Ch7-1 homework 参数估计

第七章 参数估计
§7.1 参数的点估计概念 §7.2 估计量的评选标准 §7.3 参数的区间估计
1
§7.1 参数的点估计概念
定义 设总体X的分布函数的形式已知，它的一个或多个参数未知，根据 总体X的一个样本X1,X2,…, Xn来估计总体未知参数的真值称为参数的点 估计。
定义 设总体X 的分布函数F(x, )中含有未知参数，X1,X2,…, Xn为总体X
X
2A1
12(A2
3 n
n i 1
(Xi
A12 )
X )2
b A1
3( A2 A12 ) X
3 n
n i 1
(Xi
X )2
6
一般地, 不论总体服从什么分布，若总体的期望与方差 2 均存在, 则它们的矩估计量分别为
ˆ
1 n
n i1
Xi
X
样本均值
ˆ 2
1 n
n i1
(Xi
X )2
§7.3 参数的区间估计
上一节中，我们讨论了参数的点估计，它是由样本算得的一个值去估 计未知参数。但是，即使是无偏估计量也会由于样本的随机性使得估计值 带有偏差，所以点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出近 似值的误差范围，而有时我们又需要对此偏差作出衡量，知道近似值的精 确程度。
本节的区间估计正好弥补了点估计的缺陷，它是通过寻找一个区间， 并利用此区间包含未知参数真值的可信程度来估计未知参数的方法。
i1
X
i
)2
)
2
(
n)
2
2 1 2
(
n)
-2
•
(n) 2 2
4
1
2
•
6

参数估计方法与实例例题和知识点总结在统计学中，参数估计是一项重要的任务，它帮助我们通过样本数据来推断总体的特征。

这一过程对于做出合理的决策、进行科学研究以及解决实际问题都具有关键意义。

接下来，让我们深入探讨参数估计的方法，并通过实例例题来加深理解，同时对相关知识点进行总结。

一、参数估计的基本概念参数估计，简单来说，就是根据样本数据对总体参数进行推测和估计。

总体参数是描述总体特征的数值，例如总体均值、总体方差等。

而我们通过抽样得到的样本数据则是进行参数估计的基础。

二、参数估计的方法（一）点估计点估计是用一个数值来估计总体参数。

常见的点估计方法有矩估计法和极大似然估计法。

矩估计法的基本思想是利用样本矩来估计总体矩，从而得到总体参数的估计值。

例如，对于正态分布，我们可以用样本均值来估计总体均值，用样本二阶中心矩来估计总体方差。

极大似然估计法则是基于这样的思想：在给定样本观测值的情况下，找到使样本出现的概率最大的总体参数值。

（二）区间估计区间估计是给出一个区间，认为总体参数有一定的概率落在这个区间内。

常用的区间估计有置信区间。

置信区间的构建基于样本统计量的分布，以及给定的置信水平。

例如，对于总体均值的估计，我们可以构建一个置信水平为 95%的置信区间。

三、实例例题假设我们对某工厂生产的灯泡寿命进行抽样调查。

抽取了 50 个灯泡，其寿命的样本均值为 1000 小时，样本标准差为 100 小时。

（一）点估计我们可以用样本均值 1000 小时作为总体均值的点估计值。

（二）区间估计若要构建 95%的置信区间，由于样本量较大，我们可以使用正态分布近似。

标准正态分布的 95%置信区间对应的 z 值约为 196。

则总体均值的 95%置信区间为：＼＼begin{align}＆1000 196 ＼times ＼frac{100}｛＼sqrt{50}｝＼＼＆1000 ＋ 196 ＼times ＼frac{100}｛＼sqrt{50}｝＼end{align}＼计算可得置信区间约为（9608，10392）。

iid
iid
^
试求 ˆ L和
2 ˆ L.
ˆL . 例 设X 1 , , X n ~ U (a , b ), 试求a ˆ L和 b
iid
Stop
极大似然估计有性质： ˆ 1 ,, ˆ m )是(1 ,, m )的极大似然估计 , 若( 而 g(1 ,, m )具有单值反函数 . 则 ˆ 1 , , ˆ m )是g (1 ,, m )的极大似然估计 , g( ˆ 1 , , ˆm). ˆg ˆ (1 ,, m ) g ( 即
(1) 1， 2未知
令 F
2 S1 2 S2 2 1 2 2
~ F (n1 1, n2 1)
n1 n2 1 1 2 2 2 2 其中S1 ( X X ) , S ( Y Y ) i 2 n1 1 i 1 n2 1 i 1 i
可得
2 1
2 2 2 S2 S1 S2 ( , ) F / 2 ( n1 1, n2 1） F1-/2 ( n1 1, n2 1)
ˆ 1 ,, ˆ m ) max L(1 , , m ). L( L L
j
L
Stop
例 设X 1 , , X n ~ P ( ), 0,试求 L 例 设X 1 , , X n ~ N ( , 2 ), , 0,
Stop
2. 单正态总体方差的置信区间
设X 1， ， X n ~ N (， 2 ) ，给定x1， ， xn， 2 求出（或 ）的置信区间。 (1) 未知 2 ( n 1) S 2 2 令 ~ ( n 1) 2 即得 2的置信度为1- 的置信区间为
iid
( n - 1)s ( 2 , /2 ( n 1)

2
X X

2
2

nS 2
由公式8 4，我们可利用理论 2值与样本方差来 确定总体方差的置信区 间 : nS 2
6

n
。
第二节 总体平均数的估计
一、总体平均数估计的计算步骤： ⒈利用抽样的方法抽取样本，计算出样本的平均 值 X 和标准差S。 ⒉计算样本平均数的标准误 SEX ： ①当总体方差已知时，样本平均数的标准误的计 算为：
SEX
n
②当总体方差未知时，样本平均数的标准误的计 算为： Sn SEX n 1
因此, 的95%的置信区间为 : 115.8 2.042 0.81 115.8 2.042 0.81 即114.15 117.45
的99%的置信区间为 : 115.8 2.75 0.81 115.8 2.75 0.81 即113.57 118.03
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三、总体方差未知，对总体平均数的估计
⒉当总体为非正态分布时（只有当样本容量n>30 时，此时样本抽样分布服从自由度为n-1的t分 布，这时可依t 分布对总体平均数进行估计， 否则不能对总体 平均数进行估计。） 例6 某校进行一次数学考试，从中抽取40名考生， 经计算，这40 名考生的平均成绩为82分，标准 差为7 分，试求全体考生平均成绩的95%和 99%的置信区间。
例2 已知某市6岁正常男童体重的总体方差为6.55公斤，从该
市随机抽取40 名6岁男童，其平均体重为20.4公斤，试求该 市6 岁男童平均体重的95%和99%的置信区间。
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例1的计算
SE X
• 解： n 95%的置信区间的显著性水平α=0.05， Z 2 1.96 因此，μ的95%的置信区间为: