2018年江苏省高考数学预测试题(三)含答案

2018年高考数学预测试题1（江苏省有答案）
5 c 2018年江苏高考预测试题(一)
(对应学生用书第129页)
(限时120分钟)
参考式
样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝＝1 (xi－x)2，其中x＝＝1xi
棱柱的体积V＝Sh，其中S是棱柱的底面积，h是高．
棱锥的体积V＝13Sh，其中S是棱锥的底面积，h是高．
数学Ⅰ试题
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)
1．已知集合A＝{0,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，则A∩B＝________ {0,3} [集合A＝{0,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，则A∩B＝{0,3}．] 2．已知b∈R，若(2＋bi)(2－i)为纯虚数，则|1＋bi|＝________
17 [(2＋bi)(2－i)＝4＋b＋(2b－2)i为纯虚数，
∴4＋b＝0，2b－2≠0，解得b＝－4
则|1＋bi|＝|1－4i|＝12＋－4 2＝17]
3．在平面直角坐标系x中，已知抛物线2＝8x的焦点恰好是双曲线x2a2－23＝1的右焦点，则双曲线的离心率为________ 【导学号56394116】
2 [抛物线2＝8x的焦点为(2,0)，则双曲线x2a2－23＝1的右焦点为(2,0)，
即有c＝a2＋3＝2，不妨设a＝1，
可得双曲线的离心率为e＝ca＝2]
4．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为________．。

2018年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5.00分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B=．2．（5.00分）若复数z满足i•z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为．3．（5.00分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为．4．（5.00分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为．5．（5.00分）函数f（x）=的定义域为．6．（5.00分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．17．（5.00分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值为．8．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为．9．（5.00分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f（x）=，则f（f（15））的值为．10．（5.00分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．11．（5.00分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为．12．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A的横坐标为．13．（5.00分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．214．（5.00分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}．将A∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}，记S n为数列{a n}的前n项和，则使得S n＞12a n+1成立的n的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14.00分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1．求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．16．（14.00分）已知α，β为锐角，tanα=，cos（α+β）=﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．17．（14.00分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D 均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．3（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．（16.00分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C 过点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB 的面积为，求直线l的方程．19．（16.00分）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在4x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．20．（16.00分）设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10.00分）如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C．若PC=2，求BC的长．5B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．（10.00分）已知矩阵A=．（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′（3，1），求点P的坐标．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin （﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．D.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2+y2+z2的最小值．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内6作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．26．设n∈N*，对1，2，……，n的一个排列i1i2……i n，如果当s＜t时，有i s＞i t，则称（i s，i t）是排列i1i2……i n的一个逆序，排列i1i2……i n的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记f n（k）为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．（1）求f3（2），f4（2）的值；（2）求f n（2）（n≥5）的表达式（用n表示）．72018年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5.00分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B={1，8} ．【分析】直接利用交集运算得答案．【解答】解：∵A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，∴A∩B={0，1，2，8}∩{﹣1，1，6，8}={1，8}，故答案为：{1，8}．【点评】本题考查交集及其运算，是基础的计算题．2．（5.00分）若复数z满足i•z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为2．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由i•z=1+2i，得z=，8∴z的实部为2．故答案为：2．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5.00分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为90．【分析】根据茎叶图中的数据计算它们的平均数即可．【解答】解：根据茎叶图中的数据知，这5位裁判打出的分数为89、89、90、91、91，它们的平均数为×（89+89+90+91+91）=90．故答案为：90．【点评】本题考查了利用茎叶图计算平均数的问题，是基础题．4．（5.00分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为8．9【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的S值．【解答】解：模拟程序的运行过程如下；I=1，S=1，I=3，S=2，I=5，S=4，I=7，S=8，此时不满足循环条件，则输出S=8．故答案为：8．【点评】本题考查了程序语言的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法．5．（5.00分）函数f（x）=的定义域为[2，+∞）．【分析】解关于对数函数的不等式，求出x的范围即可．【解答】解：由题意得：≥1，10解得：x≥2，∴函数f（x）的定义域是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查了对数函数的性质，考查求函数的定义域问题，是一道基础题．6．（5.00分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为0.3．【分析】（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种，根据概率公式计算即可，（适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，根据概率公式计算即可【解答】解：（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种，故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，（适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，11故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，故答案为：0.3【点评】本题考查了古典概率的问题，采用排列组合或一一列举法，属于基础题．7．（5.00分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值为．【分析】根据正弦函数的对称性建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，∴2×+φ=kπ+，k ∈Z，即φ=kπ﹣，∵﹣φ＜，∴当k=0时，φ=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用正弦函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键．128．（5.00分）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为2．【分析】利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可．【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F （c，0）到一条渐近线y=x的距离为c，可得：=b=，可得，即c=2a，所以双曲线的离心率为：e=．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．9．（5.00分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f （x）=，则f（f（15））的值为．【分析】根据函数的周期性，进行转化求解即可．13【解答】解：由f（x+4）=f（x）得函数是周期为4的周期函数，则f（15）=f（16﹣1）=f（﹣1）=|﹣1+|=，f （）=cos （）=cos =，即f（f（15））=，故答案为：【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性结合分段函数的表达式利用转化法是解决本题的关键．10．（5.00分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．【解答】解：正方体的棱长为2，中间四边形的边长为：，八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为1，14多面体的中心为顶点的多面体的体积为：2×=．故答案为：．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．11．（5.00分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为﹣3．【分析】推导出f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），当a≤0时，f′（x）=2x（3x ﹣a）＞0，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零点；当a＞0时，f′（x）=2x （3x﹣a）＞0的解为x＞，f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，由f（x）只有一个零点，解得a=3，从而f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x ∈[﹣1，1]，利用导数性质能求出f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和．【解答】解：∵函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，∴f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），①当a≤0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零15点，舍去；②当a＞0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解为x ＞，∴f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，又f（x）只有一个零点，∴f （）=﹣+1=0，解得a=3，f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]，f′（x）＞0的解集为（﹣1，0），f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减，f（﹣1）=﹣4，f（0）=1，f（1）=0，∴f（x）min=f（﹣1）=﹣4，f（x）max=f（0）=1，∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为：f（x）max+f（x）min=﹣4+1=﹣3．【点评】本题考查函数的单调性、最值，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．12．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D ．若=0，则点A的横坐标为3．16【分析】设A（a，2a），a＞0，求出C的坐标，得到圆C的方程，联立直线方程与圆的方程，求得D 的坐标，结合=0求得a值得答案．【解答】解：设A（a，2a），a＞0，∵B（5，0），∴C （，a），则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）=0．联立，解得D（1，2）．∴=．解得：a=3或a=﹣1．又a＞0，∴a=3．即A的横坐标为3．故答案为：3．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查圆的方程的求法，是中档题．13．（5.00分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c 的最小值为9．【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可．【解答】解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，17即ac=a+c，得+=1，得4a+c=（4a+c）（+）=++5≥2+5=4+5=9，当且仅当=，即c=2a时，取等号，故答案为：9．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用1的代换结合基本不等式是解决本题的关键．14．（5.00分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}．将A∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}，记S n为数列{a n}的前n项和，则使得S n＞12a n+1成立的n的最小值为27．【分析】采用列举法，验证n=26，n=27即可．【解答】解：利用列举法可得：当n=26时，A∪B中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{a n}，所以数列{a n}的前26项分别1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23.25，…41，2，4，8，16，32．S26=，a27=43，⇒12a27=516，不符合题意．当n=27时，A∪B中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{a n}，18所以数列{a n}的前26项分别1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23.25，…41，43，2，4，8，16，32．S27==546，a28=45⇒12a28=540，符合题意，故答案为：27．【点评】本题考查了集合、数列的求和，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14.00分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1．求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．【分析】（1）由⇒AB∥平面A1B1C；（2）可得四边形ABB1A1是菱形，AB1⊥A1B，19由AB1⊥B1C1⇒AB1⊥BC⇒AB1⊥面A1BC，⇒平面ABB1A1⊥平面A1BC．【解答】证明：（1）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥A1B1，AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂∥平面A1B1C⇒AB∥平面A1B1C；（2）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，⇒四边形ABB1A1是菱形，⊥AB1⊥A1B．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1⇒AB1⊥BC．∴⇒AB1⊥面A1BC，且AB1⊂平面ABB1A1⇒平面ABB1A1⊥平面A1BC．【点评】本题考查了平行六面体的性质，及空间线面平行、面面垂直的判定，属于中档题．16．（14.00分）已知α，β为锐角，tanα=，cos（α+β）=﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．【分析】（1）由已知结合平方关系求得sinα，cosα的值，再由倍角公式得cos2α的值；（2）由（1）求得tan2α，再由cos（α+β）=﹣求得tan（α+β），利用tan（α20﹣β）=tan[2α﹣（α+β）]，展开两角差的正切求解．【解答】解：（1）由，解得，∴cos2α=；（2）由（1）得，sin2，则tan2α=．∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），∴sin（α+β）==．则tan（α+β）=．∴tan（α﹣β）=tan[2α﹣（α+β）]==．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．17．（14.00分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D 均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；21（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【分析】（1）根据图形计算矩形ABCD和△CDP的面积，求出sinθ的取值范围；（2）根据题意求出年总产值y的解析式，构造函数f（θ），利用导数求f（θ）的最大值，即可得出θ为何值时年总产值最大．=（40sinθ+10）•80cosθ【解答】解：（1）S矩形ABCD=800（4sinθcosθ+cosθ），S△CDP =•80cosθ（40﹣40sinθ）=1600（cosθ﹣cosθsinθ），当B、N重合时，θ最小，此时sinθ=；当C、P重合时，θ最大，此时sinθ=1，∴sinθ的取值范围是[，1）；（2）设年总产值为y，甲种蔬菜单位面积年产值为4t，乙种蔬菜单位面积年产值为3t，22则y=3200t（4sinθcosθ+cosθ）+4800t（cosθ﹣cosθsinθ）=8000t（sinθcosθ+cosθ），其中sinθ∈[，1）；设f（θ）=sinθcosθ+cosθ，则f′（θ）=cos2θ﹣sin2θ﹣sinθ=﹣2sin2θ﹣sinθ+1；令f′（θ）=0，解得sinθ=，此时θ=，cosθ=；当sinθ∈[，）时，f′（θ）＞0，f（θ）单调递增；当sinθ∈[，1）时，f′（θ）＜0，f（θ）单调递减；∴θ=时，f（θ）取得最大值，即总产值y最大．答：（1）S=800（4sinθcosθ+cosθ），矩形ABCDS△CDP=1600（cosθ﹣cosθsinθ），sinθ∈[，1）；θ=时总产值y最大．【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了构造函数以及利用导数求函数的最值问题，是中档题．2318．（16.00分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C 过点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB 的面积为，求直线l的方程．【分析】（1）由题意可得．，又a2﹣b2=c2=3，解得a=2，b=1即可．（2）①可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．可得．由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）=0，解得k=﹣，m=3．即可②设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，24O到直线l的距离d=，|AB|=|x2﹣x1|=，△OAB的面积为S===，解得k=﹣，（正值舍去），m=3．即可【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为，∵焦点F1（﹣，0），F2（，0），∴．∵∴，又a2﹣b2=c2=3，解得a=2，b=1．∴椭圆C 的方程为：，圆O的方程为：x2+y2=3．（2）①可知直线l与圆O相切，也与椭圆C，且切点在第一象限，∴可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．由圆心（0，0）到直线l 的距离等于圆半径，可得．由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）=0，25可得m2=4k2+1，∴3k2+3=4k2+1，结合k＜0，m＞0，解得k=﹣，m=3．将k=﹣，m=3代入可得，解得x=，y=1，故点P 的坐标为（．②设A（x1，y1），B（x2，y2），由⇒k ＜﹣．联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，|x2﹣x1|==，O到直线l的距离d=，|AB|=|x2﹣x1|=，△OAB的面积为S===，解得k=﹣，（正值舍去），m=3．∴y=﹣为所求．【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与圆、椭圆的位置关系，属于中档题．2619．（16.00分）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．【分析】（1）根据“S点”的定义解两个方程，判断方程是否有解即可；（2）根据“S点”的定义解两个方程即可；（3）分别求出两个函数的导数，结合两个方程之间的关系进行求解判断即可．【解答】解：（1）证明：f′（x）=1，g′（x）=2x+2，则由定义得，得方程无解，则f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S 点”；（2）f′（x）=2ax，g′（x）=，x＞0，由f′（x）=g′（x ）得=2ax，得x=，f （）=﹣=g （）=﹣lna2，得a=；27（3）f′（x）=﹣2x，g′（x）=，（x≠0），由f′（x0）=g′（x0），假设b＞0，得b=﹣＞0，得0＜x0＜1，由f（x0）=g（x0），得﹣x02+a==﹣，得a=x02﹣，令h（x）=x2﹣﹣a=，（a＞0，0＜x＜1），设m（x）=﹣x3+3x2+ax﹣a，（a＞0，0＜x＜1），则m（0）=﹣a＜0，m（1）=2＞0，得m（0）m（1）＜0，又m（x）的图象在（0，1）上连续不断，则m（x）在（0，1）上有零点，则h（x）在（0，1）上有零点，则存在b＞0，使f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S”点．【点评】本题主要考查导数的应用，根据条件建立两个方程组，判断方程组是否有解是解决本题的关键．20．（16.00分）设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；28（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．【分析】（1）根据等比数列和等差数列的通项公式，解不等式组即可；（2）根据数列和不等式的关系，利用不等式的关系构造新数列和函数，判断数列和函数的单调性和性质进行求解即可．【解答】解：（1）由题意可知|a n﹣b n|≤1对任意n=1，2，3，4均成立，∵a1=0，q=2，∴，解得．即≤d ≤．证明：（2）∵a n=a1+（n﹣1）d，b n=b1•q n﹣1，若存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，则|b1+（n﹣1）d﹣b1•q n﹣1|≤b1，（n=2，3，…，m+1），即b1≤d ≤，（n=2，3，…，m+1），∵q∈（1，]，∴则1＜q n﹣1≤q m≤2，（n=2，3，…，m+1），∴b1≤0，＞0，因此取d=0时，|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，29下面讨论数列{}的最大值和数列{}的最小值，①当2≤n≤m 时，﹣==，当1＜q ≤时，有q n≤q m≤2，从而n（q n﹣q n﹣1）﹣q n+2＞0，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递增，故数列{}的最大值为．②设f（x）=2x（1﹣x），当x＞0时，f′（x）=（ln2﹣1﹣xln2）2x＜0，∴f（x）单调递减，从而f（x）＜f（0）=1，当2≤n≤m 时，=≤（1﹣）=f （）＜1，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递递减，故数列{}的最小值为，∴d的取值范围是d∈[，]．【点评】本题主要考查等比数列和等差数列以及不等式的综合应用，考查学生的30运算能力，综合性较强，难度较大．数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10.00分）如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C．若PC=2，求BC的长．【分析】连接OC，由题意，CP为圆O的切线，得到垂直关系，由线段长度及勾股定理，可以得到PO的长，即可判断△COB是等边三角形，BC的长．【解答】解：连接OC，因为PC为切线且切点为C，所以OC⊥CP．因为圆O的半径为2，，所以BO=OC=2，，所以，31所以∠COP=60°，所以△COB为等边三角形，所以BC=BO=2．【点评】本题主要考查圆与直线的位置关系，切线的应用，考查发现问题解决问题的能力．B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．（10.00分）已知矩阵A=．（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′（3，1），求点P的坐标．【分析】（1）矩阵A=，求出det（A）=1≠0，A可逆，然后求解A的逆矩阵A﹣1．（2）设P（x，y），通过•=，求出=，即可得到点P的坐标．【解答】解：（1）矩阵A=，det（A）=2×2﹣1×3=1≠0，所以A可逆，从而：A的逆矩阵A﹣1=．（2）设P（x，y），则•=，所以=A﹣1=，32因此点P的坐标为（3，﹣1）．【点评】本题矩阵与逆矩阵的关系，逆矩阵的求法，考查转化思想的应用，是基本知识的考查．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin （﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．【分析】将直线l、曲线C的极坐标方程利用互化公式可得直角坐标方程，利用直线与圆的相交弦长公式即可求解．【解答】解：∵曲线C的方程为ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，⇒x2+y2=4x，∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为r=2得圆．∵直线l的方程为ρsin （﹣θ）=2，∴﹣=2，∴直线l的普通方程为：x ﹣y=4．圆心C到直线l的距离为d=，∴直线l被曲线C截得的弦长为2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的相交弦长关系、点到直线的距离公式，属于中档题．33D.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2+y2+z2的最小值．【分析】根据柯西不等式进行证明即可．【解答】解：由柯西不等式得（x2+y2+z2）（12+22+22）≥（x+2y+2z）2，∵x+2y+2z=6，∴x2+y2+z2≥4是当且仅当时，不等式取等号，此时x=，y=，z=，∴x2+y2+z2的最小值为4【点评】本题主要考查不等式的证明，利用柯西不等式是解决本题的关键．，【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．34【分析】设AC，A1C1的中点分别为O，O1，以{}为基底，建立空间直角坐标系O﹣xyz，（1）由|cos|=可得异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求得平面AQC1的一个法向量为，设直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为θ，可得sinθ=|cos|=，即可得直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．【解答】解：如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则，OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，故以{}为基底，建立空间直角坐标系O﹣xyz，35∵AB=AA1=2，A（0，﹣1，0），B （，0，0），C（0，1，0），A1（0，﹣1，2），B1（，0，2），C1（0，1，2）．（1）点P为A1B1的中点．∴，∴，．|cos|===．∴异面直线BP与AC1所成角的余弦值为：；（2）∵Q为BC的中点．∴Q （）∴，，设平面AQC1的一个法向量为=（x，y，z），由，可取=（，﹣1，1），设直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为θ，sinθ=|cos|==，36∴直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为．【点评】本题考查了向量法求空间角，属于中档题．26．设n∈N*，对1，2，……，n的一个排列i1i2……i n，如果当s＜t时，有i s＞i t，则称（i s，i t）是排列i1i2……i n的一个逆序，排列i1i2……i n的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记f n（k）为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．（1）求f3（2），f4（2）的值；（2）求f n（2）（n≥5）的表达式（用n表示）．【分析】（1）由题意直接求得f3（2）的值，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置，由此可得f4（2）的值；（2）对一般的n（n≥4）的情形，可知逆序数为0的排列只有一个，逆序数为137的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，f n（1）=n﹣1．（2），当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排为计算f n+1（2）=f n（2）+f n（1）列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置，可得f n+1+f n（0）=f n（2）+n，则当n≥5时，f n（2）=[f n（2）﹣f n﹣1（2）]+[f n﹣1（2）﹣f n﹣2（2）]+…+[f5（2）﹣f4（2）]+f4（2），则f n（2）（n≥5）的表达式可求．【解答】解：（1）记μ（abc）为排列abc得逆序数，对1，2，3的所有排列，有μ（123）=0，μ（132）=1，μ（231）=2，μ（321）=3，∴f3（0）=1，f3（1）=f3（2）=2，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f4（2）=f3（2）+f3（1）+f3（0）=5；（2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，∴f n（0）=1．逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，f n（1）=n﹣1．（2），当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排为计算f n+1列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f n（2）=f n（2）+f n（1）+f n（0）=f n（2）+n．+1当n≥5时，f n（2）=[f n（2）﹣f n﹣1（2）]+[f n﹣1（2）﹣f n﹣2（2）]+…+[f5（2）38﹣f4（2）]+f4（2）=（n﹣1）+（n﹣2）+…+4+f4（2）=．因此，当n≥5时，f n（2）=．【点评】本题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是中档题．39。

