数的开方和二次根式

1-2数的开方与二次根式【题型目录】题型一：平方根、算术平方根、立方根题型二：二次根式有意义的条件题型三：二次根式的运算题型四：二次根式的估算【题型真题】题型一：平方根、算术平方根、立方根1. （2022甘肃）计算的结果是（）A. ±2B. 2C.D. 解：4的算术平方根是2，即=2，故选B．2．（2022桂林）化简的结果是（）A．2B．3C．2D．2解：＝2，故选：A．3. （2022杭州）计算：_________；_________．解：；．故答案为：2，44 （2022鄂州）化简：= .解：∵22=4，∴=2.5. （2022恩施）9的算术平方根是．解：∵，∴9算术平方根为3．故答案为3．6. （2022凉山州）化简：＝（）A. ±2B. －2C. 4D. 2解：，故选：D．7. （2022泸州）（）A. B. C. D. 2解：-2，故选A．8. （2022雅安）化简：= .解：∵22=4，∴=2.9. （2022宜宾）4的平方根是（）A. ±2B. 2C. ﹣2D. 16解：∵（±2 ）2=4，∴4的平方根是±2，故选A．题型二：二次根式有意义的条件1. （2022北京）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________．解：由题意得：x-8≥0，解得：x≥8．故答案为：x≥8．2. （2022贵阳）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是A. x≥3B. x≤3C. x＞3D. x＜3解：由题意得．解得x≥3，故选：A．3. （2022长沙）若式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________．解：，解得，故答案为：．4. （2022云南）若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．解：∵代数式有意义∴x+1≥0，∴x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．5. （2022贵港）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________．解：由题意得：，解得，故答案为：．6. （2022河池）若二次根式有意义，则a的取值范围是_____．解：由题意得，a－1≥0，解得，a≥1，故答案为：7. （2022贺州）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．解：在实数范围内有意义，，解得．故答案为：．8（2022安顺）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____．解：由二次根式在实数范围内有意义可得：，解得：；故答案为．9. （2022牡丹江）函数中，自变量x的取值范围是（）A. B. C. D.解：由二次根式的被开方数的非负性得：，解得，故选：D．10. （2022衡阳）如果二次根式有意义，那么实数的取值范围是（）A. B. C. D.解：根据题意知≥0，解得，故选：B．11. （2022邵阳）若有意义，则的取值范围是_________．解：由题意可得x-2>0，解得：x>2，故答案为：x>2．12. （2022湘西）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（）A. x＞2B. x＜2C. x≤2D. x≥2解：∵3x﹣6≥0，∴x≥2，故选：D．13. （2022岳阳）使有意义的的取值范围是_______．解：根据题意得，解得．故答案为：．14. （2022常州）若二次根式有意义，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.解：由题意得：，，故选：A．15. （2022连云港）函数中自变量的取值范围是（）A. B. C. D.解：∵，∴．故选A．16. （2022无锡）函数y＝中自变量x的取值范围是()A. x＞4B. x＜4C. x≥4D. x≤4解：4-x≥0，解得x≤4，故选：D．17. （2022盐城）使有意义的的取值范围是_______．解：根据题意得，解得．故答案为：．18. （2022扬州）若在实数范围内有意义，则取值范围是__．解：若在实数范围内有意义，则，解得：．故答案为：．19. （2022丹东）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A. x≥3B. x≥﹣3C. x≥3且x≠0D. x≥﹣3且x≠0解：由题意得：x+3≥0且x≠0，解得：x≥﹣3且x≠0，故选：D．20. （2022滨州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为_____．解：由题意知，，解得，，故答案为：．21. （2022济宁）若二次根式有意义，则x的取值范围是________．解：根据题意，得，解得：；故答案为：．22. （2022日照）若二次根式在实数范围内有意义，那么的取值范围是_______．解：根据题意，得，解得：，故答案是：．23. （2022内江）函数中，自变量的取值范围是.解：依题意，得x-3≥0，解得：x≥3．题型三：二次根式的运算1. （2022河北）下列正确的是（）A. B. C. D. 解：A.，故错误；B.，故正确；C，故错误；D.，故错误；故选：B．2. （2022哈尔滨）计算的结果是___________．解：==，故答案为：．3. （2022江西）计算：；解：原式=2+2-1，=3．4. （2022大连）下列计算正确的是（）A. B. C. D.解：A、无解，故该项错误，不符合题意；B、，故该项错误，不符合题意；C、，故该项正确，符合题意；D、，故该项错误，不符合题意；故选：C．5. （2022青岛）计算的结果是（）A. B. 1 C. D. 3解：故选：B．6.（2022山西）计算的结果是________．解：原式＝＝＝3．故答案为：3．7. （2022陕西）计算：______．解：．故答案为：-2．8．（2022仙桃）下列各式计算正确的是（）A．+＝B．4﹣3＝1C．×＝D．÷2＝解：A、原式不能合并，不符合题意；B、原式＝，不符合题意；C、原式＝＝，符合题意；D、原式＝2÷2＝，不符合题意．故选：C．9. （2022武威）计算：．解：原式.10. （2022北部湾经济区）化简：=_____．解：．故答案为：．11. （2022柳州）计算：=______．解：=；故答案为．12. （2022六盘水）计算：__________．解：==故答案为：．13. （2022衡阳）计算：＝_____．解：．故答案为：．14. （2022常州）计算：=___．解：∵23=8，∴，故答案为：2．15. （2022泰安）计算：__________．解：，故答案为：．题型四：二次根式的估算1.（2022海南）写出一个比大且比小的整数是___________．解：∵，∴即比大且比小的整数为2或3，故答案为：2或32. （2022济南）写出一个比大且比小的整数_____．解：∵＜2＜3＜4＜，∴比大且比小的整数有2，3，4.故答案为：3（答案不唯一）．3. （2022绵阳）正整数a、b分别满足，，则（）A. 4B. 8C. 9D. 16解：，，，，．故选：D．4. （2022天津）估计的值在（）A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间解：，，即在5和6之间．故选：C．5. （2022重庆A卷）估计的值应在（）A. 10和11之间B. 9和10之间C. 8和9之间D. 7和8之间解：，∵，∴，∴，故选：B．6. （2022重庆B卷）估计的值在（）A. 6到7之间B. 5到6之间C. 4到5之间D. 3到4之间解：∵49<54<64，∴，∴，即的值在3到4之间，故选：D．7. （2022安顺）估计的值应在（）A. 4和5之间B. 5和6之间C. 6和7之间D. 7和8之间解：原式＝，，，故选B．8. （2022遵义）估计的值在（）A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间解：∵，即：，∴的值在4和5之间，故选C．9. （2022永州）请写出一个比大且比10小的无理数：______．解：∵5＜7＜100，∴<<10∴比大且比10小的无理数为，故答案为：（答案不唯一）．10. （2022宿迁）满足的最大整数是_______．解：满足的最大整数是3．故答案为：3．11. （2022泰州）下列判断正确的是( )A. B. C. D. 解：由题意可知：，故选：B．12. （2022广安）比较大小：__________3（填“＞”、“＜”或“＝”）解：∵，32=9，∴7＜9，∴＜3，故答案为：＜．13. （2022泸州）与最接近的整数是（）A. 4B. 5C. 6D. 7解：∵12.25＜15＜16，∴3.5＜＜4，∴5.5＜2+＜6，∴最接近的整数是6，故选：C．14. （2022宁波）写出一个大于2的无理数_____．解：∵2=，∴大于2的无理数须使被开方数大于4即可，如（答案不唯一）．15. （2022台州）估计的值应在（）A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之解：∵4＜6＜9，∴，∴，故选B．16. （2022舟山）估计的值在（）A. 4和5之间B. 3和4之间C. 2和3之间D. 1和2之间解：∵∴故选：C．17. （2022潍坊）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（）A. B. C. D.解：4＜5＜9，∴2＜＜3，∴1＜1＜2，∴＜＜1，故选：C．18. （2022随州）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为______，最大值为______．解：∵，是大于1的整数，∴．∵n为正整数∴n的值可以为3、12、75，n的最小值是3，最大值是75．故答案为：3；75．。

