海淀区上学期初二数学期中考试试题及答案解析

2019-2020学年北京海淀区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）符合题意的选项只有一个1．（3分）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（）A．B．C．D．2．（3分）等腰三角形一边长等于5，一边长等于10，它的周长是（）A．20B．25C．20或25D．153．（3分）如图，在△ABC中，BC边上的高为（）A．BE B．AE C．BF D．CF4．（3分）如图，盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（）A．两点之间，线段最短B．三角形的稳定性C．长方形的四个角都是直角D．四边形的稳定性5．（3分）如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（）A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC＝ODC．∠OPC＝∠OPD D．PC＝PD6．（3分）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，P为边AB上的一个动点（不与顶点A重合），则∠BPC的值可能是（）A．135°B．85°C．50°D．40°8．（3分）在课堂上，张老师布置了一道画图题：画一个Rt△ABC，使∠B＝90°，它的两条边分别等于两条已知线段．小刘和小赵同学先画出了∠MBN＝90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示．那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是（）A．SAS，HL B．HL，SAS C．SAS，AAS D．AAS，HL 9．（3分）在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（）A．△ABC的重心处B．AD的中点处C．A点处D．D点处10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC 交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：①EF＝BE+CF；②∠BGC＝90°+∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．其中正确的结论有（）A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为．12．（3分）一个多边形的每个外角都等于40°，则它的内角和是°．13．（3分）如图，一副三角板△AOC和△BCD如图摆放，则∠AOB＝．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，将AB边沿AD折叠，发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上，则∠C＝．15．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE是∠BAC的平分线，点E到AB的距离等于3cm，则CF＝cm．16．（3分）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰直角三角形，则符合条件的点C有个．三、解答题（本题共52分，17、18、21题5分，25题7分，其余题目各6分）17．（5分）已知：如图∠B＝40°，∠B＝∠BAD，∠C＝∠ADC，求∠DAC的度数．18．（5分）已知：如图，BC∥EF，点C，点F在AD上，AF＝DC，BC＝EF．求证：AB＝DE．19．（6分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'（2）写出A′、B′、C′的坐标（直接写出答案）A'；B'；C'；（3）写出△A'B'C'的面积为．（直接写出答案）20．（6分）已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．①在射线BM上作一点C，使AC＝AB；②作∠ABM的角平分线交AC于D点；③在射线CM上作一点E，使CE＝CD，连接DE．（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明．21．（5分）如图，A，B分别为CD，CE的中点，AE⊥CD于点A，BD⊥CE于点B．求∠AEC的度数．22．（6分）两个大小不同的等腰直角三角形三角板，如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，点B，C，E在同一条直线上，连接DC．（1）请找出图②中的全等三角形，并给予证明．（说明：结论中不得含有未标识的字母）（2）证明：DC⊥BE．23．（6分）在△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝（2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．24．（6分）（1）阅读理解：我们知道，只用直尺和圆规不能解决的三个经典的希腊问题之一是三等分任意角，但是这个任务可以借助如图1所示的一边上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角顶点为P，“宽臂”的宽度＝PQ＝QR＝RS，（这个条件很重要哦！）勾尺的一边MN满足M，N，Q 三点共线（所以PQ⊥MN）．下面以三等分∠ABC为例说明利用勾尺三等分锐角的过程：第一步：画直线DE使DE∥BC，且这两条平行线的距离等于PQ；第二步：移动勾尺到合适位置，使其顶点P落在DE上，使勾尺的MN边经过点B，同时让点R落在∠ABC的BA边上；第三步：标记此时点Q和点P所在位置，作射线BQ和射线BP．请完成第三步操作，图中∠ABC的三等分线是射线、．（2）在（1）的条件下补全三等分∠ABC的主要证明过程：∵，BQ⊥PR，∴BP＝BR．（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）∴∠＝∠．∵PQ⊥MN，PT⊥BC，PT＝PQ，∴∠＝∠．（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上）∴∠＝∠＝∠．（3）在（1）的条件下探究：是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请在图2中∠ABC的外部画出（无需写画法，保留画图痕迹即可）．25．（7分）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H 为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN＝CD；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．2019-2020学年北京海淀区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）符合题意的选项只有一个1．（3分）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（3分）等腰三角形一边长等于5，一边长等于10，它的周长是（）A．20B．25C．20或25D．15【分析】此题先要分类讨论，已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于10，先根据三角形的三边关系判定能否组成三角形，若能则求出其周长．【解答】解：当5为腰，10为底时，∵5+5＝10，∴不能构成三角形；当腰为10时，∵5+10＞10，∴能构成三角形，∴等腰三角形的周长为：10+10+5＝25．故选：B．【点评】此题考查了等腰三角形的基本性质及分类讨论的思想方法，另外求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．3．（3分）如图，在△ABC中，BC边上的高为（）A．BE B．AE C．BF D．CF【分析】根据三角形的高线的定义解答．【解答】解：根据高的定义，AE为△ABC中BC边上的高．故选：B．【点评】本题主要考查了三角形的高的定义，熟记概念是解题的关键．4．（3分）如图，盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（）A．两点之间，线段最短B．三角形的稳定性C．长方形的四个角都是直角D．四边形的稳定性【分析】在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，据此即可判断．【解答】解：在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，利用了三角形的稳定性．故选：B．【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．5．（3分）如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（）A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC＝ODC．∠OPC＝∠OPD D．PC＝PD【分析】要得到△POC≌△POD，现有的条件为有一对角相等，一条公共边，缺少角，或着是边，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．于是答案可得．【解答】解：A．PC⊥OA，PD⊥OB得出∠PCO＝∠PDO＝90°，根据AAS判定定理成立，B．OC＝OD，根据SAS判定定理成立，C．∠OPC＝∠OPD，根据ASA判定定理成立，D．PC＝PD，根据SSA无判定定理不成立，故选：D．【点评】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．6．（3分）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°【分析】根据三角形的内角和定理列式求出∠BAC，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE＝∠BAC，然后根据∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC代入数据进行计算即可得解．【解答】解：∵∠B＝80°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣80°﹣30°＝70°，∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE＝∠BAC＝70°，∴∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC，＝70°﹣35°，＝35°．故选：B．【点评】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，P为边AB上的一个动点（不与顶点A重合），则∠BPC的值可能是（）A．135°B．85°C．50°D．40°【分析】根据等边对等角可得∠B＝∠ACB＝50°，再根据三角形内角和计算出∠A的度数，然后根据三角形内角与外角的关系可得∠BPC＞∠A，进而可得答案．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝50°，∴∠A＝180°﹣50°×2＝80°，∵∠BPC＝∠A+∠ACP，∴∠BPC＞∠A，∴∠BPC＞80°，故选：B．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形两底角相等．8．（3分）在课堂上，张老师布置了一道画图题：画一个Rt△ABC，使∠B＝90°，它的两条边分别等于两条已知线段．小刘和小赵同学先画出了∠MBN＝90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示．那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是（）A．SAS，HL B．HL，SAS C．SAS，AAS D．AAS，HL【分析】分别根据全等三角形的判定定理进行解答即可．【解答】解：∵小刘同学先确定的是直角三角形的两条直角边，∴确定依据是SAS定理；∵小赵同学先确定的是直角三角形的一条直角边和斜边，∴确定依据是HL定理．故选：A．【点评】本题考查的是作图﹣复杂作图，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键．9．（3分）在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（）A．