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第六讲 无源网络综合一、基本概念1.电路综合是电路分析的逆过程——已知数学模型建立电路模型 数学模型：端口的VCR 、网络函数、状态—输出方程电路模型：⎩⎨⎧（含有源元件）、运放、电流模放大器、有源网络，、变压器、、无源网络，C R C L R 2.电路设计步骤(1) 按给定要求，确定一个可实现的逼近函数（数学模型） ①给定技术要求时域： 时延，超调，速度，峰值，持续时间，周期频域：通频带，截止频率，谐振频率，通、阻带衰减，品质因数，相移 ②理想函数 理想特性许多无法实现，无过渡带δpsp1p2s1s2p 1p 2s1s2③可实现的逼近函数网络函数必须是物理可实现的，因而要满足因果性和稳定性。
因为实际器件：X C =Cω1， X L =ωL ，它们是连续、随频率渐变的，所以用R 、L 、C 无法实现频带陡变。
可实现的网络函数只能是逼近理想，无法实现理想。
满足条件：⎪⎩⎪⎨⎧=为有理多项式：可以实现的应具有形如尽量逼近理想)()()( s D s N s H 巴特沃思型 Ncj H 22)(11|)(|ωωω+=切比雪夫型Ⅰ、Ⅱ型 )(11|)(|222cn C j H ωωεω+=其中 ⎩⎨⎧>≤=--1|| ),( 1|| ),cos cos()(11x x nch ch x x n x C n 椭圆型 ）（ωεω22211|)(|nR j H +=（2）根据网络函数，确定可实现的电路（不唯一）KVL ∑=kuu 串联电路模型、二端网络最简为戴维宁电路KCL ∑=kii 并联电路模型、二端网络最简为诺顿电路例：等效电路、去耦、s 域模型等今天的任务：给定一个满足某些特性的H (s )，寻找几个可实现的无源电路。
（3）设计：选择一种对某种设计准则来讲是最佳的实现设计准则：⎩⎨⎧，简单性电气：可靠性，灵敏度量经济：成本，尺寸，重二、给定驱动点函数⎭⎬⎫)()(s Y s Z H (s )=)())(()())(()()(2121n n m m p s p s p s b z s z s z s a s D s N ------=例如:驱动点导纳转移导纳（一） 驱动点函数的一般特性1、正实函数当s 是实数时，H (s )是实数（即多项式系数是实的） 当σ≥0时, R e [H (s )] ≥ 02、无源网络的驱动点函数一定是正实的，正实函数可以看作无源网络的驱动点函数。
通信电子中的无源网络设计随着通信电子技术的不断发展，无线通信、网络互联等技术越来越成熟，使得无线通信设备和网络设备越来越普及。
无源网络设计是其中一个重要的组成部分。
什么是无源网络？无源网络是指没有任何电动力源的电路网络，也称为“无源无源”，只有电容、电感、电阻和互感器等被动元件。
相比之下，有源网络则包含主动元件，如放大器、逆变器等，能够产生电动力。
无源网络的作用无源网络主要用于过滤、谐振和信号传输等方面，具有很多重要的作用，如：1. 调节信号频率和相位，使其适合于网络连接。
2. 提供与电路相对应的阻抗，使信号能够有效传输和反射。
3. 过滤信号中的噪声干扰，提供干净的信号输出。
4. 将拉普拉斯变换域中的电路表示为传输函数形式，更容易进行分析和设计。
无源网络设计的流程无源网络设计的流程一般分为以下几步：1. 确定电路拓扑结构，包括电源和被动元件。
2. 确定所需频率范围和通带、阻带、群延迟等电路规格要求。
3. 利用电路分析理论计算出所需的元件数值，包括电阻、电感、电容等，以保证满足电路规格要求。
4. 电路仿真和实验验证，分析实际电路的性能与规格要求是否一致，同时调整元件数值进行优化设计。
无源网络设计的注意事项无源网络设计需要注意以下几个方面：1. 在选用元件时，需要注意其本身特性全面性，以保证电路的性能。
2. 在实验验证过程中，需要注意电路的稳定性和热问题，特别是高频或噪声电路，需要低噪声放大器、有源补偿等技术进行辅助设计。
3. 需要注意电路的实际制造成本和尺寸等方面，不仅要使电路性能好，而且也要使其成本低廉和尺寸小。
总之，无源网络设计是通信电子中的一个重要环节，需要综合考虑电路规格、元件特性、实验验证和成本、尺寸等方面，才能得到满足规格要求、性能稳定和成本低廉的电路。
