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中考数学复习必备教案 直角三角形与勾股定理知识点回顾知识点一：直角三角形的概念与性质1．有一个角是 的三角形叫做直角三角形； 2．直角三角形的两个锐角 ；3．直角三角形斜边上的中线等于 的一半.例1．（2009湖北省荆门市）如图1，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则∠A ′DB = （ ）A 、40° B、30° C、20° D、10° 解：∵Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°， ∴∠B =90°－50°=40° 由折叠得∠DA ′C =∠A =50°， ∵∠DA ′C =∠B +∠A ′DB∴∠A ′DB =50°－40°=10°，选D.例2．若直角三角形斜边上的高和中线分别为10cm 、12cm ，则它的面积是 cm 2. 解：∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，∴直角三角形斜边的长为2×12=24cm. ∴直角三角形的面积是21×24×10=120cm 2.同步检测一：1．（2009年湖南省郴州市）如图2，桌面上平放着一块三角板和一把直尺，小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘，他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转，还是将三角板沿直尺平移，∠1与∠2的和总是保持不变，那么∠1与∠2的和是_______度．2．如图3，Rt △ABC 中，∠B =90°，BD ⊥AC 于D ，点E 为AC 的中点，若BC =7，AB =24，则BE = ，BD = .A 'B DAC（图1）ABE D C（图3）21（图2）知识点二：勾股定理直角三角形 的平方和等于 的平方．例3．（2009年四川省宜宾市）已知：如图4，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3，则图中阴影部分的面积和为 ． 解：过点E 作ED ⊥AB 于点D ，可证得ED =21AB ， ∴ED AB S ABE ⨯⨯=∆21=41AB 2， 同理AHC S ∆=41AC 2，BFC S ∆=41BC 2， 从而图中阴影部分的面积和为41（AB 2+ AC 2+ BC 2） =41（AB 2+ AB 2）=29. 例4．（2009年湖南省衡阳市）如图5，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为 （ ）A 、1B 、34 C 、23D 、2解：Rt △DAB 中，BD =54322=+， 设AG =x ，则BG=4－x由折叠得A ′D =AD =3，A ′G =AG =x ，∠DA ′G =∠A =90°， ∴A ′B =BD －A ′D =5－3=2，∠GA ′B =90°， 从而Rt △GA ′B 中，x 2+22=（4－x ）2. 解得x =23，选C. 同步检测二：3．如果直角三角形的两条边长分别是3和4，那么该直角三角形斜边上的中线等于 . 4．（2009年四川省达州市）如图6是一株美丽的勾股树， 其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角 三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、 2、3，则最大正方形E 的面积是 （ ） A 、13 B 、26 C 、47 D 、94★5．（2009年黑龙江省哈尔滨市）若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，BE ＝3，M 为线段AE 上一点，射线BM交正方形的一边于点F ，且BF ＝AE ，求BM 的长. （图5）AB CDA′G（图4）BHF EAC（图6）知识点三：直角三角形的判定方法1．根据定义：有一个角是 的三角形叫做直角三角形；2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、 b 、 c 有关系： ，那么这个三角形是直角三角形，且∠C =90°.例5．（2009年湖南省衡阳市）如图7，A 、B 、C 分别表示三个 村庄，AB ＝1000米，BC ＝600米，AC ＝800米，在社会主义 新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心， 要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位 置应在 （ ） A 、AB 中点 B 、BC 中点C 、AC 中点D 、∠C 的平分线与AB 的交点解：显然到A 、B 、C 三个村庄距离相等的点P 应该是AB 、BC 、AC 三边垂直平分线的交点. 又∵BC 2+AC 2=6002+8002=1000000；AB 2=10002=1000000 ∴BC 2+AC 2=AB 2， ∴∠ACB =90°,由于直角三角形三边垂直平分线的交点在斜边的中点处，从而活动中心P 的位置应在AB 的中点处，选A.例6．如图8，点P 是等边△ABC 内的一点，分别连接PA 、PB 、PC ，以BP 为边作∠PBQ =60°，且BQ =BP ，连接CQ .（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若PA ∶PB ∶PC =3∶4∶5，连接PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由. （1）答：AP =CQ证：∵△ABC 为等边三角形 ∴AB =BC ，∠ABC =60° ∵∠PBQ =60° ∴∠ABC =∠PBQ ∴∠ABP =∠CBQ在△ABP 与△CBQ 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BQ BP CBQ ABP CBAB∴△ABP ≌△CBQ （SAS ） ∴AP =CQ（2）答：△PQC 为直角三角形.理由是：设PA =3k ，则PB =4k ，PC =5k （k >0），CQ =AP =3k BAC（图7）ABP （图8）∵BQ =BP ，∠PBQ =60°∴△PBQ 为等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形） ∴PQ =PB =4k又CQ 2=9k 2，PQ 2=16k 2，PC 2=25k 2， ∴CQ 2+PQ 2=PC 2∴△PQC 为直角三角形，且∠PQC =90°. 同步检测三：6、（2009年黑龙江省牡丹江市）如图9， △ABC 中，CD ⊥AB 于D ，下列条件中：①∠1=∠A ；②CDDBAD CD；③∠B +∠2=90°；④BC ∶AC ∶AB =3∶4∶5；⑤AC ×BD =AC ×CD ，一定能确定△ABC 为直角三角形的条件的个数是 （ ） A 、1B 、2C 、3D 、47、（2009年甘肃省定西市）如图10，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，D 为AB 边上一点，求证：（1）△ACE ≌△BCD ；（2）AD 2+DB 2=DE 2.