2018年江苏高考预测试题(三)(对应学生用书第137页)(限时：120分钟)参考公式样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ni ＝1 (x i －x )2，其中x ＝1n ni ＝1x i . 棱柱的体积V ＝Sh ，其中S 是棱柱的底面积，h 是高． 棱锥的体积V ＝13Sh ，其中S 是棱锥的底面积，h 是高．数学Ⅰ试题一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中模线上)1．已知A ＝{x |x ＋1＞0}，B ＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A )∩B ＝________.{－2，－1} [因为集合A ＝{x |x ＞－1}，所以∁R A ＝{x |x ≤－1}， 则(∁R A )∩B ＝{x |x ≤－1}∩{－2，－1,0,1} ＝{－2，－1}．]2．若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 的模等于________．5 [因为i(x ＋y i)＝3＋4i ，所以x ＋y i ＝3＋4i i ＝(3＋4i )(－i )i (－i )＝4－3i ，故|x ＋y i|＝|4－3i|＝42＋(－3)2＝5.]3．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为________． 30 [由题意840＝n40＋10＋40＋60，解得n ＝30.]4．如图1所示，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．图11－2π [设OA ＝OB ＝2，如图，由题意得S 弓形AC ＝S 弓形BC ＝S 弓形OC ，所以S 空白＝S △OAB ＝12×2×2＝2.又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以S 阴影＝π－2.所以P ＝S 阴影S 扇形OAB ＝π－2π＝1－2π.] 5．在同一直角坐标系中，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈[0,2π))的图象和直线y ＝12的交点的个数是________.【导学号：56394125】2 [令y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝12，解得x ＋π3＝π6＋2k π，或x ＋π3＝5π6＋2k π，k ∈Z ；即x ＝－π6＋2k π，或x ＝π2＋2k π，k ∈Z ； ∴同一直角坐标系中，函数y 的图象和直线y ＝12 在x ∈[0,2π)内的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，12和⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6，12，共2个．]6．如下是一个算法的伪代码，则输出的结果是________．7．现有一根n 节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm ，最下面的三节长度之和为114 cm ，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n ＝________.16 [设对应的数列为{a n }，公差为d (d ＞0)．由题意知a 1＝10，a n ＋a n －1＋a n －2＝114，a 26＝a 1a n ，由a n ＋a n －1＋a n －2＝114，得3a n －1＝114，解得a n －1＝38，又(a 1＋5d )2＝a 1(a n －1＋d )，即(10＋5d )2＝10(38＋d )，解得d ＝2，所以a n －1＝a 1＋(n －2)d ＝38，即10＋2(n －2)＝38，解得n ＝16.] 8．设α为锐角，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝________. 2425[∵0＜α＜π2，∴π6＜α＋π6＜2π3，－π3＜α－π3＜π6. ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35＜32，故α＋π6＜π3，∴α＜π6. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45；又∵－π3＜α－π3＜π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝35， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－45.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝45×35＋45×35＝2425.]9．已知实数x ，y 满足不等式⎩⎨⎧2x －y ≥0，x ＋y －4≥0，x ≤3，则2x 3＋y 3x 2y 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，559 [ω＝2x 3＋y 3x 2y ＝2x y ＋y 2x 2.令t ＝y x ，由图可知13≤t ≤2， 则ω＝t 2＋2t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2，令ω′＝2t －2t 2＝0，则t ＝1.ω在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1上为减函数，在t ∈[1,2]上为增函数，t ＝1时，ω有最小值3，t ＝13时，ω有最大值559，故t 的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，559.]10．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点为A ，过双曲线E 的右焦点F 作与实轴垂直的直线交双曲线E 于B ，C 两点，若△ABC 为直角三角形，则双曲线E 的离心率为________．2 [如图，由题意得∠BAC ＝90°，∠BAF ＝∠F AC ＝45°，从而AF ＝BF .将x ＝c 代入双曲线方程得y B ＝b 2a ，AF ＝a ＋c ，从而b 2a ＝a ＋c ，即b 2＝a 2＋ac ，则c 2－ac －2a 2＝0，即e 2－e －2＝0，从而e ＝2.]图211．如图2，三棱锥S －ABC 中，∠SBA ＝∠SCA ＝90°，△ABC 是斜边AB ＝a 的等腰直角三角形，则以下结论中： ①异面直线SB 与AC 所成的角为90°； ②直线SB ⊥平面ABC ； ③平面SBC ⊥平面SAC ； ④点C 到平面SAB 的距离是12a . 其中正确结论的序号是________．①②③④ [由题意知AC ⊥平面SBC ，故AC ⊥SB ，SB ⊥平面ABC ，平面SBC ⊥平面SAC ，①②③正确；取AB 的中点E ，连接CE ，可证得CE ⊥平面SAB ，故CE 的长度12a 即为C 到平面SAB 的距离，④正确．]12．在△ABC 中，A ＝30°，AB ＝3，AC ＝23，且AD →＋2BD →＝0，则AC →·CD →＝________.－6 [如图所示，△ABC 中，A ＝30°，AB ＝3，AC ＝23，∴cos 30°＝323＝32， ∴∠ABC ＝90°， ∴BC ＝3； 又AD →＋2BD →＝0，∴A (0,3)，D (0,1)，C (3，0)； ∴AC →＝(3，－3)，CD →＝(－3，1)， ∴AC →·CD →＝3×(－3)－3×1＝－6.]13．已知a ，b 为正实数，函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2x 在[0,1]上的最大值为4，则f (x )在[－1,0]上的最小值为________．－32 [由a ，b 为正实数，可得函数y ＝ax 3＋bx 的导函数y ′＝3ax 2＋b ＞0，即可得函数y ＝ax 3＋bx 在R 上是增函数，由此可得函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2x 在R 上是增函数，又由函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2x 在[0,1]上的最大值为f (1)＝a ＋b ＋2＝4，可得a ＋b ＝2，∴函数f (x )在[－1,0]上的最小值为f (－1)＝－a －b ＋12＝－2＋12＝－32.]14．由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)1,1,3,3 [假设这组数据按从小到大的顺序排列为x 1，x 2，x 3，x 4， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋x 3＋x 44＝2，x 2＋x 32＝2，∴⎩⎨⎧x 1＋x 4＝4，x 2＋x 3＝4.又s ＝14[(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(x 3－2)2＋(x 4－2)2] ＝12(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(4－x 2－2)2＋(4－x 1－2)2 ＝122[(x 1－2)2＋(x 2－2)2] ＝1，∴(x 1－2)2＋(x 2－2)2＝2. 同理可求得(x 3－2)2＋(x 4－2)2＝2.由x 1，x 2，x 3，x 4均为正整数，且(x 1，x 2)，(x 3，x 4)均为圆(x －2)2＋(y －2)2＝2上的点，分析知x 1，x 2，x 3，x 4应为1,1,3,3.]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足a ＝3b cos C . (1)求tan Ctan B 的值；(2)若a ＝3，tan A ＝3，求△ABC 的面积．[解] (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R 及a ＝3b cos C 可得2R sin A ＝3×2R sin B cos C ，即sin A ＝3sin B cos C .∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin A ＝sin(B ＋C )＝3sin B cos C ， ∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝3sin B cos C ， ∴cos B sin C ＝2sin B cos C ，∴cos B sin C sin B cos C ＝2，故tan Ctan B＝2.6分(2)法一：由A ＋B ＋C ＝π，得tan(B ＋C )＝tan(π－A )＝－3， 即tan B ＋tan C1－tan B ·tan C＝－3，将tan C ＝2tan B 代入得3tan B 1－2tan 2B＝－3，解得tan B ＝1或tan B ＝－12. 根据tan C ＝2tan B ，得tan C ，tan B 同号， 又tan C ，tan B 同时为负数不合题意， ∴tan B ＝1，tan C ＝2，∴sin B ＝22，sin C ＝255，sin A ＝31010， 由正弦定理可得331010＝b22，∴b ＝5， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×5×255＝3.法二：由A＋B＋C＝π，得tan(B＋C)＝tan(π－A)＝－3，即tan B＋tan C1－tan B·tan C＝－3，将tan C＝2tan B代入得3tan B1－2tan2B＝－3，解得tan B＝1或tan B＝－12.根据tan C＝2tan B得tan C，tan B同号，又tanC，tan B同时为负数不合题意，∴tan B＝1，tan C＝2.又∵a＝3b cos C＝3，∴b cos C＝1，∴ab cos C＝3，∴ab cos C tan C＝6，∴S△ABC ＝12ab sin C＝12×6＝3. 14分16．(本小题满分14分)如图3，四棱锥E－ABCD中，EA＝EB，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD.图3(1)求证：AB⊥ED；(2)线段EA上是否存在点F，使DF∥平面BCE？若存在，求出EFEA的值；若不存在，说明理由.【导学号：56394126】[解](1)证明：取AB中点O，连接EO，DO、∵EA＝EB，∴EO⊥AB.∵AB ∥CD ，AB ＝2CD ， ∴BO ∥CD ，BO ＝CD .又AB ⊥BC ，∴四边形OBCD 为矩形，∴AB ⊥DO . ∵EO ∩DO ＝O ，∴AB ⊥平面EOD . ∴AB ⊥ED .6分(2)存在点F ，当F 满足EF EA ＝12，即F 为EA 中点时，有DF ∥平面BCE . 理由如下：取EB 中点G ，连接CG ，FG ，DF . ∵F 为EA 中点，∴FG ∥AB ，FG ＝12AB .∵AB ∥CD ，CD ＝12AB ，∴FG ∥CD ，FG ＝CD . ∴四边形CDFG 是平行四边形，∴DF ∥CG . ∵DF ⊄平面BCE ，CG ⊂平面BCE ， ∴DF ∥平面BCE .14分17．(本小题满分14分)如图4，有一块半径为R 的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD 和其附属设施，附属设施占地形状是等腰△CDE ，其中O 为圆心，A ，B 在圆的直径上，C ，D ，E 在圆周上．图4(1)设∠BOC ＝θ，征地面积记为f (θ)，求f (θ)的表达式； (2)当θ为何值时，征地面积最大？[解] (1)连接OE ，OC ，可得OE ＝R ，OB ＝R cos θ，BC ＝R sin θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴f (θ)＝2S 梯形OBCE ＝R 2(sin θcos θ＋cos θ)，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.6分(2)求导数可得f ′(θ)＝－R 2(2sin θ－1)(sin θ＋1)， 令f ′(θ)＝0，则sin θ＝12，∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6时，f ′(θ)＞0，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2时，f ′(θ)＜0，∴θ＝π6时，f (θ)取得最大，即θ＝π6时，征地面积最大.14分18．(本小题满分16分)已知{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列，q ≠±1，正整数组E ＝(m ，p ，r )(m ＜p ＜r )． (1)若a 1＋b 2＝a 2＋b 3＝a 3＋b 1，求q 的值；(2)若数组E 中的三个数构成公差大于1的等差数列，且a m ＋b p ＝a p ＋b r ＝a r ＋b m ，求q 的最大值．(3)若b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，a m ＋b m ＝a p ＋b p ＝a r ＋b r ＝0，试写出满足条件的一个数组E 和对应的通项公式a n .(注：本小问不必写出解答过程)[解] (1)∵a 1＋b 2＝a 2＋b 3＝a 3＋b 1，∴a 1＋b 1q ＝a 1＋d ＋b 1q 2＝a 1＋2d ＋b 1，化为：2q 2－q －1＝0，q ≠±1. 解得q ＝－12.4分(2)a m ＋b p ＝a p ＋b r ＝a r ＋b m ，即a p －a m ＝b p －b r ，∴(p －m )d ＝b m (q p －m －q r －m )， 同理可得：(r －p )d ＝b m (q r －m －1)．∵m ，p ，r 成等差数列，∴p －m ＝r －p ＝12(r －m )，记q p －m ＝t ，则2t 2－t －1＝0，∵q ≠±1，t ≠±1，解得t ＝－12，即q p －m ＝－12，∴－1＜q ＜0， 记p －m ＝α，α为奇数，由公差大于1，∴α≥3.(3)满足题意的数组为E ＝(m ，m ＋2，m ＋3)，此时通项公式为：a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫38n －38m －1，m ∈N *. 例如E ＝(1,3,4)，a n ＝38n －118.16分19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝13x 3－ax ＋1.(1)若x ＝1时，f (x )取得极值，求a 的值； (2)求f (x )在[0,1]上的最小值；(3)若对任意m ∈R ，直线y ＝－x ＋m 都不是曲线 y ＝f (x )的切线，求a 的取值范围． [解] (1)因为f ′(x )＝x 2－a ，当x ＝1时，f (x )取得极值，所以f ′(1)＝1－a ＝0，a ＝1. 又当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0， 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，即a ＝1符合题意. 4分(2)当a ≤0时，f ′(x )＞0对x ∈(0,1)成立，所以f (x )在[0,1]上单调递增，f (x )在x ＝0处取最小值f (0)＝1， 当a ＞0时，令f ′(x )＝x 2－a ＝0，x 1＝－a ，x 2＝a ， 当0＜a ＜1时，a ＜1，x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， x ∈(a ，1)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 所以f (x )在x ＝a 处取得最小值f (a )＝1－2a a3. 当a ≥1时，a ≥1，x ∈[0,1]时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 所以f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝43－a .综上所述，当a ≤0时，f (x )在x ＝0处取最小值f (0)＝1；当0＜a ＜1时，f (x )在x ＝a 处取得最小值f (a )＝1－2a a3； 当a ≥1时，f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝43－a .10分(3)因为∀m ∈R ，直线y ＝－x ＋m 都不是曲线y ＝f (x )的切线，所以f ′(x )＝x 2－a ≠－1对x ∈R 成立，只要f ′(x )＝x 2－a 的最小值大于－1即可， 而f ′(x )＝x 2－a 的最小值为f (0)＝－a ， 所以－a ＞－1，即a ＜1. 所以a 的取值范围是(－∞，1).16分20．(本小题满分16分)已知点P (4,4)，圆C ：(x －m )2＋y 2＝5(m ＜3)与椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)有一个公共点A (3,1)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切．(1)求m 的值与椭圆E 的方程；(2)设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AP →·AQ →的取值范围．图5[解] (1)点A 代入圆C 方程，得(3－m )2＋1＝5. ∵m ＜3，∴m ＝1. 圆C ：(x －1)2＋y 2＝5. 设直线PF 1的斜率为k ， 则PF 1：y ＝k (x －4)＋4， 即kx －y －4k ＋4＝0. ∵直线PF 1与圆C 相切，∴|k －0－4k ＋4|k 2＋1＝ 5. 解得k ＝112或k ＝12.当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为3611，不合题意，舍去．当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为－4， ∴c ＝4.F 1(－4,0)，F 2(4,0)．2a ＝AF 1＋AF 2＝52＋2＝62，a ＝32，a 2＝18，b 2＝2. 椭圆E 的方程为x 218＋y 22＝1.10分(2)AP →＝(1,3)，设Q (x ，y )，AQ →＝(x －3，y －1)， AP →·AQ →＝(x －3)＋3(y －1)＝x ＋3y －6. ∵x 218＋y 22＝1，即x 2＋(3y )2＝18， 而x 2＋(3y )2≥2|x |·|3y |， ∴－18≤6xy ≤18.则(x ＋3y )2＝x 2＋(3y )2＋6xy ＝18＋6xy 的取值范围是[0,36]． x ＋3y 的取值范围是[－6,6]．∴AP →·AQ →＝x ＋3y －6的取值范围是[－12,0].16分 数学Ⅱ(附加题)21．[选做题](本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的．．．．．答题区域内作答．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)图6A ．[选修4－1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图6，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .若设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径.【导学号：56394127】[解] 如图，连接DE ，交BC 于点G.由弦切角定理，得∠ABE ＝∠BCE ，而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，所以BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，所以DE 为圆的直径，∠DCE ＝90°. 由勾股定理可得DB ＝DC . 因为∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ， 故DG 是BC 边的中垂线，所以BG ＝32.设DE 的中点为O ，连接BO ，则∠BOG ＝60°，从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，所以CF ⊥BF ，故Rt △BCF 外接圆的半径等于32.10分B ．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 23 2. 求满足条件AM ＝B 的矩阵M 及曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 对应变换下的曲线方程C ′. [解] 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， AM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 011⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b a ＋c b ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 232， 得⎩⎨⎧a ＝0，a ＋c ＝3，b ＝2，b ＋d ＝2，∴a ＝0，b ＝2，c ＝3，d ＝0.∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 23 0. 设曲线C 上任意一点P (x ，y )在矩阵M 对应的变换作用下变为点P ′(x ′，y ′)， 则M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 23 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y 3x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， ∴⎩⎨⎧2y ＝x ′，3x ＝y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ′2，x ＝y ′3，代入曲线C ：x 2＋y 2＝1， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ′32＝1. ∴曲线C ′的方程是x 24＋y 29＝1.10分C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0(0≤θ≤2π)上，当线段AB 最短时，求点B 的极坐标．[解] 以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系， 则点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2的直角坐标为(0,2)，直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝0.AB 最短时，点B 为直线x －y ＋2＝0与直线l 的交点，联立⎩⎨⎧ x －y ＋2＝0，x ＋y ＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝1，所以点B 的直角坐标为(－1,1)．所以点B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4.10分 D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分) 设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a ＞0)．若f (3)＜5，求a 的取值范围． [解] f (3)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |.当a ＞3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)＜5，得3＜a ＜5＋212. 当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ， 由f (3)＜5，得1＋52＜a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.10分[必做题](第22题，第23题，每题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)22．(本小题满分10分)已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2，AA 1＝3，点D 为AC 的中点，点E 在线段AA 1上．图7(1)当AE ∶EA 1＝1∶2时，求证：DE ⊥BC 1；(2)是否存在点E ，使二面角D －BE －A 等于60°，若存在，求AE 的长；若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：连接DC 1，因为ABC －A 1B 1C 1为正三棱柱，所以△ABC 为正三角形，又因为D 为AC 的中点，所以BD ⊥AC ，又平面ABC ⊥平面ACC 1A 1，所以BD ⊥平面ACC 1A 1，所以BD ⊥DE . 因为AE ∶EA 1＝1∶2，AB ＝2，AA 1＝3，所以AE ＝33，AD ＝1， 所以在Rt △ADE 中，∠ADE ＝30°，在Rt △DCC 1中，∠C 1DC ＝60°，所以∠EDC 1＝90°，即ED ⊥DC 1，所以ED ⊥平面BDC 1，BC 1⊂平面BDC 1，所以ED ⊥BC 1. 4分(2)假设存在点E 满足条件，设AE ＝h .取A 1C 1的中点D 1，连接DD 1，则DD 1⊥平面ABC ，所以DD 1⊥AD ，DD 1⊥BD ，分别以DA ，DB ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (1,0,0)，B (0，3，0)， E (1,0，h )，所以DB →＝(0，3，0)，DE →＝(1,0，h )，AB →＝(－1，3，0)，AE →＝(0,0，h )， 设平面DBE 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DB →＝0，n 1·DE →＝0，即⎩⎨⎧3y 1＝0，x 1＋hz 1＝0，令z 1＝1， 得n 1＝(－h,0,1)，同理，平面ABE 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AB →＝0，n 2·AE →＝0，即⎩⎨⎧－x 2＋3y 2＝0，hz 2＝0.令y 2＝1，得 n 2＝(3，1,0)．所以cos 〈n 1，n 2〉＝|－3h |h 2＋1·2＝cos 60°＝12.解得h ＝22＜3，故存在点E ，当AE ＝22时，二面角D －BE －A 等于60°.10分23．(本小题满分10分)已知(x ＋2)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a n (x －1)n (n ∈N *)．(1)求a 0及S n ＝ ni ＝1a i ； (2)试比较S n 与(n －2)3n ＋2n 2的大小，并说明理由．[解] (1)令x ＝1，则a 0＝3n ，令x ＝2，则 ni ＝0a i ＝4n ，所以S n ＝ ni ＝1a i ＝4n －3n . 2分(2)要比较S n 与(n －2)3n ＋2n 2的大小，只要比较4n 与(n －1)3n ＋2n 2的大小． 当n ＝1时，4n ＞(n －1)3n ＋2n 2，当n ＝2或3时，4n ＜(n －1)3n ＋2n 2， 当n ＝4时，4n ＜(n －1)3n ＋2n 2， 当n ＝5时，4n ＞(n －1)3n ＋2n 2.猜想：当n ≥5时，4n ＞(n －1)3n ＋2n 2.下面用数学归纳法证明： ①由上述过程可知，当n ＝5时，结论成立．②假设当n ＝k (k ≥4，k ∈N *)时结论成立，即4k ＞(k －1)3k ＋2k 2，两边同乘以4，得4k ＋1＞4[(k －1)3k ＋2k 2]＝k 3k ＋1＋2(k ＋1)2＋[(k －4)3k ＋6k 2－4k －2]，而(k －4)3k ＋6k 2－4k －2＝(k －4)3k ＋6(k 2－k －2)＋2k ＋10＝(k －4)3k ＋6(k －2)(k ＋1)＋2k ＋10＞0，所以4k ＋1＞[(k ＋1)－1]3k ＋1＋2(k ＋1)2， 即n ＝k ＋1时结论也成立.8分由①②可知，当n ≥5时，4n ＞(n －1)3n ＋2n 2成立．综上所述，当n ＝1时，S n ＞(n －2)3n ＋2n 2；当n ＝2或3或4时，4n ＜(n －1)3n ＋2n 2，S n ＜(n －2)3n ＋2n 2； 当n ≥5时，S n ＞(n －2)3n ＋2n 2.10分。

2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学1. 已知集合，，那么__________.2. 若复数z满足，其中i是虚数单位，则z的实部为__________.3. 已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为______.4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为______.5. 函数的定义域为__________.6. 某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为__________.7. 已知函数的图象关于直线对称，则的值为__________.8. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是__________.9. 函数满足，且在区间上，，则的值为__________.10. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为__________.11. 若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________.12. 在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：上在第一象限内的点，，以AB 为直径的圆C与直线l交于另一点若，则点A的横坐标为__________. 13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的平分线交AC于点D，且，则的最小值为__________.14. 已知集合，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为______.15. 在平行六面体中，，求证：平面；平面平面16. 已知，为锐角，，求的值；求的值．17. 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧为此圆弧的中点和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为用分别表示矩形ABCD和的面积，并确定的取值范围；若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点，焦点，，圆O的直径为求椭圆C及圆O的方程；设直线l与圆O相切于第一象限内的点①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若的面积为，求直线l的方程．19. 记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．证明：函数与不存在“S点”；若函数与存在“S点”，求实数a的值；已知函数，对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．20. 设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．设，，，若对，2，3，4均成立，求d的取值范围；若，，证明：存在，使得对，3，…，均成立，并求d的取值范围用，m，q表示21. 如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为若，求BC的长．22. 已知矩阵求A的逆矩阵；若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点，求点P的坐标．23. 在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长．24. 若x，y，z为实数，且，求的最小值．25. 如图，正三棱柱中，，点P，Q分别为，BC的中点．求异面直线BP与所成角的余弦值；求直线与平面所成角的正弦值．26. 设，对1，2，……，n的一个排列……，如果当时，有，则称是排列……的一个逆序，排列……的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序，，则排列231的逆序数为记为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．求，的值；求的表达式用n表示答案和解析1.【答案】【解析】【分析】直接利用交集运算得答案．本题考查交集及其运算，属于基础题．【解答】解：，，，故答案为：2.【答案】2【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由，得，的实部为故答案为：3.【答案】90【解析】【分析】本题考查了利用茎叶图计算平均数的问题，是基础题．根据茎叶图中的数据计算它们的平均数即可．【解答】解：根据茎叶图中的数据知，这5位裁判打出的分数为89、89、90、91、91，它们的平均数为故答案为：4.【答案】8【解析】【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的S值．本题考查了程序语言的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法，属基础题.【解答】解：模拟程序的运行过程如下；，，，，，，，，此时不满足循环条件，则输出故答案为：5.【答案】【解析】【分析】本题考查了对数函数的性质，考查求函数的定义域问题，是一道基础题．解关于对数函数的不等式，求出x的范围即可．【解答】解：由题意得：，解得：，函数的定义域是故答案为：6.【答案】【解析】【分析】本题考查了古典概率的问题，属于基础题．设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，根据概率公式计算即可.【解答】解：设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，故选中的2人都是女同学的概率，故答案为：7.【答案】【解析】【分析】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用正弦函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键．根据正弦函数的对称性建立方程关系进行求解即可．【解答】解：的图象关于直线对称，，，即，，，当时，，故答案为：8.【答案】2【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可．【解答】解：双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，可得：，可得，即，所以双曲线的离心率为：故答案为：9.【答案】【解析】【分析】本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性结合分段函数的表达式利用转化法是解决本题的关键．根据函数的周期性，进行转化求解即可．【解答】解：由得函数是周期为4的周期函数，则，，即，故答案为：10.【答案】【解析】【分析】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力，属于中档题．将多面体看做两个正四棱锥，然后利用体积公式求解即可．【解答】解：正方体的棱长为2，中间四边形的边长为，八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为1，多面体的体积为故答案为11.【答案】【解析】【分析】解：，，①当时，，函数在上单调递增，，在上没有零点，舍去；②当时，的解为，在上递减，在递增，又只有一个零点，，解得，则，，，的解集为，在上递增，在上递减，，，，，，在上的最大值与最小值的和为：【解答】本题考查函数的单调性、最值，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．推导出，，当时，，，在上没有零点；当时，的解为，在上递减，在递增，由只有一个零点，解得，从而，，，利用导数性质能求出在上的最大值与最小值的和．12.【答案】3【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积运算，考查圆的方程的求法，是中档题．设，，求出C的坐标，得到圆C的方程，联立直线方程与圆的方程，求得D的坐标，结合求得a值得答案．【解答】解：设，，，，则圆C的方程为联立，解得解得：或又，即A的横坐标为故答案为：13.【答案】9【解析】【分析】本题主要考查三角形的面积公式与基本不等式的应用．根据面积关系建立条件等式，结合基本不等式利用1的代换的方法进行求解即可．【解答】解：由题意得，即，得，得，当且仅当，即，亦即，时，取等号，故答案为：14.【答案】27【解析】【分析】本题考查数列的递推关系以及数列的分组转化求和，属于拔高题.根据题意说明当，时不符合题意，当时，，符合题意，求出n的最小值. 【解答】解：集合A是由所有正奇数组成的集合，集合B是由组成的集合，所有的正奇数与按照从小到大的顺序排列构成，在数列中，前面有16个正奇数，即，当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；……；当时，，，不符合题意；当时，，，，符合题意．故使得成立的n的最小值为故答案为：15.【答案】证明：平行六面体中，，又平面平面；得平面；在平行六面体中，，得四边形是菱形，在平行六面体中，，又，平面，平面得面，且平面平面平面【解析】本题考查了平行六面体的性质，及空间线面平行、面面垂直的判定，属于中档题．由平面；可得四边形是菱形，，由面，平面平面16.【答案】解：由，解得，；由得，，则，，，则【解析】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，属于中档题．由已知结合平方关系求得，的值，再由倍角公式得的值；由求得，再由求得，利用，展开两角差的正切求解．17.【答案】解：，，当B、N重合时，最小，此时；当C、P重合时，最大，此时，的取值范围是；设年总产值为y，甲种蔬菜单位面积年产值为4t，乙种蔬菜单位面积年产值为3t，则，其中；设，则；令，解得，此时，；当时，，单调递增；当时，，单调递减；时，取得最大值，即总产值y最大．【解析】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了构造函数以及利用导数求函数的最值问题，是较难题．根据图形计算矩形ABCD和的面积，求出的取值范围；根据题意求出年总产值y的解析式，构造函数，利用导数求的最大值，即可得出为何值时年总产值最大．18.【答案】解：由题意可设椭圆方程为，焦点，，椭圆C过点，，又，解得，椭圆C的方程为：，圆O的方程为：①可知直线l与圆O相切，也与椭圆C，且切点在第一象限，因此k一定小于0，可设直线l的方程为，由圆心到直线l的距离等于圆半径，可得，即由，可得，，可得，，结合，，解得，将，代入，可得，解得，，故点P的坐标为②设，，由联立直线与椭圆方程得，，O到直线l的距离，，的面积为，解得，正值舍去，直线l的方程为【解析】本题考查了椭圆的方程，直线与圆、椭圆的位置关系，属于较难题．由题意可得，，又，解得，，即可得到椭圆C的方程和圆O的方程；①可设直线l的方程为，，可得，即，由，可得，，解得，，进而可得P点坐标；②设，，联立直线与椭圆方程得，根据弦长公式和点到直线得距离公式可解得，正值舍去，，即可得到直线方程.19.【答案】解：证明：，，则由定义得，得方程无解，则与不存在“S点”；，，，由得，得，，得；，，，由，假设，得，得，由，得，得，令，，设，，则，，得，又的图象在上不间断，则在上有零点，则在上有零点，则存在，使与在区间内存在“S”点．【解析】本题主要考查导数的应用，根据条件建立两个方程组，判断方程组是否有解是解决本题的关键．根据“S点”的定义解两个方程，判断方程是否有解即可；根据“S点”的定义解两个方程即可；分别求出两个函数的导数，结合两个方程之间的关系进行求解判断即可．20.【答案】解：由题意可知对任意，2，3，4均成立，，，，解得即且对，3，…，均成立，，…，，即，…，，…，，，…，，又，…，，存在，使得对，3，…，均成立当时，，设，则，…，，设，，单调递增，，设，且设，则，，，，在上恒成立，即单调递减，又，，对…，均成立，数列，…，单调递减，的最大值为，的最小值为，的取值范围是【解析】本题主要考查等比数列和等差数列以及不等式的综合应用，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．根据等比数列和等差数列的通项公式，解不等式组即可；根据数列和不等式的关系，利用不等式的关系构造新数列和函数，判断数列和函数的单调性和性质进行求解即可．21.【答案】解：连接OC，因为PC为切线且切点为C，所以因为圆O的半径为2，，所以，，所以，所以，所以为等边三角形，所以【解析】连接OC，由题意，CP为圆O的切线，得到垂直关系，由线段长度及勾股定理，可以得到PO的长，即可判断是等边三角形，BC的长．本题主要考查圆与直线的位置关系，切线的应用，考查发现问题解决问题的能力．22.【答案】解：矩阵，，所以A可逆，从而：A的逆矩阵设，则，所以，因此点P的坐标为【解析】本题矩阵与逆矩阵的关系，逆矩阵的求法，考查转化思想的应用，是基本知识的考查．矩阵，求出，A可逆，然后求解A的逆矩阵设，通过，求出，即可得到点P的坐标．23.【答案】解：曲线C的方程为，，，曲线C是圆心为，半径为得圆．直线l的方程为，，直线l的普通方程为：圆心C到直线l的距离为，直线l被曲线C截得的弦长为【解析】将直线l、曲线C的极坐标方程利用互化公式可得直角坐标方程，利用直线与圆的相交弦长公式即可求解．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的相交弦长关系、点到直线的距离公式，属于中档题．24.【答案】解：由柯西不等式得，，是当且仅当时，不等式取等号，此时，，，的最小值为4【解析】本题主要考查求的最值，利用柯西不等式是解决本题的关键．根据柯西不等式进行证明即可．25.【答案】解：如图，在正三棱柱中，设AC，的中点分别为O，，则，，，故以为基底，建立空间直角坐标系，，，，，，，点P为的中点．，，异面直线BP与所成角的余弦值为；为BC的中点．，，设平面的一个法向量为，由，可取，设直线与平面所成角的正弦值为，，直线与平面所成角的正弦值为【解析】本题考查了异面直线所成角，直线与平面所成角，向量法求空间角，考查学生的计算能力和推理能力，属于中档题．设AC，的中点分别为O，，以为基底，建立空间直角坐标系，由可得异面直线BP与所成角的余弦值；求得平面的一个法向量为，设直线与平面所成角的正弦值为，可得，即可得直线与平面所成角的正弦值．26.【答案】解：记为排列abc得逆序数，对1，2，3的所有排列，有，，，，，，，，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，；对一般的的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将添加进原排列，在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，当时，……因此，当时，【解析】由题意直接求得的值，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置，由此可得的值；对一般的的情形，可知逆序数为0的排列只有一个，逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将添加进原排列，在新排列中的位置只能是最后三个位置，可得，则当时，…，则的表达式可求．本题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是中档题．。

2018年江苏省高三数学预测卷及答案
5
◎试卷使用说明
1、此试卷完全按照2018年江苏高考数学考试说明命题，无超纲内容。

2、此试卷成绩基本可以反映高考时的数学成绩，上下浮动15分左右。

3、若此试卷达120分以上，高考基本可以保底120分；若达85分，只要在下一个阶段继续努力高考可以达96分。

4、此试卷不含理科加试内容。

江苏省2018届高三数学综合检测卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）
1．复数在复平面上对应的点在第象限．
2．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20 种，从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是．
3．已知集合，集合，若命题
“ ”是命题“ ”的充分不必要条，则实
数的取值范围是．
4．如图，直三棱柱ABc-A1B1c1中，AB=1，Bc=2，Ac= ，AA1=3，为线段BB1上的一动点，则当A＋c1最小时，△Ac1的面积为．（第4题）．
5．集合若则．
6．阅读如图所示的程序框，若输入的是100，则输出的变量的值是．。

2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学3卷 答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则A ．B ．C ．D ．【解析】∵}1|{≥=x x A ，}2,1{=B A . 【答案】C 2． A ．B ．C ．D ．【解析】i i i +=-+3)2)(1(. 【答案】D3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是【解析】看不见的线应该用虚线表示. 【答案】A 4．若，则cos2α= {|10}A x x =-≥{0,1,2}B =A B ={0}{1}{1,2}{0,1,2}(1i)(2i)+-=3i --3i -+3i -3i+1sin 3α=A ．B ．C ．D ． 【解析】227cos212sin 199αα=-=-=. 【答案】B5．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.7【解析】只用现金支付、既用现金支付也用非现金支付、不用现金支付，三者是互斥事件，所以不用现金支付的概率为10.450.15=0.4--.【答案】B 6．函数2tan ()1tan xf x x=+的最小正周期为A ．B ．C ．D ．【解析】∵222222tan tan cos sin cos 1()sin cos sin 21tan (1tan )cos cos sin 2x x x x x f x x x x x x x x x ⋅=====++⋅+， ∴()f x 的最小正周期为 π .【答案】C7．下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是 A ．B ．C ．D ．【解析】解法一：从图A7中可以看出，函数)In(x y -=向右平移2个单位得到的图像，就是函数的图像关于直线对称的图像，其函数表达式为)2In(+-=x y .897979-89-4π2ππ2πln y x =1x =ln(1)y x =-ln(2)y x =-ln(1)y x =+ln(2)y x =+ln y x =1x =图A7解法一：（特殊值法）由题意可知，所求函数与函数的图像上的对应点关于对称. 在函数的图像任取一点(1,0)，其关于对称的点为（1,0），即点（1,0）一定在所求的函数图像上，只有选项B 符合.【答案】B8．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A ．B ．C ．D ．【解析】如图所示，由题意可知)0,2(-A 、)0,2(-B ，∴22||=AB .过点P 作△ABP 的高PH ，由图可以看出，当高PH 所在的直线过圆心)0,2(时，高PH 取最小值或最大值. 此时高PH 所在的直线的方程为02=-+y x .将02=-+y x 代入，得到与圆的两个交点：)1,1(-N 、)1,3(M ，因此22|211|min =+-=|PM|，232|213|max =++=|PM|. 所以222221min=⨯⨯=S ，6232221max =⨯⨯=S. ln y x =1x =ln y x =1x =20x y ++=x y A B P 22(2)2x y -+=ABP △[2,6][4,8]22(2)2x y -+=图A8【答案】A9．函数的图像大致为【解析】设2)(24++-==x x y x f ，∵02)0(>=f ，因此排除A 、B ；)12(224)(23--=+-='x x x x x f ，由0)(>'x f 得22-<x 或220<<x ，由此可知函数)(xf 422y x x =-++在），（220内为增函数，因此排除C.【答案】D10．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>(4,0)到C 的渐近线的距离为AB．C ．D ．【解析】由题意可知c =，∴b a ==，渐近线方程为y x =±，即0x y ±=.∴ 点(4,0)到C 的渐近线的距离为222|4|=. 【答案】D11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 的面积为4222c b a -+，则C =A ．B ．C ．D ．【解析】由已知和△ABC 的面积公式有，4sin 21222c b a C ab -+=，解得C ab c b a sin 2222=-+.∴ C abCab ab c b a C sin 2sin 22cos 222==-+=，又∵1cos sin 22=+C C ，∴22sin cos ==C C ，4π=C . 【答案】C12．设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为39，则三棱锥D -ABC 体积的最大值为 A ．312B ．318C ．324D ．354【解析】如图A12所示，球心为O ，△ABC 的外心为O ′，显然三棱锥D -ABC 体积最大时D 在O′O 的延长线与球的交点.△ABC 为为等边三角形且其面积为39，因此有39432=⨯AB ，解得AB =6. 222π3π4π6π∴3260sin 32=⋅⨯=' AB C O ，2)32(42222=-='-='O O OC O O ， ∴642=+='D O .∴ 三棱锥D -ABC 体积的最大值为31863931=⨯⨯=V .图A12【答案】B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

数学试卷 第1页（共42页） 数学试卷 第2页（共42页）绝密★启用前江苏省2018年普通高等学校招生全国统一考试数 学本试卷共160分.考试时长120分钟.参考公式：锥形的体积公式13V Sh =,其中S 是椎体的底面积,h 是椎体的高。

