2018年高考数学(理)原创押题预测卷 03(新课标Ⅱ卷)(参考答案)

高考原创押题卷（二）数学(理科)时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{x ∈N |y ＝5－x }，A ＝{x ∈N *|x －4<0}，B ＝{2，4}，则(∁U A )∪B ＝( )A ．{2}B ．{4}C ．{2，4，5}D ．{0，2，4，5} 2．已知i 是虚数单位，直线2x ＋y ＋2＝0在x 轴、y 轴上的截距分别为复数z (1－i)的实部与虚部，则复数z 的共轭复数为( )A.12－32iB.12＋32i C ．－12－32i D ．－12＋32i 3．若双曲线E ：x 22m －2－y 2m ＝1(m >1)的焦距为10，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±54xB ．y ＝±916xC ．y ＝±34xD ．y ＝±43x4．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝126，a 4＋a 10＝40，则2S n ＋30n 的最小值为( )A ．610＋1B ．20 C.412D ．195．在《九章算术》中有这样一个问题：某员外有小米一囤，该囤的三视图如图2­1所示(单位：尺)，已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3.1，则该囤所储小米斛数约为( )图2­1A ．459B ．138C ．115D ．1036．已知某班某个小组8人的期末考试物理成绩的茎叶图如图2­2所示，并用图2­3所示的程序框图对成绩进行分析(其中框图中的a 表示小组成员的物理成绩)，则输出的A ，B 值分别为( )图2­2图2­3A ．76，37.5%B ．75.5，37.5%C ．76，62.5%D ．75.5，62.5% 7．已知在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝23，∠ACB ＝120°，AA 1＝4，则该三棱柱外接球的体积为( )A.162π3 B ．642π C ．32π D.642π38．p ：∃x 0∈R ＋，x 0ln x 0＋x 20－ax 0＋2<0为假命题的一个充分不必要条件为( )A ．a ∈(0，3)B ．a ∈(－∞，3]C ．a ∈(3，＋∞)D ．a ∈[3，＋∞) 9．已知a ＝2π⎠⎛024x －x 2d x ，实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≥0，x －2y ＋2≥0，2x －y －4≤0，则z ＝x 2＋y 2＋ay 的取值范围为( )A .⎣⎡⎦⎤254，8B .⎣⎡⎦⎤315，2129C .⎣⎡⎦⎤8，2129D .⎣⎡⎦⎤315，810．若函数f(x)对定义域内任意x ，都有f(x)＋f(－x)＝0，且对定义域内任意x 1，x 2，且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则称函数f(x)为“优美函数”．下列函数中是“优美函数”的是( )A ．f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ＋11－e x ，x ≠0，0，x ＝0 B ．f(x)＝ln (3x ＋9x 2＋1)C ．f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x>0，0，x ＝0，－x 2＋2x ＋1，x<0 D ．f(x)＝tan x11．已知函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)A>0，ω>0，|φ|<π2的部分图像如图2­4所示，则关于函数g(x)＝－2A sin 2(ωx 2＋φ2＋A)，下列说法正确的是( )图2­4A ．g(x)的单调递增区间为（2k π3，2k π3＋2π9，k ∈Z ） B ．直线x ＝－5π18是曲线y ＝g (x )的一条对称轴C ．将函数f (x )图像上所有的点向左平移π6个单位长度，即可得到函数y ＝g (x )的图像D ．若函数g (x ＋m )为偶函数，则m ＝k π＋π3，k ∈Z12．已知函数y ＝(x －2)e x ＋1＋x 2－2x ＋a 恰有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，e 2＋1] B ．(－∞，e 2＋1) C ．(e 2＋1，＋∞) D ．(e 2，＋∞)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知二项式(ax ＋1)7展开式的各项系数和为128，(ax ＋1)7＝a 0＋a 1(ax ＋3)＋a 2(ax ＋3)2＋…＋a 7(ax ＋3)7，则a 4＝________．14．已知在△DEF 中，DE ＝2，EF ＝3，∠DEF ＝60°，M 是DF 的中点，N 在EF 上，且DN ⊥ME ，则DN →·DF →＝________．15．已知直线2x ＋y －2＝0与x 轴的交点是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线C 的焦点F ，P 是抛物线C 上一点，以P 为圆心，|PF |为半径的圆截x 轴所得的弦长为2，则圆P 的方程为________________．16．已知数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前40项和为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，b c ＝sin C －sin B －sin A cos Bsin A cos C －sin B .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，△ABC 是锐角三角形，求4S △ABCc ＋3c 的取值范围．18．(本小题满分12分)中国某文化研究机构为了解国人对中国传统戏剧的态度，随机抽取了68人进行调查，相关的数据如下表所示：不喜爱 喜爱 总计 五十岁以上(含五十岁) 10 b 22 五十岁以下(不含五十岁)c 4 46 总计521668(1)求2×2 (2)从喜爱传统戏剧的16人中随机抽取3人，设3人中五十岁以下(不含五十岁)的人数为X ，求X 的分布列与数学期望． 附：P (K 2≥k 0)0.10 0.05 0.010 0.001 k 02.7063.8416.63510.828公式： K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）(n ＝a ＋b ＋c ＋d )．19．(本小题满分12分)在如图2­5所示的四棱锥P - ABCD 中，△P AB 是边长为4的正三角形，平面P AB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，BC ＝2，∠ADC ＝60°，E 是CD 的中点．(1)求证：BE ⊥PC ；(2)求二面角A -PD -C 的正弦值．图2­520．(本小题满分12分)已知A ，B 分别是离心率为32的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点与右顶点，右焦点F 2到直线AB 的距离为25－155.(1)求椭圆E 的方程；(2)过M (0，2)作直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，O 为坐标原点，求△OPQ 的面积的最大值．21．(本小题满分12分)函数f (x )＝a (x －1)ln(x －1)＋(bx ＋1)(x －1)＋a ＋1(a ，b ∈R )． (1)若函数f (x )的图像在点(2，f (2))处的切线方程为x －y ＋1＝0，求实数a ，b 的值； (2)已知b ＝1，当x >2时，f (x )＞0，求实数a 的取值范围．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 和极坐标系中，极点与原点重合，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 过点(1，1)，倾斜角α的正切值为－34，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)判断直线l与曲线C的位置关系，若直线l与曲线C相交，求直线l被曲线C截得的弦长．23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－1|－|2x－3|.(1)若f(x)≥m对0≤x≤3恒成立，求实数m的取值范围；(2)若f(x)的最大值为M，a，b∈R＋，a＋2b＝Mab，求a＋2b的最小值．参考答案·数学(理科)高考原创押题卷（二）1．D [解析] 由题知U ＝{0，1，2，3，4，5}，A ＝{1，2，3}，∴∁U A ＝{0，4，5}，∴(∁U A )∪B ＝{0，2，4，5}，故选D.2．B [解析] 由题知，直线2x ＋y ＋2＝0在x 轴、y 轴上的截距分别为－1，－2，所以z (1－i)＝－1－2i ，所以z ＝－1＋2i 1－i ＝－（1＋2i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝12－32i ，故复数z 的共轭复数为12＋32i ，故选B.3．C [解析] 由题知a 2＝2m －2，b 2＝m ，c ＝5，所以c 2＝2m －2＋m ＝25，解得m ＝9，所以a ＝4，b ＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，故选C.4．B [解析] 设公差为d ，由题知126＝S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5，解得a 5＝14，由2a 7＝a 4＋a 10＝40，得a 7＝20，所以d ＝a 7－a 52＝3，所以a 1＝a 5－4d ＝2，所以S n ＝32n 2＋12n ，所以2S n ＋30n＝3⎝⎛⎭⎫n ＋10n ＋1.令y ＝x ＋10x ，该函数在(0，10)上单调递减，在(10，＋∞)上单调递增，所以当n ＝3时，2S n ＋30n ＝20，当n ＝4时，2S n ＋30n ＝412，故2S n ＋30n 的最小值为20，故选B.5．C [解析] 由三视图知，该粮囤是由一个底面半径为3、高为6的圆柱和一个等底、高为2的圆锥组成的组合体，其体积为3.1×32×6＋13×3.1×32×2＝186(立方尺)，所以该囤所储小米斛数约为186÷1.62≈115，故选C.6．A [解析] 由程序框图，知输出的A 表示本小组物理成绩的平均值，B 表示本小组物理成绩大于或等于80分的人数占小组总人数的百分比，故A ＝55＋63＋68＋74＋77＋85＋88＋988＝76，B ＝38×100%＝37.5%，故选A.7．D [解析] 设该三棱柱的外接球的半径为R ，底面所在截面圆的半径为r ，由正弦定理，知2r ＝AB sin 120°＝2332＝4，所以r ＝2，所以R ＝r 2＋⎝⎛⎭⎫AA 122＝22＋22＝22，所以该三棱柱外接球的体积V ＝4πR 33＝4π×（22）33＝642π3，故选D.8．A [解析] 由题知綈p ：∀x ∈R ＋，x ln x ＋x 2－ax ＋2≥0是真命题，即a ≤ln x ＋x ＋2x对x ∈R＋恒成立．设f (x )＝ln x ＋x ＋2x (x >0)，∴f ′(x )＝1x ＋1－2x 2＝（x ＋2）（x －1）x 2，当0<x <1时，f ′(x )＜0，当x >1时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝3，∴a ≤3，故选A.9．B [解析] 令y ＝4x －x 2＝4－（x －2）2，∴(x －2)2＋y 2＝4(y ≥0)，∴⎠⎛024－（x －2）2d x 表示直线x ＝2，x 轴以及以(2，0)为圆心、2为半径的圆围成的14圆的面积，∴a ＝2π⎠⎛024－（x －2）2d x ＝2，∴目标函数z ＝x 2＋y 2＋2y ＝x 2＋(y ＋1)2－1表示可行域内点(x ，y)与点M (0，－1)之间距离的平方减去1.作出可行域如图中阴影部分所示，过M 作直线x ＋2y －4＝0的垂线，垂足为N ，由图知，N 在线段AB上，MN ＝|－2－4|12＋22＝65， ∴z min ＝⎝⎛⎭⎫652－1＝315.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，2x －y －4＝0，得C ⎝⎛⎭⎫103，83，∴MC ＝⎝⎛⎭⎫1032＋⎝⎛⎭⎫83＋12＝2213，∴z max ＝⎝⎛⎭⎫22132－1＝2129，∴z 的取值范围为315，2129，故选B .10．B [解析] 依题意，“优美函数”是奇函数，且在定义域上是增函数．对选项A ，定义域为R ，∀x ∈R 且x ≠0，f (－x )＝e －x ＋11－e －x ＝e x ＋1e x －1＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，∵f (－1)＝e －1＋11－e －1>0＞f (1)＝e ＋11－e ，∴f (x )在定义域内不是增函数，故A 不是“优美函数”；对选项B ，∵9x 2＋1>9x 2，∴9x 2＋1>|3x |，∴9x 2＋1＋3x >|3x |＋3x ≥0，∴f (x )的定义域为R ，f (x )＋f (－x )＝ln(3x ＋9x 2＋1)＋ln[－3x ＋9（－x ）2＋1]＝ln[(3x ＋9x 2＋1)(－3x ＋9x 2＋1)]＝ln[9x 2＋1－(3x )2]＝ln 1＝0，∴该函数是奇函数，∵f ′(x )＝3＋18x29x 2＋13x ＋9x 2＋1＝39x 2＋1＞0，∴该函数在R 上是增函数，∴该函数是“优美函数”；对选项C ，∵f ⎝⎛⎭⎫－14＝－⎝⎛⎭⎫－142＋2×⎝⎛⎭⎫－14＋1＝716＞f ⎝⎛⎭⎫14＝⎝⎛⎭⎫142＋2×14－1＝－716，∴该函数在R 上不是增函数，故该函数不是“优美函数”；对选项D ，由y ＝tan x 的图像知，该函数在定义域上不单调，故不是“优美函数”．故选B.11．C [解析] 由图知A ＝3，f (0)＝3sin φ＝332，∴sin φ＝32，∵|φ|<π2，∴φ＝π3，∴ωπ18＋π3＝π2，∴ω＝3，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3.∵g (x )＝－2A sin 2ωx 2＋φ2＋A ＝A cos(ωx ＋φ)＝3cos （3x ＋π3）.令2k π－π≤3x ＋π3≤2k π，k ∈Z ，解得2k π3－4π9≤x ≤2k π3－π9，k ∈Z ，∴g (x )的单调递增区间为（2k π3－4π9），（2k π3－π9），k ∈Z ，故A 错；∵g ⎝⎛⎭⎫－5π18＝3cos3×⎝⎛⎭⎫－5π18＋π3＝0，∴直线x ＝－5π18不是曲线y ＝g (x )的对称轴，故B 错；∵将f (x )的图像向左平移π6个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y ＝3sin3⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝3sin π2＋⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，故C 正确；∵g (x ＋m )＝3cos3(x ＋m )＋π3＝3cos3x ＋3m ＋π3为偶函数，∴3m＋π3＝k π，k ∈Z ，∴m ＝k π3－π9，k ∈Z ，故D 错．故选C. 12．B [解析] 由题知，方程(x －2)e x ＋1＋x 2－2x ＋a ＝0有两个不同的解，即方程(x －2)e x＋1＝－x 2＋2x －a 恰有两个解．设g (x )＝(x －2)e x ＋1，φ(x )＝－x 2＋2x －a ，则函数y ＝g (x )的图像与y ＝φ(x )的图像恰有两个交点．因为g ′(x )＝e x ＋1(x －1)，当x <1时，g ′(x )＜0，当x >1时，g ′(x )＞0，所以g (x )在(－∞，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以当x ＝1时，g (x )取得最小值g (1)＝－e 2.因为φ(x )＝－x 2＋2x －a ＝－(x －1)2－a ＋1，所以当x ＝1时，φ(x )取得最大值φ(1)＝1－a ，则1－a >－e 2，所以a <1＋e 2，故选B.13．－280 [解析] 令x ＝1，得(a ＋1)7＝128，解得a ＝1，∴(ax ＋1)7＝(x ＋1)7＝ [－2＋(x＋3)]7，∴a 4＝C 47×(－2)3＝－280. 14.92 [解析] 设EN →＝λEF →，∴DN →＝EN →－ED →＝λEF →－ED →.EM →＝12(ED →＋EF →)．∵DN ⊥ME ，∴DN →·EM →＝12(ED →＋EF →)·(λEF →－ED →)＝12[(λ－1)EF →·ED →＋λ|EF →|2－|ED →|2]＝12[(λ－1)×2×3×12＋λ×32－22]＝0，解得λ＝712，∴DN →·DF →＝712EF →－ED →·(EF →－ED →) ＝712|EF →|2－1912ED →·EF →＋|ED→|2 ＝712×32－1912×2×3×12＋22＝92. 15．x 2＋y 2＝1或(x －2)2＋(y ±22)2＝9 [解析] 由题知F (1，0)，故抛物线C 的焦点在x 轴上，设抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，则p2＝1，所以p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .设P (x 0，y 0)，则y 20＝4x 0，根据抛物线的定义，知|PF |＝1＋x 0，圆心P 到x 轴的距离为|y 0|，由垂径定理，得(1＋x 0)2＝y 20＋12，即(1＋x 0)2＝4x 0＋1，解得x 0＝0或x 0＝2.当x 0＝0时，y 0＝0，|PF |＝1，圆P 的方程为x 2＋y 2＝1；当x 0＝2时，y 0＝±22，|PF |＝3，圆P 的方程为(x －2)2＋(y ±22)2＝9.16.7（240－1）15 [解析] 由题设知a 2－a 1＝1①， a 3＋a 2＝2②， a 4－a 3＝22③，a 5＋a 4＝23，a 6－a 5＝24，a 7＋a 6＝25，a 8－a 7＝26，a 9＋a 8＝27，a 10－a 9＝28，a 11＋a 10＝29，a 12－a 11＝210，…，a 38－a 37＝236，a 39＋a 38＝237，a 40－a 39＝238，∴②－①得a 1＋a 3＝1，③＋②得a 4＋a 2＝3×2，同理可得a 5＋a 7＝24，a 6＋a 8＝3×25，a 9＋a 11＝28，a 10＋a 12＝3×29，…，a 37＋a 39＝236，a 38＋a 40＝3×237，∴a 1＋a 3，a 5＋a 7，a 9＋a 11，…，a 37＋a 39是首项为1，公比为24，项数为10的等比数列，a 2＋a 4，a 6＋a 8，a 10＋a 12，…，a 38＋a 40是首项为6，公比为24，项数为10的等比数列，∴数列{a n }的前40项和为1－16101－16＋6（1－1610）1－16＝7（240－1）15.17．解：(1)由b c ＝sin C －sin B －sin A cos B sin A cos C －sin B 及正弦定理，得b c ＝c －b －a cos Ba cos C －b ，即c 2－bc －ac cos B ＝ab cos C －b 2，2分 由余弦定理，得c 2－bc －ac ·a 2＋c 2－b 22ac ＝ab ·a 2＋b 2－c 22ab－b 2，整理得c 2＋b 2－a 2＝bc ，4分 ∴cos A ＝c 2＋b 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，5分∵0<A <π，∴A ＝π3.6分(2)由正弦定理，得2sin π3＝b sin B ＝csin C ，∴b ＝43sin B ，c ＝43sin C ，8分 ∴4S △ABC c ＋3c ＝4×12c bc sin π3＋3c ＝3(b ＋c )＝4(sin B ＋sin C )＝4sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝4sin B ＋sin 2π3cos B －cos 2π3sin B ＝4332sin B ＋12cos B ＝43sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6.10分由(1)知B ＋C ＝2π3，∴C ＝2π3－B ＜π2，∴π6<B <π2，∴π3<B ＋π6<2π3，∴32<sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6≤1，∴6<43sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6≤43，∴4S △ABCc ＋3c 的取值范围为(6，43].12分18．解：(1)由题知b ＝22－10＝12，c ＝52－10＝42.由2×2列联表中的数据，得K 2＝68×（10×4－42×12）252×16×22×46≈17.388＞6.635，4分∴有99%的把握认为喜爱传统戏剧与年龄有关． 5分(2)X 的可能取值为0，1，2，3，6分P (X ＝0)＝C 312C 316＝1128，P (X ＝1)＝C 212C 14C 316＝3370，P (X ＝2)＝C 112C 24C 316＝970，P (X ＝3)＝C 34C 316＝1140，9分∴X 的分布列为X 0 1 2 3 P11283370970114010分∴E (X )＝0×1128＋1×3370＋2×970＋3×1140＝34.12分19．解：(1)证明：设AB 的中点为F ，连接PF ，EF ，BE ，FC ，设FC ∩BE ＝O ， ∵△P AB 是边长为4的正三角形，∴PF ⊥AB ，BF ＝2. ∵平面P AB ⊥平面ABCD ，∴PF ⊥平面ABCD ， ∵BE ⊂平面ABCD ，∴PF ⊥BE .2分∵E 是CD 的中点，底面ABCD 是平行四边形，BC ＝2， ∴EF ∥BC ，AB ∥CD ，BF ＝BC ，∴四边形BCEF 是边长为2的菱形，∴BE ⊥FC . ∵FC ∩PF ＝F ，∴BE ⊥平面PFC . 又PC ⊂平面PFC ， ∴BE ⊥PC .5分(2)由(1)知，PF ＝23，PF ⊥平面ABCD ，四边形BCEF 是边长为2的菱形，∠FBC ＝60°，BE ⊥FC ，∴OB ＝OE ＝3，OC ＝OF ＝1.以O 为原点，过O 作PF 的平行线为z 轴，以OC ，OB 所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则C (1，0，0)，F (－1，0，0)，E (0，－3，0)，P (－1，0，23)，∴F A →＝CE →＝(－1，－3，0)，∴A (－2，－3，0)，CD →＝2CE →＝(－2，－23，0)，∴D (－1，－23，0)，∴AD →＝(1，－3，0)，DP →＝(0，23，23).7分设平面P AD 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AD →＝x 1－3y 1＝0，m ·DP →＝23y 1＋23z 1＝0， 令y 1＝1，则x 1＝3，z 1＝－1，∴m ＝(3，1，－1)．设平面PCD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝－2x 2－23y 2＝0，n ·DP →＝23y 2＋23z 2＝0，令y 2＝1，则x 2＝－3，z 2＝－1，∴n ＝(－3，1，－1)，9分 ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－3×3＋1×1－1×（－1）（－3）2＋12＋（－1）2×（3）2＋12＋（－1）2＝－15，11分设二面角A -PD -C 的平面角为θ，则sin θ＝1－⎝⎛⎭⎫－152＝265， ∴二面角A -PD -C 的正弦值为265.12分20．解：(1)由题知，e ＝c a ＝32，∴c ＝32a ，∴b ＝a 2－c 2＝12a ，∴A ⎝⎛⎭⎫0，a 2，B (a ，0)，F 2⎝⎛⎭⎫32a ，0， ∴直线AB 的方程为x ＋2y －a ＝0， ∴32a －a 12＋22＝25－155，解得a ＝2，∴b ＝1，∴椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.4分(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，显然直线l 的斜率一定存在，故设直线l 方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程x 2＋4y 2－4＝0，整理得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0， 由Δ＝(16k )2－4×12(1＋4k 2)>0，得k 2>34，x 1＋x 2＝－16k 1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k 2，7分∴|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝（1＋k 2）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫－16k 1＋4k 22－4×121＋4k 2＝4（1＋k 2）（4k 2－3）（1＋4k 2）2，原点O 到直线l 的距离d ＝21＋k 2，9分 ∴S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝44k 2－3（1＋4k 2）2，设t ＝4k 2－3，则4k 2＝t 2＋3，t >0， ∴S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t≤42t ·4t＝1，当且仅当t ＝4t ，即k ＝±72时，取等号，11分∴△OPQ 的面积的最大值为1.12分21．解：(1)f (x )的定义域为(1，＋∞)，f ′(x )＝a ln(x －1)＋a ＋2bx ＋1－b ，由题知⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2b ＋1＋a ＋1＝3，f ′（2）＝a ＋4b ＋1－b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－1.4分 (2)当b ＝1时，f (x )＝a (x －1)ln(x －1)＋(x ＋1)(x －1)＋a ＋1， 当x >2时，由f (x )＞0，知f （x ）x －1＝a ln(x －1)＋a ＋1x －1＋x ＋1＞0，设g (x )＝a ln(x －1)＋a ＋1x －1＋x ＋1(x >2)，∴g ′(x )＝ax －1－a ＋1（x －1）2＋1＝x 2＋（a －2）x －2a （x －1）2＝（x －2）（x ＋a ）（x －1）2.7分当a ≥－2时，－a ≤2，g ′(x )＞0，∴g (x )在区间(2，＋∞)上是增函数， ∴g (x )＞g (2)＝a ＋1＋2＋1≥0，解得a ≥－4， ∴a ≥－2；9分当a <－2时，－a >2，当2<x <－a 时，g ′(x )＜0，当x >－a 时，g ′ (x )＞0， ∴g (x )在区间(2，－a )上是减函数，在区间(－a ，＋∞)上是增函数， ∴g (x )min ＝g (－a )＝a ln(－a －1)＋a ＋1－a －1－a ＋1＝a ln(－a －1)－a ，由题知g (x )min ＝a ln(－a －1)－a ＞0，即ln(－a －1)<1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <－2，－a －1<e ，解得－e －1<a <－2.11分综上所述，实数a 的取值范围为(－e －1，＋∞)． 12分22．解：(1)由题知tan α＝－34＜0，0<α<π，∴π2<α<π，sin α＝－34cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得⎝⎛⎭⎫－34cos α2＋cos 2α＝1，解得cos α＝－45， ∴sin α＝35，∴直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－45t ，y ＝1＋35t (t 为参数).3分由ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，得ρ＝4sin θ＋4cos θ，即ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ，由ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，得x 2＋y 2－4x －4y ＝0， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －4y ＝0.5分(2)∵12＋12－4×1－4×1＝－6<0，∴点(1，1)在圆x 2＋y 2－4x －4y ＝0内部， ∴直线l 与曲线C 相交.7分设直线l 与曲线C 的交点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，将⎩⎨⎧x ＝1－45t ，y ＝1＋35t(t 为参数)代入x 2＋y 2－4x －4y ＝0，整理得t 2＋25t －6＝0，∴t 1＋t 2＝－25，t 1t 2＝－6，∴|MN |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝⎝⎛⎭⎫－252－4×（－6）＝21515，故直线l 被曲线C 截得的弦长为21515.10分23．解：(1)∵f (x )＝|x －1|－|2x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≤1，3x －4，1<x <32，2－x ，x ≥32， ∴f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，32上是增函数，在区间⎝⎛⎭⎫32，＋∞上是减函数，∵f (0)＝－2，f (3)＝－1， ∴当0≤x ≤3时，f (x )min ＝f (0)＝－2，则m ≤－2. 5分 (2)由(1)知，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫32＝12， ∴a ＋2b ＝12ab ，∴2b ＋4a＝1，∴a ＋2b ＝(a ＋2b )⎝⎛⎭⎫2b ＋4a ＝8＋2⎝⎛⎭⎫a b ＋4ba ≥8＋2×2ab ×4ba＝16， 当且仅当4b a ＝ab ，即a ＝2b ＝8时，a ＋2b 取得最小值16.10分。

