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2020-2021学年浙江省杭州外国语学校九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（共10题；共30分）1．（3分）下列事件中，是必然事件的是（）A．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球B．任意买一张电影票，座位号是3的倍数C．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上D．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯2．（3分）将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，则恰有一个篮子为空的概率为（）A．B．C．D．3．（3分）抛物线y＝2x2+c的顶点坐标为（0，1），则抛物线的解析式为（）A．y＝2x2+1B．y＝2x2﹣1C．y＝2x2+2D．y＝2x2﹣2 4．（3分）将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为（）A．y＝﹣x2﹣2B．y＝﹣x2+2C．y＝x2﹣2D．y＝x2+25．（3分）已知直线x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴，点A（x1，y1）和点B（x2，y2）为其图象上的两点，且y1＜y2，（）A．若x1＜x2，则x1+x2﹣2＜0B．若x1＜x2，则x1+x2﹣2＞0C．若x1＞x2，则a（x1+x2﹣2）＞0D．若x1＞x2，则a（x1+x2﹣2）＜06．（3分）从马鸣、杨豪、陆畅、江宽四人中抽调两人参加“寸草心”志愿服务队，恰好抽到马鸣和杨豪的概率是（）A．B．C．D．7．（3分）在一个不透明的袋子中装有黑球m个、白球n个、红球3个，除颜色外无其它差别，任意摸出一个球是红球的概率是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，直线y1＝kx与抛物线y2＝ax2+bx+c交于A、B两点，则y＝ax2+（b﹣k）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于点E，MF⊥CD于点F，连接EF，则EF的最小值为（）A．1B．C．D．10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b＝0；②4a ﹣2b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞2．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（共6题；共24分）11．（3分）表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：移植的棵数n200500800200012000成活的棵数m187446730179010836成活的频率0.9350.8920.9130.8950.903由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为．（精确到0.1）12．（3分）在一个盒子中装有若干乒乓球，小明为了探究盒子中所装乒乓球的数量，他先从盒子中取出一些乒乓球，记录了所取乒乓球的数量为m个，并在这些乒乓球上做了记号“*”，然后将它们放回盒子中，充分摇匀；接下来，他又从这个盒子中再次取出一些乒乓球，记录了所取乒乓球的数量为n个，其中带有记号“*”的乒乓球有p个，小明根据实验所得的数据m、n、p，可估计出盒子中乒乓球的数量有个．13．（3分）从﹣，﹣1，1，2，5中任取一数作为a，使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率为．14．（3分）某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是个．15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x+1）2+b与y＝a（x﹣2）2+b+1交于点A．过点A作y轴的垂线，分别交两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C 在点A右侧），则线段BC的长为．三、解答题（共8题；共66分）17．（8分）已知一条抛物线分别过点（3，﹣2）和（0，1），且它的对称轴为直线x＝2，试求这条抛物线的解析式．18．（8分）小明、小亮和小强三人准备下象棋，他们约定用“抛硬币”的游戏方式来确定哪个人先下棋，规则如下：三人手中各持有一枚质地均匀的硬币，他们同时将手中硬币抛落到水平地面为一个回合，落地后，三枚硬币中，恰有两枚正面向上或者反面向上的两人先下棋；若三枚硬币均为正面向上或反面向上，则不能确定其中两人先下棋．（1）请你完成下面表示游戏一个回合所有可能出现的结果的树状图；（2）求出一个回合能确定两人下棋的概率．19．（8分）对某厂生产的直径为4cm的乒乓球进行产品质量检查，结果如表：（1）计算各次检查中“优等品”的频率，填入表中；抽取球数n5010050010005000优等品数m45924558904500优等品频率（2）该厂生产乒乓球优等品的概率约为多少？20．（8分）已知二次函数y＝0.5x2﹣x﹣0.5求顶点坐标，小明的计算结果与其他同学的不同，请你帮他检查一下，在标出的②③④几个步骤中开始出现错误的是步，请将此题正确的求顶点的计算过程写在下面的方框内．小明的计算过程：y＝0.5x2﹣x﹣0.5＝x2﹣2x﹣1 ①＝x2﹣2x+1﹣1﹣1 ②＝（x﹣1）2﹣2 ③∴顶点坐标是（1，﹣2）④．21．（8分）小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区的安排，志愿者被随机分到A组（体温检测）、B组（便民代购）、C组（环境消杀）．（1）小红的爸爸被分到B组的概率是；（2）某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）22．（10分）在一个不透明的口袋中装有4个依次写有数字1，2，3，4的小球，它们除数字外都相同，每次摸球前都将小球摇匀．（1）从中随机摸出一个小球，小球上写的数字不大于3的概率是．（2）若从中随机摸出一球不放回，再随机摸出一球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸出小球上的数字和恰好是偶数的概率．23．（10分）某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．（1）当100≤x≤300时，y与x的函数关系式为．（2）某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？（3）零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件，服装厂的利润为w 元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2020-2021学年浙江省杭州外国语学校九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10题；共30分）1．（3分）下列事件中，是必然事件的是（）A．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球B．任意买一张电影票，座位号是3的倍数C．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上D．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯【分析】根据事件发生的可能性大小判断．【解答】解：A、从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球，是必然事件；B、任意买一张电影票，座位号是3的倍数，是随机事件；C、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件；D、汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯，是随机事件；故选：A．2．（3分）将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，则恰有一个篮子为空的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出恰有一个篮子为空的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：三个不同的篮子分别用A、B、C表示，根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数，其中恰有一个篮子为空的有6种，则恰有一个篮子为空的概率为＝．3．（3分）抛物线y＝2x2+c的顶点坐标为（0，1），则抛物线的解析式为（）A．y＝2x2+1B．y＝2x2﹣1C．y＝2x2+2D．y＝2x2﹣2【分析】根据顶点式的坐标特点，可得出c＝1，即可得到抛物线的解析式为＝2x2+1．【解答】解：∵抛物线y＝2x2+c的顶点坐标为（0，1），∴c＝1，∴抛物线的解析式为y＝2x2+1，故选：A．4．（3分）将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为（）A．y＝﹣x2﹣2B．y＝﹣x2+2C．y＝x2﹣2D．y＝x2+2【分析】根据抛物线C1的解析式得到顶点坐标，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得抛物线C2的得到坐标，而根据关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得到抛物线C3所对应的函数表达式．【解答】解：∵抛物线C1：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴抛物线C1的顶点为（1，2），∵向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，∴抛物线C2的顶点坐标为（0，2），∵抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，∴抛物线C3的开口方向相反，顶点为（0，﹣2），∴抛物线C3的解析式为y＝﹣x2﹣2，故选：A．5．（3分）已知直线x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴，点A（x1，y1）和点B（x2，y2）为其图象上的两点，且y1＜y2，（）A．