△ABC的重心处B．AD的中点处C．A点处D．D点处【分析】连接BP，根据等边三角形的性质得到AD是BC的垂直平分线，根据三角形的周长公式、两点之间线段最短解答即可．【解答】解：连接BP，∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线，∴PB＝PC，△PCE的周长＝EC+EP+PC＝EC+EP+BP，当B、P、E在同一直线上时，△PCE的周长最小，∵BE为中线，∴点P为△ABC的重心，故选：A．【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC 交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：①EF＝BE+CF；②∠BGC＝90°+∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．其中正确的结论有（）A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④【分析】①根据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G可得出∠EBG＝∠CBG，∠BCG＝∠FCG，再由EF∥BC可知∠CBG＝∠EGB，∠BCG＝∠CGF，故可得出BE＝EG，GF ＝CF，由此可得出结论；②先根据角平分线的性质得出∠GBC+∠GCB＝（∠ABC+∠ACB），再由三角形内角和定理即可得出结论；③根据三角形内心的性质即可得出结论；④连接AG，根据三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴∠EBG＝∠CBG，∠BCG＝∠FCG．∵EF∥BC，∴∠CBG＝∠EGB，∠BCG＝∠CGF，∴∠EBG＝∠EGB，∠FCG＝∠CGF，∴BE＝EG，GF＝CF，∴EF＝EG+GF＝BE+CF，故本小题正确；②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴∠GBC+∠GCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），∴∠BGC＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，故本小题正确；③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴点G是△ABC的内心，∴点G到△ABC各边的距离相等，故本小题正确；④连接AG，∵点G是△ABC的内心，GD＝m，AE+AF＝n，∴S△AEF＝AE•GD+AF•GD＝（AE+AF）•GD＝nm，故本小题正确．故选：D．【点评】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知角平分线的性质、三角形内角和定理及三角形内心的性质是解答此题的关键．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为（2，5）．【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接得到答案．【解答】解：点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为：（2，5），故答案为：（2，5）．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．12．（3分）一个多边形的每个外角都等于40°，则它的内角和是1260°．【分析】由一个多边形的每个外角都等于40°，根据n边形的外角和为360°计算出多边形的边数n，然后根据n边形的内角和定理计算即可．【解答】解：设这个多边形是n边形，则40°×n＝360°，解得n＝9．这个多边形的内角和为（9﹣2）×180°＝1260°．答：这个多边形的内角和为1260°．故答案为：1260．【点评】本题考查了多边形的内角和外角，n边形的内角和定理：n边形的内角和＝（n ﹣2）•180°；注意熟记n边形的外角和为360°．13．（3分）如图，一副三角板△AOC和△BCD如图摆放，则∠AOB＝165°．【分析】根据邻补角求出∠ADO的度数，再利用外角的性质，即可解答．【解答】解：∵∠BDC＝60°，∴∠ADO＝180°﹣∠BDC＝120°，∴∠OAD＝45°，∴∠AOB＝∠OAD+∠ADO＝165°．故答案为：165°．【点评】本题考查了三角形外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．充分利用三角板中的特殊角进行计算．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，将AB边沿AD折叠，发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上，则∠C＝30°．【分析】由折叠的性质可知∠B＝∠AEB，因为E点在AC的垂直平分线上，故EA＝EC，可得∠EAC＝∠C，根据外角的性质得∠B＝∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，在Rt△ABC中，∠B+∠C＝90°，由此可求∠C．【解答】解：由折叠的性质，得∠B＝∠AEB，∵E点在AC的垂直平分线上，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，由外角的性质，可知∠B＝∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，在Rt△ABC中，∠B+∠C＝90°，即2∠C+∠C＝90°，解得∠C＝30°．故本题答案为：30°．【点评】本题考查了折叠的性质，线段垂直平分线的性质．关键是把条件集中到直角三角形中求解．15．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE是∠BAC的平分线，点E到AB的距离等于3cm，则CF＝3cm．【分析】由角平分线的性质易得CE＝点E到AB的距离等于3cm，需求CF，根据等角的余角相等可得∠CEF＝∠CFE，∴CF＝CE＝3cm．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE是∠BAC的平分线，∴CE＝点E到AB的距离＝3cm，∠BAE＝∠CAE，∵∠AEC+∠CAE＝90°，∠AFD+∠BAE＝90°，∴∠AEC＝∠AFD，∵∠CFE＝∠AFD，∴∠CEF＝∠CFE，∴CF＝CE＝3cm．故答案为：3．【点评】此题主要考查角平分线的性质和等角对等边，注意利用直角三角形的有关性质．16．（3分）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰直角三角形，则符合条件的点C有6个．【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．【解答】解：如上图：分情况讨论①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有2个；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故答案为：6【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．三、解答题（本题共52分，17、18、21题5分，25题7分，其余题目各6分）17．（5分）已知：如图∠B＝40°，∠B＝∠BAD，∠C＝∠ADC，求∠DAC的度数．【分析】直接利用三角形的外角的性质得出∠ADC＝80°，进而利用三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵∠B＝40°，∴∠B＝∠BAD＝40°，∴∠ADC＝80°，∴∠C＝∠ADC＝80°，∴∠DAC＝180°﹣80°﹣80°＝20°．【点评】此题主要考查了三角形的外角的性质以及三角形内角和定理，正确应用三角形外角和定理是解题关键．18．（5分）已知：如图，BC∥EF，点C，点F在AD上，AF＝DC，BC＝EF．求证：AB＝DE．【分析】由平行线的性质得出∠ACB＝∠DFE，证出AC＝DF，证明△ABC≌△DEF（SAS），即可得出AB＝DE．【解答】证明：∵BC∥EF，∴∠ACB＝∠DFE，∵AF＝DC，∴AC＝DF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴AB＝DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定由性质、平行线的性质；证明三角形全等是解题的关键．19．（6分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'（2）写出A′、B′、C′的坐标（直接写出答案）A'（3，2）；B'（4，﹣3）；C'（1，﹣1）；（3）写出△A'B'C'的面积为 6.5．（直接写出答案）【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'；（2）依据△A'B'C'各顶点的位置，即可得出A′、B′、C′的坐标；（3）依据割补法进行计算，即可得到△A'B'C'的面积．【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求；（2）由图可得，A′（3，2）、B′（4，﹣3）、C′（1，﹣1）；故答案为：（3，2）、（4，﹣3）、（1，﹣1）；（3）△A'B'C'的面积为：3×5﹣×2×3﹣×1×5﹣×2×3＝15﹣3﹣2.5﹣3＝6.5．故答案为：6.5．【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．20．（6分）已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．①在射线BM上作一点C，使AC＝AB；②作∠ABM的角平分线交AC于D点；③在射线CM上作一点E，使CE＝CD，连接DE．（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明．【分析】（1）①以A为圆心，AB长为半径画弧交BC于C；②根据角平分线的作法作∠ABM的角平分线；③以C为圆心CD长为半径画弧交CM于E，再连接ED即可；（2）根据角平分线的性质可得∠1＝∠ABC，根据等边对等角可得∠ABC＝∠4，∠2＝∠3，然后再证明∠1＝∠3，根据等角对等边可得BD＝DE．【解答】解：（1）如图所示：（2）BD＝DE，证明：∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠ABC．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠4．∴∠1＝∠4．∵CE＝CD，∴∠2＝∠3．∵∠4＝∠2+∠3，∴∠3＝∠4．∴∠1＝∠3．∴BD＝DE．【点评】此题主要考查了复杂作图，以及等腰三角形的性质，关键是正确画出图形，掌握等边对等角和等角对等边．21．（5分）如图，A，B分别为CD，CE的中点，AE⊥CD于点A，BD⊥CE于点B．求∠AEC的度数．【分析】根据题意得出△CDE为等边三角形，进而得出∠AEC的度数．【解答】解：连接DE∵A，B分别为CD，CE的中点，AE⊥CD于点A，BD⊥CE于点B，∴CD＝CE＝DE，∴△CDE为等边三角形．∴∠C＝60°．∴∠AEC＝90°﹣∠C＝30°．【点评】此题主要考查了等边三角形的判定，正确得出△CDE为等边三角形是解题关键．22．（6分）两个大小不同的等腰直角三角形三角板，如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，点B，C，E在同一条直线上，连接DC．（1）请找出图②中的全等三角形，并给予证明．（说明：结论中不得含有未标识的字母）（2）证明：DC⊥BE．【分析】根据等腰直角三角形的性质利用SAS判定△ABE≌△ACD；因为全等三角形的对应角相等，所以∠ACD＝∠ABE＝45°，已知∠ACB＝45°，所以可得到∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，即DC⊥BE．【解答】解：（1）△ABE≌△ACD，证明：∵AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD，∴△ABE≌△ACD（SAS）；（2）由△ABE≌△ACD得∠ACD＝∠ABE＝45°，又∵∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，∴DC⊥BE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法以及性质是并准确确定出全等三角形是解题的关键．23．