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3.1 数系的扩充1、是复数为纯虚数的( )0a =(),Z a bi a b R =+∈A.充要条件, B.充分不必要条件,C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2、设.“”是“复数是纯虚数”的( ),a b R ∈0a =a bi +A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3、已知,为虚数单位,那么平面内到点的距离等于的点的轨cossin 44z i ππ=+i ()1,2C z 迹是( )A.圆B.以点圆心,半径等于的圆C 1C.满足方程的曲线221x y +=D.满足的曲线()()221122x y -+-=4、复数为纯虚数的充要条件是( )()()22,z a b a a i a b R =-++∈A. a b=B. 且0a <a b=-C. 且0a >a b≠D. 且0a >a b=±5、已知复数是实数,则实数的值为( )()2111z a i a =+--a A. 或11-B. 1C. 1-D. 或01-6、满足条件的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )|||i 34|i z =--A.一条直线 B.两条直线 C.圆 D.椭圆7、下列命题中为假命题的是( )A.复数的模是非负实数B.复数等于零的充要条件是它的模等于零C.两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D.复数的充要条件是12z z >12z z >8、设,则以下结论中正确的是( )()()2225322,z t t t t i t R =+-+++∈A. 对应的点在第一象限z B. 一定不是纯虚数z C. 对应的点在实轴上方z D. 一定是实数z 9、在复平面内,复数满足 (为虚数单位),则复数所表示的点在( )z ()20131i z i +⋅=i z A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10、在复平面内,复数对应的点位于( )12i 1iz -=+A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限11、若,则实数x 的值(或取值范围)是__________.2222log (32)i log (21)1x x x x --+++>12、复数,且,若是实数,则的值为 ;cos sin 22z i ππθθ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦z θ若为纯虚数,则的值为 .z θ13、若时,复数的模的取值范围是__________.,1,0t R t t ∈≠-≠11t t z i t t+=++14、设复数 (,)则__________.a bi +ab R ∈3()()a bi a bi +-=15、已知复数.()()()2123,z m m m m i m R =-++-∈1.若是实数,求的值;z m 2.若是纯虚数,求的值;z m 3.若在复平面内, 所对应的点在第四象限,求的取值范围.z m答案以及解析答案：C解析：2答案及解析：答案：B解析：当,且时, 不是纯虚数;若是纯虚数,则.故“”是“复0a =0b =a bi +a bi +0a =0a =数是纯虚数”的必要而不充分条件.a bi +3答案及解析：答案：B解析：设所求动点为,又,,(),x y 22cos sin 144z ππ=+=()()22121x y -+-=即.故选B.()()22121x y -+-=4答案及解析：答案：D解析：由题意可得,且,则且.220a b -=0a a +≠0a >a b =±5答案及解析：答案：C解析：因为复数是实数,且为实数,则解得.()2111z a i a =+--a 210{10a a -=-≠1a =-6答案及解析：答案：C解析：原条件式可化为,其几何意义是以为圆心,5为半径的圆i 5z -=(0,1)D8答案及解析：答案：C解析：∵的值可正、可负、可为,()()2253321t t t t +-=+-0,∴排除A 、B 、D ，选C.()2222111t t t ++=++≥9答案及解析：答案：A解析：10答案及解析：答案：C解析：11答案及解析：答案：-2解析：由题意知,解得,即.2222log (21)0log (32)1x x x x ⎧++=⎪⎨-->⎪⎩0214x x x x ==-⎧⎨<->⎩或或2x =-12答案及解析：答案：,2π±0解析：.cos sin sin cos 22z i i ππθθθθ⎛⎫⎛⎫=+++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当是实数时, ∵,∴;z cos 0θ=ππ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2πθ=±当为纯虚数时,又,∴.z sin 0{cos 0θθ-=≠ππ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦0θ=13答案及解析：答案：)+∞解析： (当且仅当,即时,22211221+1t t t t z t t t t ++⎛⎫⎛⎫=+≥⋅⋅= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭11t t t t +=+12t =-等号成立),∴.z ≥14答案及解析：答案：3解析：复数 (,)则,所以a bi +a b R ∈223a b +=223a b +=.()()222223a bi a bi a b i a b +-=-⋅=+=15答案及解析：答案：1.∵为实数,∴,z 2230m m +-=解得或.3m =-1m =2.∵为纯虚数,z ∴解得.2(1)0230m m m m -=⎧⎨+-≠⎩0m =3. ∵所对应的点在第四象限,z ∴;解得.2(1)0230m m m m ->⎧⎨+-<⎩30m -<<故的取值范围为.m ()3,0-解析：。
江苏省苏州市2019-2020学年高考数学第二次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数(1)(3)(z i i i =+-为虚数单位） ，则z 的虚部为（ ） A ．2 B ．2iC ．4D ．4i【答案】A 【解析】 【分析】对复数z 进行乘法运算，并计算得到42z i =+，从而得到虚部为2. 【详解】因为(1)(3)42z i i i =+-=+，所以z 的虚部为2. 【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部的概念，计算过程要注意21i =-. 2．已知函数()f x 是奇函数，且22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x -=+----，若对11[,]62x ∀∈，(1)(1)f ax f x +<-恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(3,1)--B ．(4,1)--C ．(3,0)-D ．(4,0)-【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数奇偶性求得()(),f x f x '，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数()f x 是奇函数， 所以函数'()f x 是偶函数.22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x ---=--+--， 即22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x --=--+--， 又22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x -=+----，所以()ln(1)ln(1)f x x x =+--，22'()1f x x =-. 函数()f x 的定义域为(1,1)-，所以22'()01f x x =>-，()(0)0f x f >=，所以()f x 为偶函数，且在(0,1)上单调递增.由(1)(1)fax f x +<-，可得11111ax x ax ⎧+<-⎨-<+<⎩，对11[,]62x ∈恒成立，则1120ax x a x ⎧+<-⎪⎨-<<⎪⎩，21120a x a x⎧-<<-⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩对11[,]62x ∈恒成立，，得3140a a -<<-⎧⎨-<<⎩， 所以a 的取值范围是(3,1)--. 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数单调性求解不等式，根据方程组法求函数解析式，利用导数判断函数单调性，属压轴题. 3．已知全集U =R ，集合{|31}M x x =-<<，{|||1}N x x =„，则阴影部分表示的集合是（ ）A ．[1,1]-B ．(3,1]-C ．(,3)(1,)-∞--+∞UD ．(3,1)--【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合N 的补集U N ð，再求出集合M 与U N ð的交集，即为所求阴影部分表示的集合. 【详解】由U =R ，{|||1}N x x =„，可得{1U N x x =<-ð或1}x >， 又{|31}M x x =-<<所以{31}U M N x x ⋂=-<<-ð. 故选：D. 【点睛】4．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()1f x x =-+，函数()1x g x e--=（13x -≤≤），则函数()f x 与函数()g x 的图象的所有交点的横坐标之和为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】 【分析】由函数的性质可得：()f x 的图像关于直线1x =对称且关于y 轴对称，函数()1x g x e--=（13x -≤≤）的图像也关于1x =对称，由函数图像的作法可知两个图像有四个交点，且两两关于直线1x =对称，则()f x 与()g x 的图像所有交点的横坐标之和为4得解.【详解】由偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，可得()f x 的图像关于直线1x =对称且关于y 轴对称， 函数()1x g x e--=（13x -≤≤）的图像也关于1x =对称，函数()y f x =的图像与函数()1x g x e--=（13x -≤≤）的图像的位置关系如图所示，可知两个图像有四个交点，且两两关于直线1x =对称， 则()f x 与()g x 的图像所有交点的横坐标之和为4. 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的性质，考查了数形结合的思想，掌握函数的性质是解题的关键，属于中档题. 5．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（ ） A ．2- B ．2C ．12-D ．12【答案】C 【解析】把()12112z ai a R z i =+∈=+，代入12z z ，利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为0且虚部不为0求解即可． 【详解】∵()12112z ai a R z i =+∈=+，，∴121(1)(12)12212(12)(12)55z ai ai i a a i z i i i ++-+-===+++-， ∵12z z 为纯虚数， ∴12020a a +=⎧⎨-≠⎩，解得12a =-．故选C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题．6．已知椭圆22:13x C y +=内有一条以点11,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为中点的弦AB ，则直线AB 的方程为( )A ．3320x y --=B ．3320x y -+=C ．3340x y +-=D ．3340x y ++=【答案】C 【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则221113x y +=，222213x y +=，相减得到22033k +=，解得答案. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线斜率为k ，则221113x y +=，222213x y +=， 相减得到：()()()()1212121203x x x x y y y y -+++-=，AB 的中点为11,3P ⎛⎫⎪⎝⎭， 即22033k +=，故1k =-，直线AB 的方程为：43y x =-+. 故选：C .7．已知函数21()(1)()2x f x ax x e a R =--∈若对区间[]01，内的任意实数123x x x 、、，都有123()()()f x f x f x +≥，则实数a 的取值范围是( ）A ．[]12， B ．[]e,4C ．[]14， D ．[)[]12,4e ⋃， 【答案】C 【解析】分析：先求导,再对a 分类讨论求函数的单调区间，再画图分析转化对区间[]01，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥，得到关于a 的不等式组，再解不等式组得到实数a 的取值范围. 