第五章 无源网络综合§5.1 网络分析与网络综合网络分析网络综合（a ） (b)图5.1 网络分析与网络综合网络综合：研究科学的数学的设计方法。
网络分析与网络综合的区别：1 “分析”问题一般总是有解的(对实际问题的分析则一定是有解的)。
而“设计”问题的解答可能根本不存在。
-V 5.0+图5.2 网络综合解答不存在情况一W 5.21.05.0W 125.0412L 2max==<=⨯=PP(a) (b)图5.3 网络综合解答不存在情况二2“分析”问题一般具有唯一解，而“设计”问题通常有几个等效的解。
-+-V 4+V 4+---V4+(a) (b) (c)图5.4 网络综合存在多解情况3“分析”的方法较少，“综合”的方法较多。
网络综合的主要步骤：(1) 按照给定的要求确定一个和实现的逼近函数。
(2) 寻找一个具有上述逼近函数的电路。
§5.2 网络的有源性和无源性输入一端口网络N 的功率()()()p t v t i t =从任何初始时刻0t 到t ，该网络的总能量0()()()()d tt W t W t v i τττ=+⎰式中0()W t 为在初始时刻0t 时该一端口储存的能量。
若对所有0t 以及所有时间0t t ≥，有()0,(),()W t v t i t ≥∀ （1）则此一端口N 为无源的。
如果一端口不是无源的，达就是有源的。
就是说，当且仅当对某个激励和某一初始值0t 以及某一时间0t t ≥，有()0W t <，则此一端口就是有源的。
换句话说，如果一个一端口是有源的，就一定能找到某一激励以及至少某一时间t ，式（1）对这个一端口不能成立。
在以上有关无源性的定义中必须计及初始储存能量0()W t 。
例如，对时不变的线性电容，设它的电容值为C ，则有0()00()22200()()()()()111()()()()222tv t t v t W t W t v i d W t C vdvW t Cv t Cv t Cv t τττ=+=+=+-=⎰⎰式中2001()()2W t Cv t =。
1-8 网络元件及网络的无源性和有源性二端网络元件无源性的定义：网络元件的有源性和无源性与能量的传递有关，若W (t 0)为二端元件于t 0时刻贮存的能量，W (t 0, t )为在t 0至t 时间内从电源传送至二端元件的能量，即∫=tt o d i u t t W τττ)()(),(0式中u 、i 为该元件的端电压和电流。
,0−∞>t 对所有的如果对所有的初始时刻,o t t ≥以及对所有的容许信号偶(u 、i )，均有ot t W t W ≥+),()(00成立，则该二端元件是无源的(passive)。
该定义表明，二端元件的无源性，要求元件在t 0时的贮能与从t 0至t 时间内由电源吸收能量之和不能小于零。
也即是说元件在任一时间区间[t 0, t ]中，经其二端传送至电路其它部分的能量不能大于它在t 0时的贮能。
二端网络元件有源性的定义：如果对某些初始时刻t 0，对某些,0t t ≥以及对某些容许信号偶(u 、i )，有),()(00<+t t W t W 则该二端元件是有源的（active ）。
1-8-1 电阻元件的无源性和有源性二端电阻元件的无源性定义为:如果对所有的t 0>–∞，对所有的t >t 0，对所有的容许信号偶(u ，i )，均有式∫≥=tt d i u t t W 00)()(),(0τττ成立，该二端电阻元件称为无源的。
反之，若对于某些,0−∞>t 对某些,0t t >对某些容许信号偶(u 、i )，有∫<=tt o d i u t t W 0)()(),(0τττ则该二端电阻元件称为有源的。
以上定义表明，无源电阻在任何情况下都只能消耗能量，而有源电阻在某些情况下则能对与其连接的其它电路部分提供能量。
就一般非线性时变电阻而言，当且仅当其特性曲线在所有时间t均位于i-u平面的第一和第三象限，ui>0，该电阻元件是无源的。
否则，只要在某一时刻的特性曲线的某一部分位于i-u平面的第二或第四象限，ui<0，该电阻元件就是有源的。