一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1.已知集合{0,1,2,8}A =,{1,1,6,8}B =-,那么AB = .2.若复数z 满足i 12i z =+,其中i 是虚数单位,则z 的实部为 .3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 .4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为 .5.函数()f x =的定义域为 .6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 .7.已知函数ππsin(2)()22y x ϕϕ=+-<<的图象关于直线π3x =对称,则ϕ的值是 .8.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22221(0)x y a b a b-=>>0,的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为2,则其离心率的值是 . 9.函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ,且在区间(2,2]-上,()cos (2)2102x x f x x x π⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩0＜≤，(-2＜≤)，,则((15))f f 的值为 . 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 .11.若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 .12.在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,点(5,0)B ,以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD =,则点A 的横坐标为 .13.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,120ABC ∠=,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 .14.已知集合{21,}A x x n n ==-∈*N ,{2,}n B x x n ==∈*N .将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +＞成立的n 的最小值为 .毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共42页） 数学试卷 第4页（共42页）二、解答题：本大题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在平行六面体1111ABCD A B C D -中,1AA AB =,111AB B C ⊥. 求证：(Ⅰ)AB ∥平面11A B C ； (Ⅱ)平面11ABB A ⊥平面1A BC .16.(本小题满分14分)已知α,β为锐角,4tan 3α=,cos()αβ+=.(Ⅰ)求cos2α的值； (Ⅱ)求tan()αβ-的值.数学试卷 第5页（共42页） 数学试卷 第6页（共42页）17.(本小题满分14分)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成,已知圆O 的半径为40米,点P 到MN 的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ,大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △,要求点A ,B 均在线段MN 上,C ,D 均在圆弧上.设OC 与MN 所成的角为θ.(Ⅰ)用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积,并确定sin θ的取值范围； (Ⅱ)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C过点1)2,焦点1(F,2F ,圆O 的直径为12F F .(Ⅰ)求椭圆C 及圆O 的方程；(Ⅱ)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点.若OAB △,求直线l 的方程.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共42页） 数学试卷 第8页（共42页）19.(本小题满分16分)记()f x ',()g x '分别为函数()f x ,()g x 的导函数.若存在0x ∈R ,满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=,则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”.(Ⅰ)证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； (Ⅱ)若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”,求实数a 的值；(Ⅲ)已知函数2()f x x a =-+,e ()xb g x x=.对任意0a >,判断是否存在0b >,使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”,并说明理由.20.(本小题满分16分)设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列,{}n b 是首项1b ,公比为q 的等比数列. (Ⅰ)设10a =,11b =,2q =若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立,求d 的取值范围； (Ⅱ)若110a b =>,m ∈*N,q ∈,证明：存在d ∈R ,使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立,并求d 的取值范围(用1b ,m ,q 表示).数学试卷 第9页（共42页） 数学试卷 第10页（共42页）数学Ⅱ(附加题)本试卷均为非选择题(第21题~第23题). 本卷满分40分,考试时间为30分钟.21.【选做题】本题包括A ,B ,C ,D 四小题,请选定其中两小题并作答．．．．．．．．．．．,若多做,则按作答的前两小题评分、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2018年江苏省扬州市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 已知集合A={−1, 0, 3, 5}，B={x|x−2>0}，则A∩B=________．2. 已知(1+3i)(a+bi)=10i，其中i为虚数单位，a，b∈R，则ab的值为________．3. 已知一组数据82，91，89，88，90，则这组数据的方差为________．4. 根据如图所示的伪代码，已知输出值y为3，则输入值x为________．5. 函数y=lg(4−3x−x2)的定义域为________．6. 袋中有若干只红、黄、蓝三种颜色的球，这些球除颜色外完全相同．现从中随机摸出1只球，若摸出的球不是红球的概率为0.8，不是黄球的概率为0.5，则摸出的球为蓝球的概率为________．7. 在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=4:5:6，则cosC的值为________．8. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x212−y2b2=1(b>0)的焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为________．9. 已知{a n}是等比数列，S n是其前n项和，若a3=2，S12=4S6，则a9的值为________．10. 现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的8倍，将其熔化锻造成一个底面积不变的正四棱锥形铁件（不计材料损耗）．设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为S1，S2．则S1S2的值为________．11. 已知实数a，b，c成等比数列，a+6，b+2，c+1成等差数列，则b的最大值为________．12. 如图，在平面四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠DAB=60∘，AC=3BC，则边CD长的最小值为________．13. 如图，已知AC =2，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点（不含端点A ，B ，C ），且BM ⊥BN ，则AM →⋅CN →的最大值为________．14. 已知函数f(x)={ax −1,x ≤0,x 3−ax +|x −2|,x >0 的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为平行四边形，C 1B =C 1D ．求证：(1)B 1D 1 // 平面C 1BD ；(2)平面C 1BD ⊥平面AA 1C 1C .如图是函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|≤π2)在一个周期内的图象．已知点P(−6, 0)，Q(−2, −3)是图象上的最低点，R 是图象上的最高点．(1)求函数f(x)的解析式；(2)记∠RPO =α，∠QPO =β（α，β均为锐角），求tan(2α+β)的值．如图，某生态农庄内有一直角梯形区域ABCD ，AB // CD ，AB ⊥BC ，AB =3百米，CD =2百米．该区域内原有道路AC ，现新修一条直道DP （宽度忽略不计），点P 在道路AC 上（异于A ，C 两点），∠BAC =π6,∠DPA =θ．(1)用θ表示直道DP的长度；(2)计划在△ADP区域内种植观赏植物，在△CDP区域内种植经济作物．已知种植观赏植物的成本为每平方百米2万元，种植经济作物的成本为每平方百米1万元，新建道路DP的成本为每百米1万元，求以上三项费用总和的最小值．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，P为右准线上一点，点Q在椭圆上，且FQ⊥FP.(1)若椭圆的离心率为12，短轴长为2√3．①求椭圆的方程；②若直线OQ，PQ的斜率分别为k1，k2，求k1⋅k2的值．(2)若在x轴上方存在P，Q两点，使O，F，P，Q四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．已知数列{a n}满足a n+1+(−1)n a n=n+52(n∈N∗)，数列{a n}的前n项和为S n．(1)求a1+a3的值；(2)若a1+a5=2a3．①求证：数列{a2n}为等差数列；②求满足S2p=4S2m(p,m∈N∗)的所有数对(p, m)．对于定义在区间D上的函数f(x)，若存在正整数k，使不等式1k<f(x)<k恒成立，则称f(x)为D(k)型函数．(1)设函数f(x)=a|x|，定义域D=[−3, −1]∪[1, 3]．若f(x)是D(3)型函数，求实数a的取值范围；(2)设函数g(x)=e x−x2−x，定义域D=(0, 2)．判断g(x)是否为D(2)型函数，并给出证明．（参考数据：7<e2<8）【选做题】本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]如图，△ABC 中，已知AB =3，BC =6，AC =4，D 是边BC 上一点，AC 与过点A ，B ，D 的圆O 相切，求AD 的长．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）已知矩阵A =[10−11]，B =[1203]，C =AB ．(1)求矩阵C ；(2)若直线l 1:x +y =0在矩阵C 对应的变换作用下得到另一直线l 2，求l 2的方程． [选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为{x =3+3t,y =1−4t （t 为参数），圆C 的参数方程为{x =rcosθ,y =rsinθ (θ为参数，r >0)，若直线l 被圆C 截得的弦长为4，求r 的值． [选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）已知a ，b ，c 是正实数，且a +b +c =5，求证：a 2+2b 2+c 2≥10．【必做题】第25、26题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．将4本不同的书随机放入如图所示的编号为1，2，3，4的四个抽屉中． (1)求4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率；(2)随机变量X 表示放在2号抽屉中书的本数，求X 的分布列和数学期望E(X)．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 为抛物线y 2=2px(p >0)的焦点，直线l 过点F 与抛物线相交于A ，B 两点（点A 在第一象限）．(1)若直线l的方程为y=43x−23，求直线OA的斜率；(2)已知点C在直线x=−p上，△ABC是边长为2p+3的正三角形，求抛物线的方程.参考答案与试题解析2018年江苏省扬州市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1.【答案】{3, 5}【考点】交集及其运算【解析】由一次不等式的解法化简集合B，由交集的定义，即可得到所求集合．【解答】解：∵A={−1, 0, 3, 5}，B={x|x−2>0}={x|x>2}，∴A∩B={3, 5}.故答案为：{3,5}.2.【答案】3【考点】复数代数形式的混合运算【解析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：∵(1+3i)(a+bi)=10i，a，b∈R，∴a−3b+(3a+b−10)i=0，解得a−3b=3a+b−10=0，解得a=3，b=1，∴ab=3.故答案为：3.3.【答案】10【考点】极差、方差与标准差众数、中位数、平均数【解析】根据定义，计算这组数据的平均数和方差即可．【解答】解：数据82，91，89，88，90的平均数为×(82+91+89+88+90)=88，x=15方差为×[(82−88)2+(91−88)2+(89−88)2+(88−88)2+(90−88)2]=10．s2=15故答案为：10. 4.【答案】 −√2【考点】伪代码（算法语句） 程序框图 【解析】由题意可得算法的功能是求y ={x +4x ≥0x 2+1x <0的值，根据输出y 的值为3，分别求出当x ≥0时和当x <0时的x 值即可得解． 【解答】解：由程序语句知：算法的功能是求y ={x +4,x ≥0,x 2+1,x <0的值， 当x ≥0时，y =x +4=3⇒x =−1（舍去）；当x <0时，y =x 2+1=3⇒x =−√2或√2（舍去）． 综上，x 的值为−√2. 故答案为：−√2. 5.【答案】 (−4, 1) 【考点】函数的定义域及其求法 【解析】由对数的真数大于0，以及二次不等式的解法，即可得到所求定义域． 【解答】解：函数y =lg(4−3x −x 2)有意义， 可得4−3x −x 2>0， 即(x +4)(x −1)<0， 解得−4<x <1， 即定义域为(−4, 1). 故答案为：(−4,1). 6.【答案】 0.3【考点】对立事件的概率公式及运用 【解析】设事件A 表示“摸出红球”，B 表示“摸出黄球”，C 表示“摸出蓝球”，由已知得P(A)=1−0.8=0.2，P(B)=1−0.5=0.5，由此能求出摸出的球为蓝球的概率． 【解答】解：设事件A 表示“摸出红球”，B 表示“摸出黄球”，C 表示“摸出蓝球”， 由已知得P(A)=1−P(A)=1−0.8=0.2，P(B)=1−P(B)=1−0.5=0.5，∴摸出的球为蓝球的概率为P(C)=1−P(A)−P(B)=1−0.2−0.5=0.3. 故答案为：0.3.7.【答案】18【考点】余弦定理正弦定理【解析】先根据正弦定理得到三角形边的关系，再由余弦定理算出C的余弦值即可．【解答】解：∵sinA:sinB:sinC=4:5:6，∴根据正弦定理可得：a:b:c=4:5:6，不妨设a=4k，b=5k，c=6k(k>0)，由余弦定理可得：cosC=a2+b2−c22ab =16k2+25k2−36k22×4k×5k=18.故答案为：18.8.【答案】2√33【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率点到直线的距离公式【解析】根据题意，由双曲线的几何性质分析可得b的值，又由双曲线的离心率分析可得c=2a，联立两式分析可得a的值，由双曲线的长轴长2a计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线x212−y2b2=1(b>0)的焦点到渐近线的距离为2，故√a2+b2=2，则b=2，故双曲线的离心率e=ca =√a2+b2a=√12=2√33.故答案为：2√33.9.【答案】2或6 【考点】等比数列的前n 项和 等比数列的性质 【解析】根据条件结合等比数列的通项公式以及前n 项和公式，求出首项和公比即可得到结论． 【解答】解：∵ 在等比数列中，a 3=2，S 12=4S 6， ∴ 若公比q =1，则S 12≠4S 6， ∴ q ≠1.∵ S 12=4S 6， ∴a 1(1−q 12)1−q=4×a 1(1−q 6)1−q，即1−q 12=4(1−q 6)，∴ 4(1−q 6)=(1+q 6)(1−q 6)， 即(1−q 6)(q 6−3)=0， ∴ q 6=1或3，又q ≠1， ∴ q =−1或q 6=3，当q =−1时，a 9=a 3q 6=2×1=2； 当q 6=3时，a 9=a 3q 6=2×3=6. 故答案为：2或6. 10.【答案】 25【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】画出图形，结合图形求出正四棱柱的侧面积与正四棱锥的侧面积，计算比值即可． 【解答】解：如图所示，设正四棱柱的底面边长为8a ，则高为a(a >0)， ∴ 正四棱柱的侧面积为S 1=4×8a ×a =32a 2， 体积为(8a)2×a =64a 3，∴ 正四棱锥的高为ℎ=64a 313×(8a)2=3a ，侧面积为S 2=4×12×8a ×√(4a)2+(3a)2=80a 2， ∴ S1S 2=32a 280a 2=25.故答案为：25.11.【答案】34【考点】基本不等式在最值问题中的应用等比数列的性质等差数列的性质【解析】由题意可设a=bq，c=bq，运用等差数列中项的性质和基本不等式，讨论q>0，q< 0，计算即可得到所求最大值．【解答】解：实数a，b，c成等比数列，可设a=bq，c=bq，由a+6，b+2，c+1成等差数列，可得2b+4=a+c+7=bq+bq+7，即2b=bq+bq+3，若q>0，可得b(2−q−1q)=3，由q+1q≥2，可得b<0，无最大值；若q<0，则q+1q≤−2，2−q−1q≥4，可得b≤34，即有b的最大值为34.故答案为：34.12.【答案】√61−32【考点】与圆有关的最值问题余弦定理圆的标准方程【解析】如图以AB 中点O 为原点，建立平面直角坐标系，A(−2, 0)，B(2, 0)，设C(x, y)． 由AC =3BC ，可得(x −52)2+y 2=94上，则边CD 长的最小值为圆(x −52)2+y 2=94上点到D 的最小值，可得BD =√22+42−2×2×4×cos600=2√3，DM =√AD 2+AM 2−2AD ∗AMcos602=√612 即可得边CD 长的最小值为DM −r =√61−32，【解答】解：以AB 中点O 为原点，建立平面直角坐标系如图，则A(−2, 0)，B(2, 0)，设C(x, y)， 由AC =3BC ，可得√(x +2)2+y 2=3√(x −2)2+y 2， 化简得x 2+y 2−5x +4=0， ∴ 点C 在圆(x −52)2+y 2=94上，∴ 边CD 长的最小值为圆(x −52)2+y 2=94上点到D 的最小值，在三角形ABD 中，由余弦定理，可得|BD|=√22+42−2×2×4×cos60∘=2√3， ∵ 圆(x −52)2+y 2=94的圆心M(52,0)，半径r =32， ∴ |DM|=√AD 2+AM 2−2AD ⋅AMcos60∘=√612，∴ 边CD 长的最小值为|DM|−r =√61−32.故答案为：√61−32.13.【答案】14【考点】二倍角的余弦公式 两角和与差的余弦公式二次函数在闭区间上的最值 圆的参数方程平面向量数量积坐标表示的应用 数量积判断两个平面向量的垂直关系 平面向量的坐标运算 【解析】以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，求得A ，B ，C 的坐标，可得以AB 为直径的半圆方程，以AC 为直径的半圆方程，设出M ，N 的坐标，由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得α=2β，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值． 【解答】解：以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，可得A(0, 0)，B(1, 0)，C(2, 0)，以AB 为直径的半圆方程为(x −12)2+y 2=14(x >0, y >0)， 以AC 为直径的半圆方程为(x −1)2+y 2=1(x >0, y >0)， 设M(12+12cosα, 12sinα)，N(1+cosβ, sinβ)，0<α，β<π， 由BM ⊥BN ，可得BM →⋅BN →=(−12+12cosα, 12sinα)⋅(cosβ, sinβ)=0，即有−12cosβ+12(cosαcosβ+sinαsinβ)=0， 即为cosβ=cosαcosβ+sinαsinβ，即有cosβ=cos(α−β)，0<α，β<π， 可得α−β=β，即α=2β，则AM →⋅CN →=(12+12cosα, 12sinα)⋅(−1+cosβ, sinβ)=−12−12cosα+12cosβ+12(cosαcosβ+sinαsinβ)=−12−12cosα+cosβ=cosβ−cos 2β=−(cosβ−12)2+14，可得cosβ−12=0即β=π3，α=2π3时，AM →⋅CN →的最大值为14. 故答案为：14.14.【答案】 a <0或a >2 【考点】利用导数研究函数的最值 函数与方程的综合运用利用导数研究函数的单调性 分段函数的应用 【解析】分情况讨论f(x)的单调性，计算f(x)在(0, +∞)上的最小值，根据函数图象经过的象限得出最小值与0的关系，从而得出a 的范围． 【解答】解：①当a <0时，f ′(x)>0在[2, +∞)上恒成立， 当0<x <2时，令f ′(x)=0可得x =√a+13<13， ∴ f(x)在(0, √a+13)上单调递减，在(√a+13, 2)上单调递增，又f(√a+13)=a+13√a+13−(a +1)√a+13+2=2(1−a+13√a+13)>0，∴ f(x)的图象在(0, +∞)上经过第一象限，符合题意； ②当a =0时，f(x)在(−∞, 0)只经过第三象限， f ′(x)>0在(0, +∞)上恒成立，∴ f(x)在(0, +∞)上的图象只经过第一象限，不符合题意； ③当a >0时，f(x)在(−∞, 0)上单调递增， 故f(x)在(−∞, 0]上的图象只经过第三象限， ∴ f(x)在(0, +∞)上的最小值f min (x)<0． 当0<x <2时，令f ′(x)=0可得x =√a+13，若√a+13<2，即a <11时，f(x)在(0, +∞)上的最小值为f(√a+13)=2(1−a+13√a+13)，令2(1−a+13√a+13)<0，解得a >2，∴ 2<a <11； 若√a+13≥2即a ≥11时，则f(x)在(0, 2)上单调递减，当x ≥2时，令f ′(x)=0可得x =√a−13，若√a−13<2，即11≤a <13时，f(x)在(2, +∞)上单调递增，故f(x)在(0, +∞)上的最小值为f(2)=8−2a ， 令8−2a <0解得a >4， 故而11≤a <13； 若√a−13≥2，即a ≥13时，f(x)在(2, √a−13)上单调递减，在(√a−13, +∞)上单调递增，故f(x)在(0, +∞)上的最小值为f(√a−13)=−2(a−1)3√a−13−2，显然−2(a−1)3√a−13−2<0恒成立，故而a ≥13.综上，a <0或a >2． 故答案为：a <0或a >2．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【答案】证明：(1)在直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中， BB 1 // DD 1，且BB 1=DD 1，∴ 四边形BDD 1B 1 为平行四边形， ∴ B 1D 1 // BD ，又BD ⊂平面C 1BD ，B 1D 1平面C 1BD ， ∴ B 1D 1 // 平面C 1BD ；(2)设AC 与BD 交于点O ，连接C 1O ，∵ 底面ABCD 为平行四边形， ∴ O 为BD 的中点. 又C 1B =C 1D ， ∴ C 1O ⊥BD .在直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，C 1C ⊥平面ABCD ， 又BD ⊂平面ABCD ， ∴ C 1C ⊥BD ．又∵ C 1O ∩C 1C =C 1，C 1O ，C 1C ⊂平面AA 1C 1C ， ∴ BD ⊥平面AA 1C 1C . 又BD ⊂平面C 1BD ，∴ 平面C 1BD ⊥平面AA 1C 1C ． 【考点】平面与平面垂直的判定 直线与平面平行的判定 【解析】（1）由棱柱的结构特征可得四边形BDD 1B 1 为平行四边形，则B 1D 1 // BD ，再由线面平行的判定可得B 1D 1 // 平面C 1BD ；（2）设AC 与BD 交于点O ，连接C 1O ，可得O 为BD 的中点，进一步得到C 1O ⊥BD ，在直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，C 1C ⊥平面ABCD ，可得C 1C ⊥BD ，由线面垂直的判定可得平面C 1BD ⊥平面AA 1C 1C ． 【解答】证明：(1)在直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中， BB 1 // DD 1，且BB 1=DD 1，∴ 四边形BDD 1B 1 为平行四边形，∴B1D1 // BD，又BD⊂平面C1BD，B1D1平面C1BD，∴B1D1 // 平面C1BD；(2)设AC与BD交于点O，连接C1O，∵底面ABCD为平行四边形，∴O为BD的中点.又C1B=C1D，∴C1O⊥BD.在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，C1C⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，∴C1C⊥BD．又∵C1O∩C1C=C1，C1O，C1C⊂平面AA1C1C，∴BD⊥平面AA1C1C.又BD⊂平面C1BD，∴平面C1BD⊥平面AA1C1C．【答案】解：(1)根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤π2)在一个周期内的图象，以及点P(−6, 0)，Q(−2, −3)是图象上的最低点，R是图象上的最高点，可得A=3，14⋅2πω=−2−(−6)，∴ω=π8．再根据五点法作图可得π8×(−6)+φ=−π，解得φ=−π4，∴f(x)=3sin(π8x−π4).