详解：由题得()[(1)]()xxxxf x ax e x e ax xe x a e =-+-=-=-'.当a ＜1时，()0f x '<，所以函数f （x ）在[]01，单调递减， 因为对区间[]01，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥， 所以(1)(1)(0)f f f +≥， 所以111,22a a +≥ 故a≥1，与a ＜1矛盾，故a ＜1矛盾.当1≤a<e 时，函数f(x)在[0,lna]单调递增，在(lna,1]单调递减. 所以2max 1()(ln )ln ln ,2f x f a a a a a a ==-+ 因为对区间[]01，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥， 所以(0)(1)(ln )f f f a +≥，所以2111ln ln ,22a a a a a a +≥-+ 即211ln ln 1022a a a a a -+-≤令211()ln ln 1,(1)22g a a a a a a a e =-+-≤<，所以21()(ln 1)0,2g a a =-<'所以函数g(a)在（1，e ）上单调递减， 所以max 1()(1)02g a g ==-<， 所以当1≤a<e 时，满足题意.当a e ≥时，函数f(x)在(0,1)单调递增,因为对区间[]01，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥，故1+112a ≥， 所以 4.a ≤ 故 4.e a ≤≤综上所述，a ∈[]14，. 故选C.点睛：本题的难点在于“对区间[]01，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥”的转化.由于是函数的问题，所以我们要联想到利用函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、极值等）来分析解答问题.本题就是把这个条件和函数的单调性和最值联系起来，完成了数学问题的等价转化，找到了问题的突破口.8．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）A ．7B ．5C ．3D ．2【答案】B 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，表示的可行域，如图，由20 2390x y x y +-=⎧⎨--=⎩可得31x y =⎧⎨=-⎩，将2z x y =+变形为2y x z =-+， 平移直线2y x z =-+，直线在y 轴上的截距最大， z 最大值为2315z =⨯-=，故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 9．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 前6项和6S 为（）A ．18B ．24C ．36D ．72【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得35a =，根据等差数列的前n 项和公式163466622a a a aS ++=⨯=⨯可得结果. 【详解】∵等差数列{}n a 中，1510a a +=，∴3210a =，即35a =，∴163465766636222a a a a S +++=⨯=⨯=⨯=， 故选C. 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题. 10．若x yi +(,)x y ∈R 与31ii+-互为共轭复数，则x y +=（ ） A ．0 B ．3C ．－1D ．4【答案】C 【解析】 【分析】 计算3121ii i+=+-，由共轭复数的概念解得,x y 即可. 【详解】3121ii i+=+-Q，又由共轭复数概念得：x 1,y 2==-， 1x y ∴+=-.故选：C11．若复数221a ii++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】 化简复数221a ii++，由它是纯虚数，求得a ，从而确定22a i +对应的点的坐标． 【详解】221a i i ++2()(1)1(1)(1)(1)a i i a a i i i +-==++-+-是纯虚数，则1010a a +=⎧⎨-≠⎩，1a =-， 2222a i i +=-+，对应点为(2,2)-，在第二象限．故选：B ． 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义．本题属于基础题． 12．若非零实数a 、b 满足23a b =，则下列式子一定正确的是（ ） A ．b a > B ．b a < C ．b a < D ．b a >【答案】C 【解析】 【分析】令23a b t ==，则0t >，1t ≠，将指数式化成对数式得a 、b 后，然后取绝对值作差比较可得． 【详解】令23a b t ==，则0t >，1t ≠，2lg log lg 2t a t ∴==，3lg log lg 3tb t ==， ()lg lg lg lg 3lg 20lg 2lg 3lg 2lg 3t t t a b -∴-=-=>⋅，因此，a b >.故选：C. 【点睛】本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
学业分层测评(十八)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.复数(1－)i 的实部为________.2【解析】 ∵复数(1－)i ＝0＋(1－)i ，∴实部为0.22【答案】 02.若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________.【导学号：01580060】【解析】 Error!∴x ＝－1.【答案】 －13.若复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝b i ，a ，b 均为实数，且z 1＝z 2，则a －b ＝________.【解析】 由z 1＝z 2，得a ＝0，b ＝2，∴a －b ＝－2.【答案】 －24.以复数z ＝3i ＋2和复数z 2＝2i 2－1的实部之和为虚部，虚部之和为实部的新复数是________.【解析】 z 2＝2i 2－1＝－3，则新复数的实部为3，虚部为－1，所以新复数为3－i.【答案】 3－i5.(2014·湖南高考)复数(i 为虚数单位)的实部等于________.3＋ii2【解析】 ＝＝－3－i ，其实部为－3.3＋i i23＋i－1【答案】 －36.设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________.【解析】 复数m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数的充要条件是Error!解得Error!即m＝－2.故m＝－2时，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数.【答案】 －27.若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值为________.【解析】 Error!∴x＝－2.【答案】 －28.有下列说法：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；③1－a i(a∈R)是一个复数；④纯虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i；⑥i是方程x4－1＝0的一个根；2i是一个无理数.其中正确的有________(填序号).【解析】 若两个复数相等，则有它们的实部、虚部均相等，故①正确；若虚部不相等，则两个复数一定不相等，故②正确；因满足形如a＋b i(a，b∈R)的数均为复数，故③正确；纯虚数的平方，如i2＝－1，故④错误；－1的平方根不止一个，因为(±i)2＝－1，故⑤错误；∵i4－1＝0成立，故⑥正确；i是虚数，2而且是纯虚数，故⑦错误.综上，①②③⑥正确.【答案】 ①②③⑥二、解答题9.已知m∈R，复数z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)，(1)写出复数z的代数形式.(2)当m为何值时，z＝0？当m为何值时，z是纯虚数？【解】 (1)复数z ＝(2＋i)m 2－3(1＋i)m －2(1－i)＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i ，即复数z 的代数形式为z ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i.(2)若z ＝0，则Error!解得m ＝2.若z 为纯虚数，则Error!解得Error!即m ＝－.1210.已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实数根，求实数k 的值.【解】 设x 0是方程的实数根，代入方程并整理得(x ＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )20i ＝0.由两个复数相等的充要条件得Error!解得Error!或Error!∴实数k 的值为±2.2能力提升]1.设x ，y ∈R ，且满足(x ＋y )＋(x －2y )i ＝(－x －3)＋(y －19)i ，则x ＋y ＝________.【解析】 由复数相等的充要条件得Error!解之得Error!所以x ＋y ＝1.【答案】 12.若log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，则实数m ＝________.【解析】 由纯虚数的定义知，log 2(m 2－3m －3)＝0且log 2(m －2)≠0.∴Error!解得m ＝4.【答案】 43.已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1>z 2，则a 的值为________.【导学号：01580061】【解析】 由z 1>z 2知，z 1、z 2都为实数，所以Error!解之得a ＝0.此时，z 1＝1>z 2＝0.【答案】 04.(2016·全国Ⅱ)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是________.【解析】 由题意知Error!即－3＜m ＜1.故实数m 的取值范围为(－3,1).【答案】 (－3,1)5.若复数z ＝＋i(m ∈R )是虚数，则实数m 的取值范围是m －3m ＋2m 2－m ________.【解析】 ∵复数z ＝＋i(m ∈R )是虚数.m －3m ＋2m 2－m ∴Error!解得m >1或m <0且m ≠－2.故实数的取值范围是(－∞，－2)∪(－2,0)∪(1，＋∞).【答案】 (－∞，－2)∪(－2,0)∪(1，＋∞)。
3.1 数系的扩充1、设复数z 满足关系式2z z i +=+,那么z 等于( ) A. 34i -+ B. 34i - C. 34i -- D. 34i + 2、复数12z a i =+,22z i =-+,如果12z z <,则实数a 的取值范围是( )A. 11a -<<B. 1a >C. 0a >D. 1a <-或1a >3、已知i 为虚数单位, a R ∈,若()()()21111a a i a a i -++=-+-是纯虚数,则a 的值为( )A. 1-或1B. 1C. 3D. 1-4、在复平面内,复数13i -,(1)(2)i i +-对应的点分别为,A B ,则线段AB 的中点C 对应的复数为( )A. 42i -+B. 42i -C. 2i -+D. 2i - 5、已知复数123i z i +=-,i 是虚数单位,则复数z 的虚部是|( ) A. 110i B.110 C. 710 D. 710i 6、已知()2f x x =,i 是虚数单位,则在复平面中复数()13f i i++对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7、若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内z 对应的点的坐标是( )A.()2,4B.(2,4)-C.()4,2-D.()4,28、实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9、已知复数z 满足()3425i z +=,则z = ( )A. 34i -B. 34i +C. 34i --D. 34i -+10、复数z 与点z 对应，12,z z 为两个给定的复数，12z z ≠，则12z z z z -=-决定的z 的轨迹是（ ）A.过12,z z 的直线B.线段12z z 的中垂线C.双曲线的一支D.以12,z z 为端点的圆11、已知,x y R ∈,若2xi y i +=-,则x y -=__________.12、为虚数单位,设复数在复平面内对应的点关于原点对称,若则 .13、已知复数()2z x yi =-+的模是,则点(),x y 的轨迹方程是_________.14、已知()214123z a a a i =-+++,()222z a a a i =++,其中a R ∈,12z z >, 则a 的值为__________.15、已知复()()22276561a a z a a i a R a -+=+--∈-.实数a 取什么值时, z 分别是: 1.实数?2.虚数?3.纯虚数?