开方及二次根式知识点全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：开方是数学中常见的运算符号，表示一个数的平方根。

而二次根式则是指包含开方的代数式。

在学习数学过程中，掌握开方及二次根式的知识是非常重要的。

本文将就开方及二次根式的相关知识进行详细介绍。

我们来看看开方的定义。

对于一个非负实数a，如果实数b满足b 的平方等于a，即b²=a，那么b就是a的平方根，记作√a，其中√符号称为根号。

如果a是一个负数，那么它的平方根定义为复数，可以表示为±√(-a)，其中±表示取正负号。

开方的运算可以用来求解方程、计算距离等实际问题，是数学中的重要工具。

在代数中，我们经常会遇到二次根式，即含有开方的代数式。

如√2、√3等都属于二次根式。

二次根式通常可以简化，使其形式更加简洁。

简化二次根式的方法是利用数的乘法性质，将开方中的被开方数进行因式分解，找到一个完全平方数因子，然后将其提出开方符号。

对于√12，可以找到一个完全平方数的因子4，即√12=√(4*3)=2√3。

这样就化简成了更加简洁的形式。

在进行运算时，需要注意开方及二次根式的运算规则。

首先是同底数相乘的运算法则，即√a*√b=√(a*b)，这条规则适用于任意实数a、b。

其次是开方的乘法公式，即√a±√b=√(a±2√(a*b)±√b)，这个公式在计算开方时经常会用到。

如果要进行开方的除法运算，可以采用类似的方法，将被开方数分解成较小的因子，然后进行化简。

运用这些运算规则，可以更加方便地进行开方及二次根式的运算。

除了基本的开方运算，还有一些特殊的开方，如立方根、四次根等。

立方根表示一个数的三次方根，记作³√a，其运算规则与平方根类似。

比如³√8=2，因为2³=8。

四次根则表示一个数的四次方根，记作⁴√a，其运算规则也可以类似的推出。

这些特殊的开方可以在数学问题中发挥重要作用，例如求解立方程等。

数的开方及二次根式
哎，说起数的开方跟二次根式，这事儿咱们得扯扯清楚。

在数学里头，数的开方，就好比是把一个数儿，咔嚓一下，劈成好多相等的部分，看能劈成几份儿，每份儿是多少。

比如说，9的开方，那就是3嘛，因为3乘3等于9，简单得很。

二次根式呢，听起来有点儿玄乎，其实也不难。

就是把个平方根摆在那儿，再跟其他数儿一起搅和搅和，搞出些新花样来。

比如说，根号下面有个4，再加上个5，写成式子就是√4+5，结果就是2+5，等于7。

当然，这只是个简单的例子，实际运用起来，可能要复杂得多。

在计算二次根式的时候，咱们得注意点儿，根号下面的数儿得是非负的，要不然就没得解了。

还有啊，根号跟根号之间不能直接相加，得想办法把它们变成同类项，才能相加或者相减。

比如说，√2跟√8，看着不一样，其实√8可以变成2√2，这样一来，它们就能相加了。

总的来说，数的开方跟二次根式，都是数学里头挺重要的东西。

虽然刚开始接触的时候，可能会觉得有点儿难，但是只要多练练，多琢磨琢磨，慢慢地就能掌握其中的窍门了。

毕竟，数学这东西，还是得靠多练，才能熟能生巧嘛。

所以，大家伙儿，要是遇到了数的开方或者二次根式的问题，别怕，大胆地去做，相信你们一定能行的！。

数的开方及二次根式1、（2015黄冈）9 的平方根是( ) A.±3 B.±31C.3D.-3 2、(2014东营( ) A.±3 B.3 C.±9 D.93、（2015=_____ 4、（2015=_____1、（2015黄冈）9 的平方根是( ) A.±3 B.±31C.3D.-3 2、（2015的值是（ ）A ．±5 B．5 C ．–5 D ． 6253、（2014菏泽）下列计算中，正确的是（ ）A ．a 3•a 2=a 6 B ．（π﹣3.14）0=1 C ．133-=- D 3?4、（2015南京）4的平方根是 ；4的算术平方根是 （2015山东潍坊模拟）4 的算术平方根是5、（2015（20156、（2015（2015甘肃武威）64的立方根是_____7、（2015随州）4的算术平方根是 ，9的平方根是 ，﹣27的立方根是8、（2015＝ 9、（201401)+=初中数学基础知识讲义—数的开方及二次根式考点2：二次根式概念:式子a （ ）叫做二次根式。

称为二次根号，二次根号下的a 叫做被开方数.由算术平方根和二次根式的意义，只有当a≥0．．．，当a ＜0①二次根式a 必须注意a_ __o 这一条件，其结果也是一个非负数即：a _ __o ， ②二次根式a （a≥o）中，a 可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式考点一：二次根式有意义的条件1、（2015四川甘孜）使二次根式的有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0 B ．x ＞1 C ．x ≥1 D ． x ≠12、（2015武汉）若代数式2-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范为是（ ）A ．x ≥－2B ．x ＞－2C ．x ≥2D ．x ≤21、(2015南京)x 的取值范围是 ______2、（2015x 的取值范围是3、（2015四川乐山）函数y =x 的取值范围是4、（2015湖南衡阳）函数y =x 的取值范围为（ ）A ．x ≥0 B ．x ≥－1 C ．x ＞－1 D ．x ＞1考点3：二次根式的性质 ： ⑴； ⑵ ()=2a （a ≥0） ⑶ =2a ；= （0,0a b吵）；= （0,0a b?）.a ===，一般情况下二次根式除法运算过程就要进行分母有理化。

