平面向量数乘运算及其几何意义

平面向量的向量积在数学中，平面向量的向量积是一种重要的运算，它可以帮助我们解决许多与平面几何相关的问题。

本文将详细介绍平面向量的向量积的定义、性质以及应用。

一、定义平面向量的向量积又称为叉乘或矢量积，用符号"×"表示。

对于平面上的两个向量u和v，它们的向量积u×v定义为一个新的向量，满足以下条件：1. 向量积的模长等于原向量模长的乘积与它们夹角的正弦值，即|u×v| = |u||v|sinθ，其中θ为u和v的夹角。

2. 向量积的方向垂直于平面，它的方向遵循右手法则，即将右手的四指指向向量u，再将四指转向向量v，大拇指的方向就是向量积的方向。

二、性质平面向量的向量积具有以下性质：1. u×v与v×u方向相反，但模长相等。

2. u×(v+w) = u×v + u×w，即向量积满足分配律。

3. (ku)×v = k(u×v) = u×(kv)，其中k为实数。

4. 若u与v共线或其中一个向量为零向量，则它们的向量积为零向量。

三、几何意义平面向量的向量积在几何上有重要的意义，它可以用来求解以下问题：1. 判断两个向量的方向是否一致：若u×v为零向量，则u和v共线；若u×v不为零向量，则u和v不共线。

2. 求两个向量所夹的平行四边形的面积：若u和v为非零向量，则其所夹平行四边形的面积为|u×v|。

3. 求三个非共面向量构成的平行六面体的体积：若u、v和w为非共线向量，则该平行六面体的体积为|u·(v×w)|，其中·表示点积。

四、计算方法平面向量的向量积可以用行列式的形式进行计算。

设u = (x₁, y₁)和v = (x₂, y₂)，则u×v = x₁y₂ - x₂y₁。

这种计算方法可以轻松求解向量积的模长和方向。

平面向量的数乘运算平面向量的数乘运算是向量的一个基本运算。

在实际生活和工作中，平面向量数乘运算经常用来求出向量的长度和方向，计算两个向量之间的关系，解决各种几何问题等等。

下面我们就来详细了解平面向量的数乘运算。

1.定义对于一个数k和一个平面上的向量A，我们定义向量kA为长度为|k|倍的向量，且与A的方向相同（若k>0）或相反（若k<0）。

即kA=k*|A|*u，其中|A|为向量A的长度，u为A的单位向量，k为实数。

2.性质平面向量的数乘运算有以下基本性质：（1）交换律：kA = Ak；（2）结合律：k(lA) = (kl)A；（3）分配律：(k+l)A = kA + lA；（4）数乘0得零向量：0A = 0；（5）数乘-1得反向量：(-1)A = -A。