接入网技术Chapter 5第5章 EPON技术目录/Contents Array5.1 EPON的系统结构5.2 EPON的工作原理5.3 EPON的关键技术5.4 EPON的网络应用本章教学说明∙ 重点介绍EPON系统结构的组成、各组成部分功能及无源光器件∙ 简要介绍EPON的工作原理和关键技术∙ 概括介绍EPON网络的应用本章内容∙ EPON的系统结构∙ EPON的工作原理∙ EPON的关键技术∙ EPON的网络应用本章重点、难点∙ EPON的系统构成和各部分的功能∙ 分光器的种类及应用∙ 光分配网的构成∙ EPON的工作原理∙ 逻辑链路标识∙ 多点控制协议∙ 测距技术∙ 动态带宽分配∙ EPON网络的应用本章目的和要求∙ 掌握EPON的系统构成∙ 理解分光器的种类及应用∙ 理解EPON的工作原理∙ 理解EPON的关键技术∙ 理解EPON的网络应用本章实做要求及教学情境∙ 考察OLT、ONU和分光器产品，认识产品型号、类别及应用场合∙ 考察光交接箱、分纤盒、信息插座、综合信息箱等无源光器件，认识器件实物和应用场合∙ 调查所在小区的接入方式，了解EPON的应用场景、应用模式及相应的网络构成本章学时数：10学时5.1 EPON的系统结构5.1.1 结构组成EPON技术采用点到多点的用户网络拓扑结构及无源光纤传输方式，在以太网上提供数据、语音和视频等全业务接入。
EPON系统由光线路终端（Optical Line Terminal，OLT）、光配线网（Optical Distribution Network，ODN）和光网络单元（Optical Network Unit，ONU）组成，为单纤双向系统，系统结构如图5-1所示。
图5-1 EPON系统的结构光线路终端设备（OLT）是EPON系统局端处理设备，是系统核心组成部分。
通常OLT位于中心局内，有时也可以通过光纤拉远设置在靠近用户的位置。
光网络单元（ONU）是EPON系统中靠近用户侧的终端处理设备。
第五章 无源网络综合§5.1 网络分析与网络综合网络分析网络综合（a ） (b)图5.1 网络分析与网络综合网络综合：研究科学的数学的设计方法。
网络分析与网络综合的区别：1 “分析”问题一般总是有解的(对实际问题的分析则一定是有解的)。
而“设计”问题的解答可能根本不存在。
-V 5.0+图5.2 网络综合解答不存在情况一W 5.21.05.0W 125.0412L 2max==<=⨯=PP(a) (b)图5.3 网络综合解答不存在情况二2“分析”问题一般具有唯一解，而“设计”问题通常有几个等效的解。
-+-V 4+V 4+---V4+(a) (b) (c)图5.4 网络综合存在多解情况3“分析”的方法较少，“综合”的方法较多。
网络综合的主要步骤：(1) 按照给定的要求确定一个和实现的逼近函数。
(2) 寻找一个具有上述逼近函数的电路。
§5.2 网络的有源性和无源性输入一端口网络N 的功率()()()p t v t i t =从任何初始时刻0t 到t ，该网络的总能量0()()()()d tt W t W t v i τττ=+⎰式中0()W t 为在初始时刻0t 时该一端口储存的能量。
若对所有0t 以及所有时间0t t ≥，有()0,(),()W t v t i t ≥∀ （1）则此一端口N 为无源的。
如果一端口不是无源的，达就是有源的。
就是说，当且仅当对某个激励和某一初始值0t 以及某一时间0t t ≥，有()0W t <，则此一端口就是有源的。
换句话说，如果一个一端口是有源的，就一定能找到某一激励以及至少某一时间t ，式（1）对这个一端口不能成立。
在以上有关无源性的定义中必须计及初始储存能量0()W t 。
例如，对时不变的线性电容，设它的电容值为C ，则有0()00()22200()()()()()111()()()()222tv t t v t W t W t v i d W t C vdvW t Cv t Cv t Cv t τττ=+=+=+-=⎰⎰式中2001()()2W t Cv t =。
所以0C >时，电容元件为无源的，而当0C <时（线性负电容），则为有源的。
但是，如不计及式中的初始能量项，则22011()()()22W t Cv t Cv t =-()W t 为从0t 到t 输入网络的能量。
这样即使0C >，()W t 在某些时间将小于零。
事实上充电的电容有可能向外释放储存的能量，但是计及初始能量，它不可能释放多余原先储存的能量。
