中考习题——直角三角形与勾股定理

专题39直角三角形与勾股定理一、选择题1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是【】A．B．C．D．2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是【】A．20 B．10 C．5 D．5 23. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为【】A．90 B．100 C．110 D．121【答案】C。

【考点】勾股定理的证明。

【分析】如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，所以，四边形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7。

所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，因此，矩形KLMJ的面积为10×11=110。

故选C。

4. 将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠ 的度数是【】A ．45oB ．60oC ．75oD ．90o【答案】 C 。

【考点】三角形的外角性质，直角三角形的性质。

【分析】如图，∵∠1=90°-60°=30°，∴∠α=45°+30°=75°。

故选C 。

5. （2012四川绵阳3分）已知△ABC 中，∠C=90°，tanA=12，D 是AC 上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=【 】。

A ．35 BC ．310D【答案】A 。

【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义。

【分析】如图，作DE ⊥AB 于点E 。

∵∠CBD=∠A ，∴BC CD DE 1tanA tan CBD AC BC AE 2=∠====。

直角三角形与勾股定理1.下列命题是真命题的是()A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.任意多边形的内角和为360°D.三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半2.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是()A.3,4,5B.1,2,3C.6,7,8D.2,3,43.如图K20-1,两个大小形状相同的△ABC和△A'B'C'拼在一起,其中点A与A'重合,点C'落在边AB上,连接B'C.若∠ACB=∠AC'B'=90°,AC=BC=3,则B'C的长为()图K20-1A.33B.6C.32D.214我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?”这道题讲的是:有一块三角形沙田,三条边长分别为5里,12里,13里,问这块沙田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位,1里=500米,则该沙田的面积为()A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米5.三角形三边长分别为3,4,5,那么最长边上的中线长等于.图K20-26.如图K20-2,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=5,分别以A,B为圆心,大于12AB的长为半径画弧,两弧交点分别为点P,Q,过P,Q两点作直线交BC于点D,则CD的长是.7.如图K20-3,是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌,经测量得到如下数据:AM=4米,AB=8米,∠MAD=45°,∠MBC=30°,则警示牌的高CD为米(结果精确到0.1米,参考数据:2≈1.41,3≈1.73).图K20-38.把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图K20-4所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A,且另三个锐角顶点B,C,D在同一直线上,若AB=2,则CD=.图K20-49.如图K20-5,已知AC⊥BC,垂足为C,AC=4,BC=33,将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°,得到线段AD,连接DC,DB.(1)线段DC=;(2)求线段DB的长度.图K20-5参考答案1【答案】D对角线相等的平行四边形是矩形,则选项A不正确;对角线互相垂直平分的四边形是菱形,则选项B不正确;任意多边形的内角和为(n-2)·180°,则选项C不正确;三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半,则选项D正确.2【答案】B3【答案】A由题意得∠CAB=∠C'AB'=45°,△ABC≌△AB'C',∴∠CAB'=90°.由勾股定理得AB=AB'=32,∴B'C=33,故选A.4【答案】A将里换算为千米,则三角形沙田的三边长分别为2.5千米,6千米,6.5千米,因为2.52+62=6.52,所以这个三角形为直角三角形,直角边长为2.5千米和6千米,所以S=12×6×2.5=7.5(平方千米),故选A.5【答案】2.5根据勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形,然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知最长边上的中线长=12×5=2.5.6【答案】1.6连接AD,由作法可知AD=BD,在Rt△ACD中,设CD=x,则AD=BD=5-x,AC=3.由勾股定理得,CD2+AC2=AD2,即x2+32=(5-x)2,解得x=1.6,故答案为1.6.7【答案】2.9首先根据等腰直角三角形的性质可得DM=AM=4米,再根据勾股定理及三角函数可得MC2+MB2=(2MC)2,代入数可得答案.∵AM=4米,∠MAD=45°,DM⊥AM,∴DM=4米,∵AM=4米,AB=8米,∴MB=12米,∵∠MBC=30°,∴BC=2MC,∴MC2+MB2=(2MC)2,即MC2+122=(2MC)2,∴MC=43米,则DC=43-4≈2.9(米).8【答案】3-1过点A作AF⊥BC,垂足为点F,∵AB=AC,∴CF=12BC,∵AB=AC=2,∴AD=BC=B2+B2=2,∴CF=1,∵∠ACB=45°,∴AF=CF=1,∴DF=B2-B2=3,∴CD=DF-CF=3-1.9【答案】解:(1)4(2)∵AC=AD,∠CAD=60°,∴△CAD是等边三角形,∴CD=AC=4,∠ACD=60°,过点D作DE⊥BC于E.∵AC⊥BC,∠ACD=60°,∴∠BCD=30°.在Rt△CDE中,CD=4,∠BCD=30°,∴DE=12CD=2,CE=23,∴BE=3,在Rt△DEB中,由勾股定理得DB=7.。

直角三角形与勾股定理一、选择题1. （ 2016·四川达州· 3 分）如图，在5×5 的正方形网格中，从在格点上的点 A ，B，C，D 中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（）A．B．C．D．【考点】勾股定理的应用．【分析】从点 A ，B ，C， D 中任取三点，找出全部的可能，以及能构成直角三角形的状况数，即可求出所求的概率．【解答】解：∵从点 A，B ，C，D 中任取三点能构成三角形的一共有 4 种可能，此中△ABD ，△ADC ，△ABC 是直角三角形，∴所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为．应选 D．2.（ 2016 ·广东广州）如图2，已知三角形ABC,AB=10,AC=8,BC=6,DE是 AC的垂直均分线，DE交 AB 于 D，连接 CD， CD＝( )A、3B、4C、4.8D、5CEAD B图2［难易］中等［考点］勾股定理及逆定理，中位线定理，中垂线的性质［分析］由于 AB=10,AC=8,BC=8, 由勾股定理的逆定理可得三角形ABC为直角三角形，因为 DE为 AC边的中垂线，因此DE与 AC垂直， AE=CE=4，因此 DE为三角形 ABC 的中位线，1BC=3,再依据勾股定理求出CD=5因此 DE=2［参照答案］D3.（ 2016 年浙江省台州市）如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点点 B 为圆心， AB 长为半径画弧，交PQ 于点 C，以原点 O 为圆心， OC 数轴于点M ，则点 M 对应的数是（）B作 PQ⊥ AB ，以长为半径画弧，交A．B．C．D．【考点】勾股定理；实数与数轴．【分析】直接利用勾股定理得出OC的长，从而得出答案．【解答】解：以以下图：连接OC，由题意可得： OB=2 ， BC=1 ，则AC==，故点 M 对应的数是：．应选： B．4．（2016·山东烟台）如图， Rt△ ABC 的斜边 AB 与量角器的直径恰好重合，B点与 0刻度线的一端重合，∠ABC=40 °，射线 CD 绕点 C 转动，与量角器外沿交于点D，若射线 CD 将△ ABC 切割出以BC 为边的等腰三角形，则点 D 在量角器上对应的度数是（）A．40°B． 70°C． 70°或80°D ．80°或140°【考点】角的计算．=∠ DOB=2 ∠BCD ，【分析】如图，点 O 是 AB 中点，连接 DO ，易知点 D 在量角器上对应的度数只要求出∠ BCD 的度数即可解决问题．【解答】解：如图，点O 是 AB 中点，连接DO ．∵点 D 在量角器上对应的度数=∠DOB=2 ∠BCD ，∵当射线 CD 将△ ABC 切割出以BC 为边的等腰三角形时，∠BCD=40 °或 70°，=∠DOB=2∠BCD=80 °或 140°，∴点 D 在量角器上对应的度数应选 D．5．（ 2016. 山东省威海市， 3 分）如图，在矩形ABCD 中， AB=4 ， BC=6 ，点 E 为点，将△ ABE 沿 AE 折叠，使点 B 落在矩形内点 F 处，连接CF，则 CF 的长为（BC的中）A ．B．C．D．【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）【分析】连接 BF ，依据三角形的面积公式求出∠BFC=90 °，依据勾股定理求出答案．【解答】解：连接 BF ，∵BC=6 ，点 E 为 BC 的中点，∴BE=3 ，又∵ AB=4 ，．BH ，获得BF ，依据直角三角形的判断获得∴AE==5，∴BH=，则BF=，∵FE=BE=EC ，∴∠ BFC=90 °，∴CF==．应选： D．6．（ 2016·江苏连云港）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为 S1、S2、S3；如图 2，分别以直角三角形三个极点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6．此中 S1=16 ，S2=45，S5=11 ，S6=14 ，则 S2+S4=（）A ．86B ．64C ．54D ． 48【分析】分别用AB 、BC 和 AC 表示出 S 1、S 2、S 3，而后依据 AB 2=AC 2+BC 2即可得出 S 1、S 2、 S 3 的关系．同理，得出 S 4、 S 5、 S 6 的关系．【解答】解：如图1， S 1=AC 2， S 2=BC 2， S 3=AB 2．222，∵AB =AC +BC∴S +S =AC 2+BC 2=AB 2=S ，1 2 3如图 2， S 4 =S 5+S 6，∴S 3+S 4=16+45+11+14=86 ．应选 A ．【评论】此题观察了勾股定理、等边三角形的性质．勾股定理：假如直角三角形的两条直角7.（ 2016 ·江苏南京 ） 以下长度的三条线段能构成钝角三角形的是A ．3，4，4B. 3，4，5C. 3，4，6D. 3，4，7答案：C考点：构成三角形的条件，勾股定理的应用，钝角三角形的判断。

中考数学 专题训练：直角三角形与勾股定理一、选择题1. 下列说法正确的是（）A. 若a b c ，，是ABC ∆的三边，则222a b c +=B. 若a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，则222a b c +=C. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90A ∠=︒，则222a b c +=D. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90C ∠=︒，则222a b c +=2. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8，则BC 的长是( )A . 433 B .4 C . 8 3 D . 4 33. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，D 是线段BC 上的动点(不含端点B ，C)，若线段AD 长为正整数．．．，则点D 的个数共有( )A . 5个B . 4个C . 3个D . 2个4.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )A. 7,24,25B. 312,412,512 C. 3,4,5 D. 4,712,8125. 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）A.1、2、3B.2223,4,5 1,2,3 3,4,56. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目:“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何?”这道题讲的是:有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为( )A .7.5平方千米B .15平方千米C .75平方千米D .750平方千米7. 如图，在Rt △ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于点D ，连接CD ，则CD ＝( ) A . 3 B . 4 C . 4.8 D . 58. 已知ABC ∆的三边为a 、b 、c ，且4a b +=，1ab =，14c =则ABC ∆是（）．A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形二、填空题9. 在Rt ABC ∆中， 90C ∠=︒，（1）如果34a b ==，，则c = ； （2）如果68a b ==，，则c = ； （3）如果512a b ==，，则c = ； （4）如果1520a b ==，，则c = .10. 如图，将Rt △ABC 的斜边AB 绕点A 顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE ，直角边AC 绕点A 逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF ，连接EF ，若AB=3，AC=2，且α+β=∠B ，则EF= .11. 无盖圆柱形杯子的展开图如图K20-7所示.将一根长为20 cm 的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 cm .12. 如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分别是576和676，那么最小的正方形的面积为13. 如图，△ABC 中，∠ABC=90°，BA=BC=2，将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°得到△DEC ，连接BD ，则BD 2的值是 .14. 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若54a b c +==，，则ABC S ∆=.15. 如图，等边三角形ABC 内有一点P ，分别连接AP ，BP ，CP ，若AP=6，BP=8，CP=10，则S △ABP +S △BPC = .16. 已知ABC ∆是边长为1的等腰直角三角形，以Rt ABC ∆的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt ACD ∆，再以Rt ACD ∆的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt ADE ∆，……，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是 ．GFED CB A三、解答题17. 已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.18. 已知ABC ∆中，20,15,AB AC BC ==边上的高为12，求ABC ∆的面积.DCBA19. 某片绿地的形状如图所示，其中60A ∠=，AB BC ⊥，AD CD ⊥，200m AB =，100m CD =，求AD 、BC 的长（精确到1m1.732）.DCBA20. 已知P 为正三角形内一点，6,8,10AP BP CP ===，证明：150APB ∠=。

中考专项训练：直角三角形与勾股定理（含答案）一、选择题1.如图，在Rt △ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于点D ，连接CD ，则CD ＝()A .3B .4C .4.8D .52.已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为()A .32B .332C .32D .不能确定3.如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，若EB=1，EC=2，那么正方形ABCD的面积为()A .B .3C .D .54.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是()A .B .1，C .6，7，8D .2，3，45.(2019•南通)小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O ，在数轴上找到表示数2的点A ，然后过点A 作AB ⊥OA ，使AB=3(如图)．以O 为圆心，OB 的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P ，则点P 所表示的数介于A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间6.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为()A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米7.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE ⊥AB，垂足为E.若DE=1，则BC的长为()A.2+B.+C.2+D.38.如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则()A.x－y2＝3B.2x－y2＝9C.3x－y2＝15D.4x－y2＝21二、填空题9.三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于.10.如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若∠A＝40°，则∠BCE＝________.11.如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF，连接EF，若AB=3，AC=2，且α+β=∠B，则EF=.12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8.分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F.过点E，F作直线EF，交AB于点D，连接CD，则CD的长是________．13.如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据:AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为米(结果精确到0.1米，参考数据:≈1.41，≈1.73).14.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是.15.(2019•通辽)腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．16.(2019•伊春)一张直角三角形纸片ABC ，90ACB ，10AB ，6AC ，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处，当BDE △是直角三角形时，则CD 的长为__________．三、解答题17.如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AB 边上一点，过点C 作CF ∥AB 交ED 的延长线于点F.(1)求证:△BDE ≌△CDF ;(2)当AD ⊥BC ，AE=1，CF=2时，求AC 的长.18.(2019•大庆)如图，一艘船由A 港沿北偏东60°方向航行10km 至B 港，然后再沿北偏西30°方向航行10km 至C 港．(1)求A ，C 两港之间的距离(结果保留到0.1km≈1.414≈1.732)；(2)确定C 港在A 港的什么方向．19.已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)求证：2CD2＝AD2＋DB2.20.如图，在△ABC中，∠C＝90°，A C＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．（1）求线段AD的长；（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．备用图21.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B 匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B 时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒(t＞0)，正方形EFGH 与△ABC重叠部分的面积为S．（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是________；当t＝3时，正方形EFGH 的边长是________；（2）当1＜t≤2时，求S与t的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？2023年中考专项训练：直角三角形与勾股定理答案一、选择题1.【答案】D【解析】∵DE 垂直平分AC ，∴∠AED ＝90°，AE ＝CE ＝4，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∴DE ∥BC ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC＝3.在Rt △CED 中，CD ＝CE 2＋DE 2＝5.2.【答案】B【解析】如解图，△ABC 是等边三角形，AB ＝3，点P 是三角形内任意一点，过点P 分别向三边AB ，BC ，CA 作垂线，垂足依次为D ，E ，F ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，则BH ＝32，AH ＝AB 2－BH 2＝332.连接PA ，PB ，PC ，则S △PAB ＋S △PBC ＋S △PCA ＝S △ABC ，∴12AB ·PD ＋12BC ·PE ＋12CA ·PF ＝12BC ·AH ，∴PD＋PE ＋PF ＝AH ＝332.3.【答案】B4.【答案】B5.【答案】C【解析】由作法过程可知，OA=2，AB=3，∵∠OAB=90°，∴ ，∴P 点所表示的数就是34 ，即点P 所表示的数介于3和4之间，故选C ．6.【答案】C[解析]在Rt △ACB 中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB 2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A'BD中，∵∠A'DB=90°，A'D=2米，BD2+A'D2=A'B2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD>0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(米).7.【答案】A[解析]过点D作DF⊥AC于F，如图所示，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF=1.在Rt△BED中，∠B=30°，∴BD=2DE=2.在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CD=DF=，∴BC=BD+CD=2+.8.【答案】B【解析】连接DE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，过E作EG⊥BC，垂足为G.∵AB＝AC，AF⊥BC，BC＝12，∴BF＝FC＝6，又∵E是AC的中点，EG⊥BC，∴EG∥AF，∴CG＝FG＝12CF＝3，∵在Rt△CEG中，tan C＝EGCG，∴EG＝CG×tan C＝3y；∴DG＝BF＋FG－BD＝6＋3－x＝9－x，∵HD是BE的垂直平分线，∴BD＝DE＝x，∵在Rt△EGD中，由勾股定理得，ED2＝DG2＋EG2，∴x2＝(9－x)2＋(3y)2，化简整理得，2x－y2＝9.二、填空题9.【答案】2.5[解析]根据勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知最长边上的中线长=×5=2.5.10.【答案】50°【解析】∵E是Rt△ABC斜边AB的中点，∴EC＝AB2＝AE，∴∠ECA＝∠A＝40°，∴∠BCE＝90°－40°＝50°.11.【答案】[解析]∵α+β=∠B，∴∠EAF=∠BAC+∠B=90°，∴△AEF是直角三角形，∵AE=AB=3，AF=AC=2，∴EF==.12.【答案】5【解析】由题意知EF垂直平分AB，∴点D是AB的中点，∵∠ACB＝90°，∴CD为斜边AB的中线，∴CD＝12AB.∵BC＝6，AC＝8，∴AB＝AC2＋BC2＝82＋62＝10，∴CD＝5.13.【答案】2.9[解析]首先根据等腰直角三角形的性质可得DM=AM=4米，再根据勾股定理及三角函数可得MC2+MB2=(2MC)2，代入数可得答案.∵AM=4米，∠MAD=45°，DM⊥AM，∴DM=4米，∵AM=4米，AB=8米，∴MB=12米，∵∠MBC=30°，∴BC=2MC，∴MC2+MB2=(2MC)2，即MC2+122=(2MC)2，∴MC=4米，则DC=4-4≈2.9(米).14.【答案】10[解析]根据题意可得A，B的面积和为S1，C，D的面积和为S2，于是S3=S1+S2，即S3=2+5+1+2=10.15.【答案】6或或【解析】①如图1，当5AB AC ，4AD ，则3BD CD ，∴底边长为6；②如图2，当5AB AC ，4CD 时，则3AD ，∴2BD ，∴BC ，∴此时底边长为③如图3，当5AB AC ，4CD 时，则3AD ，∴8BD ，∴BC∴此时底边长为6或16.【答案】3或247【解析】分两种情况：①若90DEB ，则90AED C ，CD ED ，连接AD ，则Rt Rt ACD EAD △≌△，∴6AE AC ，1064BE ，设CD DE x ，则8BD x ，∵Rt BDE △中，222DE BE BD ，∴2224(8)x x ，解得3x ，∴3CD ；②若90BDE ，则90CDE DEF C ，CD DE ，∴四边形CDEF 是正方形，∴90AFE EDB ，AEF B ，∴AEF EBD △∽△，∴AFEFED BD ，设CD x ，则EF DF x ，6AF x ，8BD x ，∴68x x x x ，解得247x ，∴247CD ，综上所述，CD 的长为3或247，故答案为：3或247．三、解答题17.【答案】解:(1)证明:∵CF ∥AB ，∴∠B=∠FCD ，∠BED=∠F.∵AD 是BC 边上的中线，∴BD=CD ，∴△BDE ≌△CDF.(2)∵△BDE ≌△CDF ，∴BE=CF=2，∴AB=AE +BE=1+2=3.∵AD ⊥BC ，BD=CD ，∴AC=AB=3.18.【答案】(1)由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°．∵AB=BC=10，∴≈14.1．答：A 、C 两地之间的距离为14.1km ．(2)由(1)知，△ABC 为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，∴C 港在A 港北偏东15°的方向上．19.【答案】13证明：(1)∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴CD ＝CE ，AC ＝BC ，∠ECD ＝∠ACB ＝90°，∴∠ECD －∠ACD ＝∠ACB －∠ACD ，即∠ACE ＝∠BCD ，(1分)在△ACE 与△BCD 中，＝DCACE ＝∠BCD ＝BC，(3分)∴△ACE ≌△BCD(SAS )．(4分)(2)∵△ACE ≌△BCD ，∴AE ＝BD ，∠EAC ＝∠B ＝45°，(6分)∴∠EAD ＝∠EAC ＋∠CAD ＝90°，在Rt △EAD 中，ED 2＝AD 2＋AE 2，∴ED 2＝AD 2＋BD 2，(8分)又ED 2＝EC 2＋CD 2＝2CD 2，∴2CD 2＝AD 2＋DB 2.(10分)20.【答案】(1)在Rt △ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，所以AB ＝5．在Rt △ACD 中，39cos 355AD AC A ．(2)①如图2，当F 在AC 上时，905x ．在Rt △AEF 中，4tan 3EF AE A x ．所以21223y AE EF x ．如图3，当F 在BC 上时，955x ≤．在Rt △BEF 中，3tan (5)4EF BE B x ．所以21315288y AE EF x x ．②当905x 时，223y x 的最大值为5425；当955x ≤时，231588y x x 235758232x (的最大值为7532．因此，当52x 时，y 的最大值为7532．图2图3图4(3)△ABC 的周长等于12，面积等于6．先假设EF 平分△ABC 的周长，那么AE ＝x ，AF ＝6－x ，x 的变化范围为3＜x ≤5．因此1142sin (6)(6)2255AEF S AE AF A x x x x ．解方程2(6)35x x ，得3x因为3x 3≤x ≤5范围内（如图4），因此存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分．考点伸展如果把第（3）题的条件“点F 在直角边AC 上”改为“点F 在直角边BC 上”，那么就不存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分．先假设EF 平分△ABC 的周长，那么AE ＝x ，BE ＝5－x ，BF ＝x ＋1．因此21133sin (5)(1)45)22510BEF S BE BF B x x x x ．解方程23(45)310x x ．整理，得2450x x ．此方程无实数根．21.【答案】（1）当t ＝1时，EF ＝2；当t ＝3时，EF ＝4．（2）①如图1，当6011t ＜≤时，2EF t ．所以24S t ．②如图2，当66115t ≤时，2EF EH t ，2AE t ，33(2)44NE AE t ．于是31132(2)442NH EH NE t t t ，211422233NHQ S NH QH NH NH NH △22113342t．所以22221132511343422422S t t t t ．③如图3，当625t ＜≤时，4EF ，2AE t ，2AF t ．所以2233388AFM AEN S S S AF AE t △△．图2图3图4（3）如图4，图5，图6，图7，重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN ，S 的最大值为110275，此时14625t ．图5图6图7考点伸展第（2）题中t 的临界时刻是这样求的：如图8，当H 落在AC 上时，2AE t ，2EH EF t ，由2324tt ，得611t ．如图9，当G 落在AC 上时，2AF t ，2GF EF t ，由2324tt ，得65t ．图8图9。