若x1＜x2，则x1+x2﹣2＜0B．若x1＜x2，则x1+x2﹣2＞0C．若x1＞x2，则a（x1+x2﹣2）＞0D．若x1＞x2，则a（x1+x2﹣2）＜0【分析】根据二次函数的性质和二次函数的图象及二次函数上点的坐标特征即可求解．【解答】解：∵直线x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象∴x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax+c，∵点A（x1，y1）和点B（x2，y2）为其图象上的两点，∴y1＝ax12﹣2ax1+c，y2＝ax22﹣2ax2+c，当x1＜x2，y1＜y2即y1﹣y2＜0，∴ax12﹣2ax1+c﹣（ax22﹣2ax2+c）＜0，整理得：a（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）＜0，∵x1﹣x2＜0，∴a（x1+x2﹣2）＞0，故A，B不符合题意；当x1＞x2，y1＜y2即y1﹣y2＜0，∴ax12﹣2ax1+c﹣（ax22﹣2ax2+c）＜0，整理得：a（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）＜0，∵x1﹣x2＞0，∴a（x1+x2﹣2）＜0，故C不符合题意，D符合题意；故选：D．6．（3分）从马鸣、杨豪、陆畅、江宽四人中抽调两人参加“寸草心”志愿服务队，恰好抽到马鸣和杨豪的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出恰好抽到马鸣和杨豪的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：根据题意画图如下：共有12种等可能情况数，其中恰好抽到马鸣和杨豪的有2种，则恰好抽到马鸣和杨豪的概率是＝；故选：C．7．（3分）在一个不透明的袋子中装有黑球m个、白球n个、红球3个，除颜色外无其它差别，任意摸出一个球是红球的概率是（）A．B．C．D．【分析】用红球的个数除以球的总个数即可得．【解答】解：∵袋子中一共有（m+n+3）个小球，其中红球有3个，∴任意摸出一个球是红球的概率是，故选：B．8．（3分）如图，直线y1＝kx与抛物线y2＝ax2+bx+c交于A、B两点，则y＝ax2+（b﹣k）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据题意和题目中给出的函数图象，可以得到函数y＝ax2+（b﹣k）x+c的大致图象，从而可以解答本题．【解答】解：设y＝y2﹣y1，∵y1＝kx，y2＝ax2+bx+c，∴y＝ax2+（b﹣k）x+c，由图象可知，在点A和点B之间，y＞0，在点A的左侧或点B的右侧，y＜0，故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意；故选：B．9．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于点E，MF⊥CD于点F，连接EF，则EF的最小值为（）A．1B．C．D．【分析】连接MC，证出四边形MECF为矩形，由矩形的性质得出EF＝MC，当MC⊥BD时，MC取得最小值，此时△BCM是等腰直角三角形，得出MC即可得出结果．【解答】解：连接MC，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，∠DBC＝45°，∵ME⊥BC于E，MF⊥CD于F∴四边形MECF为矩形，∴EF＝MC，当MC⊥BD时，MC取得最小值，此时△BCM是等腰直角三角形，∴MC＝BC＝，∴EF的最小值为；故选：D．10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b＝0；②4a ﹣2b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞2．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据二次函数的图象和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，∴﹣＝1，得2a+b＝0，故①正确；当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故②正确；该函数图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故③正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0），∴点A（3，0），∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3，故④错误；故选：B．二、填空题（共6题；共24分）11．（3分）表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：移植的棵数n200500800200012000成活的棵数m187446730179010836成活的频率0.9350.8920.9130.8950.903由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为0.9．（精确到0.1）【分析】用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【解答】解：根据表格数据可知：苹果树苗移植成活的频率近似值为0.9，所以估计这种苹果树苗移植成活的概率约为0.9．故答案为：0.9．12．（3分）在一个盒子中装有若干乒乓球，小明为了探究盒子中所装乒乓球的数量，他先从盒子中取出一些乒乓球，记录了所取乒乓球的数量为m个，并在这些乒乓球上做了记号“*”，然后将它们放回盒子中，充分摇匀；接下来，他又从这个盒子中再次取出一些乒乓球，记录了所取乒乓球的数量为n个，其中带有记号“*”的乒乓球有p个，小明根据实验所得的数据m、n、p，可估计出盒子中乒乓球的数量有个．【分析】首先确定样本中乒乓球的频率，然后用样本估计总体即可．【解答】解：∵所取乒乓球的数量为n个，其中带有记号“*”的乒乓球有p个，∴带有记号“*”的乒乓球的频率为，∴乒乓球的总个数为m÷＝，故答案为：．13．（3分）从﹣，﹣1，1，2，5中任取一数作为a，使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率为．【分析】使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的条件是a＞0，据此从所列5个数中找到符合此条件的结果，再利用概率公式求解可得．【解答】解：在所列的5个数中任取一个数有5种等可能结果，其中使抛物线y＝ax2+bx+c 的开口向上的有3种结果，∴使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率为，故答案为：．14．（3分）某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．【分析】根据理解题意找出题目中所给的等量关系，找出规律，写出货包数量的函数解析式，再根据二次函数最值的求法求出快递货车装载的货包数量最多的站．【解答】解：当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，快递货车上需要卸下已经通过的（x﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x﹣1）个，还要装上下面行程中要停靠的（n﹣x）个服务驿站的货包共（n﹣x）个．根据题意，完成下表：服务驿站序号在第x服务驿站启程时快递货车货包总数1n﹣12（n﹣1）﹣1+（n﹣2）＝2（n﹣2）32（n﹣2）﹣2+（n﹣3）＝3（n﹣3）43（n﹣3）﹣3+（n﹣4）＝4（n﹣4）54（n﹣4）﹣4+（n﹣5）＝5（n﹣5）……n0由上表可得y＝x（n﹣x）．当n＝29时，y＝x（29﹣x）＝﹣x2+29x＝﹣（x﹣14.5）2+210.25，当x＝14或15时，y取得最大值210．故答案为：210．15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．【分析】根据物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x 轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y＜0时，x的取值范围．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．故答案为：﹣3＜x＜1．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x+1）2+b与y＝a（x﹣2）2+b+1交于点A．过点A作y轴的垂线，分别交两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则线段BC的长为6．【分析】设抛物线y＝a（x+1）2+b的对称轴与线段BC交于点E，抛物线y＝a（x﹣2）2+b+1的对称轴与线段BC交于点F，由抛物线的对称性结合BC═2（AE+AF），即可求出结论．【解答】解：设抛物线y＝a（x+1）2+b的对称轴与线段BC交于点E，抛物线y＝a（x ﹣2）2+b+1的对称轴与线段BC交于点F，如图所示．由抛物线的对称性，可知：BE＝AE，CF＝AF，∴BC＝BE+AE+AF+CF＝2（AE+AF）＝2×[2﹣（﹣1）]＝6．故答案为：6．三、解答题（共8题；共66分）17．（8分）已知一条抛物线分别过点（3，﹣2）和（0，1），且它的对称轴为直线x＝2，试求这条抛物线的解析式．【分析】根据题意设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+b，把（3，﹣2），（0，1）代入求得a、b即可．【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝2，∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+b，把（3，﹣2），（0，1）代入解析式得，解得a＝1，b＝﹣3，∴所求抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣3．18．（8分）小明、小亮和小强三人准备下象棋，他们约定用“抛硬币”的游戏方式来确定哪个人先下棋，规则如下：三人手中各持有一枚质地均匀的硬币，他们同时将手中硬币抛落到水平地面为一个回合，落地后，三枚硬币中，恰有两枚正面向上或者反面向上的两人先下棋；若三枚硬币均为正面向上或反面向上，则不能确定其中两人先下棋．