(2)点R的横坐标为−6+3T4=−6+3×4=6，求得R(6, 3)，根据∠RPO=α，∠QPO=β（α，β均为锐角），可得tanα=312=14，tanβ=34，∴tan2α=2tanα1−tan2α=815，∴tan(2α+β)=tan2α+tanβ1−tan2α⋅tanβ=815+341−815×34=7736．【考点】二倍角的正切公式两角和与差的正切公式由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（2）由题意求得R点的坐标，可得tanα、tanβ的值，利用二倍角的正切公式求得tan2α的值，再利用两角和的正切公式求得tan(2α+β)的值．【解答】解：(1)根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤π2)在一个周期内的图象，以及点P(−6, 0)，Q(−2, −3)是图象上的最低点，R是图象上的最高点，可得A=3，14⋅2πω=−2−(−6)，∴ω=π8．再根据五点法作图可得π8×(−6)+φ=−π，解得φ=−π4，∴f(x)=3sin(π8x−π4).点R的横坐标为−6+3T4=−6+3×4=6，求得R(6, 3)，根据∠RPO=α，∠QPO=β（α，β均为锐角），可得tanα=312=14，tanβ=34，∴tan2α=2tanα1−tan2α=815，∴tan(2α+β)=tan2α+tanβ1−tan2α⋅tanβ=815+341−815×34=7736．【答案】解：(1)过点D作DD′⊥AB，垂足为D′，如图，在Rt△ABC中，∵AB⊥BC，∠BAC=π6，AB=3，∴BC=√3，在Rt△ADD′中，∵AD′=1，DD′=√3，AD=2，∴sin∠DAD′=√32，∴∠DAD′=π3，∵ ∠BAC =π6， ∴ ∠DAP =π6，在△ADP 中，由正弦定理可得AD sinθ=DPsin π6，∴ DP =1sinθ，π6<θ<5π6，(2)在△ADP 中，由正弦定理可得ADsinθ=APsin∠ADP ， ∴ AP =2sin(5π6−θ)sinθ，∴ S △APD =12AP ⋅PD ⋅sinθ =sin(56π−θ)sinθ，又S △ADC =12AD ⋅DC ⋅sin∠ADC ， =12×2×2×√32=√3,∴ S △DPC =S △ADC −S △APD =√3−sin(56π−θ)sinθ，设三项费用之和为f(θ)， 则f(θ)=sin(56π−θ)sinθ×2+(√3−sin(56π−θ)sinθ)×1+1sinθ×1 =√3+sin(56π−θ)sinθ+1sinθ=12cosθ+1sinθ+3√32，π6<θ<5π6，∴ f′(θ)=−12−cosθsin 2θ，令f′(θ)=0，解得θ=2π3，当θ∈(π6, 2π3)时，f′(θ)<0，函数f(θ)单调递减， 当θ∈(2π3, 5π6)时，f′(θ)>0，函数f(θ)单调递增， ∴ f(θ)min =f(2π3)=2√3，答：三项费用总和的最小值为2√3万元． 【考点】利用导数研究函数的最值 根据实际问题选择函数类型【解析】（1）根据解三角形和正弦定理可得DP =1sinθ，π6<θ<5π6，（2）分别求出S △APD ，S △ADC ，可得S △DPC ，设三项费用之和为f(θ)，可得f(θ)=12cosθ+1sinθ+3√32，π6<θ<5π6，利用导数求出最值【解答】解：(1)过点D 作DD′⊥AB ，垂足为D′， 如图，在Rt △ABC 中，∵ AB ⊥BC ，∠BAC =π6，AB =3， ∴ BC =√3， 在Rt △ADD′中，∵ AD′=1，DD′=√3，AD =2， ∴ sin∠DAD′=√32，∴ ∠DAD′=π3， ∵ ∠BAC =π6， ∴ ∠DAP =π6，在△ADP 中，由正弦定理可得AD sinθ=DPsin π6，∴ DP =1sinθ，π6<θ<5π6，(2)在△ADP 中，由正弦定理可得AD sinθ=APsin∠ADP ， ∴ AP =2sin(5π6−θ)sinθ，∴ S △APD =12AP ⋅PD ⋅sinθ =sin(56π−θ)sinθ，又S △ADC =12AD ⋅DC ⋅sin∠ADC =12×2×2×√32=√3,∴ S △DPC =S △ADC −S △APD =√3−sin(56π−θ)sinθ，设三项费用之和为f(θ)， 则f(θ)=sin(56π−θ)sinθ×2+(√3−sin(56π−θ)sinθ)×1+1sinθ×1 =√3+sin(56π−θ)sinθ+1sinθ=12cosθ+1sinθ+3√32，π6<θ<5π6，∴ f′(θ)=−12−cosθsin 2θ，令f′(θ)=0，解得θ=2π3，当θ∈(π6, 2π3)时，f′(θ)<0，函数f(θ)单调递减， 当θ∈(2π3, 5π6)时，f′(θ)>0，函数f(θ)单调递增， ∴ f(θ)min =f(2π3)=2√3，答：三项费用总和的最小值为2√3万元． 【答案】解：(1)①设椭圆的焦距为2c ，由题意，可得{c a=12,2b =2√3,a 2=b 2+c 2,解得a =2，b =√3， ∴ 椭圆的方程为x 24+y 23=1；②由①可得，焦点F(1, 0)，准线为x =4， 设P(4, t)，Q(x 0, y 0)， 则x 024+y 023=1，∴ y 02=3−34x 02， ∴ FQ →=(x 0−1, y 0)，FP →=(3, t). ∵ FP ⊥FQ ，∴ FQ →⋅FP →=3(x 0−1)+ty 0=0， ∴ −ty 0=3(x 0−1)， ∴ k 1k 2=y 0x 0⋅y 0−tx−4=3−34x 02+3(x 0−1)x 02−4x 0=−34.(2)设P(a 2c, t)，Q(x 0, y 0)，∵ FP ⊥FQ ，则△FPQ 的外接圆即为 以PQ 为直径的圆(x −a 2c)(x −x 0)+(y −t)(y −y 0)=0，由题意，焦点F 和原点O 均在该圆上， ∴ {(c −a 2c )(c −x 0)+ty 0=0,a 2c x 0+ty 0=0,消去ty 0可得(c −a 2c)(c −x 0)−a 2cx 0=0，∴ x 0=c −a 2c.∵ 点P ，Q 均在x 轴上方， ∴ −a <c −a 2c<c ，即c 2+ac −a 2>0，∴ e 2+e −1>0. ∵ 0<e <1， ∴ √5−12<e <1.【考点】圆与圆锥曲线的综合问题 椭圆的离心率直线与椭圆的位置关系 椭圆的应用 椭圆的标准方程 【解析】（1）①设椭圆的焦距为2c ，由题意，可得{ca=122b =2√3a 2=b 2+c 2，即可求得椭圆C 的标准方程；②设P(4, t)，Q(x 0, y 0)，根据向量的垂直和向量的数量积即可求出答案，（2）方法一：设P(a 2c, t)，Q(x 0, y 0)，可得△FPQ 的外接圆即为以PQ 为直径的圆(x −a 2c)(x −x 0)+(y −t)(y −y 0)=0，可得x 0=c −a 2c，根据点P ，Q 均在x 轴上方，可得e 2+e −1>0，解得即可；方法二：根据O ，F ，P ，Q 四点共圆且FP ⊥FQ ，可得PQ 为圆的直径，即可得到圆心必为PQ 中点M ，由此求出x 0=c −a 2c，根据点P ，Q 均在x 轴上方，可得e 2+e −1>0，解得即可． 【解答】解：(1)①设椭圆的焦距为2c ，由题意， 可得{ca=12,2b =2√3,a 2=b 2+c 2,解得a =2，b =√3，∴ 椭圆的方程为x 24+y 23=1；②由①可得，焦点F(1, 0)，准线为x =4， 设P(4, t)，Q(x 0, y 0)， 则x 024+y 023=1，∴ y 02=3−34x 02， ∴ FQ →=(x 0−1, y 0)，FP →=(3, t). ∵ FP ⊥FQ ，∴ FQ →⋅FP →=3(x 0−1)+ty 0=0， ∴ −ty 0=3(x 0−1)， ∴ k 1k 2=y 0x 0⋅y 0−tx−4=3−34x 02+3(x 0−1)x 02−4x 0=−34.(2)设P(a 2c, t)，Q(x 0, y 0)，∵ FP ⊥FQ ，则△FPQ 的外接圆即为 以PQ 为直径的圆(x −a 2c)(x −x 0)+(y −t)(y −y 0)=0，由题意，焦点F 和原点O 均在该圆上， ∴ {(c −a 2c )(c −x 0)+ty 0=0,a 2c x 0+ty 0=0,消去ty 0可得(c −a 2c)(c −x 0)−a 2cx 0=0，∴ x 0=c −a 2c.∵ 点P ，Q 均在x 轴上方， ∴ −a <c −a 2c<c ，即c 2+ac −a 2>0，∴ e 2+e −1>0. ∵ 0<e <1， ∴ √5−12<e <1.【答案】(1)解：由a n+1+(−1)n a n =n+52(n ∈N ∗)，可得{a 2−a 1=3,a 3+a 2=72,解得a 1+a 3=12．(2)①证明：∵ a n+1+(−1)n a n =n+52(n ∈N ∗)，∴ a 2n −a 2n−1=2n+42，a 2n+1+a 2n =2n+52，可得a 2n+1+a 2n−1=12．∴ 1=12+12=(a 1+a 3)+(a 3+a 5)=4a 3， 解得a 3=14， ∴ a 1=14，∴ a 2n−1−14=−(a 2n−3−14)=(−1)n−1(a 1−14)=0， 解得a 2n−1=14， 可得a 2n =n +94，∴ 数列{a 2n }为等差数列，公差为1． ②解：由①可得：a 2n+1=a 1， ∴ S 2n =a 1+a 2+……+a 2n=(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+……+(a 2n +a 2n+1) =∑n k=12k+52=n 22+3n ．由满足S 2p =4S 2m (p,m ∈N ∗)， 可得：p 22+3p =4(m 22+3m)，化为：(2m +p +9)(2m −p +3)=27， ∵ m ，p ∈N ∗，可得2m +p +9≥12，且2m +p +9，2m −p +3都为正整数， ∴ {2m +p +9=27,2m −p +3=1,解得p =10，m =4， 故所求的数对为(10, 4)． 【考点】 数列的求和 数列递推式 等差关系的确定 【解析】（1）由a n+1+(−1)na n =n+52(n ∈N ∗)，可得：{a 2−a 1=3a 3+a 2=72，可得a 1+a 3． （2）①a n+1+(−1)n a n =n+52(n ∈N ∗)，可得a 2n −a 2n−1=2n+42，a 2n+1+a 2n =2n+52，可得a 2n+1+a 2n−1=12．于是1=12+12=(a 1+a 3)+(a 3+a 5)=4a 3，解得a 3，a 1．利用a 2n−1−14=−(a 2n−3−14)=……=(−1)n−1(a 1−14)=0，解得a 2n−1，可得a 2n ．即可证明．②由①可得：a 2n+1=a 1，可得S 2n =a 1+a 2+……+a 2n =(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+……+(a 2n +a 2n+1)即可得出．由满足S 2p =4S 2m (p,m ∈N ∗)，可得：p22+3p =4(m 22+3m)，化为：(2m +p +9)(2m −p +3)=27，根据m ，p ∈N ∗，可得2m +p +9≥12，且2m +p +9，2m −p +3都为正整数，即可得出． 【解答】(1)解：由a n+1+(−1)n a n =n+52(n ∈N ∗)，可得{a 2−a 1=3,a 3+a 2=72,解得a 1+a 3=12．(2)①证明：∵ a n+1+(−1)n a n =n+52(n ∈N ∗)，∴ a 2n −a 2n−1=2n+42，a 2n+1+a 2n =2n+52，可得a 2n+1+a 2n−1=12．∴ 1=12+12=(a 1+a 3)+(a 3+a 5)=4a 3， 解得a 3=14， ∴ a 1=14，∴ a 2n−1−14=−(a 2n−3−14)=(−1)n−1(a 1−14)=0， 解得a 2n−1=14， 可得a 2n =n +94，∴ 数列{a 2n }为等差数列，公差为1． ②解：由①可得：a 2n+1=a 1， ∴ S 2n =a 1+a 2+……+a 2n=(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+……+(a 2n +a 2n+1) =∑n k=12k+52=n 22+3n ．由满足S 2p =4S 2m (p,m ∈N ∗)， 可得：p 22+3p =4(m 22+3m)，化为：(2m +p +9)(2m −p +3)=27， ∵ m ，p ∈N ∗，可得2m +p +9≥12，且2m +p +9，2m −p +3都为正整数， ∴ {2m +p +9=27,2m −p +3=1,解得p =10，m =4， 故所求的数对为(10, 4)． 【答案】解：(1)∵ f(x)=a|x|是D(3)型函数， ∴ 13<a|x|<3在[−3, −1]∪[1, 3]上恒成立， 即13|x|<a <3|x|在[−3, −1]∪[1, 3]上恒成立， 又|x|的取值范围为[1, 3]， ∴ {a <(3|x|)min =1,a >(13|x|)max =13,∴ a 的取值范围是(13, 1)．(2)g(x)是D(2)型函数．证明如下：①先证明g(x)<2：∵ g(x)=e x −x 2−x ，定义域D =(0, 2)． 记ℎ(x)=x 2+x+2e x，0<x <2，∴ ℎ′(x)=−(x 2−x+1)e x=−(x−12)2+34e x<0，∴ ℎ(x)在(0, 2)上是减函数， ∴ ℎ(x)>ℎ(2)=8e 2>1， ∴x 2+x+2e x>1，∴ e x −x 2−x <2， ∴ g(x)<2成立； ②再证明g(x)>12： 记r(x)=x 2+x+12e x，0<x <2，∴ r ′(x)=−(x 2−x−12)e x，令r ′(x)=0，得x =1+√32∈(0, 2)，记x 0=1+√32，则x 0+12=x 02，当0<x <x 0时，r ′(x)>0， 当x 0<x <2时，r ′(x)<0，∴ r(x)在(0, x 0)上为增函数，在(x 0, 2)上为减函数， ∴ r(x)max =r(x 0)=x 02+x 0+12e x 0=2x 02e x 0，要证g(x)>12，只要证r(x)<1， 只要证r(x)max <1，即证2x 02e x 0<1，即证(√2x 0)2<e x 0，即证2ln √2+2lnx 0<x 0(∗)， 为证明(∗)式，我们先证明x >1时，有lnx <x 2−12x，记p(x)=lnx −x 2−12x ，x >1，∴ p ′(x)=1x −12−12x2=−(x−1)22x 2<0，∴ p(x)在(1, +∞)上是减函数， ∴ p(x)<p(1)=0，即lnx <x 2−12x得证，∴ 2ln √2<22√2=√2，2lnx 0<2⋅x 02−12x 0=x 0−1x 0，故要证明(∗)式，只需证明√2+x 0−1x 0<x 0， 即证x 0<√2，而x 0=1+√32<√2，∴ g(x)>12．由①②得12<g(x)<2，故g(x)为D(2)型函数．【考点】函数新定义问题利用导数研究函数的最值 带绝对值的函数 函数恒成立问题利用导数研究函数的单调性 【解析】【解答】解：(1)∵ f(x)=a|x|是D(3)型函数， ∴ 13<a|x|<3在[−3, −1]∪[1, 3]上恒成立， 即13|x|<a <3|x|在[−3, −1]∪[1, 3]上恒成立， 又|x|的取值范围为[1, 3]， ∴ {a <(3|x|)min =1,a >(13|x|)max =13,∴ a 的取值范围是(13, 1)．(2)g(x)是D(2)型函数．证明如下：①先证明g(x)<2：∵ g(x)=e x −x 2−x ，定义域D =(0, 2)． 记ℎ(x)=x 2+x+2e x，0<x <2，∴ ℎ′(x)=−(x 2−x+1)e x=−(x−12)2+34e x<0，∴ ℎ(x)在(0, 2)上是减函数， ∴ ℎ(x)>ℎ(2)=8e 2>1， ∴x 2+x+2e x>1，∴ e x −x 2−x <2， ∴ g(x)<2成立； ②再证明g(x)>12： 记r(x)=x 2+x+12e x，0<x <2，∴ r ′(x)=−(x 2−x−12)e x，令r ′(x)=0，得x =1+√32∈(0, 2)，记x 0=1+√32，则x 0+12=x 02，当0<x <x 0时，r ′(x)>0， 当x 0<x <2时，r ′(x)<0，∴ r(x)在(0, x 0)上为增函数，在(x 0, 2)上为减函数， ∴ r(x)max =r(x 0)=x 02+x 0+12e x 0=2x 02e x 0，要证g(x)>12，只要证r(x)<1， 只要证r(x)max <1，即证2x 02e x 0<1，即证(√2x 0)2<e x 0，即证2ln √2+2lnx 0<x 0(∗)， 为证明(∗)式，我们先证明x >1时，有lnx <x 2−12x，记p(x)=lnx −x 2−12x ，x >1，∴ p ′(x)=1x −12−12x2=−(x−1)22x 2<0，∴ p(x)在(1, +∞)上是减函数， ∴ p(x)<p(1)=0，即lnx <x 2−12x得证，∴ 2ln √2<22√2=√2，2lnx 0<2⋅x 02−12x 0=x 0−1x 0，故要证明(∗)式，只需证明√2+x 0−1x 0<x 0， 即证x 0<√2，而x 0=1+√32<√2，∴ g(x)>12．由①②得12<g(x)<2，故g(x)为D(2)型函数．【选做题】本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲] 【答案】解：∵ 过点A ，B ，D 的圆O 与AC 相切， ∴ ∠CAD =∠ABC . 又∠ACD =∠BCA ， ∴ △ACD ∼△BCA ， ∴ ADAB =AC BC .∵ AB =3，BC =6，AC =4， ∴ AD3=46，解得AD =2． 【考点】圆锥曲线的切线和法线 相似三角形的性质 相似三角形的判定 圆的综合应用 【解析】推导出∠CAD =∠ABC ，∠ACD =∠BCA ，从而△ACD ∽△BCA ，进而ADAB =ACBC ，由此能求出AD ． 【解答】解：∵ 过点A ，B ，D 的圆O 与AC 相切， ∴ ∠CAD =∠ABC . 又∠ACD =∠BCA ， ∴ △ACD ∼△BCA ， ∴ ADAB =ACBC .∵ AB =3，BC =6，AC =4， ∴ AD3=46，解得AD =2．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分） 【答案】解：(1)由C =AB =[10−11][1203]=[12−11]， ∴ 矩阵C =[12−11].(2)设直线l 1:x +y =0上任意一点(x, y)在矩阵C 对应的变换作用下得到点(x′, y′)， 则[x ′y ′]=[12−11][xy ]， 其坐标变换为{x ′=x +2yy ′=−x +y，由此得{x =x ′−2y ′3,y =x ′+y ′3,代入x +y =0，得2x ′−y ′3=0，即2x′−y′=0，∴ 直线l 2的方程2x −y =0． 【考点】矩阵与矩阵的乘法的意义 矩阵变换的性质 【解析】（1）根据矩阵的乘法即可求得C ；（2）根据矩阵的坐标变换即可求得在矩阵C 对应的变换作用下得到点(x′, y′)，代入直线方程，即可求得l 2的方程． 【解答】解：(1)由C =AB =[10−11][1203]=[12−11]， ∴ 矩阵C =[12−11].(2)设直线l 1:x +y =0上任意一点(x, y)在矩阵C 对应的变换作用下得到点(x′, y′)， 则[x ′y ′]=[12−11][xy ]， 其坐标变换为{x ′=x +2yy ′=−x +y ， 由此得{x =x ′−2y ′3,y =x ′+y ′3, 代入x +y =0，得2x ′−y ′3=0，即2x′−y′=0，∴ 直线l 2的方程2x −y =0．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分） 【答案】解：∵ 直线l 的参数方程为{x =3+3t,y =1−4t （t 为参数），∴ 直线l 消去参数t ，得直线l 的普通方程为4x +3y −15=0. ∵ 圆C 的参数方程为{x =rcosθ,y =rsinθ (θ为参数，r >0)，∴ 圆C 消去参数θ，得圆C 的普通方程为x 2+y 2=r 2. ∵ 圆心C(0, 0)到直线l 的距离d =√16+9=3，直线l 被圆C 截得的弦长为4， ∴ r =√32+(42)2=√13．【考点】参数方程与普通方程的互化 直线与圆的位置关系点到直线的距离公式 【解析】直线l 消去参数t ，得直线l 的普通方程为4x +3y −15=0，圆C 消去参数θ，得圆C 的普通方程为x 2+y 2=r 2，求出圆心C(0, 0)到直线l 的距离d =√16+9=3，利用直线l 被圆C 截得的弦长为4，能求出r ． 【解答】解：∵ 直线l 的参数方程为{x =3+3t,y =1−4t （t 为参数），∴ 直线l 消去参数t ，得直线l 的普通方程为4x +3y −15=0. ∵ 圆C 的参数方程为{x =rcosθ,y =rsinθ (θ为参数，r >0)，∴ 圆C 消去参数θ，得圆C 的普通方程为x 2+y 2=r 2. ∵ 圆心C(0, 0)到直线l 的距离d =√16+9=3，直线l 被圆C 截得的弦长为4， ∴ r =√32+(42)2=√13．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 【答案】解：由柯西不等式，可得[a 2+(√2b)2+c 2][12+(√22)2+12]≥(a +b +c)2=25，即(a 2+2b 2+c 2)⋅52≥25， ∴ a 2+2b 2+c 2≥10，当且仅当a =2b =c 时取等号． 【考点】 柯西不等式 不等式的证明 【解析】利用柯西不等式进行证明． 【解答】解：由柯西不等式，可得[a 2+(√2b)2+c 2][12+(√22)2+12]≥(a +b +c)2=25，即(a 2+2b 2+c 2)⋅52≥25，∴ a 2+2b 2+c 2≥10，当且仅当a =2b =c 时取等号．【必做题】第25、26题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】解：(1)将4本不同的书放入编号为1，2，3，4的四个抽屉中， 共有44=256种不同放法，记“4本书恰好放在四个不同抽屉中”为事件A ， 则事件A 包含A 44=24个基本事件，∴P(A)=24256=332，∴4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率为332．(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，P(X=0)=3444=81256，P(X=1)=C41×3344=2764，P(X=2)=C42×3244=27128，P(X=3)=C43×344=364，P(X=4)=C4444=1256，∴X的分布列为：∴E(X)=0×81256+1×2764+2×27128+3×364+4×1256=1.【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列排列及排列数公式古典概型及其概率计算公式【解析】（1）将4本不同的书放入编号为1，2，3，4的四个抽屉中，共有44=256种不同放法，记“4本书恰好放在四个不同抽屉中”为事件A，则事件A包含A44=24个基本事件，由此能求出4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率．（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E(X)．【解答】解：(1)将4本不同的书放入编号为1，2，3，4的四个抽屉中，共有44=256种不同放法，记“4本书恰好放在四个不同抽屉中”为事件A，则事件A包含A44=24个基本事件，∴P(A)=24256=332，∴4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率为332．(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，P(X=0)=3444=81256，P(X=1)=C41×3344=2764，P(X =2)=C 42×3244=27128， P(X =3)=C 43×344=364， P(X =4)=C 4444=1256，∴ X 的分布列为：∴ E(X)=0×81256+1×2764+2×27128+3×364+4×1256=1.【答案】解：(1)抛物线的焦点为F(p 2, 0)，代入直线l 的方程y =43x −23，得2p 3−23=0，∴ p =1，即抛物线方程为y 2=2x ．联立方程组{y 2=2x,y =43x −23, 得2y 2−3y −2=0，解得y =2或y =−12，∵ A 在第一象限，∴ A(2, 2)．∴ 直线OA 的斜率为1．(2)由题意可知直线l 斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y =k(x −p 2)，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，C(−p, y 3)，AB 的中点M(x 0, y 0)，联立方程组{y 2=2px,y =k(x −p 2),消去y 得k 2x 2−(k 2p +2p)x +14k 2p 2=0，Δ=4p 2+4k 2p 2>0，∴ x 1+x 2=k 2p+2pk 2=p +2p k 2，∴ |AB|=x 1+x 2+p =2p +2p k 2=2p +3，∴ 2pk 2=3，|MC|=√(x 0+p)2+(y 0−y 3)2=√1+1k 2|x 0+p|，又x 0=x 1+x 22=p 2+p k 2， ∴ |MC|=√1+1k 2(3p 2+p k 2)=√1+32p (3p 2+32). ∵ △ABC 是边长为2p +3的正三角形，∴ |MC|=√32(2p +3)， 即√1+32p (3p 2+32)=√32(2p +3)， 即为√3(p+1)√2p =√2p +3，平方可得p 2=3，解得p =√3，∴ 抛物线的方程为y 2=2√3x .【考点】与抛物线有关的中点弦及弦长问题直线与抛物线结合的最值问题抛物线的性质抛物线的标准方程斜率的计算公式【解析】（1）把F(p2, 0)代入直线l 的方程求出p ，得出抛物线方程，联立方程组求出A 点坐标，从而得出OA 的斜率；（2）设直线l 斜率为k ，根据弦长公式得出k ，p 的关系，根据△ABC 为等边三角形列方程解出p 即可，【解答】解：(1)抛物线的焦点为F(p 2, 0)， 代入直线l 的方程y =43x −23， 得2p 3−23=0，∴ p =1，即抛物线方程为y 2=2x ．联立方程组{y 2=2x,y =43x −23,得2y 2−3y −2=0，解得y =2或y =−12，∵ A 在第一象限，∴ A(2, 2)．∴ 直线OA 的斜率为1．(2)由题意可知直线l 斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y =k(x −p 2)，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，C(−p, y 3)，AB 的中点M(x 0, y 0)，联立方程组{y 2=2px,y =k(x −p 2), 消去y 得k 2x 2−(k 2p +2p)x +14k 2p 2=0， Δ=4p 2+4k 2p 2>0， ∴ x 1+x 2=k 2p+2pk 2=p +2p k 2，∴ |AB|=x 1+x 2+p =2p +2p k 2=2p +3，∴ 2p k 2=3，|MC|=√(x 0+p)2+(y 0−y 3)2=√1+1k 2|x 0+p|， 又x 0=x 1+x 22=p 2+p k 2，∴ |MC|=√1+1k 2(3p 2+pk 2)=√1+32p (3p 2+32). ∵ △ABC 是边长为2p +3的正三角形， ∴ |MC|=√32(2p +3)， 即√1+32p (3p 2+32)=√32(2p +3)， 即为√3(p+1)√2p =√2p +3， 平方可得p 2=3， 解得p =√3，∴ 抛物线的方程为y 2=2√3x .。

