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等比数列概念
等比数列
一般地，如果一个数列从第2项起，每一 项与它的前一项的 比 等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等比数列 ，这个常数叫 做等比数列的公比（q）。
等差数列
一般地，如果一个数列从第2项起，每一 项与它的前一项的 差 等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等差数列 ，这个常数叫 做等差数列的公差（d）。
例2：在等比数列{an}中，a3=20 ,q=2 ,求a6 ,an
解： =a q2=4a =20 a3 1 1
所以 a1=5
a6=a1
q5=5×32=160
n1
a q 8 a
6 3 3
a3=a1q2 , a6=a1q5 an=a1qn-1
所以an a1q
想一想
5 2 .
n1
a6=8×20=160
a q a
n 3 n 3
2
n 3
还有其他方法吗
an=20×2n-3=5×2n
课堂互动
1 4 ，求它的第1项； (1)一个等比数列的第5项是 ,公比是 9 3
解：设它的第一项是 a1，则由题意得
1 51 4 a1 ( ) 3 9
解得，
a1 36
答：它的第一项是36 .
（2）一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项. 解：设它的第一项是 a1，公比是 q ，则由题意得 a1q 10 ， a1q 2 20 解得， a1 5 ， q 2 a4 a1q3 40 因此 答：它的第一项是5，第4项是40.
旧知回顾
名称 概念 常数 性质 通项 通项 变形 等差数列 从第2项起,每一项与它前 一项的差等同一个常数 公差(d) d可正可负,且可以为零
an a1 (n 1)d
a n a k (n k )d
(n, k N )
*
创设情景,引入新课
（1）“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) (2) (3) (4) (5) 1，3，9，27，81，…
1 1 1 1 , , , , 2 4 8 16
是,公比 q=3
1 是,公比 q= 2
5，5，5，5，5，5，… 1，-1，1，-1，1，… 思考：在数列 1，0，1，0，1，…
是,公比 q=1 是,公 比q= -1 不是等比数列 不是等比数列
等比数列的通项公式
等比数列 an ，首项为 a1,公比为q,则通项公式为
当q=1时，这是 一个常函数。
an 0
an a1 q
n 1
变形结论:
在等差数列 an 中
an am (n m)d
(n, m N * )
试问：在等比数列 an 中，如果知道 am 和公 比q，能否求 an ？如果能，请写出表达式。
其数学表达式：
an q ( n 2) an 1
或
an 1 * q(n N ) an
变形结论:
在等差数列 an 中
an am (n m)d
(n, m N * )
试问：在等比数列 an 中，如果知道 am 和公 比q，能否求 an ？如果能，请写出表达式。
6
7
8
9
10
n
10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0
an
等比数列的图象
（2）数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，… 通项
an 1 (1)
n1
●
1 2
●
3 4
●
5 6
●
7 8
●
9 10 n
●
●
●
●
●
思考：试写出下面等比数列的通项公式 (1)2，4，8，16，32，64，… (2) 1，-1，1，-1，1，… (3)-1，3，-9，27，-81，…
(n, m N * )
试问：在等比数列 an 中，如果知道 am 和公 比q，能否求 an ？如果能，请写出表达式。
an amq
n m
(n, m N )
*
注意：
1. 公比是等比数列从第2项起，每一项 与前一项的比，不能颠倒。
2.等比数列的每一项都不为0，即an≠0。 3.公比不为0，即q≠0。 4.非零的常数列一定是等比数列
a0
时,只是等差数列 而不是等比数列.