（1）请你完成下面表示游戏一个回合所有可能出现的结果的树状图；（2）求出一个回合能确定两人下棋的概率．【分析】（1）此题需两步完成，可根据题意画树状图求得所有可能出现的结果；（2）根据树状图求得一个回合能确定两人下棋的情况，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）根据题意画图如下：（2）一共有8种等可能的结果，一个回合能确定两人下棋的有6种，则一个回合能确定两人下棋的概率是＝．19．（8分）对某厂生产的直径为4cm的乒乓球进行产品质量检查，结果如表：（1）计算各次检查中“优等品”的频率，填入表中；抽取球数n5010050010005000优等品数m45924558904500优等品频率0.90.920.910.890.9（2）该厂生产乒乓球优等品的概率约为多少？【分析】（1）利用频率的定义计算；（2）根据频率估计概率，频率都在0.9左右波动，所以可以估计这批乒乓球“优等品”概率的估计值是0.9．【解答】解：（1）如表所示，求得事件A的概率公式为．；；；；；故答案为：0.9；0.92；0.91；0.89；0.9；（2）若想求得该厂生产乒乓球优等品的概率为多少，需要求得本次抽查的总数，和抽取优等品的总数，以总体优等品的概率表示该厂生产优等品的概率，即：．20．（8分）已知二次函数y＝0.5x2﹣x﹣0.5求顶点坐标，小明的计算结果与其他同学的不同，请你帮他检查一下，在标出的②③④几个步骤中开始出现错误的是①步，请将此题正确的求顶点的计算过程写在下面的方框内．小明的计算过程：y＝0.5x2﹣x﹣0.5＝x2﹣2x﹣1 ①＝x2﹣2x+1﹣1﹣1 ②＝（x﹣1）2﹣2 ③∴顶点坐标是（1，﹣2）④．【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：y＝0.5x2﹣x﹣0.5＝0.5（x2﹣2x）﹣0.5 ①＝0.5（x2﹣2x+1﹣1）﹣0.5 ②＝0.5（x﹣1）2﹣1③∴顶点坐标是（1，﹣1）④；故答案为：①；①；②；③；④；21．（8分）小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区的安排，志愿者被随机分到A组（体温检测）、B组（便民代购）、C组（环境消杀）．（1）小红的爸爸被分到B组的概率是；（2）某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）【分析】（1）共有3种等可能出现的结果，被分到“B组”的有1中，可求出概率．（2）用列表法表示所有等可能出现的结果，进而计算“他与小红的爸爸”分到同一组的概率．【解答】解：（1）共有3种等可能出现的结果，被分到“B组”的有1中，因此被分到“B组”的概率为；（2）用列表法表示所有等可能出现的结果如下：共有9种等可能出现的结果，其中“他与小红的爸爸”在同一组的有3种，∴P（他与小红爸爸在同一组）＝＝．22．（10分）在一个不透明的口袋中装有4个依次写有数字1，2，3，4的小球，它们除数字外都相同，每次摸球前都将小球摇匀．（1）从中随机摸出一个小球，小球上写的数字不大于3的概率是．（2）若从中随机摸出一球不放回，再随机摸出一球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸出小球上的数字和恰好是偶数的概率．【分析】（1）列表确定出所有等可能的情况数，找出小球上写的数字不大于3的情况数，即可求出所求概率；（2）列表确定出所有等可能的情况数，找出两次摸出小球上的数字和恰好是偶数的情况数，即可求出所求概率．【解答】解：（1）从中随机摸出一个小球，小球上写的数字所有等可能情况有：1，2，3，4，共4种，其中数字不大于3的情况有：1，2，3，共3种，则P（小球上写的数字不大于3）＝；故答案为：；（2）列表得：1234 1﹣﹣﹣（1，2）（1，3）（1，4）2（2，1）﹣﹣﹣（2，3）（2，4）3（3，1）（3，2）﹣﹣﹣（3，4）4（4，1）（4，2）（4，3）﹣﹣﹣所有等可能的数有12种，两次摸出小球上的数字和恰好是偶数的情况有：（1，3），（2，4），（3，1），（4，2），共4种，则P（两次摸出小球上的数字和恰好是偶数）＝＝．23．（10分）某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．（1）当100≤x≤300时，y与x的函数关系式为y＝﹣x+110．（2）某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？（3）零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件，服装厂的利润为w 元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）当x＝200时，代入y＝﹣x+110，确定批发单价，根据总价＝批发单价×200，进而求出答案；（3）首先根据服装厂获利w元，当100≤x≤300且x为10整数倍时，得出w与x的函数关系式，进而得出最值，再利用当300＜x≤400时求出最值，进而比较得出即可．【解答】解：（1）当100≤x≤300时，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，根据题意得出：，解得：，∴y与x的函数关系式为：y＝﹣x+110，故答案为：y＝﹣x+110；（2）当x＝200时，y＝﹣20+110＝90，∴90×200＝18000（元），答：某零售商一次性批发A品牌服装200件，需要支付18000元；（3）分两种情况：①当100≤x≤300时，w＝（﹣x+110﹣71）x＝﹣+39x＝﹣（x﹣195）2+3802.5，∵批发件数x为10的正整数倍，∴当x＝190或200时，w有最大值是：﹣（200﹣195）2+3802.5＝3800；②当300＜x≤400时，w＝（80﹣71）x＝9x，当x＝400时，w有最大值是：9×400＝3600，∴一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件时，x为190元或200元时，w最大，最大值是3800元．24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3），把点C坐标代入解析式，可求解；（2）先求出点M，点N坐标，利用待定系数法可求AD解析式，联立方程组可求点D 坐标，可求S△ABD＝×2×6＝6，设点E（m，2m﹣2），分两种情况讨论，利用三角形面积公式可求解；（3）分两种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3），∵抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a≠0）的图象经过点C（0，6），∴6＝a（0﹣1）（0﹣3），∴a＝2，∴抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）（x﹣3）＝2x2﹣8x+6；（2）∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，∴顶点M的坐标为（2，﹣2），∵抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，∴点N（2，2），设直线AN解析式为：y＝kx+b，由题意可得：，解得：，∴直线AN解析式为：y＝2x﹣2，联立方程组得：，解得：，，∴点D（4，6），∴S△ABD＝×2×6＝6，设点E（m，2m﹣2），∵直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，∴S△ABE＝S△ABD＝2或S△ABE＝S△ABD＝4，∴×2×（2m﹣2）＝2或×2×（2m﹣2）＝4，∴m＝2或3，∴点E（2，2）或（3，4）；（3）若AD为平行四边形的边，∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，∴AD＝PQ，∴x D﹣x A＝x P﹣x Q或x D﹣x A＝x Q﹣x P，∴x P＝4﹣1+2＝5或x P＝2﹣4+1＝﹣1，∴点P坐标为（5，16）或（﹣1，16）；若AD为平行四边形的对角线，∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，∴AD与PQ互相平分，∴，∴x P＝3，∴点P坐标为（3，0），综上所述：当点P坐标为（5，16）或（﹣1，16）或（3，0）时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．。
杭高初三保送预选生素质测试数学试卷考生须知:１.本试卷分试题卷和答题卷两部分. 满分１00分, 考试时间10０分钟.2.答题时, 请在答题卷指定位置内写明学校、 姓名。
３.所有答案都必须做在答题卷标定的位置上, 请务必注意试题序号和答题序号相对应.4．考试结束后, 上交试题卷、答题卷和草稿纸.试题卷一、 精心选一选（本大题共10小题,每题３分,共30分. 在每题所给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.）１．实数ａ,b 在数轴对应的点A 、B 表示如图,化简a aa b 244-++-||的结果为 （ )A.22a b --ﻩB.22+-b a C ．2-b ﻩ D.2+b ２.平面上有不在同一直线上的４个点，过其中3个点作圆,可以作出n 个圆,则n 的值不可能为 ( )Ａ.4 B. 3 C .２ D.13. 一个圆锥的底面半径为3，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（ )A.9πB.１8π C ．27π ﻩﻩ D ．39π4.已知a 是方程0420102=+-x x 的一根,则代数式228040200954a a a -+++的值是（ )A.200９B. ２０10 C ．２01１ D.２012５.下列命题中,正确的命题是（ )①平分一条弦的直径一定垂直于弦；②二次函数2x y =的图象是由2(1)3y x =-+的图像向左平移１个单位，再向下平移3个单位得到；③关于x 的一元二次方程 x 2－2x ＋α＝0没有两个不相等的实数根,则实数α的取值范围是α≥１;④在△ＡBC 中,AD 为BC 边上的高，若ＡD=1，BD=1，CD ＝3，则∠ＢAC 的度数为1050 ; A.①② B ．③④ C. ②③ D.②④6．函数y ＝１－｜ｘ－x 2|的图象是( )A B -1 a 0 1 b7．如图,在菱形A ＢCD 中,∠DAB =1２0°，点Ｅ平分ＤC ，点Ｐ在ＢD 上,且PE ＋PC ＝1,那么边AB 长的最大值是( ）．A ．1 Ｂ．332 C ．23 D.38．已知函数y =3－(x －m ）（x －n )，并且a ,b 是方程3-（x －ｍ)(x -ｎ)＝0的两个根，则实数m ，n ，ａ,b 的大小关系可能是( ）.A.m <a ＜ｂ＜ｎB.ｍ＜a <n <b C ．a <m <b <n Ｄ.ａ＜m ＜n <b９．如图,直线PA 是一次函数y =x ＋n （n ＞０）的图象，直线P Ｂ是一次函数y ＝－２x +m (m ＞n ）的图象．若PA 与y 轴交于点Q ，且四边形ＰＱO Ｂ的面积是65，A Ｂ=2，则点P 的坐标为( ). A.（31，34） Ｂ.(31,23） C.(21，34) D.（21,23)1０.如下图是某汽车维修公司的维修点环形分布如图。