（6分）在△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝15°（2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝20°（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：∠EDC＝∠BAD（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．【分析】（1）等腰三角形三线合一，所以∠DAE＝30°，又因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝75°，所以∠DEC＝15°．（2）同理，易证∠ADE＝70°，所以∠DEC＝20°．（3）通过（1）（2）题的结论可知，∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC＝∠BAD）．（4）由于AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED，根据已知，易证∠BAD+∠B＝2∠EDC+∠C，而B＝∠C，所以∠BAD＝2∠EDC．【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝30°，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠EDC＝15°．（2）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝40°，∴∠BAD＝∠CAD＝40°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝70°，∴∠EDC＝20°．（3）∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC＝∠BAD）（4）仍成立，理由如下∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠BAD+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠EDC＝（∠EDC+∠C）+∠EDC ＝2∠EDC+∠C又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C∴∠BAD＝2∠EDC．故分别填15°，20°，∠EDC＝∠BAD【点评】本题考查了等腰三角形三线合一这一性质，即等腰三角形底边上中线、高线以及顶角的平分线三线合一．得到角之间的关系是正确解答本题的关键．24．（6分）（1）阅读理解：我们知道，只用直尺和圆规不能解决的三个经典的希腊问题之一是三等分任意角，但是这个任务可以借助如图1所示的一边上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角顶点为P，“宽臂”的宽度＝PQ＝QR＝RS，（这个条件很重要哦！）勾尺的一边MN满足M，N，Q 三点共线（所以PQ⊥MN）．下面以三等分∠ABC为例说明利用勾尺三等分锐角的过程：第一步：画直线DE使DE∥BC，且这两条平行线的距离等于PQ；第二步：移动勾尺到合适位置，使其顶点P落在DE上，使勾尺的MN边经过点B，同时让点R落在∠ABC的BA边上；第三步：标记此时点Q和点P所在位置，作射线BQ和射线BP．请完成第三步操作，图中∠ABC的三等分线是射线BP、BQ．（2）在（1）的条件下补全三等分∠ABC的主要证明过程：∵PQ＝QR，BQ⊥PR，∴BP＝BR．（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）∴∠ABQ＝∠PBQ．∵PQ⊥MN，PT⊥BC，PT＝PQ，∴∠PBQ＝∠PBC．（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上）∴∠ABQ＝∠PBQ＝∠PBC．（3）在（1）的条件下探究：是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请在图2中∠ABC的外部画出（无需写画法，保留画图痕迹即可）．【分析】（1）根据图形可知BP、BQ是角的三等分线；（2）根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等和角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上结合图形填空即可；（3）根据阅读材料进行判断并作出图形．【解答】解：（1）∠ABC的三等分线是射线是BP、BQ；（2）∵PQ＝QR，BQ⊥PR，∴BP＝BR．（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）∴∠ABQ＝∠PBQ．∵PQ⊥MN，PT⊥BC，PT＝PQ，∴∠PBQ＝∠PBC．（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上）∴∠ABQ＝∠PBQ＝∠PBC．故答案为：（1）BP，BQ；（2）PQ＝QR，ABQ，PBQ，PBQ，ABQ，PBQ，PBC；（3）在（1）的条件下探究：∠ABS＝∠ABS不成立，在∠ABC外部所画∠ABV＝∠ABC如图．【点评】本题考查了角平分线的性质，主要利用了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，读懂题目信息是解题的关键．25．（7分）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H 为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN＝CD；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．【分析】（1）连接ND，先由已知条件证明DN＝DC，再证明BN＝DN即可；（2）当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD＝2CE，过点C作CN'⊥AO 交AB于N'．过点C作CG∥AB交直线l于G，再证明△BNM≌△CGM问题得证；（3）BN、CE、CD之间的等量关系要分三种情况讨论：①当点M在线段BC上时；②当点M在BC的延长线上时；③当点M在CB的延长线上时；由（2）即可得出结论．【解答】（1）证明：连接ND，如图2所示：∵AO平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵直线l⊥AO于H，∴∠AHN＝∠AHE＝90°，∴∠ANH＝∠AEH，∴AN＝AC，∴NH＝CH，∴AH是线段NC的中垂线，∴DN＝DC，∴∠DNH＝∠DCH，∴∠AND＝∠ACB，∵∠AND＝∠B+∠BDN，∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠BDN，∴BN＝DN，∴BN＝DC；（2）解：当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD＝2CE，理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，过点C作CG∥AB交直线l于点G，如图3所示：由（1）得：BN'＝CD，AN'＝AC，AN＝AE，∴∠ANE＝∠AEN，NN'＝CE，∴∠ANE＝∠CGE，∠B＝∠BCG，∴∠CGE＝∠AEN，∴CG＝CE，∵M是BC中点，∴BM＝CM，在△BNM和△CGM中，，∴△BNM≌△CGM（ASA），∴BN＝CG，∴BN＝CE，∴CD＝BN'＝NN'+BN＝2CE；（3）解：BN、CE、CD之间的等量关系：当点M在线段BC上时，CD＝BN+CE；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图3所示：由（2）得：NN'＝CE，CD＝BN'＝BN+CE；当点M在BC的延长线上时，CD＝BN﹣CE；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图4所示：同（2）得：NN'＝CE，CD＝BN'＝BN﹣CE；当点M在CB的延长线上时，CD＝CE﹣BN；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图5所示：同（2）得：NN'＝CE，CD＝BN'＝CE﹣BN．【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．。

海淀区2019-2020年初二上数学期中考试试题及答案解析 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（每题3分，共30分）1．下列说法正确的是……（）A ．0的平方根是0B ．1的平方根是1C ．－1的平方根是－1D ．()21-的平方根是－12．在实数范围内,下列各式一定不成立的有( )(1)21a +=0; (2)1a -+a=0; (3)23a -+32a -=0; (4)12a -=0. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3．如图是经过轴对称变换后所得的图形，与原图形相比A ．形状没有改变，大小没有改变B ．形状没有改变，大小有改变C ．形状有改变，大小没有改变D ．形状有改变，大小有改变4．下列图形：其中所有轴对称图形的对称轴条数之和为A ．13B ．11C ．10D ．85．如图所示，△ABC ≌△CDA ，且AB ＝CD ，则下列结论错误的是（ ）A. ∠1＝∠2B. AC ＝CAC. ∠B ＝∠DD. AC ＝BC6．如图，点P 为∠AOB 内一点，分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连接P 1P 2交OA 于M ，交OB 于N ，若P 1P 2=6，则△PMN 的周长为（ ） A 、4 B 、5 C 、6 D 、77．下列说法中正确的是（）A．绝对值最小的实数是零;B．两个无理数的和、差、积、商仍是无理数;C．实数a的倒数是1 a ;D．一个数平方根和它本身相等，这个数是0或18．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数（）（A）1个（B）3个（C）4个（D）5个9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线BD，CE相交于O点，且BD交AC 于点D，CE交AB于点E.某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE.上述结论一定正确的是( )A．①②③ B．②③④C．①③⑤ D．①③④10．如图所示，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在点C´的位置，则图中的一个等腰直角三角形是（）A. △ADCB. △BDC’C. △ADC´D. 不存在二、填空题（每题3分，共24分）11．实数4的平方根是 ． 12． 点A （－5，－6）与点B （5，－6）关于__________对称。

北京一零一教育集团2023-2024学年第一学期期中练习 初二数学 参考答案 2023.10一、选择题 （本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共24分，每小题3分）11． 9 12．32a b − 13． AC BD =（答案不唯一） 14．5 15．15° 16． 917. 40° 18. 0°＜α≤45°或54°, (54011)°, (3607)°三、解答题（本题共46分，第19—23题，每题5分，24题7分，25题8分，26题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．19．（本题满分5分）解：原式=323222x x x x x x x −−−+=−+当12x =时，原式=0 20. （本题满分5分）证明：∵AB//CD ，∴∠B =∠C ，在△ABE 和△DCF 中，∵{∠A =∠D∠B =∠C BE =CF,∴△ABE ≌△DCF(AAS)，∴AE =DF ．21．（本题满分5分）解：（1）补全的图形如图所示．（2）CD；DOC；等边对等角．22．（本题满分5分）（1）图略（2）（-4，2）（2，3）（2，2）23．（本题满分5分）解：（1）根据题意得∠BAC=70°，∠ABC=40°，∴∠ACB=180°－∠BAC－∠ABC=180°－70°－40°=70°；（2）∵∠BAC=∠ACB=70°，∴BC=AB=75km，∴轮船的速度为75÷5=15（km/h）．24．（本题满分7分）解：（1）∵长方形窗户的长为FH+EH=2a+2b，高为a+2b，∴长方形窗户ABCD的总面积为：(2a+2b)(a+2b)=2a2+4ab+2ab+4b2=2a2+6ab+4b2（2）∵BC=2a+2b如果上面窗户的遮阳帘保持不动，当下面窗户的遮阳帘拉伸至BC的中点处时，则下面遮阳帘的长为12BC=12×(2a+2b)=a+b∴上面窗户遮阳帘的面积为a×2a=2a2下面窗户的遮阳帘的面积为2b×(a+b)=2ab+2b2∴遮阳帘遮住的面积为2a2+2ab+2b2窗户的透光的面积为2a2+6ab+4b2−(2a2+2ab+2b2)=4ab+2b225．（本题满分8分）解（1）①如图②∠ADC=60°−α（2）关系：CE=DE+AE,证明：在EP上截取EF=DE，连接DF.∵点B与点D关于射线AP对称，∴AD=AB,DE=BE,∠DAP=∠BAP=α,∴∠ADB=∠ABD,∠BDE=∠DBE,∴∠ADC=∠ABE=60°−α,∵∠AEC=∠ADC+∠DAP=60°−α+α=60°, ∴∠DEF=∠AEC,∴△DEF为等边三角形.∴∠EDF=60°,∴∠ADF=∠CBE=120°−α,在△ADF和△CBE中，{AD=AB∠ADF=∠CBE DF=BE,∴△ADF≌△CBE(SAS),∴AF=CE,∴CE=AE+EF=AE+ED. （3）30°或75°26．（本题满分6分）（1）12；（2）1(0,)2或(0,50)；（3）452a<<或24a=或39a>。