2、 当q>0，各项与首项同号
当q<0，各项符号正负相间
注意：
1. 公比是等比数列从第2项起，每一项 与前一项的比，不能颠倒。
2.等比数列的每一项都不为0，即an≠0。 3.公比不为0，即q≠0。 4.非零的常数列一定是等比数列，同时也是 常数列。
课堂互动
其数学表达式：
an q ( n 2) an 1
或
an 1 * q(n N ) an
等比数列的通项公式
等比数列 an ，首项为 a1,公比为q,则通项公式为
当q=1时，这是 一个常函数。
an 0
an a1 q
n 1
变形结论:
在等差数列 an 中
an am (n m)d
课堂巩固练习
练习1：在等比数列{an}中：
(1)已知a1 2, q 3, an 162, 求n; 1 (2)已知a1 3, q ，求a5； 2 1 1 (3)已知a9 , q , 求a1； 9 3 (4)已知a1 2, a5 8, 求q
对于通项公式an a qn1来说，有a , q , an , n四个量， 1 1 可以知三求一
a=4或a=-4
a 8 （）根据题意，得 解得 解： 1 2 a （）根据题意，得 2
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列， 那么G叫做a与b的等比中项。
c b - 4 b 1 2 c c b
解得
b 2 c 1
G ab
练习
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后组成的新的三个 数就会成为一个等比数列： （1）1，±3 9 ， （3）-12， ，-3 ±6 （2）-1， ±2 ，-4 （4）1，±1 ，1
方法一:叠乘法
a2 q a1
a3 q a2 a4 q a3 an q an 1
… …
方法二:归纳法
Байду номын сангаасa2 a1q
(n-1)个 式子
a3 a2 q (a1q)q 2 a1q
a4 a3q (a1q )q
2
a1q
3
… …
n 1
an n 1 q a1
an a1q
常数
性质
通项 通项 变形
an a1 q n k an akq
n 1
(n, k N )
*
an a1 (n 1)d a n a k (n k )d *
(n, k N )
第三课时
等比数列定义
一般的，如果一个数列从第2项起，每一 项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列 就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公 比，公比通常用字母q表示。 (q≠0）
典型例题
例1 一个等比数列的第3项与第4项分别 是12与18,求它的第1项与第2项.
解：设这个等比数列的第1项是
a
a q 12 a q 18
2 1 3 1
1
,公比是q ，那么
解得， 因此
3 q 2
2 1
16 ， a 3
1
16 答：这个数列的第1项与第2项分别是 与 8. 3
16 3 a aq 8 3 2
0.1毫米= 0.1 ×10
-3
米
厚度 = =439804651.1 米
42 -3 2 ×0.1 ×10
月球距离地球平均为384401000米
以上两个实例所包含的数学问题:
1 1 1 1 (1) 1 ， ， ， ， ，… 4 8 2 16
(2) 1 ，2 ，4 ，8 ，16 ，32 ，…
分析：
从第2项起,每一项它前一项的比都等于_ 同一个常数__
所以，如果an+1=anq(n∈N，q为常数），数列 {an}不一定是等比数列。
思考：等比数列中
1、公比q为什么不能等于０,数列中的任意一项 都不能为0， n 0 ， 那q能不能等于1？ a
(1) 5，5，5，5，5，5，…
q=1
（2)、 a，a，a，a，a，…； q=1
a0
时,既是等差数列 又是等比数列;
方法二:(归纳法)
(n-1)个 式子
a1 2d
(a1 d ) d
a4 a3 d (a1 2d ) d
a1 3d
an a1 (n 1)d
an a1 (n 1)d
… …
an q n 2 等比数列通项公式的推导： n 1 a
an amq
n m
(n, m N )
*
等比数列通项公式的变形
已知等比数列的公比为q,第m项为 am ,求 an .
解：由等比数列的通项公式可知 an a1q n 1 am a1q m 1
an 两式相除，得 q n m am
an amq
nm
试比较 a n =a1qn-1 与an amqnm
1 1 1 1 (1) 1 ， ， ， ， ，… 4 8 2 16
（2）把一张纸连续对折 5 次，试列出每 次对折后纸的层数
(2) 1 ，2 ，4 ，8 ，16 ，32 ，…
（2） 一位数学家说过：你如果能将一张 纸对折42次，我就能顺着它在今天晚上爬 上月球。