2022年中考数学精选真题34 直角三角形与勾股定理 B一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)1．（3分）（2022·攀枝花）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC.若OC=5，BC=1，∠AOB=30°，则OA的值为（ ）C．2D．1 A．3B．322．（3分）（2022·绵阳）如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH＝CF，AE ＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°．若AH＝2，AD＝5＋3．则四边形EFGH的周长为（ ）A．4(2+6)B．4(2+3+1)C．8(2+3)D．4(2+6+2) 3．（3分）（2022·兰州）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC=60°，BD=43，则OE=（ ）A．4B．23C．2D．34．（3分）（2022·包头）如图，在矩形ABCD中，AD>AB，点E，F分别在AD，BC边上，EF∥AB，AE=AB，AF与BE相交于点O，连接OC，若BF=2CF，则OC与EF之间的数量关系正确的是（ ）A．2OC=5EF B．5OC=2EF C．2OC=3EF D．OC=EF5．（3分）（2021·贵州）已知直线y=―x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是第一象限内的点，若△PAB为等腰直角三角形，则点P的坐标为（ ）A．（1，1）B．（1，1）或（1，2）C．（1，1）或（1，2）或（2，1）D．（0，0）或（1，1）或（1，2）或（2，1）6．（3分）（2021·贵州）将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使用30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的直角边垂直，则∠1的度数为（ ）A．45°B．60°C．70°D．75°7．（3分）（2021·绵阳）如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE=30°，DE⊥CF，则BF 的长是（ ）A．1B．2C．3D．28．（3分）（2022·青海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE=BC，连接DE，F为DE中点，连接BF.若AC=16，BC=12，则BF的长为（ ）A．5B．4C．6D．89．（3分）（2022·眉山）如图，四边形ABCD为正方形，将△EDC绕点C逆时针旋转90°至△HBC，点D，B，H在同一直线上，HE与AB交于点G，延长HE与CD的延长线交于点F，HB=2，HG=3.以下结论：①∠EDC=135°；②E C2=CD⋅CF；③HG=EF；④sin∠CED=23.其中正确结论的个数为（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（3分）（2022·泸州）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE=2AE，过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为（ ）A．23B．56C．67D．1二、填空题（每空3分，共18分）(共6题；共18分)11．（3分）（2022·丹东）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，分别以A，C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，直线PQ与AC交于点D，则AD的长为 ．12．（3分）（2022·内江）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 .13．（3分）（2022·桂林）如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走.已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是 米.14．（3分）（2022·雅安）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，若BC＝9，CD＝3，那么阴影部分的面积为 .15．（3分）（2022·武威）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=25cm，AC=4cm，则BD的长为 cm.16．（3分）（2022·山西）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE=DF，连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N．若BE=5，CN=8，则线段AN的长为 三、解答题（共7题，共72分）(共7题；共72分)17．（6分）（2022·安徽）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题：（1）（3分）∠FDG= °；（2）（3分）若DE=1，DF=22，则MN= ．18．（8分）（2021·荆门）如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点，∠AEF=90°，且EF=AE，FH⊥BH.（1）（4分）求证：BE=CH；（2）（4分）若AB=3，BE=x，用x表示DF的长.19．（8分）（2022·贵阳）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD.（1）（4分）求证：△ABE≌△FMN；（2）（4分）若AB=8，AE=6，求ON的长.20．（8分）（2022·丽水）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重台，点A落在点P处，折痕为EF，（1）（4分）求证：△PDE≌△CDF；（2）（4分）若CD=4cm，EF=5cm，求BC的长.21．（12分）（2022·赤峰）同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：（1）（4分）【问题一】如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，O A1交AB于点E，O C1交BC于点F，则AE与BF的数量关系为 ；（2）（4分）【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线m、n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别与AD、BC交于点E、F，直线n分别与AB、CD交于点G、H，且m⊥n，若正方形ABCD 边长为8，求四边形OEAG的面积；（3）（4分）【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD 的边CD上，顶点E在BC的延长线上，且BC=6，CE=2．在直线BE上是否存在点P，使△APF为直角三角形？若存在，求出BP的长度；若不存在，说明理由．22．（14分）（2022·仙桃）已知CD是△ABC的角平分线，点E，F分别在边AC，BC上，AD=m，BD=n，△ADE与△BDF的面积之和为S.（1）（2分）填空：当∠ACB=90°，DE⊥AC，DF⊥BC时，①如图1，若∠B=45°，m=52，则n= ，S= ；②如图2，若∠B=60°，m=43，则n= ，S= ；（2）（3分）如图3，当∠ACB=∠EDF=90°时，探究S与m、n的数量关系，并说明理由：（3）（3分）如图4，当∠ACB=60°，∠EDF=120°，m=6，n=4时，请直接写出S的大小. 23．（16分）（2022·宁夏）综合与实践（1）（2分）知识再现如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以BC、CA、AB为边向外作的正方形的面积为S1、S2、S3．当S1=36，S3=100时，S2= ．（2）（2分）问题探究如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°．如图2，分别以BC、CA、AB为边向外作的等腰直角三角形的面积为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的数量关系是 ．（3）（4分）如图3，分别以BC、CA、AB为边向外作的等边三角形的面积为S4、S5、S6，试猜想S4、S5、S6之间的数量关系，并说明理由．（4）（4分）实践应用如图4，将图3中的△BCD绕点B逆时针旋转一定角度至△BGH，△ACE绕点A顺时针旋转一定角度至△AMN，GH、MN相交于点P．求证：S△PHN=S四边形PMFG；（5）（4分）如图5，分别以图3中Rt△ABC的边BC、CA、AB为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，BC、CA、AB为直径的半圆柱的体积分别为V1、V2、V3．若AB=4，柱体的高ℎ=8，直接写出V1+V2的值．答案解析部分1．【答案】A2．【答案】A3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】C6．【答案】D7．【答案】C8．【答案】A9．【答案】D10．【答案】B11．【答案】2512．【答案】1013．【答案】20314．【答案】7.515．【答案】816．【答案】43417．【答案】（1）45（2）261518．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE=90°，AB=BC，∵∠AEF=90°，∴∠AEB+∠FEH=90°.而∠AEB+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠FEH.又∵EF=AE，∴△ABE≌△EHF.∴BE=FH，AB=EH，∴AB=BC=EH，则BC-EC=EH-EC，∴BE=CH；（2）解：作FP⊥CD于P，由（1）可知EH=AB，∴CE=3−x.∴CH=FH=FP=x，∴PD=3−x.DF=x2+(3―x)2=2x2―6x+919．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，有AD=DC=CB=AB，∠A=∠D=∠C=90°，BC∥AD，AB∥DC，∵MF∥AD，∠A=∠D=90°，AB∥DC，∴四边形ADFM是矩形，∴AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，∴∠BMF=90°=∠NFM，即∠BMO+∠OMF=90°，AB=AD=MF，∵MN是BE的垂直平分线，∴MN⊥BE，∴∠BOM=90°=∠BMO+∠MBO，∴∠MBO=∠OMF，∵∠NFM=∠A=90∘MF=AB∠OMF=∠MBO，∴△ABE≌△FMN；（2）解：连接ME，如图，∵AB=8，AE=6，∴在Rt△ABE中，BE=AB2+AE2=82+62=10，∴根据（1）中全等的结论可知MN=BE=10，∵MN是BE的垂直平分线，∴BO=OE=12BE=5，BM=ME，∴AM=AB-BM=8-ME，∴在Rt△AME中，A M2+A E2=M E2，∴(8―ME)2+62=M E2，解得：ME=254，∴BM=ME=254，∴在Rt△BMO中，M O2=B M2―B O2，∴MO=BM2―BO2=(254)2―52=154，∴ON=MN-MO=10―154=254.即NO的长为：254.20．【答案】（1）证明：由题意，∠PDF-∠B=∠ADC=90°，PD=AB=CD，∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF，即∠PDE=∠CDF.又∵∠P=∠A=∠C=90°，∴△PDE≌△CDF.（2）解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，∴∠EGC=90°，EG=CD=4.在Rt△EGF中，EG2+GF==EF2，∴CF=3设CF=x，由(1)得BG=AE=PE=x，∴DF=BF=x+3，在Rt △CDF 中， C F 2+C D 2=D F 2 ，即 x 2+42=(x +3)2 ，解得 x =76.∴BC =BG +GF +CF =2×76+3=163(cm) .21．【答案】（1）AE=BF（2）解：过点O 作MN ∥AB ，交AD 于点M ，交BC 于点N ，作TR ∥AD .交AB 于点T ，交CD 于点R ，如图，∵点O 是正方形ABCD 的中心，∴AT =TO =OM =MA =12AB =12AD ，又∠A=90°∴四边形ATOM 是正方形，∴S 正方形ATOM =14S 正方形ABCD =14A B 2=16，同（1）可证△OME≅ΔOTG .∴S 四边形AEOG =S 正方形ATOM =16（3）解：∵四边形ABCD ，CEFG 均为正方形，∴AB =BC =CD =DA =6，CE =EF =FG =GC =2，∠B =∠E =∠ADC =∠EFG =90°，∵CG 在CD 上，∴DG =DC ―CG =6―2=4，又CE 在BC 的延长线上，∴BE =BC +CE =6+2=8，设BP =x ，则PE =8―x ，在RtΔABP 中，A P 2=A B 2+B P 2=36+x 2，在RtΔFPE 中，F P 2=P E 2+E F 2=(8―x )2+22=x 2―16x +68延长AD ，CE 交于点Q ，则四边形DQFG 是矩形，∴QF=DG=4，DQ=GF=2，∴AQ=AD+DQ=6+2=8.，在RtΔAQF中，A F2=A Q2+Q F2=82+42=80，若△APF为直角三角形，则有，A P2+P F2=A F2，即36+x2+x2―16x+68=80.整理得，x2―8x+12=0，解得，x1=6，x2=2.∴BP=6或BP=2.22．【答案】（1）52；25；4；83（2）解：过点D作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G，在HC上截取HI=BG，连接DI，∴∠DHC=∠DGC=∠GCH=90°，∴四边形DGCH为矩形，∵CD是△ABC的角平分线，DH⊥AC，DG⊥BC，∴DG=DH，∴四边形DGCH为正方形，∴∠GDH=90°，∵∠EDF=90°，∴∠FDG+∠GDE=∠GDE+∠EDH=90°，∴∠FDG=∠EDH，在△DFG和△DEH中，∠FDG=∠EDHDG=DH，∠DGF=∠DHE∴△DFG≌△DEH（ASA）∴FG=EH，在△DBG和△DIH中，DG=DH∠DGB=∠DHI，BG=IH∴△DBG≌△DIH（SAS），∴∠B=∠DIH，DB=DI=n，∵∠DIH+∠A=∠B+∠A=90°，∴∠IDA=180°-∠A-∠DIH=90°，∴S△ADI=12AD⋅DI=12mn，mn；∴S=S△ADE+SΔBDF=S△ADE+SΔHDI=SΔADI=12（3）解：过点D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q，在PC上截取PR=QB，连接DR，过点A作AS⊥DR 于S，∵CD是△ABC的角平分线，DP⊥AC，DQ⊥BC，∴DP=DQ，∵∠ACB=60°∴∠QDP=120°，∵∠EDF=120°，∴∠FDQ+∠FDP=∠FDP+∠EDP=120°，∴∠FDQ=∠EDP，在△DFQ和△DEP中，∠FDQ=∠EDPDQ=DP，∠DQF=∠DPE∴△DFQ≌△DEP（ASA）∴DF=DE，∠QDF=∠PDE，在△DBQ和△DRP中，DQ=DP∠DQB=∠DPR，BQ=RP∴△DBQ≌△DRP（SAS），∴∠BDQ=∠RDP，DB=DR，∴∠BDF=∠BDQ+∠FDQ=∠RDP+∠EDP=∠RDE，∵DB=DE，DB=DR，∴△DBF≌△DRE，∴∠ADR=∠ADE+∠BDF=180°-∠FDE=60°，×4=63.∴S=S△ADR=12AS⋅DR=12AD sin60°×DR=12×6×32 23．【答案】（1）64（2）S1+S2=S3（3）解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴A B2=A C2+B C2，过点D作DG⊥BC交于G，在等边三角形BCD 中，CD =BC ，CG =12BC ，∴DG =32BC ，∴S 4=12×BC ×32BC =34B C 2，同理可得S 5=34A C 2，S 6=34A B 2，∴34A B 2=34A C 2+34B C 2，∴S 4+S 5=S 6；（4）证明：设AB =c ，BC =a ，AC =b ，∴HN =a +b ―c ，FG =c ―a ，MF =c ―b ，∵△HGB 是等边三角形，△ABF 是等边三角形，∴HG //AF ，MN //BF ，∴∠HPN =60°，∴△HNP 是等边三角形，四边形MFGP 是平行四边形，∴S △PMN =34(a +b ―c )2，S 四边形PMFG =32(c ―a)(c ―b)，∵△ABC 是直角三角形，∴c 2=a 2+b 2，∴34(a +b ―c )2=34(a 2+b 2+c 2+2ab ―2bc ―2ac)=32(c 2+ab ―bc ―ac)=32(c ―a)(c ―b)，∴S △PMN =S 四边形PMFG ；（5）解：设AB =c ，BC =a ，AC =b ，以AB 为直径的圆的面积为S 3、以BC 为直径的圆的面积为S 1、以AC 为直径的圆的面积为S 2，∵△ABC 是直角三角形，∴c 2=a 2+b 2，∴π4c 2=π4a 2+π4b 2，∴S 1+S 2=S 3，∵V 2=12S 2ℎ，V 1=12S 1ℎ，V 3=12S 3ℎ，∴V 2+V 1=12(S 1+S 2)ℎ=12S 3ℎ=V 3，∵AB =4，ℎ=8，∴V 3=12S 3ℎ=12×π×4×8=16π，∴V 1+V 2=16π．。