答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：设(),z x yi x y R =+∈,则2x yi i ++=+,所以2,{1,x y +==解得3,{41.x y ==所以34z i =+.2答案及解析：答案：A解析：1z =,2z ==<可得11a -<<.3答案及解析：答案：D解析：因为()()()21111a a i a a i -++=-+-是纯虚数, 则210a -=且10a -≠,所以1a =-,故选D.4答案及解析：答案：D解析：∵(1)(2)3i i i +-=+,∴B 的坐标为(3,1).A 的坐标为(1,3)-,则线段AB 的中点C 的坐标为(2,1)-.∴线段AB 的中点C 对应的复数为2i -.5答案及解析：答案：C解析：6答案及解析：答案：A解析：因为函数()2f x x =,所以()()211f i i +=+,化简得()12f i i +=,所以()13f i i++()()()232333i i i i i i -==++-26131310555i i i ++===+.根据复数的几何意义知, ()13f i i++所对应的点的坐标为13,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以其对应的点在第一象限.故应选A.7答案及解析：答案：C解析：由24iz i =+,得2442i z i i+==-,∴z 对应的点的坐标为()4,2-.故选C.8答案及解析：答案：B解析：实部为-2,虚部为1的复数在复平面内对应的点的坐标为()2,1-,位于第二象限.9答案及解析：答案：A解析：10答案及解析：答案：B解析：由复数的几何意义可知点z 到点1z 的距离为1z z -，点z 到点2z 的距离为2z z -，因此点z 到点1z 的距离等于点z 到点2z 的距离，点z 在线段12z z 的中垂线上，答案选B.11答案及解析：答案：-3解析：若2xi y i +=-,则1,2x y =-=,∴3x y -=-,故答案为3-.12答案及解析：答案： -2+3i解析： 在复平面内,复数与点一一对应. ∵点关于原点对称的点为,∴复数.13答案及解析：答案：()2228x y -+=解析：由()2x yi -+=得()2228x y -+=.14答案及解析：答案：0解析：由12z z >,得22230{0412a a a a a a+=+=-+>; 即解得0a =.15答案及解析：答案：1.当z 为实数时,有22560,{10,a a a --=-≠则所以6a =.所以当6a =时, z 为实数. 2.当z 为虚数时,有22560,{10,a a a --≠-≠则所以1a ≠±且6a ≠. 所以当()()()(),11,11,66,a ∈-∞-⋃-⋃⋃+∞时, z 为虚数.3.当z为纯虚数时,有222560, {760,1a aa aa--≠-+=-则所以不存在实数a使得z为纯虚数. 解析：。
习题课（二）数系的扩充与复数的引入1．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若a ＋i ＝2－b i ，则 (a ＋b i)2＝( ) A ．3－4i B ．3＋4i C ．4－3i D ．4＋3i解析：选A 由a ＋i ＝2－b i 可得a ＝2，b ＝－1，则(a ＋b i)2＝(2－i)2＝3－4i. 2．复数z 满足(－1＋i)z ＝(1＋i)2，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D z ＝(1＋i )2－1＋i ＝2i (－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝2i (－1－i )2＝1－i ，故z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)，位于第四象限．3．如果复数z ＝2－1＋i ，则( )A ．|z |＝2B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为－1D ．z 的共轭复数为1＋i解析：选C 因为z ＝2－1＋i ＝2(－1－i )2＝－1－i ，所以|z |＝2，z 的实部为－1，虚部为－1，共轭复数为－1＋i ，因此选C.4．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数为( )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i解析：选D ∵AB →对应复数2＋i ，BC →对应复数1＋3i ， ∴AC →对应复数(2＋i)＋(1＋3i)＝3＋4i ， ∴CA →对应的复数是－3－4i.5．已知i 为虚数单位，若复数z ＝1－a i1＋i (a ∈R )的实部为－3，则|z |＝( )A.10B ．2 3 C.13D ．5解析：选D ∵z ＝1－a i 1＋i ＝(1－a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－a －(a ＋1)i 2的实部为－3，∴1－a2＝－3，解得a ＝7.∴z ＝－3－4i ，则|z |＝5.故选D.6．设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<0解析：选C 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，选项A ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2≥b 2，故b ＝0或a ，b 都为0，即z 为实数，正确．选项B ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i<0，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2<b 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，故z 一定为虚数，正确．选项C ，若z 为虚数，则b ≠0，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ，由于a 的值不确定，故z 2无法与0比较大小，错误．选项D ，若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，则z 2＝－b 2<0，正确．7．复数z ＝3＋i1＋2i的共轭复数是________．解析：依题意得z ＝(3＋i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝5－5i5＝1－i ，因此z 的共轭复数是1＋i.答案：1＋i8．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.解析：∵(2，－3)关于原点的对称点是(－2,3)， ∴z 2＝－2＋3i. 答案：－2＋3i9．已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z2＋i ，且|ω|＝52，则ω＝________.解析：由题意设(1＋3i)z ＝k i(k ≠0且k ∈R )，则ω＝k i(2＋i )(1＋3i ).∵|ω|＝52，∴k ＝±50，故ω＝±(7－i)． 答案：±(7－i)10．已知复数z ＝(1－i)2＋1＋3i.(1)求|z |；(2)若z 2＋az ＋b ＝z ，某某数a ，b 的值． 解：z ＝(1－i)2＋1＋3i ＝－2i ＋1＋3i ＝1＋i. (1)|z |＝12＋12＝ 2.(2)z 2＋az ＋b ＝(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝2i ＋a ＋a i ＋b ＝a ＋b ＋(a ＋2)i ， ∵z ＝1－i ，∴a ＋b ＋(a ＋2)i ＝1－i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＋2＝－1，∴a ＝－3，b ＝4.11．已知z ＝x －i 1－i (x >0)，且复数ω＝z (z ＋i)的实部减去它的虚部所得的差等于－32，求ω·ω.解：ω＝z (z ＋i)＝x －i 1－i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －i 1－i ＋i ＝x －i 1－i ·x ＋11－i ＝x ＋12＋x 2＋x2i.根据题意x ＋12－x 2＋x2＝－32，得x 2－1＝3. ∵x >0，∴x ＝2，∴ω＝32＋3i.∴ω·ω＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋3i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3i ＝454.12．已知等腰梯形OABC 的顶点A ，B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC .求顶点C 所对应的复数z .解：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，如图，因为OA ∥BC ，|OC |＝|BA |， 所以k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |， 即⎩⎪⎨⎪⎧21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝32＋42，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝4.因为|OA |≠|BC |，所以x ＝－3，y ＝4(舍去)，故z＝－5.。
(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝( ) A ．0 B ．2i C ．－2iD ．4i解析：选A ∵i 2＝－1，∴1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝1i －1i ＋1i －1i ＝0.2．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵23<m <1，∴3m －2>0，m －1<0，∴点(3m －2，m －1)在第四象限．3．若a 为实数，且2＋a i1＋i＝3＋i ，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．3 D ．4解析：选D ∵2＋a i 1＋i＝3＋i ，∴2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，∴a ＝4，故选D.4.如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D解析：选B 设z ＝－a ＋b i(a ，b >0)，则z 的共轭复数z －＝－a －b i ， 它对应点的坐标为(－a ，－b )，是第三象限的点．故选B.5．已知复数z 满足(i －1)(z －i 3)＝2i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( )A ．i －1B ．1＋2iC ．1－iD ．1－2i解析：选B 依题意可得z ＝2i i －1＋i 3＝－2i (1＋i )(1－i )(1＋i )－i ＝－(i －1)－i ＝1－2i ，其共轭复数为1＋2i ，故选B.6．若a1－i＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝( ) A ．2－i B ．2＋i C ．5D. 5解析：选D ∵a ，b ∈R ，且a1－i＝1－b i ， 则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1－b ，0＝1＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1， ∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋(－1)2＝ 5.7．若复数z 满足|3z ＋1|＝|z －i|，则复数z 对应点的轨迹是( ) A ．直线 B ．正方形 C ．圆D ．椭圆解析：选C 设z ＝x ＋y i ，则|3x ＋3y i ＋1|＝|x ＋y i －i|，∴(3x ＋1)2＋9y 2＝x 2＋(y －1)2，即4x 2＋4y 2＋3x ＋y ＝0.∴复数z 对应点Z 的轨迹为圆．故选C. 8．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z ＝( ) A ．2i B ．i C ．－iD ．－2i解析：选D 设纯虚数z ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，代入z ＋21－i ＝b i ＋21－i ＝(b i ＋2)(1＋i )(1－i )(1＋i )＝(2－b )＋(b ＋2)i2，由于其为实数， ∴b ＝－2，∴z ＝－2i.9．设z ＝1－i(i 是虚数单位)，若复数2z ＋z 2在复平面内对应的向量为OZ →，则向量OZ→的模是( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选B ∵z ＝1－i(i 是虚数单位)， ∴2z ＋z 2＝21－i ＋(1－i)2＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )－2i ＝1－i.∴向量OZ→的模：12＋(－1)2＝ 2.故选B.10．