2018年高考原创押题预测卷01【新课标Ⅱ卷】理科数学·参考答案123456789101112D ABAAB DCCDCD13．−16014．4.515．2716．①④17．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）在Rt ADB △中，AB =4，ABD ∠=60°，ADB ∠=90°，∴260cos =︒=AB BD ，在BCD △中，由题知，︒=∠120BDC ，BCD ∠sin =1，由正弦定理得，BCD BDBDC BC ∠=∠sin sin ，∴BDC BD BC ∠∠=sin =31120sin 2︒=33.……………………………6分18．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图中，锻炼时间在[20，40）的频率为0.0025×20=0.05，锻炼时间在[40，60）的频率为0.0075×20=0.15，锻炼时间在[60，80]的频率为0.0200×20=0.4，∴锻炼时间的中位数在[60，80）内，设锻炼时间的中位数为x ，则0.050.15(60)0.020.5x ++-⨯=，解得75=x ，∴人们锻炼时间的中位数为75分钟.………………………………5分（Ⅱ）由频率分布直方图知，锻炼时间在[20，40）的人数为0.0025×20×40=2，锻炼时间在[40，60）的人数为0.0075×20×40=6，锻炼时间在[100，120）的人数为0.0050×20×40=4，锻炼时间在[120，140]的人数为0.0025×20×40=2，∴X 的可能取值为0，1，2，3，4，………………………………7分∴)0(=X P =22642286C C C C =143，)1(=X P =1122112646422286C C C C C C C C +=3516，)2(=X P =22111122242642622286C C C C C C C C C C ++=14039，)3(=X P =1122112622422286C C C C C C C C +=211，)4(=X P =22222286C C C C =4201，………………………………9分∴X 的分布列为X 01234P1433516140392114201…………………………10分∴()E X =0×143+1×3516+2×14039+3×211+4×4201=67.…………………………12分19．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）在Rt PAD △中，因为AP PD ==AB 3，PD AP ⊥，所以AB AP AD 362==，在ABD △中，22222)33()36(AB AB AB BD AD =+=+，所以AD BD ⊥，......................................................................................................................................1分又因为平面P AD ⊥平面ABD ，平面P AD I 平面ABD =AD ，⊂BD 平面ABD ，所以⊥BD 平面P AD ，...........................................................................................................................2分又∵⊂AP 平面P AD ，所以AP BD ⊥，............................................................................................3分因为PD AP ⊥，PD BD D =I ，........................................................................................................4分所以⊥AP 平面PBD ，因为⊂AP 平面PBA ，所以平面PBA ⊥平面PBD ................................................................................................................5分（Ⅱ）设AD 、AB 的中点分别为O ，F ，连接OP ，OF ，∴BD OF //，∵AD BD ⊥，∴AD OF ⊥，∵PD AP =，∴AD OP ⊥，∵平面P AD ⊥平面ABD ，平面P AD I 平面ABD =AD ，⊂OP 平面P AD ，∴⊥OP 平面ABD ，................................................................................................................................6分∴OP OF OA ,,两两互相垂直，以O 为原点，向量OA ，OF ，OP 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O -（如图），另设2PA =，则22=AD ，则)0,0,2(A ，)0,02(-D ，)0,2,2(-B ，2,0,0(P ，∴AD =)0,0,22(-，AP =)2,0,2(-，AB =)0,2,22(-，....................................................7分设(),,x y z =n 是平面P AB 的法向量，则00AP AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uuu r n n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-0222022y z x ，令1=z ，则1=x ，2=y ，则n =)1,2,1(.……………………9分设直线AD 与平面P AB 所成角的大小为θ（θ为锐角）.∴θsin |||AD |AD ⋅n =2221)2(122|122|++⨯⨯-=21，………………11分∴直线AD 与平面P AB 所成角的正弦值为21.................................................................................12分20．（本小题满分12分）（Ⅱ）①当直线MN PQ ,有一条斜率不存在时，437PQ MN +=+=．……6分②当PQ 斜率存在且不为0时，设方程为(1)y k x =+，1122(,),(,)P x y Q x y .联立方程，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=1)1(22y x x k y ，消去y 整理得01248)43(2222=-+++k x k x k ．2221222143124,438k k x x k k x x +-=+-=+∴．……9分221212(1)[()4]PQ k x x x x ∴=++-2(1)k +22222431244)438(k k k k +-⨯-+-=2243)1(12k k ++．把1k -代入上式，得2234)1(12k k MN ++=，222284(1)(43)(34)k PQ MN k k +∴+=++，设1),0(12>≠+=t k k t ，28411+12PQ MN t t∴+=-+，1t >，设211()12g t t t =-++=49)11(2+--，1t >，令t m 1=，则)1,0(1∈=t m ，)(m g =44921(2+--m （10<<m ），∴449)()(12≤=<t g m g ，∴7)(84748<≤t g ，48[7)7PQ MN ∴+∈，．综上，PQ MN +的取值范围是[7,748].……12分21．（本小题满分12分）学科！网【解析】（Ⅰ）易知函数)(x f 的定义域为),1(+∞，)(x f '=b bx a x a -+++-12)1ln(，由题知，⎩⎨⎧=-++='=+++=114)2(3112)2(b b a f a b f ，解得⎩⎨⎧-==13b a .……………………4分（Ⅱ）当1=b 时，)(x f =1)1)(1()1ln()1(++-++--a x x x x a ，由当2>x 时，)(x f ＞0知)(-x x f =11)1ln(++-++-x a x a ＞0，设)(x g =1)(-x x f =111)1ln(++-++-x x a x a (2>x )，………………6分∴)(x g '=1)1(112+-+--x a x a =22)1(2)2(---+x a x a x =2)1())(2(-+-x a x x ，………7分当2-≥a 时，2≤-a ，)(x g '＞0，∴)(x g 在），（∞+2上是增函数，∴当2>x 时，)(x g ＞)2(g =121+++a ≥0，解得4-≥a ，∴2-≥a 时，满足题意，……………………9分当2-<a 时，2>-a ，∴当a x -<<2时，)(x g '＜0，当a x ->时，)(x g '＞0，∴)(x g 在区间),2(a -上是减函数，在区间),(+∞-a 上是增函数，∴min )]([x g =)(a g -=111)1ln(+---++--a a a a a =a a a ---)1ln(，由题知min )]([x g =a a a ---)1ln(＞0，即1)1ln(<--a ，即21e a a <-⎧⎨--<⎩，解得e 12a --<<-，……………………11分综上所述，实数a 的取值范围为(e 1,)--+∞.………………………………12分22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程【解析】（Ⅰ）消去直线l 参数方程中的t 得，250x y --=，………2分由0cos 2=+θρ得，0cos 22=+θρρ，将222y x +=ρ，x =θρcos 代入得圆C 的直角坐标方程为0222=++x y x .…………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圆C 的圆心C （−1，0），半径为1，∴||AB 表示圆C 上点B 与直线上点A 的距离，………………7分∵圆心C 到直线l 的距离为22|1205|2(1)d =+-=557，∴||AB 的最小值为157-.………………10分23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（Ⅱ）由题知)3()(++x f x f =|1||2|++-x x ≥|12|---x x =3，∴)3()(++x f x f 的最小值为3，∴322≤+m m ，解得13≤≤-m ，∴实数m 的取值范围为]1,3[-.………………10分。

