-30°=45°. 11.2√7 在线段BC 上取点F,使CF=AE=2,如图,则EF 平分菱形ABCD 的面积,理由:∵四边形ABCD 为菱形,∴AD ∥BC,AD=BC=AB=6,∴DE=BF=6-2=4.过点A 作AG ⊥BC 于点G,过点E 作EH ⊥BC 于点H,则四边形AGHE 是矩形,∴AG=EH,GH=AE=2.∵S 梯形ABFE =12(AE+BF)·AG,S 梯形EFCD =12(CF+DE)·EH,∴S 梯形ABFE =S 梯形EFCD ,即EF 平分菱形ABCD 的面积.∵在Rt △ABG 中,AG=ABsin B=6×√32=3√3,BG=ABcos B=6×12=3, ∴EH=AG=3√3, CH=BC-BG-GH=1,∴FH=CF-CH=1,∴在Rt △EFH 中,EF=√FH 2+EH 2=√12+(3√3)2=2√7.12.略全国视野创新练B 连接AC,由对角线互相平分的四边形为平行四边形可知,点E 在运动过程中,四边形AECF 始终为平行四边形.特殊地,当EF ⊥AC 时,四边形AECF 为菱形,当点E 与点B 重合时,四边形AECF 是矩形.故四边形AECF 的形状依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形.故选B.课时三:正方形的性质和判定基础分点练1.A 由作图痕迹可知MA=MB=NA=NB,∴四边形MANB 是菱形,故可添加条件AB=MN 或AO=MO.2.D 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形,不是正方形.故选D.3.D ∵点O 为BD 的中点,∴OB=OD.∵四边形ABCD 为平行四边形,∴DC ∥AB,∴∠FDO=∠EBO,∠DFO=∠OEB,∴△FDO ≌△EBO,∴OE=OF,∴四边形DEBF 为平行四边形,故选项A 中的结论成立.对于选项B,当AE=3.6时,∵AB=10,AD=6,∴AE AD =35,AD AB =35,∴AE AD =AD AB ,又∵∠DAE=∠BAD, ∴△DAE ∽△BAD,∴∠AED=∠ADB=90°,∴∠DEB=90°,∴▱DEBF 为矩形.故选项B 中的结论成立.对于选项C,当AE=5时,∵AB=10,∴BE=5,又∵∠ADB=90°,∴DE=12AB=5,∴DE=BE,∴▱DEBF 为菱形.故选项C 中的结论成立.对于选项D,当AE=4.8时,∠DEB ≠90°,∴四边形DEBF 不是正方形.故选D.4.B 根据题意可知菱形ABC'D'的AB 边上的高等于AB 的一半,所以菱形ABC'D'的面积为12AB 2,正方形ABCD 的面积为AB 2,故菱形ABC'D'的面积与正方形ABCD 的面积之比是12.故选B.5.C ∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°.∵△ABE 是等边三角形,∴AB=AE,∠BAE=∠AEB=60°, ∴AD=AE.在△ADE 中,AD=AE,∠DAE=∠BAD+∠BAE=90°+60°=150°,∴∠AED=12(180°-150°)=15°,∴∠BED=∠AEB-∠AED=60°-15°=45°.故选C.6.A 连接BD,在等腰直角三角形ABD 中,BD=√2AB=6√2.根据点M,N 分别是DQ,BQ 的中点可得,MN 是△BDQ 的中位线,所以MN=12BD=3√2.故选A.。

2021年中考数学九年级复习课时训练：《数与式》解答题专项（四）1．已知m ﹣1＝n ，试用等式的性质比较m 与n 的大小．2．已知关于x 的方程（m +3）x |m +4|+18＝0是一元一次方程，试求： （1）m 的值；（2）2（3m +2）﹣3（4m ﹣1）的值．3．如果y ＝3是方程2+（m ﹣y ）＝2y 的解，那么关于x 的方程2mx ＝（m +1）（3x ﹣5）的解是多少？4．已知y 1＝6﹣x ，y 2＝2+7x ，当x 取何值时，y 1与y 2互为相反数？ 5．已知关于x 的方程mx +2＝2（m ﹣x ）的解满足|x ﹣|﹣1＝0，则m 的值．6．已知关于x 的方程4x +2m ＝3x +1和方程3x +2m ＝6x +1的解相同，求： （1）m 的值；（2）代数式（m +2）（2m ﹣）的值．7．根据题意，列出关于x 的方程（不必解方程）： （1）如图是2018年2月份的日历：如果用如图所示的十字形框，框住日历上的五个数，这五个数的和为80，求这五个数中最小的那个数．解：设最小的那个数为x ，根据题意可列出方程 ．（2）某农场有试验田1080m 2，种植A 、B 、C 三种农作物．已知三种农作物的种植面积比是2：3：4，求三种农作物的种植面积分别是多少．解：设A 种农作物的种植面积是2xm 2，根据题意可列出方程 ．（3）小明参加1000米比赛，他以4米/秒的速度跑了一段路程后，又以5米/秒的速度跑完了剩余的路程，一共用时4分钟．求小明以5米/秒的速度跑了多少米？解：设小明以5米/秒的速度跑了x米，根据题意可列出方程．8．公园门票价格规定如下表：购票张数1～50张51～100张100张以上每张票的价格13元11元9元某校初一（1）、（2）两个班共104人去游公园，其中（1）班人数较少，不足50人．经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元，问：（1）两班各有多少学生？（2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？（3）如果初一（1）班单独组织去游公园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？9．方程2x m+1+3y2n＝5是二元一次方程，求m，n．10．已知x＝4，y＝﹣2与x＝﹣2，y＝﹣5都是方程y＝kx+b的解（1）求k与b的值；（2）当x＝2时，求|y|的值．11．已知3x﹣y＝6．（1）用含x的代数式表示y的形式为；（2）若﹣1＜y≤3，求x的取值范围．12．甲、乙两种笔的单价分别为7元、3元，某学校用78元钱买这两种笔作为数学竞赛一二等奖奖品，钱恰好用完，若买下的乙种笔是甲种笔的两倍，请问两种笔各买了几支？13．已知关于x，y的方程组（1）请直接写出方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解；（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值；（3）无论实数m取何值，方程x﹣2y+mx+5＝0总有一个固定的解，请直接写出这个解？（4）若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值．14．解方程组．15．在当地农业技术部门指导下，小明家种植的菠萝喜获丰收．去年菠萝的收入结余12000元，今年菠萝的收入比去年增加了20%，支出减少10%，结余今年预计比去年多11400元．请计算：（1）今年结余元；（2）若设去年的收入为x元，支出为y元，则今年的收入为元，支出为元．（以上两空用含x、y的代数式表示）（3）列方程组计算小明家今年种植菠萝的收入和支出．16．世界杯足球赛韩国组委会公布的四分之一决赛门票价格为：一等席300美元，二等席200美元，三等席125美元．某商场在促销活动期间，组织获奖的36名顾客到韩国观看2002年世界杯足球赛四分之一决赛，除去其他费用后，计划用5025美元购买两种门票（钱全部用完），请你设计出几种方案供该商场选择，并说明理由．17．解方程组：．18．营养对促进中学生机体健康具有重要意义．现对一份学生快餐进行检测，得到以下信息：根据上述信息回答下面的问题：（1）这份快餐中蛋白质和脂肪的质量共克；（2）分别求出这份快餐中脂肪、矿物质的质量；（3）学生每餐膳食中主要营养成分“理想比”为：碳水化合物：脂肪：蛋白质＝8：1：9，同时三者含量为总质量的90%．试判断这份快餐中此三种成分所占百分比是否符合“理想比”？如果符合，直接写出这份快餐中碳水化合物、脂肪、蛋白质、矿物质的质量比；如果不符合，求出符合“理想比”的四种成分中脂肪、矿物质的质量（总质量仍为300克）．19．完成下列问题：（1）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n＝0的根，求m+n的值；（2）已知x，y为实数，且y＝﹣3，求2xy的值．20．解方程：2（3x﹣1）2＝8．21．解方程：（1）x2+2x＝2（2）4（3x﹣2）（x+1）＝3x+322．（1）用公式法和配方法解方程：x2﹣2x﹣3＝0配方法：．公式法：．（2）计算：2tan45°+cos30°﹣sin260°．23．解方程：3x2﹣（x﹣2）2＝12．24．用合适的方法解下列一元二次方程（1）（x+6）2﹣9＝0；（2）2x2﹣8x+4＝0（用配方法解）；（3）4x2﹣3x+2＝0；（4）（x﹣1）（x+3）＝12；（5）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）+2＝0；（6）x2﹣5x+2＝0．25．已知一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，求此时m的值．参考答案1．解：已知等式去分母得：3m﹣4＝3n，整理得：3（m﹣n）＝4，即m﹣n＝＞0，∴m＞n．2．解：（1）由题意，得|m+4|＝1且m+3≠0，解得m＝﹣5．（2）当m＝﹣5时，2（3m+2）﹣3（4m﹣1）＝2×（﹣15+2）﹣3（﹣20﹣1）＝﹣26+63＝37．3．解：当y＝3时，2+m﹣3＝6，解得：m＝7，将m＝7代入方程2mx＝（m+1）（3x﹣5）得：14x＝8（3x﹣5）即14x＝24x﹣40，解得：x＝4．4．解：根据题意得：6﹣x+2+7x＝0，移项合并得：6x＝﹣8，解得：x＝﹣，则当x＝﹣时，y1与y2互为相反数．5．解：先由|x﹣|﹣1＝0，得出x＝或﹣；当x＝﹣时，原方程为﹣m+2＝2（m+），解得m＝；当x＝时，原方程为m+2＝2（m﹣），解得m＝10，综上m的值为或10．6．解：（1）∵方程4x+2m＝3x+1和方程3x+2m＝6x+1的解相同，∴，解得：；（2）由（1）得：m＝，则（m+2）（2m﹣）＝（+2）×（2×﹣）＝×（﹣）＝﹣1．7．解：（1）设最小的那个数为x，根据题意可列出方程：x+x+6+x+7+x+8+x+14＝80，故答案为：x+x+6+x+7+x+8+x+14＝80；（2）设A种农作物的种植面积是2xm2，根据题意可列出方程2x+3x+4x＝1080，故答案为：2x+3x+4x＝1080；（3）设小明以5米/秒的速度跑了x米，根据题意可列出方程+＝240，故答案为：+＝2408．解：（1）设初一（1）班有x人，则有13x+11（104﹣x）＝1240或13x+9（104﹣x）＝1240，解得：x＝48或x＝76（不合题意，舍去）．即初一（1）班48人，初一（2）班56人；（2）1240﹣104×9＝304，∴可省304元钱；（3）要想享受优惠，由（1）可知初一（1）班48人，只需多买3张，51×11＝561，48×13＝624＞561∴48人买51人的票可以更省钱．9．解：根据二元一次方程的定义，m+1＝1，2n＝1，解得m＝0，n＝．10．解：（1）把x＝4，y＝﹣2与x＝﹣2，y＝﹣5代入方程得：，解得：；（2）把x＝2代入得：y＝x﹣4＝﹣4，则|y|＝4﹣．11．解：（1）方程3x﹣y＝6，解得：y＝3x﹣6；故答案为：y＝3x﹣6；（2）∵﹣1＜y≤3，﹣1＜3x﹣6≤3，∴＜x≤3．12．解：设甲种笔买了x支，乙种笔买了y支，根据题意得：，解得：．答：甲种笔买了6支，乙种笔买了12支．13．解：（1）方程x+2y﹣6＝0，x+2y＝6，解得：x＝6﹣2y，当y＝1时，x＝4；当y＝2时，x＝2，方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解为：，；（2）由题意得：，解得，把代入x﹣2y+mx+5＝0，解得m＝﹣；（3）x﹣2y+mx+5＝0，（1+m）x﹣2y＝﹣5，∴当x＝0时，y＝2.5，即固定的解为：，（4），①+②得：2x﹣6+mx+5＝0，（2+m）x＝1，x＝，∵x恰为整数，m也为整数，∴2+m是1的约数，2+m＝1或﹣1，m＝﹣1或﹣3．14．解：，①×3得：3x+9y＝﹣15③，③﹣②，得13y＝﹣13，∴y＝﹣1，把y＝﹣1代入①，得x＝﹣2，∴是原方程组的解．15．解：（1）由题意可得，今年结余：12000+11400＝23400（元），故答案为：23400；（2）由题意可得，今年的收入为：x（1+20%）＝1.2x（元），支出为：y（1﹣10%）＝0.9y（元），故答案为：1.2x，0.9y；（3）由题意可得，，解得，，则1.2x＝1.2×42000＝50400，0.9y＝0.9×30000＝27000，答：小明家今年种植菠萝的收入和支出分别为50400元、27000元．16．解：①设一等席的是x张，二等席的是y张．则有，此时x与y不是正整数，应舍去；②设一等席的是x张，三等席的是y张．则有，解得：，③设二等席的是x张，三等席的是y张．则有，解得：．答：有两种方案：是一、三等席各为3张，33张；二、三等席各为7张，29张．方案一：一等席和三等席．17．解：，由①﹣②得：y﹣z＝8④，④﹣③得：z＝2，把z＝2代入④点到：y＝10，把y＝10代入①得：x＝﹣5，则方程组的解为．18．解：（1）300×50%＝150（克）故答案为：150．（2）设矿物质质量为x克，则蛋白质质量为3x克，脂肪质量为y克，由题意得解得答：这份快餐中脂肪的质量为60克，矿物质的质量为30克．（3）碳水化合物，脂肪，蛋白质的质量分别为：120克，60克，90克∴碳水化合物：脂肪：蛋白质＝4：2：3，不符合理想比．300×90%＝270（克）270÷（8+9+1）＝15（克）300×（1﹣90%）＝30（克）答：符合“理想比”的四种成分中脂肪的质量为15克，矿物质的质量为30克． 19．解：（1）由题意得n 2+mn +2n ＝0，∵n ≠0， ∴n +m +2＝0， 得m +n ＝﹣2；（2）解：由题意得，2x ﹣5≥0且5﹣2x ≥0， 解得x ≥且x ≤，所以，，y ＝﹣3，∴2xy ＝﹣15．20．解：方程两边同时除以2，得（3x ﹣1）2＝4， 方程两边同时开方，得3x ﹣1＝±2， 移项、两边同时除以3，得x 1＝1，x 2＝﹣．21．解：（1）x 2+2x ＝2，x 2+2x +1＝2+1，（x +1）2＝3，x +1＝±，解得x 1＝﹣1﹣，x 2＝﹣1+；（2）4（3x ﹣2）（x +1）＝3x +3， 4（3x ﹣2）（x +1）﹣3（x +1）＝0， （x +1）（12x ﹣8﹣3）＝0， （x +1）（12x ﹣11）＝0， 解得x 1＝﹣1，x 2＝．22．解：（1）x 2﹣2x ﹣3＝0（配方法）， 移项，得x 2﹣2x ＝3， 配方，得（x ﹣1）2＝4． 开方，得x ﹣1＝±2． ∴x 1＝3，x 2＝﹣1；x 2﹣2x ﹣3＝0（公式法），∵a ＝1，b ＝﹣2，c ＝﹣3，∴△＝b 2﹣4ac ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16， ∴x ＝＝＝，x 1＝3，x 2＝﹣1；故答案为移项，得x 2﹣2x ＝3，配方，得（x ﹣1）2＝4．开方，得x ﹣1＝±2．∴x 1＝3，x 2＝﹣1；∵a ＝1，b ＝﹣2，c ＝﹣3，∴△＝b 2﹣4ac ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16， ∴x ＝＝＝，x 1＝3，x 2＝﹣1；（2）原式＝2×1+×﹣（）2＝2+﹣ ＝． 23．解：方程化为x 2+2x ﹣8＝0，（x +4）（x ﹣2）＝0，x +4＝0或x ﹣2＝0，所以x 1＝﹣4，x 2＝2．24．解：（1）（x +6）2﹣9＝0，（x +6）2＝9，∴x +6＝3或x +6＝﹣3，解得：x 1＝﹣3，x 2＝﹣9；（2）2x 2﹣8x ＝﹣4，x 2﹣4x ＝﹣2，x 2﹣4x +4＝﹣2+4，即（x ﹣2）2＝2，∴x ﹣2＝或x ﹣2＝﹣，解得：x1＝2+，x2＝2﹣；（3）∵a＝4，b＝﹣3，c＝2，∴△＝9﹣4×4×2＝﹣23＜0，∴原方程无解；（4）整理，得：x2+2x﹣15＝0，∴（x﹣3）（x+5）＝0，∴x﹣3＝0或x+5＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣5；（5）因式分解可得：（2x﹣1+1）（2x﹣1+2）＝0，即2x（2x+1）＝0，∴2x＝0或2x+1＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣；（6）x2﹣5x+2＝0，因式分解得：（x﹣）（x﹣2）＝0，∴x﹣＝0或x﹣2＝0，解得：x1＝，x2＝．25．解：（1）∵一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即16﹣4k＞0，∴k＜4；（2）当k＝3时，解x2﹣4x+3＝0，得x1＝3，x2＝1，当x＝3时，m＝﹣，当x＝1时，m＝0，∴m的值为﹣或0．。