随堂检测：1．（2009年湖南省长沙市）如图11，等腰△ABC 中，AB =AC ，AD 是底边上的高，若AB =5cm ，BC =6cm ，则AD = cm ．2．(2009年上海市)如图12，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =3， M 为边BC 上的点，联结AM ．如果将△ABM 沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是 .3．（2009年贵州省安顺市）如图13，图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是AB CM（图12）（图10）EDBAC21DBAC（图9）（图11）AD CB（图13）CS 1S 2（图14）由四个全等的直角三角形围成的. 在Rt △ABC 中，若直角边AC ＝6，BC ＝6，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是______.4．（2009年浙江省湖州市）如图14，已知在Rt △ABC 中，∠ACB =Rt ∠，AB =4，分别以AC 、BC 为直径作半圆，面积分别记为S 1、S 2，则S 1+S 2的值等于 .5．（2009年湖北省恩施自治州）如图15，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 （ ）A 、521B 、25C 、105+5D 、356．（2009年浙江省丽江市）如图16，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2 ， l 2，l 3之间的距离为3 ，则AC 的长是 （ ） A 、172 B 、52 C 、24 D 、77．（2009年新疆维吾尔自治区）如图17是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a b ，，斜边长为c 和一个边长为c 的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图． （2）证明勾股定理．8．（2009年湖北省恩施自治州）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．如图18，著名的恩施大峡谷（A ）和世界级自然保护区星斗山（B ）位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，AB =50km ，A 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案5201510CAB（图15）l 1l 2l 3ACB（图16）cba cba cba cbacc（图17）一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和S 1=PA +PB ，图（2）是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A ′，连接BA ′交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和S 2=PA +PB ．（1）求S 1、S 2，并比较它们的大小； （2）请你说明S 2=PA +PB 的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．9．（2009年黑龙江省牡丹江市）有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m ，8m. 现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长. 10．（2009年湖北省咸宁市）问题背景：在△ABC 中，AB 、BC 、AC 三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图19中的图①所示．这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将△ABC 的面积直接填写在横线上：__________________ 思维拓展：（2）我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法．．．．若△ABC 三边的长分别为5a 、a 22、a 17（a >0），请利用图19中的图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的△ABC ，并求出它的面积． 探索创新：（3）若△ABC 三边的长分别为2216n m +、2249n m +、222n m +（m >0，n >0，且m ≠n ），试运用构图法．．．求出这三角形的面积． （图18）BA P 图（1）YXBAQPO图（3）BAPXA '图（2） AB答案：知识点回顾的答案知识点一：直角；互为余角；斜边； 知识点二：两直角边；斜边； 知识点三：直角；a 2+b 2=c 2. 同步测试的答案 1．90°； 2．BE =225，BD =25168； 3．2或25； 4．A ； 5．（1）当点F 在DC 上时，如图1，先证△ABE ≌△BCF ，可得AE =BF =5，BE =CF =3，AE ⊥BF ，再由面积公式BE AB BM AE ⋅=⋅得BM =512.（2）当点F 在AD 上时，如图2，先证△ABE ≌△BAF ，可得BE =AF =3，∴AE =BF =5，连结EF ，证□ABEF ，∴BM =21BF =25. 6．C （提示：能确定△ABC 为直角三角形的有①②④，共3个） 7．证明:（1） ∵ ∠ACB =∠ECD =90°，∴∠ACB －∠ACD =∠ECD －∠ACD ， 即 ∠BCD =∠ACE ∵BC =AC ，DC =EC ， ∴△ACE ≌△BCD .（2）∵△ACB 是等腰直角三角形， ∴∠B =∠BAC =45°． ∵△ACE ≌△BCD ， ∴∠CAE =∠B =45°．∴∠DAE =∠CAE +∠BAC =45°+45°=90°． ∴Rt △DAE 中，AD 2+AE 2=DE 2. ∵△ACE ≌△BCD ∴ AE ＝DB ， ∴AD 2+DB 2=DE 2. A B F EDC M（图1）ABEC D M F（图2）（第5题答案图）随堂检测的答案：1．4cm ； 2．2； 3．76； 4．2π； 5．B ； 6．A 7．解：（1）如图，（2）证明：大正方形的面积表示为()2b a +，大正方形的面积也可表示为ab c 2142⨯+，∴()2b a +=ab c 2142⨯+，即ab c ab b a 22222+=++，∴222c b a =+，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.8．