北京市海淀实验中学八年级第一学期期中练习数学一、选择题（本大题共30分，每小题3分）1.图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】D 【分析】根据轴对称的性质可进行求解．【详解】解：由题意可知该图的对称轴如图所示：由图可知该图形的对称轴有5条；故选D ．【点睛】本题主要考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．2.点(1,2)M 关于y 轴对称的点的坐标为（）A.(1,2)- B.(1,2)-- C.(1,2)- D.(2,1)-【答案】C【分析】根据平面直角坐标系中，点的对称变换特征求解；【详解】解：(1,2)M 关于y 轴对称的点的坐标为(1,2)-故选：C ．【点睛】本题考查点的坐标变换，掌握平面直角坐标系中，点的对称变换口诀“关于谁，谁不变，关于原点都改变”是解题的关键．3.以厘米为单位，下列各组数中，以它们为边能构成三角形的是（）A.3，5，8B.8，8，18C.，1 D.3，40，8【答案】C【分析】根据三角形的三边关系求解即可；【详解】解：A 、358+=，不能构成三角形；不符合题意；B 、881618+=<，不能构成三角形；不符合题意；C 、+=2221，可以构成直角三角形；符合题意；D 、+=<381140，不能构成三角形；不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，勾股定理；熟练掌握三角形的任意两边之和大于第三边是解题的关键．4.下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根据多边形的内角和公式和多边形的外角和等于360︒求解即可；【详解】解：多边形的外角和等于360︒不变；A 、三角形的内角和为：180︒，不符合题意；B 、四边形的内角和为：360︒，符合题意；C 、五边形的内角和为：540︒，不符合题意；D 、六边形的内角和为：720︒，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了多边形的内角和、多边形的外角和；熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键．5.如图，△ABC ≌△FDE ，∠C=40°，∠F=110°，则∠B 等于（）A.20°B.30°C.40°D.150°【答案】B 【详解】∵△ABC ≌△FDE ，∠C =40°，∴∠E =∠C =40°，∵40E ∠=︒，110F ∠=︒∴∠EDF=180°-∠E-∠F=30°∵△ABC ≌△FDE∴∠B =∠EDF=30°故选B.【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的对应角相等，三角形的内角和为180°.6.如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点．若4PA =，则PQ 的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D 【分析】由垂线段最短可知：PQ 的最小值为点P 到射线OM 的垂线段的长度；根据角平分线的性质定理求解即可；【详解】解：当PQ OM ⊥时，PQ 有最小值；∵OP 平分MON ∠，PA ON⊥∴PQ PA ==4故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、垂线段最短；熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．7.如图，经过直线AB 外一点C 作这条直线的垂线，作法如下：（1）任意取一点K ，使点K 和点C 在AB 的两旁．（2）以点C 为圆心，CK 长为半径作弧，交AB 于点D 和E ．（3）分别以点D 和点E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧相交于点F ．（4）作直线CF ．则直线CF 就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定．．．是等腰三角形的为（）A.△CDFB.△CDKC.△CDED.△DEF【答案】A 【分析】根据作图过程和等腰三角形的定义进行分析即可.【详解】由作图过程可得：CD=CD,DF=EF,CD=CK所以，是等腰三角形的有△CDK ，△CDE ，△DEF ；△CDF 不一定是等腰三角形.故选：A【点睛】考核知识点：等腰三角形.理解等腰三角形的定义是关键.8.一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形【答案】B【详解】根据三角形的内角和为180°，可知最大角为90°，因式这个三角形是直角三角形．故选B．9.如图，由若干个正方形拼成的图形，其中与△ABC全等的三角形是（）A.△AEGB.△ADFC.△CEGD.△FDG【答案】D【分析】利用勾股定理分别计算出所有三角形的边长，然后根据“SSS”对各选项进行判断．【详解】解：在△ABC中，BC=AC=，AB＝3，在△AEG中，EG=AG＝2，AE=在△ADF中，AD=DF＝3，AF=在△CEG中，EG=CG＝CE=，在△FDG中，DG=，FG=，DF＝3，所以BC＝DG，AC＝FG，AB＝DF，所以△ABC≌△FDG（SSS）．故选D．【点睛】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定，解决本题的关键是要熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定和性质。

2021-2022学年北京市海淀区首都师大附中初二数学第一学期期中试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）2022年冬奥会将在北京举行，中国将是第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）的国家．以下会徽是轴对称图形的是()A．B．C．D．2．（3分）用直角三角板，作ABC∆的高，下列作法正确的是()A．B．C．D．3．（3分）下面各组线段中，能组成三角形的是()A．5，11，6B．8，8，16C．10，5，4D．6，9，144．（3分）已知点(3,2)P-与点Q关于x轴对称，则Q点的坐标为()A．(3,2)--C．(3,2)D．(3,2)-B．(3,2)-5．（3分）三角形中，到三个顶点距离相等的点是()A．三条高线的交点B．三边垂直平分线的交点C．三条角平分线的交点D．三条中线的交点6．（3分）已知图中的两个三角形全等，则α∠等于()A．50︒B．60︒C．70︒D．80︒7．（3分）如图，已知BOP∠与OP上的点C，点A，小临同学现进行如下操作：①以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OB于点D，连接CD；②以点A为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点M；③以点M为圆心，CD长为半径画弧，交第2步中所画的弧于点E，连接ME．下列结论不能由上述操作结果得出的是()A．ACD EAPCD ME∠=∠D．//∠=∠B．//OB AE C．ODC AEM8．（3分）如图的44+最短，则点⨯的正方形网格中，有A、B两点，在直线a上求一点P，使PA PB P应选在()A．C点B．D点C．E点D．F点9．（3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC CD DE∠的度数是()∠=︒，则CDEBDE==，点D、E可在槽中滑动．若75A．60︒B．65︒C．75︒D．80︒10．（3分）如图，将Rt ABC∆过点B折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，折痕为BD，现有以下结论：①DE AB⊥；②BC BE=；③BD平分ABC∠；④BCE∆是等边三角形；⑤BD垂直平分EC；其中正确的有()A．①②③B．②③C．①②③④D．①②③⑤二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（4分）一个多边形的内角和是720︒，这个多边形的边数是．12．（4分）如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背后加钉了一根木条，这种做法依据的数学原理是．13．（4分）如图，DE AB⊥，25∠的度数为．∠=︒，则ACB∠=︒，45AD14．（4分）如图，在Rt ABC∠=︒，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交ABA∠=︒．50∆中．90ACB于点D，连接CD．那么ACD∠的度数是．15．（4分）如图，15EC=，则EF=．⊥，若2∠=∠=︒，//AOE BOEEF OB，EC OB16．（4分）如图，ABC ∆为等边三角形，点E 在AB 上，点F 在AC 上，AE CF =，CE 与BF 相交于点P ，则EPB ∠= ．17．（4分）如图，ABC ∆中，AB AC =，AD 平分BAC ∠，点E 是线段BC 延长线上一点，连接AE ，点C 在AE 的垂直平分线上，若12DE cm =，则ABC ∆的周长是 ．18．（4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰ABC ∆中，80A ∠=︒，则它的特征值k = ．三、解答题（本大题共6小题，共38分）19．（6分）如图，已知：D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE FE =，//FC AB ．求证：AE CE =． 证明： ，12∴∠=∠．在AED ∆与CEF ∆中，1234(??)∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩，AED CEF ∴∆≅∆．( )AE CE ∴=．( )20．（6分）两个小区A 、B 与两条马路公路1l ，2l 位置如图所示，为方便市民接种新冠肺炎疫苗，相关部门需在C 处修建一个临时疫苗接种站，要求接种站到两个小区A 、B 的距离必须相等，到两条马路1l ，2l 的距离也必须相等，那么点C 应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C ．21．（6分）已知，如图，AB AC =，BD CD =，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，求证：DE DF =．22．（6分）如图，已知：OAB ∆，EOF ∆都是等腰直角三角形，90AOB ∠=︒，中，90EOF ∠=︒，连接AE 、BF ．求证：（1）AE BF =；（2）AE BF ⊥．23．（6分）在学习实数时，我们知道了正方形对角线的长度是边长的2倍，所以等腰直角三角形的底边长是腰长的2倍．例如，图1中的四边形ABCD 是正方形，ABC ∆是等腰直角三角形，则2AC AB =． 小玲遇到这样一个问题：如图2，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，45BAC ∠=︒，22BC =，AD BC ⊥于点D ，求AD 的长．小玲发现：如图3，分别以AB ，AC 为对称轴，分别作出ABD ∆，ACD ∆的轴对称图形，点D 的对称点分别为E ，F ，延长EB ，FC 交于点G ，可以得到正方形AEGF ，根据轴对称图形的性质和正方形四条边都相等就能求出AD 的长，请直接写出：BD 的长为 ，BG 的长为 ，AD 的长为 ； 参考小玲思考问题的方法，解决问题：如图4，在平面直角坐标系xOy 中，点(3,0)A ，(0,4)B ，5AB =，点P 是OAB ∆外角的角平分线AP 和BP 的交点，直接写出点P 的坐标为 ．