高中数学第三章概率3.3.1几何概型课件新人教版必修3

情境2：取一个边长为2a的正方形及 其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆 子，豆子落入圆内的概率？
情境3: 有一杯1升的水，其中有1个微生物，用 一个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中 含有这个微生物的概率.
思考： 上述情境是古典概型么？ 构成它们的基本事件是什么以及有什么共同特点？
基本事件：
情境3：1升水中的每 情境1：圆周上的每个点 情境2:正方形内的每个位置 一点
3.3.1几何概型
温故知新
古典概型的两个基本特点:
（1）所有的基本事件只有有限个; （2）每个基本事件发生都是等可能的.
古典概型的概率公式:Biblioteka P ( A )事件
A包 含 的 基 本 事 件个 数 基本事件的总数
引入新课
情境1：上图中有两个转 盘,甲乙两人玩转盘游戏： 规定当指针指向B区域时, 甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获 胜的概率是多少?
D
C
A
B
3.在1L高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子,从中随机取出 10mL,含有麦锈病种子的概率是多少?
回顾小结：
古典概型与几何概型的区别.
相同：两者基本事件的发生都是等可能的； 不同：古典概型要求基本事件有有限个，
几何概型要求基本事件有无限多个.
几何概型的概率公式.
例2：一海豚在水池中自由游弋，水池长30m，
30m
宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸小于2m 20
的概率．
2m
练习： 1.如右下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄 豆,分别计算它落到阴影部分的概率.
2.若将一个质点随机投入如图 所示的长方形ABCD中，其中AB=2， BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率为__________

含有这个细菌的概率； （4）向上抛一枚质地不均匀的旧硬币，
求正面朝上的概率. A.1个 B.2个 C. 3个 D.4个
题组一：
2. 下列概率模型中，几何概型的是(1),(3) . （1）在1万平方千米的海域中有80平方千米 的大陆架贮藏着石油.假设在海域中的任意一 点钻探，求钻到油层面的概率；
（2）从区间 [10,10] 内任意取出一个整数， 求取到绝对值不大于1的数的概率； （3）向一个边长为4cm的正方形ABCD内 投一个点P，求点P离中心不超过1cm 的概率
分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该 矩形区域内无其他信号来源，基站工作正
常）.若在该矩形区域内随机地选一地点，
则该地点无信号的概率是（ A ）
A.1－
4
B.
－1
2
C.2－ 2
D.
4
题组五：
2.如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x轴上，
点 B的坐标为 (1,0)．点 C 与点 D在 C
x 1, x 0
函数
f
(x)
1 2
x
1,
x
0
的图像上．
若在矩形内随机取一点，则该点取自阴影 y
部分的概率等于（ B）
D
C
1 1 31
A．6 B．4 C．8 D．2
A
F OB
x
五、课堂总结：
如果每个事件发生的概率只与构成
该事件区域的长度(面积或体积)成比例,
则称这样的概率模型为几何概型.
几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
内随机取一点 P ，则点 P 到点O 的距离
小于1的概率为 .

记“等车时间超过 10 min”为事件 A，则当乘客到达车 站的时刻 t 落在线段 T1T 上(不含端点)时，事件 A 发生．
∴P(A)＝TT11TT2的的长长度度＝155＝13， 即该乘客等车时间超过 10 min 的概率是31.
拓展提升 1.解几何概型概率问题的一般步骤 (1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能 性)； (2)把基本事件转化为与之对应的区域 D； (3)把所求随机事件 A 转化为与之对应的区域 I； (4)利用概率公式计算．
【跟踪训练 2】 如图，在圆心角为直角的扇形 OAB
中，分别以 OA，OB 为直径作两个半圆．在扇形 OAB 内随
机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )
A．1－π2 B.21－π1
2
1
C.π
D.π
解析 设扇形的半径为 2，则其面积为π×422＝π.阴影部 分的面积可转化为扇形的面积减去△AOB 的面积，即阴影 部分的面积为 π－12×2×2＝π－2.因此任取一点，此点取自 阴影部分的概率为π－π 2＝1－2π.
拓展提升 1.解与体积有关的几何概型的关键点 分清题中的条件，提炼出几何体的形状，找出总体积是 多少以及所求的事件占பைடு நூலகம்的几何体是什么几何体，并计算出 体积． 2．与体积有关的几何概型概率的求法 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表 示，则其概率的计算公式为 P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的体区积域体积.
所以作 AC′＝AC，且∠ACC′＝180°2－45°＝67.5°.
如图，当 CM 在∠ACC′内部的任意一个位置时，皆有 AM<AC′＝AC，即 P(AM<AC)＝6970.5°°＝34.
探究 5 用随机模拟法估计图形的面积

