2017-2018学年高中数学常用逻辑用语1.2.2充要条件课后提升训练(含解析)

常用逻辑用语充分条件与必要条件1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p ⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【练习】1．“x＞1”是“x＞2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知a是实数，则“a＜﹣1”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．若x，y∈R，则“x＞y”的一个充分不必要条件可以是（）A．|x|＞|y| B．x2＞y2C．D．2x﹣y＞24．设x∈R，则“”是“x＞3”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．设a，b∈R，则“”是“a＞1且b＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．“x＞1”是“x≥1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件全称量词与特称量词、全称命题与特称命题【全称量词】：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示．【全称命题】含有全称量词的命题．“对任意一个x∈M，有p（x）成立”简记成“∀x∈M，p（x）”．同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下命题全称命题∀x∈M，p（x）特称命题∃x0∈M，p（x0）表述方法①所有的x∈M，使p（x）成立①存在x0∈M，使p（x0）成立②对一切x∈M，使p（x）成立②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立③对每一个x∈M，使p（x）成立③某些x∈M，使p（x）成立④对任给一个x∈M，使p（x）成立④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立⑤若x∈M，则p（x）成立⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立【存在量词】：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．符号：∃特称命题：含有存在量词的命题．符号：“∃”．存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．【特称命题】含有存在量词的命题．“∃x∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”．“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词．命题全称命题∀x∈M，p（x）特称命题∃x0∈M，p（x0）表述方法①所有的x∈M，使p（x）成立①存在x0∈M，使p（x0）成立②对一切x∈M，使p（x）成立②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立③对每一个x∈M，使p（x）成立③某些x∈M，使p（x）成立④对任给一个x∈M，使p（x）成立④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立⑤若x∈M，则p（x）成立⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立【练习】1．下列语句不是全称量词命题的是（）A．任何一个实数乘以零都等于零 B．自然数都是正整数C．高一（1）班绝大多数同学是团员 D．每一个实数都有大小2．下列命题含有全称量词的是（）A．某些函数图象不过原点 B．实数的平方为正数C．方程x2+2x+5＝0有实数解 D．素数中只有一个偶数3．已知命题“∀x∈[1，2]，2x+x﹣a＞0”为假命题，则实数a的取值范围是（）A．x≤5 B．x≥6 C．x≤3 D．x≥34．若命题“∀x∈[﹣1，2]，x2+1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是（）A．x≤0 B．x≤1 C．x≤2 D．x≤55．命题“∀x∈R，mx2﹣2mx+1＞0”是假命题，则实数m的取值范围为（）A．0≤m＜1 B．m＜0或m≥1 C．m≤0或m≥1 D．0＜m＜16．已知命题p：“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围为（）A．x≤2 B．2<x<2C．x≤2或x≥2 D．2≤x≤27．已知命题p：∃x∈R，使得ax2+2x+1＜0成立为真命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1）C．[0，1）D．（0，1]命题的否定全称命题的否定一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p（x）它的否命题¬p：∃x0∈M，¬p（x0）．写全称命题的否定的方法：（1）更换量词，将全称量词换为存在量词，即将“任意”改为“存在”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，全称命题的否定的特称命题．特称命题的否定一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：特称命题p：∃x0∈M，p（x0）它的否命题¬p：∀x∈M，¬p（x）．写特称命题的否定的方法：（1）更换量词，将存在量词换为全称量词，即将“存在”改为“任意”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，特称命题的否定的全称命题．【练习】1．命题p：∃n∈N，n2≥2n，则命题p的否定为（）A．∀n∈N，n2≤2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2＜2n D．∃n∈N，n2＜2n2．命题“∀x＞1，x2﹣x＞0”的否定是（）A．∃x0≤1，B．∀x＞1，x2﹣x≤0C．∃x0＞1，D．∀x≤1，x2﹣x＞03．命题“∃x0∈R，使得”的否定为（）A．B．∃x0∈R，使得C．D．∃x0∈R，使得4．命题“∀x∈R，x2＞1﹣2x”的否定是（）A．∀x∈R，x2＜1﹣2x B．∀x∈R，x2≤1﹣2xC．∃x∈R，x2≤1﹣2x D．∃x∈R，x2＜1﹣2x5．命题“∃a∈R，ax2+1＝0有实数解”的否定是（）A．∀a∈R，ax2+1≠0有实数解B．∃a∈R，ax2+1＝0无实数解C．∀a∈R，ax2+1＝0无实数解D．∃a∈R，ax2+1≠0有实数解四种命题（原命题、否命题、逆命题、逆否命题）常见词语的否定如下表所示：词语是一定是都是大于小于词语的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于词语且必有一个至少有n个至多有一个所有x成立词语的否定或一个也没有至多有n﹣1个至少有两个存在一个x不成立【练习】1．下列语句是命题的是（）A．0是偶数吗？B．这个数学问题真难啊！C．你好烦，出去！D．关于x的方程x2＝1无解2．下列语句是命题的是（）A．空集是任何集合的子集B．指数函数是增函数吗？C．x＞15 D．2x﹣1＜03．设m∈R，命题“若m≥0，则方程x2＝m有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2＝m有实根，则m≥0 B．若方程x2＝m有实根，则m＜0C．若方程x2＝m没有实根，则m≥0 D．若方程x2＝m没有实根，则m＜04．命题“若x2+y2＞2，则|x|＞1或|y|＞1”的否命题是（）A．若x2+y2＞2，则|x|≤1且|y|≤1 B．若x2+y2≤2，则|x|≤1或|y|≤1C．若x2+y2≤2，则|x|≤1且|y|≤1 D．若x2+y2＞2，则|x|≤1或|y|≤15．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思！”这首《相思》是唐代山水田园诗人王维的作品，王维字摩诘，号摩诘居士．苏轼有云：“味摩诘之诗，诗中有画；观摩诘之画，画中有诗．”这首《相思》中，在当时的条件下，其中可以作为命题的诗句是（）A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思6．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数可以是（）A．1或2或3或4 B．0或2或4 C．1或3 D．07．命题“若x＝﹣3，则x2+2x﹣3＝0”的逆否命题是（）A．若x≠﹣3，则x2+2x﹣3≠0 B．若x＝﹣3，则x2+2x﹣3≠0C．若x2+2x﹣3≠0，则x≠﹣3 D．若x2+2x﹣3≠0，则x＝﹣38．已知原命题“若a＝1，则（a﹣1）（a﹣2）＝0”，那么原命题与其逆命题的真假情况是（）A．原命题为真，逆命题为假 B．原命题为假，逆命题为真C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题9．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，p的逆命题为t，则s是t的（）A．逆否命题B．逆命题C．否命题D．原命题逻辑联结词“或”、“且”、“非”【或】一般地，用连接词“或”把命题和命题连接起来，就得到一个新命题，记作pⅤq，读作“p或q”．规定：当p，q两个命题中有一个命题是真命题时，pⅤq是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，pⅤq是假命题．【且】一般地，用连接词“且”把命题p和命题q连接起来，就得到一个新命题，记作p∧q读作“p且q”．规定：当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题．“且”作为逻辑连接词，与生活用语中“既…”相同，表示两者都要满足的意思，在日常生活中经常用“和”，“与”代替．【非】一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作￢p，读作“非p”或“p的否定．规定：若p是真命题，则￢p必是假命题；若p是假命题，则￢p必是真命题．“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：p￢p真假假真“非”是否定的意思，必须是只否定结论．“p或q”、“p且q”的否定分别是“非p且非q”和“非p或非q”，“都”的否定是“不都”．“等于”的否定是“不等于”，“大（小）于”的否定是“不大（小）于”，“所有”的否定是“某些”，“任意”的否定是“某个”，“至多有一个”的否定是“至少有两个”等等．必须注意与否命题的区别．【复合命题及其真假】若原命题P为真，则¬P必定为假，但否命题可真可假，与原命题的真假无关，否命题与逆命题是等价命题，同真同假．【练习】1．在一次跳伞训练中，甲．乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“两位学员都没有降落在指定范围”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．p∨q D．（￢p）∧（￢q）2．命题“12既是4的倍数，又是3的倍数”的形式是（）A．p∨q B．p∧q C．￢p D．简单命题3．设p：4是素数，q：4是偶数，则“4既不是素数，也不是偶数”可符号化为（）A．￢p∨￢q B．p∧q C．￢p∧￢q D．￢p→￢q4．对于命题p，q，若p∧q是假命题，p∨￢q是假命题，则下列判断正确的是（）A．p，q都是真命题B．p，q都是假命题C．p是真命题，q是假命题D．p是假命题，q是真命题5．已知是无理数，命题q：∃x∈R，x2＜0，则为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∨q D．￢（p∨q）6．已知命题p：“若b＜a，则”；命题q：“a＝x2﹣x，b＝x﹣2，则a＞b”．则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧（￢q） C．p∨（￢q）D．（￢p）∨q7．已知p：∀x＞0，x2+3x＞0；q：∃x∈R，x2+1＝0．则下列命题中，真命题是（）A．¬p∧q B．¬p∨q C．p∧¬q D．p∧q8．已知p：﹣2＜a＜2，q：关于x的方程x2﹣x+a＝0有实数根．（1）若q为真命题，求实数a的取值范围；（2）若p∨q为真命题，￢q为真命题，求实数a的取值范围．9．设p：（3﹣k）（1+k2）＞0；q：关于x的方程x2﹣2kx+k＝0无实根．（1）若q为真命题，求实数k的取值范围；（2）若p∧q是假命题，且p∨q是真命题，求实数k的取值范围．10．命题p：∀x∈R，x2﹣2ax+3a＞0；命题q：∃x∈R，x2﹣2x+a＜0．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p，q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围．。