解：（1）图18（1）中过B 作BC ⊥AP ，交PA 的延长线于点C ，则PC ＝40，又AP ＝10，∴AC ＝30.在Rt △ABC 中，AB ＝50 ，AC ＝30，∴BC ＝40 ，∴ BP ＝24022=+BC CP ， ∴S 1＝10240+；图18（2）中，过B 作BC ⊥AA ′，交A ′A 的延长线于点C ，则A ′C ＝50，又BC ＝40， ∴BA ′＝4110504022=+，由轴对称知：PA ＝PA ′，∴S 2＝BA ′＝4110， ∴S 1>S 2.（2）如 图18（2），在公路上任找一点M ，连接MA ，MB ，MA '，由轴对称知MA ＝MA ′，∴MB +MA ＝MB +MA ′>A ′B ，∴S 2＝BA ′为最小.（3）如图，过A 作关于X 轴的对称点A ′，过B 作关于Y 轴的对称点B ′，连接A ′B ′，交X 轴于点P ，交Y 轴于点Q ，则P ，Q 即为所求.过A ′、 B ′分别作X 轴、Y 轴的平行线交于点G ，A ′B ′＝5505010022=+， ∴所求四边形的周长为55050+.a bc a bcab cc b a（第7（1）题答案图）YB′BAQ9．解：设在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =8，BC =6. 由勾股定理有：AC =10. 扩充部分为Rt △ABD ，扩充成等腰△ACD ，应分以下三种情况： ①如图1，当AC =AD =10时，可求BD =CB =6，得△ACD 的周长为32m ；②如图2，当AC =CD =10时，可求BD =4，由勾股定理得：AD =45，得△ACD 的周长为（20+45）m ；③如图3，当AC 为底时，设AD =CD =x ，则BD =x －6，由勾股定理得：x =325，得△ACD 的周长为380m.10．（1）3.5；（2）如图②，构造△ABC ，使AB =5a ，BC =a 22，AC =a 17，∴△ABC 的面积为21×（2a +4a ）×2a －21×a ×2a －21×a ×4a =3a 2；（3）如图③，先构造长和宽分别为4n 、3m 的长方形网格，再构造△ABC ，使AC =2216n m +，BC =2249n m +，AB =222n m +，∴△ABC 的面积为3m ×4n －21×m ×4n －21×2n ×3m －21×2n ×2m =5mn .DC B ACB AD CBAD（图1）（图2）（图3）（第9题答案图）（第10题答案图）4n3mAC B （图②）（图③）。
解直角三角形一.选择题1,（2015威海,第2题4分）【答案】D【解析】根据三角函数的定义，边AC=BCtan26其按键顺序正确的是【备考指导】本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是利用三角函数的知识解直角三角形，求解相关线段的长度，难度一般．2．（2015·湖南省衡阳市，第12题3分）如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）．A．B．51 C．D．1013. （2015•浙江滨州,第12题3分）如图,在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与函数、的图象交于B、A两点，则∠OAB大小的变化趋势为( )A.逐渐变小B.逐渐变大C.时大时小D.保持不变【答案】D考点：反比例函数，三角形相似，解直角三角形5. （2015•绵阳第10题，3分）如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（）A．（11﹣2）米B．（11﹣2）米C．（11﹣2）米D．（11﹣4）米考点：解直角三角形的应用．.分析：出现有直角的四边形时，应构造相应的直角三角形，利用相似求得PB、PC，再相减即可求得BC 长．解答：解：如图，延长OD，BC交于点P．∵∠ODC=∠B=90°，∠P=30°，OB=11米，CD=2米，∴在直角△CPD中，DP=DC•cot30°=2m，PC=CD÷（sin30°）=4米，∵∠P=∠P，∠PDC=∠B=90°，∴△PDC∽△PBO，∴=，∴PB===11米，∴BC=PB﹣PC=（11﹣4）米．故选：D．点评：本题通过构造相似三角形，综合考查了相似三角形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念．6.（2015•山东日照，第10题4分）如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值（）A．B．C．D．考点：解直角三角形．.分析：延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，由tanB=，即=，设AD=5x，则AB=3x，然后可证明△CDE∽△BDA，然后相似三角形的对应边成比例可得：，进而可得CE=x，DE=，从而可求tan∠CAD==．解答：解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵tanB=，即=，∴设AD=5x，则AB=3x，∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴，∴CE=x，DE=，∴AE=，∴tan∠CAD==．故选D．点评：本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD放在直角三角形中．7.（2015•山东聊城,第10题3分）湖南路大桥于今年5月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线．某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50米的C处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5°（如图）．已知测量仪器CD的高度为1米，则桥塔AB的高度约为（）A．34米B．38米C． 45米D． 50米考点：解直角三角形的应用－仰角俯角问题．.分析：Rt△ADE中利用三角函数即可求得AE的长，则AB的长度即可求解．解答：解：过D作DE⊥AB于E，∴DE=BC=50米，在Rt△ADE中，AE=DE•tan41，5°≈50×0.88=44（米），∵CD=1米，∴BE=1米，∴AB=AE+BE=44+1=45（米），∴桥塔AB的高度为45米．点评：本题考查仰角的定义，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．8（2015山东济宁，9，3分）如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1:2，AC=米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB=10米，则旗杆BC的高度为( )A.5米B.6米C. 8米D. 米【答案】A考点：解直角三角形二.