其中，（1）和（2）很容易证明，（3）可以利用向量的加法证明，（4）和（5）也很显然。

3.向量的长度我们知道，向量的长度表示为|A|，表示从向量的起点到终点的距离。

对于向量A来说，它的数乘kA的长度为|kA|=|k||A|，即kA的长度等于k乘以A的长度。

因此，我们可以利用向量的数乘运算来求出一个向量的长度，或者利用向量的长度来计算它的数乘。

4.向量的方向向量的方向是向量自身的属性，一般用单位向量来表示。

对于一个向量A来说，它的单位向量为u=A/|A|，即除以向量的长度之后所得到的向量。

对于向量kA来说，它与A的方向相同（若k>0）或相反（若k<0），因此kA的单位向量为u=A/|A|。

因此，我们可以利用向量的数乘运算来求出一个向量的方向，或者利用向量的方向来计算它的数乘。

5.应用平面向量的数乘运算在实际生活和工作中有很多应用，比如：（1）计算两个向量之间的关系。

如果向量A和向量B之间的夹角为θ，则有A·B=|A||B|cosθ，其中·表示向量的点积。

如果将向量A数乘k，向量B数乘l，则有(kA)·(lB)=kl(A·B)，即两个向量的数乘之后再点乘等于原向量点乘之后再数乘。

平面向量数乘的定义及运算法则一、平面向量数乘的定义a平面向量数乘是指将一个实数与一个向量相乘的运算。

给定一个向量，记实数为k，则该数乘运算表示为k。

二、数乘运算的几何意义a1.若k>0，则k的几何意义是将向量的长度放大k倍，并且与的方向相同。

a2.若k<0，则k的几何意义是将向量的长度放大|k|倍，并且与的方向相反。

a3.若k=0，则k的几何意义是零向量，即长度为零的向量。

三、数乘运算的性质a1.结合律：对于任意实数k1、k2和向量，有k1(k2)=(k1k2)。

a2.分配律：对于任意实数k和向量、**b**，有k(+**b**)=k+k**b**。

a3.分配律：对于任意实数k1、k2和向量，有(k1+k2)=k1+k2。

a4.数乘1的性质：对于任意向量，有1=。

a5.数乘0的性质：对于任意向量，有0=**0**。

四、实例分析现在我们通过一个实例来理解平面向量数乘的定义及运算法则。

例1：已知向量**a**=(2,3)，计算3**a**和-2**a**。

解：根据定义，我们有：a-3=3(2,3)=(6,9)a--2=-2(2,3)=(-4,-6)a所以，3=(6,9)，-2=(-4,-6)。

a根据几何意义，3的长度是向量长度的3倍，并且与方向相同；-2的长度是向量长度的2倍，并且与方向相反。

五、总结平面向量数乘的定义及运算法则为：-数乘运算是将一个实数与一个向量相乘的运算。

-数乘运算的几何意义是改变向量的长度和方向。

-数乘运算满足结合律、分配律，数乘1的性质和数乘0的性质。

-通过实例分析可以更好地理解平面向量数乘的概念和运算法则。

在向量的数乘运算中，需要注意实数与向量的顺序以及符号的正确性，以确保结果的准确性。

掌握平面向量数乘的定义及运算法则，能够在解决相关问题时得到正确的结果，并应用到更复杂的向量运算中。

向量数乘运算及其几何意义夏季的雷雨天，我们往往先看到闪电，后听到雷声，雷闪发生于同一点而传到我们这儿为什么有个时间差？这说明声速与光速的大小不同，光速是声速的88万倍．若设光速为v1，声速为v2，将向量类比于数，则有v1＝880 000v2.对于880 000v2，我们规定是一个向量，其方向与v2相同，其长度为v2长度的880 000倍．这样实数与向量的积的运算称为向量的数乘．那么向量数乘的几何意义及运算律是怎样规定的呢？1．向量的数乘2．数乘的几何意义λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|λ|倍．[知识点拨](1)λ是实数，a是向量，它们的积λa仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如λ＋a，λ－a均没有意义．(2)对于非零向量a，当λ＝1|a|时，λa表示a方向上的单位向量．(3)注意向量数乘的特殊情况：①若λ＝0，则λa＝0；②若a＝0，则λa＝0．应该特别注意的是结果是向量0，而非实数0．3．向量数乘的运算律向量的数乘运算满足下列运算律：设λ、μ为实数，则(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb．4．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b ＝λa ． 5．向量的线性运算向量的__加__、__减__、__数乘__运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a 、b 以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝ λμ1a ±λμ2b ．[知识点拨]向量共线定理的理解注意点及主要应用1．定理中a ≠0不能漏掉．若a ＝b ＝0，则实数λ可以是任意实数；若a ＝0，b ≠0，则不存在实数λ，使得b ＝λa ．2．这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t ，s ，使t a ＋s b ＝0，则a 与b 共线；若两个非零向量a 与b 不共线，且t a ＋s b ＝0，则必有t ＝s ＝0．1．已知非零向量a 、b 满足a ＝4b ，则( C ) A ．|a |＝|b | B ．4|a |＝|b |C ．a 与b 的方向相同D ．a 与b 的方向相反[解析] ∵a ＝4b,4>0，∴|a |＝4|b |． ∵4b 与b 的方向相同， ∴a 与b 的方向相同．2．将112[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]化简成最简式为( B )A ．2a －bB ．2b －aC ．a －bD ．b －a[解析] 原式＝112(4a ＋16b －16a ＋8b )＝112[(4－16)a ＋(16＋8)b ]＝112(－12a ＋24b )＝2b －a3．在▱ABCD 中，AB →＝2a ，AD →＝3b ，则AC →等于( C ) A ．a ＋b B ．a －b C ．2a ＋3bD ．2a －3b[解析] AC →＝AB →＋AD →＝2a ＋3b ．4．已知AB →＝a ＋4b ，BC →＝2b －a ，CD →＝2(a ＋b )，则( B ) A ．A 、B 、C 三点共线 B ．A 、B 、D 三点共线 C ．A 、C 、D 三点共线 D ．B 、C 、D 三点共线[解析] ∵BC →＋CD →＝a ＋4b ， 即BC →＋CD →＝AB →，∴BD →＝AB →，即存在λ＝1使BD →＝λAB →． ∴BD →、AB →共线．又∵两向量有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线．命题方向1 ⇨向量的线性运算 典例1 计算：(1)4(a ＋b )－3(a －b )－8a ； (2)(5a －4b ＋c )－2(3a －2b ＋c )； (3)23[(4a －3b )＋13b －14(6a －7b )]． [思路分析] 运用向量数乘的运算律求解．[解析] (1)原式＝4a ＋4b －3a ＋3b －8a ＝－7a ＋7b ． (2)原式＝5a －4b ＋c －6a ＋4b －2c ＝－a －c ．(3)原式＝23(4a －3b ＋13b －32a ＋74b )＝23(52a －1112b )＝53a －1118b ．『规律总结』 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．〔跟踪练习1〕计算：(1)25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )； (2)(m ＋n )(a －b )－(m －n )(a ＋b )．[解析] (1)25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )＝25a －25b －23a －43b ＋415a ＋2615b ＝(25－23＋415)a ＋(－25－43＋2615)b ＝0a ＋0b ＝0． (2)原式＝m (a －b )＋n (a －b )－m (a ＋b )＋n (a ＋b ) ＝(m ＋n －m ＋n )a ＋(－m －n －m ＋n )b ＝2n a －2m b ． 命题方向2 ⇨共线向量定理及其应用 典例2 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 与a ＋k b 共线．[思路分析] (1)欲证三点A 、B 、D 共线，即证存在实数λ，使AB →＝λBD →，只要由已知条件找出λ即可．(2)由两向量共线，列出关于a 、b 的等式，再由a 与b 不共线知，若λa ＝μb ，则λ＝μ＝0．[解析] 证明：(1)∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ， CD →＝3(a －b )∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →． ∴AB →、BD →共线，又∵它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b ) 即k a ＋b ＝λa ＋λk b ，∴(k －λ)a ＝(λk －1)b ， ∵a 、b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1．『规律总结』 用向量法证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ，使得b ＝λa (a 、b 为这三点构成的其中任意两个向量)．证明步骤是先证明向量共线，然后再由两向量有公共点，证得三点共线．〔跟踪练习2〕已知向量AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， (1)求证：A 、B 、D 三点共线；(2)求证：CA →＝xCB →＋yCD →(其中x ＋y ＝1)． [解析] (1)∵BD →＝BC →＋CD →＝－2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝a ＋5b ，AB →＝a ＋5b ，∴AB →＝BD →，∴AB ∥BD ， 又AB →、BD →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． (2)∵CA →＝CB →＋BA →＝－BC →－AB → ＝2a －8b －a －5b ＝a －13b ， xCB →＋yCD →＝x (2a －8b )＋3y (a －b ) ＝(2x ＋3y )a ＋(－8x －3y )b ．