1.2常用逻辑用语【考纲要求】1、常用逻辑用语（1）了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.（2）全称量词与存在量词：① 理解全称量词与存在量词的意义； ② 能正确地对含有一个量词的命题进行否定。

【基础知识】一、逻辑联结词逻辑联结词：“或”“且”“非”简单命题：不含逻辑联结词的命题复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题。

有三种形式：p q ∧（读作“p q 且”）、p q ∨（读作“p q 或”）、p ⌝（读作“非p ”） 二、复合命题的真假三、全称命题与特称命题1、全称量词：类似“所有”这样的量词，并用符号“∀”表示。

2、全称命题：含有全称量词的命题。

其结构一般为：,()x M p x ∀∈3、存在量词：类似“有一个”或“有些”或“至少有一个”这样的量词，并用符号“∃”表示。

4、特称命题：含有存在量词的命题。

其结构一般为：,()x M p x ∃∈四、全称命题与特称命题的否定1、命题的否定和命题的否命题的区别命题p 的否定 ，即p ⌝，指对命题p 的结论的否定。

命题p 的否命题，指的是对命题p 的条件和结论的同时否定。

2、全称命题的否定全称命题p ：,()x M p x ∀∈ 全称命题p 的否定（p ⌝）：,()x M p x ∃∈⌝ 特称命题:p ,()x M p x ∃∈ 特称命题的否定:p ⌝,()x M p x ∀∈⌝所以全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

六、温馨提示1、对逻辑联接词“或”的理解:数学中的联接词“或”与生活用语中的“或”的含义不尽相同，生活用语中的“或”带有“不可同时兼有”的意思，而数学中的联接词“或”含有“可同时兼有”的含义，它与并集概念中的“或”含义相同。