2024年新高考数学押题密卷（二）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}1,2,0,2A =-，{}2,B y y x x x A ==+∈，{}2Z 60C x x x =∈-≤.则B C ⋂=（）A ．{}0,2B ．{}0,2,6C ．{}1,2,0,2-D ．{}0,2,6,22．用最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5,6)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若6130i i x ==∑，则61i i y ==∑（）A ．11B ．13C ．63D ．783．在ABC 中，4AB =，3AC =，且AB AC AB AC +=- ，则AB BC ⋅=（）A ．16B ．16-C ．20D ．20-4．已知函数22()sin cos (),()f x x x x f x =-∈'R 是()f x 的导数，则以下结论中正确的是（）A ．函数π2f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数B ．函数()f x 与()f x '的值域相同C ．函数()f x 的图象关于直线4x π=对称D ．函数()f x 在区间ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增5．将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一多面体，则这个多面体的外接球的体积为（）A ．8πB ．8π3C D ．36．已知集合1111,,,,2,32323A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，若,,a b c A ∈且互不相等，则使得指数函数x y a =，对数函数log b y x =，幂函数c y x =中至少有两个函数在(0,)+∞上单调递增的有序数对(,,)a b c 的个数是（）A ．16B ．24C ．32D ．487．已知数列{}n a 的各项均为正数，记()12n A n a a a =+++ ，()231n B n a a a +=+++ ，()342n C n a a a +=+++ ，*n ∈N ，设甲：{}n a 是公比为q 的等比数列；乙：对任意*n ∈N ，()A n ，()B n ，()C n 三个数是公比为q 的等比数列，则（）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分又不必要条件8．设O 为坐标原点，直线l 过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭，且与C 交于,M N 两点，其中M 在第一象限，则下列正确的是（）A ．C 的准线为14x =-B ．1344MF NF MF NF ++⋅的最小值为38C ．以MN 为直径的圆与x 轴相切D ．若(0,)Q p 且MQ MF =，则180ONQ OMQ ∠+∠>二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数12,z z ，则下列命题正确的是（）A ．若12=z z ，则12=±z z B ．若21z z =，则2121z z z =C ．若1z 是非零复数，且2112z z z =，则12z z =D ．若1z 是非零复数，则1110z z +≠10．已知函数()()2e xf x x ax b =++，下列结论正确的是（）A ．若函数()f x 无极值点，则()f x 没有零点B ．若函数()f x 无零点，则()f x 没有极值点C ．若函数()f x 恰有一个零点，则()f x 可能恰有一个极值点D ．若函数()f x 有两个零点，则()f x 一定有两个极值点11．正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（）A ．当0λ=，1μ=时，AP 与平面ABC 所成角为π4B ．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥C ．当1λ=，12μ=时，平面1AB P ⊥平面1A ABD ．若1AP =，则点P 的轨迹长度为π2第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

泄露天机2018高考押题卷理科数学(一) 2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（一）注意事项：1.在答题卡上填写姓名和准考证号。

2.选择题用铅笔在答题卡上标记选项，非选择题在答题卡上作答。

3.考试结束后将试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

1.复数z=a+ai(a∈R)的共轭复数为z，满足z=1，则复数z 为（）A。

2+iB。

2-iC。

1+iD。

i解析】根据题意可得，z=a-ai，所以z^2=a^2+1=1，解得a=0，所以复数z=i。

2.集合A={θ|0＜θ＜π/2.2＜sinθ≤1}，B={φ|4/5＜φ＜1}，则集合AB={θ|π/4＜θ＜π/2.4/5＜sinθ≤1}。

解析】A可以化为{θ|π/6＜θ＜π/2}，所以AB为{θ|π/4＜θ＜π/2.4/5＜sinθ≤1}。

3.从有2对不同表征的小鼠（白色斑块和短鼻子野生小鼠各一对）的实验箱中每次拿出一只，不放回地拿出2只，则拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为3/4.解析】分别设一对白色斑块的野生小鼠为A，a，另一对短鼻子野生小鼠为B，b，从2对野生小鼠中不放回地随机拿出2只，所求基本事件总数为4×3=12种，拿出的野生小鼠不是同一表征的事件为(A,a)，(a,A)，(B,b)，(b,B)，所以概率为3/4.1.将函数f(x)=2sin(ωx+ϕ)的图像向左平移π/6个单位长度后得到函数y=sin2x+3cos2x的图像，求ϕ的可能值。

解析：将函数y=sin2x+3cos2x=2sin(2x+π/3)的图像向右平移π/6个单位长度，得到函数y=2sin2x的图像。

因此，ϕ=π/6.2.在XXX墓中发掘出堆积如山的“汉五铢”铜钱，假设把2000余缗铜钱放在一起码成一堆，摆放规则如下：底部并排码放70缗，然后一层一层往上码，每层递减一缗，最上面一层为31缗，则这一堆铜钱的数量为多少？解析：构成一个以首项为70缗，末项为31缗，项数为40层，公差为1的等差数列，则和为S=40×(70+31)=2020缗，这一堆铜钱的数量为2020×1000=2.02×106枚。

决胜2024年高考数学押题预测卷02数 学（新高考九省联考题型）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若(12i)(32i)2i z ---=+，则z =（ ）A 33i - B. 33i+ C. 33i-+ D. 33i--2．已知向量(2,0),(a b ==-r r，则a r 与()a b -r r 夹角的余弦值为（ ）A. B. 12-C.123． “直线1sin 102x y q +-=与cos 10x y q ++=平行”是“π4q =”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．若()62345601234561x a a x a x a x a x a x a x -=++++++，则246a a a ++=（ ）A. 64B. 33C. 32D. 315．公元656年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的“开立圆术”.祖暅在求球的体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是立体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等.更详细点说就是，介于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积相等.上述原理在中国被称为“祖暅原理”.3D 打印技术发展至今，已经能够满足少量个性化的打印需求，现在用3D 打印技术打印了一个“睡美人城堡”.如图，其在高度为h 的水平截面的面积S 可以近似用函数()()2π9S h h =-，[]0,9h Î拟合，则该“睡美人城堡”的体积约为（ ）A. 27πB. 81πC. 108πD. 243π.6.在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为a b c ､､，若()()()sin sin sin sin a c A C b A B +-=-，且c =2ba -的取值范围为（ ）A. ()1,2-B. ö÷øC. æççèD. (-7．已知正实数,,a b c 满足2131412,3,4a b c a b c a b c a b c+++=-=-=-，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. c b a <<B. a b c<<C. a c b<< D. b a c<<8．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12π3F PF Ð=，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则22122212313e e e e +++的最小值是（ ）二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（ ）A. 数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的第70百分位数是8.5B. 若随机变量()()2~2,10.68X N P x s>=，，则()230.18P x £<=C. 设A B ，为两个随机事件，()0P A >，若()()P BA PB =∣，则事件A 与事件B 相互独立D. 根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到2 4.712=c ，依据0.05a =的卡方独立性检验()0.05 3.841=x ，可判断X 与Y 有关且该判断犯错误的概率不超过0.0510．若函数2222()2sin log sin 2cos log cos f x x x x x =×+×，则（ ）A. ()f x 的最小正周期为pB. ()f x 的图象关于直线4x p=对称C. ()f x 的最小值为1-D. ()f x 的单调递减区间为2,24k k p p p æö+ç÷èø，k ZÎ11．设函数()f x 的定义域为R ，()f x 为奇函数，(1)(1)f x f x +=-，(3)1f =，则（ ）A ()11f -= B. ()(4)f x f x =+C. ()(4)f x f x =-D.181()1k f k ==-å三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分..12．已知集合{}24A x x =-<<，122x B x ìü=>íýîþ，则A B =I ______________.13．已知A 为圆C ：()22114x y +-=上动点，B 为圆E ：()22134x y -+=上的动点，P 为直线12y x =上的动点，则PB PA -的最大值为______________.14.已知数列{}n a 的通项公式为122311,3+==++×××++n n n n a S a a a a a a n ，若对任意*N n Î，不等式()432n n S n l +<+恒成立，则实数l 的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：场次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911（1）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；（2）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X 表示乙得分大于丙得分的场数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设1Y 为甲获胜的场数，2Y 为乙获胜的场数，3Y 为丙获胜的场数，写出方差()1D Y ，()2D Y ，()3D Y 的大小关系.16．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为平行四边形，2,90AB AD ABD Ð===o ，矩形BDEF 所在平面与底面ABCD 垂直，M 为CE 的中点.的（1）求证：平面BDM P 平面AEF ；（2）若平面BDM 与平面BCF CE 与平面BDM 所成角的正弦值.17．已知函数()()ln 1f x x a x a =--ÎR .（1）若曲线()y f x =在点(1,0)处的切线为x 轴，求a 的值；（2）讨论()f x 在区间(1,)+¥内极值点的个数；18．已知抛物线：22y x =，直线:4l y x =-，且点,B D 在抛物线上．（1）若点,A C 在直线l 上，且,,,A B C D 四点构成菱形ABCD ，求直线BD 的方程；（2）若点A 为抛物线和直线l 的交点（位于x 轴下方），点C 在直线l 上，且,,,A B C D 四点构成矩形ABCD ，求直线BD 的斜率．19．若无穷数列{}n a 的各项均为整数．且对于,,i j i j *"Î<N ，都存在k j >，使得k j i j i a a a a a =--，则称数列{}n a 满足性质P ．（1）判断下列数列是否满足性质P ，并说明理由．①n a n =，1n =，2，3，…；②2n b n =+，1n =，2，3，…．（2）若数列{}n a 满足性质P ，且11a =，求证：集合{}3∣n n a *Î=N 为无限集；（3）若周期数列{}n a 满足性质P ，请写出数列{}n a 的通项公式（不需要证明）．决胜2024年高考数学押题预测卷02数 学（新高考九省联考题型）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