2018年江苏省高考数学押题试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上）1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B={x|1＜x≤3}，则A∪B= ．2．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i=1﹣bi，则（a+bi）8= ．3．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差s2= ．4．若双曲线x2+my2=1过点（﹣，2），则该双曲线的虚轴长为．5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为．7．已知函数y=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，则该函数的解析式是．8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1交于E点．记四棱锥E﹣A1B1C1D1的体积为V1，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为V2，则的值是．9．已知实数x ，y 满足，则的取值范围是 ．10．已知{a n }，{b n }均为等比数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，总有=，则= ．11．已知平行四边形ABCD 中．∠BAD=120°，AB=1，AD=2，点P 是线段BC 上的一个动点，则•的取值范围是 ．12．如图，已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）上有一个点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF ⊥BF ，当∠ABF=时，椭圆的离心率为 ．13．在斜三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若+=，则的最大值为 ．14．对于实数a ，b ，定义运算“□”：a□b=设f （x ）=（x ﹣4）□（x ﹣4），若关于x 的方程|f （x ）﹣m|=1（m ∈R ）恰有四个互不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．设α为锐角，且cos （α+）=．（1）求cos （）的值；（2）求cos （2α﹣）的值．16．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CA=CB ，AA 1=AB ，D 是AB 的中点（1）求证：BC 1∥平面A 1CD ；（2）若点P 在线段BB 1上，且BP=BB 1，求证：AP ⊥平面A 1CD ．17．如图，直线l 是湖岸线，O 是l 上一点，弧是以O 为圆心的半圆形栈桥，C 为湖岸线l上一观景亭，现规划在湖中建一小岛D ，同时沿线段CD 和DP （点P 在半圆形栈桥上且不与点A ，B 重合）建栈桥，考虑到美观需要，设计方案为DP=DC ，∠CDP=60°且圆弧栈桥BP 在∠CDP 的内部，已知BC=2OB=2（km ），设湖岸BC 与直线栈桥CD ，DP 是圆弧栈桥BP 围成的区域（图中阴影部分）的面积为S （km 2），∠BOP=θ （1）求S 关于θ的函数关系式；（2）试判断S 是否存在最大值，若存在，求出对应的cosθ的值，若不存在，说明理由．18．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆（a＞b＞0）的离心率是e，定义直线y=为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为y=，长轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）点P在椭圆C的“类准线”上（但不在y轴上），过点P作圆O：x2+y2=3的切线l，过点O且垂直于OP的直线l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论．19．已知数列{an }满足2an+1=an+an+2+k（n∈N*，k∈R），且a1=2，a3+a5=﹣4．（1）若k=0，求数列{an }的前n项和Sn；（2）若a4=﹣1，求数列{an}的通项公式an．20．已知函数f（x）=e x（x3﹣2x2+（a+4）x﹣2a﹣4），其中a∈R，e为自然对数的底数．（1）关于x的不等式f（x）＜﹣e x在（﹣∞，2）上恒成立，求a的取值范围；（2）讨论函数f（x）极值点的个数．2018年江苏省高考数学押题试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上）1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B={x|1＜x≤3}，则A∪B= {x|﹣1≤x≤3} ．【考点】1D：并集及其运算．【分析】求解一元二次不等式化简集合A，然后直接利用并集运算得答案．【解答】解：由x2﹣x﹣2≤0，解得﹣1≤x≤2．∴A={x|﹣1≤x≤2}，又集合B={x|1＜x≤3}，∴A∪B={x|﹣1≤x≤3}，故答案为：{x|﹣1≤x≤3}，2．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i=1﹣bi，则（a+bi）8= 16 ．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数相等求得a，b的值，代入（a+bi）8，再由复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解答】解：由a+i=1﹣bi，得a=1，b=﹣1，从而（a+bi）8=（1﹣i）8=（﹣2i）4=16．故答案为：16．3．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差s2= ．【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】求出数据的平均数，从而求出方差即可．【解答】解：数据160，162，159，160，159的平均数是：160，则该组数据的方差s2=（02+22+12+02+12）=，故答案为：．4．若双曲线x2+my2=1过点（﹣，2），则该双曲线的虚轴长为 4 ．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据条件求出双曲线的标准方程即可得到结论．【解答】解：∵双曲线x2+my2=1过点（﹣，2），∴2+4m=1，即4m=﹣1，m=﹣，则双曲线的标准范围为x2﹣=1，则b=2，即双曲线的虚轴长2b=4，故答案为：4．5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为205 ．【考点】E5：顺序结构．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件i=2n+1，n∈N，i=i+2≥100时，S=2i+3的值【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件i=2n+1，n∈N，i=i+2≥100时，S=2i+3的值，∵i+2=101时，满足条件，∴输出的S值为S=2×101+3=205．故答案为：205．6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式．【分析】利用列举法求出甲、乙两人各抽取1张的基本事件的个数和两人都中奖包含的基本事件的个数，由此能求出两人都中奖的概率．【解答】解：设一、二等奖各用A，B表示，另1张无奖用C表示，甲、乙两人各抽取1张的基本事件有AB，AC，BA，BC，CA，CB共6个，其中两人都中奖的有AB，BA共2个，故所求的概率P=．故答案为：．7．已知函数y=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，则该函数的解析式是y=2sin（x+）．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图可知，A=2，由点（0，1）在函数的图象上，可得sinφ=，利用五点作图法可解得φ，又点（﹣，0）在函数的图象上，可得﹣ω+=kπ，k∈Z，进而解得ω，从而得解该函数的解析式．【解答】解：∵由图知A=2，y=2sin（ωx+φ），∵点（0，1），在函数的图象上，∴2sinφ=1，解得：sinφ=，∴利用五点作图法可得：φ=，∵点（﹣，0），在函数的图象上，可得：2sin（﹣ω+）=0，∴可得：﹣ω+=kπ，k∈Z，解得：ω=﹣，k∈Z，∵ω＞0，∴当k=0时，ω=，∴y=2sin（x+）．故答案为：y=2sin（x+）．8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1交于E点．记四棱锥E﹣A1B1C1D1的体积为V1，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为V2，则的值是．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】连接B1D1∩A1C1=F，证明以E是△A1BC1的重心，那么点E到平面A1B1C1D1的距离是BB1的，利用体积公式，即可得出结论．【解答】解：连接B1D1∩A1C1=F，平面A1BC1∩平面BDD1B1=BF，因为E∈平面A1BC1，E∈平面BDD1B1，所以E∈BF，连接BD，因为F是A1C1的中点，所以BF是中线，又根据B1F平行且等于BD，所以=，所以E是△A1BC1的重心，那么点E到平面A1B1C1D1的距离是BB1的，所以V1=×BB1，而V2=×BB1，所以=．故答案为：．9．已知实数x，y满足，则的取值范围是[1，] ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，的几何意义是区域内的点到定点D（0，﹣1）的斜率，由图象知，AD的斜率最大，BD的斜率最小，此时最小值为1，由得，即A（1，），此时AD的斜率k==，即1≤≤，故的取值范围是[1，]故答案为：[1，]10．已知{a n }，{b n }均为等比数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，总有=，则= 9 ．【考点】8E ：数列的求和．【分析】设{a n }，{b n }的公比分别为q ，q′，利用=，求出q=9，q′=3，可得=3，即可求得结论．【解答】解：设{a n }，{b n }的公比分别为q ，q′，∵=，∴n=1时，a 1=b 1．n=2时，．n=3时，．∴2q ﹣5q′=3，7q′2+7q′﹣q 2﹣q+6=0， 解得：q=9，q′=3，∴．故答案为：9．11．已知平行四边形ABCD中．∠BAD=120°，AB=1，AD=2，点P是线段BC上的一个动点，则•的取值范围是[﹣，2] ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】以为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，建立如图所述的直角坐标系，作AE⊥BC，垂足为E，求出A（，），D（，），设点P（x，0），0≤x≤2，根据向量的坐标运算以及向量的数量积的运算得到•=（x﹣）2﹣，根据二次函数的性质即可求出答案．【解答】解：以B为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，建立如图所述的直角坐标系，作AE ⊥BC，垂足为E，∵∠BAD=120°，AB=1，AD=2，∴∠ABC=60°，∴AE=，BE=，∴A（，），D（，），∵点P是线段BC上的一个动点，设点P（x，0），0≤x≤2，∴=（x﹣，﹣），=（x﹣，﹣），∴•=（x﹣）（x﹣）+=（x﹣）2﹣，∴当x=时，有最小值，最小值为﹣，当x=0时，有最大值，最大值为2，则•的取值范围为[﹣，2]，故答案为：[﹣，2]．12．如图，已知椭圆+=1（a＞b＞0）上有一个点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且满足AF⊥BF，当∠ABF=时，椭圆的离心率为．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设椭圆的左焦点为F1，连结AF1，BF1，通过|AB|=|F1F|=2c，所以在Rt△ABF中，|AF|=2csin，|BF|=2ccos，由椭圆定义，转化求解离心率即可．【解答】解：设椭圆的左焦点为F1，连结AF1，BF1，由对称性及AF⊥BF可知，四边形AFBF1是矩形，所以|AB|=|F1F|=2c，所以在Rt△ABF中，|AF|=2csin，|BF|=2ccos，由椭圆定义得：2c（cos+sin）=2a，即：e====．故答案为：．13．在斜三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若+=，则的最大值为．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】由+=可得， +=，通分化简，根据正弦定理及余弦定理在化简，利用基本不等式的性质求解．【解答】解：由+=可得， +=，即=，∴=，即=，∴sin2C=sinAsinBcosC．根据正弦定理及余弦定理可得，c2=ab•，整理得a2+b2=3c2，∴=≤=，当且仅当a=b时等号成立．故答案为．14．对于实数a，b，定义运算“□”：a□b=设f（x）=（x﹣4）□（x﹣4），若关于x的方程|f（x）﹣m|=1（m∈R）恰有四个互不相等的实数根，则实数m的取值范围是（﹣1，1）∪（2，4）．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】根据新定义得出f（x）的解析式，作出f（x）的函数图象，则f（x）与y=m±1共有4个交点，根据图象列出不等式组解出．【解答】解：解不等式x﹣4≤﹣4得x≥0，f（x）=，画出函数f（x）的大致图象如图所示．因为关于x的方程|f（x）﹣m|=1（m∈R），即f（x）=m±1（m∈R）恰有四个互不相等的实数根，所以两直线y=m±1（m∈R）与曲线y=f（x）共有四个不同的交点，∴或或，解得2＜m＜4或﹣1＜m＜1．故答案为（﹣1，1）∪（2，4）．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．设α为锐角，且cos（α+）=．（1）求cos（）的值；（2）求cos（2α﹣）的值．【考点】GP：两角和与差的余弦函数．【分析】（1）由已知及同角三角函数基本关系式可求sin（α+），利用诱导公式即可得解cos（）的值．（2）利用诱导公式可求sin（），由2α=（α+）﹣（），利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵α为锐角，∴α+∈（，）．又cos（α+）=，故sin（α+）=，…4分∴cos（）=cos[﹣（α+）]=sin（α+）=，…6分（2）又sin（）=﹣sin[﹣（α+）]=﹣cos（α+）=﹣，…8分故cos（2α）=cos[（α+）﹣（）]=cos（α+）cos（）﹣sin（α+）sin（）=×﹣×（﹣）=…14分16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AA1=AB，D是AB的中点（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）若点P在线段BB1上，且BP=BB1，求证：AP⊥平面A1CD．【考点】LW：直线与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接AC1，设与CA1交于O点，连接OD，由O为AC1的中点，D是AB的中点，可得OD∥BC1，即可证明BC1∥平面A1CD．（2）法一：设AB=x，则证明△ABP∽△ADA1，可得AP⊥A1D，又由线面垂直的性质可得CD⊥AP，从而可证AP⊥平面A1CD；法二：由题意，取A1B1的中点O，连接OC1，OD，分别以OC1，OA1，OD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设OA1=a，OC1=b，由题意可得各点坐标，可求=（b，﹣a，2），=（0．﹣a，2），=（0，﹣2a，﹣），由•=0，•=0，即可证明AP⊥平面A1CD．【解答】证明：（1）如图，连接AC1，设与CA1交于O点，连接OD∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，O为AC1的中点，∵D是AB的中点，∴△ABC1中，OD∥BC1，又∵OD⊂平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD．（2）法一：由题意，设AB=x，则BP=x，AD=x，A1A=x，由于=，∴△ABP∽△ADA1，可得∠BAP=∠AA1D，∵∠DA1A+∠ADA1=90°，可得：AP⊥A1D，又∵CD⊥AB，CD⊥BB1，可得CD⊥平面ABA1B1，∴CD⊥AP，∴AP⊥平面A1CD．法二：由题意，取A1B1的中点O，连接OC1，OD，分别以OC1，OA1，OD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设OA1=a，OC1=b，则：由题意可得各点坐标为：A1（0，a，0），C（b，0，2a），D（0，0，2），P（0，﹣a，），A（0，a，2），可得： =（b，﹣a，2），=（0．﹣a，2），=（0，﹣2a，﹣），所以：由•=0，可得：AP⊥A1C，由•=0，可得：AP⊥A1D，又：A1 C∩A1D=A1，所以：AP⊥平面A1CD17．如图，直线l是湖岸线，O是l上一点，弧是以O为圆心的半圆形栈桥，C为湖岸线l 上一观景亭，现规划在湖中建一小岛D，同时沿线段CD和DP（点P在半圆形栈桥上且不与点A，B重合）建栈桥，考虑到美观需要，设计方案为DP=DC，∠CDP=60°且圆弧栈桥BP在∠CDP 的内部，已知BC=2OB=2（km），设湖岸BC与直线栈桥CD，DP是圆弧栈桥BP围成的区域（图中阴影部分）的面积为S（km2），∠BOP=θ（1）求S关于θ的函数关系式；（2）试判断S是否存在最大值，若存在，求出对应的cosθ的值，若不存在，说明理由．【考点】HN ：在实际问题中建立三角函数模型．【分析】（1）根据余弦定理和和三角形的面积公式，即可表示函数关系式，（2）存在，存在，S′=（3cosθ+3sinθ﹣1），根据两角和差的余弦公式即可求出．【解答】解：（1）在△COP 中，CP 2=CO 2+OP 2﹣2OC •OPcosθ=10﹣6cosθ，从而△CDP 得面积S △CDP =CP 2=（5﹣3cosθ），又因为△COP 得面积S △COP =OC •OP=sinθ，所以S=S △CDP +S △COP ﹣S 扇形OBP=（3sinθ﹣3cosθ﹣θ）+，0＜θ＜θ0＜π，cosθ0=，当DP 所在的直线与半圆相切时，设θ取的最大值为θ0，此时在△COP 中，OP=1，OC=3，∠CPO=30°，CP==6sinθ0，cosθ0=，（2）存在，S′=（3cosθ+3sinθ﹣1），令S′=0，得sin （θ+）=，当0＜θ＜θ0＜π，S′＞0，所以当θ=θ0时，S 取得最大值，此时cos （θ0+）=﹣，∴cosθ0=cos[（θ0+）﹣]=cos （θ0+）cos+sin （θ0+）sin=18．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆（a ＞b ＞0）的离心率是e ，定义直线y=为椭圆的“类准线”，已知椭圆C 的“类准线”方程为y=，长轴长为4．（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 在椭圆C 的“类准线”上（但不在y 轴上），过点P 作圆O ：x 2+y 2=3的切线l ，过点O 且垂直于OP 的直线l 交于点A ，问点A 是否在椭圆C 上？证明你的结论． 【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意列关于a ，b ，c 的方程，联立方程组求得a 2=4，b 2=3，c 2=1，则椭圆方程可求；（2）设P （x 0，2）（x 0≠0），当x 0=时和x 0=﹣时，求出A 的坐标，代入椭圆方程验证知，A 在椭圆上，当x 0≠±时，求出过点O 且垂直于0P 的直线与椭圆的交点，写出该交点与P 点的连线所在直线方程，由原点到直线的距离等于圆的半径说明直线是圆的切线，从而说明点A 在椭圆C 上．【解答】解：（1）由题意得： ==2，2a=4，又a 2=b 2+c 2，联立以上可得： a 2=4，b 2=3，c 2=1．∴椭圆C 的方程为+y 2=1；（2）如图，由（1）可知，椭圆的类准线方程为y=±2，不妨取y=2，设P （x 0，2）（x 0≠0），则k OP =，∴过原点且与OP 垂直的直线方程为y=﹣x ，当x 0=时，过P 点的圆的切线方程为x=，过原点且与OP 垂直的直线方程为y=﹣x ，联立，解得：A （，﹣），代入椭圆方程成立；同理可得，当x 0=﹣时，点A 在椭圆上；当x 0≠±时，联立，解得A 1（，﹣），A 2（﹣，），PA 1所在直线方程为（2+x 0）x ﹣（x 0﹣6）y ﹣x 02﹣12=0．此时原点O到该直线的距离d==，∴说明A点在椭圆C上；同理说明另一种情况的A也在椭圆C上．综上可得，点A在椭圆C上．19．已知数列{an }满足2an+1=an+an+2+k（n∈N*，k∈R），且a1=2，a3+a5=﹣4．（1）若k=0，求数列{an }的前n项和Sn；（2）若a4=﹣1，求数列{an}的通项公式an．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（1）若k=0，则数列{an }满足2an+1=an+an+2（n∈N*，k∈R），则数列{an}是等差数列，利用等差数列的前n项和公式即可得出．（2）2an+1=an+an+2+k（n∈N*，k∈R），a3+a5=﹣4，a4=﹣1，可得2a4=a3+a5+k，k=2．数列{an}满足2an+1=an+an+2+2，利用递推关系可得：2（an+1﹣an）=（an﹣an﹣1）+（an+2﹣an+1），令bn=an+1﹣an，则2bn =bn﹣1+bn+1．数列{bn}是等差数列，即可得出．【解答】解：（1）若k=0，则数列{an }满足2an+1=an+an+2（n∈N*，k∈R），∴数列{an}是等差数列，设公差为d，∵a1=2，a3+a5=﹣4．∴2×2+6d=﹣4，解得d=．∴Sn=2n×=．（2）2an+1=an+an+2+k（n∈N*，k∈R），a3+a5=﹣4，a4=﹣1，则2a4=a3+a5+k，﹣2=﹣4+k，解得k=2．数列{a n }满足2a n+1=a n +a n+2+2， 当n ≥2时，2a n =a n ﹣1+a n+1+2，相减可得：2（a n+1﹣a n ）=（a n ﹣a n ﹣1）+（a n+2﹣a n+1）， 令b n =a n+1﹣a n ， 则2b n =b n ﹣1+b n+1．∴数列{b n }是等差数列，公差=b 4﹣b 3=（a 5﹣a 4）﹣（a 4﹣a 3）=﹣2． 首项为b 1=a 2﹣a 1，b 2=a 3﹣a 2，b 3=a 4﹣a 3， 由2b 2=b 1+b 3，可得2（a 3﹣a 2）=a 2﹣2﹣1﹣a 3， 解得3（a 3﹣a 2）=﹣3，b 2=a 3﹣a 2=﹣1． ∴b n =b 2+（n ﹣2）（﹣2）=﹣2n+3． ∴a n+1﹣a n =﹣2n+3．∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1 =[﹣2（n ﹣1）+3]+[﹣2（n ﹣2）+3]+…+（﹣2+3）+2=+2=﹣n 2+4n ﹣1．20．已知函数f （x ）=e x （x 3﹣2x 2+（a+4）x ﹣2a ﹣4），其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．（1）关于x 的不等式f （x ）＜﹣e x 在（﹣∞，2）上恒成立，求a 的取值范围； （2）讨论函数f （x ）极值点的个数．【考点】6D ：利用导数研究函数的极值；3R ：函数恒成立问题．【分析】（1）原不等式转化为所以a ＞﹣（x ﹣2）2，根据函数的单调性即可求出a 的范围， （2）先求导，再构造函数，进行分类讨论，利用导数和函数的极值的关系即可判断．【解答】解：（1）由f （x ）＜﹣e x ，得e x （x 3﹣2x 2+（a+4）x ﹣2a ﹣4）＜﹣e x ， 即x 3﹣6x 2+（3a+12）x ﹣6a ﹣8＜0对任意x ∈（﹣∞，2）恒成立， 即（6﹣3x ）a ＞x 3﹣6x 2+12x ﹣8对任意x ∈（﹣∞，2）恒成立，因为x ＜2，所以a ＞=﹣（x ﹣2）2，记g（x）=﹣（x﹣2）2，因为g（x）在（﹣∞，2）上单调递增，且g（2）=0，所以a≥0，即a的取值范围为[0，+∞）；（2）由题意，可得f′（x）=e x（x3﹣x2+ax﹣a），可知f（x）只有一个极值点或有三个极值点．令g（x）=x3﹣x2+ax﹣a，①若f（x）有且仅有一个极值点，则函数g（x）的图象必穿过x轴且只穿过一次，即g（x）为单调递增函数或者g（x）极值同号．（ⅰ）当g（x）为单调递增函数时，g′（x）=x2﹣2x+a≥0在R上恒成立，得a≥1．（ⅱ）当g（x）极值同号时，设x1，x2为极值点，则g（x1）•g（x2）≥0，由g′（x）=x2﹣2x+a=0有解，得a＜1，且x12﹣2x1+a=0，x22﹣2x2+a=0，所以x1+x2=2，x1x2=a，所以g（x1）=x13﹣2x12﹣2+ax1﹣a=x1（2x1﹣a）﹣x1+ax1﹣a=﹣（2x1﹣a）﹣ax1+ax1﹣a= [（a﹣1）x1﹣a]，同理，g（x2）= [（a﹣1）x2﹣a]，所以g（x1）g（x2）= [（a﹣1）x1﹣a]• [（a﹣1）x2﹣a]≥0，化简得（a﹣1）2x1x2﹣a（a﹣1）（x1+x2）+a2≥0，所以（a﹣1）2a﹣2a（a﹣1）+a2≥0，即a≥0，所以0≤a＜1．所以，当a≥0时，f（x）有且仅有一个极值点；②若f（x）有三个极值点，则函数g（x）的图象必穿过x轴且穿过三次，同理可得a＜0．综上，当a≥0时，f（x）有且仅有一个极值点，当a＜0时，f（x）有三个极值点．。