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝1－8x －3y ＝－13，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1 ∴CA →＝xCB →＋yCD →，其中x ＋y ＝1．命题方向3 ⇨用向量的线性运算表示未知向量典例3 如图所示，四边形OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边的平行四边形，又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM →、ON →、MN →．[思路分析] 用a ，b 表示BM →→表示OM →，ON →→MN →＝ON →－OM → [解析] BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )， ∴OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b ．∵CN →＝13CD →＝16OD →，∴ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23(OA →＋OB →) ＝23a ＋23b ， MN →＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b＝12a －16b ． 『规律总结』 解决此类问题的思路一般是将所表示向量置于某一个三角形内，用减法法则表示，然后逐步用已知向量代换表示．〔跟踪练习3〕(2018·全国卷Ⅰ理，6)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( A )A ．34AB →－14AC →B ．14AB →－34AC →C ．34AB →＋14AC →D ．14AB →＋34AC →[解析] 作出示意图如图所示．EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →) ＝34AB →－14AC →． 故选A ．命题方向4 ⇨单位向量的应用典例4 O 为平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个动点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞ )，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( B )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[思路分析] 题目向量式中有OP →，OA →两共起点的向量，于是可利用移项得：OP →－OA →＝AP →，从而将向量式中的点O 去掉，转化为以A 为起点的两向量相等．[解析] 由OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，则OP →－OA →＝λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，则AP →＝λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)．而AB →|AB →|是与AB →同向的单位向量，AC →|AC →|是与AC →同向的单位向量，以这两个单位向量为邻边作平行四边形AB 1P 1C 1，易得平行四边形AB 1P 1C 1是菱形，对角线AP 1平分∠B 1AC 1，且AB 1→＝AB →|AB →|，AC 1→＝AC →|AC →|，所以AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝AB 1→＋AC 1→＝AP 1→，则AP →＝λAP 1→． 由λ∈[0，＋∞)，可知点P 在∠BAC 的平分线上，即动点P 的轨迹经过△ABC 的内心． 〔跟踪练习4〕若题设中的条件“OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)．”改为“OP→＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)．”则P 的轨迹一定通过△ABC 的( B )A ．外心B ．重心C ．垂心D ．内心[解析] 由OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，得AP →＝λ(AB →＋AC →)，则AP →与△ABC 中边BC 的中线共线，又由λ∈[0，＋∞)，知点P 的轨迹通过△ABC 的重心．三点共线定理 1．三点共线的判定定理在实际问题的描述中经常会遇到判断三点共线的问题，那么如何利用向量共线的判定定理来寻找三点共线的判定呢？我们知道，对于平面内任意三点A ，B ，C ，都可以写成AB →，AC →，BC →的形式，若存在一个实数λ使得AB →＝λAC →(或AB →＝λBC →或AC →＝λBC →)，则根据向量共线的判定定理可知向量AB →，AC →共线(或AB →，BC →共线或AC →，BC →共线)．又由它们具有公共点A (或B 或C )可知三点A ，B ，C 共线．所以我们有：对于平面内任意三点A ，B ，C ，O 为不同于A ，B ，C 的任意一点，设OC →＝λOA →＋μOB →，若实数λ，μ满足λ＋μ＝1，则三点A ，B ，C 共线．2．三点共线的性质定理根据向量共线的性质定理及三点共线的判定定理不难得到三点共线的性质定理．若平面内三点A ，B ，C 共线，O 为不同于A ，B ，C 的任意一点，设OC →＝λOA →＋μOB →，则存在实数λ，μ使得λ＋μ＝1．典例5 已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP →＝xOA →＋yOB →，求x ＋y 的值．[解析] 由于A ，B ，P 三点共线，所以向量AB →，AP →在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使AP →＝λAB →，即OP →－OA →＝λ(OB →－OA →)，所以OP →＝(1－λ)OA →＋λOB →，故x ＝1－λ，y ＝λ，即x ＋y ＝1．,〔跟踪练习5〕在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( D )A ．(0，12)B ．(0，13)C ．(－12，0)D ．(－13，0)[解析] 当点O 与点C 重合时AC →＝0AB →＋(1－0)AC →，所以x ＝0；当点O 与点D 重合时AD →＝－13AB →＋43AC →，此时x ＝－13，所以－13<x <0．向量的起点、终点弄不清楚，导致向量表示错误典例6 已知E ，F 分别为四边形ABCD 的边CD ，BC 的中点，设AD →＝a ，BA →＝b ，则EF →＝( )A ．12(a ＋b )B ．－12(a ＋b )C ．－12(a －b )D ．12(a －b )[错解] 如图，连接BD ，则EF →＝12DB →＝12(AD →－AB →)＝12(a ＋b )．故选A ．[错因分析] 向量DB →用向量的差表示时，DB →的终点应该为被减向量的终点． [正解] EF →＝12DB →＝12(CB →－CD →)＝12(DA →－BA →)＝12(－a －b ) ＝－12(a ＋b )，故选B ．[点评] 在向量的线性运算中，向量的差、向量的方向都是易错点，在运算中要高度重视．另外，几何图形的性质还要会准确应用．〔跟踪练习6〕已知任意平面四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点． 求证：EF →＝12(AB →＋DC →)．[解析] 取以点A 为起点的向量，应用三角形法则求证，如图．∵E 为AD 的中点， ∴AE →＝12AD →．∵F 是BC 的中点，∴AF →＝12(AB →＋AC →)．又∵AC →＝AD →＋DC →， ∴AF →＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＋12AD →． ∴EF →＝AF →－AE →＝12(AB →＋DC →)＋12AD →－12AD →＝12(AB →＋DC →)．1．(2a －b )－(2a ＋b )等于( B ) A ．a －2b B ．－2b C ．0D ．b －a2．已知λ、μ∈R ，下面式子正确的是( C )A ．λa 与a 同向B ．0·a ＝0C ．(λ＋μ)a ＝λa ＋μaD ．若b ＝λa ，则|b |＝λ|a |[解析] 对A ，当λ>0时正确，否则错误；对B,0·a 是向量而非数0；对D ，若b ＝λa ，则|b |＝|λa |．3．点C 在直线AB 上，且AC →＝3AB →，则BC →等于( D ) A ．－2AB →B ．13AB →C ．－13AB →D ．2AB →[解析] BC →＝AC →－AB →＝3AB →－AB →＝2AB →．4．已知向量a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，λ∈R ，且λ≠0，若a ∥b ，则( D ) A ．λ＝0 B ．e 2＝0C ．e 1∥e 2D ．e 1∥e 2或e 1＝0 [解析] 当e 1＝0时，显然有a ∥b ； 当e 1≠0时，b ＝2e 1≠0，又a ∥b ，∴存在实数μ，使a ＝μb ，即e 1＋λe 2＝2μe 1， ∴λe 2＝(2μ－1)e 1，又λ≠0，∴e 1∥e 2．5．已知两个非零向量e 1、e 2不共线，若AB →＝2e 1＋3e 2，BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2.求证：A 、B 、D 三点共线．[证明] ∵AD →＝AB →＋B C →＋CD →＝2e 1＋3e 2＋6e 1＋23e 2＋4e 1－8e 2 ＝12e 1＋18e 2＝6(2e 1＋3e 2)＝6A B →， ∴AD →∥AB →．