填空题1. （2015•浙江滨州,第14题4分）如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC=，则对角线AC的长为.【答案】24考点：菱形的性质，解直角三角形2. （2015•绵阳第18题，3分）如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A 点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正切值为3．考点：旋转的性质；等边三角形的性质；解直角三角形．.专题：计算题．分析：先根据等边三角形的性质得AB=AC，∠BAC=60°，再根据旋转的性质得AD=AE=5，∠DAE=∠BNAC=60°，CE=BD=6，于是可判断△ADE为等边三角形，得到DE=AD=5；过E点作EH⊥CD 于H，如图，设DH=x，则CH=4﹣x，利用勾股定理得到52﹣x2=62﹣（4﹣x）2，解得x=，再计算出EH，然后根据正切的定义求解．解答：解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵△ABD绕A点逆时针旋转得△ACE，∴AD=AE=5，∠DAE=∠BNAC=60°，CE=BD=6，∴△ADE为等边三角形，∴DE=AD=5，过E点作EH⊥CD于H，如图，设DH=x，则CH=4﹣x，在Rt△DHE中，EH2=52﹣x2，在Rt△DHE中，EH2=62﹣（4﹣x）2，∴52﹣x2=62﹣（4﹣x）2，解得x=，∴EH==，在Rt△EDH中，tan∠HDE===3，即∠CDE的正切值为3．故答案为：3．点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和解直角三角形．3．（2015•广东广州,第15题3分）如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE=9，BC=12，则cosC= ．考点：线段垂直平分线的性质；解直角三角形．分析：根据线段垂直平分线的性质，可得出CE=BE，再根据等腰三角形的性质可得出CD=BD，从而得出CD：CE，即为cos C．解答：解：∵DE是BC的垂直平分线，∴CE=BE，∴CD=BD，∵BE=9，BC=12，∴CD=6，CE=9，∴cosC===，故答案为．点评：本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．4. （2015•四川省内江市，第22题，6分）在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC=6，则BC=6．考点：含30度角的直角三角形；勾股定理．.分析：由∠B=30°，AB=12，AC=6，利用30°所对的直角边等于斜边的一半易得△ABC是直角三角形，利用勾股定理求出BC的长．解答：解：∵∠B=30°，AB=12，AC=6，∴△ABC是直角三角形，∴BC===6，故答案为：6．°点评：此题考查了含30°直角三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．5.（2015•山东东营,第14题3分）4月26日，2015黄河口（东营）国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为，B处的俯角为．如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是米．【答案】200(+1)【解析】试题分析：∵∠CDA=∠CDB=90°，∠A=30°，∠B=45°，∴AD=CD=200，BD=CD=200，∴AB=AD+BD=200(+1)（米）；考点：解直角三角形的应用.6.（2015湖南邵阳第17题3分）如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB=2000米，则他实际上升了1000米．考点：解直角三角形的应用－坡度坡角问题．.分析：过点B作BC⊥水平面于点C，在Rt△ABC中，根据AB=200米，∠A=30°，求出BC的长度即可．解答：解：过点B作BC⊥水平面于点C，在Rt△ABC中，∵AB=2000米，∠A=30°，∴BC=ABsin30°=2000×=1000．故答案为：1000．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡角构造直角三角形，利用三角函数的知识进行求解．7.（2015湖北荆州第15题3分）15．如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为137米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.732）考点：解直角三角形的应用－仰角俯角问题．专题：计算题．分析：根据仰角和俯角的定义得到∠ABD=30°，∠ACD=45°，设AD=xm，先在Rt△ACD 中，利用∠ACD的正切可得CD=AD=x，则BD=BC+CD=x+100，然后在Rt△ABD中，利用∠ABD的正切得到x=（x+100），解得x=50（+1），再进行近似计算即可．解答：解：如图，∠ABD=30°，∠ACD=45°，BC=100m，设AD=xm，在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=，∴CD=AD=x，∴BD=BC+CD=x+100，在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=，∴x=（x+100），∴x=50（+1）≈137，即山高AD为137米．故答案为137．点评：本题考查了解直角三角形﹣的应用﹣仰角俯角：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．8．(2015•江苏南昌,第13题3分)如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm, ∠CBD=40°,则点B到CD的距离为cm(参考数据：sin20°≈ 0.342, com20°≈0.940, sin40°≈ 0.643, com40°≈ 0.766.精确到0.1cm,可用科学计算器).（（第13题）图2图1OABCP答案：解析：如右图，作BE ⊥CD 于点E .∵BC =BD , BE ⊥CD ,∴∠CBE =∠DBE =20°, 在Rt △BCD中，cos ,BEDBE=BDÐ ∴cos BE 2015?， ∴BE ≈15×0.940=14.19．(2015•江苏南昌,第14题3分)如图，在△ABC 中，AB =BC =4，AO=BO ,P 是射线CO 上的一个动点，∠AOC =60°,则当△P AB 为直角三角形时，AP 的长为 .（第14题）AB答案：解析：如图，分三种情况讨论：图(1)中，∠APB =90°，∵AO =BO , ∠APB =90°，∴PO =AO =BO =2, 又∠AOC =60°, ∴△APO 是等边三角形， ∴AP =2；图(2)中，∠APB =90°，∵AO =BO , ∠APB =90°，∴PO =AO =BO =2,又∠AOC =60°, ∴∠BAP =30°,在Rt △ABP 中，AP =cos 30°×4= .