三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编（全国通用）直角三角形与勾股定理（优选真题60道）一．选择题（共28小题）1．（2023•湖北）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，点D 在边AC 上，且BD 平分△ABC 的周长，则BD 的长是（ ）A ．√5B ．√6C ．6√55D ．3√64【分析】根据勾股定理得到AC =√AB 2+BC 2=5，求得△ABC 的周长＝3+4+5＝12，得到AD ＝3，CD＝2，过D 作DE ⊥BC 于E ，根据相似三角形的性质得到DE =65，CE =85，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，∴AC =√AB 2+BC 2=5，∴△ABC 的周长＝3+4+5＝12，∵BD 平分△ABC 的周长，∴AB +AD ＝BC +CD ＝6，∴AD ＝3，CD ＝2，过D 作DE ⊥BC 于E ，∴AB ∥DE ，∴△CDE ∽△CAB ，∴DE AB =CD AC =CE CB ， ∴DE 3=25=CE 4，∴DE =65，CE =85，∴BE =125，∴BD =√BE 2+DE 2=√(125)2+(65)2=6√55，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．2．（2023•济宁）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（）A．180°﹣αB．180°﹣2αC．90°+αD．90°+2α【分析】过B点作BG∥CD，连接EG，根据平行线的性质得出∠ABG＝∠CFB＝α．根据勾股定理求出BG2＝17，BE2＝17，EG2＝34，那么BG2+BE2＝EG2，根据勾股定理的逆定理得出∠GBE＝90°，进而求出∠ABE的度数．【解答】解：如图，过B点作BG∥CD，连接EG，∵BG∥CD，∴∠ABG＝∠CFB＝α．∵BG2＝12+42＝17，BE2＝12+42＝17，EG2＝32+52＝34，∴BG2+BE2＝EG2，∴△BEG是直角三角形，∴∠GBE＝90°，∴∠ABE＝∠GBE+∠ABG＝90°+α．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，平行线的性质，准确作出辅助线是解题的关键．3．（2023•天津）如图，在△ABC 中，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M ，N 两点，直线MN 分别与边BC ，AC 相交于点D ，E ，连接AD ．若BD ＝DC ，AE ＝4，AD ＝5，则AB 的长为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AC ＝2AE ＝8，DA ＝DC ，从而可得∠DAC ＝∠C ，再结合已知易得BD ＝AD ，从而可得∠B ＝∠BAD ，然后利用三角形内角和定理可得∠BAC ＝90°，从而在Rt △ABC 中，利用勾股定理进行计算，即可解答．【解答】解：由题意得：MN 是AC 的垂直平分线，∴AC ＝2AE ＝8，DA ＝DC ，∴∠DAC ＝∠C ，∵BD ＝CD ，∴BD ＝AD ，∴∠B ＝∠BAD ，∵∠B +∠BAD +∠C +∠DAC ＝180°，∴2∠BAD +2∠DAC ＝180°，∴∠BAD +∠DAC ＝90°，∴∠BAC ＝90°，在Rt △ABC 中，BC ＝BD +CD ＝2AD ＝10，∴AB =√BC 2−AC 2=√102−82=6，故选：D ．【点评】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．4．（2023•泸州）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a ，b ，c 的计算公式：a =12（m 2﹣n 2），b ＝mn ，c =12（m 2+n 2），其中m ＞n ＞0，m ，n 是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（ ）A ．3，4，5B ．5，12，13C ．6，8，10D ．7，24，25【分析】根据题目要求逐一代入符合条件的m ，n 进行验证、辨别．【解答】解：∵当m ＝3，n ＝1时，a =12（m 2﹣n 2）=12（32﹣12）＝4，b ＝mn ＝3×1＝3，c =12（m 2+n 2）=12×（32+12）＝5，∴选项A 不符合题意；∵当m ＝5，n ＝1时，a =12（m 2﹣n 2）=12（52﹣12）＝12，b ＝mn ＝5×1＝5，c =12（m 2+n 2）=12×（52+12）＝13，∴选项B 不符合题意；∵当m ＝7，n ＝1时，a =12（m 2﹣n 2）=12（72﹣12）＝24，b ＝mn ＝7×1＝7，c =12（m 2+n 2）=12×（72+12）＝25，∴选项D 不符合题意；∵没有符合条件的m ，n 使a ，b ，c 各为6，8，10，∴选项C 符合题意，故选：C ．【点评】此题考查了整式乘法运算和勾股数的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．5．（2023•无锡）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DAB ＝30°，∠ADC ＝60°，BC ＝CD ＝2，若线段MN 在边AD 上运动，且1，则BM 2+2BN 2的最小值是（ ）A ．132B ．293C ．394D ．10【分析】过B 作BF ⊥AD 于F ，过C 作CE ⊥AD 于E ，根据直角三角形的性质得到CE =√32CD =√3，求得BF =CE =√3，要使BM 2+2BN 2的值最小，则BM 和BN 越小越好，MN 显然在点B 的上方（中间位置时），设MF ＝x ，FN ＝1﹣x ，根据勾股定理和二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：过B 作BF ⊥AD 于F ，过C 作CE ⊥AD 于E ，∵∠D ＝60°，CD ＝2，∴CE =√32CD =√3，∵AD∥BC，∴BF=CE=√3，要使BM2+2BN2的值最小，则BM和BN越小越好，∴MN显然在点B的上方（中间位置时），设MF＝x，FN＝1﹣x，∴BM2+2BN2＝BF2+FM2+2（BF2+FN2）＝x2+3+2[（1﹣x）2+3]＝3x2﹣4x+11＝3（x−23）2+293，∴当x=23时，BM2+2BN2的最小值是293．故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．6．（2023•日照）已知直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为S1，均重叠部分的面积为S2，则（）A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．S1，S2大小无法确定【分析】由直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，根据垂线段最短可知该直角三角形的斜边为c，则c2＝a2+b2，所以c2﹣a2﹣b2＝0，则S1＝c2﹣a2﹣b2+b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc，而S2＝b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc，所以S1＝S2，于是得到问题的答案．【解答】解：∵直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，∴该直角三角形的斜边为c，∴c2＝a2+b2，∴c2﹣a2﹣b2＝0，∴S1＝c2﹣a2﹣b2+b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc，∵S2＝b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc，∴S1＝S2，故选：C．【点评】此题重点考查勾股定理、正方形的面积公式、根据转化思想解决面积问题等知识与方法，确定三边为a，b，c的直角三角形的斜边为c是解题的关键．7．（2022•百色）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．如已知△ABC中，∠A＝30°，AC＝3，∠A所对的边为√3，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（）A．2√3B．2√3−3C．2√3或√3D．2√3或2√3−3【分析】根据题意知，CD＝CB，作CH⊥AB于H，再利用含30°角的直角三角形的性质可得CH，AH 的长，再利用勾股定理求出BH，从而得出答案．【解答】解：如图，CD＝CB，作CH⊥AB于H，∴DH＝BH，∵∠A＝30°，∴CH=12AC=32，AH=√3CH=32√3，在Rt△CBH中，由勾股定理得BH=√BC2−CH2=√3−94=√32，∴AB＝AH+BH=3√32+√32=2√3，AD＝AH﹣DH=3√32−√32=√3，故选：C．【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，理解题意，求出BH的长是解题的关键．8．（2022•南充）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是（）A．BF＝1B．DC＝3C．AE＝5D．AC＝9【分析】根据角平分线的性质和和勾股定理，可以求得CD和CE的长，再根据平行线的性质，即可得到AE的长，从而可以判断B和C，然后即可得到AC的长，即可判断D；再根据全等三角形的判定和性质即可得到BF的长，从而可以判断A．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB，∴∠1＝∠2，DC＝FD，∠C＝∠DFB＝90°，∵DE∥AB，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE，∵DE＝5，DF＝3，∴AE＝5，CD＝3，故选项B、正确；∴CE=√DE2−CD2=4，∴AC＝AE+EC＝5+4＝9，故选项D正确；∵DE∥AB，∠DFB＝90°，∴∠EDF＝∠DFB＝90°，∴∠CDE+∠FDB＝90°，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠FDB，∵tan∠DEC=CDCE，tan∠FDB=BFDF，∴34=BF3，解得BF=94，故选项A错误；故选：A．【点评】本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．9．（2022•遵义）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若AB ＝BC ＝1，∠AOB ＝30°，则点B 到OC 的距离为（ ）A ．√55B ．2√55C ．1D ．2【分析】作BH ⊥OC 于H ，利用含30°角的直角三角形的性质得OB ＝2，再由勾股定理得OC =√5，再根据cos ∠BOC ＝cos ∠CBH ，得OB OC =BH BC，代入计算可得答案． 【解答】解：作BH ⊥OC 于H ，∵∠AOB ＝30°，∠A ＝90°，∴OB ＝2AB ＝2，在Rt △OBC 中，由勾股定理得，OC =√OB 2+BC 2=√22+12=√5，∵∠CBO ＝∠BHC ＝90°，∴∠CBH ＝∠BOC ，∴cos ∠BOC ＝cos ∠CBH ，∴OB OC =BH BC ， ∴√5=BH1，∴BH =2√55， 故选：B ．【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，三角函数等知识，熟练掌握等角的三角函数值相等是解题的关键．10．（2022•安徽）已知点O 是边长为6的等边△ABC 的中心，点P 在△ABC 外，△ABC ，△P AB ，△PBC ，△PCA 的面积分别记为S 0，S 1，S 2，S 3．若S 1+S 2+S 3＝2S 0，则线段OP 长的最小值是（ ） A ．3√32 B ．5√32 C ．3√3 D ．7√32【分析】如图，不妨假设点P 在AB 的左侧，证明△P AB 的面积是定值，过点P 作AB 的平行线PM ，连接CO 并延长CO 交AB 于点R ，交PM 于点T ．因为△P AB 的面积是定值，推出点P 的运动轨迹是直线PM ，求出OT 的值，可得结论．【解答】解：如图，不妨假设点P 在AB 的左侧，∵S △P AB +S △ABC ＝S △PBC +S △P AC ，∴S 1+S 0＝S 2+S 3，∵S 1+S 2+S 3＝2S 0，∴S 1+S 1+S 0＝2S0，∴S 1=12S 0， ∵△ABC 是等边三角形，边长为6，∴S 0=√34×62＝9√3，∴S 1=9√32，过点P 作AB 的平行线PM ，连接CO 延长CO 交AB 于点R ，交PM 于点T ．∵△P AB 的面积是定值，∴点P 的运动轨迹是直线PM ，∵O 是△ABC 的中心，∴CT ⊥AB ，CT ⊥PM ，∴12•AB •RT =9√32，CR ＝3√3，OR =√3， ∴RT =3√32， ∴OT ＝OR +TR =5√32， ∵OP ≥OT ，∴OP 的最小值为5√32， 当点P 在②区域时，同法可得OP 的最小值为7√32， 如图，当点P 在①③⑤区域时，OP 的最小值为5√32，当点P 在②④⑥区域时，最小值为7√32， ∵5√32＜7√32，故选：B ．【点评】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是证明△P AB 的面积是定值．11．（2022•广元）如图，在△ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∠C ＝90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，与AB 交于点D ，再分别以A 、D 为圆心，大于12AD 的长为半径画弧，两弧交于点M 、N ，作直线MN ，分别交AC 、AB 于点E 、F ，则AE 的长度为（ ）A ．52B ．3C ．2√2D ．103【分析】利用勾股定理求出AB ，再利用相似三角形的性质求出AE 即可．【解答】解：在Rt △ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∴AB =√BC 2+AC 2=√62+82=10，∵BD ＝CB ＝6，∴AD ＝AB ﹣BC ＝4，由作图可知EF 垂直平分线段AD ，∴AF ＝DF ＝2，∵∠A ＝∠A ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°，∴△AFE ∽△ACB ，∴AE AB =AF AC ， ∴AE 10=28， ∴AE =52，故选：A ．【点评】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．12．（2022•南京）直三棱柱的表面展开图如图所示，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，四边形AMNB 是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点C 距离最大的是（ ）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q【分析】根据直三棱柱的特征结合勾股定理求出各线段的距离，再比较大小即可求解．【解答】解：如图，过C点作CE⊥AB于E，∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，32+42＝52，∴△ACB是直角三角形，∴CE=12AC•BC÷12÷AB＝3×4÷5＝2.4，∴AE=√AC2−CE2=√32−2．42=1.8，∴BE＝5﹣1.8＝3.2，∵四边形AMNB是正方形，立方体是直三棱柱，∴CQ＝5，∴CM＝CP=√52+32=√34，CN=√52+42=√41，∵√41＞√34＞5，∴与点C距离最大的是点N．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，展开图折叠成几何体，关键是求出各线段的距离．13．（2022•温州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE=√10+√2，则CH的长为（）A．√5B．3+√52C．2√2D．√10【分析】设CF 交AB 于点P ，过C 作CN ⊥AB 于点N ，设正方形JKLM 边长为m ，根据正方形ABGF 与正方形JKLM 的面积之比为5，得AF ＝AB =√5m ，证明△AFL ≌△FGM （AAS ），可得AL ＝FM ，设AL ＝FM ＝x ，在Rt △AFL 中，x 2+（x +m ）2＝（√5m ）2，可解得x ＝m ，有AL ＝FM ＝m ，FL ＝2m ，从而可得AP =√5m 2，FP =52m ，BP =√5m 2，即知P 为AB 中点，CP ＝AP ＝BP =√5m 2，由△CPN ∽△FP A ，得CN ＝m ，PN =12m ，即得AN =√5+12m ，而tan ∠BAC =BC AC =CN AN =2√5+1，又△AEC ∽△BCH ，得BC AC =CH CE，即√5+1=√10+√2，故CH ＝2√2．【解答】解：设CF 交AB 于点P ，过C 作CN ⊥AB 于点N ，如图：设正方形JKLM 边长为m ，∴正方形JKLM 面积为m 2，∵正方形ABGF 与正方形JKLM 的面积之比为5，∴正方形ABGF 的面积为5m 2， ∴AF ＝AB =√5m ，由已知可得：∠AFL ＝90°﹣∠MFG ＝∠MGF ，∠ALF ＝90°＝∠FMG ，AF ＝GF ，∴△AFL ≌△FGM （AAS ），∴AL ＝FM ，设AL ＝FM ＝x ，则FL ＝FM +ML ＝x +m ，在Rt △AFL 中，AL 2+FL 2＝AF 2，∴x 2+（x +m ）2＝（√5m ）2，解得x ＝m 或x ＝﹣2m （舍去），∴AL ＝FM ＝m ，FL ＝2m ， ∵tan ∠AFL =AP AF =AL FL =m 2m =12，∴√5m=12， ∴AP =√5m 2，∴FP =√AP 2+AF 2=√(5m 2)2+(√5m)2=52m ，BP ＝AB ﹣AP =√5m −√5m 2=√5m 2， ∴AP ＝BP ，即P 为AB 中点，∵∠ACB ＝90°，∴CP ＝AP ＝BP =√5m2，∵∠CPN ＝∠APF ，∠CNP ＝90°＝∠F AP ，∴△CPN ∽△FP A ，∴CP FP =CN AF =PN AP ，即√5m 252m =5m =√5m 2，∴CN ＝m ，PN =12m ， ∴AN ＝AP +PN =√5+12m ，∴tan ∠BAC =BC AC =CN AN =m √5+12=25+1， ∵△AEC 和△BCH 是等腰直角三角形， ∴△AEC ∽△BCH ，∴BC AC =CH CE ，∵CE =√10+√2，∴√5+1=10+2，∴CH ＝2√2，故选：C ．【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是用含m 的代数式表示相关线段的长度．14．（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，BC 上的格点，BM ＝4，BN ＝2．若点P 是这个网格图形中的格点，连结PM ，PN ，则所有满足∠MPN ＝45°的△PMN 中，边PM 的长的最大值是（ ）A．4√2B．6C．2√10D．3√5【分析】在网格中，以MN为直角边构造一个等腰直角三角形，使PM最长，利用勾股定理求出即可．【解答】解：如图所示：∵BM＝NC＝4，BN＝CP＝2，且∠B＝∠C＝90°，∴△BMN≌△CNP（SAS），∴MN＝NP，∠BMN＝∠CNP，∵∠BMN+∠BNM＝90°，∴∠BNM+∠CNP＝90°，∴∠MNP＝90°，∴△NMP为等腰直角三角形，根据题意得到点P的轨迹为圆弧，当MP为直径时最长，在Rt△BMN和Rt△NCP中，根据勾股定理得：MN＝NP=√22+42=2√5，则PM=√MN2+PN2=2√10．故选：C．【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．15．（2022•攀枝花）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC．若OC=√5，BC＝1，∠AOB＝30°，则OA的值为（）A．√3B．32C．√2D．1【分析】根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠OBC＝90°，OC=√5，BC＝1，∴OB=√OC2−BC2=√(√5)2−12=2，∵∠A＝90°，∠AOB＝30°，∴AB=12OB＝1，∴OA=√OB2−AB2=√22−12=√3，故选：A．【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，三角函数等知识，熟练掌握等角的16．（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3，1），（4，﹣2），下列各地点中，离原点最近的是（）A．超市B．医院C．体育场D．学校【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，然后根据勾股定理，可以得到点O到超市、学校、体育场、医院的距离，再比较大小即可．【解答】解：如右图所示，点O到超市的距离为：√22+12=√5，点O到学校的距离为：√32+12=√10，点O到体育场的距离为：√42+22=√20，点O到医院的距离为：√12+32=√10，∵√5＜√10=√10＜√20，∴点O到超市的距离最近，故选：A．【点评】本题考查勾股定理、平面直角坐标系，解答本题的关键是明确题意，作出合适平面直角坐标系．17．（2021•山西）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（）A．统计思想B．分类思想C．数形结合思想D．函数思想【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．【解答】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．18．（2021•襄阳）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺【分析】设水深为h尺，则芦苇长为（h+1）尺，根据勾股定理列方程，解出h即可．【解答】解：设水深为h尺，则芦苇长为（h+1）尺，根据勾股定理，得（h+1）2﹣h2＝（10÷2）2，解得h＝12，∴水深为12尺，故选：C．【点评】本题主要考查勾股定理的应用，熟练根据勾股定理列出方程是解题的关键．19．（2021•自贡）如图，A（8，0），C（﹣2，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（）A．（0，5）B．（5，0）C．（6，0）D．（0，6）【分析】根据已知可得AB＝AC＝10，OA＝8．利用勾股定理即可求解．【解答】解：根据已知可得：AB＝AC＝10，OA＝8．在Rt△ABO中，OB=√AB2−OA2=6．∴B（0，6）．故选：D．【点评】本题考查勾股定理的应用、坐标的特征知识．关键在于利用点的坐标表示边的长度．20．（2021•常德）阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（）A．②④B．①②④C．①②D．①④【分析】根据广义勾股数的定义进行判断即可．【解答】解：①∵7不能表示为两个正整数的平方和，∴7不是广义勾股数，故①结论正确；②∵13＝22+32，∴13是广义勾股数，故②结论正确；③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③结论错误；④设m1=a2+b2，m2=c2+d2，则m1⋅m2=(a2+b2)⋅(c2+d＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2＝（a2c2+b2d2+2abcd）+（a2d2+b2c2﹣2abcd）＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2，ad＝bc或ac＝bd时，两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数，如2和2都是广义勾股数，但2×2＝4，4不是广义勾股数，故④结论错误，∴依次正确的是①②．故选：C．【点评】本题考查了勾股数的综合应用，掌握勾股定理以及常见的勾股数是解题的关键．21．（2023•赤峰）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．点F是AB中点，连接CF，把线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE 的周长和面积分别是（）A．16，6B．18，18C．16，12D．12，16【分析】先论证四边形CFDE是平行四边形，再分别求出CF，CD，DF，继而用平行四边形的周长公式和面积公式求出即可．【解答】解：由平移的性质可知DF∥CE，DF＝CE，∴四边形CFDE是平行四边形，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC=√AB2−BC2=√102−62=8，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，点F是AB的中点，∴CF=12AB＝5，∵DF∥CE，点F是AB的中点，∴ADAC=AFAB=12，∠CDF＝180°﹣∠ABC＝90°，∴点D是AC的中点，∴CD=12AC＝4，∵点F是AB的中点，点D是AC的中点，∴DF是Rt△ABC的中位线，∴DF=12BC＝3，∴四边形CFDE的周长为2（DF+CF）＝2×（5+3）＝16，四边形CFDE的面积为DF•CD＝3×4＝12．故选：C．【点评】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理等知识，推到四边形FDE是平行四边形和DF是Rt △ABC的中位线是解决问题的关键．22．（2023•株洲）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm【分析】根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出CD的长．【解答】解：由图可得，∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），点D为线段AB的中点，∴CD=12AB＝3cm，故选：B．【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23．（2022•永州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为（）A．√3B．2√3C．2D．4【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得到结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，BD＝2，∴AC＝2BD＝4，∵∠C＝60°，∴∠A＝30°，∴BC =12AC ＝2，故选：C ．【点评】本题考查了直角三角形斜边中线，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．24．（2022•大连）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°．分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点，作直线MN ．直线MN 与AB 相交于点D ，连接CD ，若AB ＝3，则CD 的长是（ ）A ．6B ．3C ．1.5D ．1【分析】根据题意可知：MN 是线段AC 的垂直平分线，然后根据三角形相似可以得到点D 为AB 的中点，再根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，即可得到CD 的长．【解答】解：由已知可得，MN 是线段AC 的垂直平分线，设AC 与MN 的交点为E ，∵∠ACB ＝90°，MN 垂直平分AC ，∴∠AED ＝∠ACB ＝90°，AE ＝CE ，∴ED ∥CB ，∴△AED ∽△ACB ，∴AE AC =AD AB ，∴12=AD AB， ∴AD =12AB ，∴点D 为AB 的中点，∵AB ＝3，∠ACB ＝90°，∴CD =12AB ＝1.5，故选：C．【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．25．（2021•新疆）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，CD⊥AB于点D，E是AB 的中点，则DE的长为（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用三角形的内角和定理可得∠B＝60°，由直角三角形斜边的中线性质定理可得CE＝BE＝2,利用等边三角形的性质可得结果．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°,∵E是AB的中点,AB＝4，∴CE＝BE=12AB=12×4=2,∴△BCE为等边三角形，∵CD⊥AB,∴DE＝BD=12BE=12×2=1,故选：A．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握定理是解答此题的关键．26．（2023•贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是（）A ．4mB ．6mC ．10mD ．12m【分析】作AD ⊥BC 于点 D ，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠B ＝∠C =12（180°﹣∠BAC ）＝30°，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．【解答】解：如图，作AD ⊥BC 于点D ，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C =12（180°﹣∠BAC ）＝30°， 又∵AD ⊥BC ，∴AD =12AB =12×12＝6（m ），故选：B ．【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题关键是掌握3027．（2021•黑龙江）如图，矩形ABCD 的边CD 上有一点E ，∠DAE ＝22.5°，EF ⊥AB ，垂足为F ，将△AEF 绕着点F 顺时针旋转，使得点A 的对应点M 落在EF 上，点E 恰好落在点B 处，连接BE ．下列结论：①BM ⊥AE ；②四边形EFBC 是正方形；③∠EBM ＝30°；④S 四边形BCEM ：S △BFM ＝（2√2+1）：1．其中结论正确的序号是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．③④【分析】延长BM 交AE 于N ，连接AM ，由垂直的定义可得∠AFE ＝∠EFB ＝90°，根据直角三角形的两个锐角互余得∠EAF ＝67.5°，从而有∠EAF +∠FBM ＝90°，得到①正确；根据三个角是直角可判断四边形EFBC是矩形，再由EF＝BF可知是正方形，故②正确，计算出∠EBM＝22.5°得③错误；根据等腰直角三角形的性质可知AM=√2FM，推导得出AM＝EM=√2FM，从而EF＝EM+FM＝（√2+1）FM，得到S△EFB：S△BFM＝（√2+1）：1，再由S四边形BCEF＝2S△EFB，得S四边形BCEM：S△BFM＝（2√2+1）：1，判断出④正确．【解答】解：如图，延长BM交AE于N，连接AM，∵EF⊥AB，∴∠AFE＝∠EFB＝90°，∵∠DAE＝22.5°，∴∠EAF＝90°﹣∠DAE＝67.5°，∵将△AEF绕着点F顺时针旋转得△MFB，∴MF＝AF，FB＝FE，∠FBM＝∠AEF＝∠DAE＝22.5°，∴∠EAF+∠FBM＝90°，∴∠ANB＝90°，∴BM⊥AE，故①正确；∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，∵∠EFB＝90°，∴四边形EFBC是矩形，又∵EF＝BF，∴矩形EFBC是正方形，故②正确；∴∠EBF＝45°，∴∠EBM＝∠EBF﹣∠FBM＝45°﹣22.5°＝22.5°，故③错误；∵∠AFM＝90°，AF＝FM，∴∠MAF＝45°，AM=√2FM，∴∠EAM＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠AEM＝∠MAE，∴EM＝AM=√2FM，∴EF＝EM+FM＝（√2+1）FM，∴S△EFB：S△BFM＝（√2+1）：1，又∵四边形BCEF是正方形，∴S四边形BCEF＝2S△EFB，∴S四边形BCEM：S△BFM＝（2√2+1）：1，故④正确，∴正确的是：①②④，故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理和正方形的判定与性质，掌握常用辅助线的添加方法，灵活运用相关知识是解题的关键．28．（2022•绍兴）如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】根据平行线的性质，可以得到∠CBF的度数，再根据∠ABC＝90°，可以得到∠1的度数．【解答】解：∵AC∥EF，∠C＝30°，∴∠C＝∠CBF＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，故选：C．【点评】本题考查直角三角形的性质、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．二．填空题（共27小题）29．（2023•东营）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km 至C港，则A，C两港之间的距离为km．【分析】根据题意可得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF，从而可得∠DAB＝∠ABE＝60°，然后利用平角定义可得∠ABC＝90°，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：如图：由题意得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF，∴∠DAB＝∠ABE＝60°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABE﹣∠FBC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝30km，BC＝40km，AC=√AB2+BC2=√302+40250（km），∴A，C两港之间的距离为50km，故答案为：50．【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据题目的已知条件画出图形进行分析是解题的关键．30．（2023•菏泽）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为．【分析】设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB交⊙O于F′，证得∠DF A＝90°，于是得到点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到OB与⊙O是交点F′时，线段BF有最小值，据此解答即可．【解答】解：设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB交⊙O于F′，∵∠ABC＝∠BAD＝90°，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵∠ADF＝∠BAE，∴∠DF A＝∠ABE＝90°，∴点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到OB与⊙O是交点F′时，线段BF有最小值，∵AD＝4，∴AO=OF′=12AD=2，∴BO=√52+22=√29，∴线段BF的最小值为√29−2，故答案为：√29−2．【点评】本题考查了勾股定理，平行线的性质，圆周角定理，根据题意得到点F的运动轨迹是解题的关键．31．（2023•随州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC 的角平分线，则AD＝．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质得到CD＝DE，再通过HL证明Rt△BCD≌Rt△BED，得到BC＝BE＝6，根据勾股定理可求出AB＝10，进而求出AE＝4，设CD＝DE＝x，则AD＝8﹣x，在Rt△ADE中，利用勾股定理建立方程求解即可．【解答】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∵∠C ＝90°，∴CD ⊥BC ，∵BD 是∠ABC 的角平分线，CD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴CD ＝DE ，在Rt △BCD 和Rt △BED 中，{CD =DE BD =BD， ∴Rt △BCD ≌Rt △BED （HL ），∴BC ＝BE ＝6，在Rt △ABC 中，AB =√AC 2+BC 2=√82+62=10，∴AE ＝AB ﹣BE ＝10﹣6＝4，设CD ＝DE ＝x ，则AD ＝AC ﹣CD ＝8﹣x ，在Rt △ADE 中，AE 2+DE 2＝AD 2，∴42+x 2＝（8﹣x ）2，解得：x ＝3，∴AD ＝8﹣x ＝5．故答案为：5．【点评】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解二元一次方程，解题关键是正确作出辅助线，利用角平分线的性质和勾股定理解决问题．32．（2023•扬州）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a 、b ，斜边长为c ，若b ﹣a ＝4，c ＝20，则每个直角三角形的面积为 ．【分析】根据勾股定理可知a 2+b 2＝c 2，再根据b ﹣a ＝4，c ＝20，即可得到a 、b 的值，然后即可计算出每个直角三角形的面积．【解答】解：由图可得，a 2+b 2＝c 2，∴{a 2+b 2=202b −a =4且a 、b 均大于0， 解得{a =12b =16， ∴每个直角三角形的面积为12ab =12×12×16＝96， 故答案为：96．【点评】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出a 、b 的值．33．（2022•常州）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，BC ＝12．在Rt △DEF 中，∠F ＝90°，DF ＝3，EF ＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF ，Rt △DEF 从起始位置（点D 与点B 重合）平移至终止位置（点E 与点A 重合），且斜边DE 始终在线段AB 上，则Rt △ABC 的外部被染色的区域面积是 ．【分析】如图，连接CF 交AB 于点M ，连接CF ′交AB 于点N ，过点F 作FG ⊥AB 于点G ，过点F ′作F ′H ⊥AB 于点H ，连接FF ′，则四边形FGHF ′是矩形，Rt △ABC 的外部被染色的区域是梯形MFF ′N ．求出梯形的上下底以及高，可得结论．【解答】解：如图，连接CF 交AB 于点M ，连接CF ′交AB 于点N ，过点F 作FG ⊥AB 于点H ，过点F ′作F ′H ⊥AB 于点G ，连接FF ′，则四边形FGHF ′是矩形，Rt △ABC 的外部被染色的区域是梯形MFF ′N ．在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，∴DE=√DF2+EF2=√32+42=5，在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，∴AB=√AC2+BC2=√92+122=15，∵12•DF•EF=12•DE•GF，∴FG=12 5，∴BG=√BF2−FG2=√32−(125)2=95，∴GE＝BE﹣BG=165，AH＝GE=165，∴F′H＝FG=12 5，∴FF′＝GH＝AB﹣BG﹣AH＝15﹣5＝10，∵BF∥AC，∴BMAM=BFAC=13，∴BM=14AB=154，同法可证AN=14AB=154，∴MN＝15−154−154=152，∴Rt△ABC的外部被染色的区域的面积=12×（10+152）×125=21，故答案为：21．【点评】本题考查勾股定理，梯形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题在的压轴题．34．（2022•无锡）已知△ABC中，∠B＝45o，∠C＝60o，AB=√6，则AC＝．【分析】：过A作AH⊥BC于H，由∠B＝45°，得BH＝AH=AB2=√3，而∠C＝60°，知CH=12AC，由勾股定理有（12AC）2+（√3）2＝AC2，即可解得答案．【解答】解：过A作AH⊥BC于H，如图：∵∠B ＝45°，∴△ABH 是等腰直角三角形，∴BH ＝AH =AB 2=√62=√3， ∵∠C ＝60°，∴∠CAH ＝30°，∴CH =12AC ，在Rt △ACH 中，CH 2+AH 2＝AC 2，∴（12AC ）2+（√3）2＝AC 2， 解得AC ＝2（负值舍去），故答案为：2．【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握含45°，30°角的直角三角形三边的关系．35．（2022•无锡）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90o ，AC ＝2，BC ＝4，点E 、F 分别在AB 、AC 上，点A 关于EF 的对称点A '落在BC CA '＝x ．若AE ＝AF ，则x ＝ ；设AE ＝y ，请写出y 关于x 的函数表达式： ．【分析】连接A 'E ，A 'F ，由点A 关于EF 的对称点A '落在BC 上，AE ＝AF ，可得A 'E ＝AE ＝A 'F ＝AF ，四边形AEA 'F 是菱形，即知A 'B ＝2A 'E ，而CA '＝x ，在Rt △A 'CF 中，可得x 2+（12x ）2＝（2−12x ）2，解得x =√5−1；若AE ＝y ，过E 作EH ⊥BC 于H ，由△BHE ∽△BCA ，可得BH ＝4−2√55y ，HE ＝2−√55y ，在Rt △A 'HE 中，有（2√55y ﹣x ）2+（2−√55y ）2＝y 2，变形可得答案． 【解答】解：连接A 'E ，A 'F ，如图：。