2、含有一个量词的全称命题的否定是特称命题，含有一个量词的特称命题的否定是全称命题。

3、命题与集合的关系：命题的“或”“且”“非”对应集合的“并”“交”“补”。

【例题精讲】例1 写出下列命题的否定，并判断真假.(1)∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0；(2)∀x ∈Q ， 13x 2＋12x ＋1是有理数； (3)∃α、β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；(4)∃x ，y ∈Z ，使3x －2y ≠10.【解析】(1)的否定是“∃x ∈R ，x 2＋x ＋1≤0”.假命题.(2)的否定是“∃x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1不是有理数”.假命题. (3)的否定是“∀α，β∈R ，使sin(α＋β)≠sin α＋sin β”.假命题.(4)的否定是“∀x ，y ∈Z ，使3x －2y ＝10”.假命题.例2 设有两个命题：p ：x 2－2x ＋2≥m 的解集为R ；q ：函数f(x)＝－(7－3m)x 是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．【解析】若命题p 为真命题，可知m≤1；若命题q 为真命题，则7－3m>1，即m<2.所以命题p 和q 中有且只有一个是真命题时，有p 真q 假或p 假q 真，即1122m m m ≤⎧⎧∴<<⎨⎨≥⎩⎩m>1或m<2例3 已知m ∈R ，设P ：x 1和x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个根，不等式|m －5|≤|x 1－x 2|对任意实数a ∈[1,2]恒成立；Q ：函数f (x )＝3x 2＋2mx ＋m ＋43有两个不同的零点.求使“P 且Q ”为真命题的实数m 的取值范围.【解析】由题设x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝－2，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8.当a ∈[1,2]时，a 2＋8的最小值为3.要使|m －5|≤|x 1－x 2|对任意实数a ∈[1,2]恒成立，只须|m －5|≤3，即2≤m ≤8.由已知，得f (x )＝3x 2＋2mx ＋m ＋43＝0的判别式 Δ＝4m 2－12(m ＋43)＝4m 2－12m －16>0， 得m <－1或m >4.综上，要使“P ∧Q ”为真命题，只需P 真Q 真，即28,14m m m ⎧⎨<->⎩或≤≤28,14m m m ⎧⎨<->⎩或≤≤解得实数m 的取值范围是(4,8].1.2常用逻辑用语强化训练【基础精练】1、下列命题不是全称命题的是 ( )A.在三角形中，三内角之和为180°B.对任意非正数c ，若a ≤b ＋c ，则a ≤bC.对于实数a 、b ，|a －1|＋|b －1|>0D.存在实数x ，使x 2－3x ＋2＝0成立2、已知命题p ：x ∈A ∪B ，则p ⌝是 ( )A.x ∉A∩BB.x ∉A 或x ∉BC.x ∉A 且x ∉BD.x ∈A∩B3、命题p ：若0a b ⋅<，则a 与b 的夹角为钝角。

1.2 充分条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件学习目标：1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)2.会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)[自主预习·探新知]1．充分条件与必要条件q(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p ；④q是p 的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？[提示](1)相同，都是p⇒q(2)等价2．充要条件(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．(2)若p⇒q，但q p，则称p是q的充分不必要条件．(3)若q⇒p，但p q，则称p是q的必要不充分条件．(4)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？[提示](1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．[基础自测]1．思考辨析(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )(2)q不是p的必要条件时，“pD⇒/q”成立．( )(3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)×2．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件A [由x 2－3x ＋2>0得x >2或x <1，故选A.]3．下列各题中，p 是q 的充要条件的是________(填序号)． (1)p ：b ＝0，q ：函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数； (2)p ：x >0，y >0，q ：xy >0； (3)p ：a >b ，q ：a ＋c >b ＋c .【导学号：97792015】(1)(3) [在(1)(3)中，p ⇔q ，所以(1)(3)中p 是q 的充要条件，在(2)中，q ⇒p ，所以(2)中p 不是q 的充要条件．][合 作 探 究·攻 重 难]件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC 中，p ：∠A >∠B ，q ：BC >AC ；(2)对于实数x ，y ，p ：x ＋y ≠8，q ：x ≠2或y ≠6； (3)p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3； (4)p ：a ＜b ，q ：a b＜1.[思路探究] 判断p ⇒q 与q ⇒p 是否成立，当p 、q 是否定形式，可判断q 是p 的什么条件．[解] (1)在△ABC 中，显然有∠A >∠B ⇔BC >AC ，所以p 是q 的充分必要条件． (2)因为x ＝2且y ＝6⇒x ＋y ＝8，即q ⇒p ，但p ⇒q ，所以p 是q 的充分不必要条件．(3)由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2或a ＝3，不一定有a ＝3；由a ＝3可以得出(a －2)(a －3)＝0.因此，p 是q 的必要不充分条件．(4)由于a ＜b ，当b ＜0时，a b＞1；当b ＞0时，a b ＜1，故若a ＜b ，不一定有a b＜1；当a ＞0，b ＞0，a b ＜1时，可以推出a ＜b ； 当a ＜0，b ＜0，a b＜1时，可以推出a ＞b . 因此p 是q 的既不充分也不必要条件． 等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题．逆否法：这是等价法的一种特殊情况． 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件； qp ，则p 是q 的必要不充分条件；⇔q 互为充要条件；p，且跟踪训练1．(1)设a ，b 是实数，则“a >b ”是“a 2>b 2”的( )【导学号：97792016】A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件D [令a ＝1，b ＝－1，满足a >b ，但不满足a 2>b 2，即“a >b ”不能推出“a 2>b 2”；再令a ＝－1，b ＝0，满足a 2>b 2，但不满足a >b ，即“a 2>b 2”不能推出“a >b ”，所以“a >b ”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件．](2)对于二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，下列结论正确的是( ) ①Δ＝b 2－4ac ≥0是函数f (x )有零点的充要条件； ②Δ＝b 2－4ac ＝0是函数f (x )有零点的充分条件； ③Δ＝b 2－4ac >0是函数f (x )有零点的必要条件； ④Δ＝b 2－4ac <0是函数f (x )没有零点的充要条件．A ．①④B ．①②③C ．①②③④D ．①②④D [①Δ＝b 2－4ac ≥0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根⇔f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点，故①正确．②若Δ＝b 2－4ac ＝0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，因此函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点，故②正确．③函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，未必有Δ＝b 2－4ac >0，也可能有Δ＝0，故③错误．④Δ＝b 2－4ac <0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根⇔函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)无零点，故④正确．]A ．0<x <4B ．0<x <2C ．x >0D ．x <4(2)已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y的充要条件是xy >0.[思路探究] (1)先解不等式x 2－4x <0得到充要条件，则充分不必要条件应是不等式x 2－4x <0的解集的子集．(2)充要条件的证明可用其定义，即条件⇒结论且结论⇒条件．如果每一步的推出都是等价的(⇔)，也可以把两个方面的证明合并在一起，用“⇔”写出证明．[解析] (1)由x 2－4x <0得0<x <4，则充分不必要条件是集合{x |0<x <4}的子集，故选B.[答案] B(2)法一：充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1y. 必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －x xy<0.因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0. 所以1x <1y的充要条件是xy >0.法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －x xy<0.由条件x >y ⇔y －x <0，故由y －xxy<0⇔xy >0.所以1x <1y⇔xy >0，即1x <1y的充要条件是xy >0.2．(1)不等式x (x －2)<0成立的一个必要不充分条件是( )【导学号：97792017】A ．x ∈(0,2)B ．x ∈[－1，＋∞)C ．x ∈(0,1)D ．x ∈(1,3)B [由x (x －2)<0得0<x <2，因为－1，＋∞)，所以“x ∈[－1，＋∞)”是“不等式x (x －2)<0成立”的一个必要不充分条件．](2)求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. [证明] 假设p ：方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1，q ：a ＋b ＋c ＝0.①证明p ⇒q ，即证明必要性． ∵x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴a ·12＋b ·1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0. ②证明q ⇒p ，即证明充分性． 由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b . ∵ax 2＋bx ＋c ＝0， ∴ax 2＋bx －a －b ＝0， 即a (x 2－1)＋b (x －1)＝0. 故(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0. ∴x ＝1是方程的一个根．故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.1．记集合A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，若p 是q 的充分不必要条件，则集合A 、B 的关系是什么？若p 是q 的必要不充分条件呢？提示：若p 是q 的充分不必要条件，则AB ，若p 是q 的必要不充分条件，B A .2．记集合M ＝{x |p (x )}，N ＝{x |q (x )}，若M ⊆N ，则p 是q 的什么条件？若N ⊆M ，M ＝N 呢？提示：若M ⊆N ，则p 是q 的充分条件，若N ⊆M ，则p 是q 的必要条件，若M ＝N ，则p 是q 的充要条件．已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为________．[思路探究][解析] 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的充分不必要条件，所以p ⇒q 且qp .即{x |－2≤x ≤10}是{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}的真子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，m >0，1＋m >10，解得m ≥9.所以实数m 的取值范围为{m |m ≥9}． [答案] {m |m ≥9}(或[9，＋∞))>0}1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件B[若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y；若x＝y，则|x|＝|y|，故选B.]2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但x2－4x －5＝0时，x＝5不一定成立，故选B.]3．下列条件中，是x2<4的必要不充分条件是( )A．－2≤x≤2 B．－2<x<0C．0<x≤2 D．1<x<3A[由x2<4得－2<x<2，必要不充分条件的x的范围真包含{x|－2<x<2}，故选A.] 4．若“x＜m”是“(x－1)(x－2)＞0”的充分不必要条件，则m的取值范围是________.【导学号：97792018】(－∞，1][由(x－1)(x－2)＞0可得x＞2或x＜1，由已知条件，知{x|x＜m x|x＞2或x＜1}，∴m ≤1.]5．求证：关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个负实数根的充要条件是m ≥2.[证明] (1)充分性：因为m ≥2，所以Δ＝m 2－4≥0，所以方程x 2＋mx ＋1＝0有实根，设两根为x 1，x 2，由根与系数的关系知，x 1·x 2＝1>0，所以x 1，x 2同号． 又x 1＋x 2＝－m ≤－2<0，所以x 1，x 2同为负数． 即x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充分条件是m ≥2.(2)必要性：因为x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根，设其为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4≥0，x 1＋x 2＝－m <0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2或m ≤－2，m >0，所以m ≥2，即x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的必要条件是m ≥2.综上可知，m ≥2是x 2＋mx ＋1＝0有两个负实J 根的充分必要条件．。