专题2 数的开方与二次根式一、基础过关练1．（2022·广东·佛山市中考三模）实数9的算术平方根为（ ）A ．3B 3C ．3D ．3± 【答案】A【分析】根据算术平方根的定义，即可求出结果．【详解】解：∵239=， ∴93=． 故选：A【点睛】本题考查了算术平方根，解本题的关键在熟练掌握算术平方根的定义．算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根．2．（2022·陕西·陇县中考二模）27−的立方根为（ ） A ．13− B ．13 C ．13± D ．3【答案】A 【分析】根据立方根的概念求解即可．【详解】解：∵311327⎛⎫−=− ⎪⎝⎭， ∴127−的立方根为－13， 故选：A ．【点睛】本题考查求一个数的立方根，熟练掌握立方根的概念“一个数x 3=a ，则x 叫a 有立方根”是解题的关键．3．（2022·江苏徐州·中考真题）要使得式子2x −有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．2x >B ．2x ≥C ．2x <D ．2x ≤【答案】B【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0，列不等式求解．【详解】解：根据题意，得 20x −≥，解得2x ≥．故选：B．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件的知识点，代数式的意义一般从三个方面考虑：()1当代数式是整式时，字母可取全体实数；()2当代数式是分式时，分式的分母不能为0；()3当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．4．（2022·上海中考三模）下列式子属于同类二次根式的是（）A222B324C525D612【答案】A【分析】根据同类二次根式的概念判断即可．【详解】解：A、2与22是同类二次根式，符合题意；B、3与26不是同类二次根式，不符合题意；C、5与5不是同类二次根式，不符合题意；D、6与23不是同类二次根式，不符合题意；故选A．【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．5．（2022·内蒙古通辽·中考一模）16的平方根是（）A．4B．4±C．2D．2±【答案】D【分析】先根据算术平方根可得164=，再根据平方根的概念即可得．【详解】解：164=，±=，因为()224所以4的平方根是2±，即16的平方根是2±，故选：D．【点睛】本题考查了算术平方根与平方根，熟练掌握平方根的概念是解题关键．A42±B()222−=−C382−=−D235【答案】C【分析】根据立方根，算术平方根和二次根式的加法计算法则求解判断即可．【详解】解：A、42=，计算错误，不符合题意；B、()222−=，计算错误，不符合题意；C 、382−=−，计算正确，符合题意；D 、2与3不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；故选C ．【点睛】本题主要考查了立方根，算术平方根和二次根式的加法，熟知相关计算法则是解题的关键．A ．125的平方根是15±B ．()20.1−的平方根是0.1±C ．9−81D 3273−=− 【答案】C【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义即可解答．【详解】解：A.125的平方根是15±，说法正确，不符合题意； B. ()20.1−的平方根是0.1±，说法正确，不符合题意；C.819＝，9的算术平方根是3，说法错误，符合题意； D. 3273−=−，说法正确，不符合题意．故选C ．【点睛】本题主要考查了平方根、算术平方根、立方根的定义等知识点，正确理解相关定义成为解答本题的关键．8．（2022·湖北武汉·中考二模）计算()25−−的结果为______． 【答案】5−【分析】根据算术平方根的定义计算即可．【详解】()22555−−=−=−故答案：5−【点睛】本题考查算术平方根的定义，准确确定符号是解题的关键．9．（2022·河南许昌·中考二模）若代数式275x x −+−有意义，则实数x 的取值范围是______．【答案】3.5≤x ≤5【分析】根据被开方数为非负数，进而求解即可．【详解】解：由题意，得27050x x −≥⎧⎨−≥⎩， 解得3.5≤x ≤5．故答案为：3.5≤x ≤5．【点睛】本题考查了二次根式被开方数的非负性，解一元一次不等式组求解集，解决问题的关键是正确地计算能力．10．（2022·黑龙江哈尔滨·中考三模）计算327−的结果是________． 【答案】-3【分析】根据立方根的性质计算即可．【详解】327−=-3，故答案为：-3．【点睛】本题考查了立方根的性质，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0，熟记立方根的性质是解题的关键．11．（2022·黑龙江·哈尔滨市中考模拟预测）计算 216(4)−+−＝______． 