杭州市外国语学校招生考试模拟试卷数学考生注意：1、考试时间：60分钟，满分：100分2、答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.答案使用0.5毫米的黑色中性签字笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.3、.请按照题号在各题的答题区域黑色线框内作答超出答题区域书写的答案无效，保持卷面清洁、不破损.4、.做选考题时考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.5.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.一、填空题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）计算=2、1111111111111111 ++++++-++++++= 68101281012146810121481012⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3．（5分）图为一个半径为2的四分之一圆和两个半径为1的半圆周构成的图形。
取3π≈，那么它的阴影部分的面积= 。
4．（5分）一个箱子里有8个红球，6个白球，4个绿球，1个黑球，则至少要取出个球才能保证取出的球至少有三种不同的颜色．5．（5分）右图是由若干个边长为1的正三角形构成的图形。
那么，图中所有大小正三角形的个数是（）6．（5分）一个三角形，一个内角的度数是另两个内角度数和的，另两个内角的度数相差18度，这个三角形的最小的内角的度数是．7．（5分）在前2017个正数中，既不是平方数也不是立方数的有个．8．（5分）甲乙丙三人共得到1020元奖金，每人拿出相等的金额捐献给“爱心基金”，结果甲剩下原来的，乙剩下原来的，丙剩下原来的，三人共捐给“爱心基金”元．9．（5分）一昼夜过去了它的，这一昼夜余下的时间比过去的时间少．10．（5分）将k个自然数10+1,10+2，……10+k分成三组。
使各组中所有数之和满足比例关系2：3：5。
那么，k的最小值应为（）。
11．（5分）三个容积相同的瓶子里面装满了酒精溶液，酒精与水的比分别是2：1，3：1，4：1，当把三瓶酒精溶液混合后，酒精与水的比是．12．（5分）如图所示，长方形的宽是8厘米，则阴影部分的面积是平方厘米．（π取3.14）二、解答题（本小题共4小题）13．（10分）足球赛门票15元一张，降价后观众增加一半，收入增加，一张门票降价多少元？14．（10分）计算：[75%﹣（﹣）×0.25]+[（+）÷﹣]．15．（10分）税法规定，一次性劳务收入若低于800元，免交所得税．若超过800元，需教所得税，具体标准为：800～2000的部分按10%计，2000～5000元部分按15%计，5000～10000元部分按20%计．某人一次劳务收入上税1300元，他在这次劳务中税后的净收入为多少元？16．（10分）加工一批零件，甲、乙两人合做1小时，完成了这批零件的，乙、丙两人接着生产1小时，又完成了，甲和丙又合做2小时，完成了．剩下的任务，甲、乙、丙三人合做，还要小时完成．杭外参考答一、填空题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）计算 =【解答】解：=== =2．）（）（）（）（121101811411211018161-141121101811211018161++⨯+++++++⨯+++ =841解：设A=）（12110181++ ，B=）（14112110181+++ 原式=（61＋A ）×B －（61＋B ）×A =61×（B －A ） =61×141 =8413、右图是一个半径为2的四分之一圆和两个半径为1的半圆周构成的图形。
2022-2023学年浙江省杭州外国语学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 近年来，我国5G发展取得明显成效，截至2022年8月底，全国建设开通5G基站达210.2万个，占世界总数60%以上．将数据210.2万用科学记数法表示为( )A. 2.102×106B. 0.2102×107C. 210.2×104D. 2.102×1052. 使式子√x+1有意义的x的取值范围是( )A. x≠−1B. x≥−1C. x>−1D. x≥13. 下列计算正确的是( )A. 3a2−a2=3B. (−3a+b)(3a+b)=9a2−b2C. (a+1)(a−2)=a2+a−2D. (−2a2)3=−8a64. 函数y=2x和y=kx+5的图象交于点A(m,3)，则不等式2x<kx+5的解集为( )A. x>3B. x<23C. x<32D. x>325. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=25°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转到△DEC 的位置，点B落在DE上，DC交AB于点F，则∠BFC的度数为( )A. 80°B. 75°C. 65°D. 50°6. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为( )A. 5B. 6C. 163D. 1737. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC=60°，⊙O的半径为3cm，则弦AC的长等于( )A. 3√2cmB. 3√3cmC. 32√3cm D. 3cm8. 如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于点C，且OA=OC，OA<OB，则下列结论：①abc>0；②b2−4ac<0；③ac−b+1=0；④OA⋅OB=ca.其中正确的结论是( )A. ①B. ②C. ③D. ④9. 如图，一次函数y=√33x与反比例函数y=kx(k>0)的图象在第一象限交于点A，点C在以B(6,0)为圆心，以1为半径的⊙B上，已知当点C到直线OA的距离最大时，△AOC的面积为8，则该反比例函数的函数表达式为( )A. y=√3xB. y=2√3xC. y=2√2xD. y=4√3x10. 如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，小聪同学得出以下结论：①GF//EC；②AB=√3AD；③GE=√6DF；④△COF∽△CEG；⑤OC= 2√2OF.其中正确的是( )A. ①②③B. ①③⑤C. ①④⑤D. ②③⑤二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11. 如果分式x2−9的值为零，那么x=______．x+312. 已知一次函数y=kx+b的图象平行于直线y=−2x+3，且经过点A(2,1)，则这个一次2函数的解析式是______．13. 如图，⊙O中，∠AOC=150°，则∠ABC=______度．14. 将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为______．15. 如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为AB的中点，F为CE的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于______．16. 已知分段函数y，当x≤−1时，y=−2x2+2x+6，当x>−1时，y=2x2−2x−2，点A(x1,y1)，B(x2,y2)为这个分段函数图象上的两点，且x1<x2，已知当x2−x1>m时，总有y2>y1，则m的最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。
2024-2025学年浙江省杭州外国语学校九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在中，，，，那么等于( )A. B. C. D.2.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了如图，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是( )A. ①B. ②C. ③D. ④3.如图，点A、D、G、M在半上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形．设，，，则下列各式中正确的是( )A.B.C.D.4.如图，在中，，，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是( )A. B. BD 平分C. D. 点D为线段AC的黄金分割点5.已知二次函数的y与x的部分对应值如表：x…013…y…131…则下列判断中正确的是( )A. 抛物线开口向上B. 抛物线与y轴交于负半轴C. 当时，D. 方程的正根在3与4之间6.二次函数和正比例函数的图象如图所示，则方程的两根之和( )A. 大于0B. 等于0C. 小于0D. 不能确定7.如图，直径为10的上经过点和点，B是y轴右侧优弧上一点，则的余弦值为( )A. B. C. D.8.如图，在半径为1的中，直径AB把分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点与点A、B不重合，过点C作弦，垂足为E，的平分线交于点P，设，，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是( )A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9.分解因式：______.10.如图，线段，于点A，于点B，，，点P为线段AB上一动点，且以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，则AP的长为______.11.如图，在扇形OAB中，，点C是上的一个动点不与A，B重合，，，垂足分别为D，若，则扇形OAB的面积为______.12.已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：①，②，③，④，，⑤正确的序号是______.三、解答题：本题共4小题，共42分。