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充要条件(25分钟60分）一、选择题（每小题5分,共25分）1。

（2015·安徽高考）设p：1〈x<2,q：2x>1，则p是q成立的（)A。

充分不必要条件B.必要不充分条件C。

充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由q:2x>20⇒x〉0可知：由p能推出q，但由q不能得出p，所以p是q成立的充分不必要条件。

2。

(2015·绵阳高二检测）“a=2”是“直线(a2—a）x+y—1=0和2x+y+1=0互相平行”的( ) A。

充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C。

若a=2，则2x+y-1=0和2x+y+1=0互相平行，是充分条件；若直线（a2-a）x+y —1=0和2x+y+1=0互相平行，则a=2或a=-1,不是必要条件，故选C。

【补偿训练】（2015·杭州高二检测)“a=-1"是“l1：x+ay+6=0与l2：(3—a)x+2（a-1)y+6=0平行（l1与l2不重合）”的__________条件（填“充分”“必要"“充要”“既不充分也不必要”）.【解析】若直线l1：x+ay+6=0与l2:（3—a)x+2（a-1)y+6=0平行，则需满足1×2(a—1)—a×（3—a)=0，化简整理得a2-a-2=0,解得a=-1或a=2,经验证得当a=—1时两直线平行,当a=2时,两直线重合，故“a=-1”是“l1：x+ay+6=0与l2：(3-a)x+2(a—1）y+6=0平行"的充要条件.答案：充要3.（2015·北京高考）设a,b是非零向量，“a·b=|a|｜b|”是“a∥b”的（)A。