江苏省2018年普通高等学校招生全国统一考试数学答案解析一、填空题1.【答案】{1,8}【解析】观察两个集合即可求解。

【考点】集合的交集运算2.【答案】2【解析】2i (i)i i i 12i a b a b a b +=+=-=+，故2,1,2i a b z ==-=-.【考点】复数的运算 3.【答案】90【解析】8989909191905++++= 【考点】茎叶图，数据的平均数4.【答案】8【解析】代入程序前11I S =⎧⎨=⎩符合6I <， 第一次代入后32I S =⎧⎨=⎩，符合6I <，继续代入； 第二次代入后54I S =⎧⎨=⎩，符合6I <，继续代入， 第三次代入后78I S =⎧⎨=⎩，不符合6I <，输出结果8S =，故最后输出S 的值为8.【考点】伪代码5.【答案】[2,)+∞【解析】2log 100x x -⎧⎨>⎩≥，解之得2x ≥，即[2,)+∞. 【考点】函数的定义域，对数函数6.【答案】310【解析】假设3名女生为,,a b c ，男生为,d e ，恰好选中2名女生的情况有：选a 和b ，a 和c ，b 和c 三种。

总情况有a 和b ，a 和c ，a 和d ，a 和e ，b 和c ，b 和d ，b 和e ，c 和d ，c 和e ，d 和e 这10种，两者相比即为答案310【考点】古典概型7.【答案】：6π- 【解析】函数的对称轴为+k 2ππ+()2k k ππ∈Z ， 故把3x π=代入得2,326k k πππϕπϕπ+=+=-+ 因为22ππϕ-<<，所以0,6k πϕ==-.【考点】正弦函数的图像和性质8.【答案】2 【解析】由题意画图可知，渐近线b y x a=与坐标轴的夹角为60。

故22224b c a b a a ==+=，故2c e a==. 【考点】双曲线的几何性质9.【答案】2【解析】因为(4)()f x f x +=，函数的周期为4， 所以11(15)(1),(1)122f f f =--=-+=∴1((15))cos 242ff f f π⎛⎫===⎪⎝⎭.【考点】分段函数，函数的性质，函数值的求解10.【答案】4 3【解析】平面ABCD为底面边长，高为1的正四棱锥，141233⨯⨯=.【考点】空间几何体的结构，体积的计算11.【答案】3-【解析】3221()212f x x ax a xx=-+⇒=+令'322312()2,()20231g x x g x x xx x=+=->⇒-+在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增∵有唯一零点∴32(1)213()231a g f x x x==+=⇒=-+求导可知在[1,1]-上，min max()(1)4,()(0)1f x f f x f=-=-==∴min max()()3f x f x+=-【考点】函数零点，导数在函数性质中的应用12.【答案】3【解析】∵AB为直径∴AD BD⊥∴BD即B到直线l的距离。

2018年江苏高考数学试题数学Ⅰ试题参考公式:圆柱的侧面积公式:S 圆柱=cl , 其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长.圆柱的体积公式:V 圆柱=Sh ,其中S 是圆柱的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，则A B = ．【答案】{13}-， 2．已知复数2(52)z i =+(i 为虚数单位)，则z 的实部为 ．【答案】213．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 ．【答案】54．从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的 概率是 ． 【答案】135．已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 ． 【答案】6π 6．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株树木的底部周长小于100 cm ．【答案】247．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是 ．【答案】48．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，，体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等，且1294S S =，则12V V 的值是 ． 【答案】329．在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为 ．。

1．5【解析】分析：利用集合的包含关系，推出m是A的元素，求解即可.解析：集合，，若，可得，.故答案为：5点睛：对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．点睛：复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．3．22【解析】分析：由频率分布直方图先求出用电量落在区间内的频率，由此能求出用电量落在区间内的户数.解析：由频率分布直方图得：用电量落在区间内的频率为：1-（0.0024+0.0036+0.0024+0.0012）50=0.22，用电量落在区间内的户数为：1000.22=22.故答案为：22.点睛：明确频率分布直方图的意义，即图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1.4．【解析】试题分析：从四个数中任取两个数共有六种可能,其中一个数是另一个的两倍的可能只有一种,所以其概率为,即概率是.考点：列举法、古典型概率公式及运用.5．7【解析】分析：直接利用程序框图的循环结构求出结果.解析：在执行循环前：k=1，S=1.执行第一次循环时： S=1，k=3.执行第二次循环时： S=3，k=5.执行第三次循环时：S=15，k=7.由于S>10，输出k=7.故答案为：7.点睛：（1）条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能，然后根据“是”的分支成立的条件进行判断；（2）对条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执行两个分支．6．【解析】分析：离心率公式计算可得m，再由渐近线方程即可得到所求方程.渐近线方程为.故答案为：.点睛：区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c大小关系，在椭圆中，而在双曲线中.7．【解析】分析：先根据约束条件画出可行域，求出可行域顶点的坐标，再利用几何意义求面积即可.解析：画出可行域，如图所示：点睛：二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．8．-81【解析】分析：利用与的关系式求出的通项公式即可得到答案.解析：，当时，，当时，，即，是以首项为-3，公比为3的等比数列...故答案为：-81.点睛：强调与的关系.9．【解析】分析：由圆锥的几何特征，现用一半径为，面积为的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，圆锥的母线长等于扇形的半径，由此计算出圆锥的高，代入圆锥体积公式，即可求出答案.点睛：涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．10．120°【解析】分析：先设与的夹角为，根据题意，易得，将其代入中易得，进而由数量积的运算，可得的值，从而可得答案.解析：设与的夹角为，，则，，.，。

2018年江苏高考数学试题预测卷及答案(3)
5 c BcD的体积为1
17解（1）∵ , 时，
时，，∴ ∴ 。

（2）令
当，即时，；
当，即时，。

所以
（3）当时，是增函数，；
当时，是增函数，
综上所述，市中心污染指数是，没有超标
18解由相似三角形知，，，
∴ ，。

(1) ，∴ ,在上单调递减
∴ 时，最小，时，最小，
∴ ，∴
(2) 当时，，∴ ，∴
∵ ,∴ 是圆的直径，圆心是的中点，
∴在轴上截得的弦长就是直径，∴ =6
又，∴
∴ ,圆心 ,半径为3，
（3）椭圆方程是，右准线方程为，∵直线A,AN是圆Q的两条切线，∴切点,N在以AQ为直径的圆上。

设A点坐标为，∴该圆方程为。

∴直线N是两圆的共弦，两圆方程相减得，这就是直线N的方程。

该直线化为
∴直线N必过定点。

19、解（1）∵ ，，。

江苏省2018年普通高等学校招生全国统一考试数学答案解析一、填空题1.【答案】{1,8}【解析】观察两个集合即可求解。

【考点】集合的交集运算2.【答案】2【解析】2i (i)i i i 12i a b a b a b +=+=-=+g，故2,1,2i a b z ==-=-. 【考点】复数的运算 3.【答案】90【解析】8989909191905++++= 【考点】茎叶图，数据的平均数4.【答案】8【解析】代入程序前11I S =⎧⎨=⎩符合6I <， 第一次代入后32I S =⎧⎨=⎩，符合6I <，继续代入； 第二次代入后54I S =⎧⎨=⎩，符合6I <，继续代入， 第三次代入后78I S =⎧⎨=⎩，不符合6I <，输出结果8S =， 故最后输出S 的值为8.【考点】伪代码5.【答案】[2,)+∞【解析】2log 100x x -⎧⎨>⎩≥，解之得2x ≥，即[2,)+∞. 【考点】函数的定义域，对数函数6.【答案】310【解析】假设3名女生为,,a b c ，男生为,d e ，恰好选中2名女生的情况有：选a 和b ，a 和c ，b 和c 三种。

总情况有a 和b ，a 和c ，a 和d ，a 和e ，b 和c ，b 和d ，b 和e ，c 和d ，c 和e ，d 和e 这10种，两者相比即为答案310【考点】古典概型7.【答案】：6π- 【解析】函数的对称轴为+k 2ππ+()2k k ππ∈Z ， 故把3x π=代入得2,326k k πππϕπϕπ+=+=-+ 因为22ππϕ-<<，所以0,6k πϕ==-.【考点】正弦函数的图像和性质8.【答案】2 【解析】由题意画图可知，渐近线b y x a=与坐标轴的夹角为60o 。

故22224b c a b a a =+=，故2c e a==. 【考点】双曲线的几何性质9.【答案】2【解析】因为(4)()f x f x +=，函数的周期为4， 所以11(15)(1),(1)122f f f =--=-+=∴1((15))cos 242ff f f π⎛⎫=== ⎪⎝⎭.【考点】分段函数，函数的性质，函数值的求解10.【答案】4 3【解析】平面ABCD为底面边长，高为1的正四棱锥，141233⨯⨯=.【考点】空间几何体的结构，体积的计算11.【答案】3-【解析】3221()212f x x ax a xx=-+⇒=+令'322312()2,()20231g x x g x x xx x=+=->⇒-+在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增∵有唯一零点∴32(1)213()231a g f x x x==+=⇒=-+求导可知在[1,1]-上，min max()(1)4,()(0)1f x f f x f=-=-==∴min max()()3f x f x+=-【考点】函数零点，导数在函数性质中的应用12.【答案】3【解析】∵AB为直径∴AD BD⊥∴BD即B到直线l的距离。