杭州实验外国语学校九年级（上）开学考数学卷参考答案与试题解析一、选择题：1．【解答】解：14 000 000 000=1.4×1010，故选：C．2．【解答】解：∵=3，∴的平方根是±．故选：D．3．【解答】解：A、是有理数，故A错误；B、2﹣2=是有理数，故B错误；C、5.是有理数，故C错误；D、sin45°=是无理数，故D正确．故选：D．4．【解答】解：a4﹣2a2+1=（a2﹣1）2=[（a+1）（a﹣1）]2=（a+1）2（a﹣1）2．故选：D．5．【解答】解：如图，C1，C2，C3，C4均可与点A和B组成直角三角形．P=，故选：D．6．【解答】解：分式方程去分母得：x﹣1﹣2x=3，故选：B．7．【解答】解：函数y=（x﹣1）2﹣4的顶点坐标为（1，﹣4），∵是向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到，∴1﹣2=﹣1，﹣4+3=﹣1，∴平移前的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），∴平移前的抛物线为y=（x+1）2﹣1，即y=x2+2x，∴b=2，c=0．故选：B．8．【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，∴AE=CE．在△ADE与△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴S△ADE=S△CFE．∵DE为△ABC的中位线，∴△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，∴S△ADE：S△ABC=1：4，∵S△ADE+S四边形BCED=S△ABC，∴S△ADE：S四边形BCED=1：3，∴S△CEF：S四边形BCED=1：3．故选：A．9．【解答】解：如图，过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，设l1，l2，l3间的距离为1，∵∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE，在等腰直角△ABC中，AC=BC，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CD=BE=1，在Rt△ACD中，AC===，在等腰直角△ABC中，AB=AC=×=，∴sinα==．故选：D．10．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB===5，过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，∵CM⊥AB，∴M为AD的中点，∵S△ABC=AC•BC=AB•CM，且AC=3，BC=4，AB=5，∴CM=，在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2=AM2+CM2，即9=AM2+（）2，解得：AM=，∴AD=2AM=．故选：A．二、填空题：11．【解答】解：原式=2+1﹣=3﹣2=1．故答案为：1．12．【解答】解：7的平方根为﹣，；7的立方根为，所以7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为﹣＜＜．故答案为：﹣＜＜．13．【解答】解：根据题意得：，解得：，则原式==1．故答案是：1．14．【解答】解：，①×2﹣②得﹣8y=1，y=﹣，把y=﹣代入②得2x﹣=5，x=，x2﹣4y2=（）=，故答案为：．15．【解答】解：法一：设x=0.45…，则x=0.45+1/100 x，解得x=45/99=5/11法二：设x=，则x=0.4545…①，根据等式性质得：100x=45.4545…②，由②﹣①得：100x﹣x=45.4545…﹣0.4545…，即：100x﹣x=45，99x=45解方程得：x==．故答案为：．16．【解答】解：①∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故①正确；②x=﹣2时，y=4a﹣2b+c，而题中条件不能判断此时y的正负，即4a﹣2b+c可能大于0，可能等于0，也可能小于0，故②错误；③如果设ax2+bx+c=0的两根为α、β（α＜β），那么根据图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜α或x＞β，故③错误；④∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，∴x=﹣2与x=4时的函数值相等，∵4＜5，∴当抛物线开口向上时，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，∴y1＜y2，故④正确．故答案为：①④．三、解答题：17．【解答】解：5xy﹣[x2+4xy﹣y2﹣（x2+2xy﹣2y2）]=5xy﹣[x2+4xy﹣y2﹣x2﹣2xy+2y2]，=5xy﹣[2xy+y2]，=5xy﹣2xy﹣y2，=3xy﹣y2，当x=﹣，y=﹣时，原式=3×（﹣）（﹣）﹣（﹣）2=﹣=．18．【解答】解：能；（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）=（4x2﹣y2）（x2﹣y2+3x2）=（4x2﹣y2）2，当y=kx，原式=（4x2﹣k2x2）2=（4﹣k2）2x4，令（4﹣k2）2=1，解得k=±或±，即当k=±或±时，原代数式可化简为x4．19．【解答】解：=﹣2，分式方程去分母得：2x=3a﹣4（x﹣1），移项合并得：6x=3a+4，解得；x=，∵分式方程的解为非负数，∴≥0且﹣1≠0，解得：a≥﹣且a≠．20．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴﹣﹣=1，∴b=﹣2∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），∴c=﹣3，∴抛物线的函数表达式为：y=x2﹣2x﹣3；∵抛物线与x轴交于A、B两点，当y=0时，x2﹣2x﹣3=0．∴x1=﹣1，x2=3．∵A点在B点左侧，∴A（﹣1，0），B（3，0）设过点B（3，0）、C（0，﹣3）的直线的函数表达式为y=kx+m，则，∴∴直线BC的函数表达式为y=x﹣3；（2）∵Rt△CDE 中∠CDE=90°，直线BC的解析式为y=x﹣3，∴∠OCB=45°，∵点D在对称轴x=1与直线y=x﹣3交点上，∴D坐标为（1，﹣2 ）Rt△CDE为等腰直角三角形易得E的坐标（0，﹣1），∵点P在CE垂直平分线上，∴点P纵坐标为﹣2，∵点P在y=x2﹣2x﹣3上，∴x2﹣2x﹣3=﹣2，解得：x=1±，∵P在第三象限，∴P的坐标为（1﹣，﹣2）；（3）过P作PK∥x轴，交直线BC于点K，设P（m，n），则n=m2﹣2m﹣3∵直线BC的解析式为y=x﹣3，∴K的坐标为（n+3，n），∴PK=n+3﹣m=m2﹣3m，∵S△PBC=S△PKC+S△PKB=，∴×3KP=∴m2﹣3m=，解得：m=﹣或，∵P在第三象限，∴P的坐标为（﹣，﹣）∵点P在CE垂直平分线上，∴E的坐标为（0，﹣）。
浙江省杭州市西湖区杭州外国语校2024届中考猜题数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，…，依次规律，第7个图形的小圆个数是()A．56 B．58 C．63 D．722．下列条件中不能判定三角形全等的是( )A．两角和其中一角的对边对应相等B．三条边对应相等C．两边和它们的夹角对应相等D．三个角对应相等3．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC=90°，CA⊥x轴，点C在函数y=kx（x＞0）的图象上，若AB=2，则k的值为（）A．4 B．2C．2 D2 4．下列命题中，正确的是（）A．菱形的对角线相等B．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．正方形的对角线不能相等D．正方形的对角线相等且互相垂直5．如图，矩形ABCD 中，12AB =，13BC =，以B 为圆心，BA 为半径画弧，交BC 于点E ，以D 为圆心，DA 为半径画弧，交BC 于点F ，则EF 的长为（ ）A ．3B ．4C ．92D ．56．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA 1⊥底面ABC ，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为（ ）A ．3B ．23C ．22D ．47．如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中绝对值最小的数对应的点是 ( )A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D8．在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，D 是AB 的中点，G 是△ABC 的重心，如果以点D 为圆心DG 为半径的圆和以点C 为圆心半径为r 的圆相交，那么r 的取值范围是（ ） A ．r ＜5B ．r ＞5C ．r ＜10D ．5＜r ＜109．2014年我省财政收入比2013年增长8.9%，2015年比2014年增长9.5%，若2013年和2015年我省财政收入分别为a 亿元和b 亿元，则a 、b 之间满足的关系式为（ ） A ． B ．C ．D ．10．若等式（-5）□5=–1成立，则□内的运算符号为（ ） A ．+B ．–C ．×D ．÷二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．分解因式：x2y﹣4xy+4y＝_____．12．在函数中，自变量x的取值范围是．13．分解因式：m3–m=_____．14．将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，则∠ABC=_________．15．在△ABC中，点D在边BC上，BD=2CD，AB a=，AC b=，那么AD= ．16．函数y=213xx+-的自变量x的取值范围是_____．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）在“双十一”购物街中，某儿童品牌玩具专卖店购进了A B、两种玩具，其中A类玩具的金价比B玩具的进价每个多3元.经调查发现：用900元购进A类玩具的数量与用750元购进B类玩具的数量相同.求A B、的进价分别是每个多少元？该玩具店共购进A B、了两类玩具共100个，若玩具店将每个A类玩具定价为30元出售，每个B类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得的利润不少于1080元，则该淘宝专卖店至少购进A类玩具多少个？18．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC相切于点D，与AB交于点E，连接ED并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：AE=AF；（2）若DE=3，sin∠BDE=13，求AC的长．19．（8分）. 在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣1、0、2，它们除了数字不同外，其他都完全相同．（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为；（2）小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标．再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标，请用树状图或表格列出点M 所有可能的坐标，并求出点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率．20．（8分）如图1，B（2m，0），C（3m，0）是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且m＞0，E（0，n）为y 轴上一动点，以BC为边在x轴上方作矩形ABCD，使AB=2BC，画射线OA，把△ADC绕点C逆时针旋转90°得△A′D′C′，连接ED′，抛物线2y ax bx c=++（0a≠）过E，A′两点．（1）填空：∠AOB= °，用m表示点A′的坐标：A′（，）；（2）当抛物线的顶点为A′，抛物线与线段AB交于点P，且13BPAP=时，△D′OE与△ABC是否相似？说明理由；（3）若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为点M，过M作MN⊥y轴，垂足为N：①求a，b，m满足的关系式；②当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为10，请你探究a的取值范围．21．（8分）某同学报名参加学校秋季运动会，有以下 5 个项目可供选择：径赛项目：100m、200m、1000m（分别用A1、A2、A3 表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用T1、T2 表示）．（1）该同学从 5 个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率P 为；（2）该同学从 5 个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1，利用列表法或树状图加以说明；（3）该同学从 5 个项目中任选两个，则两个项目都是径赛项目的概率P2 为．22．（10分）计算：4cos30°+|312|﹣（12）﹣1+（π﹣2018）023．（12分）若两个不重合的二次函数图象关于y 轴对称，则称这两个二次函数为“关于y 轴对称的二次函数”. （1）请写出两个“关于y 轴对称的二次函数”；（2）已知两个二次函数21y ax bx c =++和22y mx nx p =++是“关于y 轴对称的二次函数”，求函数12y y +的顶点坐标（用含,,a b c 的式子表示）.24．某品牌手机去年每台的售价y （元）与月份x 之间满足函数关系：y ＝﹣50x+2600，去年的月销量p （万台）与月份x 之间成一次函数关系，其中1﹣6月份的销售情况如下表：（1）求p 关于x 的函数关系式；（2）求该品牌手机在去年哪个月的销售金额最大？最大是多少万元？（3）今年1月份该品牌手机的售价比去年12月份下降了m%，而销售量也比去年12月份下降了1.5m%．今年2月份，经销商决定对该手机以1月份价格的“八折”销售，这样2月份的销售量比今年1月份增加了1.5万台．若今年2月份这种品牌手机的销售额为6400万元，求m 的值．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1、B 【解题分析】试题分析：第一个图形的小圆数量=1×2+2=4；第二个图形的小圆数量=2×3+2=8；第三个图形的小圆数量=3×4+2=14；则第n 个图形的小圆数量=n(n+1)+2个，则第七个图形的小圆数量=7×8+2=58个. 考点：规律题 2、D 【解题分析】解:A 、符合AAS ，能判定三角形全等； B 、符合SSS ，能判定三角形全等；； C 、符合SAS ，能判定三角形全等；D、满足AAA，没有相对应的判定方法，不能由此判定三角形全等；故选D．3、A【解题分析】【分析】作BD⊥AC于D，如图，先利用等腰直角三角形的性质得到AC=2AB=22，BD=AD=CD=2，再利用AC⊥x轴得到C（2，22），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算k的值．【题目详解】作BD⊥AC于D，如图，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=2AB=22，∴BD=AD=CD=2，∵AC⊥x轴，∴C（2，22），把C（2，22）代入y=kx得k=2×22=4，故选A．【题目点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k是解题的关键.4、D【解题分析】根据菱形，平行四边形，正方形的性质定理判断即可．【题目详解】A.菱形的对角线不一定相等，A 错误；B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，B 错误；C. 正方形的对角线相等，C错误；D.正方形的对角线相等且互相垂直，D 正确； 故选：D ． 【题目点拨】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 5、B 【解题分析】连接DF ，在Rt DCF △中，利用勾股定理求出CF 的长度，则EF 的长度可求． 【题目详解】 连接DF ，∵四边形ABCD 是矩形∴12,13AB CD BE AD BC DF ====== 在Rt DCF △中，90C ∠=︒222213125CF DF CD ∴=--=13121EC BC BE =-=-= 514EF CF EC ∴=-=-=故选：B ． 【题目点拨】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键． 6、B 【解题分析】分析：易得等边三角形的高，那么左视图的面积=等边三角形的高×侧棱长，把相关数值代入即可求解． 详解：∵三棱柱的底面为等边三角形，边长为2，作出等边三角形的高CD 后， ∴等边三角形的高223AC AD -=2×33=故选B ．点睛：本题主要考查的是由三视图判断几何体．解决本题的关键是得到求左视图的面积的等量关系，难点是得到侧面积的宽度． 7、B 【解题分析】试题分析：在数轴上，离原点越近则说明这个点所表示的数的绝对值越小，根据数轴可知本题中点B 所表示的数的绝对值最小．故选B ． 8、D 【解题分析】延长CD 交⊙D 于点E ，∵∠ACB=90°，AC=12，BC=9，∴AB=22AC BC +=15，∵D 是AB 中点，∴CD=115AB=22， ∵G 是△ABC 的重心，∴CG=2CD 3=5，DG=2.5，∴CE=CD+DE=CD+DF=10， ∵⊙C 与⊙D 相交，⊙C 的半径为r ， ∴ 510r <<， 故选D.【题目点拨】本题考查了三角形的重心的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、两圆相交等，根据知求出CG 的长是解题的关键. 9、C 【解题分析】根据2013年我省财政收入和2014年我省财政收入比2013年增长8.9%，求出2014年我省财政收入，再根据出2015年比2014年增长9.5%，2015年我省财政收为b 亿元，即可得出a 、b 之间的关系式． 【题目详解】∵2013年我省财政收入为a 亿元，2014年我省财政收入比2013年增长8.9%， ∴2014年我省财政收入为a （1+8.9%）亿元，∵2015年比2014年增长9.5%，2015年我省财政收为b 亿元， ∴2015年我省财政收为b=a （1+8.9%）（1+9.5%）； 故选C ． 【题目点拨】此题考查了列代数式，关键是根据题意求出2014年我省财政的收入，是一道基础题． 10、D 【解题分析】根据有理数的除法可以解答本题． 【题目详解】解：∵（﹣5）÷5=﹣1， ∴等式（﹣5）□5=﹣1成立，则□内的运算符号为÷， 故选D ． 【题目点拨】考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数的混合运算的计算方法．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11、y (x -2)2 【解题分析】先提取公因式y ，再根据完全平方公式分解即可得. 【题目详解】原式=2(44)y x x -+=2(2)y x -， 故答案为2(2)y x -． 12、。
2022-2023学年浙江省杭州外国语学校九年级（上）开学数学试卷（附答案与解析）一、选择题1．一次函数y＝6x+1的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（）A．m＝3，n＝2B．m＝﹣3，n＝2C．m＝2，n＝3D．m＝﹣2，n＝﹣3 3．对于反比例函数，如果当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y＝4，则当x≥8时，有（）A．最小值y＝B．最小值y＝﹣1C．最大值y＝D．最大值y＝﹣14．若点A（2，﹣3）、B（4，3）、C（5，a）在同一条直线上，则a的值是（）A．6或﹣6B．6C．﹣6D．6和35．如图，反比例函数和正比例函数y2＝k2x的图象交于A（﹣1，﹣3）、B（1，3）两点，若，则x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜0B．﹣1＜x＜1C．x＜﹣1或0＜x＜1D．﹣1＜x＜0或x＞16．把二次函数y＝ax2+bx+c的图象向左平移4个单位或向右平移1个单位后都会经过原点，则二次函数图象的对称轴与x轴的交点是（）A．（﹣2.5，0）B．（2.5，0）C．（﹣1.5，0）D．（1.5，0）7．若点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且y1＜y3＜y2，则m的取值范围是（）A．﹣3＜m＜1B．﹣5＜m＜﹣1或﹣3＜m＜1C．