22.直角三角形与勾股定理一、选择题1. (2018·攀枝花)如图，等腰直角三角形的顶点,A C 分别在直线,a b 上.若//a b ，130∠=︒.则2∠的度数为( )A. 30ºB. 15ºC.10ºD. 20º2. (2018·葫芦岛)如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在AC 上，//DE AB .若165CDE ∠=︒，则B ∠的度数为( )A.15ºB. 55ºC. 65ºD. 75º 3. (2018·滨州)在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. (2018·南通)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )A. 3,4,5B. 2,3,4C. 4,6.7D. 5,11,125. (2018·长沙)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目:“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何?”这道题讲的是，有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大?题中“里”是我国市制长度单位，1里= 500米，则该沙田的面积为( ) A. 7. 5平方千米 B. 15平方千米 C. 75平方千米 D. 750平方千米6. (2018·庐州)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的较长直角边长为a ，较短直角边长为b .若8ab =，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为( )A. 9B. 6C. 4D. 37. (2018·扬州)如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，CE 平分ACD ∠交AB 于点E ，则下列结论一定成立的是( )A. BC EC =B. EC BE =C. BC BE =D. AE EC =8. (2018·常德)如图，BD 是ABC ∆的角平分线，ED 是BC 的垂直平分线，90BAC ∠=︒，3AD =，则CE 的长为( )A. 6B. 5C. 4D.9. (2018·黄冈)如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 为AB 边上的高，CE 为AB 边上的中线，2AD =，5CE =，则CD 的长为( )A. 2B. 3C. 4D. 10. (2018·淄博)如图，在Rt ABC ∆中，CM 平分ACB ∠交AB 于点M ，过点M 作//MN BC 交AC 于点N ，且MN 平分∠1AN =，则BC 的长为( )A. 4B. 6C.D. 811. (2018·贺州)如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为D ，E 是边BC的中点，3AD ED ==，则BC 的长为( )A. B. C. 6 D. 12.(2018·东营)如图，点E 在DBC ∆的边DB 上，点A 在DBC ∆内部，90DAE BAC ∠=∠=︒，AD AE =，AB AC =.给出下列结论:①BD CE =;②45ABD ECB ∠+∠=︒;③BD CE ⊥;④22222()BE AD AB CD =+-.其中正确的是( )A.①②③④B.②④C.①②③D.①③④13. (2018·温州)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图所示的矩形由两个这样的图形拼成.若3,4a b ==，则该矩形的面积为( )A. 20B. 24C.994 D. 53214.(2018·东营)如图，圆柱的高3AB =，底面直径3BC =，现在有一只蚂蚁想要从A 处沿圆柱表面爬到对角C 处捕食，则它爬行的最短距离是( )A. B. C. D.二、填空题15. (2018·福建)如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AB =，D 是AB 的中点，则CD的长为 .16. (2018·广安)如图，15AOE BOE ∠=∠=︒，//EF OB ，EC OB ⊥于点C .若1EC =，则OF 的长为 .17. (2018·德州)如图，OC 为AOB ∠的平分线，CM OB ⊥，5OC =，4OM =，则点C到射线OA 的距离为 .18. (2018·吉林)如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4,0)，点B 的坐标为(0,3)，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点C ，则点C 的坐标为 .19. (2018·湘潭)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”翻译成数学问题是，如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，10AC AB +=，3BC =，求AC 的长.如果设AC x =，那么可列方程为 . 20. (2018·天津)如图，在边长为4的等边三角形ABC 中，,D E 分别为,AB BC 的中点，EF AC ⊥于点F ，G 为EF 的中点，连接DG ，则DG 的长为 . 21. (2018·玉林)如图，在四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=︒，60A ∠=︒，4AB =，则AD的取值范围是 .22. (2018·绵阳)如图，在ABC ∆中，3,4AC BC ==.若,AC BC 边上的中线,BE AD 垂直相交于点O ，则AB 的长为 .23. (2018·云南)在ABC ∆中，5AB AC ==.若BC 边上的高为3，则BC 边的长为 .24. (2018襄阳)已知CD 是ABC ∆的边AB 上的高，若1,2CD AD AB ===AC ，则BC 的长为 .25. (2018·双鸭山)在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3,4AB BC ==，过点B 的直线把ABC ∆分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积为 . 三、解答题26. (2018·南通)如图，沿AC 方向开山修路.为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC 上的一点B 取120ABD ∠=︒，520BD =m ，30D ∠=︒.那么另一边开挖点E 离点D 多远正好使,,A C E 三点在同一条直线上 1. 732，结果取整数)27. (2018·杭州)如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段AB 于点D ;以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E ，连接CD . (1)若28A ∠=︒，求ACD ∠的度数， (2)设,BC a AC b ==.①线段AD 的长是方程2220x ax b +-=的一个根吗?说明理由.②若AD EC =，求ab的值.28. (2018·双鸭山)如图，在Rt BCD ∆中，90CBD ∠=︒，BC BD =，点A 在CB 的延长线上，且BA BC =，点E 在直线BD 上移动，过点E 作射线EF EA ⊥，交CD 所在直线于点F .(1)当点E 在线段BD 上移动时，如图①所示，求证:2BC DE DF -=. (2)当点E 在线段BD 上移动时，如图②③所示，线段,BC DE 与DF 又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想，不需要证明.29. (2018·台州)如图，在Rt ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点,D E 分别在,AC BC 上，且CD CE =.(1)如图①，求证: CAE CBD ∠=∠;(2)如图②，F 是BD 的中点，求证: AE CF ⊥;(3)如图③，,F G 分别是,BD AE 的中点，AC =1CE =，求CGF ∆的面积.30. (2018·安徽)如图①，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 为边AC 上一点，DE AB⊥于点E ，M 为BD 的中点，CM 的延长线交AB 于点F . (1)求证;CM EM =;(2)若50BAC ∠=︒，求EMF ∠的大小;(3)如图②，若DAE CEM ∆≅∆，N 为CM 的中点，求证://AN EM .参考答案一、1. B 2. D 3. A 4. A 5. A 6. D 7. C 8. D9. C 10. B 11. D 12. A 13. B 14. C 二、15. 3 16. 2 17. 3 18. (1,0)-19. 2223(10)x x +=-20.221. 28AD << 22.23. 9或1 24. 25. 3.6或4.32或4.8 三、26. 另一边开挖点E 离点D 450 m ，正好使,,A C E 三点在同一条直线上 27. (1) 31ACD ∠=︒(2) ①解得AD a =，∴线段AD 的长是方程2220x ax b +-=的一个根②34a b = 28. (1)如图，在BA 上截取BH BE =. ∵90CBD ∠=︒， ∴90ABD ∠=︒.在Rt HBE ∆中，根据勾股定理，得 222BE BH EH +=，即222BE EH =，∴BE BH =. ∵,BC AB BD BE BH ===， ∴AH ED =.∵90AEF ABE ∠=∠=︒， ∴HAE FED ∠=∠.∵90ABE CBD ∠=∠=︒，,BA BC BH BE ==， ∴45BHE CDB ∠=∠=︒， ∴135AHE EDF ∠=∠=︒，∴()AHE EDF ASA ∆≅∆， ∴HE DF =，∴22BC DE BD DE BE HE DF -=-=== (2)题图②中，2DE BC DF -=；题图③中，2DE BC DF +=.29. (1) 在ACE ∆和BCD ∆中，90AC BC ACE BCD CD CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴ACE BCD ∆≅∆， ∴CAE CBD ∠=∠.(2)如图①，设,AE CF 相交于点M .∵在Rt BCD ∆中，90BCD ∠=︒，F 是BD 的中点，∴12CF BD BF ==. ∴BCF CBF ∠=∠，由(1)可知，CAE CBD ∠=∠， ∴BCF CAE ∠=∠，∴90CAE ACF BCF ACF ACB ∠+∠=∠+∠=∠=︒， ∴在AMC ∆中，90AMC ∠=︒， ∴AE CF ⊥(3) 78CGF S ∆=30. (1) ∵90ACB ∠=︒，M 为BD 的中点， ∴在Rt BCD ∆中，12BM DM CM BD ===. ∵DE AB ⊥，∴在Rt BED ∆中，12BM DM EM BD ===， ∴CM EM =. (2) 100EMF ∠=︒(3)∵DAE CEM ∆≅∆，∴90DEA CME ∠=∠=︒，DE CM =，AE EM =. 由(1)得CM DM EM ==， ∴DE DM EM ==， ∴DEM ∆是等边三角形，∴30MEF DEF DEM ∠=∠-∠=︒. 如图，连接AM .1152EAM EMA MEF ∠=∠=∠=︒ ∴75AMC CME EMA ∠=∠-∠=︒.又∵30CMD CME EMD ∠=∠-∠=︒，且MC MD =， ∴75ACM ∠=︒， ∴AMC ACM ∠=∠， ∴AC AM =.又∵在ACM ∆中，N 为CM 的中点， ∴AN CM ⊥，∴90ANC CME ∠=∠=︒， ∴//AN EM .。