§1.2常用逻辑用语考试要求 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．知识梳理1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．3．全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，綈p(x)∀x∈M，綈p(x)常用结论1．充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．①若p是q的充分条件，则A⊆B；②若p是q的充分不必要条件，则A B；③若p是q的必要不充分条件，则B A；④若p是q的充要条件，则A＝B.2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”． 3．命题p 与p 的否定的真假性相反． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)p 是q 的充分不必要条件等价于q 是p 的必要不充分条件．( √ ) (2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．( √ ) (3)已知集合A ，B ，A ∪B ＝A ∩B 的充要条件是A ＝B .( √ ) (4)命题“∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12”是真命题．( × )教材改编题1．“a >b ”是“ac 2>bc 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 当a >b 时，若c 2＝0，则ac 2＝bc 2， 所以a >b ⇏ac 2>bc 2，当ac 2>bc 2时，c 2≠0，则a >b ， 所以ac 2>bc 2⇒a >b ，即“a >b ”是“ac 2>bc 2”的必要不充分条件． 2．使－2<x <2成立的一个充分条件是( ) A ．x <2 B ．0<x <2 C ．－2≤x ≤2 D ．x >0答案 B3．“等边三角形都是等腰三角形”的否定是________． 答案 存在一个等边三角形，它不是等腰三角形题型一 充分、必要条件的判定例1 (1)已知p ：⎝⎛⎭⎫12x<1，q ：log 2x <0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 由⎝⎛⎭⎫12x<1知x >0，所以p 对应的x 的范围为(0，＋∞)， 由log 2x <0知0<x <1，所以q 对应的x 的范围为(0,1)， 显然(0,1)(0，＋∞)， 所以p 是q 的必要不充分条件．(2)(2021·全国甲卷)等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .设甲：q >0，乙：{S n }是递增数列，则( )A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案 B解析 当a 1<0，q >1时，a n ＝a 1q n －1<0，此时数列{S n }单调递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{S n }单调递增时，有S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝a 1q n >0，若a 1>0，则q n >0(n ∈N *)，即q >0；若a 1<0，则q n <0(n ∈N *)，不存在．所以甲是乙的必要条件． 教师备选1．在△ABC 中，“AB 2＋BC 2＝AC 2”是“△ABC 为直角三角形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 在△ABC 中，若AB 2＋BC 2＝AC 2， 则∠B ＝90°，即△ABC 为直角三角形，若△ABC 为直角三角形，推不出∠B ＝90°， 所以AB 2＋BC 2＝AC 2不一定成立，综上，“AB 2＋BC 2＝AC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充分不必要条件．2．(2022·宁波模拟)设a ，b ∈R ，p ：log 2(a －1)＋log 2(b －1)>0，q ：1a ＋1b <1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由题意得，p ：log 2(a －1)＋log 2(b －1) ＝log 2(a －1)(b －1)>0＝log 21， 所以(a －1)(b －1)>1，即a ＋b <ab ，因为⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，b －1>0，所以a >1，b >1，则ab >0，所以1a ＋1b<1，所以p 是q 的充分条件； 因为1a ＋1b <1，所以a ＋b ab<1，若ab >0，则a ＋b <ab ，若ab <0，则a ＋b >ab ， 所以p 是q 的非必要条件， 所以p 是q 的充分不必要条件．思维升华 充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p ，q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．跟踪训练1 (1)“a >2，b >2”是“a ＋b >4，ab >4”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若a>2，b>2，则a＋b>4，ab>4.当a＝1，b＝5时，满足a＋b>4，ab>4，但不满足a>2，b>2，所以a＋b>4，ab>4⇏a>2，b>2，故“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的充分不必要条件．(2)(2022·太原模拟)若a，b为非零向量，则“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析因为a⊥b，所以a·b＝0，则(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，所以“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充分条件；反之，由(a＋b)2＝a2＋b2得a·b＝0，所以非零向量a，b垂直，“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的必要条件．故“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充要条件．题型二充分、必要条件的应用例2已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈A是x∈B 的必要条件，求m的取值范围．解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴A＝{x|－2≤x≤10}．由x∈A是x∈B的必要条件，知B⊆A.则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈A 是x ∈B 的必要条件， 即所求m 的取值范围是[0,3]．延伸探究 本例中，若把“x ∈A 是x ∈B 的必要条件”改为“x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件”，求m 的取值范围．解 ∵x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件， ∴A B ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10，解得m ≥9，故m 的取值范围是[9，＋∞)． 教师备选(2022·泰安模拟)已知p ：x ≥a ，q ：|x ＋2a |<3，且p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，－1) C ．[1，＋∞) D ．(1，＋∞)答案 A解析 因为q ：|x ＋2a |<3， 所以q ：－2a －3<x <－2a ＋3， 记A ＝{x |－2a －3<x <－2a ＋3}， p ：x ≥a ，记为B ＝{x |x ≥a }．因为p 是q 的必要不充分条件，所以A B ， 所以a ≤－2a －3，解得a ≤－1. 思维升华 求参数问题的解题策略(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练2 (1)(2022·衡水中学模拟)若不等式(x －a )2<1成立的充分不必要条件是1<x <2，则实数a 的取值范围是________． 答案 [1,2]解析 由(x －a )2<1得a －1<x <a ＋1，因为1<x <2是不等式(x －a )2<1成立的充分不必要条件，所以满足⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤1，a ＋1≥2且等号不能同时取得，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a ≥1，解得1≤a ≤2.(2)已知p ：实数m 满足3a <m <4a (a >0)，q ：方程x 2m －1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤13，38解析 由2－m >m －1>0，得1<m <32，即q ：1<m <32.因为p 是q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a ≤32，解得13≤a ≤38.题型三 全称量词与存在量词 命题点1 含量词命题的否定例3 (1)已知命题p ：∃n ∈N ，n 2≥2n ＋5，则綈p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2≥2n ＋5 B ．∃n ∈N ，n 2≤2n ＋5 C ．∀n ∈N ，n 2<2n ＋5 D ．∃n ∈N ，n 2＝2n ＋5 答案 C解析 由存在量词命题的否定可知，綈p 为∀n ∈N ，n 2<2n ＋5.所以C 正确，A ，B ，D 错误． (2)命题：“奇数的立方是奇数”的否定是________． 答案 存在一个奇数，它的立方不是奇数 命题点2 含量词命题的真假判定 例4 (多选)下列命题是真命题的是( ) A ．∃a ∈R ，使函数y ＝2x ＋a ·2－x 在R 上为偶函数 B ．∀x ∈R ，函数y ＝sin x ＋cos x ＋2的值恒为正数 C ．∃x ∈R ，2x <x 2D ．∀x ∈(－10，＋∞)，⎝⎛⎭⎫13x >13log x答案 AC解析 当a ＝1时，y ＝2x ＋2－x 为偶函数，故A 为真命题； y ＝sin x ＋cos x ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋2， 当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－1时，y ＝0，故B 为假命题； 当x ∈(2,4)时，2x <x 2，故C 为真命题； 当x ＝13时，1313⎛⎫⎪⎝⎭∈(0,1)，13log 13＝1，∴1313⎛⎫⎪⎝⎭<13log 13，故D 为假命题．命题点3 含量词命题的应用例5 已知命题“∃x ∈R ，使ax 2－x ＋2≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 a >18解析 因为命题“∃x ∈R ，使ax 2－x ＋2≤0”是假命题， 所以命题“∀x ∈R ，使得ax 2－x ＋2>0”是真命题，当a ＝0时，得x <2，故命题“∀x ∈R ，使得ax 2－x ＋2>0”是假命题，不符合题意；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－8a <0，解得a >18.教师备选1．(2022·西安模拟)下列命题中假命题是()A．∀x∈R，2x－1>0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lg x<1D．∃x∈R，tan x＝2答案 B解析∵指数函数y＝2x的值域为(0，＋∞)，∴∀x∈R，均可得到2x－1>0成立，故A项为真命题；∵当x∈N*时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，∴∃x∈N*，使(x－1)2>0不成立，故B项为假命题；∵当x＝1时，lg 1＝0<1，∴∃x∈R，使得lg x<1成立，故C项为真命题；∵正切函数y＝tan x的值域为R，∴存在锐角x，使得tan x＝2成立，故D项为真命题．综上所述，只有B项是假命题．2．若命题“∀x∈[1,4]，x2－4x－m≠0”是假命题，则m的取值范围是() A．－4≤m≤－3 B．m<－4C．m≥－4 D．－4≤m≤0答案 D解析若命题“∀x∈[1,4]，x2－4x－m≠0”是假命题，则命题“∃x∈[1,4]，x2－4x－m＝0”是真命题，则m＝x2－4x，设y＝x2－4x＝(x－2)2－4，因为函数y＝x2－4x在(1,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增，所以当x＝2时，y min＝－4；当x＝4时，y max＝0，故当1≤x ≤4时，－4≤y ≤0，则－4≤m ≤0. 