2021年九年级数学中考复习专题：反比例函数综合（考察坐标、取值范围、面积等）（四）1．如图1，在平面直角坐标系中，已知△ABC，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，顶点A 在第二象限，B，C两点在x轴的负半轴上（点C在点B的右侧），BC＝2，△ACD与△ABC关于AC所在的直线对称．（1）当OC＝2时，求点D的坐标；（2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OC的长；（3）如图2，将第（2）题中的四边形ABCD向左平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y＝（k≠0）的图象与BA的延长线交于点P，问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．2．如图1，A（1，0）、B（0，2），双曲线y＝（x＞0）（1）若将线段AB绕A点顺时针旋转90°后B的对应点恰好落在双曲线y＝（x＞0）上①则k的值为；②将直线AB平移与双曲线y＝（x＞0）交于E、F，EF的中点为M（a，b），求的值；（2）将直线AB平移与双曲线y＝（x＞0）交于E、F，连接AE．若AB⊥AE，且EF ＝2AB，如图2，直接写出k的值．3．如图1，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（m为常数，m＞1，x＞0）的图象经过点P（m，1）和Q（1，m），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点．（1）求∠OCD的度数；（2）如图2，连接OQ、OP，当∠DOQ＝∠OCD﹣∠POC时，求此时m的值；（3）如图3，点A，点B分别在x轴和y轴正半轴上的动点．再以OA、OB为邻边作矩形OAMB．若点M恰好在函数y＝（m为常数，m＞1，x＞0）的图象上，且四边形BAPQ为平行四边形，求此时OA、OB的长度．4．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝5，AD＝DC＝8，对角线BD＝3+4，点B在y轴上，BD与x轴平行，点C在x轴上．（1）求∠ADC的度数．（2）点P在对角线BD上，点Q在四边形ABCD内且在点P的右边，连接AP、PQ、QC，已知AP＝AQ，∠APQ＝60°，设BP＝m．①求CQ的长（用含m的代数式表示）；②若某一反比例函数图象同时经过点A、Q，求m的值．5．已知一次函数y1＝kx+n（n＜0）和反比例函数y2＝（m＞0，x＞0）．（1）如图1，若n＝﹣2，且函数y1、y2的图象都经过点A（3，4）．①求m，k的值；②直接写出当y1＞y2时x的范围；（2）如图2，过点P（1，0）作y轴的平行线l与函数y2的图象相交于点B，与反比例函数y3＝（x＞0）的图象相交于点C．①若k＝2，直线l与函数y1的图象相交点D．当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时，求m﹣n的值；②过点B作x轴的平行线与函数y1的图象相交于点E．当m﹣n的值取不大于1的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值d．6．如图，四边形OABC为矩形，点B坐标为（4，2），A，C分别在x轴，y轴上，点F 在第一象限内，OF的长度不变，且反比例函数y＝经过点F．（1）如图1，当F在直线y＝x上时，函数图象过点B，求线段OF的长．（2）如图2，若OF从（1）中位置绕点O逆时针旋转，反比例函数图象与BC，AB相交，交点分别为D，E，连结OD，DE，OE．①求证：CD＝2AE．②若AE+CD＝DE，求k．③设点F的坐标为（a，b），当△ODE为等腰三角形时，求（a+b）2的值．7．如图，二次函数与反比例函数的图象有公共点A（﹣2，5），▱ABCD的顶点B（﹣5，p）在双曲线上，C、D两点在抛物线上（点C在y轴负半轴，点D在x轴正半轴）（1）求直线AB的表达式及C、D两点的坐标；（2）第四象限的抛物线上是否存在点E，使得四边形ACED的面积最大，若存在，求出点E的坐标和面积的最大值，不存在，说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A（﹣6，0）、D（﹣7，3），点B、C在第二象限内．（1）点B的坐标；（2）将正方形ABCD以每秒2个单位的速度沿x轴向右平移t秒，若存在某一时刻t，使在第一象限内点B、D两点的对应点B′、D′正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；（3）在（2）的情况下，问是否存在y轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，等腰△OAB的边OB与反比例函数y＝（m ＞0）的图象相交于点C，其中OB＝AB，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（2，4），过点C作CH⊥x轴于点H．（1）已知一次函数的图象过点O，B，求该一次函数的表达式；（2）若点P是线段AB上的一点，满足OC＝AP，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连结OP，记△OPQ的面积为S△OPQ，设AQ＝t，T＝OH2﹣S△OPQ①用t表示T（不需要写出t的取值范围）；②当T取最小值时，求m的值．10．如图，点P在曲线上，PA⊥x轴于点A，点B在y轴正半轴上，PA＝PB，OA、OB的长是方程t2﹣8t+12＝0的两个实数根，且OA＞OB，点C是线段PB延长线上的一个动点，△ABC的外接圆⊙M与y轴的另一个交点是D．（1）填空：OA＝；OB＝；k＝；（2）设点Q是⊙M上一动点，若圆心M在y轴上且点P、Q之间的距离达到最大值，则点Q的坐标是；（3）试问：在点C运动的过程中，BD﹣BC的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请给出合理的解释．参考答案1．解：（1）∵△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称，∴CD＝BC＝2，∠ACD＝∠ACB＝30°，如图1，过点D作DE⊥BC于点E，∵∠DCE＝60°，∴，∵OC＝2，∴OE＝3，∴；（2）设OC＝m，则OE＝m+1，OB＝m+2在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝2，∴，∴，∵A，D在同一反比例函数上，∴，解得：m＝1，∴OC＝1；（3）由（2）得：∴，∵四边形A1B1C1D1由四边形ABCD平移得到，∴，∵D1在反比例函数上，∴同理：，，∴，∴，∵x P＝x A＝﹣3，P在反比例函数上，∴，①若P为直角顶点，则A1P⊥DP，过点P作l1⊥y轴，过点A1作A1F⊥l1，过点D作DG⊥l1，则△A1PF∽△PDG，，解得：；②若D为直角顶点，则A1D⊥DP，过点D作l2⊥x轴，过点A1作A1H⊥l2，则△A1DH∽△DPG，，，解得：k＝0（舍），综上：存在．2．解：（1）设旋转后点B的对应点为点C，过点C作CD⊥x轴于点D，如图所示∵∠BAC＝90°，∴∠BAO+∠CAD＝90°，∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠CAD，在△OAB和△DCA中，，∴△OAB≌△DCA（AAS），∴CD＝OA＝1，AD＝OB＝2，∴OD＝OA+AD＝3，∴C（3，1），把C（3，1）代入y＝中，得k＝3，故答案为：3；（2）直线AB表达式中的k值为﹣2，AB∥EF，则直线EF表达式中的k值为﹣2，设点E（m，n），mn＝3，直线EF的表达式为：y＝﹣2x+t，将点E坐标代入上式并解得，直线EF的表达式为y＝﹣2x+2m+n，将直线EF表达式与反比例函数表达式联立并整理得：2x2﹣（2m+n）x+3＝0，x1+x2＝，x1x2＝，则点F（n，），则a＝（），b＝（n+），＝＝＝2；（3）故点E作EH⊥x轴交于点H，由（1）知：△ABO∽△EHA，∴，设EH＝m，则AH＝2m，则点E（2m+1，m），且k＝m（2m+1）＝2m2+m，直线AB表达式中的k值为﹣2，AB∥EF，则直线EF表达式中的k值为﹣2，设直线EF的表达式为：y＝﹣2x+b，将点E坐标代入并求解得：b＝5m+2，故直线EF的表达式为：y＝﹣2x+5m+2，将上式与反比例函数表达式联立并整理得：2x2﹣（5m+2）x+3＝0，用韦达定理解得：x F+x E＝，则x F＝，则点F（m，4m+2），则EF＝＝2AB＝2×，整理得：3m2+4m﹣4＝0，解得：m＝或﹣2（舍去负值），k＝m（2m+1）＝2m2+m＝．3．解：（1）设直线PQ的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴y＝﹣x+m+1，令x＝0，得到y＝m+1，∴D（0，m+1），令y＝0，得到x＝m+1，∴C（m+1，0），∴OC＝OD，∵∠COD＝90°，∴∠OCD＝45°．（2）如图2，过Q作QM⊥y轴于M，过P作PN⊥OC于N，过O作OH⊥CD于H，∵P（m，1）和Q（1，m），∴MQ＝PN＝1，OM＝ON＝m，∵∠OMQ＝∠ONP＝90°，∴△OMQ≌△ONP（SAS），∴OQ＝OP，∠DOQ＝∠POC，∵∠DOQ＝∠OCD﹣∠POC，∠OCD＝45°，∴∠DOQ＝∠POC＝∠QOH＝∠POH＝22.5°，∴MQ＝QH＝PH＝PN＝1，∵∠OCD＝∠ODC＝45°，∴△DMQ和△CNP都是等腰直角三角形，∴DQ＝PC＝，∵OC＝OD＝m+1，∴CD＝OC＝，∵CD＝DQ+PQ+PC，∴＝2+2，∴m＝+1；（3）如图3，∵四边形BAPQ为平行四边形，∴AB∥PQ，AB＝PQ，∴∠OAB＝45°，∵∠AOB＝90°，∴OA＝OB，∴矩形OAMB是正方形，∵点M恰好在函数y＝（m为常数，m＞1，x＞0）的图象上，∴M（，），即OA＝OB＝，∵AB＝PQ，∴，解得：m＝或（舍），∴OA＝OB＝＝＝＝．4．解：（1）连接AC交BD于点H，∵AB＝BC，AD＝DC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD＝∠CBD，∴BH是等腰三角形ABC的高，即BH⊥AC，即BD是AC的中垂线，设HD＝x，则BH＝4+3﹣x，AH2＝AB2﹣BH2＝AD2﹣DH2，即82﹣x2＝52﹣（3+4﹣x）2，解得：x＝，cos∠ADB＝＝＝，故∠ADB＝30°BD是AC的中垂线，则∠ADB＝30°＝∠CDB，故∠ADC＝2∠ADB＝60°；（2）①连接AQ、QD、PC，∵∠APQ＝60°，AP＝AQ，∴△APQ为等边三角形，故∠PAQ＝60°＝∠PAC+∠HAQ，同理△ACD是边长为8的等边三角形，∴∠CAD＝60°＝∠HAQ+∠QAD，∴∠PAC＝∠QAD，而AP＝AQ，AD＝AC，∴△ACP≌△ADQ（SAS），∵BD是AC的中垂线，故PA＝PC，则△ACP为等腰三角形，∴△AQD也为等腰三角形，即AQ＝QD，而AC＝CD（△ACD为等边三角形），CQ＝CQ，∴△ACQ≌△DCQ（SSS），故∠ACQ＝∠DCQ，在△CAD中，延长CQ交AD于点K，∵AC＝CD，则CK⊥AD，∴∠AKQ＝90°∵∠AKQ＝90°＝∠AHP，∠QAK＝∠PAH，PA＝AQ，∴△AKQ≌△QHP（AAS），∴QK＝PH，过点D作DR⊥x轴交于点R，BD∥x轴，故∠BDC＝∠DCR＝30°，DR＝CD＝8×＝4＝CH＝OB，而BC＝5，故OC＝3＝BH，故点C（3，0），PH＝BH＝BP＝3﹣m＝QK，在等边三角形ACD中，AD边上的高CK＝CD sin∠CDA＝8×sin60°＝4，则CQ＝CK﹣QK＝4﹣3+m；②过点Q分别作x、y轴的垂线，垂足为M、N，∵AK是等边三角形CDA的高，则∠KCD＝30°，而∠DCR＝30°，故∠QCR＝60°，QM＝CQ sin∠QCM＝CQ sin60°＝CQ，CM＝CQ，故点Q（3+CQ，CQ），点C（3，0），CH＝4，故点A（3，8），反比例函数图象同时经过点A、Q，则3×8＝（3+CQ）×CQ，而CQ＝4﹣3+m，即m2+24m+39﹣96＝0，解得：m＝﹣4（不合题意值已舍去）．5．解：（1）①将点A的坐标代入一次函数表达式并解得：k＝2，将点A的坐标代入反比例函数得：m＝3×4＝12；②由图象可以看出x＞3时，y1＞y2；（2）①当x＝1时，点D、B、C的坐标分别为（1，2+n）、（1，m）、（1，n），则BD＝|2+n﹣m|，BC＝m﹣n，DC＝2+n﹣n＝2则BD＝BC或BD＝DC或BC＝CD，即：|2+n﹣m|＝m﹣n或|2+n﹣m|＝2或m﹣n＝2，即：m﹣n＝1或0或2或4，当m﹣n＝0时，m＝n与题意不符，点D不能在C的下方，即BC＝CD也不存在，n+2＞n，当B、D重合时，m﹣n＝2成立，故m﹣n＝1或4或2；②点E的横坐标为：，当点E在点B左侧时，d＝BC+BE＝m﹣n+（1﹣）＝1+（m﹣n）（1﹣），m﹣n的值取不大于1的任意数时，d始终是一个定值，当1﹣＝0时，此时k＝1，从而d＝1．当点E在点B右侧时，同理BC+BE＝（m﹣n）（1+）﹣1，当1+＝0，k＝﹣1时，（不合题意舍去）故k＝1，d＝1．6．解：（1）∵F在直线y＝x上∴设F（m，m）∵y＝经过点B（2，4）．∴k＝8．∵F（m，m）在反比例函数的图象上，∴m2＝8∴m＝2（负值已舍去）．∴由两点间的距离公式可知：OF＝＝4．（2）①∵函数y＝的图象经过点D，E∴OC•CD＝OA•AE＝k．∵OC＝2，OA＝4，∴CD＝2AE．②由①得：CD＝2AE∴可设：CD＝2n，AE＝n∴DE＝CD+AE＝3n，BD＝4﹣2n，BE＝2﹣n在Rt△EBD，由勾股定理得：DE2＝BD2+BE2，∴9n2＝（4﹣2n）2+（2﹣n）2．解得n＝，∴k＝4n＝6﹣10．③CD＝2c，AE＝c当OD＝DE时，22+4c2＝（4﹣2c）2+（2﹣c）2，∴c＝10﹣2，∴k＝4c＝40﹣8．（a+b）2＝a2+b2+2ab＝16+2k＝96﹣16．当若OE＝DE时，16+c2＝（4﹣2c）2+（2﹣c）2，∴c＝．∴k＝4c＝10﹣2．∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝16+2k＝36﹣4．当OE＝OD时，4+4c2＝16+c2，解得c＝2．此时点D与点E重合，故此种情况不存在．综上所述，（a+b）2的值为96﹣16或36﹣4．7．解：（1）设反比例函数的解析式为y＝．∵它图象经过点A（﹣2，5）和点B（﹣5，p），∴5＝，∴k＝﹣10，∴反比例函数的解析式为y＝﹣，∴P＝﹣＝2，∴点B的坐标为（﹣5，2），设直线AB的表达式为y＝mx+n，则，∴，∴直线AB的表达式为y＝x+7．由▱ABCD中，AB∥CD，设CD的表达式为y＝x+c，∴C（0，c），D（﹣c，0），∵CD＝AB，∴CD2＝AB2，∴c2+c2＝（﹣5+2）2+（2﹣5）2，∴c＝﹣3，∴点C、D的坐标分别是（0，﹣3）、（3，0）．（2）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx﹣3，，∴，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，假设第四象限的抛物线上存在点E，使得△CDE的面积最大．设E（k，k2﹣2k﹣3），则F（k，k﹣3），过点E作x轴的垂线交CD于点F，则S△CDE＝S△EFC+S△EFD＝•EF•OD＝•[（k﹣3）﹣（k2﹣2k﹣3）]＝﹣（k2﹣3k）＝﹣（k﹣）2+，所以，当k＝时，△CDE的面积最大值为，此时点E的坐标为（，﹣）．∵A（﹣2，5），C（0，﹣3），D（3，0），∴△ACD的面积为定值，∵直线AD的解析式为y＝﹣x+3，∴直线AD交y轴于K（0，3），∴S△ACD＝S△ACK+S△CKD＝×6×2+×6×3＝15，∴四边形ACED的面积的最大值为15+＝．8．解：（1）过点B、D分别作BE⊥x轴、DF⊥x轴交于点E、F，∵∠DAF+∠BAE＝90°，∠DAF+∠FDA＝90°，∴∠FDA＝∠BAE，又∠DFA＝∠AEB＝90°，AD＝AB，∴△DFA≌△AEB（AAS），∴DF＝AE＝3，BE＝AF＝1，∴点B坐标为（﹣3，1），故答案为（﹣3，1）；（2）t秒后，点D′（﹣7+2t，3）、B′（﹣3+2t，1），则k＝（﹣7+2t）×3＝（﹣3+2t）×1，解得：t＝，则k＝6，则点D′（2，3）、B′（6，1）；（3）存在，理由：设：点Q（m，n），点P（0，s），mn＝6，①当BD为平行四边形一条边时，图示平行四边形B′D′QP，点B′向左平移4个单位、向上平移2个单位得到点D′，同理点Q（m，n）向左平移4个单位、向上平移2个单位为（m﹣4，n+2）得到点P （0，s），即：m﹣4＝0，n+2＝s，mn＝6，解得：m＝4，n＝，s＝，故点Q（4，）、点P（0，）；②当BD为平行四边形对角线时，图示平行四边形D′Q′B′P′，B′、D′中点坐标为（4，2），该中点也是P′Q′的中点，即：4＝，＝2，mm＝6，解得：m＝8，n＝，s＝，故点Q′（8，）、P′（0，）；故点Q的坐标为：Q（4，）或（8，），点P的坐标为P（0，）（0，）．