2018年江苏省苏州市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.1. 已知集合A={−1, 3, m}，B={3, 5}，若B⊆A，则实数m的值为________．2.已知i是虚数单位，复数1+ai2−i的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________．3. 从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现用电量都在50度到350度之间，由此制成频率分布直方图如图所示．在这些用户中，用电量落在区间[200, 250)内的户数为________．4. 从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是________．5. 如图是一个算法的流程图，则输出的k的值为________．6. 已知双曲线x2m −y24=1(m>0)的离心率为√3，则其渐近线方程为________．7. 若不等式组{x≥0,x+3y≥4,3x+y≤4,所表示的平面区域被直线y=kx+43分为面积相等的两部分，则k的值是________．8. 若数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =32(1+a n )(n ∈N ∗)，则a 4的值为________．9.现用一半径为10cm ，面积为80πcm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为________cm 3．10. 已知向量a →=(1,2)，b →=(−2,−4)，|c →|=√5，若(a →+b →)c →=52，则a →与c →的夹角为________．11. 设正实数x ，y 满足xy =x+9y y−x ，则y 的最小值是________．12. 已知圆C:x 2+(y −4)2=4和点Q(2, 2)，过点P(0, 3)作直线l 交圆于A ，B 两点，则|QA →+QB →|的取值范围是________．13. 如果函数y =f(x)在其定义域内总存在三个不同实数x 1，x 2，x 3，满足|x i −2|f(x i )=1(i =1, 2, 3)，则称函数f(x)具有性质Ω．已知函数f(x)=ae x 具有性质Ω，则实数a 的取值范围为________．14. 已知实数a ，b ，c ∈[−2, 2]，且满足a +b +c =0，则a 3+b 3+c 3的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．已知△ABC 中，若角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，满足a +1a +4cosC =0，b =1．(1)若△ABC 的面积为√32，求a ；(2)若A =π6，求△ABC 的面积．如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，点P 为DN 的中点，点E 为AB 的中点．(1)求证：BD ⊥MC ；(2)求证：AP // 平面NEC ．如图是一“T ”型水渠的平面视图（俯视图），水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4m ，东西向渠宽√2m （从拐角处，即图中A ，B 处开始）．假定渠内的水面始终保持水平位置（即无高度差）．(1)在水平面内，过点A 的一条直线与水渠的内壁交于P ，Q 两点，且与水渠的一边的夹角为θ(0<θ<π2)，将线段PQ 的长度l 表示为θ的函数；(2)若从南面漂来一根长为7m 的笔直的竹竿（粗细不计），竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠（不会卡住）？请说明理由．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，一条准线方程为x =2．P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q ．(1)求椭圆C 的方程；(2)若点P 的坐标为(0, b)，求过P ，Q ，F 2三点的圆的方程；(3)若F 1P →=λQF 1→，且λ∈[12, 2]，求OP →⋅OQ →的最大值．已知数列{a n }，{b n }满足：对于任意的正整数n ，当n ≥2时，a n 2+b n a n−12=2n +1．(1)若b n =(−1)n ，求a 12+a 22+⋯+a 82的值；(2)若数列{a n }的各项均为正数，且a 1=2，b n =−1，设S n =14∑n i=12a i ，T n =√a 1a 2⋯a n ，若对任意n ∈N ∗，Sn T n ≤λ恒成立，求λ的最小值．已知函数f(x)=x 3−3x 2+ax +3，f(x)在x 1处取极大值，在x 2处取极小值．(1)若a =0，求函数f(x)的单调区间和零点个数；(2)在方程f(x)=f(x 1)的解中，较大的一个记为x 3；在方程f(x)=f(x 2)的解中，较小的一个记为x 4，证明：x 4−x 1x 3−x 2为定值；(3)证明：当a ≥1时，f(x)>lnx ．参考答案与试题解析2018年江苏省苏州市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.1.【答案】5【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】此题暂无解析【解答】解：∵A={−1,3,m}，B={3,5}，若B⊆A，可得m∈B，∴m=5．故答案为：5．2.【答案】−3【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部加虚部为0求解．【解答】解：∵1+ai2−i =(1+ai)(2+i)(2−i)(2+i)=2−a5+2a+15i的实部与虚部互为相反数，∴2−a5+2a+15=0，即a=−3．故答案为：−3.3.【答案】22【考点】频率分布直方图【解析】此题暂无解析【解答】解：由频率分布直方图得用电量落在区间[200,250)内的频率为：1−(0.0024+0.0036+0.0060+0.0024+0.0012)×50=0.22，∴用电量落在区间[200,250)内的户数为100×0.22=22．故答案为：22．4.【答案】13【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】根据题意，首先用列举法列举从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数的全部情况，可得其情况数目，进而可得其中一个数是另一个的两倍的情况数目，由古典概型的公式，计算可得答案．【解答】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，有(1, 2)，(1, 3)，(1, 4)，(2, 3)，(2, 4)，(3, 4)，共6种情况，其中一个数是另一个的两倍的有两种，即(1, 2)，(2, 4)，则其概率为26=13.故答案为：13.5.【答案】7【考点】程序框图【解析】直接利用程序框图的循环结构求出结果．【解答】解：在执行循环前：k=1，S=1，执行第一次循环时：S=1，k=3，执行第二次循环时，S=3，k=5，执行第三次循环时，S=15，k=7．由于：S>10，输出k=7.故答案为：7.6.【答案】y=±√2x【考点】双曲线的渐近线【解析】离心率公式计算可得m，再由渐近线方程即可得到所求方程．【解答】解：双曲线x2m −y24=1(m>0)的离心率为√3，可得a=√m，b=2，c=√m+4，由题意可得e=ca =√m+4m=√3，解方程可得m=2，即双曲线的方程为x22−y24=1，即有渐近线方程为y=±√2x．故答案为：y =±√2x ．7.【答案】73【考点】含参线性规划问题简单线性规划【解析】先根据约束条件，画出可行域，求出可行域顶点的坐标，再利用几何意义求面积即可【解答】解：不等式组{x ≥0,x +3y ≥4,3x +y ≤4,所表示的平面区域如图所示：由图可知，直线y =kx +43恒经过点A(0, 43)，当直线y =kx +43在经过BC 的中点D(12, 52)时，平面区域被直线y =kx +43分为面积相等的两部分，当x =12，y =52时，代入直线y =kx +43的方程得k =73.故答案为：73.8.【答案】−81【考点】等比数列的通项公式【解析】n =1时，a 1=S 1，当n ≥2时，a n =S n −S n−1，结合等比数列的定义和通项公式，计算可得所求值．【解答】解：数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =32(1+a n )(n ∈N ∗)，可得n =1时，a 1=S 1=32(1+a 1)，解得a 1=−3，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=32(1+a n )−32(1+a n−1)，即有a n =3a n−1，可得{a n }为以−3为首项，3为公比的等比数列，综上有a n =−3⋅3n−1=−3n ，则a 4=−81.故答案为：−81.9.【答案】128π【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】由圆锥的几何特征，我们可得用半径为10cm ，面积为80πcm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，圆锥的母线长等于扇形的半径，由此计算出圆锥的高，代入圆锥体积公式，即可示出答案．【解答】解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R ,l ，圆锥形容器的高和底面半径分别为ℎ,r ， 则由题意得R =10，由 12Rl =80π得l =16π，由2πr =l 得r =8,由R 2=r 2+ℎ2得ℎ=6,由V 锥=13πr 2ℎ=13×π×64×6=128π(cm 3)．所以该容器最多盛水128πcm 3．故答案为：128π.10.【答案】2π 【考点】平面向量数量积的性质及其运算律数量积表示两个向量的夹角【解析】设c →=(x, y)，根据题中的条件求出x +2y =−52，即a →∗c →=−52，再利用两个向量的夹角公式求出cosθ的值，由此求得θ的值．【解答】解：设c →=(x, y)，由向量a →=(1, 2)，b →=(−2, −4)，|c →|=√5，且(a →+b →)c →=52， 可得−x −2y =52，即有x +2y =−52，即a →⋅c →=−52，设a →与c →的夹角为等于θ，则cosθ=a →c →|a →||c →|=−52√5×√5=−12． 再由0≤θ≤π，可得 θ=2π3，故答案为：2π3.11.【答案】3+√10【考点】一元二次不等式的解法函数的最值及其几何意义【解析】正实数x ，y 满足xy =x+9yy−x ，化为yx 2+(1−y 2)x +4y =0，由于关于x 的方程有正实数根，可知△≥0．又x 1x 2=9>0，可知x 1与x 2同号，必有x 1+x 2=y 2−1y >0，解得y >1．再利用△≥0．解出即可得到y 的最小值．【解答】解：设正实数x ，y 满足xy =x+9yy−x ，化为yx 2+(1−y 2)x +9y =0，x 1x 2=9>0，x 1+x 2=y 2−1y >0，解得−1<y <0（舍）或y >1．∵ 关于x 的方程有正实数根，∴ Δ=(1−y 2)2−36y 2≥0，∴ (y 2+6y −1)(y 2−6y −1)≥0．∵ y >1，解得y ≥3+√10．∴ 实数y 的最小值为3+√10．故答案为：3+√10．12.【答案】[4, 6]【考点】直线与圆的位置关系【解析】设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，直线l 的方程为y =kx +3，代入圆x 2+(y −4)2=4，再由韦达定理和向量的模的公式，结合分式函数的值域求法：判别式法，计算即可得到所求范围．【解答】解：设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则|QA →+QB →|=|(x 1+x 2−4, y 1+y 2−4)|，设直线l 的方程为y =kx +3，代入圆x 2+(y −4)2=4可得(1+k 2)x 2−2kx −3=0，Δ=4k 2+12(1+k 2)>0恒成立，即有x 1+x 2=2k 1+k 2，y 1+y 2=k ⋅2k 1+k 2+6=6+8k 21+k 2， 则|QA →+QB →|=√(2k 1+k 2−4)2+(2k 21+k 2+2)2 =√4k 21+k 2−16k 1+k 2+8k 21+k 2+20 =√12k 2−16k1+k 2+20，由t =12k 2−16k 1+k ，可得(12−t)k 2−16k −t =0，t =12时，k =−34；t ≠12时，Δ≥0，即为162+4t(12−t)≥0，解得−4≤t ≤16，则|QA →+QB →|的取值范围是[4, 6]．故答案为：[4, 6]．13.【答案】(1e,+∞) 【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题函数与方程的综合运用【解析】首先将由三个实数满足等式问题转化为两个函数图象交点个数有3个的问题，对复杂函数求导，由单调性得到函数的走势，由此得到a 在哪一范围内才能有三个交点问题．【解答】解：∵ f(x)=ae x 具有性质Ω，∴ 存在三个不同实数x 1，x 2，x 3，满足|x i −2|f(x i )=1(i =1, 2, 3)，即存在三个不同实数x 1，x 2，x 3，满足|x i −2|ae x i =1(i =1, 2, 3)，等价于a =1|x−2|e x 有三个解，等价于y =a 与y =1|x−2|e x 的图象有三个交点问题，y=1|x−2|e =1(x−2)e(x>2)，y=1|x−2|e x =1(2−x)e x(x<2)，∴y′=1−x(x−2)2e x(x>2)，y′=x−1(x−2)2e x(x<2)，由导函数的正负得到原函数的增减知：y=1|x−2|e x 的图象在(−∞, 1)单调递减，极小值是x=1时，y=1e，在(1, 2)上单调递增，在(2, +∞)单调递减，由+∞减到与x轴无限接近，永不相交，如图：∴若y=a与y=1|x−2|e x 的图象有三个交点，即a>1e.故答案为：(1e，+∞).14.【答案】[−6, 6]【考点】基本不等式【解析】由条件可得c=−a−b，代入原式化简可得a3+b3+c3=a3+b3−(a+b)3=3abc，由基本不等式求得ab≤(a+b2)2=c24，结合c的范围，可得结论．【解答】解：实数a，b，c∈[−2, 2]，且满足a+b+c=0，可得a+b=−c，a3+b3+c3=a3+b3−(a+b)3=a3+b3−a3−b3−3ab(a+b) =3abc，由ab≤(a+b2)2=c24，由−2≤c≤2可得c2≤4，c>0时，3abc≤3c34≤6；c=0，abc=0；c<0，3abc≥3c34≥−6；3abc∈[−6, 6]，故答案为：[−6, 6].二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】解：(1)由b=1，S=12absinC=12asinC=√32得asinC=√3，即sinC=√3a．又a+1a =−4cosC，那么(a+1a)2=16cos2C=16(1−sin2C)=16−48a2，即a4−14a2+49=0，得到a2=7，即有a=√7．(2)由题意有a+1a=−4cosC，b=1，由余弦定理cosC=a2+b2−c22ab ，有a+1a=−4a2+b2−c22ab=−2(a2+1−c2)a，即a2+1=23c2①，又由b2+c2−a2=2bccosA可知c2−a2+1=√3c②，由①②得到c2−3√3c+6=0，亦即(c−√3)(c−2√3)=0，可知c=√3或c=2√3．经检验，c=√3或c=2√3均符合题意；那么△ABC的面积为S=12bcsinA=√32，或S=12bc⋅sinA=√34．【考点】三角形的面积公式余弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】（1）由题意利用三角形的面积公式建立关于a的方程，解方程求得a的值．（2）由题意利用余弦定理解方程求得c的值，可得△ABC的面积S=12∗bc∗sinA的值．【解答】解：(1)由b=1，S=12absinC=12asinC=√32得asinC=√3，即sinC=√3a．又a+1a =−4cosC，那么(a+1a)2=16cos2C=16(1−sin2C)=16−48a，即a4−14a2+49=0，得到a2=7，即有a=√7．(2)由题意有a+1a=−4cosC，b=1，由余弦定理cosC=a2+b2−c22ab ，有a+1a=−4a2+b2−c22ab=−2(a2+1−c2)a，即a2+1=23c2①，又由b2+c2−a2=2bccosA可知c2−a2+1=√3c②，由①②得到c2−3√3c+6=0，亦即(c−√3)(c−2√3)=0，可知c=√3或c=2√3．经检验，c=√3或c=2√3均符合题意；那么△ABC的面积为S=12bcsinA=√32，或S=12bc⋅sinA=√34．【答案】证明：(1)连结AC，因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，所以AM⊥平面ABCD．因为BD⊂平面ABCD，所以AM⊥BD．因为AC∩AM=A，所以BD⊥平面MAC．又MC⊂平面MAC，所以BD⊥MC．(2)取NC的中点S，连结PS，SE．DC，因为PS // DC // AE，PS=AE=12所以四边形APSE是平行四边形，所以AP // SE．又SE⊂平面NEC，AP平面NEC，所以AP // 平面NEC．【考点】两条直线垂直的判定直线与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】（1）连接AC，推出AC⊥BD，得到AM⊥平面ABCD．AM⊥BD．证明BD⊥平面MAC．即可证明BD⊥MC．（2）取NC的中点S，连接PS，SE．证明AP // SE．然后证明AP // 平面NEC．【解答】证明：(1)连结AC，因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，所以AM⊥平面ABCD．因为BD⊂平面ABCD，所以AM⊥BD．因为AC∩AM=A，所以BD⊥平面MAC．又MC⊂平面MAC，所以BD⊥MC．(2)取NC的中点S，连结PS，SE．DC，因为PS // DC // AE，PS=AE=12所以四边形APSE 是平行四边形，所以AP // SE ．又SE ⊂平面NEC ，AP 平面NEC ，所以AP // 平面NEC ．【答案】解：(1)由题意，PA =√2sinθ，QA =4cosθ， 所以l =PA +QA ，即l =√2sinθ+4cosθ(0<θ<π2)． (2)设f(θ)=√2sinθ+4cosθ，θ∈(0,π2)． 由f ′(θ)=−√2cosθsin θ+4sinθcos θ=√2(2√2sin 3θ−cos 3θ)sin θcos θ， 令f ′(θ)＝0，得tanθ0=√22． 且当θ∈(0, θ0)，f ′(θ)<0；当θ∈(θ0,π2)，f ′(θ)>0，所以，f(θ)在(0, θ0)上单调递减；在(θ0,π2)上单调递增，所以，当θ=θ0时，f(θ)取得极小值，即为最小值．当tanθ0=√22时，sinθ0=√3，cosθ0=√2√3， 所以f(θ)的最小值为3√6，即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为3√6m ．因为3√6>7，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．【考点】利用导数研究函数的最值三角函数模型的应用利用导数研究函数的单调性三角函数线【解析】（1）求出PA ，QA ，即可将线段PQ 的长度l 表示为θ的函数；（2）求导数，确定函数的单调性，即可得出结论．【解答】解：(1)由题意，PA =√2sinθ，QA =4cosθ， 所以l =PA +QA ，即l =√2sinθ+4cosθ(0<θ<π2)． (2)设f(θ)=√2sinθ+4cosθ，θ∈(0,π2)．由f ′(θ)=−√2cosθsin 2θ+4sinθcos 2θ=√2(2√2sin 3θ−cos 3θ)sin 2θcos 2θ， 令f ′(θ)＝0，得tanθ0=√22． 且当θ∈(0, θ0)，f ′(θ)<0；当θ∈(θ0,π2)，f ′(θ)>0，所以，f(θ)在(0, θ0)上单调递减；在(θ0,π2)上单调递增，所以，当θ=θ0时，f(θ)取得极小值，即为最小值．当tanθ0=√22时，sinθ0=√3，cosθ0=√23， 所以f(θ)的最小值为3√6，即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为3√6m ．因为3√6>7，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．【答案】解：(1)由题意得，{2c =2,a 2c=2, 解得：c =1，a 2=2，∴ b 2=a 2−c 2=1．∴ 椭圆C 的方程为：x 22+y 2=1.(2)∵ P(0, 1)，F 1(−1, 0)，∴ 直线PF 1的方程为x −y +1=0．由{x −y +1=0,x 22+y 2=1, 解得{x =0,y =1, 或{x =−43,y =−13, ∴ 点Q 的坐标为(−43,−13)．设过P ，Q ，F 2三点的圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，则{1+E +F =0,1+D +F =0,179−43D −13E +F =0, 解得{D =13,E =13,F =−43, ∴ 所求圆的方程为x 2+y 2+13x +13y −43=0；(3)设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，则F 1P →=(x 1+1,y 1),QF 1→=(−1−x 2,−y 2)，∵ F 1P →=λQF 1→，∴ {x 1+1=λ(−1−x 2),y 1=−λy 2,即{x 1=−1−λ−λx 2,y 1=−λy 2,∴ {(−1−λ−λx 2)22+λ2y 22=1,x 222+y 22=1,解得：x 2=1−3λ2λ． ∴ OP →⋅OQ →=x 1x 2+y 1y 2=x 2(−1−λ−λx 2)−λy 22=−λ2x 22−(1+λ)x 2−λ =−λ2(1−3λ2λ)2−(1+λ)⋅1−3λ2λ−λ =74−58(λ+1λ)． ∵ λ∈[12, 2]，∴ λ+1λ≥2√λ⋅1λ=2， 当且仅当λ=1λ，即λ=1时取等号．∴ OP →⋅OQ →≤12． 即OP →⋅OQ →的最大值为12．【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程基本不等式在最值问题中的应用圆的一般方程【解析】（1）根据椭圆的焦距为2，一条准线方程为x =2，求出a ，b ，即可求椭圆C 的方程； （2）直线PF 1的方程为x −y +1=0，代入椭圆方程，求出Q 的坐标，利用圆的一般方程，建立方程组，即可求过P ，Q ，F 2三点的圆的方程；（3）由F 1P →=λQF 1→，可得P ，Q 坐标之间的关系，利用向量的数量积公式，结合λ∈[12, 2]，利用基本不等式，即可求OP →⋅OQ →的最大值．【解答】解：(1)由题意得，{2c =2,a 2c=2, 解得：c =1，a 2=2，∴ b 2=a 2−c 2=1．∴ 椭圆C 的方程为：x 22+y 2=1.(2)∵ P(0, 1)，F 1(−1, 0)，∴ 直线PF 1的方程为x −y +1=0．由{x −y +1=0,x 22+y 2=1, 解得{x =0,y =1, 或{x =−43,y =−13,∴ 点Q 的坐标为(−43,−13)．设过P ，Q ，F 2三点的圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，则{1+E +F =0,1+D +F =0,179−43D −13E +F =0, 解得{D =13,E =13,F =−43, ∴ 所求圆的方程为x 2+y 2+13x +13y −43=0；(3)设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，则F 1P →=(x 1+1,y 1),QF 1→=(−1−x 2,−y 2)，∵ F 1P →=λQF 1→，∴ {x 1+1=λ(−1−x 2),y 1=−λy 2,即{x 1=−1−λ−λx 2,y 1=−λy 2,∴ {(−1−λ−λx 2)22+λ2y 22=1,x 222+y 22=1,解得：x 2=1−3λ2λ． ∴ OP →⋅OQ →=x 1x 2+y 1y 2=x 2(−1−λ−λx 2)−λy 22=−λ2x 22−(1+λ)x 2−λ =−λ2(1−3λ2λ)2−(1+λ)⋅1−3λ2λ−λ =74−58(λ+1λ)．∵ λ∈[12, 2]，∴ λ+1λ≥2√λ⋅1λ=2， 当且仅当λ=1λ，即λ=1时取等号．∴ OP →⋅OQ →≤12． 即OP →⋅OQ →的最大值为12．【答案】解：(1)由题意a n 2+b n a n−12=2n +1，由于b n =(−1)n ，所以：a n 2+(−1)n a n−12=2n +1，则有a 2k 2+a 2k−12=4k +1，则：a 22+a 12=4×1+1，a 42+a 32=4×2+1，a 62+a 52=4×3+1，a 82+a 72=4×4+1，所以：a 12+a 22+a 32+⋯+a 82 =4(1+2+3+4)+4=44．(2)a n 2−a n−12=2n +1，所以a 22−a 12=5，a 32−a 22=7，a 42−a 32=9，…a n 2−a n−12=2n +1，则a n2−a 12=(2n+1+5)(n−1)2， 所以a n 2=(2n+1+5)(n−1)2+4=(n +1)2(n ≥2)，由于数列的各项为正值，所以：a n =n +1．由于a 1=2（符合上式），故：a n =n +1．所以S n =2n −1，T n =√2×3×4×⋯×(n +1)，下面比较S n 和T n 的大小．有S 1T 1=√22，S 2T 2=√62，S 3T 3=7√612， 当n ≥3时，设c n =S n T n， 所以c n+12c n 2=T n 2T n+12⋅S n+12S n 2=(2n+1−1)2(n+2)(2n −1)2， 记2n =t ≥8，(n +2)(2n −1)2−(2n+1−1)2≥5(t −1)2−(2t −1)2=t 2−6t +4>0， n ≥3,c n+12c n 2<1，故数列{c n 2}为递减数列．n ∈N +,(S n T n )max =7√612．综上所述：λ≥7√612, 所以λ最小值为7√612． 【考点】函数恒成立问题数列的求和【解析】（1）直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步求出关系式的值． （2）利用比较法和赋值法求出数列的各项的和，进一步确定参数的值．【解答】解：(1)由题意a n 2+b n a n−12=2n +1，由于b n =(−1)n ，所以：a n 2+(−1)n a n−12=2n +1，则有a 2k 2+a 2k−12=4k +1，则：a 22+a 12=4×1+1，a 42+a 32=4×2+1，a 62+a 52=4×3+1，a 82+a 72=4×4+1，所以：a 12+a 22+a 32+⋯+a 82 =4(1+2+3+4)+4=44．(2)a n 2−a n−12=2n +1，所以a 22−a 12=5，a 32−a 22=7，a 42−a 32=9，…a n 2−a n−12=2n +1，则a n2−a 12=(2n+1+5)(n−1)2， 所以a n 2=(2n+1+5)(n−1)2+4=(n +1)2(n ≥2)，由于数列的各项为正值，所以：a n =n +1．由于a 1=2（符合上式），故：a n =n +1．所以S n =2n −1，T n =√2×3×4×⋯×(n +1)，下面比较S n 和T n 的大小．有S 1T 1=√22，S 2T 2=√62，S 3T 3=7√612， 当n ≥3时，设c n =S n T n， 所以c n+12c n 2=T n 2T n+12⋅S n+12S n 2=(2n+1−1)2(n+2)(2n −1)2， 记2n =t ≥8，(n +2)(2n −1)2−(2n+1−1)2≥5(t −1)2−(2t −1)2=t 2−6t +4>0， n ≥3,c n+12c n 2<1，故数列{c n 2}为递减数列．n∈N+,(S nT n )max=7√612．综上所述：λ≥7√612,所以λ最小值为7√612．【答案】(1)解：当a=0时，f(x)=x3−3x2+3，f′(x)=3x2−6x；当f′(x)>0时，x>2或x<0；当f′(x)<0时，0<x<2；即函数f(x)的单调增区间为(−∞, 0)，(2, +∞)；单调减区间为(0, 2)；又f(−1)=−1<0，f(0)=3>0，f(2)=−1<0，f(3)=3>0，所以f(x)有3个零点．(2)证明：因为f(x)=f(x1)，则x3−3x2+ax+3=x13−3x12+ax1+3，可知x3−3x2+ax=x13−3x12+ax1．因为f′(x1)=0，即a=6x1−3x12，即x3−x13+3x12−3x2+ax−ax1=(x−x1)[x2+x(x1−3)−2x12+3x1]=(x−x1)2(x+2x1−3)=0．可知x3=3−2x1，同理，由f(x)=f(x2),可知x3−x23+3x22−3x2+ax−ax2=(x−x2)[x2+x(x2−3)−2x22+3x2]=(x−x2)2(x+2x2−3)=0；得到x4=3−2x2；x4−x1 x3−x2=3−2x2−x13−2x1−x2=1−x21−x1=1−(2−x1)1−x1=−1．(3)证明：要证f(x)=x3−3x2+ax+3>lnx，即要证x3−3x2+3>lnx−ax．设u(x)=x3−3x2+3(x>0)，则u′(x)=3x2−6x；当u′(x)>0时，x>2；当u′(x)<0时，0<x<2；可知[u(x)]min=u(2)=−1；再设v(x)=lnx−ax(x>0)，则v′(x)=1x−a；当v′(x)>0时，0<x<1a；当v′(x)<0时，x>1a；可知，[v(x)]max=v(1a)=−lna−1．因为a≥1，≤1，−lna−1≤−1，所以1a和2处取最大值和最小值，且v(x)和u(x)分别在1a因此v(x)<u(x)恒成立，即当a≥1时，f(x)>lnx．【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）当a=0时，求导，根据导数与函数单调性的关系，即可求得f(x)的单调区间及函数的零点的个数；（2）由题意可知：f(x)=f(x1)，由a=6x1−3x12，即可求得x3=3−2x1，同理求得x4=3−2x2，即可求得x4−x1为定值；x3−x2（3）方法1：由题意可知：要证f(x)=x3−3x2+ax+3>lnx，即要证x3−3x2+ 3>lnx−ax，构造函数，求导，根据函数单调性与导数的关系，即可求证当a≥1时，f(x)>lnx．方法2：由题意可知：当x>0时，lnx≤x−1，当a≥1时，x3−3x2+ax+3≥x3−3x2+x+3，采用放缩法，即可证明f(x)>lnx．【解答】(1)解：当a=0时，f(x)=x3−3x2+3，f′(x)=3x2−6x；当f′(x)>0时，x>2或x<0；当f′(x)<0时，0<x<2；即函数f(x)的单调增区间为(−∞, 0)，(2, +∞)；单调减区间为(0, 2)；又f(−1)=−1<0，f(0)=3>0，f(2)=−1<0，f(3)=3>0，所以f(x)有3个零点．(2)证明：因为f(x)=f(x1)，则x3−3x2+ax+3=x13−3x12+ax1+3，可知x3−3x2+ax=x13−3x12+ax1．因为f′(x1)=0，即a=6x1−3x12，即x3−x13+3x12−3x2+ax−ax1=(x−x1)[x2+x(x1−3)−2x12+3x1]=(x−x1)2(x+2x1−3)=0．可知x3=3−2x1，同理，由f(x)=f(x2),可知x3−x23+3x22−3x2+ax−ax2=(x−x2)[x2+x(x2−3)−2x22+3x2]=(x−x2)2(x+2x2−3)=0；得到x4=3−2x2；x4−x1 x3−x2=3−2x2−x13−2x1−x2=1−x21−x1=1−(2−x1)1−x1=−1．(3)证明：要证f(x)=x3−3x2+ax+3>lnx，即要证x3−3x2+3>lnx−ax．设u(x)=x3−3x2+3(x>0)，则u′(x)=3x2−6x；当u′(x)>0时，x>2；当u′(x)<0时，0<x<2；可知[u(x)]min=u(2)=−1；再设v(x)=lnx−ax(x>0)，则v′(x)=1x−a；当v′(x)>0时，0<x<1a；当v′(x)<0时，x>1a；可知，[v(x)]max=v(1a)=−lna−1．因为a≥1，所以1a≤1，−lna−1≤−1，且v(x)和u(x)分别在1a和2处取最大值和最小值，因此v(x)<u(x)恒成立，即当a≥1时，f(x)>lnx．。