m＜﹣3或m＞1D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于A、C（3，0）两点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为（0，﹣1），连接PD，则PD+PC的最小值是（）A．4B．2+2C．2D．+二、填空题：9．给出下列函数：①y＝2x；②y＝﹣2x+1；③y＝；④y＝（x＞0）．其中y随x的增大而减小的函数是．10．若方程组无解，则y＝kx﹣2图象不经过第象限．11．已知点、是反比例函数图象上的两个点，且a＜0，b＞0，则a+b＝．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象上一动点，AB⊥y轴，垂足为B，以AB为边作正方形ABCD，其中CD在AB上方，连接OA，则OA2﹣OC2＝．13．如图，直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段AB上一动点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，连接MN，则MN的最小值为．14．二次函数y＝（x﹣）（mx﹣6m），其中m＞0，下列结论：①该函数图象与坐标轴必有3个交点；②当x＞3时，都有y随x的增大而增大；③若当x＜n时，都有y随x的增大而减小，则n≤3+；④该函数图象与直线y＝﹣x+6的交点不随m的取值变化而变化，其中正确的结论序号是．三、解答题15．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）两点．（1）求m的值；（2）求出一次函数与反比例函数的表达式；（3）过点P（a，0）作x轴的垂线，与直线y＝k1x+b和函数（x＞0）的图象的交点分别为点M，N，当点M在点N下方时，写出a的取值范围．16．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s和t之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？17．设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x＝时，y＝﹣．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜．2022-2023学年浙江省杭州外国语学校九年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．一次函数y＝6x+1的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先判断出一次函数y＝6x+1中k的符号，再根据一次函数的性质进行解答即可．【解答】解：∵一次函数y＝6x+1中k＝6＞0，b＝1＞0，∴此函数经过一、二、三象限，故选：D．【点评】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0时，函数图象经过一、三象限，当b＞0时，函数图象与y轴正半轴相交．2．在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（）A．m＝3，n＝2B．m＝﹣3，n＝2C．m＝2，n＝3D．m＝﹣2，n＝﹣3【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出答案．【解答】解：∵点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，∴m＝﹣3，n＝2．故选：B．【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．3．对于反比例函数，如果当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y＝4，则当x≥8时，有（）A．最小值y＝B．最小值y＝﹣1C．最大值y＝D．最大值y＝﹣1【分析】根据自变量的取值范围、函数的最大值，可得图象位于第二象限，根据第二象限内反比例函数y随x的增大而增大，可得最大值时的自变量，根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据自变量的取值范围，可得函数值的取值范围．【解答】解：由当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y＝4，得x＝﹣1时，y＝4．k＝﹣1×4＝﹣4，反比例函数解析式为y＝﹣，当x≥8时，图象位于第四象限，y随x的增大而增大，当x＝8时，y最小值＝﹣，故选：A．【点评】本题考查了反比例函数的性质，利用当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y＝4得出函数图象位于第二项是解题关键．4．若点A（2，﹣3）、B（4，3）、C（5，a）在同一条直线上，则a的值是（）A．6或﹣6B．6C．﹣6D．6和3【分析】根据一次函数的特点，设一次函数的解析式为y＝kx+b，然后把这三个点的坐标代入，解方程组，即可求出a的值．【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx+b，把A（2，﹣3）、B（4，3）、C（5，a）代入得，解得．a的值是6．故选：B．【点评】本题要注意利用一次函数的特点，列出方程组，求出未知数．5．如图，反比例函数和正比例函数y2＝k2x的图象交于A（﹣1，﹣3）、B（1，3）两点，若，则x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜0B．﹣1＜x＜1C．x＜﹣1或0＜x＜1D．﹣1＜x＜0或x＞1【分析】根据图象的交点坐标及函数的大小关系，直接解答．要充分利用函数图象所给的信息解答．【解答】解：由图可知，在A点左侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时x＜﹣1；在B点左侧，y轴的右侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时0＜x＜1．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，将关于算式的问题转化为图象问题是解题的关键．6．把二次函数y＝ax2+bx+c的图象向左平移4个单位或向右平移1个单位后都会经过原点，则二次函数图象的对称轴与x轴的交点是（）A．（﹣2.5，0）B．（2.5，0）C．（﹣1.5，0）D．（1.5，0）【分析】先根据解析式“上加下减，左加右减”的平移规律分别得到二次函数y＝ax2+bx+c 的图象向左平移4个单位或向右平移1个单位后的解析式，再将原点（0，0）分别代入，得16a+4b+c＝0①，a﹣b+c＝0②，再将①﹣②，得出b＝﹣3a，求出﹣＝﹣＝1.5，进而得到二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴与x轴的交点坐标．【解答】解：∵y＝ax2+bx+c＝a（x+）2+，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象向左平移4个单位得到y＝a（x++4）2+，将原点（0，0）代入，得a（+4）2+＝0，整理，得16a+4b+c＝0①．二次函数y＝ax2+bx+c的图象向右平移1个单位得到y＝a（x+﹣1）2+，将原点（0，0）代入，得a（﹣1）2+＝0，整理，得a﹣b+c＝0②．①﹣②，得15a+5b＝0，b＝﹣3a，∴﹣＝﹣＝1.5，∴二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴与x轴的交点是（1.5，0）．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，难度适中．正确求出平移后的解析式是解题的关键．7．若点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且y1＜y3＜y2，则m的取值范围是（）A．﹣3＜m＜1B．﹣5＜m＜﹣1或﹣3＜m＜1C．m＜﹣3或m＞1D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1【分析】根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为x＝﹣2，分两种情况讨论，根据图象上点的坐标特征，得到关于m的不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：抛物线y＝ax2+4ax+c的对称轴为x＝﹣＝﹣2，∵点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且y1＜y3＜y2，∴当a＜0，则|m+2|＜1且|m+2|＞3，（不存在）；当a＞0，则1＜|m+2|＜3，解得﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据二次函数的性质找出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的性质结合二次函数的对称轴找出不等式是关键．8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于A、C（3，0）两点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为（0，﹣1），连接PD，则PD+PC的最小值是（）A．4B．2+2C．2D．+【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据PD+PC＝（PD+PC）＝（DP+PJ），求出DP+PJ的最小值即可解决问题．【解答】解：连接BC，过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H，把C（3，0）代入y＝﹣x2+bx+3，得﹣9+3b+3＝0，解得b＝2，∴二次函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），令x＝0，y＝﹣x2+2x+3＝3，∴B（0，3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，﹣1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，∴DH＝BD•sin45°＝2，∵PJ⊥CB，∴∠PJC＝90°，∴PJ＝PC，∴PD+PC＝（PD+PC）＝（DP+PJ），∵DP+PJ≥DH，∴DP+PJ≥2，∴DP+PJ的最小值为2，∴PD+PC的最小值为4．故选：A．【点评】本题考查垂线段最短，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．属于中考选择题中的压轴题．二、填空题：9．