2023年高考考前押题密卷数学·全解全析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．【改编】设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U B A = ð（）A ．{5}B ．{2,4}C ．{4,5}D ．{3,5}【答案】B【解析】由题设可得{}U 2,4,5A =ð，故(){}U 2,4A B = ð，故选：B.2．已知i 12iz=-，i 为虚数单位，则z =（）A ．2i -+B ．2i-C ．2i+D ．2i--【答案】C【解析】因为i 12iz=-，则()i i 122i z =-=+.故选：C.3．将向量OP =绕坐标原点O 顺时针旋转30︒得到1OP，则1OP OP ⋅= （）A ．0BC ．2D ．【答案】D【解析】根据题意可知1111OP OP OP =⋅==D4．黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器.该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足.器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收.黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径22.5cm ，足径14.4cm ，高3.8cm ，其中底部圆柱高0.8cm ，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（）（附：圆台的侧面积()πS R r l =+，R ，r 为两底面半径，l 为母线长，其中π的值取3，5.04≈）A ．2313.52cmB ．2300.88cmC ．2327.24cmD ．2344.52cm 【答案】A【解析】设该圆台的母线长为l ，两底面圆半径分别为R ，r （其中R r >），则222.5R =，214.4r =， 3.80.83h =-=，所以 5.04l ===≈，故圆台部分的侧面积为()()21π311.257.2 5.04278.964cm S R r l =+≈⨯+⨯=，圆柱部分的侧面积为222π0.867.20.834.56cm S r =⋅=⨯⨯=，故该黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为212278.96434.56313.524cm S S +≈+=.故选：A.5．某病毒暴发，全省支援，需要从我市某医院某科室的4名男医生（含一名主任医师）､5名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为（）A ．38B ．310C ．611D ．617【答案】D【解析】记“选派3名男医生和2名女医生，有一名主任医生被选派”为事件A ，则()2231134343432245C C C C C C C C 0172P A +==+，记“选派3名男医生和2名女医生，两名主任医师都被选派”为事件B,则()()()()213432453C C 3610,C C 10117207P AB P AB P B A P A ==∴===∣，故选：D 6．已知ππ4k θ≠+()k ∈Z ，且cos 2cos sin 3πcos 2θθθθ=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则ππtan tan 242θθ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．133-B ．53C ．13-D ．83【答案】A【解析】因为cos 2cos sin 3πcos 2θθθθ=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以s sin cos 2cos in θθθθ--=，即2cos 2co s s s in in θθθθ=-+，所以222cos sin c n os in i s s θθθθθ-=-+，所以221tan tan tan θθθ-=-+，解得1tan 2θ=-或tan 1θ=，因为ππ4k θ≠+()k ∈Z ，所以1tan 2θ=-，所以2πtan tanπππ2tan 4tan tan 2tan tan 2π4241tan 1tan tan 4θθθθθθθ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭+23112211311121122⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=+=-⎛⎫⎛-⎫+⨯-⎭- ⎪ ⎪⎝⎭--⎝.故选：A 7．已知0.1e 1=-a ，0.1b =，ln1.1c =，则（）A ．c<a<b B ．b<c<a C ．c b a <<D ．a b c<<【答案】C【解析】设()e 1x f x x =--，求导()e 1xf x '=-，所以当0x ≥时，()0f x '>，()f x 单调递增，故()()0.10f f >，即0.1e 10.10-->，所以a b >；设()()ln 1g x x x =-+，求导()1111x g x x x '=-=++，所以当0x ≥时，()0g x '≥，()g x 单调递增，()()0.10.1ln1.100g g =->=，所以b c >，故a b c >>.故选：C8．已知函数()f x 及其导函数()f x '定义域均为R ，满足33222f x f x x ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，记()()g x f x '=，其导函数为()g x '且()3g x '-的图象关于原点对称，则()992g g ⎛⎫'+= ⎪⎝⎭（）A ．0B ．1C ．4D ．3【答案】B【解析】由()3g x '-关于原点对称，则(3)g x -关于y 轴对称，且()()33g x g x -=-'+'，所以()g x 关于3x =对称，()g x '关于(3,0)对称，且(3)0g '=，又33222f x f x ⎛⎫⎛⎫''++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即33222g x g x ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 关于3(,1)2对称，综上，(6)()g x g x -=，(3)()2g x g x -+=，则(6)(3)2g x g x -+-=，所以3393(6(3)()()22222g g g g -+-=+=，而3(12g =，故9()12g =，又()(3)0g x g x ''--=，则()g x '关于32x =对称，即(3)()g x g x ''-=，所以()()3g x g x ''=-+，则()()()9630g g g =-=''='，所以()9912g g ⎛⎫'+= ⎪⎝⎭.故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．大年除夕吃年夜饭是中国古老的民俗传统，唐朝诗人孟浩然曾写下“续明催画烛，守岁接长筵”这样的诗句．为了解某地区居民的年夜饭消费金额，研究人员随机调查了该地区100个家庭，所得金额统计如图所示，则下列说法正确的是（）A ．可以估计，该地区年夜饭消费金额在24000]320（，家庭数量超过总数的三分之一B ．若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭消费金额超过2400元的有940个C ．可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的平均数不足2100元D ．可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的中位数超过2200元【答案】ABD【解析】由题意得，年夜饭消费金额在(2400,3200]的频率为350.35100=，故A 正确；若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭超过2400元的家庭个数为472000940100⨯=，故B 正确；平均数为4000.0812000.220000.2528000.3536000.0844000.042216⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元），故C 错误；中位数为221600800230425+⨯=（元），故D 正确．故选：ABD ．10．已知双曲线:C 22213x y a -=(0)a >的左、右焦点分别为1F ，2F ，抛物线28y x =的焦点与双曲线C 的焦点重合，点P 是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（）A ．双曲线C 的渐近线方程为y =B ．17PF =C ．12F PF △的面积为D ．126cos 7F PF ∠=【答案】AB【解析】由已知，抛物线的焦点坐标为()2,0，所以双曲线右焦点()22,0F ，即2c =.又23b =，所以2221a c b =-=，所以，双曲线的方程为2213y x -=.对于A 项，双曲线的C的渐近线方程为by x a=±=，故A 项正确；对于B 项，联立双曲线与抛物线的方程222138y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，整理可得，23830x x --=，解得3x =或13x =-（舍去负值），所以3x =，代入28y x =可得，y =±.设(P ，又()12,0F -，所以17PF =，故B 项正确；对于C项，易知122211422F PF S F F =⨯⨯⨯⨯ ，故C 项错误；对于D 项，因为25PF =，所以，由余弦定理可得，22212121212cos 2PF PF F F F F P P P F F +⨯=-∠222754296275357+-==≠⨯⨯，故D 项错误.故选：AB.11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为边AD 的中点，点P 为线段1D B 上的动点，设11D P D B λ=，则（）A ．当13λ=时，EP //平面1AB CB．当12λ=时，PEC ．PA PC +的最小值为3D ．当1C ∈平面CEP 时，14λ=【答案】BC【解析】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，建立如图所示的空间直角坐标系，11(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,2),(1,0,0)A B C D B E ，111()2,22,(2,,22),D D P D B B λλλλ==-=-，则点(2,2,22)P λλλ-，对于A ，13λ=，224(,,)333P ，124(,,)333EP =- ，而1(2,2,0),(0,2,2)AC AB =-= ，显然1112(2)22)0,22220D B AC D B AB ⋅=⨯-+⨯=⋅=⨯-⨯= ，即1D B是平面1AB C 的一个法向量，而10124(22323)3(EP D B -⨯⋅=-+⨯⨯≠+ ，因此EP 不平行于平面1AB C ，即直线EP 与平面1AB C 不平行，A 错误；对于B ，(21,2,22)EP λλλ-=-，则||EP = ，因此当12λ=时，PE，B 正确；对于C ，(22,2,22),(2,22,22)AP CP λλλλλλ-==---，于是||||AP CP +==≥ 当且仅当23λ=时取号，C 对于D ，取11A D 的中点F ，连接1,,EF C F CE，如图，因为E 为边AD 的中点，则11////EF DD CC ，当1C ∈平面CEP 时，P ∈平面1CEFC ，连接111B D C F Q = ，连接BD CE M = ，连接MQ ，显然平面1CEFC 平面11BDD B MQ =，因此1MQ D B P = ，111//,BB CC CC ⊂平面1CEFC ，1BB ⊄平面1CEFC ，则1//BB 平面1CEFC ，即有1//MQ BB ，而1111112D Q D F QB B C ==，所以1111113D P D Q D B D B λ===，D 错误.故选：BC 12．记()f x '、()g x '分别为函数()f x 、()g x 的导函数，若存在0x ∈R ，满足()()00f x g x =且()()00f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”，则下列说法正确的为（）A ．函数()e xf x =与()1g x x =+存在唯一“S 点”B ．函数()ln f x x =与()2g x x =-存在两个“S 点”C ．函数()f x x =与()222g x x x =+-不存在“S 点”D ．若函数()21f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，则e 2a =【答案】ACD【解析】令()()()h x f x g x =-.对于A 选项，()e 1x h x x =--，则()e 1xh x '=-，由()0h x '<可得0x <，由()0h x '>可得0x >，所以，函数()h x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，所以，()()00e 010h x h ≥=--=，所以，()()000h h '==，此时，函数()e xf x =与()1g x x =+存在唯一“S 点”，A 对；对于B 选项，()ln 2h x x x =-+，则()111xh x x x-'=-=，函数()h x 的定义域为()0,∞+，令()0h x '=可得1x =，且()1ln11210h =-+=≠，所以，函数()ln f x x =与()2g x x =-不存在“S 点”，B 错；对于C 选项，()()22222h x x x x x x =-+-=--+，则()21h x x '=--，令()0h x =可得220x x +-=，解得1x =或2-，但()130h '=-≠，()230h '-=≠，此时，函数()f x x =与()222g x x x =+-不存在“S 点”，C 对；对于D 选项，()2ln 1h x ax x =--，其中0x >，则()12h x ax x'=-，若函数()21f x ax =-与()ln g x =存在“S 点”，记为0x ，则()()2000000ln 10120h x ax x h x ax x ⎧=--=⎪⎨=-='⎪⎩，解得02x a ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩D 对.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【改编】在()52231x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为______．【答案】200-【解析】()55522222313x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的展开式中x 的项为322322355223C C 24040200x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以展开式中x 的系数为200-．故答案为：200-.14．曲线212e x y x-=在点1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为___________.【答案】880x y +-=【解析】因为212212121214332e 2e 2e 2e 2e (1)x x x x x x x x x y x x x --------'===，所以1212(1)2|818x k y =⨯-'===-，所以切线方程为：148()2y x -=--，即：880x y +-=.故答案为：880x y +-=.15．已知圆22:8O x y +=及圆()()22:11A x a y -++=，若圆A 上任意一点P ，圆O 上均存在一点Q 使得45OPQ ∠=︒，则实数a 的取值范围是______.【答案】a -≤【解析】由(,1)A a -，即A 在1y =-上运动，而P 为圆A 上任意一点，要使圆O 上存在一点Q 使45OPQ ∠=︒，即过P 点相互垂直的两直线与圆A 有交点且OP 与两条垂线的夹角均为45︒即可，所以，只需P 为射线OA 与圆A 交点时，使过P 点相互垂直的两直线与圆A 有交点且OP 与两条垂线的夹角均为45︒，如上图，上述两条垂线刚好与圆O 相切为满足要求的临界情况，所以，只需OP ，r 为圆O 半径，即4OP ≤，又11OP OA =+=14+≤，可得a -≤.故答案为：a -≤≤16．已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的右焦点为F ，左右顶点分别为A ，B ，点P 是椭圆G 上异于A ，B 的动点，过F 作直线AP 的垂线交直线BP 于点(,)M m n ，若0m a +=，则椭圆G 的离心率为__________．【答案】12/0.5【解析】不妨设直线AP 的斜率大于0，设为k ，则直线AP 的方程为()y k x a =+，直线FM 的方程为1()y x c k=--，所以,a c M a k +⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2BM a c k ak +=-，由,P P PAPB P P y y k k x a x a ==+-，则222P PA PB P y k k x a =-，又22221P P x y a b +=，即22222P P b x y b a=-，所以2222222222(1PP PA PBP P x b y b a k kx a x a a-===---，所以222BM PA a c b k k a a+⋅==--且222b a c =-，解得12e =(负值舍去)．故答案为：12四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知{}n a 为等差数列，且1223n n a a n +=-+．（1）求{}n a 的首项和公差；（2）数列{}n b 满足()11,321,313k k n n n n k a a b a k n k+⎧=-⎪⋅=⎨⎪-⋅-≤≤⎩，其中k 、n *∈N ，求601i i b =∑．【答案】（1）21n a n =-；（2）6012041i i b ==∑【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11n a a n d +-=，由1223n n a a n +=-+可得()112123a nd a n d n +=+--+⎡⎤⎣⎦，即()12320d n a a -++-=，所以，120320d a d -=⎧⎨+-=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，()()1112121n a a n d n n =+-=+-=-.（2）因为()11,321,313k k n n n n k a ab a k n k+⎧=-⎪⋅=⎨⎪-⋅-≤≤⎩，则()()()()1,322121121,313n n n k k k b n k n k ⎧=-⎪-+=⎨⎪-⋅--≤≤⎩，所以1475811111335573941b b b b ++++=++++⨯⨯⨯⨯ 11111111201233557394141⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦；()()()258115659258115659b b b b b b a a a a a a ++++++=-+-++- 3220120=-⨯⨯=-；()()()369125760369125760b b b b b b a a a a a a ++++++=-++-+++-+ 3220120=⨯⨯=.因此，()()()601475825859369601i i b b b b b b b b b b b b b ==++++++++++++++∑ 20201201204141=-+=.18．（12分）如图，在ABC 中，D ，E 在BC 上，2BD =，1DE EC ==，BAD CAE ∠=∠．（1）求sin sin ACBABC∠∠的值；（2）求ABC 面积的取值范围．【答案】（1）sin sin ACBABC∠∠=（2）(0,.【解析】（1）因为2BD =，1DE EC ==，BAD CAE ∠=∠，所以1sin 2211sin 2ABDAECAB AD BADS AB AD S AC AE AC AE EAC ∠∠⋅⋅⋅===⋅⋅⋅ ，1sin 3212sin 2ABE ADCAB AE BAES AB AE S AC AD AC AD DAC ∠∠⋅⋅⋅===⋅⋅⋅ ，故223AB AC=，即AB AC =则在ABC中，根据正弦定理可得，sin sin ACB ABABC AC∠∠==；（2）设AC x =，则=AB，由4,4,x x ⎧>⎪-<解得1)1)x -<<，在ABC中，2222cos 2AB BC AC ABC AB BC ∠+-=⋅则422223264sin 1cos 48x x ABC ABC x ∠∠-+-=-=，()2224221619213264sin 244ABCx x x S AB BC ABC ∠--+-+-⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭，由1)1)x <<，得21616x -<+2048ABC S <≤ ，故ABC面积的取值范围为(0,．19．（12分）2023年，全国政协十四届一次会议于3月4日下午3时在人民大会堂开幕，3月11日下午闭幕，会期7天半；十四届全国人大一次会议于3月5日上午开幕，13日上午闭幕，会期8天半.为调查学生对两会相关知识的了解情况，某高中学校开展了两会知识问答活动，现从全校参与该活动的学生中随机抽取320名学生，他们的得分（满分100分）的频率分布折线图如下.（1）若此次知识问答的得分()2,X N μσ ，用样本来估计总体，设μ，σ分别为被抽取的320名学生得分的平均数和标准差，求()50.594P X <≤的值；（2）学校对这些被抽取的320名学生进行奖励，奖励方案如下：用频率估计概率，得分小于或等于55的学生获得1次抽奖机会，得分高于55的学生获得2次抽奖机会.假定每次抽奖抽到价值10元的学习用品的概率为34，抽到价值20元的学习用品的概率为14.从这320名学生中任取一位，记该同学在抽奖活动中获得学习用品的价值总额为ξ元，求ξ的分布列和数学期望（用分数表示），并估算此次抽奖要准备的学习用品的价值总额.参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，()220.9545P X μσμσ-<≤+≈，()330.9973P X μσμσ-<≤+≈14.5≈，30.3758=.【答案】（1）0.8186；（2）分布列见解析，32516，6500元【解析】（1）由折线图可知：350.025450.15550.2650.25750.225850.1950.0565μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，()()()222235650.02545650.1555650.20σ=-⨯+-⨯+-⨯+()()()22275650.22585650.195650.05210+-⨯+-⨯+-⨯=，所以14.5σ≈，()265,14.5X N ~，所以()()0.95450.682750.59420.818622P X P X μσμσ<≤=-<≤+=+=.（2）由题意可知ξ的可能取值为10，20，30，40，则()3558P X ≤=，()5558P X >=，()339108432P ξ===，()31533572084844128P ξ==⨯+⨯⨯=，()5131530284464P ξ==⨯⨯=，()511540844128P ξ==⨯⨯=，所以ξ的分布列为ξ10203040P9325712815645128()95715532510203040321286412816E ξ=⨯+⨯⨯+⨯=，故此次抽奖要准备的学习用品的价值总额约为325320650016⨯=元.20．（12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，点D ，E ，F ，G 分别为棱11A B ，1AA ，1CC ，1BB 上的点，且11A D B D =，12AE A E =，12C F CF =，12BG B G =.（1）证明：//EF 平面1C DG ；（2）若16AA =，24BC AC ==，四边形11BCC B 为矩形，平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，1AC C G ⊥，求平面1C DG与平面DEF 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）51【解析】（1）如图,连接,BF BE ,取GB 的中点H ,连接1A H .因为111111//,,2,2CC BB CC BB C F CF BG B G ===,所以1//C F BG ,且1C F BG =.所以四边形1C FBG 是平行四边形.所以1//BF C G .因为BF ⊂平面11,C DG C G ⊂面1C DG ，所以//BF 平面1C DG ,易得点G 为1B H 的中点,因为点D 为11A B 的中点,所以1//DG A H .因为12AE A E =.所以113AA A E =.又11111//,=,3AA BB AA BB BB HB =,所以1//A E HB 且1A E HB =,所以四边形1A EBH 为平行四边形.所以1//BE A H ,所以//BE DG .因为BE ⊂平面1,C DG DG ⊂平面1C DG .所以//BE 平面1C DG .因为BE BF B = ,所以平面//BEF 面1C DG .因为EF ⊂平面BEF ,所以//EF 平面1C DG ,（2）因为四边形11BCC B 为矩形,所以1BC CC ⊥.因为平面11BCC B ⊥平面11ACC A ,平面11BCC B 平面111ACC A CC =,所以BC ⊥平面11ACC A ，因为AC ⊂平面11ACC A ,所以BC AC ⊥，因为1AC C G ⊥,所以AC BF ⊥.因为,BF BC B BF ⋂=⊂平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，所以AC ⊥平面11BCC B .又1CC ⊂平面1BCC B ,所以1AC CC ⊥.以C 为原点,1,,CB CA CC的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系，则1(0,0,6),(2,1,6),(4,0,4),(0,2,4),(0,0,2)C D G E F ,所以11(2,1,0),(4,0,2),(2,1,2),(0,2,2)C D C G ED EF ==-=-=--，设平面1C DG 的法向量为()111,,n x y z =,则11111120,420,n C D x y n C G x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 令11x =,得112,2z y ==-.所以平面1C DG 的一个法向量为(1,2,2)n =-.设平面DEF 的法向量为()222,,m x y z =,则22222220,220,m ED x y z m EF y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ 令21y =,得2231,2z x =-=.所以平面DEF 的一个法向量为3,1,12m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.设平面1C DG 与平面DEF 所成的锐二面角为θ,则||cos |cos ,|||||n m n m n m θ⋅=〈〉=,所以平面1C DG 与平面DEF所成锐二面角的余弦值为51.21．（12分）已知点M 为双曲线2222:1(0)2x y C a a a -=>+右支上除右顶点外的任意点，C的一条渐近线与直线20x -=互相垂直．（1）证明：点M 到C 的两条渐近线的距离之积为定值；（2）已知C 的左顶点A 和右焦点F ，直线AM 与直线1:2l x =相交于点N ．试问是否存在常数λ，使得AFM AFN λ∠=∠若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在2λ=，理由见解析【解析】（1）因为双曲线C的一条渐近线与直线20x +-=互相垂直，a=1a =．所以双曲线C 的方程为2213y x -=．设点M 的坐标为()00,x y ，则220013y x -=，即220033x y =-．双曲线的两条渐近线1l ，2l0y y -=+=，则点M到两条渐近线的距离分别为12d d ==，则2200123344x y d d -===．所以点M 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为定值．（2）存在2λ=．①当02x =时，3MF AF ==，又N 是AM 的中点，所以45AFN MFN ∠=∠=︒，所以2AFM AFN ∠=∠，此时2λ=．②当02x ≠时．ⅰ）当M 在x 轴上方时，由()()001,0,,A M x y -，可得001AM y k x =+，所以直线AM 的直线方程为()0011y y x x =++，把12x =代入得()0013,221y N x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭．所以00003211122NFy y x k x ⨯+==-+-，则00tan 1y AFN x ∠=+．由二倍角公式可得()()()0000222000002121tan 22111y x x y y AFN x x y y x ⨯++∠===-+-⎛⎫- ⎪+⎝⎭．因为直线MF 的斜率002MF y k x =-及tan MF AFM k ∠=-，所以0tan 2y AFM x ∠=-，则tan tan 2AFM AFN ∠=∠．因为()π0,π,0,2AFM AFN ⎛⎫∠∈∠∈ ⎪⎝⎭，所以2AFM AFN ∠=∠．ⅱ）当M 在x 轴下方时，同理可得2AFM AFN ∠=∠．故存在2λ=，使得2AFM AFN ∠=∠．22．（12分）已知函数()()ln 1f x x =+，()2g x ax x =+.（1）当1x >-时，()()f x g x ≤，求实数a 的取值范围；（2）已知*n ∈N ，证明：111sinsin sin ln2122n n n+++<++ .【答案】（1）0a ≥；（2）证明见解析【解析】（1）令()()()ln 11h x x x x =+->-，则()1111x h x x x '=-=-++，当10x -<<时，()0h x '>，则函数()h x 在()1,0-上单调递增，当0x >时，()0h x '<，则函数()h x 在()0,∞+上单调递减，所以，()()max 00h x h ==，即()ln 1x x ≤+，所以，当0a ≥时，()2ln 1x x ax x +≤≤+，即()()f x g x ≤，当a<0时，取010x a=->，由于()0ln 1ln10x +>=，而2200110ax x a a a⎛⎫+=⋅--= ⎪⎝⎭，得()2000ln 1x ax x +>+，故()()00f x g x >，不合乎题意.综上所述，0a ≥.（2）证明：当0a =时，由（1）可得()ln 1x x ≤+，则ln 1≤-x x ，可得11ln1x x ≤-，即1ln 1x x -≤-，即()1ln 11x x x≥->，令111t x =-，所以，1t x t =-，所以，1ln1t t t ≥-，即()()1ln ln 11t t t t --≥>，所以，()()1ln ln 1n k n k n k≤+-+-+，{}0,1,2,,k n ∈ ，令()()sin 0g x x x x =->，则()1cos 0g x x '=-≥，且()g x '不恒为零，所以，函数()g x 在()0,∞+上单调递增，故()()00g x g >=，则()sin 0x x x <>，所以，()()11sinln ln 1n k n k n k n k<≤+-+-++，{}0,1,2,,k n ∈ ，所以，111sinsin sin 122n n n+++++ ()()()()()ln 1ln ln 2ln 1ln 2ln 21n n n n n n <+-++-+++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()2ln 2ln ln 2n n n n=-==.。