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论正确的是( ) A ．z 对应的点在第一象限 B ．z 一定不为纯虚数 C.z －对应的点在实轴的下方 D ．z 一定为实数解析：选C ∵t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1>0，∴z 对应的点在实轴的上方．又∵z 与z －对应的点关于实轴对称，∴C 项正确．11．已知z 1与z 2是共轭虚数，有4个命题：①z 21<|z 2|2；②z 1z 2＝|z 1z 2|；③z 1＋z 2∈R ；④z 1z 2∈R .其中一定正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①②③解析：选B z 1与z 2是共轭虚数，设z 1＝a ＋b i ，z 2＝a －b i(a ，b ∈R ，b ≠0)．①z 21＝a 2－b 2＋2ab i ，|z 2|2＝a 2＋b 2，虚数不能比较大小，因此不正确；②z 1z 2＝|z 1z 2|＝a 2＋b 2，正确； ③z 1＋z 2＝2a ∈R ，正确；④z 1z 2＝a ＋b i a －b i ＝(a ＋b i )2(a －b i )(a ＋b i )＝a 2－b 2a 2＋b 2＋2aba 2＋b 2i 不一定是实数，因此不一定正确．故选B.12．已知虚数z ＝x ＋y i 的模为1(其中x ，y 均为实数)，则yx ＋2的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，33B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0 解析：选B ∵|z |＝1，∴x 2＋y 2＝1.设k ＝yx ＋2，则k 为过圆x 2＋y 2＝1上的点和点(－2,0)的直线斜率，作图如图所示，∴k ≤13＝33. 又∵z 为虚数，∴y ≠0，∴k ≠0.又由对称性可得k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎦⎥⎤0，33.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝________.解析：由M ∩N ＝{4}，知4∈M ， 故z i ＝4，∴z ＝4i ＝－4i. 答案：－4i 14．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则满足条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为________．解析：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ， 设z ＝x ＋y i ，∴z i ＋z ＝x i －y ＋x ＋y i ＝x －y ＋(x ＋y )i ＝4＋2i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝4，x ＋y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1. ∴z ＝3－i. 答案：3－i15．复数z 满足|z ＋1|＋|z －1|＝2，则|z ＋i ＋1|的最小值是________． 解析：由|z ＋1|＋|z －1|＝2，根据复数减法的几何意义可知，复数z 对应的点到两点(－1,0)和(1,0)的距离和为2，说明该点在线段y ＝0(x ∈[－1,1])上，而|z ＋i ＋1|为该点到点(－1，－1)的距离，其最小值为1.答案：116．在复平面内，O 为坐标原点，向量OA→对应的复数为－2－i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB→对应的复数为________．解析：复数－2－i 对应点A (－2，－1)， 点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B (1,2)， ∴OB →对应的复数为1＋2i. 答案：1＋2i二、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)计算： (1)(2＋i )(1－i )21－2i ；(2)4＋5i (5－4i )(1－i ).解：(1)(2＋i )(1－i )21－2i＝(2＋i )(－2i )1－2i＝2(1－2i )1－2i ＝2.(2)4＋5i(5－4i )(1－i )＝(5－4i )i(5－4i )(1－i )＝i1－i ＝i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝i －12 ＝－12＋12i.18．(本小题满分12分)已知复数z 1＝m －2i ，复数z 2＝1－n i ，其中i 是虚数单位，m ，n 为实数．(1)若m ＝1，n ＝－1，求|z 1＋z 2|的值； (2)若z 1＝z 22，求m ，n 的值．解：(1)当m ＝1，n ＝－1时，z 1＝1－2i ，z 2＝1＋i ， 所以z 1＋z 2＝(1－2i)＋(1＋i)＝2－i ， 所以|z 1＋z 2|＝22＋(－1)2＝ 5.(2)若z 1＝z 22，则m －2i ＝(1－n i)2，所以m －2i ＝(1－n 2)－2n i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1－n 2，－2＝－2n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝1.19．(本小题满分12分)求实数k 为何值时，复数(1＋i)·k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)分别是：(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数； (4)零．解：由z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i. (1)当k 2－5k －6＝0时，z ∈R ， ∴k ＝6或k ＝－1.(2)当k 2－5k －6≠0时，z 是虚数，即k ≠6且k ≠－1.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0时，z 是纯虚数，∴k ＝4.(4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0时，z ＝0，解得k ＝－1.综上，当k ＝6或k ＝－1时，z ∈R . 当k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数．当k ＝4时，z 是纯虚数，当k ＝－1时，z ＝0. 20．(本小题满分12分)已知z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i .(1)求|z |；(2)若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值． 解：z ＝2i ＋3－3i 2＋i＝3－i 2＋i＝(3－i )(2－i )5＝5－5i 5＝1－i.(1)∵z ＝1－i ，∴|z |＝ 2.(2)把z ＝1－i 代入z 2＋az ＋b ＝1＋i 得， (1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ， 即a ＋b －(2＋a )i ＝1＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4， 所以实数a ，b 的值分别为－3,4.21．(本小题满分12分)已知复数z ＝3＋b i(b ∈R )，且(1＋3i)z 为纯虚数． (1)求复数z ； (2)若ω＝z2＋i，求复数ω的模|ω|. 解：(1)(1＋3i)(3＋b i)＝(3－3b )＋(9＋b )i ， ∵(1＋3i)z 是纯虚数，∴3－3b ＝0且9＋b ≠0，则b ＝1，从而z ＝3＋i. (2)ω＝z2＋i ＝3＋i 2＋i ＝(3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝75－i 5，∴|ω|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫752＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝ 2. 22．(本小题满分12分)(1)已知关于x 的实系数方程x 2＋mx ＋n ＝0，若1＋2i 是方程x 2＋mx ＋n ＝0的一个复数根，求出m ，n 的值；(2)已知z ∈C ，z ＋3i ，z 3－i 均为实数，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意得(1＋2i)2＋m (1＋2i)＋n ＝－1＋m ＋n ＋22i ＋m 2i ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ＋n ＝0，22＋m 2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝3.(2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∵z ＋3i ＝x ＋(y ＋3)i 为实数，∴y ＝－3.∵z 3－i ＝x －3i 3－i ＝110(x －3i)(3＋i)＝110[(3x ＋3)＋(x －9)i]为实数，∴x ＝9，∴z ＝9－3i.∵(z ＋a i)2＝81－(a －3)2＋18(a －3)i ＝72＋6a －a 2＋18(a －3)i ，∴由已知⎩⎪⎨⎪⎧72＋6a －a 2＞0，18(a －3)＞0，解得3＜a ＜12.故实数a 的取值范围为(3,12)．。
高中毕业班联考（二）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}22|1,y |y 1M x N x x ⎧⎫=≥==-⎨⎬⎩⎭，则M N =（ ）A ．(],2-∞B ．(]0,2C ．(]0,1D ．(],1-∞2. 复数11i+的虚部是（ ） A ．12 B ．12- C ．12i D ．12i - 3.2sin 473sin17cos17-=（ ）A ．3-B ．1-C ．3D ．1 4.给出下列三个命题：(1)“若2230x x +-≠，则1x ≠”为假命题； (2)命题p ：,20xx R ∀∈>，则00:,20x p x R ⌝∃∈≤；（3）“ϕ=”是“函数y = sin(2x+ϕ)为偶函数”的充要条件；其中正确的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 35.已知函数cos y x =与()()sin 20y x ϕϕπ=+≤≤，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π6.下图是计算500名学生毕业测试成绩（满分为100分）及格率q 的程序框图，则图中空白框内应填入（ ）A ．M q i =B ．M q N =C ．N q M N =+D ．M q M N=+7.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和dc （,,,*a b cd N ∈），则b da c++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值，我们知道 3.14159π=⋅⋅⋅，若令31491015π<<，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105π<<，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得π的近似分数为（ ）A ．227 B ．6320 C ．7825 D ．109358. 已知变量,x y 满足240220x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则32x y x +++的取值范围是（ ）A ．55,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．45,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．5,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.某几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面与底面面积之比为：（ ）A ．13 B ．23 C ．34 D ．2510.如图，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为双曲线的右焦点，且满足AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,126ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该双曲线离心率e 的取值范围为（ ）A ．2,31⎡⎤+⎣⎦B ．3,23⎡⎤+⎣⎦ C ．2,23⎡⎤+⎣⎦ D ．3,31+⎡⎤⎣⎦11.如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知'A ED ∆是ADE ∆绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（ ）A ．动点'A 在平面ABC 上的射影在线段AF 上B ．异面直线'A E 与BD 不可能垂直C ．三棱锥'EFD A -的体积有最大值 D ．恒有平面'GF A ⊥平面BCDE12.已知函数()f x 的图象在点()()00,x f x 处的切线方程():l y g x =，若函数()f x 满足x l ∀∈(其中I 为函数()f x 的定义域)，当0x x ≠时，()()()00f x g x x x ⎡⎤-->⎣⎦恒成立，则称0x 为函数()f x 的“转折点”，若函数()2ln f x x ax x =--在(]0,e 上存在一个“转折点”，则a 的取值范围为（ ）A ．21,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．211,2e ⎛⎤- ⎥⎝⎦ C ．21,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．21,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知幂函数()y f x =图象过点()9,3，则()1f x dx =⎰ .14.二项式82x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，44x y 与26x y 项的系数之和是 （用数字作答）.15.下侧茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵树为20棵的概率是.16.在ABC ∆中，2AB a =，则3AC b =，设P 为ABC ∆内部及其边界上任意一点，若AP a b λμ=+，则λμ的最大值为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21*n n S a n N =-∈. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记1131,log 1n n n n nb b bc a n n+==++，求数列{}n c 的前n 项和为n T .18. （本小题满分12分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）几何题 代数题 总计男同学 22 8 30女同学 8 12 20总计 30 20 50(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5至7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6至8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率.（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X ,求X 得分布列及数学期望()E X .附：. ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P k k ≥ 0.1000.0500.025 0.010 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 10.82819. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//,90AD BC ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2,1,3PA PD AD BC CD =====.(1)求证：平面PQB ⊥平面PAD ；(2)若二面角M BQ C --为30°，设PM t MC =⋅，试确定t 的值.20. （本小题满分12分）在直角坐标系xOy ,椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，其中2F 也是抛物线22:4C y x =的焦点，点M 为1C 与2C 在第一象限的交点，且25||3MF =. (1)求椭圆的方程；(2)若过点()4,0D 的直线l 与1C 交于不同的两点、A B ，且A 在DB 之间，试求AOD ∆与BOD ∆面积之比的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数()(),cf x a b R ax b=∈+满足()f x 的图象与直线10x y +-=相切于点（0,1）. (1)求()f x 的解析式； (2)对任意n N ∈，定义()()()()()()()()()01012,,n n n n f x x f x f f x F x f x f x f x f x +===+++⋅⋅⋅+.证明：对任意0x y >>，均有()()n n F x F y >.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示， AB 是⊙O 的一条弦，延长AB 到点C ，使得AB BC =，过点B 作BD AC ⊥且DB AB =，连接AD 与⊙O 交于点E ，连接CE 与⊙O 交于点F .(1)求证：,,,D F B C 四点共圆；(2)若6,3AB DF ==，求2BE.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t=-⎧⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离d 的取值范围.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|3|f x x =-.(1)若不等式()()1f x f x a -+<的解集为空集，求实数a 的取值范围；(2)若||1,|b |3a <<，且0a ≠，判断()||f ab a 与b f a ⎛⎫⎪⎝⎭的大小，并说明理由.数学（理科）参考答案一、选择题1．【答案】C【解析】：解不等式2102x x≥∴<≤，集合N 其值域为[]0,1，所以M N =(]0,1．2．【答案】B【解析】()()1111112i i i i i --==++-，所以复数11i +的虚部是12-． 3．【答案】C【解析】330cos 217cos 30cos 17sin )3017sin(217cos 30cos 17sin 47sin 2000000000==-+⨯=-⨯ 4．【答案】C【解析】（1）∵命题“若1=x ，则0322=-+x x ”是真命题，所以其逆否命题亦为真命题，因此（1）不正确；（2）根据含量词的命题否定方式，可知命题(2)正确．（3）当)(2Z k k ∈+=ππϕ时，则函数x k x x y 2cos )22sin()2sin(±=++=+=ππφ）为偶函数；反之也成立．故“)(2Z k k ∈+=ππϕ”是“函数)2sin(φ+=x y 为偶函数”的充要条件；综上可知：真命题的个数2．5．【答案】B【解析】：由题意21sin()cos 332ππϕ+==，把四个选择支的值代入此式，只有A 适合．故选A ． 6．【答案】D【解析】：由程序框图可知，M 为及格的人数，N 为不及格人数，所以及格率Mq M N=+，故选D.7.【答案】B【解析】：由调日法运算方法可知，第二次用调日法后得1547是π更为精确的不足近似值，即5161547<<π，故第三次调日法后得到2063为π的近似分数。
第七章复数7.1复数的概念7.1.1数系的扩充和复数的概念基础过关练题组一数系的扩充和复数的概念1.下列复数中,满足方程x2+2=0的是()A.±1B.±iC.±√2iD.±2i2.(2020北京通州高一下期末)已知i为虚数单位,复数z=2-3i的虚部为()A.3iB.-3iC.3D.-33.已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是()A.√2,1B.√2,5C.±√2,5D.±√2,14.以3i-√2的虚部为实部,3i2+√2i的实部为虚部的新复数是()A.3-3iB.3+iC.-√2+√2iD.√2+√2i5.(多选)下列说法不正确的是()A.复数2+3i的虚部是3iB.形如a+bi(b∈R)的数一定是虚数C.若a∈R,a≠-3,则(a+3)i是纯虚数D.若两个复数能够比较大小,则它们都是实数题组二复数的分类6.用C,R,I分别表示复数集、实数集、纯虚数集,且取全集为C,则下列结论成立的是()A.R∪I=CB.R∩∁C I=⌀C.∁C R=ID.∁C R∪∁C I=Ci,0,8+5i,(1+√3)i,-i2这几个数中,纯虚数的个数为()7.在√3+2,37A.0B.1C.2D.38.下列说法中正确的是()A.复数由实数、虚数、纯虚数构成B.若复数z=x+yi(x,y∈R)是虚数,则必有x≠0C.在复数z=x+yi(x,y∈R)中,若x≠0,则复数z一定不是纯虚数D.若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i9.若复数z=(m+1)+(m2-9)i<0,则实数m的值为.深度解析10.(2020湖南长沙高二期末)设m∈R,复数z=(m2-3m-4)+(m2+3m-28)i,其中i 为虚数单位.(1)当m为何值时,复数z是虚数?(2)当m为何值时,复数z是纯虚数?题组三复数相等的充要条件及其应用11.若xi-i2=y+2i,x,y∈R,则复数x+yi=()A.-2+iB.2+iC.1-2iD.1+2i12.(2019浙江杭州高二期末)若z1=-3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i(m,n∈R),且z1=z2,则m+n=()A.4或0B.-4或0C.2或0D.-2或013.如果复数x-1+yi与i-3x相等,x,y为实数,则x=,y=.14.已知x 2-x-6x+1=(x2-2x-3)i(x∈R),则x=.15.已知A={1,2,a2-3a-1+(a2-5a-6)i},B={-1,3},A∩B={3},求实数a的值.深度解析能力提升练题组一复数的相关概念及其应用1.(2020北京通州高一期末,)欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ(e为自然对数的底数,i为虚数单位,θ∈R)是瑞士著名数学家欧拉发明的,e iπ+1=0是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一.根据欧拉公式可知,复数eπ3i的虚部为()A.-√32B.√32C.-√32i D.√32i2.(多选)()下列命题是真命题的是()A.复数m+ni的实部是m,虚部是nB.1+i2不是虚数C.若(a2-1)+(a2+3a+2)i(a∈R)是纯虚数,则实数a=1D.若z∈C,则z2≥03.(多选)()已知i为虚数单位,下列命题中正确的是()A.若a≠0,则ai是纯虚数B.虚部为-√2的虚数有无数个C.实数集是复数集的真子集D.两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等题组二复数的分类及其应用4.(2019湖北荆州沙市中学高二期末联考,)“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)是纯虚数”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2020辽宁辽阳高二期末,)若复数a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则()A.a=-1B.a≠-1且a≠2C.a≠-1D.a≠26.()若log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,则实数x的值是.7.()已知复数z=x 2-x-6x+3+(x2-2x-15)i,则实数x取什么值时,z是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?题组三复数相等的充要条件及其应用8.()已知i为虚数单位,复数cosθ+isinθ和sinθ+icosθ(θ∈R)相等,则θ的值为()A.π4B.π4或5π4C.2kπ+π4(k ∈Z)D.kπ+π4(k ∈Z) 9.(多选)()已知i 为虚数单位,下列命题正确的是( )A.若x,y ∈C,则x+yi=1+i 的充要条件是x=y=1B.(a 2+1)i(a ∈R)是纯虚数C.若z 12+z 22=0,则z 1=z 2=0D.当m=4时,复数lg(m 2-2m-7)+(m 2+5m+6)i 是纯虚数10.()满足方程x 2-2x-3+(9y 2-6y+1)i=0的有序实数对(x,y)表示的点的个数为 .11.(2020北京西城高一月考,)定义运算|a b c d |=ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i=|3x +2y i -y 1|(i 为虚数单位),那么实数x,y 的值分别为 .12.()已知关于x,y 的方程组{(x +32)+2(y +1)i =y +4xi,(2x +ay)-(4x -y +b)i =9−8i有实数解,求实数a,b 的值.13.()已知i为虚数单位,集合M={(a+3)+(b2-1)i,8},集合N={3i,(a2-1)+(b+2)i},且M∩N≠⌀,求整数a,b的值.答案全解全析基础过关练1.C由题意得,x2=-2=2i2,所以x=±√2i.2.D复数2-3i的虚部是-3.故选D.3.C由题意,得a2=2,-(2-b)=3,∴a=±√2,b=5.故选C.4.A3i-√2的虚部为3,3i2+√2i=-3+√2i的实部为-3,故新复数为3-3i.故选A.5.AB复数2+3i的虚部是3,故A中说法不正确;形如a+bi(b∈R)的数不一定是虚数,例如,当a∈R,b=0时,a+bi不是虚数,故B中说法错误;只有当a∈R,a+3≠0,即a≠-3时,(a+3)i是纯虚数,故C中说法正确;因为虚数不能比较大小,所以若两个复数能够比较大小,则它们都是实数,故D中说法正确.