又∵AD 和AB 有公共点A ，∴A 、B 、D 三点共线．A 级 基础巩固一、选择题1．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C )，则AP →＝( A ) A ．λ(AB →＋BC →) λ∈(0,1) B ．λ(AB →＋BC →) λ∈(0，22)C ．λ(AB →－BC →) λ∈(0,1)D ．λ(AB →－BC →) λ∈(0，22)[解析] 设P 是对角线AC 上的一点(不含A 、C )，过P 分别作BC 、AB 的平分线，设AP→＝λAC →，则λ∈(0,1)，于是AP →＝λ(AB →＋BC →)，λ∈(0,1)．2．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( A )A ．23B ．13C ．－13D ．－23[解析] (方法一)：由AD →＝2DB →，可得CD →－CA →＝2(CB →－CD →)⇒CD →＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23.故选A ．(方法二)：CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23，故选A ．3．点P 是△ABC 所在平面内一点，若CB →＝λP A →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( B ) A ．△ABC 内部 B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上D ．BC 边所在的直线上 [解析] ∵CB →＝λP A →＋PB →，∴CB →－PB →＝λP A →． ∴CP →＝λP A →．∴P 、A 、C 三点共线．∴点P 一定在AC 边所在的直线上．4．已知平行四边形ABCD 中，DA →＝a ，DC →＝b ，其对角线交点为O ，则OB →等于( C ) A ．12a ＋bB ．a ＋12bC ．12(a ＋b )D ．a ＋b[解析] DA →＋DC →＝DA →＋AB →＝DB →＝2OB →， 所以OB →＝12(a ＋b )，故选C ．5．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( A )A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D [解析] BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2AB →，所以，A 、B 、D 三点共线．6．如图所示，向量OA →、OB →、OC →的终点A 、B 、C 在一条直线上，且AC →＝－3CB →.设OA →＝p ，OB →＝q ，OC →＝r ，则以下等式中成立的是( A )A ．r ＝－12p ＋32qB ．r ＝－p ＋2qC ．r ＝32p －12qD ．r ＝－q ＋2p[解析] ∵OC →＝OB →＋BC →，AC →＝－3CB →＝3BC →， ∴BC →＝13AC →．∴OC →＝OB →＋13AC →＝OB →＋13(OC →－OA →)．∴r ＝q ＋13(r －p )．∴r ＝－12p ＋32q ．二、填空题7．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝ 12 ；y ＝ －16．[解析] 由题中条件得MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝12，y ＝－16．8．(2016·潍坊高一检测)设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ．若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为 12．[解析] 由已知DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，从而λ1＋λ2＝12．三、解答题9．已知▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，对角线AC 、BD 交于点O ，用a 、b 表示OA →，BO →． [解析] OA →＝12CA →＝12(CB →＋BA →)＝12(－a －b )．BO →＝12BD →＝12(AD →－AB →)＝12(b －a )．10．已知向量e 1、e 2是两个共线向量，若a ＝e 1－e 2，b ＝2e 1＋2e 2，求证：a ∥b ． [证明] 若e 1＝e 2＝0，则a ＝b ＝0， 所以a 与b 共线，即a ∥b ；若e 1、e 2中至少有一个不为零向量，不妨设e 1≠0，则e 2＝λe 1(λ∈R )，且a ＝(1－λ)e 1， b ＝2(1＋λ)e 1，所以a ∥e 1，b ∥e 1． 因为e 1≠0，所以a ∥b ． 综上可知，a ∥b ．B 级 素养提升一、选择题1．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( C ) A ．a 与－λa 的方向相反 B ．|－λa |≥|a | C ．a 与λ2a 的方向相同D ．|－λa |＝|λ|a[解析] A 错误，因为λ取负数时，a 与－λa 的方向是相同的；B 错误，因为当|λ|<1时，该式不成立；D 错误，等号左边的结果是一个数，而右边的结果是一个向量，不可能相等；C 正确，因为λ2(λ≠0)一定是正数，故a 与λ2a 的方向相同．故选C ．2．设e 1、e 2是两个不共线的向量，则向量a ＝2e 1－e 2，与向量b ＝e 1＋λe 2(λ∈R )共线，当且仅当λ的值为( D )A ．0B ．－1C ．－2D ．－12[解析] ∵向量a 与b 共线，∴存在唯一实数u ，使b ＝u a 成立．即e 1＋λe 2＝u (2e 1－e 2)＝2u e 1－u e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝2u ，λ＝－u .解得λ＝－12．3．在▱ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线交CD 于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( D )A ．14a ＋12bB ．13a ＋23bC ．12a ＋14bD ．23a ＋13b[解析] AF →＝AC →＋CF →＝a ＋23CD →＝a ＋23(OD →－OC →)＝a ＋23(12BD →－12AC →)＝a ＋13(b －a )＝a＋13(b －a )＝23a ＋13b ． 4．在△ABC 中，点D 在BC 边所在直线上．若CD →＝4BD →＝sAB →－rAC →，则s ＋r 等于( C ) A ．0 B ．43C ．83D ．3[解析] 由题意可得，CD →＝AD →－AC →＝AB →＋BD →－AC →＝AB →＋13CB →－AC →＝AB →＋13(AB →－AC →)－AC →＝43AB →－43AC →， ∴s ＋r ＝83．二、填空题5．若2(x －13a )－12(b ＋c －3x )＋b ＝0，其中a 、b 、c 为已知向量，则未知向量x ＝ 421a－17b ＋17c ． [解析] ∵2x －23a －12b －12c ＋32x ＋b ＝0，∴72x ＝23a －12b ＋12c .∴x ＝421a －17b ＋17c ． 6．如图所示，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝ 14(b －a ) .(用a 、b 表示)．[解析] MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝－12BC →＋BA →＋34AC →＝－12AD →－AB →＋34(AB →＋AD →)＝－12b －a ＋34(a ＋b )＝14b －14a ＝14(b －a )． 三、解答题7．如图，已知E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，用向量法证明：四边形EFGH 是平行四边形．[证明] 在△BCD 中，∵G ，F 分别是CD ，CB 的中点， ∴CG →＝12CD →，CF →＝12CB →．∴GF →＝CF →－CG →＝12CB →－12CD →＝12DB →． 同理HE →＝12DB →．∴GF →＝HE →，即GF →与HE →共线．又∵G 、F 、H 、E 四点不在同一条直线上， ∴GF ∥HE ，且GF ＝HE ． ∴四边形EFGH 是平行四边形．8．设两个不共线的向量e 1、e 2，若向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，向量c ＝2e 1－9e 2，问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d ＝λa ＋μb 与向量c 共线？[解析] ∵d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2)＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2，要使d 与c 共线，则存在实数k 使d ＝k ·c ，即：(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 2－9k e 2.由⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ，故存在这样的实数λ和μ， 只要λ＝－2μ，就能使d 与c 共线．C 级 能力拔高过△OAB 的重心G 的直线与边OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝h ·OA →，OQ →＝kOB →，则1h ＋1k＝__3__． [解析] 延长OG 交边AB 于点M ，则M 为AB 边的中点， ∴OM →＝12(OA →＋OB →)＝12(1h OP →＋1k OQ →)＝12h OP →＋12k OQ →，又OM →＝32OG →，∴OG →＝13h OP →＋13K OQ →．∵P 、Q 、G 三点共线， 且OP →，OQ →是不共线的向量， ∴13h ＋13k ＝1， 即1h ＋1k ＝3．。