225 ＝2225，故所求概率为 P＝4200＝392.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.一海豚在水池中自由游弋，水池为长 30 m， 宽 20 m 的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过 2 m 的概率． 解：如图所示，区域 Ω 是长 30 m、宽 20 m 的长方形，图中阴 影部分表示事件 A：“海豚嘴尖离岸边不超过 2 m”，问题可以 理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率． 由于区域 Ω 的面积为 30×20＝600(m2)，阴影部分的面积为 30×20－26×16＝184(m2)．所以 P(A)＝168040＝2735.即海豚嘴尖离 岸边不超过 2 m 的概率为2735.
模型，简称为几何概型． (2)特点：①可能出现的结果有_无__限__多__个__；②每个结果发生的 可能性_相__等___．
3．如图，假设你在如图所示的图形中随机撒一粒黄豆，则它落 1
到阴影部分的概率为___π_____．
解析：设圆的半径为 R，则圆的面积为 S＝πR2，阴影的面积 S 阴＝21·2R·R＝R2，故所求概率 P＝SS阴＝πRR2 2＝π1 .
大家好
1
第三章 概 率
3．3 几何概型
3．3.1 几何概型
第三章 概 率
1.通过实例体会几何概型的含义，会区分古典概型和几 何概型． 2．掌握几何概型的概率计算公式，会求一些事件的概率．
1．几何概型的定义与特点 (1) 定 义 ： 如 果 每 个 事 件 发 生 的 概 率 只 与 构 成 该 事 件 区 域 的 __长__度__(_面__积__或__体__积__) _成比例，则称这样的概率模型为几何概率
探究点一 与长度有关的几何概型
函数 f(x)＝x2－x－2，x∈[－5，5]，那么任取一点 x0∈ [－5，5]，使 f(x0)≤0 的概率为( C )

（三）自主学习，理解定义
学生阅读课本P109第一段至倒数第二段，自主学习, 了解几何概型的定义。理解以下三个问题：
①几何概型的定义。 ②特征：等可能性，无限性（对比古典概型）
A ③公式： P( A) ，其中μ 子区域A的几何度量。
Ω 表示Ω
的几何度量，μ A表示
引例1：如图，转盘上有8个面积相 等的扇形，转动转盘，求转盘停止 转动时指针落在阴影部分的概率.
一张方桌的图案如图所示．将100颗豆子随机地扔 到桌面上，假设豆子不落 在线上，数得落在阴影部分有 65颗豆子，则可估计阴影部分 面积占总面积的多少？
（六）布置作业
向面积为S的△ABC内任投一点P，求 s △PBC的面积小于 的概率。
2
（六）自主整理，归纳总结
1、几何概型定义及概率公式。
2、几何概型应用。
(1)基本事件有无限多个;
(2)基本事件发是等可能的.
一般地,在几何区域D中随机地取一点,记“该点落 在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率:
构成事件A的区域长度（面积或体积） P( A) 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
注意:
（1）古典概型与几何概型的区别在于：几何概型是无限多个等 可能事件的情况，而古典概型中的等可能事件只有有限多个； (2)D的测度不为0,当D分别是线段、平面图形、立体图形时,相应的 “测度”分别是长度、面积和体积或角度.
1 P ( A) 2
引例2：在500ml的水中有一个草履虫，现从 中随机取出2ml水样放在显微镜下观察，求发 现草履虫的概率.
1 P ( A) 250
建构数学 如果每个事件发生的概率只与构成该事件 区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的 概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.