故选AB.6.D利用复数集C,实数集R,虚数集,纯虚数集I之间的关系,结合Venn图可知选项D 正确.7.C在这些数中,37i,(1+√3)i是纯虚数,所以纯虚数有2个,故选C.8.C选项A错误,复数由实数与虚数构成,虚数又分为纯虚数和非纯虚数;选项B错误,若复数z=x+yi(x,y∈R)是虚数,则必有y≠0,对x的取值没有限定;选项C正确,复数z=x+yi(x,y∈R)是纯虚数⇔x=0且y≠0,因此只要x≠0,复数z一定不是纯虚数;选项D错误,当a,b∈R时,a+i与b+i都是虚数,不能比较大小.9.答案-3解析因为z<0,所以{m2-9=0,m+1<0,解得m=-3.方法技巧由于虚数不能比较大小,因此若z<0,则z一定是实数.10.解析(1)要使复数z是虚数,必须使m2+3m-28≠0⇒m≠4且m≠-7,所以当m≠4且m≠-7时,复数z是虚数.(2)要使复数z是纯虚数,必须使{m2-3m-4=0,m2+3m-28≠0,解得m=-1,所以当m=-1时,复数z是纯虚数.11.B由i2=-1,得xi-i2=1+xi,则由题意,得1+xi=y+2i,根据复数相等的充要条件,得x=2,y=1,故x+yi=2+i.12.A由z1=z2,得{n2-3m-1=-3,n2-m-6=-4,解得{m=2,n=±2.所以m+n=4或0,故选A.13.答案14;1解析由复数相等的充要条件可知{x-1=-3x,y=1,所以{x=14,y=1.14.答案3解析因为x∈R,所以x 2-x-6x+1∈R,由复数相等的充要条件,得{x2-x-6x+1=0,x2-2x-3=0,解得x=3.15.解析由题意知,a2-3a-1+(a2-5a-6)i=3(a∈R),所以{a2-3a-1=3,a2-5a-6=0,解得a=-1.所以实数a的值为-1.深度剖析复数相等的充要条件为我们提供了将复数问题转化为实数问题来解决的途径.能力提升练1.B由欧拉公式得e π3i=cosπ3+isinπ3=12+√32i,其虚部为√32,故选B.2.BC复数m+ni中,未指明m,n是实数,故A错误;1+i2=1-1=0,是实数,所以B正确;若(a2-1)+(a2+3a+2)i(a∈R)是纯虚数,则a2-1=0且a2+3a+2≠0,解得a=1,所以C正确;若z=i,则z2=-1<0,所以D错误.故选BC.3.BCD对于A,若a=i,则ai=i2=-1,不是纯虚数,故A错误;对于B,虚部为-√2的虚数可以表示为m-√2i(m∈R),有无数个,故B正确;C显然正确;两个复数相等一定能推出实部相等,必要性成立,但两个复数的实部相等推不出两个复数相等,充分性不成立,故D正确.故选BCD.4.A复数a+bi(a,b∈R)是纯虚数⇔a=0且b≠0,所以“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)是纯虚数”的必要不充分条件.5.C解法一:复数a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则有a2-a-2≠0或|a-1|-1=0,解得a≠-1.故选C.解法二:若该复数为纯虚数,则a2-a-2=0且|a-1|-1≠0,解得a=-1,所以若该复数不是纯虚数,则a≠-1.故选C.6.答案 -2解析 因为log 2(x 2-3x-2)+ilog 2(x 2+2x+1)>1,所以{log 2(x 2-3x -2)>1,log 2(x 2+2x +1)=0,即{x 2-3x -2>2,x 2+2x +1=1,解得x=-2. 7.解析 (1)当x 满足{x 2-2x -15=0,x +3≠0,即x=5时,z 是实数. (2)当x 满足{x 2-2x -15≠0,x +3≠0,即x ≠-3且x ≠5时,z 是虚数. (3)当x 满足{x 2-x -6x+3=0,x 2-2x -15≠0,即x=-2或x=3时,z 是纯虚数. 8.D 由复数相等的充要条件,知sin θ=cos θ,解得θ=kπ+π4(k ∈Z).9.BD 取x=i,y=-i,则x+yi=1+i,但不满足x=y=1,故A 错误;∀a ∈R,a 2+1>0恒成立,所以(a 2+1)i(a ∈R)是纯虚数,故B 正确;取z 1=i,z 2=1,则z 12+z 22=0,但z 1=z 2=0不成立,故C 错误;当m=4时,复数lg(m 2-2m-7)+(m 2+5m+6)i=lg 1+42i=42i,是纯虚数,故D 正确.故选BD.10.答案 2解析 由题意知,x,y 都是实数,由x 2-2x-3+(9y 2-6y+1)i=0,得{x 2-2x -3=0,9y 2-6y +1=0,解得{x =3,y =13或{x =−1,y =13.所以有序实数对(x,y)表示的点有(3,13),(-1,13),共2个. 11.答案 -1,2解析 由|a bc d |=ad-bc,得|3x +2y i-y1|=3x+2y+yi,故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi.因为x,y 为实数,所以{x +y =3x +2y,x +3=y, 即{2x +y =0,x +3=y,解得{x =−1,y =2. 12.解析 设(x 0,y 0)是方程组的实数解,由已知及复数相等的充要条件,得{ x 0+32=y 0,①2(y 0+1)=4x 0,②2x 0+ay 0=9,③-(4x 0-y 0+b)=-8,④由①②,得{x 0=52,y 0=4,代入③④,得{a =1,b =2. 所以实数a,b 的值分别为1,2.13.解析 由题意,得(a+3)+(b 2-1)i=3i,①或8=(a 2-1)+(b+2)i,②或(a+3)+(b 2-1)i=(a 2-1)+(b+2)i.③由①得a=-3,b=±2,由②得a=±3,b=-2,③中,a,b 无整数解,不符合题意.综上,a=-3,b=2或a=-3,b=-2或a=3,b=-2.。
2019-2020学年高中数学 阶段质量检测（三）数系的扩充与复数的引入 新人教A 版选修1-2一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，复数7－i3＋i ＝( )A ．2＋iB ．2－iC ．－2＋iD ．－2－i解析：选B7－i 3＋i ＝(7－i)(3－i)10＝20－10i10＝2－i. 2．(全国卷Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选B ∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ， ∴4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4.解得a ＝0.故选B.3．若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 是虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i解析：选A z ＝(1－i)i ＝－i 2＋i ＝1＋i ，z ＝1－i ，故选A. 4．设i 是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选B2i 1－i ＝2i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2(i －1)2＝－1＋i ，由复数的几何意义知－1＋i 在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.5．已知(1－i)2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选D 由(1－i)2z ＝1＋i ，得z ＝(1－i)21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i(1－i)(1＋i)(1－i)＝－1－i ，故选D.6．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数是z ，则2－zz等于( )A ．－1－2iB ．－2＋iC ．－1＋2iD ．1＋2i解析：选C 由题意可得2－z z ＝2－(－1＋i)－1－i＝(3－i)(－1＋i)(－1－i)(－1＋i)＝－1＋2i ，故选C.7．已知复数z ＝－12＋32i ，则z ＋|z |＝( )A ．－12－32iB ．－12＋32iC.12＋32i D.12－32i 解析：选D 因为z ＝－12＋32i ，所以z ＋|z |＝－12－32i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋322＝12－32i.8．已知复数z 满足(1－i)z ＝i 2 016(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为( )A.12 B ．－12C.12i D ．－12i解析：选B ∵2 016＝4×504，∴i 2 016＝i 4＝1.∴z ＝11－i ＝12＋12i ，∴z ＝12－12i ，∴z的虚部为－12.故选B.9．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选B 根据复数加(减)法的几何意义，知以OA ――→，OB ――→为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB 为直角三角形．10．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R，则以下结论正确的是( ) A ．z 对应的点在第一象限 B ．z 一定不为纯虚数 C.z 对应的点在实轴的下方 D ．z 一定为实数解析：选C ∵t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1＞0，∴z 对应的点在实轴的上方．又∵z 与z 对应的点关于实轴对称．∴C 项正确．11．设z 的共轭复数为z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则zz等于( )A ．1B ．－iC ．±1D ．±i解析：选 D 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z＝a －b i ，由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，a 2＋b 2＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝±2.因此⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2＋2i ，z ＝2－2i ，或⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2－2i ，z ＝2＋2i.所以zz＝2－2i 2＋2i ＝1－i1＋i＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＝－2i 2＝－i ，或z z ＝2＋2i 2－2i ＝1＋i 1－i ＝(1＋i)2(1－i)(1＋i)＝2i2＝i ，所以z z＝±i.12．已知复数z ＝(x －2)＋y i(x ，y ∈R)在复平面内对应的向量的模为3，则y x的最大值是( )A.32B.33C.12D. 3解析：选 D 因为|(x-2)+yi|=3，所以(x-2)2+y2=3，所以点(x ，y)在以C(2,0)为圆心，以为半径的圆上，如图，由平面几何知识-3≤yx≤ 3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________． 解析：复数z ＝(5＋2i)2＝21＋20i ，其实部是21. 答案：2114．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________．解析：由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0,1－2a ≠0，解得a ＝－2.答案：－215．设复数a ＋b i(a ，b ∈R)的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 解析：∵|a ＋b i|＝a 2＋b 2＝3， ∴(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3. 答案：316．若关于x 的方程x 2＋(2－i)x ＋(2m －4)i ＝0有实数根，则纯虚数m ＝________. 解析：设m ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则x 2＋(2－i)x ＋(2b i －4)i ＝0，化简得(x 2＋2x －2b )＋(－x －4)i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2b ＝0，－x －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，b ＝4，∴m ＝4i.答案：4i三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i(m ∈R)，试求m 取何值时？(1)z 是实数. (2)z 是纯虚数．(3)z 对应的点位于复平面的第一象限．解：(1)由m 2＋3m ＋2＝0且m 2－2m －2＞0，解得m ＝－1或m ＝－2，复数表示实数． (2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数． 由lg(m 2－2m －2)＝0，且m 2＋3m ＋2≠0， 求得m ＝3，故当m ＝3时，复数z 为纯虚数．