为了考虑这种情况，引入了有关“无损性”的概念。
设一端口的所有(),()v t i t 从0t →∞为“平方可积”，即有：2(),tt v t dt <∞⎰2()tt i t dt <∞⎰如果对任何初始时间0t ，下式成立0()()()()d 0tt W t W t v i τττ=+=⎰式中0()W t 为在初始时刻0t 时该一端口储存的能量，则称此一端口为无损网络。
以上关于()v t 和()i t 平方可积的条件，也即()()()()0v v i i ∞=-∞=∞=-∞=就是说，一端口在t =∞和t =-∞时均为松弛的。
假设一端口在t =-∞时无任何存储能量，则无源性可按下式定义()()()d 0tW t v i τττ-∞=≥⎰(),(),v t i t t ∀≥-∞ （2）以上关于有源性的定义可以推广到N 端口。
如果全部端口的电压电流允许信号对是真实的，且对所有t ，输入端口的总能量为非负的，则此N 端口为无源的，即对全部t ≥-∞，有()()()d 0tT W t v i τττ-∞=≥⎰这里设t =-∞时，()0,()0-∞=-∞=v i 。
如果对某些信号对，且对某些t >-∞，有()()()d 0tT W t v i τττ-∞=<⎰则此N 为有源的。
如果对所有平方可积有限值允许信号对，有()()()d 0tT W t v i τττ-∞==⎰则称此N 端口为无损的。
一个无损的N 端口将最终把输入端口的能量全部返回。
线性（正）电阻元件、电容元件、电感元件均为无源元件。
例如，对二端电阻，按式（2）有2()()()d ()t tW t v i Ri d τττττ-∞-∞==⎰⎰可见，只要0R >，对所有t ，()W t 总是非负的。
同理，对于非零的()v t 和()i t ，()W t 将是t 的单调非递减正值函数，因此当t =∞时，()W t 不可能是零值，所以线性电阻是无源的、非无损的。
线性负电阻、负电感、负电容是有源元件。
对于理想变压器，有112200v i n i n v ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦按式（1－25）1122()[()()()()]d 0tW t v i v i τττττ-∞=+=⎰所以理想变压器是无源的且是无损的。
练习：讨论回转器和负阻抗变换器的有源性和无源性。
回转器：112200v i r v r i -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，负阻抗变换器：112200v i k i k v ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦§5.3归一化和去归一化归一化定义：用一些合适的系数(常数)按比例换算所有电量，而不改变电路性质。
例如，用50作为电阻的换算系数(归一化常数)，则Ω75=R (实际值)变成Ω515075./==N R (归一化值)。
归一化值、实际值、归一化常数之间的关系)()()(0s Z s Z s Z N =，)()()(0s Y s Y s Y N =，0R R R N =，0L L L N =，0C CC N = 0T T T N =，0f f f N =，0ωωω=N ，0s s s N = 对实际值适用的物理关系，对归一化值网络应保持不变，因此得)()(s Y s Z 1=)()(s Y s Z N N 1=)()(s Z s 001=:Y R s Z =)(N N R s Z =)()(s Z 00=:R :L sL s Z =)(N N L s s Z =)(N )(s Z L 000=:C sCs Z 1=)(N N N C s s Z 1=)()(s Z C 0001=:f T f 1=NN T f 1=01T f =:ωfπω2=N N f πω2=00f =ωωσj s +=:s NN N j s ωσ+=000ωσ==s 实际值归一化值化常数共七个关系式。
综上得知，只有两个独立的归一化常数，若选择多于两个，则有可能破坏电量之间的关系。
通常选择0Z 和0f 。