直角三角形与勾股定理综合练习题直角三角形和勾股定理是数学中重要的概念和定理，它们在许多实际问题中都有广泛的应用。

下面将通过一系列练习题来加深对直角三角形和勾股定理的理解和运用。

练习题一：已知一直角三角形的直角边长分别为3厘米和4厘米，求斜边的长度。

解答一：根据勾股定理，斜边的长度等于直角边长的平方和的平方根，即斜边长度为√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5厘米。

练习题二：已知一个直角三角形的斜边长为10厘米，一直角边长为6厘米，求另一直角边的长度。

解答二：根据勾股定理，另一直角边的长度等于斜边长的平方减去已知直角边长的平方再开方，即另一直角边长度为√(10^2-6^2)=√(100-36)=√64=8厘米。

练习题三：已知一个直角三角形的两个直角边长分别为7厘米和24厘米，求斜边的长度。

解答三：根据勾股定理，斜边的长度等于直角边长的平方和的平方根，即斜边长度为√(7^2+24^2)=√(49+576)=√625=25厘米。

练习题四：已知一个三角形的三边长分别为5厘米、12厘米和13厘米，判断该三角形是否为直角三角形。

解答四：根据勾股定理，若三边长满足a^2+b^2=c^2，其中a、b为两个直角边长，c为斜边长，则该三角形为直角三角形。

对于给定的三边长5厘米、12厘米和13厘米，可以计算得到5^2+12^2=25+144=169=13^2，因此该三角形为直角三角形。

练习题五：已知一个三角形的三边长分别为8厘米、9厘米和10厘米，判断该三角形是否为直角三角形。

解答五：对于给定的三边长8厘米、9厘米和10厘米，计算得到8^2+9^2=64+81=145，但10^2=100，因此8^2+9^2≠10^2，不满足勾股定理的条件，所以该三角形不是直角三角形。

通过以上练习题，我们可以巩固直角三角形和勾股定理的知识。

直角三角形的斜边长可以通过勾股定理求得，已知两个直角边长可以判断一个三角形是否为直角三角形。

第20课时 直角三角形与勾股定理一、选择题1、（2019•渝北区）如果下列各组数是三角形的三边，则能组成直角三角形的是（ ） A ．1，，2B ．1，3，4C ．2，3，6D ．4，5，6【答案】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【解析】A 、12+（）2＝22，故是直角三角形，故此选项正确；2、（2019•益阳）已知M 、N 是线段AB 上的两点，AM ＝MN ＝2，NB ＝1，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC ，BC ，则△ABC 一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】B【解析】如图所示，AC ＝AN ＝4，BC ＝BM ＝3，AB ＝2+2+1＝5， ∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ABC 是直角三角形，且∠ACB ＝90°， 故选：B ．3、（2019咸宁）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（ ）【答案】B【解析】解：“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小 正方形拼成的一个大正方形，如图所示： 故选：B ．4、(2019·广元)如图,△ABC 中,∠ABC ＝90°,BA ＝BC ＝2,将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°得到△DEC,连接BD,则BD 2的值是________【答案】843+【解析】连接AD,过点D 作DM ⊥BC 于点M,DN ⊥AC 于点N,易得△ACD 是等边三角形,四边形BNDM 是正方形,设CM ＝x,则DM ＝MB ＝x+2,∵BC ＝2, ∴CD ＝AC ＝22,∴在Rt △MCD 中,由勾股定理可求得,x ＝31-,DM ＝MB ＝31+,∴在Rt △BDM 中,BD 2＝MD 2+MB 2＝843+.5、（2019·益阳）已知M 、N 是线段AB 上的两点，AM=MN=2，NB ＝1，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC 、BC ，则△ABC 一定是（） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 【答案】B【解析】如图所示，∵AM=MN=2，NB ＝1，∴AB=AM=MN+NB ＝2+2+1=5，AC=AN=AM+MN=2+2=4，BC=BM=BN+MN1+2=3，∴25522==AB ，16422==AC ，9322==BC ,∴222AB BC AC =+，∴△ABC 是直角三角形. 6、(2019·宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1,以直角三角形的各边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出 A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.较小两个正方形重叠部分的面积D.最大正方形与直角三角形的面积和【答案】C【解析】设图中三个正方形边长从小到大依次为:a,b,c,则S 阴影＝c 2－a 2－b 2+b(a+b －c),由勾股定理可知,c 2＝a 2－b 2,∴S 阴影＝c 2－a 2－b 2+S 重叠＝S 重叠,即S 阴影＝S 重叠,故选C.7、（2019毕节市） 如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，若EB ＝1，EC ＝2，那么正方形ABCD 的面积为（ ） A ．3 B ．3C ．5D ．5【答案】B ．【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝90°，∴BC 2＝EC 2﹣EB 2＝22﹣12＝3， ∴正方形ABCD 的面积＝BC 2＝3．故选：B ．8、（2019•南岸区）如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠C ＝30°，BC 的垂直 平分线交AC 于点D ，并交BC 于点E ，若ED ＝3，则AC 的长为（ ） A ．3 B ．3C ．6D ．9【答案】D ．【解析】∵DE 是线段BC 的垂直平分线， ∴DC ＝DB ，DE ⊥BC ，P∵∠C ＝30°， ∴BD ＝DC ＝2DE ＝3， ∴∠DBC ＝∠C ＝30°，在△ABC 中，∠A ＝90°，∠C ＝30°， ∴∠ABC ＝60°，∴∠ABD ＝60°﹣30°＝30°， ∴AD ＝BD ＝3， ∴AC ＝DC +AD ＝9， 故选：D ．9、（2019湖州）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形．P 是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P 的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ）A ．22B ．5C ．352D ．10【答案】D ．【解析】如答图，取左下角的小正方形的中心O ，作直线OP ，得线段AB ，则沿折痕AB 裁剪，即可将该图形面积两等分．过点A 作AC ⊥BD 于点C ，则∠ACB ＝90°．由中心对称的性质可知，BD ＝EF ＝AG ，从而BC ＝1．又AC ＝3，故在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB ＝2231+＝10．故选D ．二、填空题10、（2019宜宾）如图，已知直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，4AC =，3BC =，则AD = ．【答案】165【解析】解：在Rt ABC ∆中，225AB AC BC =+=，GF ED CB AO P由射影定理得，2AC AD AB =g ，2165AC AD AB ∴==，故答案为：165．11、（2019·苏州） “七巧板”是我们祖先的一项卓越创造．可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”图①是由边长为10cm 的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为 cm （结果保留根号）.（图①） （图②）【答案】522【解析】本题考查了正方形性质、等腰直角三角形性质的综合，由题意可知，等腰三角形①与等腰三角形②全等，且它们的斜边长都为12×10=5cm ，设正方形阴影部分的边长为x cm ，则5x=sin45°=22，解得x =522，故答案为522. 12、(2019·枣庄)把两个同样大小含45°的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点B,C,D 在同一直线上,若AB ＝2,则 CD ＝________.【答案】6－2【解析】在等腰直角△ABC 中,∵AB ＝2,∴BC ＝22,过点A 作AM ⊥BD 于点M,则AM ＝MC ＝12BC ＝2,在Rt △AMD 中,AD ＝BC ＝22,AM ＝2,∴MD ＝6,∴CD ＝MD －MC ＝6－2.13、（2019南京）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm 的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 cm ．【答案】5【解析】解：由题意可得：杯子内的筷子长度为：15，则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20﹣15＝5（cm ）． 故答案为5．14、（2019哈尔滨）如图将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△A′B′C,其中点A′与A 是对应点,点B′与B 是对应点,点B′落在边AC 上,连接A′B,若∠ACB=45°,AC=3,BC=2,则A′B 的长为 ．【答案】：13【解析】解：∵将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△A ′B ′C ， ∴AC ＝A 'C ＝3，∠ACB ＝∠ACA '＝45° ∴∠A 'CB ＝90°∴A 'B ＝22BC A C '+＝13 故答案为1315、(2019海南)如图,将Rt △ABC 的斜边AB 绕点A 顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE,直角边AC 绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF,连接EF,若AB ＝3,AC ＝2,且α+β＝∠B,则EF ＝________.【答案】13【解析】∵α+β＝∠B,∴∠EAF ＝∠BAC+∠B ＝90°,∴△AEF 是直角三角形,且AE ＝AB ＝3,AF ＝AC ＝2,∴EF ＝22AE AF +＝1316、(2019大庆)我国古代数学家赵爽的"勾股方圆图"是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a －b)2的值是______.【答案】1【解析】(a －b)2＝a 2+b 2－2ab,其中,由勾股定理可得,a 2+b 2＝13,直角三角形面积＝(13－1)÷4＝3,即132ab =,所以ab ＝6所以(a －b)2＝a 2+b 2－2ab ＝13－12＝117、（2019北京市）如图所示的网格是正方形网格，则PAB PBA ∠∠＋＝____________°（点A ，B ，P 是网格线交点）.第12题图PBA【答案】45°【解析】如图12-1，延长AP 至C ，连结BC.设图中小正方形的边长为1，由勾股定理得222125PC =+=，222125BC =+=，2221310PB =+=； ∴222,PC BC PB PC BC +==且.即△PBC 为等腰直角三角形，∴∠BPC=45°. 由三角形外角的性质得45PAB PBA MPC ∠∠=∠=︒＋. 18、 (2019·巴中)如图,等边三角形ABC 内有一点P,分别连接 AP,BP,CP,若AP ＝6,BP ＝8,CP ＝10,则S △ABP +S △BPC ＝________. 【答案】163+24【解析】将△ABP 绕点B 顺时针旋转60°到△CBP',连接PP',所以BP ＝BP',∠PBP'＝60°,所以△BPP'是等边三角形,其边长BP 为8,所以S △BPP'＝163,因为PP'＝8,P'C ＝PA ＝6,PC ＝10,所以PP'2+P'C 2＝PC 2,所以△PP'C 是直角三角形,S △PP'C ＝24,所以S △ABP +S △BPC ＝S △BPP'+S △PP'C ＝163+24. .19、（2019黔东南）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，点B 在ED 上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝45°，∠A ＝60°，AC ＝10，则CD 的长度是 ．【答案】15﹣5【解析】解：过点B 作BM ⊥FD 于点M ， 在△ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝10， ∴∠ABC ＝30°，BC ＝10×tan60°＝10 ，∵AB ∥CF ， ∴BM ＝BC ×sin30°5，CM＝BC×cos30°＝15，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝5 ，∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5 ．故答案是：15﹣5．三、解答题20、(2019·巴中)如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m与点D.（1）求证:EC＝BD;（2）若设△AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠ACB＝90°,AC＝BC, ∴∠ACE+∠BCD＝90°,∵AE⊥EC, ∴∠EAC+∠ACE＝90°,∴∠BCD＝∠CAE,∵BD⊥CD, ∴∠AEC＝∠CDB＝90°,∴△AEC≌△CDB(AAS), ∴EC＝BD.（2）∵△AEC≌△CDB,△AEC三边分别为a，b，c,，∴BD＝EC＝a,CD＝AE＝b,BC＝AC＝c,∴S梯形＝12(AE+BD)ED＝12(a+b)(a+b),S梯形＝12ab+12c2+12ab，∴12(a+b)(a+b)＝12ab+12c2+12ab,整理可得a2+b2＝c2,故勾股定理得证.HFM DEB AC21、（2019龙东地区）如图，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，BH⊥AB于点B，点M是BC的中点，连接FM并延长交BH于点H．（1）如图①所示，若∠ABC＝30°，求证：DF＋BH＝33BD；（2）如图②所示，若∠ABC＝45°，如图③所示，若∠ABC＝60°（点M与点D重合），猜想线段DF，BH，BD之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．HFM DEBACHFMEDBACFD(M)EHAB C 图①图②图③【解题过程】解：（1）证明：连接CF，∵AB=BC，∠ABC==30°，∴∠BAC=∠ACB=75°.∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=60°，∴∠DAC=15°∵AB=BC，BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF=CF，∴∠ACF=∠DAC=15°，∴∠BCF=75°-15°=60°，∵BH⊥AB，∠ABC=30°，∴∠CBH==60°，∴∠CBH=∠BCF=60°在△BHM和△CFM中，∠CBH=∠BCF，BM=CM，∠BMH=∠CMF，∴△BHM≌△CFM，∴BH=CF,∴BH=AF，∴AD=DF+AF=DF+BH.在Rt△ADB中，∠ABC=30°，∴AD=33BD∴DF＋BH＝33BD.（2）图②猜想结论：DF＋BH＝BD；图③猜想结论：DF＋BH＝3BD22、（2019十堰）如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D为△ABC内一点，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D，E三点在同一直线上．（1）填空：∠CDE＝（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若α＝60°，请补全图形，再过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若α＝90°，AC＝5，且点G满足∠AGB＝90°，BG＝6，直接写出点C到AG的距离．（2）由旋转的性质可得AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60°，可证△CDE是等边三角形，由等边三角形的性质可得DF＝EF，即可求解；（3）分点G在AB的上方和AB的下方两种情况讨论，利用勾股定理可求解．【解题过程】解：（1）∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE∴△ACD≌△BCE，∠DCE＝α∴CD＝CE∴∠CDE故答案为：（2）AE＝BE CF理由如下：如图，∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角60°得到△CBE∴△ACD≌△BCE∴AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60°∴△CDE是等边三角形，且CF⊥DE∴DF＝EF∵AE＝AD+DF+EF∴AE＝BE CF（3）如图，当点G在AB上方时，过点C作CE⊥AG于点E，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，AB＝10∵∠ACB＝90°＝∠AGB∴点C，点G，点B，点A四点共圆∴∠AGC＝∠ABC＝45°，且CE⊥AG∴∠AGC＝∠ECG＝45°∴CE＝GE∵AB＝10，GB＝6，∠AGB＝90°∴AG8∵AC2＝AE2+CE2，∴（5）2＝（8﹣CE）2+CE2，∴CE＝7（不合题意舍去），CE＝1若点G在AB的下方，过点C作CF⊥AG，同理可得：CF＝7∴点C到AG的距离为1或7．。

直角三角形的勾股定理练习题在数学中，直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度（直角）。

直角三角形的勾股定理是一个重要的数学定理，用于描述直角三角形中三边之间的关系。

勾股定理的表述如下：在直角三角形中，假设a、b、c分别代表三角形的两个直角边和斜边的长度，那么有a² + b² = c²。

为了帮助你更好地理解和应用勾股定理，下面给出一些练习题。

练习题一：已知一个直角三角形的斜边长为10，直角边长度为6，求另一个直角边的长度。

解析：根据勾股定理，直角边的长度可以通过c² - a²（或c² - b²）再开方来求得。

其中，c代表斜边的长度，a、b分别代表两个直角边的长度。

已知c = 10，a = 6，带入公式：另一直角边的长度= √(c² - a²) = √(10² - 6²) = √(100 - 36) = √64 = 8所以，另一个直角边的长度为8。

练习题二：已知一个直角三角形的斜边长为13，其中一个直角边的长度为5，求另一个直角边的长度。

解析：同样根据勾股定理，可以通过斜边和已知直角边的长度来求解。

已知c = 13，a = 5，带入公式：另一直角边的长度= √(c² - a²) = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12所以，另一个直角边的长度为12。

练习题三：已知一个直角三角形的斜边长为26，另一个直角边的长度为10，求未知直角边的长度。

解析：同样应用勾股定理进行求解。

已知c = 26，b = 10，带入公式：另一直角边的长度= √(c² - b²) = √(26² - 10²) = √(676 - 100) = √576 =24所以，未知直角边的长度为24。

通过以上练习题的解析，我们可以看到勾股定理是一个实用的工具，在解决直角三角形问题时应用非常广泛。

直角三角形，勾股定理一、选择题1．（2010 浙江台州市）如图，△ABC 中，∠C =90°，AC =3，点P 是边BC 上的动点， 则AP 长不可能．．．是(▲)A ．2.5B ．3C ．4D ．5 【答案】A 2．（2010山东临沂）如图，ABC ∆和DCE ∆都是边长为4的等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接BD ，则BD 的长为（AB）C）D）【答案】D3．（2010 四川泸州）在△ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，则该三角形为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ． 钝角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B4．（2010 广西钦州市）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC ＝6 cm 、BC ＝8 cm ， 现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则BE 的长为 （A ）4 cm （B ）5 cm （C ）6 cm （D ）10 cm【答案】B5．（2010广西南宁）图1中，每个小正方形的边长为1，ABC ∆的三边c b a ,,的大小关系EDCBA（第3题）A第15题BCDE式：（A ）b c a << （B ）c b a <<（C ）b a c << （D ）a b c << 图1【答案】C 6．（2010广东湛江）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A.1，2，3 B.2，3，4 C.3，4，5 D.4，5，6 【答案】C 二、填空题 1．（10湖南益阳）如图4，在△ABC 中，AB ＝AC ＝8，AD 是底边上的高，E 为AC 中点，则DE ＝ ．【答案】42．（2010辽宁丹东市）已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是 ．【答案】n )2(3．（2010 浙江省温州）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR 使得∠R=90°，点H 在边QR 上，点D ，E 在边PR 上，点G ，F 在边_PQ 上，那么APQR 的周长等于 ．AB CD E FG第15题图【答案】4．（2010四川宜宾）已知，在△ABC中，∠A= 45°，AC= 2，AB= 3+1，则边BC 的长为．【答案】25．（2010湖北鄂州）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，E是CB的中点，AE=EC，∠BAC=3∠DBC，BD=，则AB= ．【答案】126．（2010河南）如图，Rt△ABC中，∠C=090, ∠ABC=030，AB=6.点D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点B、C重合），且DA=DE，则AD的取值范围是.【答案】2≦AD < 37．（2010四川乐山）如图（4），在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠ACD=40°,则∠EBC=______.【答案】140° 8．（2010四川乐山）勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．图（6）是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S 1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S 2，…，第n 个正方形和第n 个直角三角形的面积之和为S n ．设第一个正方形的边长为1．图（6）请解答下列问题：（1）S 1＝__________；（2）通过探究，用含n 的代数式表示S n ，则S n ＝__________． 【答案】1＋38；(1＋38)〃(34)n -1(n 为整数)9．（2010 江苏镇江）如图，90,=∠∆ACB ABC Rt 中，DE 过点C ，且DE//AB ，若50=∠ACD ，则∠A= ，∠B=.【答案】40,5010．（2010 广西玉林、防城港）两块完全一样的含30︒角的三角板重叠在一起，若绕长直角边中点M 转动，使上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点，如图6，∠A ＝30︒，AC＝10，则此时两直角顶点C 、C '间的距离是 。