24．（8分）如图1，共顶点的两个三角形ABC ∆，△AB C ''，若AB AB ='，AC AC ='，且180BAC B AC ∠+∠''=︒，我们称ABC ∆与△AB C ''互为“顶补三角形”． （1）已知ABC ∆与ADE ∆互为“顶补三角形”， AF 是ABC ∆的中线．①如图2，若ADE ∆为等边三角形时，直接写出DE 与AF 的数量关系 ；②如图3，若ADE ∆为任意三角形时，上述结论是否仍然成立？请说明理由．③如图3，若ADE ∆为任意三角形，且5ADE S ∆=，则ABC S ∆= ．（2）如图4，四边形ABCD 中，90B C ∠+∠=︒，在平面内是否存在点P ，使PAD ∆与PBC ∆互为“顶补三角形”，若存在，请画出图形，并证明；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．【解答】解：A 、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B 、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C 、是轴对称图形，故此选项符合题意；D 、不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C ．2．【解答】解：A 、B 、C 均不是高线．故选：D ．3．【解答】解：A 、5611+=，∴不能组成三角形，故A 选项错误；B 、8816+=，∴不能组成三角形，故B 选项错误；C 、5410+<，∴不能组成三角形，故C 选项错误；D 、6914+>，∴能组成三角形，故D 选项正确．故选：D ．4．【解答】解：根据轴对称的性质，得点(3,2)P -关于x 轴对称的点的坐标为(3,2)．故选：C ．5．【解答】解：OA OB =， O ∴在线段AB 的垂直平分线上，OA OC =，OB OC =，O ∴在线段AC 的垂直平分上，O 在线段BC 的垂直平分线上，O ∴是ABC ∆三边的垂直平分线的交点，故选：B ．6．【解答】解：两个三角形全等，180506070α∴∠=︒-︒-︒=︒，故选：C ．7．【解答】解：在OCD ∆和AME ∆中，OC AM OD AE CD ME =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()OCD AME SSS ∴∆≅∆，DCO EMA ∴∠=∠，O OAE ∠=∠，ODC AEM ∠=∠．//CD ME ∴，//OB AE ．故B 、C 、D 都可得到．OCD AME ∆≅∆，DCO AME ∴∠=∠，则ACD EAP ∠=∠不一定得出．故选：A ．8．【解答】解：如图，点A '是点A 关于直线a 的对称点，连接A B '，则A B '与直线a 的交点，即为点P ，此时PA PB +最短，A B '与直线a 交于点C ，∴点P 应选C 点．故选：A ．9．【解答】解：OC CD DE ==，O ODC ∴∠=∠，DCE DEC ∠=∠，2DCE O ODC ODC ∴∠=∠+∠=∠，375O OED ODC BDE ∠+∠=∠=∠=︒，25ODC ∴∠=︒，180105CDE ODC BDE ∠+∠=︒-∠=︒，10580CDE ODC ∴∠=︒-∠=︒．故选：D ．10．【解答】解：将Rt ABC ∆过点B 折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处，BCD BED ∴∆≅∆，90BED BCD ∴∠=∠=︒，BC BE =，CBD EBD ∠=∠，DE DC =，DE AB ∴⊥，BD 平分ABC ∠，故①②③正确，DE DC =，BE BC =，BD ∴垂直平分EC ，故⑤正确，ABC ∠不一定等于60︒，BEC ∴∆不一定是等边三角形，故④错误，故选：D ．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．【解答】解：多边形的内角和公式为(2)180n -⋅︒，(2)180720n ∴-⨯︒=︒，解得6n =，∴这个多边形的边数是6．故答案为：6．12．【解答】解：为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背后加钉了一根木条，这种做法依据的数学原理是 三角形具有稳定性，故答案为：三角形具有稳定性．13．【解答】解：DE AB ⊥，90BED ∴∠=︒，45D ∠=︒，18045B BED D ∴∠=︒-∠-∠=︒， 又25A ∠=︒，180()110ACB A B ∠=︒-∠+∠=︒．故答案为：110︒14．【解答】解：在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，50A ∠=︒，40B ∴∠=︒，BC BD =，1(18040)702BCD BDC ∴∠=∠=︒-︒=︒， 907020ACD ∴∠=︒-︒=︒，故答案为：20︒．15．【解答】解：作EG OA ⊥于G ，如图所示：//EF OB ，15AOE BOE ∠=∠=︒15OEF COE ∴∠=∠=︒，2EG CE ==，15AOE ∠=︒，151530EFG ∴∠=︒+︒=︒，24EF EG ∴==．故答案为：4．16．【解答】解：ABC ∆是等边三角形，BC AB ∴=，60A EBC ∠=∠=︒，在BCE ∆与ABF ∆中，BC AB A EBC BE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCE ABF SAS ∴∆≅∆，BCE ABF ∴∠=∠，60PBC PCB PBC ABF ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，即60PBC PCB ∠+∠=︒， 18060120BPC ∴∠=︒-︒=︒．即：120BPC ∠=︒，60BPE ∴∠=︒．故答案为：60︒．17．【解答】解：点C 在AE 的垂直平分线上，AC CE ∴=，AB AC =，AD 平分BAC ∠，BD CD ∴=，AB BD AC CD CE CD DE ∴+=+=+=，12DE cm =，21224AB BC AC AB BD AC CD cm ∴++=+++=⨯=．故答案为：24cm ．18．【解答】解：①当A ∠为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：18080502︒-︒=︒∴特征值808505k ︒==︒ ②当A ∠为底角时，顶角的度数为：180808020︒-︒-︒=︒∴特征值201804k ︒==︒ 综上所述，特征值k 为85或14故答案为85或14三、解答题（本大题共6小题，共38分）19．【解答】证明：//FC AB ，12∴∠=∠，在AED ∆和CEF ∆中，1234DE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AED CEF AAS ∴∆≅∆，AE CE ∴=（全等三角形的对应边相等）． 故答案为：//FC AB ；DE FE =；AAS ；全等三角形的对应边相等．20．【解答】解：如图，点C 即为所求．21．【解答】证明：如图，连接AD ，在ABD ∆和ACD ∆中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABD ACD SSS ∴∆≅∆，BAD CAD ∴∠=∠，又DE AB⊥，DF AC⊥，∴=．DE DF22．【解答】（1）证明：在AEO∆中，∆与BFO∆与Rt EOF∆等腰直角三角形，Rt OABAOE BOE BOF=，90∠=︒-∠=∠，AO OB∴=，OE OF∴∆≅∆，AEO BFO∴=；AE BF（2）证明：延长AE交BF于D，交OB于C，则BCD ACO∠=∠，由（1）知：OAC OBF∠=∠，BDA AOB∴∠=∠=︒，90∴⊥．AE BF23．【解答】解：AB ACBC=，∠=︒，22BAC=，45∴==，BG的长为2，AD的长为222BD DC+；理由是：如图3，BC=⊥，22=，AD BCAB AC2BD DC ∴==， AD BC ⊥，90ADC ADB ∴∠=∠=︒，分别以AB ，AC 为对称轴，分别作出ABD ∆，ACD ∆的轴对称图形，点D 的对称点分别为E ，F ， AD AE AF ∴==，90E ADB ∠=∠=︒，90F ADC ∠=∠=︒，EAB DAB ∠=∠，FAC DAC ∠=∠， 45BAC BAD CAD ∠=∠+∠=︒，454590EAF ∴∠=︒+︒=︒，∴四边形AEGF 是正方形，AE AF FG EG ∴===，90G ∠=︒，设AE AF FG EG x ====，则2BG CG x ==-，在Rt BGC ∆中，由勾股定理得：222(22)(2)(2)x x =-+-，解得：22x =+（负值舍去），即2222BG =+-=，22AD AE ==+，故答案为：2；2；22+；如图4，过点P 分别作PC x ⊥轴于点C ，PD y ⊥轴于点D ，PE AB ⊥于点E ，则90BDO DOC PCO ∠=∠=∠=︒，AP 和BP 是OAB ∆的外角的角平分线，EAP CAP ∴∠=∠，DBP EBP ∠=∠，PC PE PD ==，∴四边形OCPD 是正方形，AC AE =，BD BE =，OC CP PD DO ∴===，(3,0)A ，(0,4)B ，5AB ∴=，12∴+=++=，OC OD OA AB BO∴==，OC OD6∴==，CP PD6∴．(6,6)P故答案为：(6,6)．24．【解答】解：（1）①2=，DE AF证明：ADE∆是等边三角形，∴==，60AD AE DEDAE∠=︒，∆互为“顶补三角形”，ABC∆与ADEBAC∠=︒，∴====，120AB AD AE AC DEBAC∠=︒，=，AF是中线，120AB ACB∠=︒，∴⊥，30AF BCAB AF∴=，2DE AF∴=，2故答案为：2=；DE AF②结论仍然成立，理由如下：如图，延长AF到G，使AF FG=，连接BG，CG，=，AF FG=，BF FC∴四边形ABGC是平行四边形，AC BG，∴=，//BG ACBAC ABG∴∠+∠=︒，180∆互为“顶补三角形”，ABC∆与ADE∴=，AC AEAB AD∠+∠=︒，BAC DAE=，180=，∠=∠，且AB AD∴==，DAE ABGAE AC BG∴∆≅∆，ABG DAE SAS()∴==；2DE AG AF③延长BA到G，使AG AB=，连接CG，ABC ∆与ADE ∆互为“顶补三角形”， AB AD ∴=，AC AE =，且180BAC DAE ∠+∠=︒，AG AD ∴=，180BAC GAC ∠+∠=︒，GAC DAE ∴∠=∠，在ADE ∆和AGC ∆中，AG AD GAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADE AGC SAS ∴∆≅∆，5ADE AGC S S ∆∆∴==，ABC ∆和AGC ∆等底同高，5ABC S ∆∴=．故答案为：5；（2）解：存在，证明：如图，延长CD 交BA 延长线于点Q ，作CD 的垂直平分线EP 交AB 的垂直平分线于点P ，连接CP ，DP ，AP ，BP ，EP 垂直平分CD ，PF 垂直平分AB ，PC PD ∴=，PA PB =，PE CD ⊥，PF AB ⊥，DPE CPE ∴∠=∠，APF BPF ∠=∠，90B C ∠+∠=︒，∴∠=︒，且PE CDQ90⊥，⊥，PF AB∴∠=︒，EPF90APD DPE APF∴∠+∠+∠=︒，90∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+︒，APD BPC APD EPF CPE BPF APD DPE APF90=，=，PA PBAPD BPC∴∠+∠=︒，且PC PD180∴∆与PBCPAD∆互为“顶补三角形”．。