图(3)中，∠ABP =90°, ∵BO =AO =2 , ∠BOP =∠AOC =60°,(1)BA(2)BAA∴PB =, ∴AP =∴AP 的长为2，10. （2015•浙江金华，第16题4分）图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时，点A ，B ，C 在同一直线上，且∠ACD =90°.图2是小床支撑脚CD 折叠的示意图，在折叠过程中，ΔACD 变形为四边形ABC'D'，最后折叠形成一条线段BD". （1）小床这样设计应用的数学原理是 ▲ （2）若AB ：BC =1：4，则tan ∠CAD 的值是 ▲【答案】（1）三角形的稳定性和四边形的不稳定性；（2）815.【考点】线动旋转问题；三角形的稳定性；旋转的性质；勾股定理；锐角三角函数定义.【分析】（1）在折叠过程中，由稳定的ΔACD 变形为不稳定四边形ABC'D'，最后折叠形成一条线段BD"，小床这样设计应用的数学原理是：三角形的稳定性和四边形的不稳定性。
人教初中数学九年级下册《28-2 解直角三角形及其应用》（教学设计）一. 教材分析《28-2 解直角三角形及其应用》是人教初中数学九年级下册的一章内容。
这一章节主要介绍了解直角三角形的知识和方法，以及直角三角形在实际生活中的应用。
本章内容是学生在学习了三角函数和勾股定理的基础上进行的，是初中数学的重要内容之一。
二. 学情分析学生在学习本章内容时，已经具备了一定的数学基础，如算术、代数和几何知识。
但是，对于解直角三角形的实际应用，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际应用相结合，提高学生的应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握解直角三角形的方法，能够运用勾股定理和三角函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过小组合作、探究学习，培养学生的团队协作能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识和实践能力。
四. 教学重难点1.重点：解直角三角形的方法和技巧。
2.难点：如何将解直角三角形的知识应用到实际问题中。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解直角三角形的应用。
2.小组合作学习：让学生在小组内进行讨论和实践，提高学生的团队协作能力。
3.探究学习法：引导学生主动探究解直角三角形的方法，培养学生的创新能力。
六. 教学准备1.教学素材：准备相关的生活实例和问题，以便进行情境教学。
2.教学工具：准备黑板、粉笔、多媒体设备等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如测量旗杆的高度，引出直角三角形和解直角三角形的重要性。
让学生思考如何解决这个问题，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解解直角三角形的基本方法，如使用勾股定理和三角函数。
通过示例，引导学生理解并掌握这些方法。
3.操练（10分钟）让学生进行一些解直角三角形的练习题，巩固所学知识。
教师可以给予学生一定的指导，帮助学生解决问题。
4.巩固（10分钟）通过一些实际问题，让学生运用解直角三角形的知识解决问题。
28．2 解直角三角形及其应用人非圣贤，孰能无过？过而能改，善莫大焉。
《左传》原创不容易，【关注】店铺，不迷路！28．2.1 解直角三角形(第1课时)教学目标一、基本目标【知识与技能】1．了解什么叫解直角三角形．2．掌握解直角三角形的根据．3．能由已知条件解直角三角形．【过程与方法】在探索解直角三角形的过程中，渗透数形结合思想．【情感态度与价值观】在探究活动中，培养学生的合作交流意识，让学生在学习中感受成功的喜悦，增强学习数学的信心．二、重难点目标【教学重点】解直角三角形的方法．【教学难点】会将求非直角三角形中的边角问题转化为解直角三角形问题．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P72～P73的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.2．在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.(1)两锐角互余，即∠A＋∠B＝90°；(2)三边满足勾股定理，即a2＋b2＝c2；(3)边与角关系sin A＝cos B＝ac，cos A＝sin B＝bc，tan A＝ab，tan B＝ba.3．Rt△ABC中，若∠C＝90°，sin A＝45，AB＝10，那么BC＝8，tan B＝34.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】见教材P73例1.【例2】见教材P73例2.活动2 巩固练习(学生独学)1．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是( A )A．c sin A＝a B．b cos B＝cC．a tan A＝b D．c tan B＝b2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，则AB的长为4 3.3．根据下列条件解直角三角形．(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝4，c＝8；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，a＝12.解：(1)a43，∠B＝30°，∠A＝60°.(2)∠B＝30°，b＝43，c＝8 3.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，试求CD的长．【互动探索】过点B作BM⊥FD于点M，求出BM与CM的长度，在△EFD中求出∠EDF＝60°，再解直角三角形即可．【解答】如题图，过点B作BM⊥FD于点M.在△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122，∴BC＝AC＝12 2.∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠CBA＝45°，∴BM＝BC sin45°＝122×22＝12，CM＝BM＝12.在△EFD中，∵∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°∴MD＝BMtan 60°＝43，∴CD＝CM－MD＝12－4(3).【互动总结】(学生总结，老师点评)解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对练习！28．2.2应用举例第2课时利用仰角、俯角解直角三角形教学目标一、基本目标【知识与技能】1．能将直角三角形的知识与圆的知识结合起来解决问题．2．