9．解：（1）将点O、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx得：4＝2k，解得：k＝2，故一次函数表达式为：y＝2x，（2）①过点B作BM⊥OA，则∠OCH＝∠QPA＝∠OAB＝∠ABM＝α，则tanα＝，sinα＝，∵OB＝AB，则OM＝AM＝2，则点A（4，0），设：AP＝a，则OC＝a，在△APQ中，sin∠APQ＝＝＝sinα＝，同理PQ＝＝2t，则PA＝a＝t，OC＝t，则点C（t，2t），T＝OH2﹣S△OPQ＝（OC•sinα）2﹣×（4﹣t）×2t＝4t2﹣4t，②∵4＞0，∴T有最小值，当t＝时，T取得最小值，而点C（t，2t），故：m＝t×2t＝．10．解：（1）t2﹣8t+12＝0，解得：t＝2或6，∵OA、OB的长是方程t2﹣8t+12＝0的两个实数根，且OA＞OB，即OA＝6，OB＝2，即点A、B的坐标为（﹣6，0）、（0，2），设点P（﹣6，），由PA＝PB得：36+（2+）2＝（）2，解得：k＝﹣60，故点P（﹣6，10），故答案为：6，2，﹣60；（2）当PQ过圆心M时，点P、Q之间的距离达到最大值，tan∠ACO＝，线段AB中点的坐标为（﹣3，1），则过AB的中点与直线AB垂直的直线PQ的表达式为：y＝mx+n＝﹣3x+n，将点（﹣3，1）的坐标代入上式并解得：n＝﹣8，即点M的坐标为（0，﹣8），则圆的半径r＝MB＝2+8＝10＝MQ，过点Q作QG⊥y轴于点G，tan∠QMG＝tan∠HMP＝＝＝，则sin∠QMG＝故GQ＝MQ sin∠QMG＝，MG＝3，故点Q（，﹣8﹣3）；故答案为：（，﹣8﹣3）．（3）是定值，理由：延长PA交圆M于E，过点E作EH⊥BD于H，连接CE，DE，∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵四边形ABCE是圆的内接四边形，∴∠PAB＝∠PCE，∠PBA＝∠PEC，∴∠PEC＝∠PCE，∴PE＝PC，∴AE＝BC，∵AO⊥BD，EH⊥BD，PA⊥OA，∴四边形AOHE是矩形，∴AO＝EH，AE＝OH＝BC，∵PA∥BD，∴＝，∴，∴∠ABD＝∠BDE，且∠AOB＝∠EHD＝90°，AO＝EH，∴△AOB≌△EHD（AAS）∴OB＝DH＝2，∴BD﹣BC＝BD﹣OH＝OB+DH＝4．。

2021年九年级数学中考复习分类专题：等边三角形的判定与性质（三）一．选择题1．如图，等边△ABC中，D、E分别为AC、AB上两点，下列结论：①若AD＝AE，则△ADE是等边三角形；②若DE∥BC，则△ADE是等边三角形，其中正确的有（）A．①B．②C．①②D．都不对2．如图，D是等边△ABC的边AC上的一点，E是等边△ABC外一点，若BD＝CE，∠1＝∠2，则对△ADE的形状最准确的是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．不等边三角形3．设M，N，P分别是等边三角形ABC各边上的点，AM＝BN＝CP，则△MNP是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．不等边三角形4．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个5．如图，在△ABC中，D、E在BC上，且BD＝DE＝AD＝AE＝EC，则∠BAC的度数是（）A．30°B．45°C．120°D．15°6．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25°B．30°C．45°D．60°7．如图，已知△ABC是等边三角形，点D，E，F分明是边AB，BC，AC的中点，则图中等边三角形的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个8．如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE＝∠CDF＝60°，图中与BD相等的线段有（）A．5条B．6条C．7条D．8条9．如图，已知∠ABC＝120°，BD平分∠ABC，∠DAC＝60°，若AB＝2，BC＝3，则BD的长是（）A．5 B．7 C．8 D．910．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是（）A．△BPQ是等边三角形B．△PCQ是直角三角形C．∠APB＝150°D．∠APC＝135°二．填空题11．已知∠AOB＝30°，点P在OA上，且OP＝2，点P关于直线OB的对称点是Q，则PQ＝．12．在△ABC 中，AB ＝AC ＝8cm ，∠B ＝60°，则BC ＝ cm ．13．如图，△ABC 是等边三角形，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 边上一点，且AD ＝BE ＝CF ．则△DEF 的形状是 ．14．两块完全一样的含30°角的三角板重叠在一起，若绕长直角边中点M 转动，使上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点．如图，∠A ＝30°，AC ＝8，则此时两直角顶点C ，C ′间的距离是 ．15．如图，已知△ABC 中高AD 恰好平分边BC ，∠B ＝30°，点P 是BA 延长线上一点，点 O 是线段AD 上一点且OP ＝OC ，下面的结论：①∠APO +∠DCO ＝30°；②△OPC 是等边三角形；③AC ＝AO +AP ；④S △ABC ＝S 四边形AOCP ．其中正确的为 ．（填序号）16．如图所示是两块完全一样的含30°角的三角板，分别记作△ABC 和△A 1B 1C 1，现将两块三角板重叠在一起，设较长直角边的中点为M ，绕中点M 转动三角板ABC ，使其直角顶点C 恰好落在三角板A 1B 1C 1的斜边A 1B 1上，当∠A ＝30°，AC ＝10时，两直角顶点C ，C 1的距离是 ．三．解答题17．如图，已知：边长相等的等边△ABC和等边△DEF重叠部分的周长是6．（1）求证：△FGH和△CHL和△LEK和△KBJ和△JDI和△IAG都是等边三角形．（或证明∠AGF＝∠FHC＝∠CLE＝∠EKB＝∠BJI＝∠DIA＝120°）（2）求等边△ABC的边长．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，且BE＝8cm．（1）求∠D的度数；（2）若BC＝10cm，求ED的长．19．如图，△ABC是等边三角形，O为△ABC内一点，且∠AOB＝120°，∠BOC＝120°．求证：由线段AO、BO、CO构成的一个三角形是等边三角形．证明过程如下，请仔细阅读并将证明继续下去：证明：将△ABO绕点A逆时针旋转60°，此时B点与C点重合，O落在O′，连接AO′、OO′、CO′，∴AO＝AO′，∠OAO′＝60°∴△AOO′是一个等边三角形∴AO＝OO′又∵OB＝O′C∴线段OA、OB、OC构成了△OCO′请继续：20．如图，等边△ABC中，点D、E、F分别同时从点A、B、C出发，以相同的速度在AB、BC、CA上运动，连结DE、EF、DF．（1）证明：△DEF是等边三角形；（2）在运动过程中，当△CEF是直角三角形时，试求的值．21．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC 于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．参考答案一．选择题1．解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∵AD＝AE，∴△ADE是等边三角形；所以①正确；∵△ABC为等边三角形，∴∠C＝∠B＝60°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C＝∠B＝∠AED＝60°，∴△ADE是等边三角形，所以②正确．故选：C．2．解：∵三角形ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∵BD＝CE，∠1＝∠2，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴△ADE是等边三角形．故选：C．3．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵AM＝BN＝CP，∴BM＝CN＝AP，在△AMP，△BNM和△CPN中，，∴△AMP≌△BNM≌△CPN（SAS），∴PM＝MN＝NP，∴△MNP是等边三角形．4．解：∵△ABC和△DEC都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD＝BE，故选项①正确；∵∠ACB＝∠ACE＝60°，由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，∴∠BMC＝∠ANC，故选项②正确；由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，∵∠ACB是△ACD的外角，∴∠ACB＝∠CAD+∠ADC＝∠CBE+∠ADC＝60°，又∠APM是△PBD的外角，∴∠APM＝∠CBE+∠ADC＝60°，故选项③正确；在△ACN和△BCM中，，∴△ACN≌△BCM，∴AN＝BM，故选项④正确；∴CM＝CN，∴△CMN为等腰三角形，∵∠MCN＝60°，∴△CMN是等边三角形，故选项⑤正确；故选：D．5．解：设∠B＝x∵BD＝AD则∠B＝∠BAD＝x，∠ADE＝2x，∵AD＝AE∴∠AED＝∠ADE＝2x，∵AE＝EC，∠AED＝∠EAC+∠C∴∠EAC＝∠C＝x又BD＝DE＝AD，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，知∠BAE＝90°，则∠B+∠AED＝x+2x＝90°得x＝30°∴∠BAC＝180°﹣2x＝120°故选：C．6．解：△ABC沿CD折叠B与E重合，则BC＝CE，∵E为AB中点，△ABC是直角三角形，∴CE＝BE＝AE，∴△BEC是等边三角形．∴∠B＝60°，∴∠A＝30°，故选：B．7．解：∵D，E，F分明是边AB，BC，AC的中点，∴AD＝BD＝BE＝EC＝CF＝FA＝DF＝DE＝EF＝AB＝AC＝∴等边三角形有：△ABC、△ADF、△BDE、△CEF、△DEF共5个，故选：D．8．解：如图，连接EF．∵等边△ABC中，AD是BC边上的高，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∵∠BDE＝∠CDF＝60°，∴∠ADE＝∠ADF＝30°，△AEF、△BDE、△CDF、△DEF都是全等的等边三角形，∴∴BD＝DC＝DE＝BE＝AE＝AF＝FC＝FD，即图中与BD相等的线段有7条．故选：C．9．解：在CB的延长线上取点E，使BE＝AB，连接AE，∵∠ABC＝120°，∴∠ABE＝180﹣∠ABC＝60°，∵BE＝AB，∴△ABE为等边三角形，∴AE＝AB，∠BAE＝∠E＝60°，∵∠DAC＝60°，∴∠DAC＝BAE，∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC，∠EAC＝∠BAC+∠BAE，∴∠BAD＝∠EAC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝60°，∴∠ABD＝∠E，在△ABD和△AEC中，，∴△ABD≌△AEC（ASA），∴BD＝CE，∵CE＝BE+BC＝AB+BC＝3+2＝5，∴BD＝5，故选：A．10．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵△BQC≌△BPA，∴∠BPA＝∠BQC，BP＝BQ＝4，QC＝PA＝3，∠ABP＝∠QBC，∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，∴△BPQ是等边三角形，∴PQ＝BP＝4，∵PQ2+QC2＝42+32＝25，PC2＝52＝25，∴PQ2+QC2＝PC2，∴∠PQC＝90°，即△PQC是直角三角形，∵△BPQ是等边三角形，∴∠BOQ＝∠BQP＝60°，∴∠BPA＝∠BQC＝60°+90°＝150°，∴∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC，∵∠PQC＝90°，PQ≠QC，∴∠QPC≠45°，即∠APC≠135°，∴选项A、B、C正确，选项D错误．故选：D．二．填空题（共6小题）11．解：如图，连OQ，∵点P关于直线OB的对称点是Q，∴OB垂直平分PQ，∴∠POB＝∠QOB＝30°，OP＝OQ，∴∠POQ＝60°，∴△POQ为等边三角形，∴PQ＝PO＝2．故答案为2．12．解：∵在△ABC中，AB＝AC＝8cm，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝8cm．故答案为：8．13．解：∵△ABC为等边三角形，且AD＝BE，∴AF＝BD，∠A＝∠B＝60°，∴在△ADF与△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS）．同理证得△ADF≌△CFE（SAS），∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF＝ED＝EF，∴△DEF是一个等边三角形．故答案是：等边三角形．14．解：如图，连接CC'，∵点M是AC中点，∴AM＝CM＝AC＝4，∵旋转，∴CM＝C'M，AM＝A'M∴A'M＝MC＝C'M＝4，∴∠A'＝∠A'CM＝30°∴∠CMC'＝∠A'+∠MCA'＝60°，且CM＝C'M∴△CMC'是等边三角形∴C'C＝CM＝4故答案为：415．解：①连接OB，如图1，∵△ABC中高AD恰好平分边BC，即AD是BC垂直平分线，∴AB＝AC，BD＝CD，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO，∵∠ABC＝∠ABO+∠DBO＝30°，∴∠APO+∠DCO＝30°．故①正确；②△OBP中，∠BOP＝180°﹣∠OPB﹣∠OBP，△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，∴∠POC＝360°﹣∠BOP﹣∠BOC＝∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，∵∠OPB＝∠OBP，∠OBC＝∠OCB，∴∠POC＝2∠ABD＝60°，∵PO＝OC，∴△OPC是等边三角形，故②正确；③如图2，在AC上截取AE＝PA，∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，∴△APE是等边三角形，∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，∴∠APO+∠OPE＝60°，∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，∴∠APO＝∠CPE，∵OP＝CP，在△OPA和△CPE中，，∴△OPA≌△CPE（SAS），∴AO＝CE，∴AC＝AE+CE＝AO+AP；故③正确；④如图3，作CH⊥BP，∵∠HCB＝60°，∠PCO＝60°，∴∠PCH＝∠OCD，在△CDO和△CHP中，，∴△CDO≌△CHP（AAS），∴S△OCD ＝S△CHP∴CH＝CD，∵CD＝BD，∴BD＝CH，在Rt△ABD和Rt△ACH中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACH（HL），∴S △ABD ＝S △AHC ，∵四边形OAPC 面积＝S △OAC +S △AHC +S △CHP ，S △ABC ＝S △AOC +S △ABD +S △OCD∴四边形OAPC 面积＝S △ABC ．故④正确．故答案为：①②③④．16．解：如图，连接CC 1，∵两块三角板重叠在一起，较长直角边的中点为M ，∴M 是AC 、A 1C 1的中点，AC ＝A 1C 1，∴CM ＝A 1M ＝C 1M ＝AC ＝5，∵∠A ＝30°，∴∠A 1＝∠A 1CM ＝30°，∴∠CMC 1＝60°，∴△CMC 1为等边三角形，∴CC 1＝CM ＝5，∴CC 1长为5．故答案为5．三．解答题（共5小题）17．解：（1）∵△ABC和△DEF都是等边三角形，∴∠F＝60°，FG＝FH，FD＝BC，∴△FGH是等边三角形，同理△CHL、△LEK、△KBJ、△JDI、△TAG都是等边三角形；（2）∵△FGH是等边三角形，∴GH＝FG．