2022年中考数学精选真题33 直角三角形与勾股定理 A一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)1．（3分）（2022·黄石）如图，正方形OABC的边长为2，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点B1的坐标为（ ）A．(―2，0)B．(―2，0)C．(0，2)D．(0，2)2．（3分）（2022·镇江）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长等于（ ）A．2B．73C．625D．9253．（3分）（2022·资阳）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB=4，则AE+OE的最小值是（ ）A．42B．25+2C．213D．2104．（3分）（2022·绵阳）如图1，在菱形ABCD中，∠C＝120°，M是AB的中点，N是对角线BD上一动点，设DN长为x，线段MN与AN长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为(23，3)，则图象最低点E的坐标为（ ）A ．(233，2)B ．(233，3)C ．(433，3)D ．(3，2)5．（3分）（2022·济宁）如图，三角形纸片ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3．沿过点A 的直线将纸片折叠，使点B 落在边BC 上的点D 处；再折叠纸片，使点C 与点D 重合，若折痕与AC 的交点为E ，则AE 的长是（ ）A ．136B ．56C ．76D ．656．（3分）（2022·河池）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，将Rt △ABC 绕点B 顺时针旋转90°得到Rt △A ′B ′C ′.在此旋转过程中Rt △ABC 所扫过的面积为（ ）A ．25π+24B ．5π+24C ．25πD ．5π7．（3分）（2022·遵义）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC .若AB =BC =1，∠AOB =30°，则点B 到OC 的距离为（ ）A．55B．255C．1D．28．（3分）（2022·包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点．若点B′恰好落在AB边上，则点A到直线A′C的距离等于（ ）A．33B．23C．3D．29．（3分）（2022·黔东南）如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为（ ）A．23+2B．5―33C．3―3D．3+110．（3分）（2022·黔西）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，AB交x轴于点E，AF⊥x轴，垂足为F．若OE=3，EF=1．以下结论正确的个数是（ ）①OA=3AF；②AE平分∠OAF；③点C的坐标为(―4，―2)；④BD=63；⑤矩形ABCD 的面积为242．A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题（每空3分，共18分）(共6题；共18分)11．（3分）（2022·徐州）如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E 在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝ ．12．（3分）（2022·鄂尔多斯）如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝13，则AB的长是 ．213．（3分）（2022·鞍山）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，对角线AC与BD交于点O，E为OB 中点，F为AD中点，连接EF，则EF的长为 ．14．（3分）（2022·潍坊）小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸，折完后，发现折痕AB′与A4纸的长边AB恰好重合，那么A4纸的长AB与宽AD的比值为 ．15．（3分）（2022·哈尔滨）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF，若AE=BE，OE=3，OA=4，则线段OF的长为 ．16．（3分）（2022·绵阳）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝210，CD＝2，则△ABE的面积为 ．三、解答题（共8题，共72分）(共8题；共72分)17．（8分）（2022·黄石）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，且点D在线段BC上，连CE．（1）（4分）求证：△ABD≌△ACE；（2）（4分）若∠EAC=60°，求∠CED的度数．18．（8分）（2022·资阳）如图，在△ABC中(AB<BC)，过点C作CD∥AB，在CD上截取CD=CB，CB 上截取CE=AB，连接DE、DB．（1）（4分）求证：△ABC≌△ECD；（2）（4分）若∠A=90°，AB=3，BD=25，求△BCD的面积．19．（8分）（2022·安顺）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，D是BC边上的一点，以AD 为直角边作等腰Rt△ADE，其中∠DAE=90°，连接CE．（1）（4分）求证：△ABD≌△ACE；（2）（4分）若∠BAD=22.5°时，求BD的长．20．（8分）（2022·湘西）如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，连接CE并延长，交DA的延长线于点F．（1）（4分）求证：△AEF≌△BEC．（2）（4分）若CD＝4，∠F＝30°，求CF的长．21．（8分）（2022·青海）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.（1）（4分）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：BD=CE；图1（2）（4分）解决问题：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.图222．（10分）（2022·呼和浩特）下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证AE=EF．（提示：取AB 的中点G，连接EG．）（1）（3分）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： ；（2）（3分）如图1，若点E是BC边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变．求证：AE=EF；=k，当k为何值时，（3）（4分）在（2）的条件下，连接AC，过点E作EP⊥AC，垂足为P．设BEBC四边形ECFP是平行四边形，并给予证明．23．（10分）（2022·黔东南）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A在DE上.求证：以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形.（1）（4分）【探究发现】小明通过探究发现：连接DC，根据已知条件，可以证明DC=AE，∠ADC=120°，从而得出△ADC为钝角三角形，故以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形.请你根据小明的思路，写出完整的证明过程.（2）（6分）【拓展迁移】如图，四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，点A在EG上.①试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由.②若A E2+A G2=10，试求出正方形ABCD的面积.24．（12分）（2022·盐城）【经典回顾】梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法图1是其中一种方法的示意图及部分辅助线．在△ABC中，∠ACB=90°，四边形ADEB、ACHI和BFGC分别是以Rt△ABC的三边为一边的正方形．延长IH和FG，交于点L，连接LC并延长交DE于点J，交AB于点K，延长DA交IL于点M．（1）（3分）证明：AD=LC；（2）（3分）证明：正方形ACHI的面积等于四边形ACLM的面积；（3）（3分）请利用（2）中的结论证明勾股定理．（4）（3分）【迁移拓展】如图2，四边形ACHI和BFGC分别是以△ABC的两边为一边的平行四边形，探索在AB下方是否存在平行四边形ADEB，使得该平行四边形的面积等于平行四边形ACHI、BFGC的面积之和．若存在，作出满足条件的平行四边形ADEB（保留适当的作图痕迹）；若不存在，请说明理由．答案解析部分1．【答案】D2．【答案】A3．【答案】D4．【答案】C5．【答案】A6．【答案】A7．【答案】B8．【答案】C9．【答案】D10．【答案】C11．【答案】4312．【答案】1213．【答案】13214．【答案】2：115．【答案】2516．【答案】60717．【答案】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC―∠DAC=∠DAE―∠DAC，即∠BAD=∠CAE．在△ABD与△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：由（1）△ABD≌△ACE得∠ACE=∠ABD，又∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠ACE=∠ABD=45°且∠AED=45°，在△ACE中∵∠EAC=60°且∠ACE=45°∴∠AEC=180°―60°―45°=75°，∴∠CED=∠AEC―∠AED=75°―45°=30°．18．【答案】（1）证明：∵AB∥CD∴∠ABC=∠ECD又∵AB=CE，BC=CD∴△ABC≌△ECD(SAS)；（2）解：由（1）△ABC≌△ECD，∴∠CED=∠A=90°，设BE=x，∵AB=CE=3，则CD=BC=3+x，在Rt△BED中，D E2=B D2―B E2，在Rt△CED中，D E2=C D2―C E2，∴B D2―B E2=C D2―C E2，即(25)2―x2=(x+3)2―32，整理得：x2+3x―10=0，解得：x1=2，x2=―5（舍去），∴BE=2，∴DE=(25)2―22=4，BC=BE+CE=2+3=5，∴S△ACD=12×BC×DE=12×5×4=10．19．【答案】（1）证明：∵△ADE是等腰直角三角形，∴∠DAE=90°，AD=AE，∵∠BAC=90°，∴∠BAD=90°―∠DAC=∠CAE，在△ABD与△ACE中AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE；∴△ABD≌△ACE（2）解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，∴BC=AC2+AB2=2，∵∠BAC=90°，∠BAD=22.5°，∴∠DAC=90°―∠BAD=67.5°，∵AB=AC，∴∠ACD=12(180°―90°)=45°，∴∠ADC=180°―∠ACD―∠DAC=67.5，∴∠ADC=∠ACD，∴AC=DC=1，∴BD=BC―DC=2―1.20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∠F＝∠BCE，∵E是AB中点，∴AE＝EB，∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF≌△BEC（AAS）．（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，∵CD＝4，∠F＝30°，∴CF＝2CD＝2×4＝8，即CF的长为8．21．【答案】（1）证明：∵△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAC―∠CAD=∠DAE―∠CAD，∴∠BAD=∠CAE．在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD=CE．（2）解：∠AEB=90°，AE=BE+2CM，理由如下：由（1）的方法得，△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，∵△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°，∴∠ADC=180°―∠CDE=135°，∴∠BEC=∠ADC=135°，∴∠AEB=∠BEC―∠CED=135°―45°=90°．∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM，∴DE=2CM．∴AE=AD+DE=BE+2CM．22．【答案】（1）AG=CE（2）证明：取AG=EC，连接EG．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=90°．∵AG=CE，∴BG=BE，∴△BGE是等腰直角三角形，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°．∵CF是正方形ABCD外角的平分线，∴∠DCF=45°，∴∠ECF=90°+45°=135°．∵AE⊥EF，∴∠AEB+∠FEC=90°．∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△GAE≌△CEF，∴AE=EF；（3）解：当k=1时，四边形PECF是平行四边形．3如图．由（2）得，△GAE≌△CEF，∴CF=EG．设BC=x，则BE=kx，∴GE=2kx，EC=(1―k)x．∵EP⊥AC，∴△PEC是等腰直角三角形，∴∠PEC=45°，(1―k)x．∴∠PEC+∠ECF=180°，PE=22∴PE∥CF，当PE=CF时，四边形PECF是平行四边形，(1―k)x=2kx，∴22解得k=1．323．【答案】（1）证明：∵△ABC与△EBD均为等边三角形，∴BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，∴∠EBA+∠ABD=∠ABD+∠DBC，∴∠EBA=∠DBC，在△EBA和△DBC中，EB=DB∠EBA=∠DBC，AB=CB∴△EBA≌△DBC（SAS），∴∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，∴△ADC为钝角三角形，∴以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形.（2）解：①以AE、AG、AC为边的三角形是直角三角形.连结CG，∵四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，∴∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，∵EG为正方形的对角线，∴∠BEA=∠BGE=45°，∴∠EBA+∠ABG=∠ABG+∠GBC=90°，∴∠EBA=∠GBC，在△EBA和△GBC中，EB=GB∠EBA=∠GBC，AB=CB∴△EBA≌△GBC（SAS），∴AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，∴∠AGC=∠AGB+∠BGC=45°+45°=90°，∴△AGC为直角三角形，∴以AE、AG、AC为边的三角形是直角三角形；②连结BD，∵△AGC为直角三角形，A E2+A G2=10，∴AC=AG2+CG2=10，∴四边形ABCD为正方形，∴AC=BD=10，∴S四边形ABCD=12AC⋅BD=12A C2=5.24．【答案】（1）证明：如图1，连接HG，∵四边形ACHI，ABED和BCGF是正方形，∴AC＝CH，BC＝CG，∠ACH＝∠BCG＝90°，AB＝AD，∵∠ACB＝90°，∴∠GCH＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，∴∠GCH＝∠ACB，∴△ACB≌△HCG（SAS），∴GH＝AB＝AD，∵∠GCH＝∠CHI＝∠CGL＝90°，∴四边形CGLH是矩形，∴CL＝GH，∴AD＝LC；（2）证明：∵∠CAI＝∠BAM＝90°，∴∠BAC＝∠MAI，∵AC＝AI，∠ACB＝∠I＝90°，∴△ABC≌△AMI（ASA），由（1）知：△ACB≌△HCG，∴△AMI≌△HGC，∵四边形CGLH是矩形，∴S△CHG＝S△CHL，∴S△AMI＝S△CHL，∴正方形ACHI的面积等于四边形ACLM的面积；（3）证明：由正方形ADEB可得AB∥DE，又AD∥LC，所以四边形ADJK是平行四边形，由（2）知，四边形ACLM是平行四边形，由（1）知，AD=LC，所以S平行四边形ADJK=S平行四边形ACLM=S正方形ACHI，延长EB交LG于Q，同理有S平行四边形KJEB=S平行四边形CBQL=S正方形BFGC，所以S正方形ACHI+S正方形BFGC=S平行四边形ADJK+S平行四边形KJEB=S正方形ADEB．所以A C2+B C2=A B2．（4）解：如图为所求作的平行四边形ADEB．。

直角三角形与勾股定理一、选择题1. 如图，AB∥CD，AE交CD于C，∠A=34°，∠DEC=90°，则∠D的度数为（）A．17°B．34°C．56°D．124°解答：解：∵AB∥CD，∴∠DCE=∠A=34°，∵∠DEC=90°，∴∠D=90°﹣∠DCE=90°﹣34°=56°．故选C．E两点．若BD=2，则AC的长是（）A．4B．4C．8D．8解答：解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=60°，∴∠A=30°．∵DE垂直平分斜边AC，∴AD=CD，∴∠A=∠ACD=30°，∴∠DCB=60°﹣30°=30°，∵BD=2，∴CD=AD=4，∴AB=2+4+2=6，在△BCD中，由勾股定理得：CB=2，在△ABC中，由勾股定理得：AC==4，故选：B．3. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G 为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（）A．2B．C．2D．解答：解：∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD，∠CAD=∠ACB∵点G为AF的中点，∴DG=AG，∴∠GAD=∠GDA，∴∠CGD=2∠CAD，∵∠ACD=2∠ACB，∴∠ACD=∠CGD，∴CD=DG=3，在Rt△CED中，DE==2．故选：C．A．平行四边形的对角线互相平分B．菱形的对角线互相垂直平分C．矩形的对角线相等且互相垂直平分D．角平分线上的点到角两边的距离相等解答：解：A、平行四边形的对角线互相平分，所以A选项的说法正确；B、菱形的对角线互相垂直平分，所以B选项的说法正确；C、矩形的对角线相等且互相平分，所以C选项的说法错误；D、角平分线上的点到角两边的距离相等，所以D选项的说法正确．故选C．矩形的一边AB的长度为（）A． 1 B．C．D． 2解答：解：如图，连接EC．∵FC垂直平分BE，∴BC=EC（线段垂直平分线的性质）又∵点E是AD的中点，AE=1，AD=BC，故EC=2利用勾股定理可得AB=CD==．故选：C．二、填空题1. 如图，有一直角三角形纸片ABC，边BC=6，AB=10，∠ACB=90°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点A与点C重合，则四边形DBCE的周长为 18 ．解答：解：∵沿DE折叠，使点A与点C重合，∴AE=CE，AD=CD，∠DCE=∠A，∴∠BCD=90°﹣∠DCE，又∵∠B=90°﹣∠A，∴∠B=∠BCD，∴BD=CD=AD==5，∴DE为△ABC的中位线，∴DE==3，∵BC=6，AB=10，∠ACB=90°，∴，∴四边形DBCE的周长为：BD+DE+CE+BC=5+3+4+6=18．故答案为：18．2. 图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（3+3） cm．解答：解：如图所示：△BCD 是等腰直角三角形，△ACD 是等边三角形， 在Rt △BCD 中，CD==6cm ，∴BE=CD=3cm ，在Rt △ACE 中，AE==3cm ， ∴从顶点A 爬行到顶点B 的最短距离为（3+3）cm ． 故答案为：（3+3）．3. 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处．则问题中葛藤的最短长度是__________尺．解答：解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，另一条直角边长5×3=15（尺），因此葛藤长222015 =25（尺）．故答案为：254. 半径为2，点O 2在射线OB 上运动，且⊙O 2始终与OA 相切，当⊙O 2和⊙O 1相切时，⊙O 2的半径等于 ．解答：如图，作O 2C ⊥OA 于点C ，连接O 1O 2，设O2C=r，∵∠AOB=45°，∴OC=O2C=r，∵⊙O1的半径为2，OO1=7，∴O1O2=r+2，O1C=7﹣r，∴（7﹣r）2+r2=（r+2）2，解得：r=3或15，故答案为：3或15．5. 如图，两块完全相同的含30°角的直角三角板ABC和A'B'C'重合在一起，将三角板A'B'C'绕其顶点C'按逆时针方向旋转角α（0°< α≤90°），有以下四个结论：①当α=30°时，A'C与AB的交点恰好为AB的中点；②当α=60°时，A'B'恰好经过点B；③在旋转过程中，存在某一时刻，使得AA'BB'=；④在旋转过程中，始终存在AA'BB'⊥，其中结论正确的序号是①②④ .(多填或填错得0分，少填酌情给分）解析：如图1，∵α=30°，∴∠ACA′=∠A=30°,∠BCA′=∠B=60°，∴DC=DA,DC=DB,∴DA=DB,∴D是AB的中点.正确如图2，当α=60°时，取A′B′的中点E,连接CE,则∠B′CE=∠B′CB=60°,又CB=CB′,∴E、B重合，∴A′、B′恰好经过点B.正确如图3，连接AA′,BB′,则⊿CAA′∽⊿CBB′,∴AA ACBB BCtan'==︒='603,∴AA′3′.错误如图4，∠A′B′D=∠CBB′－60°,∠B′A′D=180°－(∠CA′A+30°), ∴∠A′B′D＋∠B′A′D=90°＋∠CBB′－∠CA′A∵∠CBB′=∠CA′A ,∴∠A′B′D＋∠B′A′D=90°,即∠D=90°,∴AA′⊥BB′.正确∴①，②，④正确.6. 如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，点C是上的一个动点（不与A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E．若DE=1，则扇形OAB的面积为．解答：解：连接AB，∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴D、E分别为BC、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴AB=2DE=2．又∵在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，∴OA=OB=AB=，∴扇形OAB的面积为：=．故答案是：．7.如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行10 米．解答：解：如图，设大树高为AB=12m，小树高为CD=6m，过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，连接AC，∴EB=6m，EC=8m，AE=AB﹣EB=12﹣6=6（m），在Rt△AEC中，AC==10（m）．故小鸟至少飞行10m．故答案为：10．8．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′= 1.5 ．解答：解：根据折叠可得BE=EB′，AB′=AB=3设BE=EB′=x，则EC=4﹣x，∵∠B=90°，AB=3，BC=4，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，，∴B′C=5﹣3=2，在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+22=（4﹣x）2，解得x=1.5．故答案为：1.5．9.已知一个直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 5或．解答：解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：=；②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为：=5；故第三边的长为：5或．10．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为 20 cm．解答：解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B===20（cm）．故答案为：20．11．等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高是cm．解答：解：如图，AD是BC边上的高线．∵AB=AC=10cm，BC=12cm，∴BD=CD=6cm，∴在直角△ABD中，由勾股定理得到：AD===（8cm）．故答案是：8．三、解答题1. 如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD 、CB 相交于点H 、E ，AH=2CH ．（1）求sinB 的值；（2）如果CD=，求BE 的值．解答： 解：（1）∵∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的中线，∴CD=BD ，∴∠B=∠BCD ，∵AE ⊥CD ，∴∠CAH+∠ACH=90°，∴∠B=∠CAH ，∵AH=2CH ，∴由勾股定理得AC=CH ，∴CH ：AC=1：，∴sinB ；（2）∵sinB， ∴AC ：AB=1：，∵CD=，∴AB=2，由勾股定理得AC=2，则CE=1，在Rt △ABC 中，AC 2+BC 2=AB 2，∴BC=4，∴BE=BC ﹣CE=3．2. 如图1，有一组平行线4321l l l l ∥∥∥，正方形ABCD 的四个顶点分别在4321,,,l l l l 上，EG 过点Ｄ且垂直于1l 于点Ｅ，分别交42,l l 于点Ｆ，Ｇ，2,1===DF DG EF ．（1）=AE ，正方形ABCD 的边长＝ ；（2）如图2，将AEG ∠绕点A 顺时针旋转得到D E A ''∠，旋转角为)900(<<αα，点D '在直线3l 上，以D A '为边在的D E ''左侧作菱形B C D A '''，使点C B '',分别在直线42,l l 上． ①写出D A B ''∠与α的函数关系并给出证明；②若 30=α，求菱形B C D A '''的边长．【解析】（1）在RT RT AED GDC ∆∆，中，AD=DC,又有ADE ∠和DAE ∠互余，ADE ∠和CDG ∠互余，故DAE ∠和CDG ∠相等，GDC AED ∆≅∆，知1==GD AE , 又321=+=AD ，所以正方形ABCD 的边长为103122=+． （2）①过点B '作B M '垂直于1l 于点M ，在RT RT ’AE D AB M ∆∆''，中, =’B M AE ',=AD AB '',故RT RT ’AE D AB M ∆∆''≅，所以A ,’D E B AM ''∠∠互余，D A B ''∠与α之和为90︒，故D A B ''∠=90︒－α.②过E 点作ON 垂直于1l 分别交12l ,l 于点O ，N ，若 30=α,60E D N ''∠=︒，=1AE ',故1=2E O ', 5=2E N ', 533E D ''=， 由勾股定理可知菱形边长为2584133+=. 3.问题发现 如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE填空：（1）∠AEB 的度数为 60 ；（2）线段AD 、BE 之间的数量关系是 AD =BE 。

