6参数估计

第六章 参数估计

6.1 点估计问题概述

习题1

总体X在区间[0,θ]上均匀分布，X1,X2,⋯,Xn是它的样本，则下列估计量θ是θ的一致估计是().

(A)θ=Xn; (B)θ=2Xn;

(C)θ=X¯=1n∑i=1nXi; (D)θ=Max{X1,X2,⋯,Xn}.

解答：

应选(D).

由一致估计的定义，对任意ɛ>0,

P(∣Max{X1,X2,⋯,Xn}-θ∣

=P(-ɛ+θ

=F(ɛ+θ)-F(-ɛ+θ).

因为

FX(x)={0,x<0xθ,0≤x≤θ1,x>θ, 及F(x)=FMax{X1,X2,⋯,Xn}(x)=FX1(x)FX2(x)⋯FXn(x),

所以

F(ɛ+θ)=1, F(-ɛ+θ)=P(Max{X1,X2,⋯,Xn}<-ɛ+θ)=(1-xθ)n,

故

P(∣Max{X1,X2,⋯,Xn}-θ∣

习题2

设σ是总体X的标准差，X1,X2,⋯,Xn是它的样本，则样本标准差S是总体标准差σ的().

(A)矩估计量； (B)最大似然估计量； (C)无偏估计量； (D)相合估计量.

解答：

应选(D).

因为，总体标准差σ的矩估计量和最大似然估计量都是未修正的样本标准差；样本方差是总体方差的无偏估计，但是样本标准差不是总体标准差的无偏估计.可见，样本标准差S是总体标准差σ的相合估计量.

习题3

设总体X的数学期望为μ,X1,X2,⋯,Xn是来自X的样本，a1,a2,⋯,an是任意常数，验证(∑i=1naiXi)/∑i=1nai (∑i=1nai≠0)是μ的无偏估计量.

解答：

E(X)=μ,

E(∑i=1naiXi∑i=1nai)=1∑i=1nai⋅∑i=1naiE(Xi) (E(Xi)=E(X)=μ)

=μ∑i=1nai∑i=1n=μ,

选择题：

1. 在参数估计中，要求用来估计总体参数的估计量的平均值等于被估计的总体参数。这种评价标准称为（ ）

A. 无偏性

B. 有效性

C. 一致性

D. 充分性

知识点：参数估计

难易度：1

2. 评价估计量的一致性标准是指（ ）

A. 样本统计量的值恰好等于待估的总体参数

B. 所有可能样本估计值的期望值等于待估总体参数

C. 估计量与总体参数之间的误差最小

D. 随着样本量的增大，估计量越来越接近总体参数

知识点：参数估计

难易度：1

3. 一项抽样研究表明，客运航班晚点平均时间的95%的置信区间为5分钟～20分钟之间。这里的95%是指（ ）

A. 航班晚点的概率为95%

B. 可以用95%的概率保证航班晚点的平均时间在5分钟～20分钟之间

C. 在多次估计中，航班晚点的平均值在5分钟～20分钟之间的频率约为95%

D. 100个航班中，有95个航班晚点 知识点：参数估计

难易度：3

4. 下面参数估计的陈述中，正确的是（ ）

A. 90%的置信区间将以90%的概率包含总体参数

B. 当样本量不变时，置信水平越大得到的置信区间就越窄

C. 当置信水平不变时，样本量越大得到的置信区间就越窄

D. 当置信水平不变时，样本量越大得到的置信区间就越宽

知识点：参数估计

难易度：3

5. 总体均值的置信区间等于样本均值加减估计误差，其中的估计误差等于所要求置信水平的临界值乘以（ ）

A. 样本均值的标准误差

B. 样本标准差

C. 样本方差

D. 总体标准差

知识点：参数估计

难易度：1

6. 从总体中抽取一个样本量为50的简单随机样本，用该样本均值构建总体均值99%的置信置信区间，这里的99%是指（ ）

A. 总体参数落在该样本所构造的区间内的概率为99%

B. 在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为99% C. 总体参数落在该样本所构造的区间内的概率为1%

参数估计中的常用公式总结

参数估计是统计学中重要的一部分，用于通过样本数据对总体参数进行估计。在参数估计中，有一些常用的公式被广泛应用。本文将总结这些常用的参数估计公式，帮助读者更好地理解和应用这些公式。