同理，IJ＝ID，HL＝CL，JK＝KB，∴重叠部分的周长为：FD+BC＝6，∴FD＝BC＝3，即等边△ABC的边长是 3．18．解：（1）延长ED交BC于点F，延长AD交BC于H，如图．∵∠EBC＝∠E＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴EF＝BF＝BE＝8，∠EFB＝60°．∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AH⊥BC，即∠AHC＝90°，∴∠HDF＝30°，∴∠ADE＝∠HDF＝30°；（2）∵BC＝10，∴FC＝2．∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BH＝CH＝BC＝5，∴HF＝5﹣2＝3．在Rt△DHF中，∵∠HDF＝30°，∴DF＝2HF＝6，∴DE＝8﹣6＝2．∴ED的长为2cm．19．证明：将△ABO绕点A逆时针旋转60°，此时B点与C点重合，O落在O′，连接AO′、OO′、CO′，∴AO＝AO′，∠OAO′＝60°，∴△AOO′是一个等边三角形，∴AO＝OO′，又∵OB＝O′C，∴线段OA、OB、OC构成了△OCO′，∵∠AOB＝120°，∠BOC＝120°．∴∠AOC＝120°，∠AO′C＝120°∵△AOO′是一个等边三角形，∴∠AOO′＝∠AO′O＝60°，∴∠O′OC＝∠OO′C＝60°，∴△OCO′是等边三角形，∴线段AO、BO、CO构成的一个三角形是等边三角形．20．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝CA，∵AD＝BE＝CF，∴BD＝EC＝AF，在△ADF、△BED和△CFE中∴△ADF≌△BED≌△CFE，∴DE＝EF＝FD，∴△DEF是等边三角形；（2）解：∵△ABC和△DEF是等边三角形，∴△DEF∽△ABC，∵DE⊥BC，∴∠BDE＝30°，∴BE＝BD，即BE＝BC，CE＝BC，∵EF＝EC•sin60°＝BC•＝BC，∴＝（）2＝（）2＝．21．解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，证明：∵△ABC为等边三角形，∴△AEF为等边三角形，∴AE＝EF，BE＝CF，∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD，∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，∴∠DEB＝∠ECF，在△DBE和△EFC中，，∴△DBE≌△EFC（SAS），∴DB＝EF，则AE＝DB；（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，∴DB＝EF＝2，BC＝1，则CD＝BC+DB＝3．故答案为：（1）＝；（2）＝。

不等式与不等式组一、选择题.1.如图，数轴上表示的一个不等式的解集是( )A.x ≥-2B.x≤-2C.x>-2D.x<-22.若关于不等式2<(1-a)x 的解集为x<a -12，则a 的取值范围是( ) A.a>1 B.a>0 C.a<0 D.a<13.若不等式组⎩⎨⎧<--≤+kx x x 55315无解，则k 的取值范围是( )A.k≤8B.k<8C.k>8D.k≤44.已知关于x 的不等式4x -a≤0的非负整数解是0，1，2，则a 的取值范围是( )A.3≤a<4B.3≤a≤4C.8≤a<12D.8≤a≤125.对于任意实数m ，n ，定义一种运算m※n=mn -m -n+3，例如:2※5=2×5-2-5+3=6.请根据上述定义解决问题:5<2※x<7的整数解为( )A.4B.5C.6D.76.周末，小明带200元去图书大厦，下表记录了他全天的所有支出，其中小零食支出的金额不小心被涂黑了，如果每包小零食的售价为15元，那么小明可能剩下多少元?( )A.5B.10C.15D.307.已知不等式组⎩⎨⎧>-<+121b x a x 的解集是2<x<3，则关于x 的方程ax+b=0的解为( ) A.34=x B.34-=x C.21=x D.21-=x 8.若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧-=++=+ky x k y x 2342，满足1<x+y<2，则k 的取值范围是( )A.0<k<1B.-1<k<0C.1<k<2D.0<k<53 9已知a ，bc ，d 都是正实数，且dc b a <给出下列四个不等式: ①d c c b a a +<+；②b a a d c c +<+；③b a b d c d +<+；※d c d b a b +<+。

2021年海南省中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.−2的倒数是()A. −12B. 12C. 2D. −22.下列标志的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B. C. D.3.一组数据2，6，2，8，6，2的众数是()A. 8B. 6C. 4D. 24.2020年我省参加中考人数约为116000人，将数字116000用科学记数法表示为()A. 11.6×104B. 1.16×105C. 0.116×106D. 116×1035.下列方程是一元二次方程的是()A. x2=2B. x−y=0C. 3x−1x=2 D. x2+2x−56.如图，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是()A. 156°B. 78°C. 39°D. 12°7.如图所示，已知直线AB//CD，∠C=125°，∠A=45°，则∠E的度数为()A. 70°B. 80°C. 90°D. 100°8.有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为()A. 45B. 35C. 25D. 159.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为()A. 1B. 2C. √3D. 1+√3(k2≠10.如图，已知直线y=k1x(k1≠0)与反比例函数y=k2x0)的图象交于M，N两点．若点M的坐标是(1,2)，则点N的坐标是()A. (−1,−2)B. (−1,2)C. (1,−2)D. (−2,−1)11.如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连结BC.若∠P=36°，则∠B等于()A. 27°B. 30°C. 36°D. 54°12.若圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线l与底面半径r的关系是()rA. l=2rB. l=3rC. l=rD. l=32二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.分解因式：a2−5a=______．14.二次函数y=−2(x−5)2+3的顶点坐标是______．15.某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是______．16.如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n(n是正整数)个图案中由______个基础图形组成。

2021 年海南省中考数学试题（含答案解析）2021 年海南省中考数学试题（含答案解析）v>2021 年海南省中考数学试卷（共 22 题，满分 120 分）一、选择题（本大题满分 36 分，每小题 3 分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用 2B 铅笔涂黑. 1．（3 分）实数﹣5 的相反数是（） A．5 B．﹣5 C．±5 D． 2．（3 分）下列计算正确的是（） A．a3+a3＝a6 B．2a3﹣a3＝1 C．a2•a3＝a5 D．（a2）3＝a5 3．（3 分）下列整式中，是二次单项式的是（）A．x2+1 B．xy C．x2y D．﹣3x 4．（3 分）天问一号于2020 年7 月23 日在文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空，于2021 年5 月15 日在火星成功着陆，总飞行里程超过450000000 千米．数据450000000 用科学记数法表示为（） A．450×106 B．45×107 C．4.5×108 D．4.5×109 5．（3 分）如图是由 5 个大小相同的小正方体组成的几何体，则它的主视图是（） A． B． C． D． 6．（3 分）在一个不透明的袋中装有5 个球，其中2 个红球，3 个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1 个球，摸出红球的概率是（） A． B． C． D． 7．（3 分）如图，点A、B、C 都在方格纸的格点上，若点A 的坐标为（0，2），点B 的坐标为（2，0），则点C 的坐标是（） A．（2，2） B．（1，2） C．（1，1） D．（2，1）8．（3 分）用配方法解方程x2﹣6x+5＝0，配方后所得的方程是（）A．（x+3）2＝﹣4 B．（x﹣3）2＝﹣4 C．（x+3）2＝4 D．（x﹣3）2＝4 9．（3 分）如图，已知a∥b，直线l 与直线a、b 分别交于点A、B，分别以点A、B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交直线b 于点C，连接AC，若∠1＝40°，则∠ACB的度数是（） A．90° B．95° C．100° D．105° 10．（3 分）如图，四边形ABCD 是⊙O的内接四边形，BE 是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是（） A．30° B．35° C．45° D．60° 11．（3 分）如图，在菱形ABCD 中，点E、F 分别是边BC、CD 的中点，连接AE、AF、EF．若菱形ABCD 的面积为8，则△AEF的面积为（） A．2 B．3 C．4 D．5 12．（3 分）李叔叔开车上班，最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了几分钟，为了按时到单位，李叔叔在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶，则汽车行驶的路程y（千米）与行驶的时间t（小时）的函数关系的大致图象是（） A． B． C． D．二、填空题（本大题满分16 分，每小题4 分，其中第16 小题每空2 分） 13．（4 分）分式方程0 的解是． 14．（4 分）若点A（1，y1），B（3，y2）在反比例函数y 的图象上，则y1 y2 （填“＞”“＜”或“＝”）． 15．（4 分）如图，△ABC的顶点 B、C 的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点 A 的坐标是． 16．（4 分）如图，在矩形ABCD 中，AB＝6，AD＝8，将此矩形折叠，使点C 与点A 重合，点D 落在点D′处，折痕为EF，则AD′的长为，DD′的长为．三、解答题（本大题满分68 分） 17．（12 分）（1）计算：23+|﹣3|÷35﹣1；（2）解不等式组并把它的解集在数轴（如图）上表示出来． 18．（10 分）为了庆祝中国共产党成立 100 周年，某校组织了党史知识竞赛，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍对表现优异的班级进行奖励．若购买 2 副乒乓球拍和 1 副羽毛球拍共需 280 元；若购买 3 副乒乓球拍和 2 副羽毛球拍共需 480 元．求 1 副乒乓球拍和 1 副羽毛球拍各是多少元？ 19．（8 分）根据 2021 年5 月11 日国务院新闻办公室发布的《第七次全国人口普查公报》，就我国 2020 年每 10 万人中，拥有大学（指大专及以上）、高中（含中专）、初中、小学、其他等文化程度的人口（以上各种受教育程度的人包括各类学校的毕业生、肄业生和在校生）受教育情况数据，绘制了条形统计图（图 1）和扇形统计图（图 2）．根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）a＝，b＝；（2）在第六次全国人口普查中，我国 2010 年每10 万人中拥有大学文化程度的人数约为 0.90 万，则 2020 年每 10 万人中拥有大学文化程度的人数与 2010 年相比，增长率是 %（精确到0.1%）．（3）2020 年海南省总人口约 1008 万人，每 10 万人中拥有大学文化程度的人数比全国每 10 万人中拥有大学文化程度的人数约少 0.16 万，那么全省拥有大学文化程度的人数约有万（精确到 1 万）． 20．（10 分）如图，在某信号塔 AB 的正前方有一斜坡 CD，坡角∠CDK＝30°，斜坡的顶端C 与塔底B 的距离BC＝8 米，小明在斜坡上的点E 处测得塔顶A 的仰角∠AEN＝60°，CE＝4 米，且BC∥NE∥KD，AB⊥BC（点A， B，C，D，E，K，N 在同一平面内）．（1）填空：∠BCD＝度，∠AEC＝度；（2）求信号塔的高度 AB（结果保留根号）． 21．（12 分）如图 1，在正方形ABCD 中，点 E 是边BC 上一点，且点 E 不与点 B、C 重合，点 F 是BA 的延长线上一点，且 AF＝CE．（1）求证：△DCE≌△DAF；（2）如图 2，连接 EF，交AD 于点K，过点 D 作DH⊥EF，垂足为 H，延长 DH 交BF 于点G，连接 HB，HC．①求证：HD＝HB；②若DK•HC，求HE 的长． 22．（16 分）已知抛物线 y＝ax2x+c 与x 轴交于A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，且点 A 的坐标为（﹣1，0）、点 C 的坐标为（0，3）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图 1，若该抛物线的顶点为 P，求△PBC的面积；（3）如图 2，有两动点 D、E 在△COB的边上运动，速度均为每秒 1 个单位长度，它们分别从点 C 和点B 同时出发，点 D 沿折线 COB 按C→O→B方向向终点B 运动，点 E 沿线段 BC 按B→C方向向终点 C 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为 t 秒，请解答下列问题：①当 t 为何值时，△BDE 的面积等于；②在点 D、E 运动过程中，该抛物线上存在点 F，使得依次连接 AD、DF、FE、EA 得到的四边形 ADFE 是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点 F 的坐标． 2021 年海南省中考数学参考答案与试题解析一、选择题（本大题满分 36 分，每小题 3 分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用 2B 铅笔涂黑. 1．（3分）实数﹣5 的相反数是（） A．5 B．﹣5 C．±5 D．【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解答】解：实数﹣5 的相反数是：5．故选：A.【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键． 2．（3 分）下列计算正确的是（） A．a3+a3＝a6 B．2a3﹣a3＝1 C．a2•a3＝a5 D．（a2）3＝a5 【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．【解答】解：A．a3+a3＝2a3，故本选项不合题意；B.2a3﹣a3＝a3，故本选项不合题意；C．a2•a3＝a5，故本选项符合题意；D．（a2）3＝a6，故本选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键． 3．（3 分）下列整式中，是二次单项式的是（） A．x2+1 B．xy C．x2y D．﹣3x 【分析】直接利用单项式的次数确定方法分析得出答案．【解答】解：A、x2+1 是多项式，故此选项不合题意；B、xy 是二次单项式，符合题意；C、x2y 是次数为 3 的单项式，不合题意；D、﹣3x 是次数为 1 的单项式，不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了单项式，正确掌握单项式的次数确定方法是解题关键． 4．（3 分）天问一号于 2020 年7 月23 日在文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空，于 2021 年5 月15 日在火星成功着陆，总飞行里程超过450000000 千米．