【答案】0【分析】先将各二次根式化简，再合并即可得到答案．【详解】解：216(4)−+−=-4+4=0故答案为0【点睛】本题主要考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是化简二次根式，注意(0)0(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪−<⎩．12．（2022·黑龙江·哈尔滨市中考三模）计算32542−的结果是______． 【答案】26−【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解．【详解】解：32542− 62362=⨯− 26=−．故答案为：26−【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．13．（2022·辽宁朝阳·24546−=___________． 【答案】1− 【分析】先将二次根式化简，再计算，即可求解．【详解】解：24546− 26366−= 66−= 1=−故答案为：-1【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．14．（2022·江苏南京·中考二模）计算()()271832−+的结果是______． 【答案】3【分析】根据二次根式的混合运算可直接进行求解．【详解】解：原式=()()()3332323323−⨯+=⨯−=； 故答案为3．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键． 15．（2022·天津红桥·中考三模）计算()()233233+−的结果等于_______．【答案】3【分析】利用平方差公式解答．【详解】解：()()233233+−()22=2331293−=−=故答案为：3．【点睛】本题考查利用平方差公式进行计算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 16．（2022·山东聊城·中考一模）()12156362−⨯+=______． 【答案】65【分析】先算小括号，再算乘除，最后算加减．【详解】解：原式2=2153-63+62⨯⨯⨯=65-32+32=65 故答案为：65．【点睛】本题考查了实数的混合运算，正确的运用法则和准确的计算是解决本题的关键．二、能力提升练 17．（2022·重庆市中考一模）下列运算正确的是（ ）A 235=B ．232=C 822÷=D ．3223= 【答案】C【分析】根据二次根式的加减法则即可判断选项A 和选项D ，根据二次根式的乘法法则即可判断选项B ，根据二次根式的除法法则即可判断选项C ．【详解】解：A ．2和3不能合并，故本选项不符合题意；B ．22326⨯=，故本选项不符合题意；C ．882422÷===，故本选项符合题意； D ．32222−=，故本选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．A ．0.08的立方根是0.2B 162±C ．0的倒数是0D ．–1是1的绝对值【答案】B【分析】根据立方根、平方根、倒数和绝对值的定义判断即可．【详解】解：A 、0.008的立方根是0.2，该选项错误，不符合题意；B 、164=，4的平方根是2±，该选项正确，符合题意；C 、0没有倒数，该选项错误，不符合题意；D 、1是-1的绝对值，该选项错误，不符合题意；故选：B ．【点睛】此题考查立方根、平方根、倒数和绝对值的问题，关键是根据算术平方根、立方根和平方根的定义分析．19．（2022·广东中考三模）若2423y x x =−+−−，则2022()x y +等于（ ）A ．1B ．5C ．5−D ．1−【答案】A【分析】直接利用二次根式中被开方数是非负数，得出x 的值，进而得出y 的值，再利用有理数的乘方运算法则计算即可．【详解】解：由题意可得：20420x x −≥⎧⎨−≥⎩， 解得：x ＝2，故y ＝-3，∴20222022()(213)=x y +=−．故选：A ．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及有理数的乘方运算，正确掌握被开方数为非负数是解题关键．20．（2022·贵州遵义·中考模拟预测）函数1x y +=的自变量x 的取值范围是（ ） A ．1x ≠−B ．2x ≠C ．1x ≥或2x ≠D ．1x ≥−且2x ≠ 【答案】D【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解．【详解】根据题意，得：10x +≥，20x −≠，解得1x ≥−且2x ≠，故选：D ．【点睛】本题考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件的知识，根据分式的分母不能为0，二次根式的被开方数非负列出不等式，是解答本题的关键．21．（2022·陕西·中考模拟预测）9的平方根是_____，立方根是_______． 