() π
A.4
B．1－4π
π C.8
D．1－8π
解析 如图所示，所求概率
P＝2×12－×121π×12＝1－π4. 答案 B
2．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为 ________．
解析 由|x|≤1知x∈[－1,1]，故所求的概率为P＝23.
答案
2 3
3．在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝 对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的 点构成的区域，向D中随机投一点，则所投的点落在E中的概 率是________．
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
一 与长度有关的几何概型
【例1】 取一根长为5 m的绳子，拉直后在任意位置剪 断，那么剪得两段的长都不小于2 m的概率有多大？
【分析】 从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位 置可以是长度为5 m的绳子上的任意一点，其基本事件有无限 多个，显然不能用古典概型计算，可考虑运用几何概型计算．
1 6
的概
率．
【分析】 解答本题关键是满足题意的点M在正方体内的 位置，可画出图形，结合棱锥的体积公式，确定点M的位置．
【解】 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1，设棱锥M－ ABCD的高为h，则13×SABCD×h＜16.
又SABCD＝1，∴h<12， 即点M在正方体的下半部分，
1 故所求的概率P＝2VV正正方方体体＝12.
第三章 概率
§3.3 几何概型
3．3.1 几何概型
课
梳理知识 夯实基础
课前热身 1.几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面 积或体积)成比例，则称这样的概率模型为____________，简 称__________．

解. 以两班车出发间隔 ( 0，10 ) 区间作为样本空间 S，
乘客随机地到达，即在这个长度是 10 的区间里任何
一个点都是等可能地发生，因此是几何概率问题。
要使得等车的时间不超过
3 分钟，即到达的时刻应该是
图中 A 包含的样本点，
0←
S
→10
p (A) =
A 的长度 —————
=
3 ——
=
0.3 。
试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
例如:图3.3-1中（1）、（2）“甲获胜”的概率分别 为1/2，3/5
精品PPT
想一想：
几何概型的特点
a) 试验中所有可能出现的结果（基本事件） 有无限多个；
b) 每个基本事件出现的可能性相等
古典概型与几何概型的区别
• 相同：两者基本事件发生的可能性都是相等的； • 不同：古典概型要求基本事件有有限个，几何概
１ ８
２
(d) P(D)=
SD
= S正
182-
（3）２
精品PPT
182
324-9
＝ ３２４
练习3
• 射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向内为 白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色靶心叫 “黄心”。奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直 径为12.2cm.运动员在70m外射箭,假设每箭都能中 靶,那么射中黄心的概率是多少?
在哪个房间里，甲壳虫停留在黑砖上的概率 大？
卧室 卧室
精品PPT
书房
• 问题2:图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏, 规定当指针指向黄色区域时,甲获胜,否则乙获 胜.在下列那种情况下甲获胜的概率大?说明理 由.
(1)
(2)

第三章 3.3
3.3.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修3
X服从[3,40]上的均匀分布，则X的值不能等于( A．15 C．35
[答案] D [解析] 由于X∈[3,40]，则3≤X≤40，则X≠45.
)
B．25 D．45
第三章 3.3
3.3.1
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3．几何概型与古典概型的异同 概率 类型 不同点 相同点 每个基本事件出 现的可能性一 样，即满足等可 能性
第三章 3.3
3.3.1
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新课引入
第三章 3.3
3.3.1
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数学与我们的生活密切相关，我们最好能将学到的数学 知识用到生活中，更加可贵的是，同学们能主动发现生活中 的问题，然后再考虑用什么数学知识来解决，遇到没学过的 知识还能积极探索！
第三章 3.3
3.3.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修3
规律总结：本题把时间用一条线段表示，使问题变得 直观，本题也可以用区间表示，即公式的分母为区间(0,15]， 分子为区间(0,5).
第三章 3.3
3.3.1
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命题方向2
与面积有关的几何概型问题
与面积有关的几何概型问题解法： (1)如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积 表示，则其概率的计算公式为： 构成事件A的区域面积 P(A)＝ . 试验的全部结果所构成的区域面积
[解析]
记事件E：“A与C、D，B与C、D之间的距离都 1 3 ＝
不小于10米”，把AB三等分，由于中间长度为30× 10 1 10(米)，所以P(E)＝ ＝ . 30 3