北京一零一中教育集团2023-2024第一学期期中练习初二数学考生须知：1．本试卷共6页，共三道大题，26道小题，满分100分，考试时间90分钟．2．在试卷和答题纸上准确填写班级名称和姓名．3．试卷答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效．4．在答题纸上选择题用2B 铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答．一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的只有一个．1.美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（）A. B.C. D.2.下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A.3，4，8B.5，6，11C.4，4，8D.8，8，83.如图，一副三角板拼成如图所示图形，则BAC ∠的度数为（）A.75︒B.60︒C.105︒D.120︒4.下列计算正确的是（）A.347a a a +=B.3412a a a ⋅=C.333()ab a b = D.632a a a ÷=5.若ABC ∆≌DEF ∆，则根据图中提供的信息，可得出x 的值为（）A.30B.27C.35D.406.如图，在Rt ABC 中，90B Ð=°，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点D ，E ，再分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点G ，若1BG =，4AC =，则ACG 的面积是（）A.2B.3C.4D.57.如图，DE 是ABC ∆的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交AC 于点E ，且8,5AC BC ==，则BEC ∆的周长是（）A.12B.13C.14D.158.下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（）A.(3)(2)2x x x++- B.(3)6x x ++C.23(2)x x ++ D.25x x+9.在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A ，(),0B a ，()(),0C m n n >．若ABC 是等腰直角三角形，且AB BC =，当02a <<时，点C 的横坐标m 的取值范围是（）A.03m << B.23m << C.35m << D.3m >10.如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC ，BE 平分∠ABC ，且AD ，BE 交于点O ，延长AC 至点P ，使CP=CD ，连接BP ，OP ；延长AD 交BP 于点F ．则下列结论：①BP=AD ：②BF=CP ：③AC+CD=AB ：④PO ⊥BE ；⑤BP=2PF ．其中正确的是（）A.①③⑤B.①②③④C.①③④⑤D.①②③④⑤二、填空题（本题共24分，每小题3分）11.若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____．12.计算13a 2•（﹣6ab ）的结果是___．13.如图，BC AD =，要使ABC BAD ≌，需补充一个条件，你补充的条件是________________．14.如图，在△ABC 中，AD 、AE 分别是BC 边上的中线和高，AE ＝6，S △ABD ＝15，则CD ＝_____．15.如图1，已知三角形纸片ABC ，AB=AC ，∠A =50°，将其折叠，如图2，使点A 与点B 重合，折痕为ED ，点E ，D 分别在AB ，AC 上，则∠DBC 的大小为_____．16.如图，在ABC 中，AB BC =，120ABC ∠=︒，D 是AC 边上的点，3DA DB ==，则AC 的长为______．17.如图，AOB ADC △≌△，90AOB ∠=︒，且BC OA ∥．若80OAD ∠=︒，则ABO ∠的度数为______．18.我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”．例如：等腰直角三角形斜边上的中线为该三角形的“等腰线段”．如图，在EFG 中，若2G F ∠=∠，且EFG 有“等腰线段”，则F ∠的度数α的取值范围为______．三、解答题（本题共46分，第19-23题，每题5分，24题7分，25题8分，26题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．19.先化简，再求值：()22(1)1x x x x x --+-，其中12x =20.如图，已知点B 、E 、F 、C 在同一条直线上，∠A =∠D ，BE =CF ，且AB ∥CD ，求证：AE =DF ．21.下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程．已知：∠AOB求作：∠ADC ，使∠ADC ＝2∠AOB作法：如图，①在射线OB 上任取一点C ；②作线段OC 的垂直平分线，交OA 于点D ，交OB 于点E ，连接DC ．所以∠ADC 即为所求的角根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面证明（说明：括号里填写作图依据）证明：∵DE 是线段OC 的垂直平分线，∴OD ＝________（____________）．∴∠AOB ＝_______（_________）．∵∠ADC ＝∠AOB ＋∠DCO ，∴∠ADC ＝2∠AOB ．22.如图，在平面直角坐标系xoy 中，(15)A -，，()10B -，，(43)C -，．（1）在图中作出ABC 关于y 轴的对称图形111A B C △；（2）若以线段AB 为一边作格点△ABD ，使所作的△ABD 与△ABC 全等，则所有满足条件的点D 的坐标是．23.如图，灯塔B 在灯塔A 的正东方向，且75km AB =．灯塔C 在灯塔A 的北偏东20°方向，灯塔C 在灯塔B 的北偏西50°方向．（1）求ACB ∠的度数；（2）一轮船从B 地出发向北偏西50°方向匀速行驶，5h 后到达C 地，求轮船的速度．24.图1是一个长方形窗户ABCD ，它是由上下两个长方形（长方形AEFD 和长方形EBCF ）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a 和2b （即DF a =，2BE b =），其中0a b >>．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形ABCD ）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平向左拉伸2a 至GH ．当下面窗户的遮阳帘水平向右拉伸2b 时，恰好与GH 在同一直线上（即点G 、H 、P 在同一直线上）．（1）求长方形窗户ABCD 的总面积；（用含a 、b 的代数式表示）（2）如果上面窗户的遮阳帘保持图2的位置不动，当下面窗户的遮阳帘拉伸至BC 的中点处时，请通过计算比较窗户的透光面积1S 与被遮阳帘遮住的面积2S 的大小．（3）如果上面窗户的遮阳帘拉伸至23GD AD =，下面窗户的遮阳帘拉伸至25BP BC =处时，窗户的透光面积恰好为长方形窗户ABCD 面积的一半，则此时a b =______．25.ABC 为等边三角形，射线AP 经过点A ，()090BAP αα∠=︒<<︒，作点B 头于射线AP 的对称点D ，连接AD 、CD 交直线AP 于点E ．（1）如图，当060α︒<<︒时①依题意补全图形，并直接写出此时ADC ∠=______（用含α的式子表示）；②用等式表示线段EA 、ED 、EC 的数量关系，并证明；（2）若DBC △为等腰三角形，直接写出α的度数．26.设等腰三角形的底边长为w ，底边上的高长为h ，定义h k w=为等腰三角形的“胖瘦度”，设坐标系内两点()11,P x y ，()22,Q x y ，12x x ≠，12y y ≠，若P ，Q 为等腰三角形的两个顶点，且该等腰三角形的底边与某条坐标轴垂直，则称这个等腰三角形为点P ，Q 的“逐梦三角形”．（1）设ABC 是底边长为2的等腰直角三角形，则ABC 的“胖瘦度”k =______；（2）设()5,0P ，点Q 为y 轴正半轴上一点，若P ，Q 的“逐梦三角形”的“胖瘦度”5k =，直接写出点Q 的坐标：______；（3）以x 轴，y 轴为对称轴的正方形ABCD 的一个顶点为(),A a a ，且点A 在第一象限，点1212,823P a a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，若正方形ABCD 边上不存在．．．点Q 使得P ，Q 的“逐梦三角形”满足5k =且5h ≤，直接写出a 的取值范围：______．北京一零一中教育集团2023-2024第一学期期中练习初二数学一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的只有一个．1.美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】A【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．2.下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A.3，4，8B.5，6，11C.4，4，8D.8，8，8【答案】D【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：A、3+4＜8，不能构成三角形；B、5+6=11，不能构成三角形；C、4+4=8，不能构成三角形；D、8+8＞8，能构成三角形．故选：D．【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．3.如图，一副三角板拼成如图所示图形，则BAC的度数为（）A.75︒B.60︒C.105︒D.120︒【答案】A 【分析】根据一幅三角板各个角的度数，结合三角形的内角和定理，即可求出答案．【详解】解：由题意，得：45,60ABC BCA ∠=︒∠=︒，∴07185ABC BCA BAC ∠∠-∠-==︒︒；故选A ．【点睛】本题考查了角的和差运算．熟记一幅三角板中各个角的度数是解题的关键．4.下列计算正确的是（）A.347a a a += B.3412a a a ⋅= C.333()ab a b = D.632a a a ÷=【答案】C【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘除法则、幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：A 、3a 与4a 不是同类项，不能合并，原计算错误，不合题意；B 、347a a a ⋅=，故错误，不合题意；C 、333()ab a b =，原计算正确，符合题意；D 、633a a a ÷=，原计算错误，不合题意．故选：C ．【点睛】本题考查的是同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解题的关键．5.若ABC ∆≌DEF ∆，则根据图中提供的信息，可得出x 的值为（）A.30B.27C.35D.40【答案】A 【分析】在△ABC 中利用三角形内角和可求得∠A=70°，则可得∠A 和∠D 对应，则EF=BC ，可得到答案．【详解】∵∠B=50°，∠C=60°，∴∠A=70°，∵△ABC ≌△DEF ，∴∠A 和∠D 对应，∴EF=BC=30，∴x=30，故选：A ．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边、对应角相等是解题的关键．6.如图，在Rt ABC 中，90B Ð=°，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点D ，E ，再分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点G ，若1BG =，4AC =，则ACG 的面积是（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【分析】利用基本作图得到AG 平分BAC ∠，利用角平分线的性质得到G 点到AC 的距离为1，然后根据三角形面积公式计算ACG 的面积；【详解】解：由作法得AG 平分BAC ∠，G ∴点到AC 的距离等于BG 的长，即G 点到AC 的距离为1，所以ACG 的面积14122=⨯⨯=；故选：A ．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角平分线的性质．7.如图，DE 是ABC ∆的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交AC 于点E ，且8,5AC BC ==，则BEC ∆的周长是（）A.12B.13C.14D.15【答案】B【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AE BE =，进而得出答案．【详解】解：∵DE 是ABC ∆的边AB 的垂直平分线，∴AE BE =，∵8,5AC BC ==，∴BEC ∆的周长是：13BE EC BC AE EC BC AC BC ++=++=+=．故选B ．【点睛】考核知识点：线段垂直平分线.理解线段垂直平分线性质是关键.8.下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（）A.(3)(2)2x x x++- B.(3)6x x ++C.23(2)x x ++ D.25x x+【答案】D【分析】根据图形的面积分割法计算即可．【详解】A.(3)(2)2x x x ++-，不符合题意；B.