数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A．14 B．74．某公司对2022年的营收额进行了统计，并绘制扇形统计图如图所示，在华中地区的三省中，湖北省的营收额最多，河南省的营收额最少，湖南省的营收额约A ．该公司在湖南省的营收额在华中地区的营收额的占比约为B ．该公司在华东地区的营收额比西南地区､东北地区及湖北省的营收额之和还多C ．该公司在华南地区的营收额比河南省营收额的三倍还多D ．该公司2022年营收总额约为30800万元5．函数的图象大致为（ ） ()21ln 11x x x f x x x -+⎛⎫= ⎪--⎝⎭． ．C ．6．数列中，{}n a n a 做期盼数，则区间[1,A ．20237．已知，函数0w >A ．平面 //BD 11CB DC ．与共面1D C 1AC 11．若存在，使得关于[)1,x ∞∈+（ ）A ．B ．四边形5AB = 255,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分．是其左、右顶点，M 是椭圆上分别与椭圆交于C ，D 两点． ，求的内切圆的最大面1CF D.(1)求实数a 的取值范围；(2)证明：. 22e a mn a <<（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程][选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()2f x x =-+m ，正数a ，b ，c 满足a b ++2023年高考考前押题密卷（全国甲卷）数学（理科）·参考答案题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分．设，则ABI θ∠=BAI ∠在中，由正弦定理得，ABI △因为分别是的中点，所以，且，（1分）,H F 11,DD CC //HF AB =HF AB 所以是平行四边形，所以.因为，所以ABFH AH 14DD DG =14DD DG =又，所以是的中点.（5分）12DD DH =2DH DG =G DH 又因为是的中点，所以，所以，所以四点共面．E AD //EG BF ,,,B E G F （2）如图2，以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，D 1,,DA DC DD ,,x y z 则，，，，，()2,2,0B ()1,0,0E (0,C )0,2,1()2,0,0A ()12,0,2A 1C ，.（7分） ()10,2,2BA =- ()12,0,2BC =- ，)z（2）①设，则(4,)(0)P t t ≠， 2:2PB l x y t=+联立方程，得226234120x y t x y ⎧=-⎪⎨⎪21．【详解】（1）由题意，(f 所以有两个不相等正根，即ln 3a x x+=记函数，则()3ln h x x x x =-h 令，得，令()0h x '=2e x =(h x '所以函数的单调递增区间为()3ln h x x x x =-要使有两个不相等正根，则函数3ln a x x x =-由图知，故实数a 的取值范围20e a <<（2）函数定义域为()f x ()(0,,f '+∞当时，，在0a ≤()0f x ¢>()f x (0,+当时，若时，0a >0x a <<()0f x '<第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．【详解】（1）当时，，0x ≤()2342f x x x x =--=-+解，即，解得；()10f x ≥4210x -+≥2x ≤-当时，，02x <≤()2322f x x x x =-+=+解，即，解得，无解； ()10f x ≥2210x +≥4x ≥当时，，2x >()2342f x x x x =-+=-解，即，解得.（4分）()10f x ≥4210x -≥3x ≥综上所述，不等式的解集为. （5分）()10f x ≥(][),23,-∞-+∞ （2）由（1）可知，.()24,022,0242,2x x f x x x x x -≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩当时，；0x ≤()422f x x =-+≥当时，；02x <≤()222f x x =+>当时，，（7分）2x >()426f x x =->所以函数的最小值为2，所以，所以.（8分）()f x 2m =2a b c ++=由柯西不等式可得，，（9分） ()()()()222222231114a b c a b c a b c ++=++++≥++=当且仅当时，等号成立.所以，所以。

2023年高考押题预测卷03【新高考II卷】英语·答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15B C B C C A B B C C B A A A C16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30A B C A C A A D B B C D C B D31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45D C B B A G DE C A B C A D A46 47 48 49 50 51 52 53 54 55C C A B CD D B D C56. broaden 57. won 58. fully 59. and 60. understanding 61. unnoticed 62. response 63. other 64.is 65.as第四部分写作(共两节，满分40分)第一节(满分15分)A Chinese Traditional Painting Contest for Exchange StudentsLast week witnessed a Chinese traditional painting contest among foreign exchange students in our school.More than 50 candidates actively participated and submitted their remarkable entries, including landscape painting and flower and bird painting works. After a careful selection process,20 outstanding works were awarded for their innovative patterns and fantastic skills, which are nowon display on the school website.The contest turns out to be a big hit. Not only does it provide a platform for exchange students to showcase their talent, but also it further stimulates their eagerness to deepen their understandingof Chinese traditional culture.第二节(满分25分)We were all divided into groups and given a specific job. I was assigned to place beans into a box. As a group we worked fast, the boxes would move and move so fast that sometimes I wouldhave to ask for help. The warm-hearted workmates encouraged me to make every effort. Although Imight have broken a nail, the feeling of knowing that I was doing something for someone out theremade me fulfilled. And I realized that the true meaning of community service was making adifference in someone’s life.Community service can bring out the best of everyone. It provides the feeling of accomplishment and internal satisfaction. My parents and grandparents always tell me, “It is betterto give, than to receive.” These quotes are true. I thought they were just saying it, until I finallyrealized that it made sense. I told my family the experience about community service after getting home. They were all proud of me and encouraged me to continue it in the following days. Some of my friends also joined the schools service club because of my influence.详细解析阅读A篇【导语】这是一篇应用文。

2018年高考精准押题卷03（全国II 卷）数学·理一、选择题1.设集合P= Q= . 则P Q=（ ） A. B C. D.2.设复数Z 满足Z · =+1-3i.则 ） A.B.C.-D.-3.对于任意三角形内一点P ，若存在2 - = + -.则P 点是三角形的（ ） A.内心 B.外心 C. 重心 D. 垂心4.学校举行春季运动会，百米决赛赛跑共有1 号占位的同学参加。

甲、乙、丙、丁四位同学竞猜第一名，结果只有一名猜中。

甲说：1号肯定是第一名；乙说：肯定不是4、5、6号；丙说：是4、5、6号中的一名；丁说：是2、3号中的一名。

猜中的同学是（ ） A.甲 B.丙 C.乙 D.丁5.设a 、b 是空间中不同直线，α、β、 是不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A.若a . b 则a 、b 是异面直线。

B.a . b .且 . 则a 。

C.若a . β⊂b . a . 且 . 则a 。

D. 若a . b . a .且 . 则a 。

6.已知 + = +. 则 =（ ）A.B.C.D.-7.圆 = （r ），经过双曲线 -=1的焦点F 1、F 2 且与双曲线有4个不同的交点，设p 是其中一个交点，若 的面积为9，双曲线c 长轴长为4，则双曲线的方程是（ ） A.-42y =1 B.42x -92y =1 C. - =1 D. -=18.如图所示，为某几何体的三视图，则其体积为（ ）A. 72B. 48C. 30D.24 9.若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是（ ）A.5B.6C.7D.810.已知的三个内角C,所对的边分别是a，b，c，且满足bsinBsinC+ccos2B=2a 则的值是（）A. B.- C. D.-11.已知F1、F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点p使得，则离心率e的取值范围是（）A.，）B.（0，）C.（0，D. ，）12.已知曲线f(x)=在点（，）处的切线与直线x-2 y+1=0垂直，若关于x的方程f(x)+ln=m有3个不同的实根，则m的取值范围是（）A.（2，3-ln2）B.（ln2，3- ln2）C.（2- ln2，1+2 ln2）D.（ln2，2）二、填空题13.设x、y满足条件则z=4x-2y最小值是＿＿＿＿＿＿。