平面向量的向量积的几何意义平面向量的向量积的几何意义主要体现在向量积的大小、方向和几何性质等方面。

向量积又称叉乘，是矢量积，是一种两个矢量叉乘获得第三个矢量的乘积运算。

在空间解析几何中，向量积得到的是一个垂直于原两个向量组成的平面的第三个向量。

向量积在几何上有许多应用，比如计算平行四边形的面积、计算三角形的面积等。

一、向量积的大小首先来看向量积的大小。

两个向量a和b的向量积a×b的大小等于a乘以b的模长和夹角θ的正弦值的乘积。

即|a×b| = |a| |b|sinθ。

这就是向量积大小的计算公式。

这个公式的含义是，向量积的大小与原来两个向量的模长和夹角有关。

如果a和b平行，则sinθ=0，向量积的大小为0，说明两个平行向量的向量积是一个零向量。

二、向量积的方向其次是向量积的方向。

向量积a×b的方向垂直于a和b所在的平面，并且满足右手定则。

右手定则是这样的，右手握住a，让四指指向b，竖起的大拇指所指的方向就是a×b的方向。

这就是向量积的方向规律。

根据右手定则可以轻松求得向量积的方向。

三、向量积的几何意义最后是向量积的几何意义。

向量积在几何中有着广泛的应用。

比如，求解平行四边形的面积。

设平行四边形的两条边为a和b，则平行四边形的面积为|a×b|。

又比如，求解三角形的面积。

设三角形的两条边为a和b，则三角形的面积为1/2 |a×b|。

这两个应用都利用到了向量积的大小和方向的性质。

综上所述，平面向量的向量积具有重要的几何意义，可以帮助我们求解各种几何问题。

通过计算向量积的大小和方向，可以方便地求解平行四边形、三角形等图形的面积，提高几何问题的解题效率。

向量积是空间解析几何中一个重要的概念，有着广泛的应用价值。

通过深入理解向量积的几何意义，可以更好地应用向量积解决实际问题，提高数学解题能力。

一周强化一、一周内容概述本周主要学习了向量数乘运算，理解向量数乘运算的几何意义，向量共线的充要条件，平面向量的基本定理，由此理解向量的坐标意义，熟悉向量坐标的运算法则，使向量运算完全代数代，将数与形紧密地结合在一起，这样，就让很多几何问题的证明，转化为熟知的数量运算，向量是解决问题的一个重要方法．二、重点知识归纳及讲解1、实数与向量的积2、两个向量共线的充要条件（向量共线定理）a3、平面向量基本定理说明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行.（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．4、平面向量的坐标表示5、向量坐标与点坐标的关系，则6、平面向量的坐标运算7、平面向量共线的坐标表示≠0)三、难点知识剖析1、向量共线的充要条件及平面向量基本定理准确理解，把握平面向量基本定理的关键是对定理的条件和结论的每个字的含义的理解．如向量共线的充要条件定理中有：（1）非零向量；（2）有且只有一个实数λ；（3）；（4）条件与结论的互推．这四个方面我们要认真理解、记忆．2、要证明向量a、b共线，只需证明存在实数λ，使得b＝λa即可．如果a＝b＝0，数λ仍然存在，此时λ并不惟一，是任意数值．3、关于平面向量的坐标运算，要注意以下几点：(1)要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．(2)通过建立直角坐标系，可以将平面内任一向量用一个有序实数对来表示；反过来，任一有序实数对就表示一个向量．这就是说，一个平面向量就是一个有序实数对．4、凡遇到与平行有关的问题时，一般地要考虑运用向量平行的充要条件：(1)b∥a b＝λa(a≠0，λ∈R)(2)b∥a(a≠0)x1y2－x2y1＝0，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)四、例题讲解例1、已知向量a、b是两非零向量，在下列四个条件中，能使a、b共线的条件是（）①2a－3b＝4e且a+2b＝-3e；②存在相异实数λ、μ，使λa+μb＝0；③x a+y b＝0（其中实数x、y满足x+y＝0）；④已知梯形ABCD，其中A．①②B．①③C．②④D．③④解析：A、B均含有①，而C、D均含有④，所以可先判定①或④．若①能使a、b共线，则只有从A、B中进一步作出选择，若①不能使a、b共线，则应从C、D中进一步作出选择．首先判定①能否使a、b共线．由向量方程组：∴b＝10a，∴a、b共线，因此可排除C、D．而由②可得λ、μ是相异实数，所以λ、μ不同时为0，不妨设μ≠0，∴，故a、b共线，所以排除B，选择A．答案：A例2、如图所示，已知梯形ABCD中AD∥BC，E、F分别是AD、BC边上的中点，且BC＝3AD，试以a、b为基底表示分析：我们首先应根据AD∥BC且AD＝BC，用b表示，然后反复采用向量和与差的三角形法则就可计算出所求向量．解答：AD∥BC且AD＝BC，例3、如果向量，其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值使A、B、C三点共线.分析：由A、B、C三点共线知向量共线，再利用向量共线定理求出m的值．解答：解法一：∵A、B、C三点共线，即知向量共线．∴存在实数λ，使得，即i-2j＝λ(i+m j)，由上可得λ＝1，且λm＝-2，故当m＝-2时，A、B、C三点共线．解法二：由于i＝(1，0)，j＝(0，1)而共线，故1·m-1·(-2)＝0，即m＝-2．故当m＝-2时，A、B、C三点共线．例4、已知ADCB是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于F．试用向量方法证明：AF＝AE.分析：运用向量知识，欲证AF＝AE，即证．为此，可建立平面直角坐标系，求出E、F的坐标．证明：如图，正方形ADCB的边CD所在直线为x轴，以C点为原点建立直角坐标系，设正方形的边长为1，则A、B的坐标分别为(-1，1)和(0，1)，若E点的坐标为(x，y)，则又由AC＝CE及A(-1，1)，C(0，0)，E(x，y)可得x2+y2＝2 ②由①②可解得．又设F(x1，1)，则由即点F的坐标为．。

平面向量数乘运算的坐标表示我很乐意帮你撰写这篇关于平面向量数乘运算的坐标表示的文章。

在文章中，我将从简单的概念和基本原理开始，逐步深入探讨这个主题，帮助你更好地理解这一数学运算的重要性和应用。

1. 什么是平面向量？在开始探讨平面向量数乘运算的坐标表示之前，让我们先来回顾一下什么是平面向量。

平面向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示在平面上。

平面向量通常表示为 (x, y)，其中 x 和 y 分别代表向量在 x 轴和 y 轴上的分量。

2. 数乘运算的定义数乘运算是指一个向量与一个标量相乘的操作。

在数乘运算中，向量的大小会根据标量的大小进行缩放，方向保持不变。

数乘运算的结果是一个新的向量。

3. 坐标表示平面向量数乘运算的坐标表示非常重要。

通过坐标表示，我们可以清晰地看到向量与标量相乘后的变化。

假设有向量a = (a1, a2)，标量k，那么a与k的数乘结果可以表示为ka = (ka1, ka2)。

4. 数乘运算的性质数乘运算具有一些重要的性质，比如分配律、结合律等。

这些性质对于理解和运用数乘运算非常重要。

5. 应用举例平面向量数乘运算的坐标表示在几何学、物理学等领域有着广泛的应用。

比如在物理学中，力的合成就常常会用到平面向量的数乘运算，通过坐标表示可以清晰地看到力的变化和合成结果。

总结和回顾通过本文的介绍，我希望你能够更好地理解平面向量数乘运算的坐标表示。

数乘运算是向量运算中的重要部分，通过坐标表示可以更直观地看到向量的变化，这对于理解和运用向量运算有着重要的意义。

个人观点和理解在我的个人看来，平面向量数乘运算的坐标表示是向量运算中的基础而重要的一部分。

通过数乘运算，我们可以更清晰地看到向量的变化和作用，这有助于我们在实际问题中更好地运用向量概念。

希望你也能对这一主题有深刻的理解和灵活的运用。

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向量的点乘和叉乘以及几何意义一、向量的点乘1.定义：向量的点乘，又称为数量积或内积，是两个向量之间的一种乘法运算。