(3)6x x ++，不符合题意；C.23(2)x x ++，不符合题意；D.25x x +，符合题意；故选D ．【点睛】本题考查了列代数式表示图形的面积，正确进行图形分割计算是解题的关键．9.在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A ，(),0B a ，()(),0C m n n >．若ABC 是等腰直角三角形，且AB BC =，当02a <<时，点C 的横坐标m 的取值范围是（）A.03m << B.23m << C.35m << D.3m >【答案】C【分析】过点C 作CD x ⊥轴于D ，可证AOB BDC ≌ ，可得2AO BD BO CD n a ＝＝，＝＝＝，即可求解．【详解】解：如图，过点C 作CD x ⊥轴于D ，∵点()0,3A ，∴3AO =，∵ABC 是等腰直角三角形，且AB BC =，∴90ABC AOB BDC ∠︒∠∠＝＝＝，∴90ABO CBD ABO BAO ∠+∠︒∠+∠＝＝，∴BAO CBD ∠∠＝，在AOB 和BDC 中，AOB BDC BAO CBD AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOB BDC AAS ≌（），∴3AO BD BO CD n a ＝＝，＝＝＝，∵02a <<，∵3OD OB BD a m =+=+=，∴35m ＜＜，故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．10.如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC ，BE 平分∠ABC ，且AD ，BE 交于点O ，延长AC 至点P ，使CP=CD ，连接BP ，OP ；延长AD 交BP 于点F ．则下列结论：①BP=AD ：②BF=CP ：③AC+CD=AB ：④PO ⊥BE ；⑤BP=2PF ．其中正确的是（）A.①③⑤B.①②③④C.①③④⑤D.①②③④⑤【答案】C 【分析】根据三角形全等的判定定理与性质，角平分线的定义，垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质逐个分析即可．【详解】∵AC=BC ，∠ACB=∠PCD=90°，CP=CD ，∴()PBC DAC SAS ≅ ，则BP=AD ，故①正确；由PBC DAC ≅ 得∠PBC=∠DAC ，则90BFA BCP PFA ∠=∠=∠=︒，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAF=∠PAF ，BAF PBC ∠=∠∴，假设BF CP =，在BPC △和ABF △中，PBC BAF BCP AFB CP BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BPC ABF AAS ∴≅ ，BC AF ∴=，AC BC = ，AC AF ∴=，在Rt ACD 中，AD AC >，又AF AD DF AD =+> ，AF AD AC ∴>>，与AC AF =相矛盾，则假设不成立，②错误；在APF 与ABF △中，PFA BFA AF AF PAF BAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()APF ABF ASA ≅ ，AB AP AC CP AC CD ∴==+=+，即AC CD AB +=，故③正确；由APF ABF ≅ 得BF=PF ，则2BP BF PF PF =+=，故⑤正确；BF PF = ，AD 平分∠BAC ，∴AF 为BP 的垂直平分线，∴OB=OP ，OBP ∴△为等腰三角形，,90AC BC ACB =∠=︒ ，45BAC ABC ∴∠=∠=︒，又 AD 平分∠BAC ，BE 平分∠ABC ，22.5OBC OAC ∴∠=∠=︒，22.5PBC OAC ∴∠=∠=︒，∴45PBO PBC CBO ∠=∠+∠=︒，OBP ∴△为等腰直角三角形，且90POB ∠=︒，即PO BE ⊥，故④正确；综上，①③④⑤正确，故选：C ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、角平分线的定义、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，能够根据所学综合分析图中的全等三角形是解题关键．二、填空题（本题共24分，每小题3分）11.若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____．【答案】9【详解】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9．故答案为：9．12.计算13a 2•（﹣6ab ）的结果是___．【答案】32a b-【分析】利用单项式乘以单项式的法则计算即可．【详解】∵21a 3•（﹣6ab ）=32a b -，故答案为：32a b -．【点睛】本题考查了单项式的乘法，熟练掌握单项式乘以单项式的法则是解题的关键．13.如图，BC AD =，要使ABC BAD ≌，需补充一个条件，你补充的条件是________________．【答案】AC BD =（答案不唯一）【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．【详解】解：∵BC AD =，AB BA =，∴可以补充的条件为AC BD =，∴()SSS ABC BAD V V ≌．故答案为：AC BD =（答案不唯一）．【点睛】此题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．判定三角形全等的方法有：SSS ，SAS ，AAS ，ASA ，HL (直角三角形)．14.如图，在△ABC 中，AD 、AE 分别是BC 边上的中线和高，AE ＝6，S △ABD ＝15，则CD ＝_____．【答案】5【分析】由利用三角形的面积公式可求得BD 的长，再由中线的定义可得CD =BD ，从而得解．【详解】解：∵S △ABD =15，AE 是BC 边上的高，∴12BD •AE =15，则12×6BD =15，解得：BD =5，∵AD 是BC 边上的中线，∴CD =BD =5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查三角形的中线，三角形的高，解答的关键是由三角形的面积公式求得BD 的长．15.如图1，已知三角形纸片ABC ，AB=AC ，∠A =50°，将其折叠，如图2，使点A 与点B 重合，折痕为ED ，点E ，D 分别在AB ，AC 上，则∠DBC 的大小为_____．【答案】15︒【分析】根据等边对等角的性质，及三角形内角和为180°，解得=65ABC ACB ∠=∠︒，再由折叠性质，解得50ABD A ∠=∠=︒，最后根据角度的和差解题即可．【详解】 AB=AC ，∠A =50°，1(18050)652ABC ACB ∴∠=∠=⨯︒-︒=︒ 折叠，折痕为ED ，50ABD A ∴∠=∠=︒655015DBC ABC ABD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒故答案为：15︒．【点睛】本题考查折叠问题，其中涉及等腰三角形的性质、三角形内角和180°等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．16.如图，在ABC 中，AB BC =，120ABC ∠=︒，D 是AC 边上的点，3DA DB ==，则AC 的长为______．【答案】9【分析】过点B 作BE AC ⊥于点E ，根据等边对等角得出30A C ∠=∠=︒，则30A DBA ∠=∠=︒，进而得出30DBE ∠=︒，根据含30度角直角三角形的特征得出1322DE DB ==，即可得出92AE AD DE =+=，最后根据三线合一即可求解．【详解】解：过点B 作BE AC ⊥于点E ，∵AB BC =，120ABC ∠=︒，∴()1180120302A C ∠=∠=⨯-=°°°，∵3DA DB ==，∴30A DBA ∠=∠=︒，∴60BDE ∠=︒，∵BE AC ⊥，∴30DBE ∠=︒，∴1322DE DB ==，∴92AE AD DE =+=，∵AB BC =，BE AC ⊥，∴29AC AE ==，故答案为：9．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的特征，解题的关键是掌握等腰三角形等边对等角，三线合一；含30度角的直角三角形，30度角所对的边是斜边的一半．17.如图，AOB ADC △≌△，90AOB ∠=︒，且BC OA ∥．若80OAD ∠=︒，则ABO ∠的度数为______．【答案】40︒##40度【分析】根据全等三角形的性质得出AB AC =，BAO CAD ∠=∠，则A ABC CB =∠∠，设ABC ACB x ∠=∠=，根据平行线的性质得出ABC BAO CAD x ∠=∠=∠=，180ACB CAO ∠+∠=︒，根据180ACB CAD OAD ∠+∠+∠=︒，列出方程求出x 的值，最后根据直角三角形两锐角互余，即可求解．【详解】解：∵AOB ADC △≌△，∴AB AC =，BAO CAD ∠=∠，∴A ABC CB =∠∠，设ABC ACB x ∠=∠=，∵BC OA ∥，∴ABC BAO CAD x ∠=∠=∠=，180ACB CAO ∠+∠=︒，∴180ACB CAD OAD ∠+∠+∠=︒，∵80OAD ∠=︒，∴80180x x ++︒=︒，解得：50x =︒，∴50BAO ∠=︒，∵90AOB ∠=︒，∴905040ABO ∠=︒-︒=︒．故答案为：40︒．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，对应角相等；等腰三角形等边对等角．18.我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”．例如：等腰直角三角形斜边上的中线为该三角形的“等腰线段”．如图，在EFG 中，若2G F ∠=∠，且EFG 有“等腰线段”，则F ∠的度数α的取值范围为______．【答案】045α︒<≤︒【分析】设F x ∠=，则2G x ∠=，然后进行分类讨论：当EA 为EFG “等腰线段”时，当BG 为EFG “等腰线段”时．【详解】解：设F x ∠=，则2G x ∠=，当EA 为EFG “等腰线段”时，∵AEF △、AEG △均为等腰三角形，∴AF AE =，则F AEF x ∠=∠=，∴2EAG x ∠=，∴AE AG =，∴180EAG G ∠+∠<︒，即22180x x +<︒，解得：45x <︒，当BG 为EFG “等腰线段”时，∵BFG 为等腰三角形，∴BF BG =，则F BGF x ∠=∠=，∴2EBG x ∠=，∴BGE EGF BGF x ∠=∠-∠=，∵BGE △为等腰三角形，∴E x ∠=，∴2180E F EGF x x x ∠+∠+∠=++=︒，解得：45x =︒，综上：045α︒<≤︒．故答案为：045α︒<≤︒．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是正确理解题目所给“等腰线段”的定义，掌握等腰三角形等边对等角的性质．三、解答题（本题共46分，第19-23题，每题5分，24题7分，25题8分，26题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．19.先化简，再求值：()22(1)1x x x x x --+-，其中12x =【答案】22x x -+，0【分析】先将原式根据单项式乘多项式的法则进行化简，再将x 的值代入计算即可.【详解】()2232322(1)1=2x x x x x x x x x x x x --+----+=-+将12x =代入到上式中有21111202222⎛⎫-⨯+=-+= ⎪⎝⎭【点睛】本题考查的是整式的运算，能够准确化简计算是解题的关键.20.如图，已知点B 、E 、F 、C 在同一条直线上，∠A =∠D ，BE =CF ，且AB ∥CD ，求证：AE =DF．【答案】证明见解析【分析】根据AB ∥CD ，得到B C ∠∠=，用ASA 证明ABE ≌DCF ，即可得到AE DF =．【详解】证明：∵AB ∥CD ，∴B C ∠∠=，在ABE 和DCF 中，∵,A D AB CD B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABE ≌DCF （ASA ），∴AE DF =．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握ASA 证明ABE ≌DCF 是关键．21.下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程．已知：∠AOB求作：∠ADC ，使∠ADC ＝2∠AOB作法：如图，①在射线OB 上任取一点C ；②作线段OC 的垂直平分线，交OA 于点D ，交OB 于点E ，连接DC ．