2017年高考原创押题卷（三）数学(理科)时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{y |y ＝x }，N ＝{x |x 2＋y 2＝1}，则M ∩N ＝( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫22，22 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫－22，－22，⎝⎛⎭⎫22，22 C.()－1，1 D ．[－1，1]2．若定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪i z －1z ＝－2的复数z 是( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1＋iD ．－1－i 3．下列函数中，既是奇函数又零点个数最多的是( )A ．y ＝－x 3－1，x ∈RB ．y ＝x ＋1x ，x ∈R ，且x ≠0C ．y ＝－x 3－x ，x ∈RD ．y ＝－x 3(x 2－1)，x ∈R ，且x ≠0图3­14．如图3­1所示，三棱柱ABC - A 1B 1C 1的侧棱长和底边各边长均为2，且侧棱AA 1⊥平面A 1B 1C 1，正视图是边长为2的正方形，则该三棱柱的侧视图的面积为( ) A. 3 B ．23 C. 2 D ．2 2 5．对一个做直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据：个观测数据的平均数)，则输出S 的值是( )图3­2A ．7B ．9C ．11D ．136．如果n 为正奇数，那么7n ＋C 1n ·7n －1＋…＋C n －1n ·7被3除所得的余数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定7．在平面直角坐标系内，区域M 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤π，0≤y ≤1，区域N 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤π，0≤y ≤sin x ，则向区域M 内投一点，落在区域N 内的概率是( )A.2πB.π4 C ．2－2π D ．2－π48．已知空间四面体ABCD 的体积是V ，点O 是该四面体内的一点，且满足OA →＋(2－1)OB →＋sin αOC →＋cos αOD →＝0，其中变量α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则下列判断正确的是( )A ．V O ­ACD 的最大值为2－24VB ．V O ­ABD 和V O ­ABC 的最大值均为V4C ．V O ­ABD ＋V O ­ABC 的最大值为12V D ．V O ­BCD 的最大值为24V9．已知方程(m －1)x 2＋(3－m )y 2＝(m －1)(3－m )表示焦距为8的双曲线，则m 的值为( ) A ．－30 B ．10 C ．－6或10 D ．－30或34 10．如果sin 3θ＋sin θ≥cos 3θ＋cos θ，且θ∈(0，2π)，那么角θ的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π4，3π4 B.⎣⎡⎦⎤π4，5π4 C.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 D.⎝⎛⎭⎫π4，5π411．已知点A ⎝⎛⎭⎫32，－1在抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的准线l 上，过点A 向抛物线C 引切线AT ，切点为T ，点P 是抛物线C 上的动点，则点P 到直线l 和直线AT 的距离之和的最小值是( ) A. 5 B.52 C.32 5 D.52或 512．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋2x 2＋x2x 2＋cos x 的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．数学家陶哲轩与林格合作证明了一个有关素数的结论：存在任意长度的素数等差数列．例如：数列3，5，7是包含有3个素数的公差为2的等差数列，则公差为6的素数等差数列中最小的素数是________．14．当θ为任意角时，动直线x cos θ＋y sin θ＝1所围成区域的面积是________． 15．有同一排的电影票6张，3个教师和3个学生入座，要求师生相间，则不同的坐法种数是________．16．设△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin A (sin B ＋sin C )＝sin B sin C ，则sin A 的最大值是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项公式及其前n 项和；(2)设b n ＝S nn ，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．18．(本小题满分12分)某中学在每年的11月份都会举行“文化艺术节”，且在开幕式当天举办大型的文艺表演，同时邀请36名不同社团的社长进行才艺展示，其中有34的社长是高中学生，14的社长是初中学生，高中学生社长中有13是高一学生，初中学生社长中有23是初二学生．(1)若校园电视台记者随机采访3名社长，求恰有1名是高一学生且至少有1名是初中学生的概率；(2)若校园电视台记者随机采访3名初中学生社长，设初二学生人数为X ，求X 的分布列及数学期望E (X )．19．(本小题满分12分)如图3­3，在直三棱柱A 1B 1C 1­ABC 中，AC ＝BC ＝CC 1＝2，且AC ⊥BC ，M 是AB 1与A 1B 的交点，N 是线段B 1C 1的中点． (1)求证：MN ⊥平面A 1BC ；(2)求平面AA 1B 与平面A 1BC 所成锐二面角的正弦值．图3­320.(本小题满分12分)已知平面内定点F (1，0)，定直线l ：x ＝4，P 为平面内一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且|PQ →|＝2|PF →|. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)若过点F 且与坐标轴不垂直的直线，交动点P 的轨迹于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点R ，试判断|FR ||AB |是否为定值．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x ，g (x )＝x e 1－x ，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．(1)若函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上无零点，求a 的最小值； (2)若对任意给定的x 0∈(]0，e ，在(]0，e 上总存在两个不同的x i (i ＝1，2)，使得f (x i )＝g (x 0)成立，求a 的取值范围．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线l 经过点P (1，1)，倾斜角α＝π6.(1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ (θ为参数)相交于A ，B 两点，求点P 到A ，B 两点的距离之积．23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 (1)设a 和b 是实数，求证：|a －b |＋|a ＋b |≥2|a |；(2)若对于任意实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |(|x －1|＋|x －2|)恒成立，试求实数x 的取值范围．参考答案·数学(理科)2017年高考原创押题卷（三）1．D [解析] 因为M ＝{y |y ＝x }＝R ，N ＝{x |x 2＋y 2＝1}＝[－1，1]，所以M ∩N ＝[－1，1]． 2．C [解析] 依题意，得()i ＋1z ＝－2，即(1＋i)(1－i)z ＝－2()1－i ，得z ＝－1＋i. 3．D [解析] 显然，函数y ＝－x 3(x 2－1)在()－∞，0∪()0，＋∞上是奇函数，且零点有2个．4．B [解析] 因为侧视图是一个矩形，两邻边的长分别为2和3，所以其面积为2 3. 5．A [解析] 该程序框图的功能是输出这8个数据的方差，因为这8个数据的平均数a ＝40＋0＋1＋3＋3＋4＋6＋7＋88＝44，所以，方差为2×16＋2×9＋2×1＋48＝7，故输出S 的值为7.6．B [解析] 原式＝(1＋7)n －1＝(9－1)n －1＝C 0n ·9n －C 1n ·9n －1＋…＋C n －1n ·9·(－1)n －1＋(－1)n －1＝9M －2＝3(3M －1)＋1，其中M ∈N *，所以余数为1.7．A [解析] 因为区域M 的面积是π，区域N 的面积为⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x π0＝2，所以，所求概率是2π.8．C [解析] 由OA →＋(2－1)OB →＋sin αOC →＋cos αOD →＝0，得AO →＝2－12＋sin α＋cos αAB →＋sin α2＋sin α＋cos αAC →＋cos α2＋sin α＋cos αAD →.V O ­ACD ＝2－12＋sin α＋cos αV ≥2－24V ，A 错；V O ­ABD ＝sin α2＋sin α＋cos αV<(2－1)V ，V O ­ABC ＝cos α2＋sin α＋cos αV<(2－1)V ，B 错；V O ­ABD ＋V O ­ABC ＝sin α＋cos α2＋sin α＋cos αV ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π41＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4V ≤12V ，C 正确；同理可求，V O ­BCD ＝12＋sin α＋cos αV ≥24V ，D 错．故选C .9．C [解析] 依题意，双曲线的方程为x 23－m ＋y 2m －1＝1.当双曲线的焦点在x 轴上时，得x 23－m －y 21－m ＝1(m<1)，由焦距为8，得(3－m)＋(1－m)＝16，m ＝－6；当双曲线的焦点在y 轴上时，得y 2m －1－x 2m －3＝1(m>3)，由焦距为8，得(m －1)＋(m －3)＝16，m ＝10.10．B [解析] 注意到不等式sin 3θ＋sin θ≥cos 3θ＋cos θ的结构，构造函数f(x)＝x 3＋x.显然f(x)是R 上的增函数，所以由不等式f (sin θ)≥f (cos θ)，得sin θ≥cos θ，又由θ∈()0，2π，得π4≤θ≤5π4.11．D [解析] 依题意，易知p ＝2，抛物线C 的焦点为F (0，1)，设切点T ⎝⎛⎭⎫t ，14t 2.y ′＝12x ，以点T 为切点的抛物线的切线方程为y －14t 2＝t2(x －t )，将⎝⎛⎭⎫32，－1代入，整理得t 2－3t －4＝0，解得t ＝－1或t ＝4，即切点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，14或(4，4)，即直线AT 的方程为2x ＋4y ＋1＝0或2x －y －4＝0.过点F 作直线AT 的垂线FH ，设垂足为H ，当点P 为线段FH 与抛物线C 的交点时，所求距离之和最小．因此，点P 到直线l 和直线AT 的距离之和的最小值为||2×0＋4×1＋122＋42＝52或||2×0－1×1－422＋()－12＝5，故选D. 12．B [解析] 令g (x )＝f (x )－1＝sin x ＋x2x 2＋cos x ，则g (x )有最大值M －1和最小值m －1.易知g (x )在R 上为奇函数，于是M －1＋m －1＝0，即M ＋m ＝2. 13．5 [解析] 易知满足题意的最小素数是5.14．π [解析] 因为动直线x cos θ＋y sin θ＝1是单位圆x 2＋y 2＝1上任意一点(cos θ，sin θ)处的切线，所以动直线x cos θ＋y sin θ＝1所围成区域的面积为单位圆x 2＋y 2＝1的面积，即π.15．72 [解析] 先排3个学生有A 33种排法，再将2个教师插入中间两空，有A 23种排法，最后将剩下的1个教师安排在两边有A 12种排法，故不同排法的种数是A 33A 23A 12＝72.16.158 [解析] 由题意及正弦定理，得ab ＋ac ＝bc ，所以a ＝bc b ＋c ≤bc 2bc ＝12bc ，即a 2bc ≤14.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥2bc －a 22bc ＝1－a 22bc ≥1－18＝78，所以sin A ＝1－cos 2A ≤1－⎝⎛⎭⎫782＝158.17．解：(1)设公差为d ，由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，2分故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2).6分 (2)证明：由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N *，且互不相等)成等比数列，8分则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0，∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0， ∴⎝⎛⎭⎫p ＋r 22＝pr ，即(p －r )2＝0，∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾，∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列． 12分18．解：(1)由题意得，高中学生社长有27名，其中高一学生有9名；初中学生社长有9名，其中初二学生有6名．设事件A 为“采访的3名社长中，恰有1名是高一学生且至少有1名是初中学生”，则P (A )＝C 19C 19C 118C 336＋C 19C 29C 336＝2971190.6分 (2)X 的可能取值为0，1，2，3，则P (X ＝0)＝C 33C 39＝184，P (X ＝1)＝C 16C 23C 39＝314，P (X ＝2)＝C 26C 13C 39＝1528，P (X ＝3)＝C 36C 39＝521，9分所以X 的分布列为E (X )＝0×184＋1×314＋2×1528＋3×521＝2.12分19．解：(1)证明：以C 为原点，分别以CC 1，CB ，CA 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则A 1(2，0，2)，B 1(2，2，0), B (0，2，0)，C 1(2，0，0)， ∴M (1，1，1)，N (2，1，0)，∴A 1B →＝(－2，2，－2)，CB →＝(0，2，0)，MN →＝(1，0，－1)，3分 ∴MN →·A 1B →＝－2×1＋0×2－2×()－1＝0， MN →·CB →＝0×1＋0×2＋0×()－1＝0， ∴MN ⊥A 1B ，MN ⊥CB .又∵A 1B ∩CB ＝B ， ∴MN ⊥平面A 1BC .6分(2)过C 点作CH ⊥AB 于H 点，∵平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，∴CH ⊥平面A 1BA, 故平面A 1BA 的一个法向量为CH →＝(0，1，1)．由(1)知平面A 1BC 的一个法向量为MN →＝(1，0，－1).8分 设θ为所求两平面所成锐二面角，则cos θ＝||cos 〈CH →，MN →〉＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪CH →·MN →||CH →·||MN →＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1×12×2＝12，又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin θ＝1－cos 2θ＝32.11分 故平面AA 1B 与平面A 1BC 所成锐二面角的正弦值为32.12分 20．解：(1)设P (x ，y )，则Q (4，y )，∵|PQ →|＝2|PF →|， ∴PQ →2＝4PF →2，∴(4－x )2＝4[(1－x )2＋y 2]， 化简整理，得 x 24＋y 23＝1.4分(2)依题意，可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，5分 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，6分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.8分设AB 的中点为D (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝4k 23＋4k 2，y 0＝k (x 0－1)＝－3k 3＋4k 2. ∴线段AB 的垂直平分线的方程为 y －－3k 3＋4k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －4k 23＋4k 2，令y ＝0，得x R ＝k 23＋4k 2，∴|FR |＝1－k 23＋4k 2＝3（1＋k 2）3＋4k 2.10分∵|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12（1＋k 2）3＋4k 2，∴|FR ||AB |＝14为定值.12分 21．解：(1)因为f (x )<0在区间⎝⎛⎭⎫0，12上恒成立不可能， 所以要使函数f (x )在⎝⎛⎫0，12上无零点， 只要对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫0，12，f (x )>0恒成立， 即对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫0，12，a >2－2ln x x －1恒成立． 2分令l (x )＝2－2ln xx －1，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12， 则l ′(x )＝－2x （x －1）－2ln x （x －1）2＝2ln x ＋2x －2（x －1）2，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12， 再令m (x )＝2ln x ＋2x －2，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12， 则m ′(x )＝－2x 2＋2x ＝－2（1－x ）x 2<0，故m (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上为减函数，于是m (x )>m ⎝⎛⎭⎫12＝2－2ln 2>0， 从而l ′(x )>0，所以l (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上为增函数， 所以l (x )<l ⎝⎛⎭⎫12＝2－4ln 2.所以要使a >2－2ln x x －1在⎝⎛⎭⎫0，12上恒成立，只要a ∈[2－4ln 2，＋∞)，综上，若函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上无零点，则a 的最小值为2－4ln 2.5分 (2)g ′(x )＝e 1－x －x e 1－x ＝(1－x )e 1－x .当x ∈(0，1)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增；当x ∈(1，e]时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减．又因为g (0)＝0，g (1)＝1，g (e)＝e ·e 1－e >0，所以函数g (x )在(0，e]上的值域为(0，1].6分 易知当a ＝2时，不合题意．当a ≠2时，f ′(x )＝2－a －2x ＝（2－a ）x －2x ＝（2－a ）⎝⎛⎭⎫x －22－a x ，当x ＝22－a时，f ′(x )＝0.由题意得，f (x )在(]0，e 上不单调，故0<22－a<e ，即a <2－2e ①. 此时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下：f ⎝⎛⎭⎫22－a ＝a －2ln 22－a，f (e)＝(2－a )(e －1)－2， 所以，若对任意给定的x 0∈(]0，e ，在(]0，e 上总存在两个不同的x i (i ＝1，2)， 使得f (x i )＝g (x 0)成立，则a 满足⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫22－a ≤0，f （e ）≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧a －2ln 22－a ≤0②，（2－a ）（e －1）－2≥1③.9分 令h (a )＝a －2ln 22－a，a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，2－2e ， 则h ′(a )＝1－2[ln 2－ln(2－a )]′＝1－22－a ＝a a －2，令h ′(a )＝0，得a ＝0， 故当a ∈(－∞，0)时，h ′(a )>0，函数h (a )单调递增；当a ∈⎝⎛⎭⎫0，2－2e 时，h ′(a )<0，函数h (a )单调递减． 所以，对任意a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，2－2e ，有h (a )≤h (0)＝0， 即②式对任意a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，2－2e 恒成立． 由③式解得a ≤2－3e －1④.11分 综合①④可知，当a ∈－∞，2－3e －1时，对任意给定的x 0∈(0，e]，在(0，e]上总存在两个不同的x i (i ＝1，2)，使f (x i )＝g (x 0)成立.12分22．解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数).4分(2)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，将曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ (θ为参数)化为普通方程得x 29＋y 24＝1，5分 把⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t 代入x 29＋y 24＝1， 得4⎝⎛⎭⎫1＋32t 2＋9⎝⎛⎭⎫1＋12t 2＝36， 即21t 2＋4(43＋9)t －92＝0，所以t 1t 2＝－9221， 9分则点P 到A ，B 两点的距离之积为9221.10分 23．解：(1)证明：利用绝对值不等式，得|a ＋b |＋|a －b |≥|a ＋b ＋a －b |＝2|a |，当且仅当(a ＋b )(a －b ) ≥0时取等号.4分(2)由题知|x －1|＋|x －2|≤|a －b |＋|a ＋b ||a |恒成立，即|x －1|＋|x －2|不大于|a －b |＋|a ＋b ||a |的最小值．由(1)知|a －b |＋|a ＋b ||a |的最小值等于2， 所以x 的取值范围即为不等式|x －1|＋|x －2|≤2的解.7分当x ≤1时，1－x ＋2－x ≤2，即x ≥12，此时12≤x ≤1； 当1<x ≤2时，x －1＋2－x ≤2，即1≤2成立，此时1<x ≤2；当x >2时，x －1＋x －2≤2，即x ≤52，此时2<x ≤52.综上，得12≤x ≤52.10分。

决胜2024年高考数学押题预测卷01数 学（新高考九省联考题型）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知1i z =+，则1z z =+（ ）A. 13i 55- B. 1355i + C. 31i 55- D. 31i55+2．已知向量()2,3a =r，()1,b x =-r ，则“()()a b a b +^-r r r r ”是“x =的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3．已知集合{}2log 1A x x =£，{}2,2x B y y x ==£，则（ ）A. A B BÈ= B. A B AÈ= C. A B B=I D.R B C A R=È)(4．从正方体八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能（ ）A. 每个面都是等边三角形B. 每个面都是直角三角形C. 有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形D. 有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形5．已知函数()f x 的定义域为R ，()e xy f x =+是偶函数，()3e x y f x =-是奇函数，则()fx 的最小值为（ ）A. eB. C. D. 2e6．已知反比例函数ky x=（0k ¹）的图象是双曲线，其两条渐近线为x 轴和y 轴，两条渐近线的夹角为π2，将双曲线绕其中心旋转可使其渐近线变为直线y x =±.已知函数1y x x =+的图象也是双曲线，其两条渐近线为直线y =和y 轴，则该双曲线的离心率是（ ）B. 的7．已知2sin sin a b -=2cos cos 1a b -=，则()cos 22a b -=（ ）A. 18-C. 14D. 78-8．已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x ¢，若函数()31f x +和()2f x ¢+均为偶函数，且()28f ¢=-，则()20231i f i =¢å的值为（ ）A. 0B. 8C. 8- D. 4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()sin()(0,0π)f x x w j w j =+><<的最小正周期为π，且函数()f x 的图象关于直线π12x =-对称，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 的图象关于点2π,03æöç÷èø对称B. 函数()f x 在区间5π0,12æöç÷èø内单调递增C. 函数()f x 在区间ππ,42æö-ç÷èø内有恰有两个零点D. 函数()f x 的图象向右平移π12个单位长度可以得到函数()cos 2g x x =的图象10．已知A 、B 是椭圆22132x y =＋的左、右顶点，P 是直线x =上的动点（不在x 轴上），AP 交椭圆于点M ，BM 与OP 交于点NA. 23PA PB k k ×= B. 若点(P ，则:12AOM POM S S △△＝C. OP OM ×uuu r uuuu r是常数 D. 点N 在一个定圆上11．已知四棱锥P -ABCD 是正方形，PA ^平面ABCD ，1AD =，PC 与底面ABCD ，点M 为平面ABCD 内一点，且(01)AM AD l l =<<，点N 为平面PAB 内一点，NC =，下列说法正确的是（ ）A. 存在l 使得直线PB 与AM 所成角为π6B. PAB ^平面PBMC. 若l =，则以P 为球心，PM 为半径的球面与四棱锥P ABCD -各面的交线长为D. 三棱锥N ACD -三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.如图所示是一个样本容量为100的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其60%分位数为___________.13.如图，“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形生成的.将等边三角形每条边三等分，以每条边三等分的中间部分为边向外作正三角形，再将每条边的中间部分去掉，这称为“一次分形”；再用同样的方法将所得图形中的每条线段重复上述操作，这称为“二次分形”；L .依次进行“n 次分形”（*N n Î）.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度.若将边长为1的正三角形“n 次分形”后所得分形图的长度不小于120，则n 的最小值是______.（参考数据：lg 20.3010»，lg30.4771»）14.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:4O x y +=，若正方形ABCD 的一边AB 为圆O 的一条弦，则||OC 的最大值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数2()e ()x f x x ax a =--．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求实数a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间．16.生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：跑步软件一跑步软件二跑步软件三跑步软件四中学生80604020大学生30202010假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.（1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率；（2）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人.记X 为这3人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为1x ，2x ，3x ，4x ，其方差为21s ；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为1y ，2y ，3y ，4y ，其方差为22s ；1x ，2x ，3x ，4x ，1y ，2y ，3y ，4y 的方差为23s .写出21s ，22s ，23s 的大小关系.（结论不要求证明）17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面ABCD ，//AD BC ，AB BC ^．点M 在棱PB 上，2PM MB =，点N 在棱PC 上，223PA AB AD BC ====．（1）若2CN NP =，Q 为PD 的中点，求证：//NQ 平面PAB ；（2）若直线PA 与平面AMN 所成角的正弦值为23，求PN PC 的值．18．已知抛物线C ：22y px =（05p <<）上一点M 的纵坐标为3，点M 到焦点距离为5.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点()1,0作直线交C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作C 的切线1l 与2l ，1l 与2l 相交于点D ，过点A 作直线3l 垂直于1l ，过点B 作直线4l 垂直于2l ，3l 与4l 相交于点E ，1l 、2l 、3l 、4l 分别与x 轴交于点P 、Q 、R 、S .记DPQ V 、DAB V 、ABE V 、ERS △的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S .若12344S S S S =，求直线AB 的方程.19．给定正整数3N ³，已知项数为m 且无重复项的数对序列A ：()()()1122,,,,,,m m x y x y x y ×××满足如下三个性质：①{},1,2,,i i x y N Î×××，且()1,2,,i i x y i m ¹=×××；②()11,2,,1i i x y i m +==×××-；③(),p q 与(),q p 不同时在数对序列A 中.（1）当3N =，3m =时，写出所有满足11x =的数对序列A ；（2）当6N =时，证明：13m £；（3）当N 为奇数时，记m 的最大值为()T N ，求()T N .决胜2024年高考数学押题预测卷01数 学（新高考九省联考题型）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