数据450000000 用科学记数法表示为（）A．450×106 B．45×107 C．4.5×108 D．4.5×109 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：450000000＝4.5×108，故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a 的值以及n 的值． 5．（3 分）如图是由5个大小相同的小正方体组成的几何体，则它的主视图是（）A． B． C． D．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从正面看易得有两层，底层两个正方形，上层左边是一个正方形．故选：B．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 6．（3 分）在一个不透明的袋中装有5 个球，其中2 个红球，3 个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1 个球，摸出红球的概率是（） A． B． C． D．【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．【解答】解：∵不透明袋子中装有5 个球，其中有2 个红球、3 个白球，∴从袋子中随机取出1 个球，则它是红球的概率是，故选：C．【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P（A），难度适中． 7．（3 分）如图，点A、B、C 都在方格纸的格点上，若点A 的坐标为（0，2），点B 的坐标为（2，0），则点C 的坐标是（） A．（2，2） B．（1，2） C．（1，1） D．（2，1）【分析】直接利用已知点坐标确定平面直角坐标系，进而得出答案．【解答】解：如图所示：点 C 的坐标为（2，1）．故选：D．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出原点位置是解题的关键． 8．（3 分）用配方法解方程 x2﹣6x+5＝0，配方后所得的方程是（） A．（x+3）2＝﹣4 B．（x﹣3）2＝﹣4 C．（x+3）2＝4 D．（x﹣3）2＝4 【分析】把常数项 5 移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣6 的一半的平方．【解答】解：把方程 x2﹣6x+5＝0 的常数项移到等号的右边，得到 x2﹣6x＝﹣5，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到 x2﹣4x+9＝﹣5+9，配方得（x﹣3）2＝4．故选：D．【点评】本题考查了配方法，解题的关键是注意：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2 的倍数． 9．（3 分）如图，已知a∥b，直线l 与直线a、b 分别交于点A、B，分别以点A、B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交直线b 于点C，连接AC，若∠1＝40°，则∠ACB的度数是（） A．90° B．95° C．100° D．105° 【分析】利用基本作图可判断MN 垂直平分AB，则利用线段垂直平分线的性质得到CA＝CB，所以∠CBA＝∠CAB＝40°，进而可得结果．【解答】解：∵a∥b，∴∠CBA＝∠1＝40°，根据基本作图可知：MN垂直平分 AB，∴CA＝CB，∴∠CBA＝∠CAB＝40°，∴∠ACB＝180°﹣2×40°＝100°．故选：C．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5 种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质． 10．（3 分）如图，四边形 ABCD 是⊙O的内接四边形，BE 是⊙O的直径，连接 AE．若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是（） A．30° B．35° C．45° D．60°【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠BAD＝60°，根据圆周角定理得到∠BAE＝90°，结合图形计算，得到答案．【解答】解：∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BCD＝120°，∠BAD＝60°，∵BE是⊙O的直径，∴∠BA E＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，故选：A．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 11．（3 分）如图，在菱形ABCD 中，点E、F 分别是边BC、CD 的中点，连接AE、AF、EF．若菱形ABCD 的面积为8，则△AEF的面积为（） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】连接 AC、BD，交于点 O，AC 交EF 于点G，根据菱形性质可得菱形面积公式，然后根据三角形中位线定理得 EF 与BD 关系，最后根据三角形面积公式代入计算可得答案．【解答】解：连接 AC、BD，交于点 O，AC 交EF 于点G，∵四边形 ABCD 是菱形，∴AO＝OC，菱形 ABCD 的面积为：，∵点E、F 分别是边BC、CD 的中点，∴EF∥BD，EFBD，∴AC⊥EF，AG＝3CG，设AC＝a，BD＝b，∴8，即ab＝16，S△AEFab＝3．故选：B．【点评】此题考查的是菱形的性质、三角形中位线定理，能够利用三角形面积公式得到答案是解决此题关键．12．（3 分）李叔叔开车上班，最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了几分钟，为了按时到单位，李叔叔在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶，则汽车行驶的路程y（千米）与行驶的时间t（小时）的函数关系的大致图象是（） A． B． C． D．【分析】首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况：时间t 和运动的路程s 之间的关系采用排除法求解即可．【解答】解：随着时间的增多，行进的路程也将增多，排除D；由于途中停车加油耽误了几分钟，此时时间在增多，而路程没有变化，排除A；后来加快了速度，仍保持匀速行进，所以后来的函数图象的走势应比前面匀速前进的走势要陡．故选：B．【点评】此题主要考查了函数图象，解题的关键是根据函数图象的性质分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．二、填空题（本大题满分16 分，每小题4 分，其中第16 小题每空2 分） 13．（4 分）分式方程0 的解是x＝1 ．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x﹣1＝0，解得：x＝1，检验：当x＝1 时，x+2≠0，∴分式方程的解为x＝1．故答案为：x＝1．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 14．（4 分）若点A（1，y1），B（3，y2）在反比例函数y 的图象上，则y1 ＞y2（填“＞”“＜”或“＝”）．【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数的图象所在的象限，再由A、B 两点横坐标的特点即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数 y 中，k＝3＞0，∴此函数图象的两个分支分别在一三象限，且在每一象限内 y 随x 的增大而减小．∵1＜3，∴y1＞y2．故答案为＞．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键． 15．（4 分）如图，△ABC的顶点 B、C 的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点 A 的坐标是（4，）．【分析】过点 A 作AG⊥x轴，交 x 轴于点 G．只要求出 AG、OG，则可求出顶点 A 的坐标．【解答】解：过点 A 作AG⊥x 轴，交 x 轴于点G．∵B、C 的坐标分别是（1，0）、（0，），∴OC，OB＝1，∴BC2．∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴AB2．∵∠ABG+∠CBO＝90°，∠BCO+∠CBO＝90°，∴∠ABG＝∠BCO．∴sin∠ABG，cos∠ABG，∴AG，BG ＝3．∴OG＝1+3＝4，∴顶点 A 的坐标是（4，）．故答案为：（4，）．【点评】此题考查的是解直角三角形，利用点的坐标特点求得AG、OG 的长是解决此题关键． 16．（4 分）如图，在矩形ABCD 中，AB＝6，AD＝8，将此矩形折叠，使点C 与点A 重合，点D 落在点D′处，折痕为EF，则AD′的长为 6 ，DD′的长为．【分析】根据折叠的性质即可求得AD′＝CD＝6；连接 AC，根据勾股定理求得 AC＝10，证得△BAE≌△D′AF（AAS），D′F＝BE，根据勾股定理列出关于线段 BE 的方程，解方程求得 BE 的长，即可求得，然后通过证得，根据相似三角形的性质即可求得DD′．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴CD＝AB＝6，∵AD′＝CD，∴AD′＝6；连接 AC，∵AB＝6，BC＝AD＝8，∠ABC＝90°，∴AC10，∵∠BAF＝∠DAE′＝90°，∴∠BAE＝∠D′AF，在△BAE 和△D′AF 中，∴△BAE≌△D′AF （AAS），∴D′F＝BE，∠AEB＝∠AFD′，∴∠AEC＝∠D′FD，由题意知：AE＝EC；设 BE＝x，则 AE＝EC＝8﹣x，由勾股定理得：（8﹣x）2＝62+x2，解得：x，∴BE，AE＝8，∴，∴，∵∠AD′F＝∠D′AF＝90°，∴D′F∥AE，∵DF∥EC，∴，∴，∴DD′10，故答案为6，．【点评】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用全等三角形的性质、相似三角形的性质，勾股定理等几何知识点来解题．三、解答题（本大题满分 68 分） 17．（12 分）（1）计算：23+|﹣3|÷35﹣1；（2）解不等式组并把它的解集在数轴（如图）上表示出来．【分析】（1）利用乘方的意义、绝对值的意义、二次根式的性质和负整数指数幂的意义计算；（2）分别解两个不等式得到 x＞﹣3 和x≤2，再利用大小小大中间找得到不等式组的解集，然后在数轴上表示其解集．【解答】解：（1）原式＝8+3÷3﹣5 ＝8+1﹣1 ＝8；（2），解①得 x＞﹣3，解②得x≤2，所以不等式组的解集为﹣3＜x≤2，解集在数轴上表示为：【点评】本题考查了二次根式的混合运算：掌握二次根式的性质和负整数指数幂的意义是解决问题的关键．也考查了解不等式组． 18．（10 分）为了庆祝中国共产党成立 100 周年，某校组织了党史知识竞赛，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍对表现优异的班级进行奖励．若购买 2 副乒乓球拍和 1 副羽毛球拍共需 280 元；若购买 3 副乒乓球拍和 2 副羽毛球拍共需 480 元．求 1 副乒乓球拍和 1 副羽毛球拍各是多少元？【分析】设购买 1 副乒乓球拍 x 元，1 副羽毛球拍 y 元，由购买 2 副乒乓球拍和 1 副羽毛球拍共需 280 元，购买 3 副乒乓球拍和 2 副羽毛球拍共需 480 元，可得出方程组，解出即可．【解答】解：设购买 1 副乒乓球拍 x 元，1 副羽毛球拍 y 元，根据题意得，，解得．答：购买 1 副乒乓球拍80 元，1 副羽毛球拍 120 元．【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意找到相等关系，并依据相等关系列出方程组． 19．（8 分）根据 2021 年5 月11 日国务院新闻办公室发布的《第七次全国人口普查公报》，就我国 2020 年每 10 万人中，拥有大学（指大专及以上）、高中（含中专）、初中、小学、其他等文化程度的人口（以上各种受教育程度的人包括各类学校的毕业生、肄业生和在校生）受教育情况数据，绘制了条形统计图（图 1）和扇形统计图（图 2）．根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）a＝ 3.45 ，b＝ 1.01 ；（2）在第六次全国人口普查中，我国 2010 年每10 万人中拥有大学文化程度的人数约为0.90 万，则2020 年每10 万人中拥有大学文化程度的人数与2010 年相比，增长率是72.2 %（精确到0.1%）．（3）2020 年海南省总人口约1008 万人，每10 万人中拥有大学文化程度的人数比全国每10 万人中拥有大学文化程度的人数约少0.16 万，那么全省拥有大学文化程度的人数约有140 万（精确到 1 万）．【分析】（1）根据小学的人数是 2.48 万人，所占的百分比是 24.8%，据此即可求得总人数，进而可求得 a、b 的值；（2）用2020 年与2010 年每10 万人中拥有大学文化程度的人数差除以 2010 年每 10 万人中拥有大学文化程度的人数即可求解；（3）求出海南省每 10 万人中拥有大学文化程度的人数，用 1008 乘以海南省每10 万人中拥有大学文化程度的人数所占的百分比即可求解．【解答】解：（1）2.48÷24.8%＝10（万人）， a＝10×34.5%＝3.45， b＝10﹣1.55﹣1.51 ﹣3.45﹣2.48＝1.01，故答案为：3.45，1.01；（2）100%≈72.2%，故答案为：72.2；（3）1008140（万人），故答案为：140．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 20．（10 分）如图，在某信号塔 AB 的正前方有一斜坡 CD，坡角∠CDK＝30°，斜坡的顶端 C 与塔底 B 的距离 BC＝8 米，小明在斜坡上的点 E 处测得塔顶 A 的仰角∠AEN＝60°，CE＝4 米，且BC∥NE∥KD，AB⊥BC（点A，B，C，D，E，K，N 在同一平面内）．（1）填空：∠BCD＝150 度，∠AEC＝30 度；（2）求信号塔的高度 AB（结果保留根号）．【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补可求出∠BCD，进而求出∠ACE；（2）通过作垂线，构造直角三角形，在Rt△CEG 中，由∠CEG＝30°，CE＝4m，可求出 CG＝2m，EG＝2m，在Rt△AEF中利用特殊锐角的三角函数列方程求解即可.. 【解答】解：（1）∵BC∥DK，∴∠BCD+∠D＝180°，又∵∠D＝30°，∴∠BCD＝180°﹣30°＝150°，∵NE∥KD，∴∠CEN＝∠D＝30°，又∵∠AEN＝60°，∴∠ACE＝∠AEN﹣∠CEN＝60°﹣30°＝30°，故答案为：150，30；（2）如图，过点 C 作CG⊥EN，垂足为 G，延长 AB 角EN 于点F，在Rt△CEG 中，∵∠CEG＝30°，CE＝4m，∴CGCE＝2（m）＝BK，∴EGCG＝2（m），设AB＝x，则AF＝（x+2）m， EF＝BC+EG＝（8+2）m，在Rt△AEF中，∵∠AEN＝60°，∴BFEF，即 x+2（8+2）， x＝（4+8）m，即信号塔的高度 AB 为（4+8）m．【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，构造直角三角形，掌握两个直角三角形边角之间的关系是解决问题的关键． 21．（12 分）如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E 是边 BC 上一点，且点 E 不与点 B、C 重合，点 F 是BA 的延长线上一点，且 AF＝CE．（1）求证：△DCE≌△DAF；（2）如图 2，连接 EF，交AD 于点K，过点 D 作DH⊥EF，垂足为 H，延长 DH 交BF 于点G，连接 HB，HC．①求证：HD＝HB；②若DK•HC，求HE 的长．【分析】（1）由CD＝AD，∠DCE＝∠DAF＝90°，CE ＝AF，即可求解；（2）①由△DCE≌△DAF，得到△DFE为等腰直角三角形，则点 H 是EF 的中点，故 DHEF，进而求解；②证明△DKF∽△HEC，则，即DK•HC＝DF•HE，进而求解．