对于两个n维向量a和b，它们的点乘定义为a·b = ，a，b，cosθ，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模的大小，θ表示a和b之间的夹角。

2.计算方法：（1）向量坐标表示计算方法：如果a=(a₁,a₂,...,aₙ)和b=(b₁,b₂,...,bₙ)是两个n维向量，它们的点乘可以用下面的公式来计算：a·b=a₁b₁+a₂b₂+...+aₙbₙ。

（2）向量模和夹角计算方法：如果，a，和，b，分别是向量a和b的模的大小，θ是向量a和b之间的夹角，则向量的点乘可以用下面的公式来计算：a·b = ，a，b，cosθ。

3.几何意义：（1）判断两个向量是否相互垂直：如果两个向量的点乘结果为0，即a·b=0，那么这两个向量相互垂直。

（2）计算向量在一些方向上的投影：如果向量a的模为，a，θ是a与b之间的夹角，那么向量a在向量b的方向上的投影长度为，a，cosθ。

（3）计算两个向量之间的夹角：如果向量a和b的点乘为a·b = ，a，b，cosθ，那么两个向量之间的夹角θ可以通过反余弦函数计算：θ = arccos(a·b / ，a，b，)。

二、向量的叉乘1.定义：向量的叉乘，又称为向量积或外积，是两个三维向量之间的一种乘法运算。

对于两个三维向量a和b，它们的叉乘定义为a×b = ，a，b，sinθn，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模的大小，θ表示a和b之间的夹角，n表示与a和b所在平面垂直的单位向量。

2.计算方法：向量的叉乘的计算可以利用行列式的方法进行计算：a×b=，ijk，，a₁a₂a₃，，b₁b₂b₃，其中，ijk，表示三个单位向量i、j、k所组成的行列式，a₁、a₂、a₃和b₁、b₂、b₃分别表示向量a和b的坐标。