此时000000000000000111Z Y f s f T f Z C f Z L Z R /,,/),/(,/,=======ω 【例】图5.5(a)所示电路归一化电压转移函数为2212++==N N NN N N s s ss U s U s H )()()( 中心角频率为2。
(1) 如要求中心频率为10kHz ，求网络函数。
(2) 如固定Ω1=R ，求L ，C 。
(3) 如固定C=0.1µF,求R ，L 。
2(a) (b)图5.5 归一化例题图【解】：(1) 频率归一化常数为4400010442942102⨯=⨯===.πωs f将0s ss N =代入已知的)(N s H 得： 94242002012109479.3104429.4104429.42)()()(⨯+⨯+⨯=++==s s ss s s s s s s U s U s H (2) 0000000011f Z C f Z L Z R R R N =====，，/ 508220.==L L L N µH ， 254110.==C C C N µF(3)mH5332539112105332539112539112110250101000300000000760.../....===⨯======⨯=⨯==---N N N L L L R R R f Z L Z R C f Z C C C ，＝，，，Ω§3.4正实函数1 定义 设)(s F 是复变量j s σω=+的函数，如果 (1) 当0]Im[=s 时，0)](Im[=s F ；(2) 当0]Re[≥s 时，0)](Re[≥s F 。
则称)(s F 为正实函数，简称PR 函数。
正实函数的映射关系如图5.6所示。
)](s F 图5.6正实函数的映射关系s 平面F(s)平面2 正实函数的性质(1) F (s )的全部极点位于s 平面的闭左半平面，F (s)在s 的右半平面是解析的。
证明思路：设F (s )在s 的右半平面存在极点，级数展开，F (s )变号，与正实函数矛盾，假设不成立。
(2)位于ωj 轴上的极点是一阶的，且其留数为正实数。
(包括0和±∞) (3) 正实函数的倒数仍为正实函数(对正实函数的零点也做了规定)。
(4) 设)()()(s D s N s a s a s b s b s F ll n n k k m m =++++= 。
则1≤-||n m ，1≤-||l k 。
因为n m n m s s a b s F -∞→=)(lim ， lk lk s s a b s F -→=)(l i m 0在∞→s 和0=s 处为一阶极点(零点)。
3 布隆定理(Otto Brune 1931年提出)(s I 1)(/)(s Y s Z 1=)(s I k kkk+-)(s U k（a ） (b)图5.7 布隆定理的证明对图5.7(b)， ∑≠=+++=bkj j j kj k k k k k s I sM s I sC sL R s U 2)()()1()(定理：当且仅当Z(s)是s 的正实函数时，阻抗函数Z(s)使用集中参数的RLCM 元件(非负值)才是可实现的。
必要性的证明：(充分性留在后续各节))]()(1)([|)(|1)(])()()1[(|)(|1)()()(|)(|1)()(|)(|1)()()()()()()(0002122212k k 211121111111s sM s V ss F s I s I s I sM s I sC sL R s I s I s U s I s I s U s I s I s I s I s U s I s U s Z k b k b kj j j kj k k k k b k ++=+++=====∙=≠==****∑∑∑由特勒根定理 (5.1)其中∑∑∑∑∑∑∑∑==≠=∙==≠=∙==≥=≥+=+=≥=≥=bk k k bk bk j j k j kj bk bk bkj j k j kj k k bk k kbk k k s I L T s I s I M T s I s I M s I L s M s I C s V s I R s F 220220222202202200|)(|0)()()()(|)(|)(0|)(|1)(0|)(|)(由式(5.1) 得(1) 当0=]Im [s 时，0=)](Im[s Z 。