思维升华 含量词命题的解题策略(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题． 跟踪训练3 (1)命题“∀x >0，x sin x <2x －1”的否定是( ) A ．∀x >0，x sin x ≥2x －1 B ．∃x >0，x sin x ≥2x －1 C ．∀x ≤0，x sin x <2x －1 D ．∃x ≤0，x sin x ≥2x －1 答案 B解析 因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“∀x >0，x sin x <2x －1”的否定是：∃x >0，x sin x ≥2x －1.(2)(2022·重庆模拟)下列命题为真命题的是( ) A ．∀x ∈R ，x 2－|x |＋1≤0 B ．∀x ∈R ，－1≤1cos x ≤1C ．∃x ∈R ，(ln x )2≤0D ．∃x ∈R ，sin x ＝3 答案 C解析 对于A ，因为x 2－|x |＋1＝⎝⎛⎭⎫|x |－122＋34>0恒成立， 所以∀x ∈R ，x 2－|x |＋1≤0是假命题； 对于B ，当x ＝π3时，1cos x ＝2，所以∀x ∈R ，－1≤1cos x ≤1是假命题；对于C ，当x ＝1时，ln x ＝0， 所以∃x ∈R ，(ln x )2≤0是真命题；对于D ，因为－1≤sin x ≤1，所以∃x ∈R ，sin x ＝3是假命题．(3)若命题“∃x ∈R ，x 2－mx －m <0”为真命题，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－∞，－4)∪(0，＋∞)解析 依题意，Δ＝m 2＋4m >0，∴m >0或m <－4.课时精练1．命题 p ：“有些三角形是等腰三角形”的否定是( )A ．有些三角形不是等腰三角形B ．有些三角形可能是等腰三角形C ．所有三角形不是等腰三角形D ．所有三角形是等腰三角形答案 C解析 命题p ：“∃x ∈A ，使 P (x ) 成立”，綈p 为“对∀x ∈A ，有 P (x ) 不成立”．故命题p ：“有些三角形是等腰三角形”，则綈p 是“所有三角形不是等腰三角形”．2．(2021·浙江)已知非零向量a ，b ，c ，则“a ·c ＝b ·c ”是“a ＝b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由a ·c ＝b ·c ，得到(a －b )·c ＝0，所以(a －b )⊥c 或a ＝b ，所以“a ·c ＝b ·c ”是“a ＝b ”的必要不充分条件．3．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形有一个内角是钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x>2 答案 B解析 A 中锐角三角形的内角都是锐角，所以A 是假命题；B 中当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以B 既是存在量词命题又是真命题；C 中因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；D 中对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以D 是假命题． 4．(2022·沈阳模拟)在空间中，设m ，n 是两条直线，α，β表示两个平面，如果m ⊂α，α∥β，那么“m ⊥n ”是“n ⊥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当m ⊥n 时，∵m ⊂α，α∥β，则n 与β可能平行，∴充分性不成立；当n ⊥β时，∵α∥β，∴n ⊥α，∵m ⊂α，∴m ⊥n ，∴必要性成立，∴“m ⊥n ”是“n ⊥β”的必要不充分条件．5．若命题“∃x ∈(0，＋∞)，使得ax >x 2＋4成立”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．(－∞，4)C ．[4，＋∞)D ．(－∞，4]答案 D解析 若命题“∃x ∈(0，＋∞)，使得ax >x 2＋4成立”是假命题，则有“∀x ∈(0，＋∞)，使得ax ≤x 2＋4成立”是真命题．即a ≤x ＋4x，则a ≤⎝⎛⎭⎫x ＋4x min ， 又x ＋4x≥24＝4，当且仅当x ＝2时取等号，故a ≤4. 6．(2022·南京模拟)已知集合M ＝[－1,1]，那么“a ≥－23”是“∃x ∈M ,4x －2x ＋1－a ≤0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件答案 A解析 ∵∃x ∈M ,4x －2x ＋1－a ≤0，∴a ≥(4x －2x ＋1)min ，x ∈[－1,1]，设t ＝2x ，则f (t )＝t 2－2t ＝(t －1)2－1，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2，∴f (t )min ＝f (1)＝－1，∴a ≥－1，∵⎣⎡⎭⎫－23，＋∞[－1，＋∞)，∴“a ≥－23”是“∃x ∈M ,4x －2x ＋1－a ≤0”的充分不必要条件．7．(多选)(2022·烟台调研)下列四个命题中是真命题的有( )A ．∀x ∈R ，3x >0B ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≤0C ．∀x ∈R ，sin x <2xD ．∃x ∈R ，cos x >x 2＋x ＋1答案 AD解析 ∀x ∈R,3x >0恒成立，A 是真命题； ∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0， ∴B 是假命题；由sin ⎝⎛⎭⎫－32π＝1>322-π，知C 是假命题；取x ＝－12，cos ⎝⎛⎭⎫－12>cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝32，但x 2＋x ＋1＝34<32，则D 是真命题．8．(多选)(2022·临沂模拟)下列四个条件中，能成为x >y 的充分不必要条件的是() A ．xc 2>yc 2 B.1x <1y <0C ．|x |>|y |D ．ln x >ln y答案 ABD解析 对于A 选项，若xc 2>yc 2 ，则c 2≠0，则x >y ，反之x >y ，当c ＝0时得不出xc 2>yc 2，所以“xc 2>yc 2”是“x >y ”的充分不必要条件，故A 正确；对于B 选项，由1x <1y<0可得y <x <0， 即能推出x >y ；但x >y 不能推出1x <1y<0(因为x ，y 的正负不确定)， 所以“1x <1y<0”是“x >y ”的充分不必要条件， 故B 正确；对于C 选项，由|x |>|y |可得x 2>y 2，则(x ＋y )(x －y )>0，不能推出x >y ；由x >y 也不能推出|x |>|y |(如x ＝1，y ＝－2)，所以“|x |>|y |”是“x >y ”的既不充分也不必要条件，故C 错误；对于D 选项，若ln x >ln y ，则x >y ，反之x >y 得不出ln x >ln y ，所以“ln x >ln y ”是“x >y ”的充分不必要条件，故D 正确．9．若命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，x >x ＋1，则命题p 的否定为________．答案 ∃x ∈(0，＋∞)，x ≤x ＋110．(2022·衡阳模拟)使得“2x >4x ”成立的一个充分条件是________．答案 x <－1(答案不唯一)解析 由于4x ＝22x ，故2x >22x 等价于x >2x ，解得x <0，使得“2x >4x ”成立的一个充分条件只需为集合{x |x <0}的子集即可．11．直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝a 2(a >0)有公共点的充要条件是________．答案 a ∈[1，＋∞)解析 直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，依题意知点(0,1)在圆x 2＋y 2＝a 2内部(包含边界)，∴a 2≥1.又a>0，∴a≥1.12．已知命题p：“∀x∈[1，＋∞)，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题p，q均为真命题，则实数a的取值范围为____________________．答案{a|a≤－2或a＝1}解析由题意可知p和q均为真命题，由命题p为真命题，得∀x∈[1，＋∞)，x2≥a恒成立，(x2)min＝1，得a≤1；由命题q为真命题，知Δ＝4a2－4(2－a)≥0成立，得a≤－2或a≥1，所以实数a的取值范围为{a|a≤－2或a＝1}．13．(2022·苏州中学月考)在△ABC中，“A>B”是“cos A<cos B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析因为A，B是△ABC的内角，且A>B，所以0<B<A<π，因为y＝cos x在(0，π)上单调递减，所以cos A<cos B，故充分性成立；反之，y＝cos x在(0，π)上单调递减，0<A<π，0<B<π，若cos A<cos B，则A>B，故必要性成立，所以在△ABC中，“A>B”是“cos A<cos B”的充要条件．14．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“∃x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)≠0”是假命题，则f(a＋b)＝________.答案0解析“∃x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)≠0”的否定是∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0，依题意得，命题∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0为真命题，故函数y＝f(x)，x∈(a，b)为奇函数，∴a＋b＝0，∴f(a＋b)＝f(0)＝0.15．(多选)已知a ∈R ，则使命题“∀x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，x 2－sin x －a ≥0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a <1B ．a ≤2C ．a <π2－44D ．a ≤π2－44答案 AC解析 x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，令f (x )＝x 2－sin x ，则f ′(x )＝2x －cos x >0，则函数f (x )＝x 2－sin x 在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，∀x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，f (x )>f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2－44， 所以原命题为真命题的充要条件为a ≤π2－44， 而1<π2－44<2，则满足A 选项、C 选项的a 均有a ≤π2－44，a ≤π2－44时a <1和a <π2－44都不一定成立，所以所求的一个充分不必要条件是选项A ，C.16．f (x )＝－x 2－6x －3，记max{p ，q }表示p ，q 二者中较大的一个，函数g (x )＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫12x －2，log 2(x ＋3)，若m <－2，且∀x 1∈[m ，－2]，∃x 2∈[0，＋∞)，使f (x 1)＝g (x 2)成立，则m 的最小值为________．答案 －5解析 y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2为减函数，y ＝log 2(x ＋3)为增函数，观察尝试可知当且仅当x ＝1时，⎝⎛⎭⎫12x －2＝log 2(x ＋3)．由题意得，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －2，0≤x <1，log 2(x ＋3)，x ≥1，∴在[0，＋∞)上，g (x )min ＝g (1)＝2，g (x )的值域为[2，＋∞)，f (x )＝－(x ＋3)2＋6≤6.“∀x 1∈[m ，－2]，∃x 2∈[0，＋∞)，使f (x 1)＝g (x 2)成立”等价于f (x )在[m ，－2]上的函数值域是g (x )在[0，＋∞)上的值域的子集，作函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象，如图所示，令f (x )＝－x 2－6x －3＝2，解得x ＝－5或x ＝－1，则m 的最小值为－5.。