了解仰角、俯角等有关概念，会利用解直角三角形的知识解决有关仰角和俯角的实际问题．【过程与方法】通过探索用解直角三角形知识解决仰角、俯角等有关问题，经历将实际问题转化为数学问题的探究过程，提高应用数学知识解决际问题的能力．【情感态度与价值观】通过探索三角函数在实际问题中的应用，感受数学来源于生活又应用于生活以及勇于探索的创新精神．二、重难点目标【教学重点】利用解直角三角形解决有关仰角、俯角的实际问题．【教学难点】建立合适的三角形模型，解决实际问题．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P74～P75的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．在进行测量时，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.2．如图所示，在建筑物AB的底部a米远的C处，测得建筑物的顶端点A的仰角为α，则建筑物AB的高可表示为a tanα米．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行，如图所示，当组合体运行到地球表面点P的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与点P的距离是多少？(地球半径约为6400km，π取3.142，结果取整数)【温馨提示】详细分析与解答见教材P74例3.【例2】如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120m，这栋楼有多高(结果取整数)?【温馨提示】详细分析与解答见教材P75例4.活动2 巩固练习(学生独学)如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°(A、B、C在同一条直线上)，则河的宽度AB约是多少？(精确到0.1m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：由题易知，∠DAC＝∠EDA＝30°.∵在Rt△ACD中，CD＝21m，∴AC＝CDtan 30°＝2133＝213(m)．∵在Rt△BCD中，∠DBC＝45°，∴BC＝CD＝21m，∴AB＝AC－BC＝213－21≈15.3(m)．即河的宽度AB约是15.3m.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，某大楼顶部有一旗杆AB，甲、乙两人分别在相距6米的C、D 两处测得点B和点A的仰角分别是42°和65°，且C、D、E在一条直线上．如果DE＝15米，求旗杆AB的长大约是多少米？(结果保留整数，参考数据：sin42°≈0.67，tan42°≈0.9，sin65°≈0.91，tan65°≈2.1)【互动探索】要求AB，先求出AE与BE→解直角三角形：Rt△ADE、Rt△BCE.【解答】在Rt△ADE中，∵∠ADE＝65°，DE＝15米，∴tan∠ADE＝AE DE，即tan65°＝AE15≈2.1，解得AE≈31.5米．在Rt△BCE中，∵∠BCE＝42°，CE＝CD＋DE＝6＋15＝21(米)，∴tan∠BCE＝BE CE，即tan42°＝BE21≈0.9，解得BE≈18.9米．∴AB＝AE－BE＝31.5－18.9≈13(米)．即旗杆AB的长大约是13米．【互动总结】(学生总结，老师点评)先分析图形，根据题意构造直角三角形，再解Rt△ADE、Rt△BCE，利用AB＝AE－BE即可求出答案．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应练习！第3课时利用坡度、方向角解直角三角形教学目标一、基本目标【知识与技能】1．能运用解直角三角形解决航行问题．2．能运用解直角三角形解决斜坡问题．3．理解坡度i＝坡面的铅直高度坡面的水平宽度＝坡角的正切值．【过程与方法】1．通过探究从实际问题中建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力，提高应用数学知识解决实际问题的能力．2．通过将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系，增强应用意识，体会数形结合思想的应用．【情感态度与价值观】在运用三角函数知识解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的应用价值．二、重难点目标【教学重点】用三角函数有关知识解决方向角、坡度、坡角等有关问题．【教学难点】准确分析问题并将实际问题转化成数学模型．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P76～P77的内容，完成下面练习．【3min 反馈】(一)方向角1．方向角是以观察点为中心(方向角的顶点)，以正北或正南为始边，旋转到观察目标的方向线所成的锐角，方向角也称象限角．2．如图，我们说点A 在O 的北偏东30°方向上，点B 在点O 的南偏西45°方向上，或者点B 在点O 的西南方向．(二)坡度、坡角1．坡度通常写成1∶m 的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i ＝h l＝tan α. 2．一斜坡的坡角为30°，则它的坡度为1∶ 3.(三)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程1．将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的函数模型)；2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用解直角三角形的有关性质解直角三角形；3．得到数学问题的答案；4．得到实际问题的答案．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)(一)解直角三角形，解决航海问题【例1】如图，海中一小岛A ，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A 岛南偏西55°的B 处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C 处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？【互动探索】(引发学生思考)构造直角三角形→解直角三角形求出AD的长并与10海里比较→得出结论．【解答】如题图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝BD AD ，∴BD＝AD·tan55°.在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝CD AD ，∴CD＝AD·tan25°.∵BD＝BC＋CD，∴AD·tan55°＝20＋AD·tan25°，∴AD＝20tan 55°－tan 25°≈20.79(海里)．而20.79海里>10海里，∴轮船继续向东行驶，不会遇到触礁危险．