(3)由lg(m 2－2m －2)＞0，且m 2＋3m ＋2＞0，解得m ＜－2或m ＞3，故当m ＜－2或m ＞3时，复数z 对应的点位于复平面的第一象限．18．(本小题满分12分)已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z 及z z.解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i. ∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i ， ∴(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i.由复数相等，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i.∴zz ＝z ·zz ·z ＝z 2|z |2＝4－1＋4i 5＝35＋45i. 19．(本小题满分12分)已知z ＝1＋i ，a ，b 为实数． (1)若ω＝z 2＋3z －4，求|ω|；(2)若z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值．解：(1)ω＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i ， 所以|ω|＝ 2.(2)由条件，得(a ＋b )＋(a ＋2)ii ＝1－i ，所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.20．(本小题满分12分)虚数z 满足|z |＝1，z 2＋2z ＋1z＜0，求z .解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R，y ≠0)，∴x 2＋y 2＝1. 则z 2＋2z ＋1z ＝(x ＋y i)2＋2(x ＋y i)＋1x ＋y i＝(x 2－y 2＋3x )＋y (2x ＋1)i. ∵y ≠0，z 2＋2z ＋1z＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0， ①x 2－y 2＋3x ＜0， ②又x 2＋y 2＝1. ③由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.21．(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ， 所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)， 所以S △ABC ＝1.22．(本小题满分12分)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解：∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1－2＝1－i 1＋i ＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＝－2i2＝－i ，∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i(a ∈R)，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. 又∵z 1·z 2∈R，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.。
第七章 7.1 7.1.1A 级——基础过关练1．(多选)对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，下列说法错误的是( ) A ．若a ＝0，则a ＋b i 为纯虚数B ．若a ＋(b －1)i ＝3－2i ，则a ＝3，b ＝－2C ．若b ＝0，则a ＋b i 为实数D ．i 的平方等于1【答案】ABD 【解析】对于A ，当a ＝0时，a ＋b i 也可能为实数；对于B ，若a ＋(b －1)i ＝3－2i ，则a ＝3，b ＝－1；对于D ，i 的平方为－1.故选ABD ．2．(2020年湖北月考)已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－9)＋(a ＋3)i 为纯虚数，则复数z 的虚部为( )A ．3B ．6iC ．±3D ．6【答案】D 【解析】∵z ＝(a 2－9)＋(a ＋3)i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－9＝0，a ＋3≠0，解得a ＝3.∴z ＝6i ，则复数z 的虚部为6.故选D ． 3．(2020年北京丰台区期末)已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】复数a ＋b i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，∴“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要不充分条件．故选B ．4．复数a ＋1＋(a －1)i 是实数，其中i 为虚数单位，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．0D ．2【答案】B 【解析】∵复数a ＋1＋(a －1)i 是实数，∴a ＝1.故选B ． 5．下列命题中：①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1； ②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；③若复数z 1，z 2，z 3满足(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3. 正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【答案】A 【解析】①取x ＝i ，y ＝－i ，则x ＋y i ＝1＋i ，但不满足x ＝y ＝1，故①错；易得②③错．故选A ．6．如果x －1＋y i 与i －3x 为相等复数，x ，y 为实数，则x ＝________，y ＝________. 【答案】141 【解析】由复数相等可知⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3x ，y ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝1.7．已知z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则m ＝1是z 1＝z 2的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”)【答案】充分不必要 【解析】当z 1＝z 2时，必有m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，显然m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件．8．(2020年延吉校级月考)已知m ∈R ，设复数z ＝(m 2－2m －3)＋(m 2－1)i.若复数z 为纯虚数，则实数m ＝________.【答案】3 【解析】依题意，复数z 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3＝0，m 2－1≠0，解得m ＝3.9．(2020年重庆月考)实数m 取什么数值时，复数z ＝m 2＋m －2m ＋1＋(m 2－1)i 分别是下列数？(1)实数； (2)纯虚数．解：(1)由m 2－1＝0且m ＋1≠0得，m ＝1，∴当m ＝1时，z 是实数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2m ＋1＝0，m 2－1≠0，解得m ＝－2.∴当m ＝－2时，z 是纯虚数．10．实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 分别是下列数？(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数．解：(1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足m (m ＋2)m －1＝0，m －1≠0且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.B 级——能力提升练11．已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i(m ∈R )，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围为( )A ．－7≤λ≤916B ．916≤λ≤7C ．－1≤λ≤1D ．－916≤λ≤7【答案】D 【解析】由z 1＝z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，消去m ，得λ＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝⎛⎭⎫sin θ－382－916.由于－1≤sin θ≤1，故－916≤λ≤7. 12．(2019年哈尔滨高二检测)若复数z ＝⎝⎛⎭⎫sin θ－35＋⎝⎛⎭⎫cos θ－45 i (θ∈R )是纯虚数，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4的值为( ) A ．－7B ．－17C ．7D ．－7或－17【答案】A 【解析】因为复数z 是纯虚数，所以满足实部为零且虚部不为零，即⎩⎨⎧sin θ＝35，cos θ≠45.因为sin θ＝35且cos θ≠45.所以cos θ＝－45.所以tan θ＝－34.所以tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝－34－11－34＝－7.13．(2019年江苏改编)已知复数a －2＋(a ＋2)i 的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是________．【答案】2 【解析】∵a －2＋(a ＋2)i 的实部为0，∴a ＝2.14．设i 是虚数单位，a 为实数，若复数a ＋3－i 是纯虚数，则a ＝________. 【答案】－3 【解析】a 为实数，若复数a ＋3－i 是纯虚数，则a ＋3＝0，解得a ＝－3.15．若复数z ＝log 2(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)为实数，则x 的值为________．【答案】4 【解析】∵复数z ＝log 2(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)为实数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0，x －3＝1，解得x ＝4.16．若不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立，求实数m 的值． 解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0，m 2－4m ＋3＝0，m 2<10，∴⎩⎨⎧m ＝0或m ＝3，m ＝3或m ＝1，|m |<10.∴当m ＝3时，原不等式成立． 17．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1，求实数x ，y 的值． 解：由定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1＝3x ＋2y ＋y i ，故有(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋y i.因为x ，y 为实数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x ＋3＝y ，得x ＝－1，y ＝2.18．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i,8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}满足M ∩N ≠∅，求整数a ，b 的值．解：由题意，得(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ，① 或8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ，②或(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝(a 2－1)＋(b ＋2)i.③由①，得a ＝－3，b ＝±2，由②，得a ＝±3，b ＝－2，③中，a ，b 无整数解，不符合题意．综上，a ＝－3，b ＝2或a ＝－3，b ＝－2或a ＝3，b ＝－2.C 级——探索创新练19．已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{4i ，－1,1}(i 是虚数单位)，若M ∪P ＝P ，求实数m .解：由M ∪P ＝P 知M 是P 的子集，从而可知(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或4i. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.综上可知m ＝1或m ＝2.。