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1。

2。

2 必要条件[基础达标]1。

使不等式1a＞错误!成立的充分条件是( ）A．a＜b B．a＞bC．ab＜0 D．a＞0，b＜0解析:选D.a＞0,b＜0⇒错误!＞错误!,其它条件均推不出错误!＞错误!,故选D.2.使不等式a2＞b2成立的必要条件是（)A．a＜b B．a＞bC．|a｜＞|b| D．ab＞0解析：选C。

∵a2＞b2⇒｜a｜＞｜b|,而推不出A、B、D，故选C.错误!下列说法不正确的是（)A．a∥b是a＝b的必要条件B．a∥b是a＝b的不充分条件C．θ＞0是sin θ＞0的充分条件D．θ＞0是sin θ＞0的不必要条件解析：选C。

由于θ＞0sin θ＞0，例如θ＝π,sin θ＝0,∴C中命题不正确，其余均正确．4.若“x＞1”是“x＞a"的充分条件,则实数a的取值范围是( ）A．a＞1 B．a≥1C．a＜1 D．a≤1解析：选D。

由题意,需x＞1⇒x＞a，∴a≤1,选D.5。

对任意实数a，b,c，在下列命题中，真命题是( )A．“ac＞bc”是“a＞b"的必要条件B．“ac＝bc”是“a＝b"的必要条件C．“ac＞bc"是“a＞b”的充分条件D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件解析:选B。