可记为：
P( A) A
μ Ω 表 示 试 验 的 全 部 结 果 构 成 的 区 域 几 何 度 量
μ A 表 示 事 件 A 构 成 的 区 域 几 何 度 量
公式的运用
例1：一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽为
20m的长方形。求此海豚嘴尖离岸边不超过 2m 的概率.
A
不超◆解过：2
引例2：取一个边长为2a的正方形 (如图),随
机地向正方形内丢一粒豆子。
思考：
上述试验还是不是古典概型？
为什么？
小组内讨论：
参照古典概型的特点，上述试 验中基本事件的特点是什么？
特点：
无限性：试验中所有可能出现的基本事件为 无限个；
等可能性：每个基本事件出现的可能性相等。
几何概型
提出问题
那么对于有无限多个试验结果 （不可数）的几何概型相应的概 率应如何求呢?
1.古典概型的两个特点:
有限性：试验中所有可能出现的基本事件为有限个. 等可能性：每个基本事件出现的可能性相等.
2.计算公式：
P (A )事 试 件 验 A 包 的 含 基 的 本 基 事 本 件 事 总 件 数 数 m n
探究一：
引例1：从区间[1，6]中任取一个实数。
0 12 34 5 6
10cm,黄心半径为1cm.现一人随机射箭 ，假设
每箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的, 请问射中黄心的概率是多少?
设“射中黄心”为事件A
P (A ) 试 验 事 全 件 部 A 结 构 果 成 构 的 成 区 的 域 区 的 域 面 的 积 面 积 1 1 0 2 2 = 1 0 1 0
解题步骤：
记事件
构造几何图形

m A m
1 3
2.面积问题：如右下图所示的单位圆,假 设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分 别计算它落到阴影部分的概率.
解：由题意可得
设 “豆子落在第一个图形的阴影部分”为事件A， “豆子落在第二个图形的阴影部分”为事件B。
从而：基本事件的全体 对应的几何区域为面积为１的单位圆 事件A对应的几何区域为第一个图形的阴影部分面积１／２ 事件B对应的几何区域为第二个图形的阴影部分面积３／８
故几何概型的知识可知，事件A、B发生的概率分别为：
p(
A)
m A m
1 2
p(B)
mB m
3 8
3.体积问题：有一杯1升的水,其中含有1 个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1 升,求小杯水中含有这个细菌的概率.
解：由题意可得
设 “取出的0.1升水中含有细菌”为事件A。
则：基本事件的全体 对应的几何区域为体积为1升的水 事件A对应的几何区域为体积为0.1升的水
例2：一海豚在水池中自由游弋，水 池长30m，宽20m的长方形，求此刻 海豚嘴尖离岸小于2m的概率．
30m
20m
2m
解：设事件A“海豚嘴尖离岸边小于2m”（见 阴影部分）
P（A）＝
30
20 26 30 20
16
184 600
0.31
答:海豚嘴尖离岸小于2m的概率约为0.31.
当堂检测：
1.在区间［1,3］上任取一数,则这个数大于1.5的概率为 ( )D A.0.25 B.0.5 C.0.6 D.0.75
3.3.1 几何概型
复习 1.古典概型
（1）所有可能出现的基本事件只有有限个(有限性)
（2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性） 我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型， 简称古典概型.

人教版高中数学必修三第三章概率3.3 几何概型课件
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来

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转盘游戏
2021/3/20
4
情景引入 问题4:把转盘换成下图的两个转 盘，中奖的概率会发生变化吗?
10元 加油
20元
加油 8元
加油
2021/3/20
（1）
20元 加油
加油 8元
10元
（2）
5
概念形成
几何概型：
定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事 件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样 的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。
3米
1米
1米
1米
事 件 A发 生 的 概 率P（ A） =1 3
2021/3/20
16
2一只蚂蚁在一边长为6的正方形区域内随机地爬行，则其恰在离四个顶点距离都大于3 的地方的概率是
4－π
A
解：此试验是几何概型，正方形面积为S，区域A的面积
为SA， S=6×6=36
SA=6×6―4× π×32=36－9π
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021年4月3日 星期六1时16分 35秒13:16:353 April 2021
地爬行，则其恰在离四个顶点距离都大于3
的地方的概率是
.
3有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小
杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这
个细菌的概率
.
2021/3/20
15
1 取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m 的概率有多大？
记“剪得两段绳长都不小于1m”为事件A.
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积)