八年级数学下册 9_3 二次根式的乘法与除法学习要点素材 (新版)青岛版

二次根式的乘法与除法课堂在线一、课程目标1．使学生理解积的算术平方根的性质，会利用这一性质化简二次根式；掌握商的算术平方根的性质，能利用性质进行二次根式的化简与运算；会进行简单的二次根式的除法运算；2．掌握二次根式的乘法法则，会进行简单的二次根式的乘法运算；3．使能联系几何课中学习的勾股定理解决实际问题；利用二次根式的除法公式进行化简与计算的能力；4．了解比较二次根式的大小的方法；通过学习积的算术平方根，培养逻辑思维能力；5．通过综合应用勾股定理等知识，培养实际应用能力；6．通过积的算术平方根与二次根式的乘法的学习，渗透公式的简单性，统一性的数学美；7．通过二次根式公式的引入过程，渗透从特殊到一般的归纳方法，提高归纳总结能力；二、知识结构：三、重、难点重点是利用积的算术平方根的性质进行二次根式的计算和化简.积的算术平方根的性质是本节的中心内容，化简和运算都是围绕其进行的，而运用此性质计算化简又是二次根式的化简和混合运算的基础.二次根式的计算和化简通常与如勾股定理等几何方面的知识综合在一起.商的二次根式的性质及利用性质进行二次根式的化简与运算.商的算术平方根的性质是本节的主线，掌握性质在二次根使得化简和运算的运用是关键.难点是二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用.积的算术平方根在应用时既要强调这部分题目中的字母为正数，但又要注意防止产生字母只表示正数的片面认识.要认识到积的算术平方根性质与根式的乘法公式是互为逆运算的关系。

综合应用性质或乘法公式时要注意题目中的条件一定要满足.二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.二次根式的除法与乘法既有联系又有区别，强调根式除法结果的一般形式，避免分母上含有根号.由于分母有理化难度和复杂性大，要理解分母有理化的意义及计算结果形式.四、知识要点1、积的算术平方根一般地，有(a≥0，b≥0)．积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．要注意a≥0、b≥0的条件，因为只有a、b都是非负数公式才能成立，这里要启发学生为什么必须a≥0、b≥0．在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示正数，下面启发学生从运算顺序看，等号左边是将非负数a、b先做乘法求积，再开方求积的算术平方根，等号右边是先分别求a、b的两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积．根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．2、商的算术平方根一般地，有（a≥0，b＞0）商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．从运算顺序看，等号左边是将非负数a除以正数b求商，再开方求商的算术平方根，等号右边是先分别求被除数、除数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的商，根据商的算术平方根的性质可以进行简单的二次根式的化简与运算．。

青岛版（新）数学八年级下册 9.3二次根式的乘法与除法1. 二次根式的乘法在数学中，我们经常会遇到涉及二次根式的乘法运算。

二次根式是指形如√a的数，其中a为一个非负实数。

当我们需要计算二次根式的乘法时，有一些简化的方法可以帮助我们更快地得到结果。

1.1 同底数的二次根式相乘当两个二次根式具有相同的底数时，我们可以将其合并为一个二次根式。

例如，对于√2和√3，它们的底数都是2，我们可以将它们相乘得到√(2*3) = √6。

1.2 不同底数的二次根式相乘当两个二次根式具有不同的底数时，我们可以使用乘法的分配律来计算结果。

例如，计算√2 * √3，我们可以将其拆分为(√2)(√3) = √(23) = √6。

1.3 化简二次根式的乘法在乘法的过程中，我们通常会尝试将结果进一步化简。

例如，计算√2 * √8，我们可以将8拆分为24，进而得到(√2)(√24) = √(22*4) = √16 = 4。

2. 二次根式的除法与二次根式的乘法类似，二次根式的除法也是我们需要熟练掌握的数学运算。

2.1 同底数的二次根式相除当两个二次根式具有相同的底数时，我们可以将其合并为一个二次根式，然后进行相除操作。

例如，计算√6 / √2，我们可以合并为√(6/2) = √3。

2.2 不同底数的二次根式相除当两个二次根式具有不同的底数时，我们可以使用除法的定义来计算。

例如，计算√6 / √3，我们可以将其表示为(√6) / (√3)，然后通过有理化的方法进行计算。

具体而言，我们可以将分子和分母同时乘以√3，得到(√6 * √3) / (√3 * √3) = √18 / 3 = (√9 * √2) / 3 = 3√2 / 3 = √2。

2.3 化简二次根式的除法在除法的过程中，我们也可以尝试将结果进一步化简。

例如，计算√16 / √2，我们可以将16拆分为28，进而得到(√28) / √2 = (√2)(8/√2) = (√2)4 =4√2。

青岛版八年级数学《二次根式及其性质》知识点与复习知识
点总结
知识积累的越多，掌握的就会越熟练，大学网初中频道为大家编辑了二次根式及其性质知识点与复习，希望对大家有帮助。

【主要内容】
本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上，引入一个符号“
的式子叫二次根式，其中
是一个非负数时，
②
④
(3)二次根式的除法：
不能写成
与
与
与
与
是二次根式，则一定有
时，必有
时，
的算术平方根，因此有
写成
表示
，
和
中的
中的
无意义.
5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：
(1)因式的内移：因式内移时，若
.
(2)因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论.即：，则有
，则有。

教案序号课时1课型新授课 题 9.3二次根式的乘法与除法重点、难点能熟练进行二次根式的乘除混合运算教学目标 1、能熟练地利用二次根式的乘法法则与除法法则进行二次根式的乘除运算； 2、能熟练进行二次根式的乘除混合运算。

教学 准备 无教学过程教学环节 教材处理师生 活动二次备课自学检测精讲点拨课堂巩固利用二次根式的乘法法则与除法法则计算：（写好计算过程）（1）105⋅ （2）a a 6223⋅（3）372（4）b b 3462÷反思：1、在进行二次根式的乘除运算时，一般先利用计算，再将运算结果化成 。

与二次根式的加减法运算的区别是什么？2、对于上面的各题，你还有其它不同的解法吗？小组间交流后展示。

自学指导二：观察算式：623⋅÷，应该如何进行计算？（思考尝试后进行展示）反思：二次根式的混合运算顺序跟以前所学的有理数的混合运算顺序一样，即：练一练：（1）521312321⋅÷ （2）12225341⋅÷1、化简：（1）a a 1824⋅= ；（2）xyb yb x 30103⋅= ；（3）=yx x 3273 ；(x ＞0) （4）a a ÷43=2、下列计算正确的是（ ）二次反馈拓展提升课堂小结A、565352=⋅B、653525=⋅C、665352=⋅D、305352=⋅3、下列计算正确的是（）A、416±=B、12223=-C、4624=÷D、2632=⋅（1）227818⨯÷（2）847)73228(+⨯+-（3）xxx836212739⋅+-（4）（48)832(3xxy÷-已知a＞0，b＞0,且满足)5(3)(babbaa+=+，求abbaabba+++-32的值。

自评归纳：这节课你学会了哪些知识？你完成了本节课的学习任务了吗？板书设计9.3二次根式的乘法与除法例题练习教学反思。

9.3 二次根式的乘法与除法（1）用．教学目标知识与技能目标：，并利用它们进行计算和化简过程与方法目标：情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重难点关键（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及它们的运用．．关键：要讲清（a<0,b<0）=a b，如=或．教法：1、引导发现法: 通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；2、讲练结合法:在例题教学中，引导学生阅读，与算术平方根的乘法进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规X的解题格式。

学法：1、类比的方法通过观察、类比，使学生感悟二次根式的乘法法则，形成有效的学习策略。

2、阅读的方法让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。

3、分组讨论法将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流与合作。

4、练习法采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。

媒体设计：PPT课件，展台。

课时安排：1课时。

教学过程一、复习引入（学生活动）请同学完成下列各题．1．填空（1；（2=_______．（3．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．2．利用计算器计算填空（1，（2（3（4，（5．老师点评（纠正学生练习中的错误）二、探索新知（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．一般地，对二次根式的乘法规定为：反过来例1．计算（1（2（3（4分析：解：（1（2（3=；（4=例2、化简：（1；（2；（3（4；（5（a≥0，b≥0）直接化简即可．解：（1（2（3（4=3xy；（5.三、巩固练习（1；；；(2) 化简；；四、应用拓展例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2解：（1）不正确．（2）不正确．＝.五、归纳小结：本节课应掌握：（1（a≥0，b≥0）b≥0）及其运用．六、布置作业：一、选择题1，•那么此直角三角形斜边长是（）．A．cm B．．9cm D．27cm2．化简）．A B． D．311x-=）A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-14．下列各等式成立的是（）．A．．C． D．二、填空题：1．2．自由落体的公式为S=12gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．三、综合提高题：1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？2．探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：===（2）验证：==同理可得：=5=通过上述探究你能猜测出：（a>0）,并验证你的结论．答案:一、1．B 2．C 3.A 4.D；二、1． 2．12s三、1．设：底面正方形铁桶的底面边长为x，则x2×10=30×30×20，x2=30×30×2，2．验证：==板书设计：9.3 二次根式的乘法与除法（2）教学内容b>0）b>0）及利用它们进行计算和化简．教学目标b>0b>0）及利用它们进行知识与技能目标：运算．过程与方法目标：利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重难点关键:1b>0）b>0）及利用它们进行计算和化简．2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教法：1、引导发现法: 通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；2、讲练结合法:在例题教学中，引导学生阅读，与商的平方根进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规X的解题格式。