中考数学复习《直角三角形和勾股定理》测试题（含答案）一、选择题(每题5分，共25分)1．[2015·毕节]下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是(B)A.3，4， 5 B ．1，2， 3 C ．6，7，8D ．2，3，42．如图24－1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，BC ＝12，则点C 到AB 的距离是(A)A.365 B.1225 C.94D.334【解析】 在Rt △ABC 中，AC ＝9，BC ＝12，根据勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝15，过C 作CD ⊥AB ，交AB 于点D ，又S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD ， ∴CD ＝AC ·BC AB ＝9×1215＝365，则点C 到AB 的距离是365.故选A.图24－1 第2题答图3．[2014·甘孜]如图24－2，点D 在△ABC 的边AC 上，将△ABC 沿BD 翻折后，点A 恰好与点C 重合．若BC ＝5，CD ＝3，则BD 的长为(D)A ．1B ．2图24－2C ．3D ．44．将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm 的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图24－3，则三角板最长边的长为(D)A ．3 cmB ．6 cmC ．3 2 cmD ．6 2 cm图24－3 第4题答图【解析】 如答图，过点C 作CD ⊥AD 于点D ， ∴CD ＝3.在直角三角形ADC 中， ∵∠CAD ＝30°， ∴AC ＝2CD ＝2×3＝6.又∵三角板是有45°角的三角板， ∴AB ＝AC ＝6，∴BC 2＝AB 2＋AC 2＝62＋62＝72， ∴BC ＝62，故选D.5．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 如图24－4那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是(C)A.247 B.73 C.724D.13图24－4【解析】 在Rt △BCE 中，设CE ＝x ，则BE ＝EA ＝8－x ，根据勾股定理有(8－x )2＝x 2＋62，解得x ＝74， ∴tan ∠CBE ＝CE BC ＝746＝724.二、填空题(每题5分，共25分)6．[2015·内江]在△ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝12，AC ＝6，则BC ＝__63__. 7．[2014·凉山]已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为__5或7__.8．将一副三角尺按图24－5所示叠放在一起，若AB ＝14 cm ，则阴影部分的面积是__492__cm 2. 【解析】 ∵∠B ＝30°， ∴AC ＝12AB ＝7 cm ， 易证AC ＝CF ，∴S △ACF ＝12AC ·CF ＝12AC 2＝12×72＝492(cm 2)．9．[2014·无锡]如图24－6，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，若AD ＝6，DE ＝5，则CD 的长等于__8__. 【解析】 ∵△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，DE ＝5， ∴DE ＝12AC ＝5， ∴AC ＝10.在直角△ACD 中，∠ADC ＝90°，AD ＝6，AC ＝10，则根据勾股定理，得 CD ＝AC 2－AD 2＝102－62＝8.图24－5图24－610．[2015·遵义]我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图24－7①)．图24－7②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3.若正方形EFGH的边长为2，则S1＋S2＋S3＝__12__.图24－7【解析】∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，∴CG＝NF，CF＝DG＝KF，∴S1＝(CG＋DG)2＝CG2＋DG2＋2CG·DG＝GF2＋2CG·DG，S2＝GF2，S3＝(KF－NF)2＝KF2＋NF2－2NF·KF＝GF2－2CG·DG，∴S1＋S2＋S3＝GF2＋2CG·DG＋GF2＋GF2－2CG·DG＝3GF2＝12.三、解答题(共20分)11．(10分)如图24－8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，CD＝5 cm，求AB的长．图24－8【解析】要求的AB在Rt△ABC中，∠A＝30°，故只需求BC的长，在Rt△BCD中，DC＝5 cm，∠DBC＝12∠ABC＝30°，故可求出BD，BC的长，从而根据AB＝2BC计算出结果．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∠ABC＝60°.∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝30°.∵在Rt△CBD中，CD＝5 cm，∴BD＝10 cm，∴BC＝5 3 cm，∴AB＝2BC＝10 3 cm.12．(10分)如图24－9，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3.(1)求DE的长；(2)求△ADB的面积．解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AC⊥CD.又∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴DE＝CD，又∵CD＝3，∴DE＝3；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝AC2＋BC2＝62＋82＝10，图24－9∴S△ADB＝12AB·DE＝12×10×3＝15.13．(6分)[2014·荆门]如图24－10，已知圆柱底面的周长为4 dm，圆柱高为2 dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为(A) A．4 2 dm B．2 2 dmC．2 5 dm D．4 5 dm图24－10 第13题答图【解析】如答图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．∵圆柱底面的周长为4 dm，圆柱高为2 dm，∴AB＝2 dm，BC＝BC′＝2 dm，∴AC2＝22＋22＝4＋4＝8，∴AC＝22，∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝4 2 dm.14．(6分)[2015·台州]如果将长为6 cm，宽为5 cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是(A)A．8 cm B．5 2 cmC．5.5 cm D．1 cm【解析】易知最长折痕为矩形对角线的长，根据勾股定理对角线长为62＋52＝61≈7.8，故折痕长不可能为8 cm.15．(8分)[2015·铜仁]如图24－11，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，将△BCD 沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段DE的长为(B)A．3 B.15 4C．5 D.15 2【解析】设ED＝x，则AE＝6－x；∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，由题意得∠EBD＝∠DBC，∴∠EDB＝∠EBD，∴EB＝ED＝x，由勾股定理得BE2＝AB2＋AE2，即x2＝32＋(6－x)2，解得x＝154，∴ED＝154.16．(10分)[2015·潍坊]如图24－12，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1；再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2图24－11图24－12公共部分的面积记为S 2，…，以此类推，则__S n ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫34n__.(用含n 的式子表示)【解析】 ∵等边三角形ABC 的边长为2，AB 1⊥BC ， ∴BB 1＝1，AB ＝2， 根据勾股定理得AB 1＝3， ∴S 1＝12×34×(3)2 ＝32·⎝ ⎛⎭⎪⎫341；∵等边三角形AB 1C 1的边长为3，AB 2⊥B 1C 1， ∴B 1B 2＝32，AB 1＝3， 根据勾股定理得AB 2＝32， ∴S 2＝12×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝32·⎝ ⎛⎭⎪⎫342；…以此类推，S n ＝32·⎝ ⎛⎭⎪⎫34n.。

直角三角形与勾股定理一、选择题1.如图，△ABC中,∠C=90°，∠A=30°,AB=12，则BC=（）A．6 B．6C．6D．122.如图，在网格中,小正方形的边长均为1,点A，B，C都在格点上,则∠ABC的正切值是（）A．2B． C． D．3．在△ABC中,AB＝10，AC＝2错误!，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于（ )A．10 B．8C．6或10 D．8或104．如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD(D为底边中点)的长是（)A．5sin36°米 B．5cos36°米C．5tan36°米 D．10tan36°米【5．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°,把△ADC沿着直线AD 对折，点C落在点E的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为( ）A．6 B．6C．2D．36。

如图,在△ABC中,∠ABC=90°，AB=8,BC=6．若DE是△ABC的中位线,延长DE交△AB C的外角∠ACM 的平分线于点F，则线段DF的长为（）A．7 B．8 C．9 D．107。

把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（）A． B．6 C． D．8。

如图，在Rt△ABC中，∠A=30°,BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（)A．1 B．2 C．D．1+··········9．已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点,则点P到三边的距离之和为（ )A． B ．332 C．32D．不能确定10．如图,在△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,将△ABC绕点A逆时针旋转,使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为( ）A． B．2C．3 D．211。

直角三角形与勾股定理一．选择题1．（2016·天津北辰区·一摸）用48 m 长的篱笆在空地上围成一个正六边形绿地，绿地的面积是（ ）.（A ）9632m （B ）6432m（C ）3232m （D ）1632m答案：A2．（2016·天津北辰区·一摸）如图，在Rt △ABC 中，∠90ACB =︒，2AC BC ==，点P是AB 的中点，点D ，E 是AC ，BC 边上的动点，且AD CE =，连接DE . 有下列结论：① 90DPE ∠=︒； ② 四边形P D C E 面积为1；③ 点C 到DE 距离的最大值为22. 其中，正确的个数是（ ）.（A ）0 （B ）（C ）2 （D ）答案：D3．（2016·天津南开区·二模）如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，E 为AB上一点，分别以ED ，EC 为折痕将两个角（∠A ，∠B ）向内折起，点A ，B 恰好落在CD 边的点F 处.若AD=3，BC=5，则EF 的值是（ ）A ．B ．2C ．D ．2考点：三角形中的角平分线、中线、高线答案：A试题解析：∵分别以ED ，EC 为折痕将两个角（∠A ，∠B ）向内折起，点A ，B 恰好C B A ED P落在CD边的点F处，∴EA=EF，BE=EF，DF=AD=3，CF=CB=5，∴AB=2EF，DC=DF+CF=8，作DH⊥BC于H，∵AD∥BC，∠B=90°，∴四边形ABHD为矩形，∴DH=AB=2EF，HC=BC﹣BH=BC﹣AD=5﹣3=2，在Rt△DHC中，DH==2，∴EF=DH=．故选：A．4．（2016·天津市南开区·一模）将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，在Rt△EDF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，将△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，则的值为（）A．B．C．D．【考点】旋转的性质．【专题】压轴题．【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得CD=AD=DB，则∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，由于∠EDF=90°，可利用互余得∠CPD=60°，再根据旋转的性质得∠PDM=∠CDN=α，于是可判断△PDM∽△CDN，得到=，然后在Rt△PCD中利用正切的定义得到tan∠PCD=tan30°=，于是可得=．【解答】解：∵点D为斜边AB的中点，∴CD=AD=DB，∴∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，∵∠EDF=90°，∴∠CPD=60°，∴∠MPD=∠NCD，∵△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），∴∠PDM=∠CDN=α，∴△PDM∽△CDN，∴=，在Rt△PCD中，∵tan∠PCD=tan30°=，∴=tan30°=．故选C．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了相似三角形的判定与性质．5、（2016泰安一模）如图，以点P为圆心，以为半径的圆弧与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），则圆心P的坐标为（）A．（4，）B．（4，2） C．（4，4） D．（2，）【考点】垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理．【分析】过点P作PC⊥AB于点C，利用垂径定理以及结合点A和点B的坐标即可得出点C的坐标，即可得出AC的长度，从而可得出PC的长度，且点P位于第一象限，即可得出P的坐标．【解答】解：过点P作PC⊥AB于点C；即点C为AB的中点，又点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），故点C（4，0）在Rt△PAC中，PA=，AC=2，即有PC=4，即P（4，4）．故选C．6、（2016枣庄41中一模）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的长度是（）A．100m B．100m C．150m D．50m【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据题意可得=，把BC=50m，代入即可算出AC的长，再利用勾股定理算出AB的长即可．【解答】解：∵堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1，∴=，∵BC=50m，∴AC=50m，∴AB==100m，故选：A．7、（2016枣庄41中一模）如图，DC是以AB为直径的半圆上的弦，DM⊥CD交AB 于点M，CN⊥CD交AB于点N．AB=10，CD=6．则四边形DMNC的面积（）A．等于24 B．最小为24 C．等于48 D．最大为48【考点】垂径定理；勾股定理；梯形中位线定理．【分析】过圆心O作OE⊥CD于点E，则OE平分CD，在直角△ODE中利用勾股定理即可求得OE的长，即梯形DMNC的中位线，根据梯形的面积等于OE•CD即可求得．第9题图【解答】解：过圆心O 作OE ⊥CD 于点E ，连接OD ．则DE=CD=×6=3． 在直角△ODE 中，OD=AB=×10=5，OE===4．则S 四边形DMNC =OE•CD=4×6=24．8．(2016·浙江金华东区·4月诊断检测若直角三角形的一条直角边长为12，另两条边长均为整数，则符合这样条件的直角三角形的个数为（ ▲ ）A ．3B ．4C ．6D ．无数多答案：B9. (2016·陕西师大附中·模拟)如图，OA ⊥OB ，等腰直角△CDE 的腰CD 在OB 上，∠ECD=45°， 将△CDE 绕点C 逆时针旋转75°，点E 的对应点N 恰好落在OA 上，则OC CD 的值为（ ） A . 12 B. 13 C. 22 D. 33【答案】C10. （2016·广东东莞·联考）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a ，则阴影部分的面积为（ ）A ．2a 2B ．3a 2C ．4a 2D ．5a 2【考点】正多边形和圆；等腰直角三角形；正方形的性质．【分析】根据正八边形的性质得出∠CAB=∠CBA=45°，进而得出AC=BC=a，再利用正八边形周围四个三角形的特殊性得出阴影部分面积即可．【解答】解：∵某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，∴AB=a，且∠CAB=∠CBA=45°，∴sin45°===，∴AC=BC=a，∴S△ABC=×a×a=，∴正八边形周围是四个全等三角形，面积和为：×4=a2．正八边形中间是边长为a的正方形，∴阴影部分的面积为：a2+a2=2a2，故选：A．【点评】此题主要考查了正八边形的性质以及等腰直角三角形的性质，根据已知得出S△ABC 的值是解题关键．11. （2016·广东河源·一模）如图，点A的坐标为(－2，0)，点B在直线y＝x上运动.当线段AB最短时，点B的坐标为（）A．)2,2(- B. 22()22-，C ．22()22，-D．)2,2(二．填空题1．(2016·山西大同·一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4.将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC．若点F是DE的中点，连接AF，则AF=_______ 答案：52．（2016·天津北辰区·一摸）在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，点P，Q分别为线段AB，AC上的动点．（Ⅰ）如图（1），当点P ，Q 分别为AB，AC 中点时，PC+PQ的值为_________；（Ⅱ）当PC+PQ取得最小值时，在如图（2）所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PC，PQ，简要说明点P和点Q的位置是如何找到的______．答案：①352；②如图所示，取格点E，F，连接EF交AB于点P，交AC于点Q.此时，PC+PQ 最短.3．（2016·天津市南开区·一模）如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE丄EF，EF丄FC，并且AE=6，EF=8，FC=10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为80π﹣160．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．【专题】压轴题．图（2）【分析】首先连接AC，则可证得△AEM∽△CFM，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EM与FM的长，然后由勾股定理求得AM与CM的长，则可求得正方形与圆的面积，则问题得解．【解答】解：连接AC，∵AE丄EF，EF丄FC，∴∠E=∠F=90°，∵∠AME=∠CMF，∴△AEM∽△CFM，∴，∵AE=6，EF=8，FC=10，∴，∴EM=3，FM=5，在Rt△AEM中，AM==3，在Rt△FCM中，CM==5，∴AC=8，在Rt△ABC中，AB=AC•sin45°=8•=4，=AB2=160，∴S正方形ABCD圆的面积为：π•（）2=80π，∴正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为80π﹣160．故答案为：80π﹣160．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形与圆的面积的求解方法，以及勾股定理的应用．此题综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．4、（2016泰安一模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，连接OC，AD，若BH：CO=1：2，AD=4，则⊙O的周长等于8π．【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．【分析】已知BH：CO=1：2，即BH=OH=OC；在Rt△OCH中，易求得∠COH=60°；由于弧BC=弧BD（垂径定理），利用圆心角和圆周角的关系可求得∠DAB=30°；在Rt△ADH中，可求得DH的长；也就求出了CH的长，在Rt△COH中，根据∠COH 的正弦值和CH的长，即可求出OC的半径，进而可求出⊙O的周长．【解答】解：∵半径OB⊥CD，∴，CH=DH；（垂径定理）∵BH：CO=1：2，∴BH=OH=OC；在Rt△OCH中，OH=OC，∴∠COH=60°；∵，∴∠DAH=∠COH=30°；（圆周角定理）在Rt△AHD中，∠DAH=30°，AD=4，则DH=CH=2；在Rt△OCH中，∠COH=60°，CH=2，则OC=4．∴⊙O的周长为8π5. (2016·山东枣庄·模拟)如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为5．【考点】正方形的性质；三角形的面积；勾股定理．【分析】根据正方形性质得出AD=BC=CD=AB，根据面积求出EM，得出BC=4，根据勾股定理求出即可．【解答】解：过E作EM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∴EM=AD，BM=CE，∵△ABE的面积为8，∴×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE===5，故答案为：5．【点评】本题考查了三角形面积，正方形性质，勾股定理的应用，解此题的关键是求出BC 的长，难度适中．6．(2016·上海浦东·模拟)如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为1:3，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体从A到B所经过的路程为18 米．7. (2016·陕西师大附中·模拟) 如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是5 8．(2016·上海浦东·模拟)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20．点D在边AC上，DE⊥AB，垂足为点E，将△ADE沿直线DE翻折，翻折后点A的对应点为点P，当∠CPD为直角时，AD的长是3589．(2016·上海普陀区·一模)某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角为45°的传送带AB，调整为坡度i=1：的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是4米．那么新传送带AC的长是8米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据题意首先得出AD，BD的长，再利用坡角的定义得出DC的长，再结合勾股定理得出答案．【解答】解：过点A作AD⊥CB延长线于点D，∵∠ABD=45°，∴AD=BD，∵AB=4，∴AD=BD=ABsin45°=4×=4，∵坡度i=1：，∴==，则DC=4，故AC==8（m）．故答案为：8．【点评】此题主要考查了勾股定理以及解直角三角形的应用等知识，正确得出DC，AD 的长是解题关键．10.（2016·上海市闸北区·中考数学质量检测4月卷）如图，AB∥DE，△ACB是等腰直角三角形，且∠C= 90°，CB的延长线交DE于点G，则∠CGE= ▲ 度.答案：135；11. （2016·湖南湘潭·一模）如图，在△ABC 中，AB=BC=4，AO=BO,P 是射线CO 上的一个动点，∠AOC=60°,则当△PAB 为直角三角形时，AP 的长为．答案：2、32或72解析：如图，分三种情况讨论：图（1）中，∠APB=90°，∵AO=BO, ∠APB=90°，∴PO=AO=BO=2, 又∠AOC=60°, ∴△APO 是等边三角形，∴AP=2； 图（2）中，∠APB=90°， ∵AO=BO, ∠APB=90°，∴PO=AO=BO=2, 又∠AOC=60°, ∴∠BAP=30°, 在Rt△ABP 中，AP=cos30°×4=23 .图（3）中，∠ABP=90°, ∵BO=AO=2 , ∠BOP=∠AOC=60°,∴PB=23, ∴AP=()2242327+=∴AP 的长为2，23或2712. （2016·河大附中·一模）在菱形ABCD 中，AB=5，AC=8，点P 是AC 上的一个动点，过点P 作EF 垂直于AC 交AD 于点E ，交AB 于点F ，将△AEF 沿EF 折叠，使点A 落在(3)POBAC点A'处，当△A'CD 是直角三角形时，AP 的长为 .第题答案：2或78三．解答题 1．（2016·天津南开区·二模）如图，轮船从点A 处出发，先航行至位于点A 的南偏西15°且与点A 相距100km 的点B 处，再航行至位于点B 的北偏东75°且与点B 相距200km 的点C 处．(1)求点C 与点A 的距离（精确到1km ）； (2)确定点C 相对于点A 的方向．（参考数据：≈1.414，≈1.732）考点：直角三角形与勾股定理 答案：见解析试题解析：（1）如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∠ABE=∠BAF=15°， 由图得，∠ABC=∠EBC ﹣∠ABE=∠EBC ﹣∠BAF=75°﹣15°=60°， 在Rt △ABD 中，∵∠ABC=60°，AB=100，∴BD=50，AD=50，∴CD=BC ﹣BD=200﹣50=150，在Rt △ACD 中，由勾股定理得：AC==100≈173（km ）．答：点C 与点A的距离约为173km ．（2）在△ABC 中，∵AB 2+AC 2=1002+（100）2=40000，BC 2=2002=40000，∴AB 2+AC 2=BC 2，∴∠BAC=90°，∴∠CAF=∠BAC ﹣∠BAF=90°﹣15°=75°．答：点C位于点A的南偏东75°方向．2．（2016·天津市南开区·一模）如图，AB是⊙O的直径，C，P是上两点，AB=13，AC=5．（1）如图（1），若点P是的中点，求PA的长；（2）如图（2），若点P是的中点，求PA的长．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据圆周角的定理，∠APB=90°，P是弧AB的中点，所以三角形APB 是等腰三角形，利用勾股定理即可求得．（2）根据垂径定理得出OP垂直平分BC，得出OP∥AC，从而得出△ACB∽△0NP，根据对应边成比例求得ON、AN的长，利用勾股定理求得NP的长，进而求得PA．【解答】解：（1）如图（1）所示，连接PB，∵AB是⊙O的直径且P是的中点，∴∠PAB=∠PBA=45°，∠APB=90°，又∵在等腰三角形△APB中有AB=13，∴PA===．（2）如图（2）所示：连接BC．OP相交于M点，作PN⊥AB于点N，∵P点为弧BC的中点，∴OP⊥BC，∠OMB=90°，又因为AB为直径∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠OMB，∴OP∥AC，∴∠CAB=∠POB，又因为∠ACB=∠ONP=90°，∴△ACB∽△0NP∴=，又∵AB=13 AC=5 OP=，代入得ON=，∴AN=OA+ON=9∴在Rt△OPN中，有NP2=0P2﹣ON2=36在Rt△ANP中有PA===3∴PA=3．【点评】本题考查了圆周角的定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线是本题的关键．3．(2016·浙江杭州萧山区·模拟)平面直角坐标系中，有A、B、C三点，其中A为原点，点B和点C的坐标分别为（5，0）和（1，2）．（1）证明：△ABC为Rt△．（2）请你在直角坐标系中找一点D，使得△ABC与△ABD相似，写出所有满足条件的点D的坐标，并在同一坐标系中画出所有符合要求的三角形．（3）在第（2）题所作的图中，连接任意两个直角三角形（包括△ABC）的直角顶点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，求取到长度为无理数的线段的概率．【考点】相似形综合题；勾股定理；勾股定理的逆定理；概率公式．【专题】综合题；分类讨论．【分析】（1）过点C作CH⊥x轴于H，如图1，只需运用勾股定理求出AB2、AC2、BC2，然后运用勾股定理的逆定理就可解决问题；（2）△ABC与△ABD相似，对应关系不确定，故需分六种情况（①若△ABC∽△ABD，②若△ABC∽△BAD，③若△ABC∽△ADB，④若△ABC∽△DAB，⑤若△ABC∽△BDA，⑥若△ABC∽△DBA）讨论，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；（3）图中的直角三角形的直角顶点有A、B、C、D1、D2、D3，只需求出任意两直角顶点的连线段的条数和长度为无理数的线段的条数，就可解决问题．【解答】解：（1）过点C作CH⊥x轴于H，如图1，∵A（0，0），B（5，0），C（1，2），∴AC2=12+22=5，BC2=（5﹣1）2+22=20，AB2=52=25，∴AB2=AC2+BC2，∴△ABC为Rt△；（2）①若△ABC∽△ABD，则有D1（1，﹣2）；②若△ABC∽△BAD，则有D2（4，﹣1），D3（4，1）；③若△ABC∽△ADB，则有D4（5，﹣10），D5（5，10）；④若△ABC∽△DAB，则有D6（5，﹣2.5），D7（5，2.5）；⑤若△ABC∽△BDA，则有D8（0，﹣10），D9（0，10）；⑥若△ABC∽△DBA，则有D10（0，﹣2.5），D11（0，2.5）；所有符合要求的三角形如图所示．（3）图中的直角三角形的直角顶点有A、B、C、D1、D2、D3．任意两直角顶点的连线段共有=15条，其中AB=5，CD1=D2D3=4，CD2=D1D3=5，CD3=D1D2=3，故长度为有理数的线段共7条，长度为无理数的线段共8条，则取到长度为无理数的线段的概率为p=．【点评】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、相似三角形的性质、概率公式等知识，运用分类讨论的思想是解决第（2）小题的关键．4. (2016·陕西师大附中·模拟) (5分)如图，已知线段a。