【题型概述】1.阅卷速度以秒计，规范答题少丢分高考阅卷评分标准非常细，按步骤、得分点给分，评阅分步骤、采“点”给分.关键步骤，有则给分，无则没分.所以考场答题应尽量按得分点、步骤规范书写.2.不求巧妙用通法，通性通法要强化高考评分细则只对主要解题方法，也是最基本的方法，给出详细得分标准，所以用常规方法往往与参考答案一致，比较容易抓住得分点.3.干净整洁保得分，简明扼要是关键若书写整洁，表达清楚，一定会得到合理或偏高的分数，若不规范可能就会吃亏.若写错需改正，只需划去，不要乱涂乱划，否则易丢分.4.狠抓基础保成绩，分步解决克难题(1)基础题争取得满分.涉及的定理、公式要准确，数学语言要规范，仔细计算，争取前3个解答题及选考不丢分.(2)压轴题争取多得分.第(Ⅰ)问一般难度不大，要保证得分，第(Ⅱ)问若不会，也要根据条件或第(Ⅰ)问的结论推出一些结论，可能就是得分点.【高考命题热点一】三角函数、解三角形【例1】(2017·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为a23sin A.(1)求sin B sin C；(2)若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长.【特别提醒】1.牢记公式，正确求解：在三角函数及解三角形类解答题中，通常涉及三角恒等变换公式、诱导公式及正弦定理和余弦定理，这些公式和定理是解决问题的关键，因此要牢记公式和定理.如本题第(2)问要应用到余弦定理及三角形的面积公式.2.注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求解.3.写全得分关键：在三角函数及解三角形类解答题中，应注意解题中的关键点，有则给分，无则不给分，所以在解答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中，没有将正弦定理表示出来的过程(即得分点①)，则不得分；第(2)问中没有将面积表示出来则不得分，只有将面积转化为得分点⑦才得分.【解题程序】第一步：利用正弦定理将已知的边角关系式转化为角的关系式；第二步：利用三角恒等变换化简关系式；第三步：求C 的余弦值，得角C 的值. 第四步：利用三角形的面积为332，求出ab 的值； 第五步：根据c ＝7，利用余弦定理列出a ，b 的关系式；第六步：求(a ＋b )2的值，进而求△ABC 的周长.【变式探究】 (2016·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长. 【高考命题热点二】数 列【例2】 (2016·全国Ⅰ卷)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n . (1)求{a n }的通项公式；(2)求{b n }的前n 项和.【特别提醒】1.牢记等差、等比数列的定义：在判断数列为等差或等比数列时，应根据定义进行判断，所以熟练掌握定义是解决问题的关键，如本题第(2)问，要根据定义判断b n ＋1b n ＝13. 2.注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求得b n ＋1与b n 的关系.3.写全得分关键：写清解题过程的关键点，有则给分，无则没有分，同时解题过程中计算准确，是得分的根本保证.如本题第(1)问要写出a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，才能得出a 1，并指出数列{a n }的性质，否则不能得全分.第(2)问中一定要写出求b n ＋1＝b n 3的步骤并要指明{b n }的性质；求S n 时，必须代入求和公式而不能直接写出结果，否则要扣分.【解题程序】第一步：将n ＝1代入关系式a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，求出a 1的值；第二步：利用等差数列的通项公式求出a n ；第三步：将第(1)问中求得的a n 代入关系式a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，求得b n ＋1与b n 的关系；第四步：判断数列{b n }为等比数列；第五步：代入等比数列的前n 项和公式求S n .第六步：反思检验，规范解题步骤.【变式探究】 (2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *.(1)求通项公式a n ；(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和.【高考命题热点三】立体几何【例3】(2017·天津卷)如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°.点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，P A ＝AC ＝4，AB ＝2.(1)求证：MN ∥平面BDE ；(2)求二面角C －EM －N 的正弦值；(3)已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721，求线段AH 的长. 【特别提醒】 1.写全得分步骤：在立体几何类解答题中，对于证明与计算过程中得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写.如第(1)问中的AC ⊥BD ，AD ＝CD ，AC ∥EF ；第(2)问中的AB →，AC →，AD →的坐标，及两平面法向量的坐标.2.注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，立体几何解答题的第(2)问建系，要用到第(1)问中的垂直关系时，可以直接用，有时不用第(1)问的结果无法建系，如本题即是在第(1)问的基础上建系.3.写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分.所以在解立体几何类解答题时，一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出判断D ′H ⊥平面ABCD 的三个条件，写不全则不能得全分，如OH ∩EF ＝H 一定要有，否则要扣1分；第(2)问中不写出cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |这个公式，而直接得出余弦值，则要扣1分.【解题程序】第一步：利用平面几何性质，得AC ∥EF .第二步：借助数学计算，证明D ′H ⊥OH .第三步：根据线面垂直的判断定理，得D ′H ⊥平面ABCD .第四步：依题设建系，确定相关点、直线方向向量的坐标.第五步：分别计算求得平面ABD ′与平面ACD ′的法向量.第六步：由法向量夹角的余弦，得到二面角的正弦值.【变式探究】 (2016·全国Ⅱ卷)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置.OD ′＝10.(1)证明：D ′H ⊥平面ABCD ；(2)求二面角B －D ′A －C 的正弦值.【高考命题热点四】 概率与统计【例4】(2017·天津卷)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14. (1)设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.【特别提醒】1.正确阅读理解，弄清题意：与概率统计有关的应用问题经常以实际生活为背景，且常考常新，而解决问题的关键是理解题意，弄清本质，将问题转化为离散型随机变量分布列求解问题，如本题第(1)问就是求解离散型随机变量的分布列，其关键是准确写出随机变量X 的取值及正确求其概率.2.注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上利用分布列求概率之和来求解.3.注意将概率求对：与离散型随机变量有关的问题，准确求出随机变量取值的概率是关键.本题第(1)问，要做到：一是随机变量取值要准，二是要明确随机变量取每个值的意义，同时也要注意事件的独立性.在(1)，(3)问中概率、期望值要写出求解过程，不能直接写出数值.【解题程序】第一步：设出基本事件，明确事件间的关系及含义.第二步：求出各个事件发生的概率.第三步：列出随机变量X的分布列.第四步：解关于n的不等式，求出n的最小值.第五步：讨论n＝19与n＝20时的费用期望，做出判断决策.第六步：检验反思，明确步骤规范.【变式探究】(2016·全国Ⅰ卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？【高考命题热点五】解析几何【例5】(2016·全国Ⅰ卷)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.【特别提醒】1.正确使用圆锥曲线的定义：牢记圆锥曲线的定义，能根据圆锥曲线定义判断曲线类型，如本题第(1)问就涉及椭圆的定义.2.注意分类讨论：当用点斜式表示直线方程时，应分直线的斜率存在和不存在两种情况求解，易出现忽略斜率不存在的情况，导致扣分，如本题第(2)问中的得分10分，导致失2分.3.写全得分关键：在解析几何类解答题中，直线方程与圆锥曲线方程联立后得到的一元二次方程，根据一元二次方程得到的两根之和与两根之积、弦长、目标函数等一些关键式子和结果都是得分点，在解答时一定要写清楚.【解题程序】第一步：利用条件与几何性质，求|EA |＋|EB |＝4.第二步：由定义，求点E 的轨迹方程x 24＋y 23＝1(y ≠0). 第三步：联立方程，用斜率k 表示|MN |.第四步：用k 表示出|PQ |，并得出四边形的面积.第五步：结合函数性质，求出当斜率存在时S 的取值范围.第六步：求出斜率不存在时面积S 的值，正确得出结论.【变式探究】已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，点O 是坐标原点，点P 是椭圆C 上任意一点，且点M 满足OM →＝λOP →(λ>1，λ是常数).当点P 在椭圆C 上运动时，点M 形成的曲线为C λ.(1)求曲线C λ的轨迹方程；(2)直线l 是椭圆C 在点P 处的切线，与曲线C λ的交点为A ，B 两点，探究△OAB 的面积是否为定值.若是，求△OAB 的面积，若不是，请说明理由.【高考命题热点六】 函数与导数【例6】 (2016·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋a (x －1)2有两个零点.(1)求a 的取值范围.(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2<2.【特别提醒】1.牢记求导法则，正确求导：在函数与导数类解答题中，通常都会涉及求导，正确的求导是解题关键，因此要牢记求导公式，做到正确求导，如本题第(1)问就涉及对函数的求导.2.注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求解.3.注意分类讨论：高考函数与导数解答题，一般都会涉及分类讨论，并且讨论的步骤也是得分点，所以一定要重视分类讨论.4.写全得分关键：在函数与导数问题中，求导的结果、分类讨论的条件、极值、最值、题目的结论等一些关键式子和结果都是得分点，在解答时一定要写清楚，如本题中的得分点②③④⑦⑧等.【解题程序】第一步，准确求出函数f (x )的导数.第二步，讨论a 的取值，分情况讨论函数的单调性、极值，从而判断函数零点，确定a 的取值范围. 第三步，将结论x 1＋x 2<2转化为判定f (2－x 2)<0＝f (x 1).第四步，构造函数g (x )＝－x e 2－x －(x －2)e x ，判定x >1时，g (x )<0. 第五步，写出结论，检验反思，规范步骤.【变式探究】 已知函数f (x )＝ax ＋x ln x 的图象在点x ＝e(e 为自然对数的底数)处的切线斜率为3.(1)求实数a 的值；(2)若k ∈Z ，且k ＜f （x ）x －1对任意x ＞1恒成立，求k 的最大值.。

2024年新高考数学押题试卷（二）注意事项：1．答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动、先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i ⋅z =5-2i ，则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．设 的取值范围为（）A ={x ∈-2<x <3}，Z B ={x 4x -a ≥0}，且A B ={12}，则，a A ．(0,1]C ．(0,4B ．(0,1)]D ．(0,4) 3．为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学四年级100名学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，绘制如下频率分布直方图.根据此图，下列结论中错误的是（）A ．x =0.015B ．估计该小学四年级学生的一分钟跳绳的平均次数超过125C ．估计该小学四年级学生的一分钟跳绳次数的中位数约为119D ．四年级学生一分钟跳绳超过125次以上优秀，则估计该小学四年级优秀率为35%ππ24．若α∈4⎫⎛-,- ⎪⎝⎭3π12，且cos 2α+cos 2⎛+2α⎫=- ⎪⎝，则tan α=（⎭）C ．-B ．-A ．23D ．-5．设，为双曲线C ：的左、右焦点，Q 为双曲线右支上一点，点P （0，2）．当1F 2F 2213xy -=1QF PQ+取最小值时，的值为（ ） 2QFA B CD22+6．安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．153103256257．对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的.若这样{}n a M n n a M ≤{}n a 的正数不存在，则称数列是无界的.记数列的前项和为，下列结论正确的是（ ） M {}n a {}n a n n S A ．若，则数列是无界的 B ．若，则数列是有界的 1n a n={}n a sin n a n n ={}n a C ．若，则数列是有界的D ．若，则数列是有界的 ()1nn a =-{}n S 212n a n =+{}n S8．如图，中，，为的中点，将沿折叠成三棱锥ABC A 90BAC ∠=︒AB AC ==D BC ABC A AD ，则当该三棱锥体积最大时它的外接球的表面积为（ ）A BCD -A ．B ．C ．D ．π2π3π4π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018年高考理科数学押题密卷(全国新课标II卷)说明：一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将答案擦干净后，再涂其他答案．四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．（1）已知集合A＝{x|x2－5x＋6≤0}，B＝{x||2x－1|＞3}，则集合A ∩B ＝（A ）{x |2≤x ≤3} （B ）{x |2≤x ＜3}（C ）{x |2＜x ≤3} （D ）{x |－1＜x ＜3} （2）1－i (1＋i)2＋1＋i (1－i)2＝（A ）－1 （B ）1 （C ）－i （D ）i （3）若向量a 、b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60 ，a ·(a ＋b )等于（A ）4 （B ）6 （C ）2＋ 3 （D ）4＋2 3（4）等比数列}{n a 的前321,2,4,a a a S n n 且项和为成等差数列，若a 1=1，则S 4为（A ）7 （B ）8 （C ）16 （D ）15（5）空间几何体的三视图如图所正视图侧视图示，则该几何体的表面积为 （A ）8＋2 5 （B ）6＋2 5 （C ）8＋2 3 （D ）6＋2 3（6）(x 2－1x)6的展开式中的常数项为（A ）15 （B ）－15 （C ）20 （D ）－20（7）执行右边的程序框图，则输出的S是（A ）5040 （B ）4850 （C ）2450 （D ）2550（8）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3，x ≤0，3－x ，x ＞0，则方程f (x )＋1＝0的实根个数为（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0（9）若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 14，则双曲线的离心率为（A ）52 （B ）233 （C ） 5 （D ）32（10）偶函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋2)为奇函数，且f (1)＝1，则f (89)＋f (90) 为（A ）－2 （B ）－1 （C ）0 （D ）1 （11）某方便面厂为了促销，制作了3种不同的精美卡片，每袋方便面随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该方便面5袋，能获奖的概率为（A ）3181（B ）3381（C ）4881（D ）5081（12）给出下列命题: ○110.230.51log 32()3<<; ○2函数4()log 2sin f x x x =-有5个零点;○3函数4()612-+-=ln x xf x x 的图像以5(5,)12为对称中心;○4已知a 、b 、m 、n 、x 、y 均为正数，且a ≠b ，若a 、m 、b 、x 成等差数列，a 、n 、b 、 y 成等比数列，则有m > n ，x <y ．其中正确命题的个数是（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．（13）由直线x ＝1，y ＝1－x 及曲线y ＝e x围成的封闭图形的面积为_________．（14）数列{a n }的通项公式a n ＝n sinn π2＋1，前n 项和为S n ，则S 2 015＝__________.（15）已知x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x，y)有无数个，则a的值等于___________．（16）已知圆O: x2＋y2=8，点A(2，0) ，动点M在圆上，则∠OMA的最大值为__________．三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）)＋2cos2x．已知f(x)=sin(2x－56（Ⅰ）写出f(x)的对称中心的坐标和单增区间；（Ⅱ）△ABC三个内角A、B、C所对的边为a、b、c，若f（A）=0，b＋c=2．求a的最小值．（18）（本小题满分12分）某青年教师专项课题进行“学生数学成绩与物理成绩的关系”的课题研究，对于高二年级800名学生上学期期末数学和物理成绩，按优秀和不优秀分类得结果：数学和物理都优秀的有60人，数学成绩优秀但物理不优秀的有140人，物理成绩优秀但数学不优秀的有100人．（Ⅰ）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关系？（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，从全体高二年级学生成绩中，有放回地随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3个成绩中数学、物理两科成绩至少有一科优秀的次数为X，求X的分布列和期望E(X)．附：错误!（19）（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，BC ＝2 ，AB ＝BB 1＝2，∠BCC 1＝ π4，点E 在棱BB 1上.（Ⅰ）求证：C 1B ⊥平面ABC ；（Ⅱ）若BE ＝λBB 1，试确定λ的值，使得二面角A -C 1E -C的余弦值为55.（20）（本小题满分12分）设抛物线y 2=4m x （m >0）的准线与x 轴交于F 1，焦点为F 2；以F 1 、F 2为焦点，离心率e = 12 的椭圆与抛物线的一个交点为2(3E ；自F 1引直线交抛物线于P 、Q 两个不同的点，点P 关于x 轴的对称点记为M ，设11F PF Q λ=． （Ⅰ）求抛物线的方程和椭圆的方程； （Ⅱ）若1[,1)2λ∈，求|PQ |的取值范围． EACBC 1B 1A 1（21）（本小题满分12分）已知f(x)＝e x(x－a－1)－x22＋ax．（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）若x≥0时，f(x)＋4a≥0，求正整数a的值．参考值：e2≈7.389，e3≈20.086请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在△ABC中，∠C＝90º，BC＝8，AB＝10，O为BC上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与BC边、AB边分别交于点D、E，连结DE．（Ⅰ）若BD＝6，求线段DE的长；（Ⅱ）过点E作半圆O的切线，切线与AC相交于点F，证明：AF＝EF．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知椭圆C：x24＋y23＝1，直线l：⎩⎪⎨⎪⎧x＝－3＋3ty＝23＋t（t为参数）．（Ⅰ）写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；（Ⅱ）设A(1，0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，求点P的坐标．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－1|．（Ⅰ）解不等式f(x)＋f(x＋4)≥8；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f(ab)＞|a|f(ba)．理科数学参考答案 一、选择题：CABDA A CBBD DC 二、填空题：（13） e － 3 2； （14）1007； （15）－1；（16）4π．三、解答题：（17）解：（Ⅰ）化简得：f （x ）=cos （2x ＋π3）＋1 ……………………3分对称中心为：ππ∈+()(,1)212k z k 单增区间为：ππππ∈--()2[,]36k z k k ………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：ππ=++=+=-()cos(2)10cos(2)133f A A A70,2.333A A ππππ<<∴<+<23A ππ∴+=于是：3A π=………………………9分根据余弦定理：2222cos3a b c bc π=+-=24343()12b cbc+-≥-=当且仅当1b c ==时，a 取最小值1． ………………………12分 （18）（Ⅰ）由题意可得列联表：因为k ＝800(60×500－140×100)2160×640×200×600＝16.667＞10.828．……………………6分所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关．（Ⅱ）每次抽取1名学生成绩，其中数学物理两科成绩至少一科是优秀的频率0.375．将频率视为概率，即每次抽取1名学生成绩，其中数学物理两科成绩至少一科是优秀的概率为 38．由题意可知X~B(3，38)，从而X的分布列为E(X)＝np＝98．………………………12分（19）解：（Ⅰ）因为BC＝2，CC1＝BB1＝2，∠BCC1＝π4，在△BCC1中，由余弦定理，可求得C1B＝2 ， ……………………2分 所以C 1B 2＋BC 2＝CC 21，C 1B ⊥BC ． 又AB ⊥侧面BCC 1B 1，故AB ⊥BC 1， 又CB ∩AB ＝B ，所以C 1B ⊥平面ABC ． …………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC ，BA ，BC 1两两垂直，以B 为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，则B (0，0，0)，A (0，2，0)，C (2 ，0，0)，C 1A →＝(0，2，－2 )，C 1E →＝C 1B →＋λBB 1→＝C 1B →＋λCC 1→＝(－2 λ，0，2 λ－2 )，设平面AC 1E 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎨⎧m ·C 1A →＝0，m ·C 1E →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －2 z ＝0，2 λx ＋(2 －2 λ)z ＝0，令z ＝2 ，取m ＝(2 (λ－1)λ，1，2 )，………9分1又平面C 1EC 的一个法向量为n ＝(0，1，0)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝1___________√__________2(λ－1)2λ2＋3＝5 5，解得λ＝ 1 2．所以当λ＝ 1 2时，二面角A -C 1E -C 的余弦值为55.………………………12分 （20）解： （Ⅰ）由题设，得：22424199a b +=①a 2－b 2a ＝ 12②由①、②解得a 2＝4，b 2＝3， 椭圆的方程为22143x y +=易得抛物线的方程是：y 2＝4x ． …………………………4分（Ⅱ）记P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2) 、M (x 1，－y 1) ， 由11F PF Q λ=得：y 1=λy 2 ○3 设直线PQ 的方程为y ＝k (x ＋1)，与抛物线的方程联立，得：2440ky y k -+= ○* y 1 y 2＝4 ○4 y 1＋y 2＝4k○5 …………………………7分 由○3○4○5消去y 1，y 2得：224(1)k λλ=+ …………………………8分21||||PQ y y =-由方程○*得：||||PQ k =化简为：4241616||k PQk-=，代入λ：4222222(1)(21)||16161(2)16PQ λλλλλλλ+++=-=-=++-∵ 1[,1)2λ∈，∴ 15(2，]2λλ+∈ …………………………11分于是：2170||4PQ <≤那么：||PQ ∈ …………………………12分（21）解：（Ⅰ）f '(x )＝e x(x －a )－x ＋a ＝(x －a )(e x－1)， 由a ＞0，得：x ∈(－∞，0)时，f '(x )＞0，f (x )单增； x ∈(0，a )时，f '(x )＜0，f (x )单减； x ∈(a ，＋∞)时，f '(x )＞0，f (x )单增．所以，f (x )的增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)；减区间为(0，a)．…………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，x≥0时，f min(x)＝f(a)＝－e a＋a22，所以f(x)＋4a≥0，得e a－a22－4a≤0．…………7分令g(a)＝e a－a22－4a，则g'(a)＝e a－a－4；令h(a)＝e a－a－4，则h'(a)＝e a－1＞0，所以h(a)在(0，＋∞)上是增函数，又h(1)＝e－5＜0，h(2)＝e2－6＞0，所以∃a0∈(1，2)使得h(a0)＝0，即a∈(0，a0)时，h(a)＜0，g'(a)＜0；a∈(a0，＋∞)时，h(a)＞0，g'(a)＞0，所以g(a)在(0，a0)上递减，在(a0，＋∞)递增．又因为g(1)＝e－ 12－4＜0，g(2)＝e2－10＜0，g(3)＝e3－ 92－12＞0，所以：a＝1或2.…………12分（22）解：（Ⅰ）∵BD 是直径，∴∠DEB ＝90º， ∴BE BD ＝BC AB ＝ 4 5，∵BD ＝6，∴BE ＝ 24 5， 在Rt△BDE 中，DE ＝BD 2－BE 2＝ 18 5．…………5分（Ⅱ）连结OE ，∵EF 为切线，∴∠OEF ＝90º， ∴∠AEF ＋∠OEB ＝90º，又∵∠C ＝90º，∴∠A ＋∠B ＝90º，又∵OE ＝OB ，∴∠OEB ＝∠B ，∴∠AEF ＝∠A ，∴AE ＝EF ． …………10分CABED O F（23）解：（Ⅰ）C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ（θ为参数），l ：x －3y ＋9＝0． ……………4分（Ⅱ）设P (2cos θ，3sin θ),则|AP |＝(2cos θ－1)2＋(3sin θ)2＝2－cos θ，P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92．由|AP |＝d 得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝ 3 5，cos θ＝－ 4 5．故P (－ 8 5， 335)．……………10分（24）解：（Ⅰ）f (x )＋f (x ＋4)＝|x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，x ≤－3，4，－3≤x ≤1，2x ＋2，x ≥1．当x ＜－3时，由－2x －2≥8，解得x ≤－5； 当－3≤x ≤1时，f (x )≤8不成立；当x ＞1时，由2x ＋2≥8，解得x ≥3．…………4分所以不等式f (x )≤4的解集为{x |x ≤－5，或x ≥3}． …………5分（Ⅱ）f (ab )＞|a |f ( b a)即|ab －1|＞|a －b |． …………6分因为|a |＜1，|b |＜1，所以|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2－1)＞0，所以|ab －1|＞|a －b |．故所证不等式成立．…………10分。

绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试押题卷理 科 数 学（三）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}1,2,3A =，{}34xB x =>，则AB =（ ）A ．{1，2}B ．{2，3}C ．{1，3}D ．{1，2，3}【答案】B【解析】{}1,2,3A =，{}34xB x =>()3log 4,=+∞，{}2,3AB ∴=，选B ．2．在ABC △中，“0AB BC ⋅>”是“ABC △是钝角三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0AB BC ⋅>，则B ∠为钝角，故ABC △为钝角三角形；若ABC △为钝角三角形，则B ∠可能为锐角，此时0AB BC ⋅<，故选A ．3．已知实数a ，b 满足：122ab<<，则（ ） A ．11a b< B ．22log log a b <C>D ．cos cos a b >【答案】B【解析】函数2xy =为增函数，故0b a >>．而对数函数2log y x =为增函数，所以22log log a b <，故选B ． 4．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<()y f x =y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ）ABCD【答案】A【解析】πT ∴=，22T ωπ==，因为函数()y f x =图象关于yy2ϕπ<，6ϕπ∴=-A ．5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若675S S S >>，则满足10n n S S +<⋅的正整数n 的值为（ ） A ．10 B ．11C ．12D ．13【答案】C【解析】∵675S S S >>，∴111657654675222a d a d a d ⨯⨯⨯+>+>+，∴70a <，670a a +>，∴()113137131302a a S a +==<，()()112126712602a a S a a +==+>，∴满足10n n S S +<⋅的正整数n 的值为12，故选C ． 6．将函数πsin 6y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上所有的点向右平移π4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为（ ） A ．5πsin 212y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．πsin 212x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．5πsin 212x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．5πsin 224x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】向右平移π4个单位长度得带5πsin 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)班级 姓 准考证号 考场 座位号得到5πsin 212x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭，故选C ． 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）ABCD【答案】B【解析】由三视图得该几何体是由半个球和半个圆柱组合而成，根据图中所给数据得该几何体的体积为B ． 8．函数()()22cos x x f x x -=-在区间[]5,5-上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >；当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <；当352x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >．所以选D ．9．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的24n =，则p 的值可以是（ ）（参考数据：sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈，sin3.750.0654︒≈）A ．2.6B ．3C ．3.1D ．3.14【答案】C【解析】模拟执行程序，可得：6n =，，不满足条件S p ≥，12n =，6sin303S =⨯︒=，不满足条件S p ≥，24n =，12sin15120.2588 3.1056S =⨯︒=⨯=，满足条件S p ≥，退出循环，输出n 的值为24．故 3.1p =．故选C ．10．已知点()0,1A -是抛物线22x py =的准线上一点，F 为抛物线的焦点，P 为抛物线上的点，且PF m PA =，若双曲线C 中心在原点，F 是它的一个焦点，且过P 点，当m 取最小值时，双曲线C 的离心率为（ ） ABC1D1【答案】C【解析】由于A 在抛物线准线上，故2p =，故抛物线方程为24x y =，焦点坐标为()0,1．当直线PA 和抛物线相切时，m 取得最小值，设直线PA 的方程为1y kx =-，代入抛物线方程得2440x kx -+=，判别式216160k ∆=-=，解得1k =±，不妨设1k =，由2440x x -+=，解得2x =，即()2,1P ．设双曲线方程为22221y x a b -=，将P 点坐标代入得22141a b-=，即222240b a a b --=，而双曲线1c =，故221a b =+，221b a =-，所以()22221410a a a a ----=，解得1a =，故离心率为1ca ==，故选C ． 11．在三棱锥S ABC -中，SB BC ⊥，SA AC ⊥，SB BC =，SA AC =，12AB SC =，且三棱锥S ABC -，则该三棱锥的外接球半径是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】取SC 中点O ，则OA OB OC OS ===，即O 为三棱锥的外接球球心，设半径为r，则3r ∴=，选C ． 12．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x x =∈R ，()2eln h x x =，有下列命题： ①()()()F x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增； ②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-；③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是](40 -，； ④()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线其中真命题的个数有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】①()F x f =x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()2120F x x x '∴=+>，()()()F x f x g x ∴=-，在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增，故①正确；②，③设()(),f x g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 成立，即有10∆≤，240k b +≤，又1kx b x≤+对一切0x <成立，则210kx bx +-≤，即20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，40k -≤≤，同理421664b k b ≤≤-，可得40b -≤≤，故②正确，③错误，④函数()f x 和()h x()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，当x ∈R恒成立，则时，()0G x'=；当0x <<时，()'0G x <；当x >()'0G x >；当x =时，()G x '取到极小值，极小值是0，也∴函数()f x 和()h x 存在唯一的隔离直线C ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2018年高考数学 预测卷及详解答案理科数学本试题卷共19页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}(,)|1,01A x y y x x ==+≤≤，集合{}(,)|2,010B x y y x x ==≤≤，则集合AB ＝（ ）A ．{}1,2B ．{}|01x x ≤≤C ．(){}1,2D ．∅【答案】C【解析】根据题意可得，12y x y x =+⎧⎨=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，满足题意01x ≤≤，所以集合A B ＝(){}1,2．故选C ．2．已知复数z 满足11i 12z z -=+，则复数z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】设复数i z a b=+，(),a b ∈R ，则i z a b =-，因为11i 12z z -=+，所以()()211i z z -=-，所以2(1)2i a b --()1i a b =+-，所以可得2221a bb a -=-⎧⎨-=+⎩，解得5343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以54i 33z =-，所以复数z 在复平面内对应点54,33⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限上．故选D ．3．《九章算术》中“开立圆术”曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径”．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d ，公式为d =如果球的半径为13，根据“开立圆术”的方法求球的体积为（ ） A ．481π B ．6π C ．481D ．61【答案】D【解析】根据公式d =23=，解得16V =．故选D ．4．已知函数()()π17πsin cos 0326f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足π364f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则满足题意的ω的最小值为（ ） A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】C 【解析】根据题意可得，()π17ππ1πsin cos sin sin 326323f x x x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=+++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3πsin 23x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为π364f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以3ππ3sin 2634ω⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2636k ωπππ⎛⎫-+=+π ⎪⎝⎭或52,6k k π+π∈Z ，解得121k ω=-+或123k -+，又0ω>，显然min 1ω=．故选C ．5．某几何体的三视图如图所示，设正方形的边长为a ，则该三棱锥的表面积为（ ）A ．2aB 2C ．26a D ．2【答案】D【解析】如图所示，该几何体是正方体的内接正三棱锥，所以三棱锥的棱长为，因此此几何体的表面积)2214sin 602S =⨯⨯︒=．故选D ．6．某工厂生产了一批颜色和外观都一样的跳舞机器人，从这批跳舞机器人中随机抽取了8个，其中有2个是次品，现从8个跳舞机器人中随机抽取2个分配给测验员，则测验员拿到次品的概率是（ ） A ．328B ．128C ．37D ．1328【答案】D【解析】根据题意可得1126222288C C C 13C C 28P =+=．故选D ． 7．如图所示，在梯形ABCD 中，∠B ＝π2，AB =，BC ＝2，点E 为AB 的中点，若向量CD 在向量BC 上的投影为12-，则CE BD ⋅=（ ）A ．－2B ．12-C ．0D 【答案】A【解析】以B 为原点，BC 为x 轴，AB 为y 轴建系如图，∵AB =，BC ＝2，∴(A ，()0,0B ，()2,0C ，D∵点E 为AB 的中点，∴E ⎛ ⎝⎭，若向量CD 在向量BC 上的投影为12-，设向量CD 与向量BC 的夹角为θ，所以1cos 2CD θ=-，过D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，在Rt △DFC中，()cos πFC CD-θ=，所以12CF =，所以32D ⎛ ⎝，所以CE ⎛=- ⎝⎭，32BD ⎛= ⎝，所以312CE BD ⋅=-+=-．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，且S 2＝4，S 4＝16，数列{}n b 满足1n n n b a a +=+，则数列{}n b 的前9和9T 为（ ） A ．80 B ．20C ．180D ．166【答案】C ．【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1n n n b a a +=+，所以112n n n b a a +++=+，两式相减1n n b b +-=1212n n n n a a a a d ++++--=为常数，所以数列{}n b 也为等差数列．因为{}n a 为等差数列，且S 2＝4，S 4＝16，所以11224b a a S =+==，3344212b a a S S =+=-=，所以等差数列{}n b 的公差31242b b d -==，所以前n 项和公式为()1442n n n T n -=+⨯222n n =+，所以9180T =．故选C ．9．2015年12月16日“第三届世界互联网大会”在中国乌镇举办．为了保护与会者的安全，将5个安保小组全部安排到指定三个区域内工作，且这三个区域每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排的方法共有（ ） A ．96种 B ．100种 C ．124种 D ．150种【答案】D【解析】∵三个区域至少有一个安保小组，所以可以把5个安保小组分成三组，一种是按照1、1、3，另一种是1、2、2；当按照1、1、3来分时共有11335431322C C C A 60A N ==，当按照1、2、2来分时共有22135312322C C C A 90A N ==，根据分类计数原理知共有，故12150N N N =+=，选D ．10．已知函数cos y x x =+，有以下命题： ①()f x 的定义域是()2π,2π2πk k +； ②()f x 的值域是R ； ③()f x 是奇函数；④()f x 的图象与直线y x =的交点中有一个点的横坐标为π2， 其中推断正确的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】根据题意可以得到函数的定义域为R ，值域为R ，所以①不正确，②正确；由于()cos f x x x =+，所以()cos f x x x -=-+，所以()()f x f x -≠，且()()f x f x -≠-，故此函数是非奇非偶函数，所以③不正确；当π2x =时，cos x x x +=，即()f x 的图象与直线y x =的交点中有一个点的横坐标为π2；所以④正确．故选C ． 11．已知椭圆的标准方程为22154x y +=，12,F F 为椭圆的左右焦点，O 为原点，P 是椭圆在第一象限的点，则12PF PF PO-的取值范围（ ）A．0,5⎛ ⎝⎭B．0,5⎛ ⎝⎭ C．0,5⎛ ⎝⎭ D．0,5⎛ ⎝⎭【答案】B【解析】设P ()00,x y ，则00x <<，e ==，10PF x =，2PF=0x，PO ==，则12x PF PF PO -==，因为00x <<所以20445x >，1>，所以05<<，所以1205PF PF PO -<<B ． 12．已知正方体1111ABCD A BCD -的棱长为1，E 为棱1CC 的中点，F 为棱1AA 上的点，且满足1:1:2A F FA =，点F 、B 、E 、G 、H 为面MBN 过三点B 、E 、F 的截面与正方体1111ABCD A BC D -在棱上的交点，则下列说法错误的是（ ）A ．HF //BE B．BM =C ．∠MBND ．五边形FBEGH【答案】C【解析】因为面11//AD BC 面，且面1AD 与面MBN 的交线为FH ，1BC 面与面MBN 的交线为BE ，所以HF //BE ，A 正确；因为11//A F BB ，且1:1:2A F FA=，所以111:1:2MA A B =，所以112MA =，所以132B M =，在Rt △1BB M 中，BM ==所以B 正确；在Rt △1BB N 中，E 为棱1CC 的中点，所以1C为棱1NB 上的中点，所以11C N =，在Rt △1C EN 中， EN ==BN =；因为52MN ==，在△BMN中，22co s 2B M BN N M B NBM B +-∠==⋅5C 错误；因为cos MBN ∠=，所以sin MBN ∠=，所以BMN S =△12BM ⨯sin BN MBN ⨯⨯∠=得，14GE NB M N S S =△△，19MFH BMN S S =△△，所以BE S =面261144BMNGEN MFH S S S --=△△△．故选C ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。