向量的数乘及几何意义数乘是指将一个向量与一个标量相乘。

数乘运算可以用来改变向量的大小和方向，并且在几何上具有重要的意义。

首先，考虑一个向量v，并将其数乘一个正数k。

当k>1时，数乘会使得向量v的大小增大，但方向不变。

当k=1时，数乘不会改变向量v的大小和方向。

当0<k<1时，数乘会使向量v的大小减小，同时方向保持不变。

当k=0时，结果是一个零向量，其大小为零。

当k<0时，向量v被反向，并且大小也被取绝对值后增大。

因此，数乘可以使向量扩大、缩小、翻转。

在几何中，数乘具有以下几何意义：1.缩放：数乘可以用来缩放一个向量。

当数乘的绝对值大于1时，向量的大小会增大，而当绝对值小于1时，向量的大小会减小，但方向保持不变。

这意味着数乘可以用来缩放一个对象。

2.平行：当数乘为正数时，数乘后的向量与原向量的方向是相同的，它们是平行的。

当数乘为负数时，数乘后的向量与原向量的方向是相反的，它们也是平行的。

这意味着数乘可以用来判断两个向量是否平行。

3.方向：当数乘为负数时，数乘会将向量反转，即改变向量的方向。

这意味着数乘可以用来改变向量的方向。

4.零向量：当数乘为零时，结果是一个零向量，其大小为零。

这意味着数乘可以用来判断向量是否为零向量。

5.反向：当数乘为负数时，数乘会将向量反转，并且大小也会取绝对值后增大。

这意味着数乘可以用来使向量翻转。

6.平面的法向量：考虑一个向量v，它在x轴和y轴上的分量分别为vₓ和vᵧ。

如果将一个向量与一个数乘后的向量相加，结果为零向量，则这个数乘后的向量是由vₓ和vᵧ的相反数构成的。

这表明数乘后的向量是平面上法向量的一种表示方法。

总而言之，数乘在几何中具有重要的意义，它可以用来缩放、改变方向、判断平行性和零向量，以及使向量翻转。

这些几何意义使数乘成为向量运算中的一个重要操作。

平面向量的运算如何进行平面向量的加减乘除运算平面向量是描述平面上的有向线段的数学工具，具有大小和方向。

在平面向量的运算中，常见的操作包括向量的加法、减法、数量乘法和除法。

下面将详细介绍平面向量的运算方法。

一、平面向量的加法平面向量的加法是将两个向量的对应元素进行相加的运算。

设有向量A = (x1, y1)和向量B = (x2, y2)，则向量A和向量B的和为向量C = (x1 + x2, y1 + y2)。

例子：已知向量A = (1, 2)，向量B = (3, 4)，求向量A和向量B的和。

解：向量A和向量B的和为向量C = (1 + 3, 2 + 4) = (4, 6)。

二、平面向量的减法平面向量的减法是将两个向量的对应元素进行相减的运算。

设有向量A = (x1, y1)和向量B = (x2, y2)，则向量A和向量B的差为向量C = (x1 - x2, y1 - y2)。

例子：已知向量A = (1, 2)，向量B = (3, 4)，求向量A和向量B的差。

解：向量A和向量B的差为向量C = (1 - 3, 2 - 4) = (-2, -2)。

三、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法是指一个向量与一个实数的乘法运算。

设有向量A = (x, y)和实数k，则向量A乘以实数k的结果为向量B = (kx, ky)，即向量A的每个元素分别乘以实数k。

例子：已知向量A = (3, 4)，求向量A乘以实数2的结果。

解：向量A乘以实数2的结果为向量B = (2 × 3, 2 × 4) = (6, 8)。

四、平面向量的除法平面向量的除法并没有直接定义，因为除法运算在平面向量中没有明确的意义。

平面向量的运算主要是通过加法、减法和数量乘法来实现。

如果需要进行向量的除法运算，一般可以通过乘以倒数的方式来实现。

即将除法转化为乘法运算。

例子：已知向量A = (4, 6)，求向量A除以实数2的结果。

解：向量A除以实数2的结果可以通过将实数2转化为倒数的方式来实现，即向量A除以实数2可以表示为向量A乘以实数1/2。

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义考试标准课标要点学考要求高考要求向量的数乘运算 c c向量数乘运算的几何意义 b b知识导图学法指导1.与实数乘法的运算律类似,向量数乘也有“结合律”、“分配律”．运用向量数乘的运算律时,要注重其几何意义．2．向量的加法、减法及数乘运算统称为向量的线性运算,其中,向量的减法运算、数乘运算都以加法运算为基础．3．向量共线的条件实际上是由向量数乘推出的,它可以判断几何中三点共线和两直线平行,注意区别向量平行与直线平行．4．学习了向量的线性运算,平面中的点、线段(直线)就可以用向量表示,这就为用向量法解决几何问题奠定了基础.1.向量数乘运算实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫作向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同；当λ<0时,λa的方向与a的方向相反．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”,错误的打“×”)(1)实数λ与向量a,则λ＋a与λ－a的和是向量．( )(2)对于非零向量a,向量－3a与向量a方向相反．( )(3)对于非零向量a,向量－6a的模是向量3a的模的2倍．( )(4)若b与a共线,则存在实数λ,使得b＝λa.()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．存在两个非零向量a,b,满足b＝－3a,则有( )A．a与b方向相同 B．a与b方向相反C．|a|＝|3b| D．|a|＝|b|解析：因为－3<0,所以a与－3a方向相反．且|－3a|＝3|a|,即|b|＝3|a|,故选B.答案：B3．化简：13⎣⎢⎡⎦⎥⎤122a ＋8b －4a －2b ＝( ) A ．2a －b B ．2b －a C ．b －a D ．a －b解析：原式＝13[(a ＋4b)－(4a －2b)]＝13(－3a ＋6b)＝2b －a,选B.答案：B4．已知a ＝e 1＋2e 2,b ＝3e 1－2e 2,则3a －b ＝( ) A ．4e 2 B ．4e 1 C ．3e 1＋6e 2 D ．8e 2解析：3a －b ＝3(e 1＋2e 2)－(3e 1－2e 2)＝3e 1＋6e 2－3e 1＋2e 2＝8e 2. 答案：D类型一 向量的线性运算 例1 (1)计算：①4(a＋b)－3(a －b)－8a ； ②(5a－4b ＋c)－2(3a －2b ＋c)．(2)设向量a ＝3i ＋2j,b ＝2i －j,求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b ＋(2b －a)． 【解析】 (1)①原式＝4a ＋4b －3a ＋3b －8a ＝－7a ＋7b. ②原式＝5a －4b ＋c －6a ＋4b －2c ＝－a －c.(2)原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b ＝－53(3i ＋2j)＋53(2i －j)＝⎝⎛⎭⎪⎫－5＋103i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－103－53j ＝－53i －5j.状元随笔 (1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算,主要是“合并同类项”“提取公因式”,但这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数．(2)对于向量的线性运算,关键是把握运算顺序,即先根据运算律去括号,再进行数乘运算,最后进行向量的加减．方法归纳向量线性运算的基本方法(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算．跟踪训练1 化简： (1)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a ＋2b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋38b ； (2)23⎣⎢⎡⎦⎥⎤4a －3b ＋13b －146a －7b . 解析：(1)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0.(2)原式＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －3b ＋13b －32a ＋74b ＝234－32a ＋－3＋13＋74b ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫52a －1112b ＝53a －1118b.先由运算律去括号,再进行数乘运算．类型二 向量共线条件的应用 例2 已知非零向量e 1,e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1＋e 2,BC →＝2e 1＋8e 2,CD →＝3(e 1－e 2),求证A,B,D 三点共线； (2)欲使ke 1＋e 2和e 1＋ke 2共线,试确定实数k 的值．【解析】 (1)证明：因为AB →＝e 1＋e 2,BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →. 所以AB →,BD →共线,且有公共点B, 所以A,B,D 三点共线． (2)因为ke 1＋e 2与e 1＋ke 2共线,所以存在实数λ,使ke 1＋e 2＝λ(e 1＋ke 2), 则(k －λ)e 1＝(λk－1)e 2, 由于e 1与e 2不共线,只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk－1＝0，所以k ＝±1.(1)欲证三点A,B,D 共线,即证存在实数λ,使AB →＝λBD →,只要由已知条件求出λ即可．(2)由两向量共线,列出关于e →1、e →2的等式,再由e →1与e →2不共线知,若λe →1＝μe →2,则λ＝μ＝0. 方法归纳向量共线定理的应用(1)若b ＝λa(a≠0),且b 与a 所在的直线无公共点,则这两条直线平行．(2)若b ＝λa(a≠0),且b 与a 所在的直线有公共点,则这两条直线重合．例如,若AB →＝λAC →,则AB →与AC →共线,又AB →与AC →有公共点A,从而A,B,C 三点共线,这是证明三点共线的重要方法．跟踪训练2 (1)已知e 1,e 2是平面内不共线的两个向量,a ＝2e 1－3e 2,b ＝λe 1＋6e 2,若a,b 共线,则λ等于( )A.－9 B ．－4 C ．4 D ．9(2)设a,b 为不共线的两个非零向量,已知向量AB →＝a －kb,CB →＝2a ＋b,CD →＝3a －b,若A,B,D 三点共线,则实数k 的值等于( )A.10 B ．－10 C ．2 D ．－2解析：(1)由a,b 共线知a ＝mb,m∈R ,于是2e 1－3e 2＝m(λe 1＋6e 2),即(2－mλ)e 1＝(6m ＋3)e 2.由于e 1,e 2不共线,所以⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋3＝0，2－mλ＝0，所以λ＝－4.(2)因为A,B,D 三点共线,所以AB →＝λBD →＝λ(CD →－CB →),所以a －kb ＝λ(3a－b －2a －b)＝λ(a－2b),所以λ＝1,k ＝2.答案：(1)B (2)C(1)由a →,b →共线,得a →＝m b →,建立等式求λ. (2)A 、B 、D 三点共线,设AB →＝λBD →,建立等式求k .类型三 用已知向量表示其他向量例3 如图,ABCD 是一个梯形,AB →∥CD →且|AB →|＝2|CD →|,M,N 分别是DC,AB 的中点,已知AB →＝e 1,AD →＝e 2,试用e 1,e 2表示下列向量．(1)AC →＝________； (2)MN →＝________.【解析】 因为AB →∥CD →,|AB →|＝2|CD →|,所以 AB →＝2DC →,DC →＝12AB →.(1)AC →＝AD →＋DC →＝e 2＋12e 1.(2)MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－12DC →－AD →＋12AB →＝－14e 1－e 2＋12e 1＝14e 1－e 2.【答案】 (1)e 2＋12e 1 (2)14e 1－e 2结合图形：由已知得AB →＝2DC →,分别用e →1,e →2表示AC →,MN →.方法归纳用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时,可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程．跟踪训练3 在本例中,若条件改为BC →＝e 1,AD →＝e 2,试用e 1,e 2表示向量MN →.解析：因为MN →＝MD →＋DA →＋AN →,MN →＝MC →＋CB →＋BN →,所以2MN →＝(MD →＋MC →)＋DA →＋CB →＋(AN →＋BN →)． 又因为M,N 分别是DC,AB 的中点,所以MD →＋MC →＝0,AN →＋BN →＝0. 所以2MN →＝DA →＋CB →,所以MN →＝12(－AD →－BC →)＝－12e 2－12e 1.结合图形,在梯形ABCD 中,M N →＝M D →＋DA →＋AN →,再用e →1, e →2表示M N →. 2.2.3[基础巩固](25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分) 1．4(a －b)－3(a ＋b)－b 等于( ) A ．a －2b B ．a C ．a －6b D ．a －8b解析：原式＝4a －4b －3a －3b －b ＝a －8b. 答案：D2．点C 在直线AB 上,且AC →＝3AB →,则BC →等于( ) A ．－2AB → B.13AB →C ．－13AB →D ．2AB →解析：如图,AC →＝3AB →,所以BC →＝2AB →. 答案：D3．已知向量a,b 是两个不共线的向量,且向量ma －3b 与a ＋(2－m)b 共线,则实数m 的值为( ) A ．－1或3 B. 3 C ．－1或4 D ．3或4解析：因为向量ma －3b 与a ＋(2－m)b 共线,且向量a,b 是两个不共线的向量,所以m ＝－32－m ,解得m ＝－1或m ＝3.答案：A 4.如图,已知AB →＝a,AC →＝b,BD →＝3DC →,用a,b 表示AD →,则AD →＝( ) A ．a ＋34bB.34a ＋14bC.14a ＋14bD.14a ＋34b 解析：AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b.答案：D5．若点O 为平行四边形ABCD 的中心,AB →＝2e 1,BC →＝3e 2,则32e 2－e 1＝( )A.BO →B.AO →C.CO →D.DO →解析：BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝3e 2－2e 1,BO →＝12BD →＝32e 2－e 1.答案：A二、填空题(每小题5分,共15分)6．已知|a|＝4,|b|＝8,若两向量方向同向,则向量a 与向量b 的关系为b ＝________a. 解析：由于|a|＝4,b ＝8,则|b|＝2|a|,又两向量同向,故b ＝2a. 答案：27．点C 在线段AB 上,且AC CB ＝32,则AC →＝________AB →,BC →＝________AB →.解析：因为C 在线段AB 上,且AC CB ＝32,所以AC →与AB →方向相同,BC →与AB →方向相反,且AC AB ＝35,BC AB ＝25,所以AC →＝35AB →,BC →＝－25AB →. 答案：35 －258．已知向量a,b 满足|a|＝3,|b|＝5,且a ＝λb ,则实数λ的值是________． 解析：由a ＝λb ,得|a|＝|λb|＝|λ||b|.∵|a|＝3,|b|＝5, ∴|λ|＝35,即λ＝±35.答案：±35三、解答题(每小题10分,共20分) 9．计算(1)13(a ＋2b)＋14(3a －2b)－12(a －b)； (2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a ＋2b －23a －b －76⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋37⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋76a . 解析：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋34－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23－12＋12b＝712a ＋23b. (2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫73a ＋b －76⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋37b ＝76a ＋12b －76a －12b ＝0. 10．已知E,F 分别为四边形ABCD 的对角线AC,BD 的中点,设BC →＝a,DA →＝b,试用a,b 表示EF →. 解析：如图所示,取AB 的中点P,连接EP,FP.在△ABC 中,EP 是中位线, 所以PE →＝12BC →＝12a.在△ABD 中,FP 是中位线,所以PF →＝12AD →＝－12DA →＝－12b.在△EFP 中,EF →＝EP →＋PF →＝－PE →＋PF →＝－12a －12b ＝－12(a ＋b)．[能力提升](20分钟,40分)11．设D 为△ABC 所在平面内一点,BC →＝3CD →,则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解析：AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AB →＋43BC →＝AB →＋43(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →,故选A.答案：A12．如图所示,在△ABC 中,D 为BC 边上的一点,且BD ＝2DC,若AC →＝mAB →＋nAD →(m,n∈R),则m －n ＝________.解析：直接利用向量共线定理,得BC →＝3DC →,则AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋3DC →＝AB →＋3(AC →－AD →)＝AB →＋3AC →－3AD →,AC →＝－12AB →＋32AD →,则m ＝－12,n ＝32,那么m －n ＝－12－32＝－2.答案：－213．已知e,f 为两个不共线的向量,若四边形ABCD 满足AB →＝e ＋2f,BC →＝－4e －f,CD →＝－5e －3f. (1)用e 、f 表示AD →；(2)证明：四边形ABCD 为梯形．解析：(1)AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e ＋2f)＋(－4e －f)＋(－5e －3f)＝(1－4－5)e ＋(2－1－3)f ＝－8e －2f.(2)证明：因为AD →＝－8e －2f ＝2(－4e －f)＝2BC →,所以AD →与BC →方向相同,且AD →的长度为BC →的长度的2倍,即在四边形ABCD 中,AD∥BC ,且AD≠BC ,所以四边形ABCD 是梯形．14．如图所示,在△ABC 中,点D 是边BC 的中点,A,D,E 三点共线,求证：存在一个实数λ,使得AE →＝λ(AB→＋AC →)．证明：由向量加法的平行四边形法则可知AD →＝12(AB →＋AC →)． 因为A,D,E 三点共线,所以可设AE →＝μAD →,则AE →＝μ2(AB →＋AC →)．令λ＝μ2,可得AE →＝λ(AB →＋AC →)． 所以,存在一个实数λ,使得AE →＝λ(AB →＋AC →)．。