一、最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）

最大似然估计是一种常见的参数估计方法，用于通过最大化似然函数来估计参数。在最大似然估计中，常用的参数估计公式如下：

1. 似然函数（Likelihood Function）:

似然函数L(θ)定义为给定参数θ下的样本观测值的联合概率密度函数或概率质量函数。在连续型分布的情况下，似然函数可以表示为：

L(θ) = f(x₁; θ) * f(x₂; θ) * ... * f(xₙ; θ)

其中x₁, x₂, ..., xₙ为样本观测值。

2. 对数似然函数（Log-Likelihood Function）:

对数似然函数l(θ)定义为似然函数的对数：

l(θ) = log(L(θ))

3. 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）:

最大似然估计通过最大化对数似然函数l(θ)来估计参数θ，常用的公式为：

θ̂ = argmaxₐ l(θ) 其中θ̂表示参数的最大似然估计值。

二、最小二乘估计（Least Squares Estimation）

最小二乘估计是一种常见的参数估计方法，用于对线性回归模型中的参数进行估计。在最小二乘估计中，常用的参数估计公式如下：

1. 残差平方和（Sum of Squares of Residuals）:

残差平方和定义为观测值与回归直线（或曲线）之间的差异的平方和。最小二乘法通过最小化残差平方和来估计参数。

2. 最小二乘估计（Least Squares Estimation）:

最小二乘估计通过最小化残差平方和来估计参数。对于简单线性回归模型，估计参数b₀和b₁的公式分别为：

9..考研真题六

.,,,,,1.,0,10,)1(

)(

21

试分别用矩估计法和最大似然估计法求的估计量的简单随的一个容量为是来自总体是未知参数其中其它的概率密度为设总体

nXXXXxx

xfX

n󰀢−>⎪

⎩⎪

⎨⎧<<+

=

θθ

θ1.

数一考研题97

).((2);(1),,,.,0,0),(6

)(

213

θθθθθθ

θ

DXXXXxxx

xfX

n

的方差求的矩估计量求的简单随机样本是取自总体其它的概率密度为设总体

󰀢⎪

⎩⎪

⎨⎧

<<−

=2.

数一考研题99

求参数的一组样本观测值是又设为未知参数其中的概率密度为设某种元件的使用寿命

θθθθ

θθ

,,,,,0,,0,,2

);(

21)(2

Xxxxxxe

xfX

nx

󰀢>⎪

⎩⎪

⎨⎧

≤>

=−−3.机样本

^

^^

的最大似然估计值

数一考研题00.

),1,():(5.

从中随机服从正态分布单位已知一批零件的长度μ

Ncm

X,)210(21)1(23210

22

的如下样本值利用总体是未知参数其中的概率分布为设总体

θθθθθθθ

XpXX

<<−−4.

/

.,3,2,1,3,0,3,1,3

的矩估计值和最大似然估计值求θ

数一考研题02

0.95),(40,16

的置信的置信度为则得到长度的平均值为个零件μ

cm

地抽取

)95.0)645.1(,975.0)96.1(:(.______

=Φ=Φ

标准正态分布函数值注数一考研题03区间是

10..,,,,

.0,,0,,2

)(

21)(2

记中抽取简单随机样本从总体是未知参数其中的概率密度为设总体

θθθθ

XXX

Xxxe

xfX

nx

󰀢

>⎪

⎩⎪

⎨⎧

≤>

=−−6.

).,,,min(

21θ

XXX

n󰀢=^

);((1)

的分布函数求总体xFX

.,(3));((2)

讨论它是否具有无偏性的估计量作为如果用的分布函数求统计量

θθθ

θxF

.(2);(1):,,,,,1,1,0,1,1

1

);(7.

21

的最大似然估计量的矩估计量求的简单随机样本为来自总体其中未知参数的分布函数为设总体

βββββ

XXXXxx