【解答】解：（1）∵四边形 ABCD 为正方形，∴CD＝AD，∠DCE＝∠DAF＝90°，∵CE＝AF，∴△DCE≌△DAF（SAS）；（2）①∵△DCE≌△DAF，∴DE＝DF，∠CDE＝∠ADF，∴∠DE＝∠ADF+∠ADE＝∠CDE+∠ADE＝∠ADC＝90°，∴△DFE为等腰直角三角形，∵DH⊥EF，∴ 点H 是EF 的中点，∴DHEF，同理，由 HB 是Rt△EBF的中线得：HBEF，∴HD ＝HB；②∵四边形 ABCD 为正方形，故 CD＝CB，∵HD＝HB，CH＝CH，∴△DCH≌△BCH（SSS），∴∠DCH＝∠BCH＝45°，∵△DEF 为等腰直角三角形，∴∠DFE＝45°，∴∠HCE＝∠DFK，∵四边形 ABCD 为正方形，∴AD∥BC，∴∠DKF＝∠HEC，∴△DKF∽△HEC，∴，∴DK•HC＝DF•HE，在等腰直角三角形 DFH 中，DFHEHE，∴DK•HC＝DF•HEHE2，∴HE＝1．【点评】本题是四边形综合题，涉及到正方形的性质、三角形全等和相似、等腰直角三角形的性质、直角三角形中线定理等，综合性强，难度适中． 22．（16 分）已知抛物线 y＝ax2x+c 与x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，且点 A 的坐标为（﹣1，0）、点 C 的坐标为（0，3）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图 1，若该抛物线的顶点为 P，求△PBC的面积；（3）如图 2，有两动点 D、E 在△COB的边上运动，速度均为每秒 1 个单位长度，它们分别从点 C 和点B 同时出发，点 D 沿折线 COB 按C→O→B方向向终点B 运动，点 E 沿线段 BC 按B→C方向向终点 C 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为 t 秒，请解答下列问题：①当 t 为何值时，△BDE 的面积等于；②在点 D、E 运动过程中，该抛物线上存在点 F，使得依次连接 AD、DF、FE、EA 得到的四边形 ADFE 是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点 F 的坐标．【分析】（1）把 A、C 两点代入抛物线 y＝ax2x+c 解析式，即可得表达式．（2）把解析式配方得顶点式，即可得顶点坐标，令 y＝0，得 B 点的坐标，连接 OP，可求的S△PBC＝S△OPC+S△OPB﹣S△OBC，•OC•|xp|•OB•|yp|•OB•OC，即得结果．（3））①在△OBC中，BC＜OC+OB，当动点 E 运动到终点 C 时，另一个动点 D 也停止运动，由勾股定理得 BC＝5，当运动时间为 t 秒时，BE＝t，过点 E 作EN⊥x轴，垂足为 N，根据相似三角形的判定得△BEN∽△BCO，根据相似三角形的性质得，点 E 的坐标为（4t，t），分两种情形讨论当点 D 在线段 CO 上运动时，0＜t＜3，此时 CD＝t，点D 的坐标为（0，3﹣t），S△BDE＝S△BOC﹣S△CDE﹣S△BODt2，当S△BDE时，t2，解得 t；Ⅱ、如图，当点 D 在线段 OB 上运动时，3≤t≤5，BD＝7﹣t，∴S△BDEBD•ENt2t，当S△BDE 时，t；②根据平行四边形 ADFE 的性质得出坐标．【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2x+c 经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，∴，解得，∴该抛物线的函数表达式为 yx2x+3；（2）∵抛物线 yx2x+3（x）2，∴抛物线的顶点 P 的坐标为（，），∵yx2x+3，令 y＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴B 点的坐标为（4，0），OB ＝4，如图，连接 OP，则S△PBC＝S△OPC+S△OPB﹣S△OBC，•OC•|xp|•OB•|yp|•OB•OC 344×3 6 ，∴△PBC的面积为；（3）①∵在△OBC中，BC＜OC+OB，∴当动点 E 运动到终点 C 时，另一个动点D 也停止运动，∵OC＝3，OB＝4，∴在Rt△OBC中，BC5，∴0＜t≤5，当运动时间为 t 秒时，BE＝t，如图，过点 E 作EN⊥x轴，垂足为 N，则△BEN∽△BCO，∴，∴BNt，ENt，∴点 E 的坐标为（4t，t），下面分两种情形讨论：Ⅰ、当点 D 在线段 CO 上运动时，0＜t＜3，此时 CD＝t，点D 的坐标为（0，3 ﹣t），∴S△BDE＝S△BOC﹣S△CDE﹣S△BOD BO•COCD•|xE|OB•OD 4×3t×（4t）4×（3﹣t） t2，当S△BDE 时，t2，解得 t1（舍去），t23，∴t；Ⅱ、如图，当点 D 在线段 OB 上运动时，3≤t≤5，BD＝7﹣t，∴S△BDEBD•EN，（7﹣t）t t2t，当S△BDE 时， t2t，解得 t3，t43，又∵3≤t≤5，∴t，综上所述，当 t 或 t 时，S△BDE；②当点 D 在线段 OC 上，根据平行四边的性质得，F 坐标为（，），当点 D 在线段 OB 上，根据平行四边的性质，F 坐标为（3，3）．综上所述：F 坐标为（，）或（3，3）．【点评】本题考查了抛物线的综合运用，本题涉及到抛物线的求解，抛物线坐标轴求解，勾股定理，二次函数的性质相似三角形的判定与性质，正确运用分类讨论思想是解题的关键．。

函数图象解题思路起点：动点从何处出发，何时出发，何速度运动，运动方向是什么，形成的是何图形？起点有没有意义？点运动的路程（边长）中间点：分阶段运动，中间的位置是什么？终点：何时何地结束运动，停止时是否有先后？特殊点：运动过程中特殊的位置。

类型一、实际问题【经典例题1】已知A ，B 两地相距120千米，甲、乙两人沿同一条公路从A 地出发到B 地，乙骑自行车，甲骑摩托车，图中DE ，OC 分别表示甲、乙离开A 地的路程s （单位：千米）与时间t （单位：小时）的函数关系的图象，设在这个过程中，甲、乙两人相距y （单位：千米），则y 关于t 的函数图象是（ ）A.B. C. D.【解析】 由题意和图象可得，乙到达B 地时甲距A 地120km ，开始时两人的距离为0； 甲的速度是：120÷(3−1)=60km/h ，乙的速度是：80÷3=380km/h ，即乙出发1小时后两人距离为380km ；设乙出发后被甲追上的时间为x h ，则60(x −1)=380x ，得x =1.8，即乙出发后被甲追上的时间为1.8h.所以符合题意的函数图象只有选项B.故选：B.练习1-1甲、乙两位同学进行长跑训练，甲和乙所跑的路程S （单位：米）与所用时间t （单位：秒）之间的函数图象分别为线段OA 和折线OBCD ，则下列说法正确的是（ ）A.两人从起跑线同时出发，同时到达终点B.跑步过程中，两人相遇一次C.起跑后160秒时，甲、乙两人相距最远D.乙在跑前300米时，速度最慢练习1-2小明在书上看到了一个实验：如图，一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动．小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间t 以及容器内水面的高度h ，并画出表示h 与t 的函数关系的大致图象，如下图所示．小明选择的物体可能是（ ）A．B．C．D．练习1-3如图，在一个盛水的圆柱形容器的水面以下，有一个用细线吊着的下端开了一个很小的孔的充满水的薄壁小球，当慢慢地匀速将小球从水下向水面上拉动时，圆柱形容器内水面的高度与时间的函数图象大致是（）类型二：几何动态①动点图形面积【经典例题2】如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4cm，△B=30°，点P从点B 出发，以3cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（）A. B. C. D.【解析】作AH ⊥BC 于H ，∵AB=AC=4cm ，∴BH=CH ，∵∠B=30°，∴AH=12AB=2，BH=3AH=23，∴BC=2BH=43，∵点P 运动的速度为3m/s ，Q 点运动的速度为1cm/s ，∴点P 从B 点运动到C 需4s ，Q 点运动到C 需8s ，当0△x △4时，作QD ⊥BC 于D ，如图1，BQ=x ，BP=3x ，在Rt △BDQ 中，DQ=21BQ=21x ， ∴y=21⋅21x ⋅3x =43x 2，当4<x △8时，作QD ⊥BC 于D ，如图2，CQ=8−x ，BP=43在Rt △BDQ 中，DQ=21CQ=21(8−x )，∴y=21⋅21(8−x )⋅43=−3+83， 综上所述，⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤=)84(383)40(432x x x x y ，，，.故选D.练习2-1四边形ABCD 为直角梯形，CD△AB ，CB△AB 且CD=BC=21AB ，若直线l △AB ，直线l 截这个梯形所得的位于此直线左方的图形面积为y ，点A 到直线L 的距离为x ，则y 与x 关系的大致图象为（ ）A.B. C. D.练习2-2如图，四边形ABCD 是矩形，AB=8，BC=4，动点P 以每秒2个单位的速度从点A 沿线段AB 向B 点运动，同时动点Q 以每秒3个单位的速度从点B 出发沿B −C −D 的方向运动，当点Q 到达点D 时P 、Q 同时停止运动，若记△PQA 的面积为y ，运动时间为x ，则下列图象中能大致表示y 与x 之间函数关系图象的是( )练习2-3如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C．设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（）A. B. C. D.练习2-4如图，四边形ABCD为正方形，若AB=4，E是AD边上一点（点E与点A、D不重合），BE的中垂线交AB于M，交DC于N，设AE=x，则图中阴影部分的面积S与x的大致图象是（）A. B. C. D.练习2-5如图，正方形ABCD中，AB=4cm，点E、F同时从C点出发，以1cm/s 的速度分别沿CB﹣BA、CD﹣DA运动，到点A时停止运动．设运动时间为t （s），△AEF的面积为S（cm2），则S（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）练习2-6如图，在△ABCD中，AB=6，BC=10，AB△AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（）A．B．C．D．练习2-7如图，在平面直角坐标系x Oy中，A(2，0)，B(0，2)，点M在线段AB 上，记MO+MP最小值的平方为s，当点P沿x轴正向从点O运动到点A时(设点P的横坐标为x)，s关于x的函数图象大致为（）A. B. C. D.练习2-8木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）A. B. C. D.练习2-9数学课上，老师提出一个问题：如图△，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，1)，点B是x轴正半轴上一动点，以AB为边作等腰直角三角形ABC，使△BAC=90°，点C在第一象限，设点B的横坐标为x，设……为y，y与x之间的函数图象如图△所示，题中用“……”表示的缺失的条件应补为( )A. 点C的横坐标B. 点C的纵坐标C. △ABC的周长D. △ABC的面积练习2-10如图，在平面直角坐标系x Oy中，以点A(2，3)为顶点作一直角∠PAQ，使其两边分别与x轴，y轴的正半轴交于点P，Q.连接PQ，过点A作AH⊥PQ 于点H.设点P的横坐标为x，AH的长为y，则下列图象中，能表示y与x函数关系的图象大致是（）.②动点图形边长【经典例题3】如图△，在矩形ABCD中，AB<AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动.设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图△所示，则AD边的长为( )A. 3B. 4C. 5D. 6【解析】当P 点在AB 上运动时，△AOP 面积逐渐增大，当P 点到达B 点时，△AOP 面积最大为3． ∴21AB •21=3，即AB •BC=12． 当P 点在BC 上运动时，△AOP 面积逐渐减小，当P 点到达C 点时，△AOP 面积为0，此时结合图象可知P 点运动路径长为7，∴AB+BC=7．则BC=7-AB ，代入AB •BC=12，得AB 2-7AB+12=0，解得AB=4或3， 因为AB<AD ，即AB<BC ，所以AB=3，BC=4．故选：B ．练习3-1如图1，动点P 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿以1cm/s 的速度运动到点D ，设点P 的运动时间为x （s ），△PAB 的面积为y(cm 2)，表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则a 的值为（ ） A.25 B.5 C. 2 D.52练习3-2如如图△，菱形ABCD中，∠B=60°，动点P以每秒1个单位的速度自点A出发沿线段AB运动到点B，同时动点Q以每秒2个单位的速度自点B--运动到点D.图△是点P、Q运动时，△BPQ的面积S随时出发沿折线B C D间t变化关系图象，则a的值是（）A.2B.2.5C.3D.练习3-3如如图1，四边形ABCD中，AB△CD，△B＝90°，AC＝AD．动点P从点B出发沿折线B﹣A﹣D﹣C方向以1单位/秒的速度运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则AD等于（）A．10B．C．8D．练习3-4如如图1，点P 从ABC △的顶点B 出发，沿B C A →→匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 为曲线部分的最低点，则ABC △的面积是______．练习3-5如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从A 出发，沿AB →BC 方向运动，当点E 到达点C 时停止运动，过点E 做FE ⊥AE ，交CD 于F 点，设点E 运动路程为x ，FC=y ，如图2所表示的是y 与x 的函数关系的大致图象，当点E 在BC 上运动时，FC 的最大长度是52，则矩形ABCD 的面积是() A.523 B. 5 C. 6 D. 425【经典例题4——圆】如图，在平面直角坐标系x Oy中，以(3，0)为圆心作△P，△P与x轴交于A. B，与y轴交于点C(0，2)，Q为△P上不同于A. B的任意一点，连接QA、QB，过P点分别作PE△QA于E，PF△QB于F. 设点Q的横坐标为x，PE2+PF2=y.当Q 点在△P上顺时针从点A运动到点B的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的部分图象是( )【解析】△P(3，0)，C(0，2)，△PC2=13.△AC是直径，△△Q=90°.又PE△QA于E，PF△QB于F，△四边形PEQF是矩形。

2021中考数学专题汇编：与圆有关的位置关系一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，AB为☉O的切线.切点为A，连接AO，BO，BO与☉O交于点C，延长BO与☉O交于点D，连接AD.若∠ABO=36°，则∠ADC的度数为()A.54°B.36°C.32°D.27°2. 如图，AB为☉O的直径，BC为☉O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD.下列结论:①CD是☉O的切线;②CO⊥DB;③△EDA∽△EBD;④ED·BC=BO·BE.其中正确结论的个数有()A.4个B.3个C.2个D.1个3. 选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°.”时，应先假设()A．∠A＞45°，∠B＞45°B．∠A≥45°，∠B≥45°C．∠A＜45°，∠B＜45°D．∠A≤45°，∠B≤45°4. 如图，AP为⊙O的切线，P为切点，若∠A＝20°，C、D为圆周上两点，且∠PDC＝60°，则∠OBC等于()A. 55°B. 65°C. 70°D. 75°5. 在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)．现计划修建一座以O为圆心，OA长为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为()A．E，F，G B．F，G，HC．G，H，E D．H，E，F6. 如图，在△MBC中，∠MBC＝90°，∠C＝60°，MB＝2 3，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为()A. 2B. 3 C．2 D．37. 如图，在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位长度)选取9个格点(格线的交点称为格点)．如果以点A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为()图A．22＜r≤17 B.17＜r≤3 2C.17＜r≤5 D．5＜r≤298. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin∠E的值为()A. 12B.22C.32D.339. 如图，一个边长为4 cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等．⊙O与BC相切于点C，与AC相交于点E，则CE的长为()A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1.5 cm10. (2019•仙桃)如图，AB为O的直径，BC为O的切线，弦AD∥OC，直线⊥；CD交的BA延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是O的切线；②CO DB⋅=⋅．其中正确结论的个数有③EDA EBD△∽△；④ED BC BO BEA．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（本大题共8道小题）11. 如图，P A，PB是☉O的切线，A，B为切点，点C，D在☉O上.若∠P=102°，则∠A+∠C=.12. 如图，在平面直角坐标系中，已知C(3，4)，以点C为圆心的圆与y轴相切．点A，B在x轴上，且OA＝OB.P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长的最大值为________．13. 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O，以点A为圆心，以1为半径画圆，则点O，B，C，D中，点________在⊙A内，点________在⊙A上，点________在⊙A 外．14. 如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，要使DE 是⊙O的切线，则图中的线段应满足的条件是____________．15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是__________.16. 已知l1∥l2，l1，l2之间的距离是3 cm，圆心O到直线l1的距离是1 cm，如果圆O与直线l1，l2有三个公共点，那么圆O的半径为________cm.17. 2019·兴化期中已知等边三角形ABC的边长为2，D为BC的中点，连接AD.点O在线段AD上运动(不与端点A，D重合)，以点O为圆心，33为半径作圆，当⊙O与△ABC的边有且只有两个公共点时，DO的取值范围为________．18. 如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，若∠ABC ＝70°，∠ACB ＝40°，则∠BOC ＝________°.三、解答题（本大题共4道小题） 19. 2018·邵阳 如图所示，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，过点B 作BD ⊥CD ，垂足为D ，连接BC ，BC 平分∠ABD . 求证：CD 为⊙O 的切线．20. 2019·天津如图，已知PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，∠APB ＝80°，C为⊙O 上一点．(1)如图①，求∠ACB 的大小；(2)如图②，AE 为⊙O 的直径，AE 与BC 相交于点D.若AB ＝AD ，求∠EAC 的大小．21. 如图，AB为⊙O 的直径，C 为圆外一点，AC 交⊙O 于点D ，BC 2＝CD ·CA ，ED ︵＝BD ︵，BE 交AC 于点F . (1)求证：BC 为⊙O 的切线；(2)判断△BCF 的形状并说明理由；(3)已知BC ＝15，CD ＝9，∠BAC ＝36°，求BD ︵的长度(结果保留π).22. 2018·北京 对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为图形N 上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M ，N 间的“闭距离”，记作d (M ，N )．已知点A (－2，6)，B (－2，－2)，C (6，－2)． (1)求d (点O ，△ABC )；(2)记函数y ＝kx (－1≤x ≤1，k ≠0)的图象为图形G .若d (G ，△ABC )＝1，直接写出k 的取值范围；(3)⊙T 的圆心为T (t ，0)，半径为1.若d (⊙T ，△ABC )＝1，直接写出t 的取值范围．2021中考数学 专题汇编：与圆有关的位置关系-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】D [解析]∵AB 为☉O 的切线，∴∠OAB=90°. ∵∠ABO=36°，∴∠AOB=90°-∠ABO=54°.∵OA=OD ，∴∠ADC=∠OAD ，∵∠AOB=∠ADC +∠OAD ，∴∠ADC=∠AOB=27°，故选D .2. 【答案】A[解析]连接DO ，∵AD ∥OC ，∴∠DAO=∠COB ，∠ADO=∠DOC ，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠COB=∠COD，∴△COD≌△COB，∴∠ODC=∠OBC，∵BC为☉O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，∴CD是☉O的切线，故①正确;∵OB=OD，∠COB=∠COD，∴CO⊥DB，故②正确;∵∠EDA+∠ADO=90°，∠DBA+∠DAO=90°，∴∠EDA=∠DBA，∴△EDA∽△EBD，故③正确;∵△EDA∽△EBD，∴=，易证△COB∽△BAD，∴=，∴=，∴=，即ED·BC=BO·BE，故④正确.因此本题选A.3. 【答案】A4. 【答案】B【解析】连接OP，如解图，则OP⊥AP.∵∠D＝60°，∴∠COP＝120°，∵∠A＝20°，∠APO＝90°，∴∠AOP＝70°，∴∠AOC＝50°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝180°－50°2＝65°.解图5. 【答案】A[解析] 设小正方形的边长为1个单位长度，所以OA ＝12＋22＝ 5.因为OE ＝2＜OA ，所以点E 在⊙O 内； OF ＝2＜OA ，所以点F 在⊙O 内； OG ＝1＜OA ，所以点G 在⊙O 内； OH ＝22＋22＝2 2＞OA ， 所以点H 在⊙O 外． 故选A.6. 【答案】C [解析] 在Rt △BCM 中，∠MBC ＝90°，∠C ＝60°，∴∠BMC ＝30°，∴BC＝12MC ，即MC ＝2BC.由勾股定理，得MC2＝BC2＋MB2.∵MB ＝2 3， ∴(2BC)2＝BC2＋12，∴BC ＝2.∵AB 为⊙O 的直径，且AB ⊥BC ，∴BC 为⊙O 的切线．又∵CD 也为⊙O 的切线，∴CD ＝BC ＝2.7. 【答案】B[解析] 如图，∵AD ＝2 2，AE ＝AF ＝17，AB ＝3 2，∴AB ＞AE ＝AF ＞AD ，∴当17＜r ＜3 2时，以点A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内．8. 【答案】A【解析】如解图，连接OC ，∵EC 切⊙O 于C ，∴∠OCE ＝90°，∵OA ＝OC ，解图∴∠ACO ＝∠A ＝30°，∴∠COE ＝∠ACO ＋∠A ＝30°＋30°＝60°，∴∠E ＝180°－∠OCE －∠COE ＝180°－90°－60°＝30°，∴在Rt △COE 中，sin ∠E ＝sin30°＝12.9. 【答案】B [解析] 如图，连接OC ，并过点O 作OF ⊥CE 于点F . ∵△ABC 为等边三角形，边长为4 cm ， ∴△ABC 的高为2 3 cm ，∴OC ＝ 3 cm. 又∵⊙O 与BC 相切于点C ，∠ACB ＝60°，∴∠OCF ＝30°.在Rt △OFC 中，可得FC＝32 cm ， ∴CE ＝2FC ＝3 cm.10. 【答案】A【解析】如图，连接DO ．∵AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，∴90CBO ∠=︒， ∵AD OC ∥，∴DAO COB ∠=∠，ADO COD ∠=∠． 又∵OA OD =，∴DAO ADO ∠=∠，∴COD COB ∠=∠．在COD △和COB △中，CO CO COD COB OD OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴COD COB △≌△，∴90CDO CBO ∠=∠=︒．又∵点D 在O 上，∴CD 是O 的切线，故①正确， ∵COD COB △≌△，∴CD CB =，∵OD OB =，∴CO 垂直平分DB ，即CO DB ⊥，故②正确； ∵AB 为O 的直径，DC 为O 的切线，∴90EDO ADB ∠=∠=︒， ∴90EDA ADO BDO ADO ∠+∠=∠+∠=︒，∴ADE BDO ∠=∠， ∵OD OB =，∴ODB OBD ∠=∠，∴EDA DBE ∠=∠， ∵E E ∠=∠，∴EDA EBD △∽△，故③正确；∵90EDO EBC ∠=∠=︒，E E ∠=∠，∴EOD ECB △∽△，∴ED ODBE BC=，∵OD OB =， ∴ED BC BO BE ⋅=⋅，故④正确，故选A ．二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】219°[解析]连接AB，∵P A，PB是☉O的切线，∴P A=PB.∵∠P=102°，∴∠P AB=∠PBA=(180°-102°)=39°.∵∠DAB+∠C=180°，∴∠P AD+∠C=∠P AB+∠DAB+∠C=180°+39°=219°.12. 【答案】1613. 【答案】O B，D C[解析] ∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，AO＝BO＝CO ＝DO.设AO＝BO＝x.由勾股定理，得AO2＋BO2＝AB2，即x2＋x2＝12，解得x＝22(负值已舍去)，∴AO＝22＜1，AC＝2＞1，∴点O在⊙A内，点B，D在⊙A上，点C在⊙A外．14. 【答案】BD＝CD或AB＝AC(答案不唯一)[解析] (1)连接OD.要使DE是⊙O的切线，结合DE⊥AC，只需OD∥AC，根据O是AB的中点，只需BD＝CD即可；(2)根据(1)中探求的条件，要使BD＝CD，则连接AD，由于∠ADB＝90°，只需AB＝AC，根据等腰三角形的三线合一即可．15. 【答案】3＜r＜5[解析] 连接BD.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝3，则BD＝32＋42＝5.由题图可知3＜r＜5.16. 【答案】2或4[解析] 设圆O的半径为r cm如图①所示，r－1＝3，得r＝4；如图②所示，r＋1＝3，得r＝2.17. 【答案】0<DO<33或2 33<DO<3[解析] ∵等边三角形ABC的边长为2，D为BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝1，AD＝ 3. 分四种情况讨论：(1)如图①所示，当0<DO<33时，⊙O与△ABC的BC边有且只有两个公共点，(2)如图②所示，当DO＝33时，⊙O与△ABC的边有三个公共点；(3)如图③所示，当⊙O经过△ABC的顶点A时，⊙O与△ABC的边有三个公共点，则当33<DO≤2 33时，⊙O与△ABC的边有四个或三个公共点．(4)如图④所示，当2 33<DO<3时，⊙O与△ABC的边有两个公共点．综上，当0<DO<33或2 33<DO<3时，⊙O与△ABC的边只有两个公共点．故答案为0<DO<33或2 33<DO< 3.18. 【答案】125【解析】∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠OBC＋∠OCB＝12(∠ABC＋∠ACB)＝12(70°＋40°)＝55°.∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－55°＝125°.三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】证明：连接OC.∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠DBC.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OCB＝∠DBC，∴OC∥BD.∵BD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD为⊙O的切线．20. 【答案】解：(1)如图①，连接OA，OB，∵P A ，PB 是⊙O 的切线，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∴∠AOB ＝360°－90°－90°－80°＝100°.由圆周角定理，得∠ACB ＝12∠AOB ＝50°.(2)如图②，连接CE .∵AE 为⊙O 的直径，∴∠ACE ＝90°.∵∠ACB ＝50°，∴∠BCE ＝90°－50°＝40°，∴∠BAE ＝∠BCE ＝40°.∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB ＝70°，∴∠EAC ＝∠ADB －∠ACB ＝20°.21. 【答案】(1)证明：∵BC 2＝CD ·CA ，∴BC CA ＝CD BC ，∵∠C ＝∠C ，∴△CBD ∽△CAB ，∴∠CBD ＝∠BAC ，又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即∠BAC ＋∠ABD ＝90°，∴∠ABD ＋∠CBD ＝90°，即AB ⊥BC ，又∵AB 为⊙O 的直径，∴BC 为⊙O 的切线；(2)解：△BCF 为等腰三角形．证明如下：∵ED ︵＝BD ︵，∴∠DAE ＝∠BAC ，又∵△CBD ∽△CAB ，∴∠BAC ＝∠CBD ，∴∠CBD ＝∠DAE ，∵∠DAE ＝∠DBF ，∴∠DBF ＝∠CBD ，∵∠BDF ＝90°，∴∠BDC ＝∠BDF ＝90°，∵BD ＝BD ，∴△BDF ≌△BDC ，∴BF ＝BC ，∴△BCF 为等腰三角形；(3)解：由(1)知，BC 为⊙O 的切线，∴∠ABC ＝90°∵BC 2＝CD ·CA ，∴AC ＝BC 2CD ＝1529＝25，由勾股定理得AB ＝AC 2－BC 2＝252－152＝20，∴⊙O 的半径为r ＝AB 2＝10，∵∠BAC ＝36°，∴BD ︵所对圆心角为72°.则BD ︵＝72×π×10180＝4π.22. 【答案】解：(1)如图所示，点O 到△ABC 的距离的最小值为2，∴d (点O ，△ABC )＝2.(2)如图，函数y ＝kx (k ≠0)的图象经过原点，在－1≤x ≤1范围内，函数图象为线段． 当函数y ＝kx (－1≤x ≤1，k ≠0)的图象经过点(1，－1)时，k ＝－1，此时d (G ，△ABC )＝1；当函数y ＝kx (－1≤x ≤1，k ≠0)的图象经过点(－1，－1)时，k ＝1，此时d (G ，△ABC )＝1.∴－1≤k≤1.又∵k≠0，∴－1≤k≤1且k≠0.(3)如图，⊙T与△ABC的位置关系分三种情况：①当⊙T在△ABC的左侧时，d(⊙T，△ABC)＝1，此时t＝－4.②当⊙T在△ABC的内部时，当点T与原点重合时，d(⊙T，△ABC)＝1，此时t＝0；当点T位于T3位置时，由d(⊙T，△ABC)＝1知T3M＝2.∵AB＝BC＝8，∠ABC＝90°，∴∠C＝∠T3DM＝45°，则T3D＝2 2，∴t＝4－2 2.故此时0≤t≤4－2 2.③当⊙T在△ABC的右侧时，由d(⊙T，△ABC)＝1知T4N＝2.∵∠T4DC＝∠C＝45°，∴T4D＝2 2，∴t＝4＋2 2.综上，t＝－4或0≤t≤4－2 2或t＝4＋2 2.。