所以∠ADC 即为所求的角根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面证明（说明：括号里填写作图依据）证明：∵DE 是线段OC 的垂直平分线，∴OD ＝________（____________）．∴∠AOB ＝_______（_________）．∵∠ADC ＝∠AOB ＋∠DCO ，∴∠ADC ＝2∠AOB ．【答案】（1）见解析；（2）CD ；线段中垂线上的点到线段两个端点的距离相等；DOC ∠；等边对等角【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）先根据线段垂直平分线的性质得到OD ＝CD ，则根据等腰三角形的性质得到∠AOB ＝DOC ∠．然后根据三角形外角性质得到∠ADC ＝2∠AOB ．【详解】解：（1）补全的图形如图所示．（2）证明：∵DE 是线段OC 的垂直平分线，∴OD ＝CD （线段中垂线上的点到线段两个端点的距离相等）．∴∠AOB ＝DOC ∠（等边对等角）．∵∠ADC ＝∠AOB ＋∠DCO ，∴∠ADC ＝2∠AOB ．故答案为：CD ；线段中垂线上的点到线段两个端点的距离相等；；DOC ∠；等边对等角．【点睛】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．22.如图，在平面直角坐标系xoy 中，(15)A -，，()10B -，，(43)C -，．（1）在图中作出ABC 关于y 轴的对称图形111A B C △；（2）若以线段AB 为一边作格点△ABD ，使所作的△ABD 与△ABC 全等，则所有满足条件的点D 的坐标是．【答案】（1）见解析；（2）作图见解析；点D 坐标为（-4，2）、（2，3）、（2，2）．【分析】（1）分别作出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点，再顺次连接即可；（2）根据网格特点和全等三角形的判定可以找到满足条件的点D ．【详解】（1）画出图形如图所示；（2）如图，满足条件的点D有三个，则点D坐标(-4,2)、（2，3）、（2，2），故答案为：(-4,2)、（2，3）、（2，2）．【点睛】本题考查了基本作图-轴对称变换、坐标与图形、全等三角形的判定，利用格点判断三角形全等，熟练掌握轴对称变换的画法是解答的关键．AB=．灯塔C在灯塔A的北偏东20°方向，灯塔C在灯塔B的23.如图，灯塔B在灯塔A的正东方向，且75km北偏西50°方向．∠的度数；（1）求ACB（2）一轮船从B地出发向北偏西50°方向匀速行驶，5h后到达C地，求轮船的速度．【答案】（1）70°；（2）15km/h【分析】（1）根据题意得∠BAC=70°，∠ABC=40°，根据三角形的内角和定理即可求得∠ACB；（2）根据等腰三角形的判定可得BC=AB=75km ，进而由速度=路程÷时间求解即可．【详解】解：（1）根据题意得∠BAC =70°，∠ABC =40°，∴∠ACB =180°－∠BAC －∠ABC =180°－70°－40°=70°；（2）∵∠BAC =∠ACB =70°，∴BC=AB=75km ，∴轮船的速度为75÷5=15（km/h ）．【点睛】本题考查方位角、等腰三角形的判定、三角形的内角和定理，理解方位角，熟练掌握等腰三角形的等角对等边是解答的关键．24.图1是一个长方形窗户ABCD ，它是由上下两个长方形（长方形AEFD 和长方形EBCF ）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a 和2b （即DF a =，2BE b =），其中0a b >>．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形ABCD ）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平向左拉伸2a 至GH ．当下面窗户的遮阳帘水平向右拉伸2b 时，恰好与GH 在同一直线上（即点G 、H 、P 在同一直线上）．（1）求长方形窗户ABCD 的总面积；（用含a 、b 的代数式表示）（2）如果上面窗户的遮阳帘保持图2的位置不动，当下面窗户的遮阳帘拉伸至BC 的中点处时，请通过计算比较窗户的透光面积1S 与被遮阳帘遮住的面积2S 的大小．（3）如果上面窗户的遮阳帘拉伸至23GD AD =，下面窗户的遮阳帘拉伸至25BP BC =处时，窗户的透光面积恰好为长方形窗户ABCD 面积的一半，则此时a b =______．【答案】（1）22462a ab b ++（2）12S S <（3）65【分析】（1）先将长方形的长和宽表示出来，再根据长方形面积公式，即可求解；（2）分别求出1S 和2S ，再用作差法即可比较；（3）求出被遮住的面积，再根据题意得出窗户被遮住面积恰好为长方形窗户ABCD 面积的一半，得出等式，即可求出a b的值．【小问1详解】解：根据题意可得：22AD a b =+，∵DF a =，∴AE a =，∵2BE b =，∴2AB AE BE a b =+=+，∴长方形窗户ABCD 的总面积()()22222462AD AB a b a b a ab b =⋅=++=++；【小问2详解】解：上面窗户被遮阳帘遮住的面积：222a a a ⋅=，上面窗户透光面积：22b a ab ⋅=，下面窗户被遮阳帘遮住的面积：()21222a a b a ab +=+下面窗户透光面积：()21222a a b a ab +=+∴22123S ab a ab a ab =++=+，222223S a a ab a ab =++=+，∴()()2221233222S S a ab a ab a ab a b a -=+-+=-+=-，∵0a b >>，∴0b a -<，∴120-<S S ，即12S S <；【小问3详解】解：根据题意可得：AD BC =，∴23GD AD =，2255BP BC AD ==，上面被窗帘遮住面积：2233a AD a AD ⋅=⋅，下面被窗帘遮住面积：22422555b BC b AD b AD ⋅=⋅=⋅，被遮住总面积：24243535a AD b AD AD a b ⎛⎫⋅+⋅=+ ⎪⎝⎭，∵窗户的透光面积恰好为长方形窗户ABCD 面积的一半，∴窗户被遮住面积恰好为长方形窗户ABCD 面积的一半，∴()2412352AD a b AD a b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，241352a b a b +=+，1165a b =，65a b =，故答案为：65．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是正确理解题意，根据图形列出式子进行计算，熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则．25.ABC 为等边三角形，射线AP 经过点A ，()090BAP αα∠=︒<<︒，作点B 头于射线AP 的对称点D ，连接AD 、CD 交直线AP 于点E ．（1）如图，当060α︒<<︒时①依题意补全图形，并直接写出此时ADC ∠=______（用含α的式子表示）；②用等式表示线段EA 、ED 、EC 的数量关系，并证明；（2）若DBC △为等腰三角形，直接写出α的度数．【答案】（1）①图见解析，60α︒-；②EC ED EA=+（2）30α=︒或75︒【分析】（1）①根据题意补全图形即可，根据轴对称的性质得出AD AB =，BAP DAP α∠=∠=，则2BAD α∠=，根据等边三角形的性质推出AD AC =，602CAD α∠=︒+，最后根据等边对等角，即可求解；②连接BE ，在CE 上截取EF DE =，通过证明BEF △为等边三角形，得出BE BF =，60EBF ∠=︒，再证明()SAS ABE CBF ≌△△，即可得出结论；（2）根据题意画出图形，进行分类讨论即可求解．【小问1详解】解：①补全图形如图所示：∵点B 和点D 关于AP 对称，∴AD AB =，BAP DAP α∠=∠=，∴2BAD α∠=，∵ABC 是等边三角形，∴,60AB AC BAC =∠=︒，∴AD AC =，602CAD α∠=︒+，∴()()111801806026022ADC CAD αα∠=︒-∠=︒-︒-=︒-，故答案为：60α︒-；②连接BE ，在CE 上截取EF DE =，由（1）可得：60ADC α∠=︒-，∵点B 和点D 关于AP 对称，∴60ABE α∠=︒-，DE BE =，∴60DEP BEP ABE BAP ∠=∠=∠+∠=︒，BE EF =，∴60BEF ∠=︒，∴BEF △为等边三角形，∴BE BF =，60EBF ∠=︒，∵ABC 是等边三角形，∴,60AB CB ABC =∠=︒，∴ABC ABF EBF ABF ∠-∠=∠-∠，即ABE CBF ∠=∠，在ABE 和CBF V 中，AB CB ABE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABE CBF ≌△△，∴EA FC =，∵EC EF FC =+，∴EC ED EA =+；【小问2详解】解：①当060α︒<<︒时，∵DBC △为等腰三角形，∴BD BC =，∵点B 和点D 关于AP 对称，∴,AP BD AD AB ⊥=，∵ABC 是等边三角形，∴AB BC =，∴AD AB BD ==，∴ABD ∠是等边三角形，则60BAD ∠=︒，∴1302BAP BAD α∠==∠=︒，②当6090α︒<<︒时，∵DBC △为等腰三角形，∴BD CD =，∵点B 和点D 关于AP 对称，∴AB AD =，AP BD ⊥，∵ABC 是等边三角形，∴AB AC =，60AC ∠=︒，∵AB AC =，BD CD =，AD AD =，∴ABD ACD △≌△，∴()1360601502BAD ∠=⨯︒-︒=︒，∴1752BAP BAD α∠==∠=︒，综上：30α=︒或75︒．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意正确画出图形，掌握等边三角形三个角都是60度，三条边都相等；全等三角形对应边相等，对应角相等．26.设等腰三角形的底边长为w ，底边上的高长为h ，定义h k w=为等腰三角形的“胖瘦度”，设坐标系内两点()11,P x y ，()22,Q x y ，12x x ≠，12y y ≠，若P ，Q 为等腰三角形的两个顶点，且该等腰三角形的底边与某条坐标轴垂直，则称这个等腰三角形为点P ，Q 的“逐梦三角形”．（1）设ABC 是底边长为2的等腰直角三角形，则ABC 的“胖瘦度”k =______；（2）设()5,0P ，点Q 为y 轴正半轴上一点，若P ，Q 的“逐梦三角形”的“胖瘦度”5k =，直接写出点Q 的坐标：______；（3）以x 轴，y 轴为对称轴的正方形ABCD 的一个顶点为(),A a a ，且点A 在第一象限，点1212,823P a a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，若正方形ABCD 边上不存在．．．点Q 使得P ，Q 的“逐梦三角形”满足5k =且5h ≤，直接写出a 的取值范围：______．【答案】（1）12（2）1(20，或(050)，．（3）39a >或24a =或4502a <≤【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出底边的高为1，再根据“胖瘦度”的定义求出k ；（2）根据“逐梦三角形”的定义，等腰三角形的底边与某条坐标轴垂直分三种情况讨论，由点()5,0P 坐标结合“胖瘦度”5k =，求出底边和底边的高即可解答，（3）根据“逐梦三角形”的定义，分P 在正方形内和外两种情况以及“逐梦三角形”底边的高小于5，“胖瘦度”5k =，列不等式求解即可．【小问1详解】解：如图，∵ABC 是底边长为2的等腰直角三角形，∴2w AB ==，又∵CD 是高，∴112AD BD CD AB ====，∴等腰直角ABC 的“胖瘦度”12k =；故答案为：12，【小问2详解】设以P ，Q 为顶点的“逐梦三角形”为PQM ，因为()5,0P ，点Q 为y 轴正半轴上一点，故该等腰三角形的底边与某条坐标轴垂直，有三种情况，、①当QM 为底边时，若QM x ⊥轴，如图：则底边上的高长为5h PO ==，∵P ，Q 的“逐梦三角形”的“胖瘦度”5k =，∴1h QM w k ===，∴1122OQ QM ==，∴此时点Q 坐标为1(20，，②当QM 为底边时，若QM y ⊥轴，PH 为底边的高，如图：则底边长为210w QH ==，∵P ，Q 的“逐梦三角形”的“胖瘦度”5k =，∴10550PH h wk ===⨯=，∴50OQ =，∴此时点Q 坐标为(050)，，③当PM 为底边时，若PM y ⊥轴，QH 为底边的高，如图：则底边上的高长为5QH h PO ===，∵P ，Q 的“逐梦三角形”的“胖瘦度”5k =，∴1h PM w k ===，∴1122PH PM ==，∴此时点Q 坐标为1(20，，综上所述：点Q 的坐标1()20，或(050)，．【小问3详解】①当24a >时，点P 在正方形内，如图：。