【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键是将实际问题转化为直角三角形的问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．应先求出点A距BC的最近距离，若大于10海里则无危险，若小于或等于10海里则有危险．(二)解直角三角形，解决坡度、坡角问题【例2】如图，铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，路基顶宽BC＝9.8m，路基高BE＝5.8m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.6，斜坡CD的坡度i′＝1∶2.5，求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1m)与斜坡的坡角α和β的值(精确到1°)．【互动探索】(引发学生思考)将坡度i＝1∶1.6和i′＝1∶2.5分别转化为正切三角函数→求出AE、DF的长→由AD＝AE＋EF＋DF求出AD的长→利用计算器求得坡角α和β的值．【解答】如题图，过点C作CF⊥AD于点F，则CF＝BE，EF＝BC，∠A＝α，∠D＝β.∵BE＝5.8m,i＝1∶1.6,i′＝1∶2.5，∴AE＝1.6×5.8＝9.28(m)，DF＝2.5×5.8＝14.5(m)，∴AD＝AE＋EF＋DF＝9.28＋9.8＋14.5≈33.6(m)．由tanα＝i＝1∶1.6，tanβ＝i′＝1∶2.5，得α≈32°，β≈22°.即铁路路基下底宽AB为33.6m，斜坡的坡角α和β分别为32°和22°.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用坡度与坡角解决实际问题的关键是将坡度与坡角放入可解的直角三角形中，没有直角三角形一般要添加辅助线(垂线)构造直角三角形．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图，防洪大坝的横断面是梯形，坝高AC为6米，背水坡AB的坡度i＝1∶2，则斜坡AB的长为65米．2．“村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，C村村民欲修建一条水泥公路，将C村与区级公路相连．在公路A处测得C村在北偏东60°方向，沿区级公路前进500m，在B处测得C村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短，画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．(结果保留整数)解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足落在AB的延长线上，CD即为所修公路，CD的长度即为公路长度．在Rt△ACD中，根据题意，有∠CAD＝30°.∵tan∠CAD＝CD AD，∴AD＝CDtan 30°＝3C D.在Rt△CBD中，根据题意，有∠CBD＝60°.∵tan∠CBD＝CD BD，∴BD＝CDtan 60°＝33C D.又∵AD－BD＝500m，∴3CD－33CD＝500，解得CD≈433m.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，小明于堤边A处垂钓，河堤AB的坡比为1∶3，坡长为3米，钓竿AC的倾斜角是60°，其长为6米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角为60°，求浮漂D与河堤下端B之间的距离．【互动探索】将实际问题转化为几何问题→作辅助线，构造直角三角形→延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥EB→解直角三角形得AE长→得△CDE是等边三角形，DE＝CE＝AC＋AE→求得BD长．【解答】如图，延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥EB，交EB于点F，则∠CED＝60°.∵AB的坡比为1∶3，∴∠ABE＝30°，∴∠BAE ＝90°.∵AB ＝3米，∴AE ＝AB tan ∠ABE ＝3×33＝3(米)， ∴BE ＝2AE ＝23米．∵∠C ＝∠CED ＝60°，∴△CDE 是等边三角形．∵AC ＝6米，∴DE ＝CE ＝AC ＋AE ＝(6＋3)米，∴BD ＝DE －BE ＝6＋3－23＝(6－3)(米)．即浮漂D 与河堤下端B 之间的距离为(6－3)米．【互动总结】(学生总结，老师点评)本题既考查了解直角三角形，也考查了等边三角形的性质，根据已知条件构造出直角三角形及等边三角形是关键．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)⎩⎪⎨⎪⎧ 坡度与坡角⎩⎨⎧ 坡度的概念→通常写成比的形式坡角的概念→坡度越大，坡面就越陡方向角：指正北、正南方向线与目标方向线所形 成的角练习设计请完成本课时对应练习！【素材积累】 海明威和他的“硬汉形象”美国作家海明威是一个极具进取精神的硬汉子。
解直角三角形题型的解法
直角三角形是一个非常基础的三角形，但在初中数学中却是一
个非常重要的知识点。
解直角三角形问题并不难，下面我将分享几
种解法。
方法一：勾股定理
勾股定理是解直角三角形问题中最常用的方法，根据这个定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
因此，我们可
以通过已知两条边求第三条边的长度。
例如，如果我们知道直角三
角形的一条直角边长为3，另一条直角边长为4，那么我们可以通
过勾股定理求得斜边长，即5。
方法二：正弦定理
正弦定理适用于已知一个角和两边，求另一边的长度。
正弦定
理公式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
其中a、b、c分别为三角形中
的边，A、B、C为对应的角度。
例如，如果我们已知三角形的一
个角度为30度，其对边长为5，且斜边长为10，那么我们可以通
过正弦定理求得该直角三角形的另一直角边长为5根3。
方法三：余弦定理
余弦定理适用于已知三角形的任意两边及它们之间夹角，求第三边长度的情况。
余弦定理公式为：c²=a²+b²-2ab*cosC。
其中c为求解的第三边长度，a、b为已知边的长度，C为它们之间的夹角。
例如，如果我们已知直角三角形的两个直角边长分别为3和4，夹角为90度，那么我们可以通过余弦定理求得斜边长，即5。
通过上述三种方法，我们可以解决绝大多数直角三角形问题。
当然，在应用定理时，我们需要确保我们有足够的信息来求解。
学好这些方法，相信解直角三角形问题将变得非常简单明了。