【答案】 ±3 33【分析】依据平方根以及立方根的定义，即可得出结论．【详解】∵9＝3，∴9的平方根是±3，立方根是33．故答案为：±3，33．【点睛】本题主要考查了平方根和立方根，如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根，也叫做a 的二次方根；如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根．22．（2022·山东济南·中考二模）如果2、5、m 是某三角形三边的长，则22(3)(7)m m −+−等于_____．【答案】4【分析】根据三角形三边的关系得到37m <<，再根据二次根式的性质得原式37m m =−+−，然后根据m 的取值范围去绝对值后合并即可．【详解】解：∵2、5、m 为三角形三边，∴37m <<，∴原式()3737374m m m m m m =−+−=−−−=−−+=，故答案为：4．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，二次根式的性质与化简：2a a =及绝对值的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．23．（2022·浙江·瑞安市中考三模）当31a =时，代数式122a a −−+的值为_______． 【答案】323−33− 【分析】把31a =+代入代数式()2122a a −−+，求出其值即可．【详解】解：把31a =+代入代数式()2122a a −−+得：原式=()()23112312+−−++ ()232322=−−+32322=−−+323=−．故答案为：323−．【点睛】本题主要考查了代数式的求值，二次根式的混合运算，运用完全平方公式计算，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键．=a 数是_________．【答案】 -3 1【分析】根据正数的平方根是两个互为相反数，得出方程a +4+2a +5＝0，求出a 值，把a 值代回任一个式子平方即可．【详解】解：∵一个正数的平方根是a +4和2a +5，∴a +4+2a +5＝0，解得：a ＝﹣3，即这个正数是()2341−+=，故答案为：﹣3；1．【点睛】本题考查了平方根的应用，解一元一次方程，熟练掌握正数有两个平方根，是互为相反数，解一元一次方程的一般方法，是解决问题的关键．25．（2022·贵州黔东南·中考一模）函数y 121x x =−−中自变量x 的取值范围是_____． 【答案】x ≤2且x ≠1 【分析】根据二次根式的被开方数的取值大于等于零，以及分式的分母不等于零列式计算可得．【详解】解：由题意得，2﹣x ≥0且x ﹣1≠0，解得x ≤2且x ≠1．故答案为：x ≤2且x ≠1．【点睛】此题考查了函数自变量的取值计算，正确掌握二次根式被开方数的要求及分式分母的特点是解题的关键．26．（2022·广东·东莞市中考三模）已知()2120x y −+=，则()2014x y +=______ ． 【答案】1【分析】利用偶次方和算术平方根的非负性求出x 与y 的值，代入计算即可得到结果．【详解】解：2(1)20x y −++=Q ，10x ∴−=，20y +=， 解得1x =，=2y −，则20142014()(12)1x y +=−=，故答案为：1．【点睛】本题考查了代数式求值、偶次方和算术平方根的非负性、一元一次方程的应用，熟练掌握偶次方和算术平方根的非负性是解题关键．27．（2022·浙江杭州·中考二模）已知x ＋y ＝﹣5，xy ＝4，则y x x y+=________． 【答案】52 【分析】对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．【详解】解：当x +y =-5，xy =4时，y x xy + 2()y x x y=+ 2y x x y=++ 222x y xy xy++=2()x y xy+= 2(5)4−= =52． 故答案为：52． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 28．（2022·广东·深圳市中考三模）计算：2231(2)8(2)2−+−+−+． 【答案】52 【分析】化简绝对值，二次根式的性质以及立方根进行计算即可求解．【详解】解：原式＝12222+−+ 52=． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，正确的计算是解题的关键．29．（2022·上海松江·中考二模）计算：11812221⎛⎫− ⎪+⎝⎭【答案】24−−【分析】先计算乘方，化简二次根式，化简绝对值，再合并同类二次根式即可．【详解】解：原式2322121=−−+−+− 24=−−【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握负整指数幂与二次根式的化简运算是解题的关键．。