直角三角形与勾股定理(初中数学中考题汇总20)? 选择题（每小题x分，共y分）（2022?黑龙江省龙东地区）18、在△ABC中，BC:AC:AB=1:1:2，则△ABC是（ D ）A、等腰三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形（2022?黑龙江省龙东地区）20、在锐角△ABC中，∠BAC=60°，BN、CM为高，P为BC的中点，连接MN、MP、NP，则结论：①NP=MP ②当∠ABC=60°时，MN∥ BC ③ BN=2AN ④AN︰AB=AM︰AC，一定正确的有（ C ）A A、1个B、2个C、3个D、4个MNB CP 第20题图（2022?遵义）10.如图，在直角三角形ABC中（∠C＝90）,放置边长分别3,4,x的三个正方形，则x的值为C A. 5B. 6C. 7D. 121. （2022山东滨州，9，3分）在△ABC中,∠C=90°, ∠C=72°,AB=10,则边AC的长约为(精确到0.1)（）A.9.1B.9.5C.3.1D.3.5 【答案】C2. （2022山东烟台，7,4分）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（）A2m B.3m C.6m D.9mO （第7题图）【答案】C3. （2022台湾全区，29）已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，再向东直走80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺？A．100 B．180 C．220 D．260【答案】Ｃ4. （2022湖北黄石，7，3分）将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图(3)，则三角板的最大边的长为A. 3cmB. 6cmC. 32cmD. 62cm【答案】D5. （2022贵州贵阳，7，3分）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（第7题图）（A）3.5 （B）4.2 （C）5.8 （D）7 【答案】D6. （2022河北，9，3分）如图3，在△ABC中，∠C=90°，BC=6,D,E分别在AB,AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A 落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（）A．1 2 B．2 C．3 D．4BDCA'图3EA【答案】B（2022?宿迁市）11．将一块直角三角形纸片ABC折叠，使点A与点C重合，A展开后平铺在桌面上（如图所示）．若∠C＝90°，BC ＝8cm，则折痕DE的长度是4▲ cm．DECB（第11题）（2022?金华市）9.如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（B▲ )A.600mB.500mC.400mD.300m（2022?鸡西市）10．如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO 于点F，连结DE、EF.下列结论：①tan∠ADB=2 ②图中有4对全等三角形③若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上④BD=BF ⑤S四边形DFOE=S△AOF，上述结论中正确的个数是（ C ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个16、（2022?綦江县）一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A=30°，∠B=90°，BC=6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE= 米时，有DC=AE+BC．222考点：一元二次方程的应用；含30度角的直角三角形；勾股定理。

课时训练(二十一)直角三角形与勾股定理(限时:30分钟)|夯实基础|1.能说明命题“对于任何实数a,|a|>-a”是假命题的一个反例可以是( )A.a=-2B.a=C.a=1D.a=2.[2020·青岛]如图K21-1,已知三角形纸片ABC,AB=AC,∠BAC=90°,点E为AB中点.沿过点E的直线折叠,使点B与点A重合,折痕EF交BC于点F.已知EF=,则BC的长是()图K21-1A. B.3 C.3 D.33.木杆AB斜靠在墙壁上,当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动.下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线,其中正确的是( )图K21-24.[2020·湖州]如图K21-3,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=6,点P是Rt△ABC的重心,则点P到AB所在直线的距离等于()图K21-3A.1B.C.D.25.[2016·连云港]如图K21-4①,分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形,面积分别为S1,S2,S3;如图②,分别以直角三角形三个顶点为圆心,三边长为半径向外作圆心角相等的扇形,面积分别为S4,S5,S6.其中S1=16,S2=45,S5=11,S6=14,则S3+S4= ( )图K21-4A.86B.64C.54D.486.[2020·十堰]如图K21-5,已知圆柱的底面直径BC=,高AB=3,小虫在圆柱表面爬行,从C点爬到A点,然后再沿另一面爬回C点,则小虫爬行的最短路程为()图K21-5A.3B.3C.6D.67.[2020·德州]如图K21-6,OC为∠AOB的平分线,CM⊥OB,OC=5,OM=4,则点C到射线OA的距离为.图K21-68.如图K21-7,在△ABC中,∠ACB=90°,M,N分别是AB,AC的中点,延长BC至点D,使CD=BD,连接DM,DN,MN.若AB=6,则DN= .图K21-79.如图K21-8所示,△ABC中,CD⊥AB于点D,E是AC的中点,若AD=6,DE=5,则CD的长等于.图K21-810.[2020·丽水]我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理,绘制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”,如图K21-9①所示.在图②中,若正方形ABCD的边长为14,正方形IJKL的边长为2,且IJ∥AB,则正方形EFGH的边长为.图K21-911.如图K21-10,折叠矩形纸片ABCD,得折痕BD,再折叠使AD边与对角线BD重合,得折痕DF.若AB=4,BC=2,则AF= .图K21-1012.如图K21-11,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形.若AB=2,求△ABC的周长.(结果保留根号)图K21-11|拓展提升|13.[2020·成都]如图K21-12,在矩形ABCD中,按以下步骤作图:①分别以点A和C为圆心,以大于AC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N;②作直线MN交CD于点E,若DE=2,CE=3,则矩形的对角线AC的长为.图K21-1214.[2020·重庆A卷]如图K21-13,把三角形纸片折叠,使点B,点C都与点A重合,折痕分别为DE,FG,得到∠AGE=30°,若AE=EG=2厘米,则△ABC的边BC的长为厘米.图K21-1315.[2020·衡阳]如图K21-14,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4 cm,动点P从点C出发以1 cm/s的速度沿CA匀速运动,同时动点Q从点A出发以 cm/s的速度沿AB匀速运动,当点P到达点A时,点P,Q同时停止运动.设运动时间为t(s).(1)当t为何值时,点B在线段PQ的垂直平分线上?(2)是否存在某一时刻t,使△APQ是以PQ为腰的等腰三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.(3)以PC为边,往CB方向作正方形CPMN,设四边形QNCP的面积为S,求S关于t的函数关系式.图K21-14参考答案1.A[解析] 说明命题“对于任何实数a,|a|>-a”是假命题的一个反例可以是a=-2,|-2|=2.故选A.2.B[解析] ∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=45°.由折叠的性质可得∠BEF=90°,∴∠BFE=45°,∴BE=EF=.∵点E为AB中点,∴AB=3,∴AC=3.在Rt△ABC中,BC===3.故选B.3.D[解析] 如图,连接OP,由于OP是Rt△AOB斜边上的中线,所以OP=AB,不管木杆如何滑动,它的长度不变,即OP是一个定值,点P就在以O为圆心,以OP长为半径的一段圆弧上,所以点P下落的路线是一段弧线.故选D4.A[解析] 在Rt△ABC中,连接CP并延长至AB于点D,由三角形的重心性质得到,重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1,即CP∶PD=2∶1.又∵AC=BC,在等腰直角三角形ABC中,由三线合一,得到CD垂直平分线段AB,AB=6,∴CD=BD=3,点P到AB所在直线的距离即为PD的长度,即PD=1.5.C[解析] 如图①,S1=AC2,S2=AB2,S3=BC2.∵AB2=AC2+BC2,∴S1+S3=AC2+BC2=AB2=S2,∴S3=S2-S1.如图②,易求S4=S5+S6,∴S3+S4=S2-S1+S5+S6=45-16+11+14=54.故选C.6.D[解析] 把圆柱侧面展开,展开图如图所示,点A,C的最短距离为线段AC的长.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,∵CB为底面半圆弧长,∴CB=3,∴AC=3,∴从C点爬到A点,然后再沿另一面爬回C点,则小虫爬行的最短路程为2AC=6.7.3[解析] 因为CM⊥OB,OC=5,OM=4,所以CM=3,过点C作CN⊥OA于N,又因为OC为∠AOB的平分线,CM⊥OB,所以CN=CM=3,即点C到射线OA的距离为3.8.3[解析] 连接CM,∵M,N分别是AB,AC的中点,∴NM=CB,MN∥BC.又CD=BD,∴MN=CD.又MN∥BC,∴四边形DCMN是平行四边形,∴DN=CM.∵∠ACB=90°,M是AB的中点,∴CM=AB=3,∴DN=3.9.8[解析] ∵CD⊥AB于点D,∴∠ADC=90°.点E是Rt△ADC斜边上的中点,∴DE是Rt△ADC斜边上的中线,根据直角三角形斜边中线定理可得DE=AE=CE=5,∴AC=10.因此CD==8.10.10[解析] 设直角三角形的勾(较短的直角边)为a,股(较长的直角边)为b,根据题意得解得由勾股定理得直角三角形的弦(斜边)为==10,即正方形EFGH的边长为10.11.-1[解析] 在Rt△ABD中,AB=4,AD=BC=2,∴BD===2,由折叠的性质可得,△ADF≌△EDF,∴ED=AD=2,EF=AF,∴EB=BD-ED=2-2,设AF=x,则EF=AF=x,BF=4-x,在Rt△EBF中,x2+(2-2)2=(4-x)2,解得x=-1,即AF=-1.12.解:∵△ABD是等边三角形,∴∠B=60°.∵∠BAC=90°,∴∠C=180°-90°-60°=30°,∴BC=2AB=4.在Rt△ABC中,由勾股定理得AC===2,∴△ABC的周长=AC+BC+AB=2+4+2=6+2.13.[解析] 连接AE,由作图可知MN为线段AC的垂直平分线,∴AE=CE=3,在Rt△ADE中,AE2=AD2+DE2,∴AD==,在Rt△ADC中,AC2=AD2+CD2,∵CD=DE+CE=5,∴AC==.14.(4+6)[解析] 如图,过点E作EM⊥AG于点M,则由AE=EG,得AG=2MG.∵∠AGE=30°,EG=2厘米,∴EM=EG=(厘米).在Rt△EMG中,由勾股定理,得MG==3(厘米),从而AG=6厘米.由折叠可知,BE=AE=2厘米,GC=AG=6厘米.∴BC=BE+EG+GC=2+2+6=4+6(厘米).15.[解析] (1)由题意知CP=t,AQ=t,进而得出BQ=4-t,BP=,点B在线段PQ的垂直平分线上,则有BQ=BP,即4-t=,解方程即可求出t值;(2)应分两种情况讨论:①若AQ=PQ,∠AQP=90°;②若AP=PQ,∠APQ=90°,分别用t表示出AP的长,利用AP+PC=4,建立方程,求解即可;(3)连接QM,过Q作QG⊥AC于G,则△AQG为等腰直角三角形,且QG=AG=t,结合题意可证得四边形QMPG为矩形,从而得出Q,M,N三点共线,所以四边形QNCP为梯形,然后由QN=BN=4-t,CP=CN=t,利用梯形的面积公式求出四边形QNCP的面积即可.解:(1)由题意可知:CP=t,AQ=t.∵∠C=90°,AC=BC=4,∴AB===4.∴BQ=4-t.如果点B在线段PQ的垂直平分线上,则BQ=BP,∴4-t=,∴t1=8-4,t2=8+4>4,舍去.∴当t=(8-4)s时,点B在线段PQ的垂直平分线上.(2)假设存在某一时刻t,使得△APQ是以PQ为腰的等腰三角形.如图①,①若AQ=PQ,则∠AQP=90°,AP=AQ=2t,∴2t+t=4,即t=.如图②,②若AP=PQ,则∠APQ=90°,AP=PQ=t,∴AP+PC=2t=4,即t=2.∴存在t=或t=2,使△APQ是以PQ为腰的等腰三角形.,(3)如图③,连接QM,过Q作QG⊥AC于G,则△AQG为等腰直角三角形∴QG=AG=t.∵四边形PMNC是正方形,∴PM=CN=PC=t.∵QG∥CN,QG=t,∴四边形QMPG为矩形.∴∠QMP=90°.∴Q,M,N三点共线.∴四边形QNCP为梯形.∵QN=BN=4-t,CP=CN=t,∴四边形QNCP的面积S=·CN=(4-t+t)t=2t(0<t<4).11。