解直角三角形一.选择题1. （2019•广东省广州市•3分）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．30m D．12m【分析】根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC的长，本题得以解决．【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m，∴tan∠BAC＝，解得，AC＝75，故选：A．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．2. （2019•广西北部湾经济区•3分）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】C【解析】解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF=x，∵tan65°=，∴OF=xtan65°，∴BD=3+x，∵tan35°=，∴OF=（3+x）tan35°，∴2.1x=0.7（3+x），∴x=1.5，∴OF=1.5×2.1=3.15，∴OE=3.15+1.5=4.65，故选：C．过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF=x，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案．本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．二.填空题1. （2019•江苏宿迁•3分）如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是＜BC ＜．【分析】当点C在射线AN上运动，△ABC的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角三角形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，构造特殊情况下，即直角三角形时的BC的值．【解答】解：如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2在Rt△ABC1中，AB＝2，∠A＝60°∴∠ABC1＝30°∴AC1＝AB＝1，由勾股定理得：BC1＝，在Rt△ABC2中，AB＝2，∠A＝60°∴∠AC2B＝30°∴AC2＝4，由勾股定理得：BC2＝2，当△ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时＜BC＜2．故答案为：＜BC＜2．【点评】本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用特殊直角三角形的边角关系或利用勾股定理求解．考察直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识点． 2. （2 019·江苏盐城·3分）如图，在△ABC 中，BC ＝26+，∠C ＝45°，AB ＝2AC ，则AC 的长为________.【答案】2【解析】过A 作AD ⊥BC 于D 点，设AC =x 2，则AB =x 2，因为∠C =45°，所以AD =AC =x ，则由勾股定理得BD =x AD AB 322=-，因为AB =26+，所以AB =263+=+x x ,则x =2.则AC =2.3. （2 019·江苏盐城·3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝2x －1的图像分别交x 、y 轴于点A 、B ，将直线AB 绕点B 按顺时针方向旋转45°，交x 轴于点C ，则直线BC 的函数表达式是__________.【答案】131-=x y 【解析】因为一次函数y ＝2x －1的图像分别交x 、y 轴于点A 、B ，则A （21，0），B （0,-1），则AB =25.过A 作AD ⊥BC 于点D ，因为∠ABC =45°，所以由勾股定理得AD =410，设BC =x ，则AC =OC -OA =2112--x ，根据等面积可得：AC ×OB =BC ×AD ，即2112--x =410x ，解得x =10.则AC =3，即C （3，0），所以直线BC 的函数表达式是131-=x y .3. （2019•浙江湖州•4分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB 和CD 分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD ＝α．若AO ＝85cm ，BO ＝DO ＝65cm ．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A 离地面的高度h 约为 120 cm ．（参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6．）【分析】过O 作OE ⊥BD ，过A 作AF ⊥BD ，可得OE ∥AF ，利用等腰三角形的三线合一得到OE 为角平分线，进而求出同位角的度数，在直角三角形AFB 中，利用锐角三角函数定义求出h 即可．【解答】解：过O 作OE ⊥BD ，过A 作AF ⊥BD ，可得OE ∥AF ， ∵BO ＝DO ， ∴OE 平分∠BOD ，∴∠BOE ＝∠BOD ＝×74°＝37°， ∴∠F AB ＝∠BOE ＝37°，在Rt △ABF 中，AB ＝85+65＝150cm ， ∴h ＝AF ＝AB •cos ∠F AB ＝150×0.8＝120cm ， 故答案为：120【点评】此题考查了解直角三角形的应用，弄清题中的数据是解本题的关键．4.5.6.7.8.9.10.三.解答题1. （2019•江苏宿迁•10分）宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为15cm．（1）求坐垫E到地面的距离；（2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE′的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）【分析】（1）作EM⊥CD于点M，由EM＝ECsin∠BCM＝75sin46°可得答案；（2）作E′H⊥CD于点H，先根据E′C＝求得E′C的长度，再根据EE′＝CE﹣CE′可得答案【解答】解：（1）如图1，过点E作EM⊥CD于点M，由题意知∠BCM＝64°、EC＝BC+BE＝60+15＝75cm，∴EM＝ECsin∠BCM＝75sin64°≈67.5（cm），则单车车座E到地面的高度为67.5+32≈99.5（cm）；（2）如图2所示，过点E′作E′H⊥CD于点H，由题意知E′H＝80×0.8＝64，则E′C＝＝≈71，1，∴EE′＝CE﹣CE′＝75﹣71.1＝3.9（cm）．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答．2. （2019•江西•8分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B-A-O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO=6.8cm，CD=8cm，AB=30cm，BC=35cm.（结果精确到0.1）（1）如图2，∠ABC=70°，BC∥OE。