阶段质量检测（二）数系的扩充与复数的引入(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝( )A ．0B ．2iC ．－2iD ．4i解析：选A ∵i 2＝－1，∴1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝1i －1i ＋1i －1i＝0.2．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵23<m <1，∴3m －2>0，m －1<0，∴点(3m －2，m －1)在第四象限．3．若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4解析：选D ∵2＋a i1＋i ＝3＋i ，∴2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，∴a ＝4，故选D.4.如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D解析：选B 设z ＝－a ＋b i(a ，b >0)，则z 的共轭复数z －＝－a －b i ， 它对应点的坐标为(－a ，－b )，是第三象限的点．故选B.5．已知复数z 满足(i －1)(z －i 3)＝2i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( ) A ．i －1 B ．1＋2i C ．1－iD ．1－2i解析：选B 依题意可得z ＝2i i －1＋i 3＝－2i (1＋i )(1－i )(1＋i )－i ＝－(i －1)－i ＝1－2i ，其共轭复数为1＋2i ，故选B.6．若a1－i＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝( )A ．2－iB ．2＋iC ．5D. 5解析：选D ∵a ，b ∈R ，且a1－i＝1－b i ， 则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－b ，0＝1＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋(－1)2＝ 5.7．若复数z 满足|3z ＋1|＝|z －i|，则复数z 对应点的轨迹是( ) A ．直线 B ．正方形 C ．圆D ．椭圆解析：选C 设z ＝x ＋y i ，则|3x ＋3y i ＋1|＝|x ＋y i －i|，∴(3x ＋1)2＋9y 2＝x 2＋(y －1)2，即4x 2＋4y 2＋3x ＋y ＝0.∴复数z 对应点Z 的轨迹为圆．故选C.8．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z ＝( )A ．2iB ．iC ．－iD ．－2i解析：选D 设纯虚数z ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，代入z ＋21－i ＝b i ＋21－i ＝(b i ＋2)(1＋i )(1－i )(1＋i )＝(2－b )＋(b ＋2)i2，由于其为实数， ∴b ＝－2，∴z ＝－2i.9．设z ＝1－i(i 是虚数单位)，若复数2z＋z 2在复平面内对应的向量为OZ →，则向量OZ →的模是( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选B ∵z ＝1－i(i 是虚数单位)，∴2z ＋z 2＝21－i ＋(1－i)2＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )－2i ＝1－i. ∴向量OZ →的模：12＋(－1)2＝ 2.故选B.10．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论正确的是( ) A ．z 对应的点在第一象限 B ．z 一定不为纯虚数C.z －对应的点在实轴的下方 D ．z 一定为实数解析：选C ∵t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1>0，∴z 对应的点在实轴的上方．又∵z 与z －对应的点关于实轴对称，∴C 项正确．11．已知z 1与z 2是共轭虚数，有4个命题：①z 21<|z 2|2；②z 1z 2＝|z 1z 2|；③z 1＋z 2∈R ；④z 1z 2∈R .其中一定正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①②③解析：选B z 1与z 2是共轭虚数，设z 1＝a ＋b i ，z 2＝a －b i(a ，b ∈R ，b ≠0)． ①z 21＝a 2－b 2＋2ab i ，|z 2|2＝a 2＋b 2，虚数不能比较大小，因此不正确； ②z 1z 2＝|z 1z 2|＝a 2＋b 2，正确； ③z 1＋z 2＝2a ∈R ，正确；④z 1z 2＝a ＋b i a －b i ＝(a ＋b i )2(a －b i )(a ＋b i )＝a 2－b 2a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2i 不一定是实数，因此不一定正确．故选B.12．已知虚数z ＝x ＋y i 的模为1(其中x ，y 均为实数)，则yx ＋2的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0 解析：选B ∵|z |＝1，∴x 2＋y 2＝1.设k ＝yx ＋2，则k 为过圆x 2＋y 2＝1上的点和点(－2,0)的直线斜率，作图如图所示，∴k ≤13＝33. 又∵z 为虚数，∴y ≠0，∴k ≠0. 又由对称性可得k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎦⎥⎤0，33. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上) 13．已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝________. 解析：由M ∩N ＝{4}，知4∈M ， 故z i ＝4，∴z ＝4i＝－4i.答案：－4i14．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则满足条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为________． 解析：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ，设z ＝x ＋y i ，∴z i ＋z ＝x i －y ＋x ＋y i ＝x －y ＋(x ＋y )i ＝4＋2i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4，x ＋y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.∴z ＝3－i. 答案：3－i15．复数z 满足|z ＋1|＋|z －1|＝2，则|z ＋i ＋1|的最小值是________．解析：由|z ＋1|＋|z －1|＝2，根据复数减法的几何意义可知，复数z 对应的点到两点(－1,0)和(1,0)的距离和为2，说明该点在线段y ＝0(x ∈[－1,1])上，而|z ＋i ＋1|为该点到点(－1，－1)的距离，其最小值为1.答案：116．在复平面内，O 为坐标原点，向量OA →对应的复数为－2－i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为________．解析：复数－2－i 对应点A (－2，－1)， 点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B (1,2)， ∴OB →对应的复数为1＋2i. 答案：1＋2i二、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)计算： (1)(2＋i )(1－i )21－2i ；(2)4＋5i (5－4i )(1－i ).解：(1)(2＋i )(1－i )21－2i ＝(2＋i )(－2i )1－2i＝2(1－2i )1－2i＝2.(2)4＋5i (5－4i )(1－i )＝(5－4i )i(5－4i )(1－i ) ＝i 1－i ＝i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝i －12＝－12＋12i.18．(本小题满分12分)已知复数z 1＝m －2i ，复数z 2＝1－n i ，其中i 是虚数单位，m ，n 为实数．(1)若m ＝1，n ＝－1，求|z 1＋z 2|的值； (2)若z 1＝z 22，求m ，n 的值．解：(1)当m ＝1，n ＝－1时，z 1＝1－2i ，z 2＝1＋i ， 所以z 1＋z 2＝(1－2i)＋(1＋i)＝2－i ， 所以|z 1＋z 2|＝22＋(－1)2＝ 5. (2)若z 1＝z 22，则m －2i ＝(1－n i)2， 所以m －2i ＝(1－n 2)－2n i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1－n 2，－2＝－2n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝1.19．(本小题满分12分)求实数k 为何值时，复数(1＋i)·k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)分别是：(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数； (4)零．解：由z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i. (1)当k 2－5k －6＝0时，z ∈R ， ∴k ＝6或k ＝－1.(2)当k 2－5k －6≠0时，z 是虚数，即k ≠6且k ≠－1.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0时，z 是纯虚数，∴k ＝4.(4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0时，z ＝0，解得k ＝－1.综上，当k ＝6或k ＝－1时，z ∈R . 当k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数．当k ＝4时，z 是纯虚数，当k ＝－1时，z ＝0. 20．(本小题满分12分)已知z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i .(1)求|z |；(2)若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值． 解：z ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝(3－i )(2－i )5＝5－5i5＝1－i. (1)∵z ＝1－i ，∴|z |＝ 2.(2)把z ＝1－i 代入z 2＋az ＋b ＝1＋i 得， (1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ， 即a ＋b －(2＋a )i ＝1＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4，所以实数a ，b 的值分别为－3,4.21．(本小题满分12分)已知复数z ＝3＋b i(b ∈R )，且(1＋3i)z 为纯虚数． (1)求复数z ； (2)若ω＝z2＋i，求复数ω的模|ω|.解：(1)(1＋3i)(3＋b i)＝(3－3b )＋(9＋b )i ， ∵(1＋3i)z 是纯虚数，∴3－3b ＝0且9＋b ≠0，则b ＝1，从而z ＝3＋i.(2)ω＝z 2＋i ＝3＋i 2＋i ＝(3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝75－i5，∴|ω|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫752＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝ 2. 22．(本小题满分12分)(1)已知关于x 的实系数方程x 2＋mx ＋n ＝0，若1＋2i 是方程x 2＋mx ＋n ＝0的一个复数根，求出m ，n 的值；(2)已知z ∈C ，z ＋3i ，z3－i 均为实数，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意得(1＋2i)2＋m (1＋2i)＋n ＝－1＋m ＋n ＋22i ＋m 2i ＝0，∴⎩⎨⎧－1＋m ＋n ＝0，22＋m 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝3.(2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∵z ＋3i ＝x ＋(y ＋3)i 为实数，∴y ＝－3.∵z3－i ＝x －3i 3－i ＝110(x －3i)(3＋i)＝110[(3x ＋3)＋(x －9)i]为实数，∴x ＝9，∴z ＝9－3i.∵(z ＋a i)2＝81－(a －3)2＋18(a －3)i ＝72＋6a －a 2＋18(a －3)i ，∴由已知⎩⎪⎨⎪⎧72＋6a －a 2＞0，18(a －3)＞0，解得3＜a ＜12.故实数a 的取值范围为(3,12)．。
