电磁场与电磁波(第四版)谢处方 第三章习题解答

第3章　静态电磁场及其边值问题的解（一）思考题3.1 电位是如何定义的？中的负号的意义是什么？答：由静电场基本方程▽×E＝0和矢量恒等式可知，电场强度E 可表示为标量函数φ的梯度，即式中的标量函数φ称为静电场的电位函数，简称电位；式中负号表示场强方向与该点电位梯度的方向相反。

3.2“如果空间某一点的电位为零，则该点的电场强度也为零”，这种说法正确吗？为什么？答：不正确。

因为电场强度大小是该点电位的变化率。

3.3“如果空间某一点的电场强度为零，则该点的电位为零”，这种说法正确吗？为什么？答：不正确。

此时该点电位可能是任一个不为零的常数。

3.4 求解电位函数的泊松方程或拉普拉斯方程时，边界条件有何意义？答：边界条件起到给方程定解的作用。

3.5 电容是如何定义的？写出计算电容的基本步骤。

答：两导体系统的电容为任一导体上的总电荷与两导体之间的电位差之比，即其基本计算步骤：①根据导体的几何形状，选取合适坐标系；②假定两导体上分别带电荷＋q和－q；③根据假定电荷求出E；④由求得电位差；⑤求出比值3.6 多导体系统的部分电容是如何定义的？试以考虑地面影响时的平行双导线为例，说明部分电容与等效电容的含义。

答：多导体系统的部分电容是指多导体系统中一个导体在其余导体的影响下，与另一个导体构成的电容。

计及大地影响的平行双线传输线，如图3-1-1所示，它有三个部分电容C11、C12和C22，导线1、2间的等效电容为；导线1和大地间的等效电容为；导线2和大地间的等效电容为图3-1-13.7 计算静电场能量的公式和之间有何联系？在什么条件下二者是一致的？答：表示连续分布电荷系统的静电能量计算公式，虽然只有ρ≠0的区域才对积分有贡献，但不能认为静电场能量只存在于有电荷区域，它只适用静电场。

表示静电场能量存在于整个电场区域，所有E≠0区域对积分都有贡献，既适用于静电场，也用于时变电磁场，当电荷分布在有限区域内，闭合面S无限扩大时，有限区内的电荷可近似为点电荷时，二者是一致的。

电磁场与电磁波第三章无限大导体平板分别置于k = 0和x - d处，板间充满电荷，其体电荷密度为p =-:极板间的电位分别为0和如图所示，求两d级板之间的电位和电场强度。

解：由泊松定理得d2* _ 1dx2电o d3解得二:6«od|在久=0处* * = 0,故B = 0在X二d处，"二％故U。

二-页j亠Ad证明：同轴线单位长度的静电储能$二巴。

式中山为单位长度上的电臼2C|6 c od +荷量，C为单位长度上的电容。

解：由高斯定理可知：故内外导体间的电压为qj Qi h------- d P = ---- ------ ln-则电容为有一半径为a,带电量q的导体球，其球心位于介电常数分别为5和F.汕勺两种介质的分界面上，该分界面为无限大平面。

试求：（1）导体球的电容；（2）总的静电常量解：根据边界条件则Eit = E2t,故有□二E?二日，由于I ■ I _■_ _,所以一- I |_ 1 1;l）iSi I P2S2 = q即 2 n r2 f ]E 十2^r2- Qn qE =-------- ---------------2 n r2（ e 1 + e 2）导体球的电位为“（日）二J’Edr二N77：+ 二心电容为「二為=2肌（£ 1亠5）』⑵总的静能量为1I | I在一块厚度为d的导电板上，由两个半径分别为卜汇4的圆弧和夹角为u 的两半径割出的一块扇形体，如图所示。

试求：（1）沿厚度方向的电阻；（2）两圆弧面之间的电阻；（3）沿方向的两电极间的电阻。

设导电板的电导率为。

&解：（1）设沿厚度方向的两电极的电压为f U1则El 二7aUiJ1二晌二〒11 = JiSi =晋-7（ra2一n2）故得到沿厚度方向的电阻为无限长直线电流I 垂直于磁导率分别为「1和叫的两种磁介质的分界 鸟 1辺 应rd (3)设沿 . 一―一 J 厂頁 i'2 u dU 3------- d r… a r ri 1 0 dU 3 r 2 ------ 1 n — a nu 3 a Rj =—= h o din — ri 2dIl a O (r 22 - \'\(2)设内外两圆弧面电极之间的电流为1 [2 I 2 J2肓a rd12比 12 匚2E^dr = -------In 一F LCL rd V] 故两圆弧面之间的电阻为<1K^rd® o 沿d 方向的电阻为1_ (u - jio)l7 _ U 憑_ H _ 五u 叶 心—T ；'=0以z 轴为中心, 为半径做一个圆形回路C,由安培环路定理得其厚度可忽略不计。

电磁场 与电磁波（第四版） 课后答案第一章 习 题 解答1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e4y z =-+B e e 52x z =-C e e求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的 分量；（6）⨯A C ；（7）()⨯A B C 和()⨯A B C ；（8）()⨯⨯A B C 和()⨯⨯A B C 。

解 （1）23A x y z +-===+-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e ee 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11 （4）由c o sAB θ=11238=A B A B ，得1c o s AB θ-=(135.5= （5）A 在B 上的分 量 B A =A c o s AB θ==A B B （6）⨯=A C 123502xyz-=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于⨯=B C 041502xyz-=-e e e 8520x y z ++e e e⨯=A B 123041xyz-=-e e e 1014x y z ---e e e所以 ()⨯=A B C (23)x y z +-e e e (8520)4x y z ++=-e e e ()⨯=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e （8）()⨯⨯=A B C 1014502xyz---=-e e e 2405x y z -+e e e()⨯⨯=A B C 1238520x y z -=e e e 554411x y z --e e e1.2 三角形的三个顶点 为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。