2021中考数学三轮复习专题：正方形及四边形综合问题一、选择题1. 下列条件不能判断▱ABCD是正方形的是()A.∠ABC=90°且AB=ADB.AB=BC且AC⊥BDC.AC⊥BD且AC=BDD.AC=BD且AB=BC2. 下列说法错误的是()A.平行四边形的对边相等B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.正方形既是轴对称图形又是中心对称图形3. 如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，E是DC上一点，DE=1，将△ADE 绕着点A顺时针旋转到与△ABF重合，则EF=()A.B.C.5D.24. 如图，在正方形ABCD中，AB=1，点E，F分别在边BC和CD上，AE=AF，∠EAF=60°，则CF的长是()A.B.C.-1 D.5. （2020·湖北孝感）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A 顺时针旋转90°，到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G，若BG=3，CG=2，则CE的长为( )A. B. C.4 D.6. 如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为()A. 2B. 3C. 2D. 17. （2020·温州）如图，在R t△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为A．14 B．15 C．83D．658. 已知在平面直角坐标系中放置了5个如图X3－1－10所示的正方形(用阴影表示)，点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是()A.3＋318 B.3＋118C.3＋36 D.3＋16二、填空题9. 将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到正方形FECG的位置(如图)，使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD=.(结果保留根号)10. 如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且E，A，B三点共线，AB=4，则阴影部分的面积是.11. 以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE，则∠BEC的度数是.12. 如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，若△EFC的周长为12，则EC的长为.13. 如图，正方形ABCO的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE 的对角线，若∠D＝60°，BC＝2，则点D的坐标是________．14. ▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得▱ABCD为正方形．15. 如图，正方形ABCD的边长为22，对角线AC，BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F，则FM的长为________．16. 七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.由边长为4的正方形ABCD可以制作一副如图①所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图②所示的“拼搏兔”造型(其中点Q，R分别与图②中的点E，G 重合，点P在边EH上)，则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是.三、解答题17. 如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC 于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的等量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．18. 如图，AB是☉O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交☉O于点C，过点C 作☉O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F.(1)求证:CE=EF.(2)连接AF并延长，交☉O于点G.填空:①当∠D的度数为时，四边形ECFG为菱形;②当∠D的度数为时，四边形ECOG为正方形.19. （2020·河南）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为.连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE.(1)如图1，当=60°时，△DEB′的形状为，连接BD，可求出BBCE′的值为；(2)当0°＜＜360°且≠90°时，①(1)中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点B′、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出BEB E′的值.20. 已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，AB＝6，D是AB的中点，动点E从点D出发，在AB边上向左或右运动，以CE为边向左侧作正方形CEFG，直线BG，FE相交于点N(点E向左运动时如图①，点E向右运动时如图②)．(1)在点E的运动过程中，直线BG与CD的位置关系为________；(2)设DE＝x，NB＝y，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值；(3)如图②，当DE的长度为3时，求∠BFE的度数．21. 在矩形ABCD中，AD＝4，M是AD的中点，点E是线段AB上一点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F.(1)如图①，求证：△AEM ≌△DFM；(2)如图②，若AB＝2，过点M作MG⊥EF交线段BC于点G，求证：△GEF是等腰直角三角形；(3)如图③，若AB＝23，过点M作MG⊥EF交线段BC的延长线于点G，若MG=nME，求n的值.2021中考数学三轮复习专题：正方形及四边形综合问题-答案一、选择题1. 【答案】B[解析]A.▱ABCD中，若∠ABC=90°，则▱ABCD是矩形，再由AB=AD 可得是正方形，故此选项错误;B.▱ABCD中，若AB=BC，则▱ABCD是菱形，再由AC⊥BD仍可得是菱形，不能判定为正方形，故此选项正确;C.▱ABCD中，若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形，再由AC=BD可得是正方形，故此选项错误;D.▱ABCD中，若AC=BD，则▱ABCD是矩形，再由AB=BC可得是正方形，故此选项错误.故选B.2. 【答案】B3. 【答案】D[解析]由旋转的性质可知，△ADE ≌△ABF ，∴BF=DE=1，∴FC=6，∵CE=4，∴EF===2.故选:D .4. 【答案】C[解析]连接EF .∵AE=AF ，∠EAF=60°，∴△AEF 为等边三角形，∴AE=EF .∵四边形ABCD 为正方形，∴∠B=∠D=∠C=90°，AB=AD ，∴Rt △ABE ≌Rt △ADF (HL)，∴BE=DF ，∴EC=CF .设CF=x ，则EC=x ，AE=EF==x ，BE=1-x.在Rt △ABE 中，AB 2+BE 2=AE 2，∴1+(1-x )2=(x )2，解得x=-1(舍负).故选C .5. 【答案】B【解析】由旋转的性质得△ABF ≌△ADE ，∴BF=DE ，AF=AE ，又∵AH ⊥EF ，∴FH=EH ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠C=90°，∠EFC=∠EFC ，∴△FHG ∽△FCE ，∴FG FHFE FC=， ∵BG=3，CG=2，∴BC=5，设EC=x ，则BF=DE=5-x ，FG=BG+BF=3+5-x =8-x ，CF=BC+BF=5+5-x =10-x ，EF=22EC CF +=，22(10)x x +-2222(10)210(10)x x xx x +-=-+-，解得：x =154.故选B.6. 【答案】B【解析】∵AB ＝2，∴BF ＝2，又∵BM ＝12BC ＝1，由勾股定理得FM ＝FB 2－BM 2＝ 3.7. 【答案】A【解析】本题主要考查了相似三角形和正方形的性质，由题意知△CDP ∽△CBQ ，所以CD DP CB BQ =，即2CD CD PECB CB PE-=-，解得：BC ＝2CD ，所以CQ ＝2CP ，则CP ＝5，CQ ＝10，由于PQ ∥AB ，所以∠CBA ＝∠BCQ ＝∠DCP ，则tan ∠BCQ ＝tan ∠DCP ＝tan ∠CBA ＝12，不妨设DP ＝x ，则DC ＝2x ，在R t △DCP 中，22(2)25x x +=，解得x 5∴DC ＝5，BC ＝5AB ＝10，△ABC 的斜边上的高＝25454AC BC AB ⋅⨯==,所以CR ＝14，所以因此本题选A ．8. 【答案】⎝⎛⎭⎪⎫72，0D 解析：过小正方形的一个顶点D 3作FQ ⊥x 轴于点Q ，过点A 3作A 3F ⊥FQ 于点F .∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3， ∴∠B 3C 3E 4＝60°，∠D 1C 1E 1＝30°，∠E 2B 2C 2＝30°， ∴D 1E 1＝12D 1C 1＝12，∴D 1E 1＝B 2E 2＝12， ∴cos30°＝B 2E 2B 2C 2＝12B 2C 2，解得：B 2C 2＝33.∴B 3E 4＝36，cos30°＝B 3E 4B 3C 3.解得：B 3C 3＝13. 则D 3C 3＝13. 根据题意得出：∠D 3C 3Q ＝30°，∠C 3D 3Q ＝60°，∠A 3D 3F ＝30°， ∴D 3Q ＝12×13＝16，FD 3＝D 3A 3·cos30°＝13×32＝36. 则点A 3到x 轴的距离FQ ＝D 3Q ＋FD 3＝16＋36＝3＋16. 二、填空题9. 【答案】-1 [解析]∵四边形ABCD 为正方形，∴CD=1，∠CDA=90°，∵边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到正方形FECG 的位置，使得点D 落在对角线CF 上， ∴CF=，∠CFE=45°，∴△DFH 为等腰直角三角形，∴DH=DF=CF -CD=-1.故答案为-1.10. 【答案】8[解析]∵四边形ACDF是正方形，∴AC=AF，∠CAF=90°，∴∠CAE+∠BAF=90°，又∠CAE+∠ECA=90°，∴∠ECA=∠BAF，则在△ACE和△F AB中，∵∴△ACE≌△F AB(AAS)，∴AB=CE=4，∴阴影部分的面积=AB·CE=×4×4=8.11. 【答案】30°或150°[解析]如图①，∵△ADE是等边三角形，∴DE=DA，∠DEA=∠1=60°.∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA，∠2=90°.∴∠CDE=150°，DE=DC，∴∠3=(180°-150°)=15°.同理可求得∠4=15°.∴∠BEC=30°.如图②，∵△ADE是等边三角形，∴DE=DA，∠1=∠2=60°，∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA，∠CDA=90°.∴DE=DC，∠3=30°，∴∠4=(180°-30°)=75°.同理可求得∠5=75°.∴∠BEC=360°―∠2―∠4―∠5=150°.故答案为30°或150°.12. 【答案】5[解析]∵四边形ABCD 是正方形，AC 为对角线，∴∠F AE=45°，又∵EF ⊥AC ， ∴∠AFE=90°，∴∠AEF=45°， ∴EF=AF=3，∵△EFC 的周长为12， ∴FC=12-3-EC=9-EC ，在Rt △EFC 中，EC 2=EF 2+FC 2， ∴EC 2=9+(9-EC )2， 解得EC=5.13. 【答案】(3＋2，1) 【解析】如解图，过点D 作DG ⊥BC 于G ，DF ⊥x 轴于F ，∵在菱形BDCE 中，BD ＝CD ，∠BDC ＝60°，∴△BCD 是等边三角形，∴DF ＝CG ＝12BC ＝1，CF ＝DG ＝3，∴OF ＝3＋2，∴D(3＋2，1)．解图14. 【答案】∠BAD ＝90°(答案不唯一)【解析】∵▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC ⊥BD ，∴▱ABCD 是菱形，当∠BAD ＝90°时，菱形ABCD 为正方形．故可添加条件：∠BAD ＝90°.15. 【答案】55【解析】∵四边形ABCD 为正方形，∴AO ＝BO ，∠AOF ＝∠BOE＝90°，∵AM ⊥BE ，∠AFO ＝∠BFM ，∴∠FAO ＝∠EBO ，在△AFO 和△BEO中，⎩⎨⎧∠AOF ＝∠BOE AO ＝BO ∠FAO ＝∠EBO，∴△AFO ≌△BEO(ASA )，∴FO ＝EO ，∵正方形ABCD的边长为22，E 是OC 的中点，∴FO ＝EO ＝1＝BF ，BO ＝2，∴在Rt △BOE 中，BE ＝12＋22＝5，由∠FBM ＝∠EBO ，∠FMB ＝∠EOB ，可得△BFM ∽△BEO ，∴FM EO ＝BF BE ，即FM 1＝15，∴FM ＝55.16. 【答案】4[解析]如图，连接EG，作GM⊥EN交EN的延长线于M.在Rt△EMG中，∵GM=4，EM=2+2+4+4=12，∴EG===4，∴EH==4.三、解答题17. 【答案】【思维教练】求三条线段之间的关系，一般是线段的和差关系或线段平方的和差关系．由ABCD是正方形，BD是角平分线，可想到连接CG，易得CG＝AG，再由四边形CEGF是矩形可得AG2＝GE2＋GF2；(2)给出∠AGF＝105°，可得出∠AGB＝60°，再由∠ABG＝45°，可想到过点A作BG的垂线，交BG于点M，分别在两个直角三角形中得出BM和MG的长，相加即可得出BG的长．解：(1)AG2＝GE2＋GF2；(1分)理由：连结CG，∵ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠CDG＝45°，AD＝CD，DG＝DG，∴△ADG≌△CDG，(2分)∴AG＝CG，又∵GE⊥DC，GF⊥BC，∠GFC＝90°，∴四边形CEGF是矩形，(3分)∴CF＝GE，在直角△GFC中，由勾股定理得，CG2＝GF2＋CF2，∴AG2＝GE2＋GF2；(4分)(2)过点A作AM⊥BD于点M，∵GF⊥BC，∠ABG＝∠GBC＝45°，∴∠BAM＝∠BGF＝45°，∴△ABM，△BGF都是等腰直角三角形，(6分)∵AB＝1，∴AM＝BM＝2 2，∵∠AGF＝105°，∴∠AGM＝60°，∴tan60°＝AMGM，∴GM＝66，(8分)∴BG＝BM＋GM＝22＋66＝32＋66.(10分)18. 【答案】解:(1)证明:连接OC.∵CE是☉O的切线，∴OC⊥CE.∴∠FCO+∠ECF=90°.∵DO⊥AB，∴∠B+∠BFO=90°.∵∠CFE=∠BFO，∴∠B+∠CFE=90°.∵OC=OB，∴∠FCO=∠B.∴∠ECF=∠CFE.∴CE=EF.(2)∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°.∴∠DCF=90°.∴∠DCE+∠ECF=90°，∠D+∠EFC=90°.由(1)得∠ECF=∠CFE，∴∠D=∠DCE.∴ED=EC.∴ED=EC=EF.即点E为线段DF的中点.①四边形ECFG为菱形时，CF=CE.∵CE=EF，∴CE=CF=EF.∴△CEF为等边三角形.∴∠CFE=60°.∴∠D=30°. 故填30°.②四边形ECOG 为正方形时，△ECO 为等腰直角三角形. ∴∠CEF=45°.∵∠CEF=∠D +∠DCE ， ∴∠D=∠DCE=22.5°. 故填22.5°.19. 【答案】解： (1)(2)①两个结论仍成立.证明:连接BD.∵AB=AB′，∠BAB′=，∴∠AB′B=90°-2a，∵∠B′AD=a -90°，AD=AB′，∴∠AB′D=135-2a，∴∠EB′D=∠AB′D -∠AB′B=45°.∵DE ⊥BB′，∴∠EDB′=∠EB′D=45°，∴△DEB′是等腰直角三角形，∴DB DE′∵四边形ABCD 为正方形，∴BD CD BDC=45°.∴DB DE ′=BDCD， ∵∠EDB ′=∠BDC ，∴∠EDB′+∠EDB=∠BDC+∠EDB ，即∠BDB′=∠CDE.∴△B′DB ∽△EDC ，∴2BB BD CE CD′； ②3或1.思路提示：分两种情况.情形一，如图，当点B′在BE 上时，由BB CE′BB′=2m ，.∵CE ∥B′D ，CE=B′D ，∴，在等腰直角三角形DEB′中，斜边，∴B′E=DE=m ，于是得到BE B E ′2=3m mm.情形二，如图，当点B′在BE 延长线上时，由BB CE′BB′=2m ，.∵CE ∥B′D ，CE=B′D ，∴，在等腰直角三角形DEB′中，斜边，∴B′E=DE=m 。