开方及二次根式知识点全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：开方及二次根式是高中数学中常见的一个知识点，也是数学中的基础概念之一。

在学习代数学时，开方及二次根式是必须要掌握的重要内容。

本文将对开方及二次根式进行详细介绍，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

让我们从最基础的概念开始。

所谓开方，就是对一个数进行开方运算，即找到一个数，使得它的平方等于给定的数。

如果一个数是另一个数的平方，那么这个数就是这个数的平方根。

开方也可以用符号√来表示，如√4表示对4进行开方运算，结果为2，因为2的平方等于4。

二次根式是由一个数与它的二次根号组成的一个式子，例如√2、√3、√5等。

这些数都是无理数，也就是不能用有限位小数表示的数。

在数轴上，二次根式对应的数是不完全平方数，即无法整除的数。

在计算开方及二次根式时，有一些基本规则需要遵循。

对于整数n，如果n>0，则√n是一个正数；如果n<0，则√n是一个虚数。

开方运算是一个单调递增的函数，即当x<y时，√x < √y。

开方运算不满足交换律和结合律，即√xy≠√x·√y，(√x)²≠x。

在开方运算中，常见的性质有：1.开方运算的运算性质：√a ± √b ≠ √(a ± b)，√a · √b ≠√(a · b)。

3.二次根式的乘法运算：√a · √b = √(a · b)。

还有一些常见的运算法则需要注意。

如何计算复合二次根式呢？如何计算√(√2 + √3)呢？我们可以用代数的方法将其化简。

设x = √2 + √3，则x² = (√2 + √3)² = 2 + 2√6 + 3 = 5 + 2√6，即x² - 5 = 2√6。

所以√(√2 + √3) = √(x) = √(x² - 5) = √(2√6) = √2 · √3 = √6。