三章习题解答3.1 真空中半径为a 的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q 和q -，试计算球赤道平面上电通密度的通量Φ(如题3.1图所示)。

解 由点电荷q 和q -共同产生的电通密度为33[]4q R R π+-+-=-=R R D 22322232()(){}4[()][()]r z r z r z a r z a q r z a r z a π+-++-+-++e e e e 则球赤道平面上电通密度的通量d d zz SSS Φ====⎰⎰D S D e22322232()[]2d 4()()aq a ar r r a r a ππ--=++⎰22121)0.293()aqaq q r a ==-+ 3.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为a r 的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为Ze -的电子云，在球心有一正电荷Ze （Z 是原子序数，e 是质子电荷量），通过实验得到球体内的电通量密度表达式为02314ra Ze r r r π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D e ，试证明之。

解 位于球心的正电荷Ze 球体内产生的电通量密度为 124rZer π=D e 原子内电子云的电荷体密度为 333434a a Ze Zer r ρππ=-=- 电子云在原子内产生的电通量密度则为 32234344r r a r Ze r r r ρπππ==-D e e 故原子内总的电通量密度为 122314r a Ze r r r π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭D D D e3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为30C m ρ, 两圆柱面半径分别为a 和b ，轴线相距为c )(a b c -<，如题3.3图()a 所示。

求空间各部分的电场。

解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。

但可把半径为a 的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为0ρ±的两种电荷分布，这样在半径为b 的整个圆柱体内具有体密度为0ρ的均匀电荷分布，而在半径为a 的整个圆柱体内则具有体密度为0ρ-的均匀电荷分布，如题3.3图()b 所示。

三章习题解答3.1 真空中半径为a 的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q 和q -，试计算球赤道平面上电通密度的通量Φ(如题3.1图所示)。

解 由点电荷q 和q -共同产生的电通密度为33[]4q R R π+-+-=-=R R D 22322232()(){}4[()][()]r z r z r z a r z a q r z a r z a π+-++-+-++e e e e 则球赤道平面上电通密度的通量d d zz SSS Φ====⎰⎰D S D e223222320()[]2d 4()()aq a ar r r a r a ππ--=++⎰ 22121)0.293()aqaq q r a =-=-+ 3.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为a r 的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为Ze -的电子云，在球心有一正电荷Ze （Z 是原子序数，e 是质子电荷量），通过实验得到球体内的电通量密度表达式为02314ra Ze r r r π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D e ，试证明之。

解 位于球心的正电荷Ze 球体内产生的电通量密度为 124rZer π=D e 原子内电子云的电荷体密度为333434a a Ze Zer r ρππ=-=- 电子云在原子内产生的电通量密度则为 32234344r ra r Ze rr r ρπππ==-D e e 故原子内总的电通量密度为 122314ra Ze r r r π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭D D D e 3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为30C m ρ, 两圆柱面半径分别为a 和b ，轴线相距为c )(a b c -<，如题3.3图()a 所示。

求空间各部分的电场。

解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。

但可把半径为a 的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为0ρ±的两种电荷分布，这样在半径为b 的整个圆柱体内具有体密度为0ρ的均匀电荷分布，而在半径为a 的整个圆柱体内则具有体密度为0ρ-的均匀电荷分布，如题 3.3图()b 所示。

一章习题解答1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下：求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B g ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）⨯A C ； （7）()⨯A B C g 和()⨯A B C g ；（8）()⨯⨯A B C 和()⨯⨯A B C 。

解 （1）23A x y z +-===-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e ee 64x y z +-=e e e （3）=A B g (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e g －11（4）由 cos AB θ===A B A B g ，得 1cos AB θ-=(135.5=o （5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ==A B B g （6）⨯=A C 123502x y z-=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于⨯=B C 041502x yz-=-e e e 8520x y z ++e e e所以 ()⨯=A B C g (23)x y z +-e e e g (8520)42x y z ++=-e e e（8）()⨯⨯=A B C 1014502x yz---=-e e e 2405x y z -+e e e1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。

（1）判断123PP P ∆是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。

解 （1）三个顶点1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 的位置矢量分别为 12y z =-r e e ，243x y z =+-r e e e ，3625x y z =++r e e e 则 12214x z =-=-R r r e e ， 233228x y z =-=++R r r e e e ， 由此可见 故123PP P ∆为一直角三角形。

第一章习题解答1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e4y z =-+B e e52x z =-C e e求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）⨯A C ；（7）()⨯A BC 和()⨯A BC ；（8）()⨯⨯AB C 和()⨯⨯A B C 。

解 （1）23A x y z+-===-e e e A a ee e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11（4）由 cos AB θ=14==⨯A B A B ，得 1cos AB θ-=(135.5= （5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ=17=-A B B （6）⨯=A C 123502xy z-=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于⨯=B C 041502x yz-=-e e e 8520x y z ++e e e ⨯=A B 123041xyz-=-e e e 1014x y z ---e e e所以 ()⨯=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()⨯=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e（8）()⨯⨯=A B C 1014502x y z---=-e e e 2405x y z -+e e e()⨯⨯=A B C 1238520xy z -=e e e 554411x y z --e e e1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。

（1）判断123PP P ∆是否为一直角三角形；（2）求三角形的面积。