1．2.2 充要条件充要条件(1)充要条件01一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要□条件，简称□02充要条件．(2)常见的四种条件与命题真假的关系如果原命题为“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，那么p与q的关系有以下四种情形：1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．( )(2)逻辑联结符号“⇔”具有传递性．( )(3)若p⇒/q和q⇒/p有一个成立，则p一定不是q的充要条件．( )答案(1)√(2)√(3)√2．做一做(1)(教材改编P12练习T2)设a，b∈R，则“a＋b>2”是“a>1且b>1”的 ( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件(2)“x2<1”的充要条件是_____________________________________________．(3)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)(4)如果不等式x≤m成立的充分不必要条件是1≤x≤2，则m的最小值为________．答案(1)B (2)－1<x<1 (3)充要(4)2解析(1)当a＝0，b＝3时，a＋b>2，而a<1，故a＋b>2 ⇒/a>1且b>1.而a>1且b>1⇒a＋b>2.故选B.探究1 充要条件的判断例1 下列各小题中，p 是q 的充要条件的是( )①p ：m <－2或m >6，q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点； ②p ：f (－x )f (x )＝1，q ：y ＝f (x )为偶函数； ③p ：cos α＝cos β，q ：tan α＝tan β； ④p ：A ∩B ＝A ，q ：∁U B ⊆∁U A .A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④[解析] ①q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同零点⇔Δ＝m 2－4(m ＋3)>0⇔m <－2或m >6⇔p . ②f (x )＝0时，q ⇒/p .③若α，β＝k π＋π2(k ∈Z )，此时有cos α＝cos β，但没有tan α＝tan β.④p ：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ⇔q ：∁U A ⊇∁U B ， ∴①④中，p 是q 的充要条件． [答案] D 拓展提升判断p 是q 的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：验证由p 能否推出q ，由q 能否推出p ，对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p ⇒q 及q ⇒p 的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．【跟踪训练1】 已知p 是q 的充分条件，q 是r 的必要条件，也是s 的充分条件，r 是s 的必要条件，问：(1)p 是r 的什么条件？ (2)s 是q 的什么条件？(3)p ，q ，r ，s 中哪几对互为充要条件？解 作出“⇒”图，如右图所示，可知：p ⇒q ，r ⇒q ，q ⇒s ，s ⇒r .(1)p ⇒q ⇒s ⇒r ，且r ⇒q ，q 能否推出p 未知，∴p 是r 的充分条件． (2)∵s ⇒r ⇒q ，q ⇒s ，∴s 是q 的充要条件．(3)共有三对充要条件，q ⇔s ；s ⇔r ；r ⇔q . 探究2 充要条件的证明例2 设a ，b ，c 是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．求证：a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B .[证明] 充分性：∵A ＝2B ，∴A －B ＝B ，则sin(A －B )＝sin B ，则sin A cos B －cos A sin B＝sin B ，结合正弦、余弦定理得a ·a 2＋c 2－b 22ac －b ·b 2＋c 2－a 22bc＝b ，化简整理得a 2＝b (b ＋c )；必要性：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a 2＝b (b ＋c )，得b 2＋bc ＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴1＋2cos A ＝c b ＝sin Csin B，即sin B ＋2sin B cos A ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，∴sin B ＝sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )，由于A ，B 均为三角形的内角，故必有B ＝A －B ，即A ＝2B .综上，知a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B .[结论探究] 如果把例2中问题改为“求证A ，B ，C 成等差数列的充要条件是B ＝60°”，怎样解答？证明 充分性：在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝180°， 又∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°. ∴A ＋C ＝2B .∴A ，B ，C 成等差数列． 必要性：A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B .又∵A ＋B ＋C ＝180°，即3B ＝180°， ∴B ＝60°.综上得A ，B ，C 成等差数列的充要条件是B ＝60°. 拓展提升充要条件的证明证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件．尽管证明充要条件问题中前者是后者的充分条件，也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了．一般地，证明“p 成立的充要条件为q ”时，在证充分性时应以q 为“已知条件”，p 是该步中要证明的“结论”即q ⇒p ；证明必要性时则以p 为“已知条件”，即p ⇒q .【跟踪训练2】 求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，有一正根和一负根的充要条件是ac <0.证明 必要性：由于方程ax 2＋bx ＋c ＝0，有一正根和一负根，∴Δ＝b 2－4ac >0，x 1·x 2＝c a<0，∴ac <0.充分性：由ac <0可得b 2－4ac >0及x 1·x 2＝c a<0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．综上可知，关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 探究3 求充要条件例3 求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． [解] 当a ＝0时，符合要求．当a ≠0时，显然方程没有零根，若方程有两个异号的实根，则由根与系数的关系可知a <0；若方程有两个负实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4a ≥0，1a>0，－2a <0，解得0<a ≤1.综上所述，若方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根，则a ≤1. 反之，若a ≤1，则方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根．因此，关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1. 拓展提升探求充要条件的两种方法(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．【跟踪训练3】 圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点的充要条件是________． 答案 －3<k < 3解析 当圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2有一个公共点时，有|2|k 2＋1＝1，解得k ＝± 3.结合图形可知，圆与直线没有公共点的充要条件是－3<k < 3.1.充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法.2.充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明，在证明时要注意两种叙述方式的区别：①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；②p的充要条件是q，则p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性.(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.1．“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析当φ＝π时，y＝sin(2x＋π)＝－sin2x，此时曲线过坐标原点；但曲线y＝sin(2x ＋φ)过坐标原点时，φ＝kπ(k∈Z)，∴“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件，故选A.2．“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析x2＋(y－2)2＝0，即x＝0且y＝2，∴x(y－2)＝0.反之，x(y－2)＝0，即x＝0或y＝2，x2＋(y－2)2＝0不一定成立．3．已知集合A为数集，则“A∩{0,1}＝{0}”是“A＝{0}”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析因为“A∩{0,1}＝{0}”得不出“A＝{0}”，而“A＝{0}”能得出“A∩{0,1}＝{0}”，所以“A∩{0,1}＝{0}”是“A＝{0}”的必要不充分条件．4．“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)答案充分不必要解析 由cos2α＝cos 2α－sin 2α知，当sin α＝cos α时，有cos2α＝0，反之，由cos 2α＝sin 2α不一定有sin α＝cos α，从而“sin α＝cos α”是“cos2α＝0”的充分不必要条件．5．已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y的充要条件是xy >0.证明 证法一：充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1y. 必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －xxy<0.因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0. 所以1x <1y的充要条件是xy >0.证法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －xxy<0.由条件x >y ⇔y －x <0，故由y －xxy<0⇔xy >0. 所以1x <1y⇔xy >0，即1x <1y的充要条件是xy >0.。