平面向量的叉乘及其几何意义在数学中，平面向量是研究平面几何学和向量代数的重要概念之一。

而平面向量的叉乘是向量运算中的一种重要形式，它在物理学、工程学以及计算机图形学中有着广泛的应用。

本文将探讨平面向量的叉乘及其几何意义。

一、平面向量的定义和表示平面向量是一种有大小和方向的量，可以用有向线段来表示。

在平面直角坐标系中，假设有两点A和B，以这两点为端点的线段AB就表示了一个平面向量，记作向量AB或者向量→AB。

在表示向量时通常使用粗体字母或带箭头的字母来表示。

二、向量叉乘的定义向量的叉乘又称为向量积或叉积，它是一个向量运算。

对于平面上的两个向量A和B，它们的叉乘结果记作A × B，读作"向量A叉乘向量B"。

向量的叉乘运算满足以下性质：1. 叉乘的结果是一个向量而不是一个标量；2. 叉乘的结果与被乘向量的顺序有关，即A × B ≠ B × A；3. 叉乘满足右手法则，即叉乘的结果的方向垂直于A和B所在的平面，方向按照右手的握法确定。

三、向量叉乘的计算方法平面上的向量A = (x1, y1) 和向量B = (x2, y2) 的叉乘结果记作A ×B = (0, 0, x1y2 - x2y1)，也可以表示成向量的行列式形式：A × B = |i j k ||x1 y1 0 ||x2 y2 0 |其中i, j, k分别是三维坐标系的单位向量，右手法则决定了它们的方向。

四、向量叉乘的几何意义向量叉乘的几何意义主要体现在以下几个方面：1. 叉乘结果的大小表示平行四边形的面积：向量A和向量B的叉乘结果的大小等于以这两个向量为邻边的平行四边形的面积。

这个几何意义在计算几何学和物理学中非常重要，可以用于计算面积、体积以及描述物体的运动等。

2. 叉乘结果的方向垂直于两个向量所在的平面：向量A和向量B的叉乘结果的方向与这两个向量所在的平面垂直，并且遵循右手法则确定其方向。