给出下列函数：①y＝2x；②y＝﹣2x+1；③y＝；④y＝（x＞0）．其中y随x的增大而减小的函数是②④．【分析】利用一次函数、正比例函数及反比例函数的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①y＝2x，正比例函数，k＞0，故y随着x增大而增大，不符合题意；②y＝﹣2x+1，一次函数，k＜0，故y随着x的增大而减小，符合题意；③y＝，反比例函数，k＞0，故在第一象限内y随x的增大而减小，不符合题意；④y＝（x＞0），反比例函数，k＞0，故在第一象限内y随x的增大而减小，符合题意；故答案为：②④．【点评】本题综合考查了一次函数、反比例函数、正比例函数的增减性（单调性），解题的关键是能够熟知每种函数的性质，是一道难度中等的题目．10．若方程组无解，则y＝kx﹣2图象不经过第二象限．【分析】根据方程组无解可得k＝1，即可判断y＝kx﹣2图象不经过的象限．【解答】解：方程组，∴2kx﹣3＝（3k﹣1）x+2，∴（k﹣1）x＝﹣5，∵方程组无解，∴k﹣1＝0，∴k＝1，∴y＝kx﹣2图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故答案为：二．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的性质和解二元一次方程组是解题的关键．11．已知点、是反比例函数图象上的两个点，且a＜0，b＞0，则a+b＝2．【分析】根据反比例函数图象上的点的坐标特征可得出k＝a（﹣）＝b（﹣b+1），对等式进行化简可得出结论．【解答】解：∵点、是反比例函数图象上的两个点，∴k＝a（﹣）＝b（﹣b+1），整理得，2（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），∵a＞0，b＜0，∴a≠b，∴a﹣b≠0，∴a+b＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，根据反比例函数上点的坐标特征得出a，b之间的关系是解题关键．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象上一动点，AB⊥y轴，垂足为B，以AB为边作正方形ABCD，其中CD在AB上方，连接OA，则OA2﹣OC2＝8．【分析】利用反比例函数系数k的几何意义、正方形的性质以及勾股定理即可求得OA2﹣OC2＝8．【解答】解：正方形ABCD中，BC＝AB，∴OC＝BC﹣OB＝AB﹣OB，∵点A为反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象上一动点，AB⊥y轴，垂足为B，∴AB•OB＝4，OA2＝AB2+OB2，∴OA2﹣OC2＝AB2+OB2﹣（AB﹣OB）2＝2AB•OB＝2×4＝8，故答案为：8．【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用以及反比例函数系数k的几何意义，得出OC＝BC﹣OB＝AB﹣OB，AB•OB＝4，OA2＝AB2+OB2是解题的关键．13．如图，直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段AB上一动点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，连接MN，则MN的最小值为．【分析】连接OP，易得四边形ONPM是矩形，可得OP＝MN，在Rt△AOB中，当OP ⊥AB时，OP最短，即MN最小，利用三角形的面积可得OP的值，即当点P运动到使OP⊥AB于点P时，MN最小，最小值为．【解答】解：连接OP，由已知可得∠PMO＝∠MON＝∠ONP＝90°，∴四边形ONPM是矩形，∴OP＝MN，在Rt△AOB中，当OP⊥AB时，OP最短，即MN最小，∵直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（2，0），B（0，4），∴AO＝2，BO＝4，∴AB＝＝2，∵S△AOB＝AO•BO＝AB•OP，∴2×4＝2•OP，∴OP＝，∴MN＝，即当点P运动到使OP⊥AB于点P时，MN最小，最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识，解题的关键是得出OP⊥AB时，OP最短，即MN最小，．14．二次函数y＝（x﹣）（mx﹣6m），其中m＞0，下列结论：①该函数图象与坐标轴必有3个交点；②当x＞3时，都有y随x的增大而增大；③若当x＜n时，都有y随x的增大而减小，则n≤3+；④该函数图象与直线y＝﹣x+6的交点不随m的取值变化而变化，其中正确的结论序号是③．【分析】先把二次函数化简为一般式，求得对称轴与△，再根据二次函数的性质进行判断即可．【解答】解：∵y＝（x﹣）•（mx﹣6m）＝mx2﹣（6m+1）x+6，∴对称轴为x＝﹣＝3+，Δ＝[﹣（6m+1）]2﹣24m＝（6m﹣1）2≥0，①、该函数图象与坐标轴必有两个交点，此选项错误；②、当x＞3+时，y随x的增大而增大，此选项错误；③、当x＜3+时，即x≤3+，y随x的增大而减小，此选项正确；④、由（x﹣）•（mx﹣6m）＝﹣x+6，得出mx﹣1＝﹣1，得出x＝0，说明图象与直线y＝﹣x+6的交点不随m的取值变化而变化，此选项错误．故答案为：③．【点评】此题考查二次函数的性质，掌握对称轴的求法，抛物线与x轴的交点坐标判定，二次函数的增减性是解决问题的关键．三、解答题15．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）两点．（1）求m的值；（2）求出一次函数与反比例函数的表达式；（3）过点P（a，0）作x轴的垂线，与直线y＝k1x+b和函数（x＞0）的图象的交点分别为点M，N，当点M在点N下方时，写出a的取值范围．【分析】（1）由反比例函数的性质可以求出m的值；（2）列出关于k1与b的二元一次方程组，解方程组，进而可得到一次函数解析式，由反比例函数的概念可得反比例函数的解析式；（3）观察图象，再利用一次函数和反比例函数的性质即可得出a的取值范围．【解答】解：（1）由反比例函数概念可得m（m+1）＝（m+3）（m﹣1），解得m＝3；（2）将点A（3，4），B（6，2）代入y＝k1x+b得，解得：k1＝﹣，b＝6，所以一次函数的解析式为．由k2＝3×4＝12，可得反比例函数的解析式为y＝（x＞0）；（3）∵两函数的交点坐标是A（3，4），B（6，2），∴当点M在点N下方时，a的取值范围是0＜a＜3或a＞6．【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数图象的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，能求出A、B的坐标是解此题的关键．16．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s和t之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？【分析】（1）本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题，应根据图象以及题目中所给的信息来列出S与t之间的函数关系式；（2）把S＝30代入累计利润S＝t2﹣2t的函数关系式里，求得月份；（3）分别t＝7，t＝8，代入函数解析S＝t2﹣2t，再把总利润相减就可得出．【解答】解：（1）由图象可知其顶点坐标为（2，﹣2），故可设其函数关系式为：S＝a（t﹣2）2﹣2．∵所求函数关系式的图象过（0，0），于是得：a（0﹣2）2﹣2＝0，解得a＝．∴所求函数关系式为：S＝（t﹣2）2﹣2，即S＝t2﹣2t．答：累积利润S与时间t之间的函数关系式为：S＝t2﹣2t；（2）把S＝30代入S＝（t﹣2）2﹣2，得（t﹣2）2﹣2＝30．解得t1＝10，t2＝﹣6（舍去）．答：截止到10月末公司累积利润可达30万元．（3）把t＝7代入关系式，得S＝×72﹣2×7＝10.5，把t＝8代入关系式，得S＝×82﹣2×8＝16，16﹣10.5＝5.5，答：第8个月公司所获利是5.5万元．【点评】此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，尤其是对本题图象中所给的信息是解决问题的关键．17．设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x＝时，y＝﹣．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜．【分析】（1）将（0，0），（1，0）代入y＝（x﹣x1）（x﹣x2）求出函数解析式即可求解；（2）对称轴为x＝，当x＝时，y＝﹣是函数的最小值；（3）将已知两点代入求出m＝x1x2，n＝1﹣x1﹣x2+x1x2，再表示出mn＝[﹣][﹣]，由已知0＜x1＜x2＜1，可求出0＜﹣≤，0＜﹣≤，即可求解．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；∴二次函数经过点（0，0），（1，0），∴x1＝0，x2＝1，∴y＝x（x﹣1）＝x2﹣x，当x＝时，y＝﹣，∴乙说的不对；（2）∵y＝（x﹣x1）（x﹣x2）＝x2﹣（x1+x2）x+x1x2＝（x﹣）2﹣，∴当x＝时，y＝﹣是函数的最小值；（3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点，∴m＝x1x2，n＝（1﹣x1）（1﹣x2），∴mn＝x1•x2（1﹣x1）（1﹣x2）＝（x1﹣x12）（x2﹣x22）＝[﹣][﹣]∵0＜x1＜x2＜1，∴0＜﹣≤，0＜﹣≤，∵x1≠x2，∴mn不能取到，∴0＜mn＜．【点评】本题考查二次函数的性质；函数最值的求法；熟练掌握二次函数的性质，能够将mn准确地用x1和x2表示出来是解题的关键．。
杭州外国语学校2022—1初三年级第三次月考数学试卷（问卷）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请将正确答案填在答题卷的相应位置上）1.下列图案中，既是中心对称又是轴对称的图案是（）A. B. C. D.2.2020年6月23日，我国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．2020年我国卫星导航与位置服务产业总体产值达到4000亿元，2021年我国卫星导航与位置服务产业总体产值预计比2020年增长20%，请预计该产业在2021年的总体产值，并用科学记数法表示为（）A.11410⨯元B.12410⨯元C.124.810⨯元D.114.810⨯元3.下列计算中正确的是（）A.236236x x x ⨯= B.()32628x x -=-C .()()22339a b a b a b -++=- D.()22224a b a b +=+4.能说明命题“关于x 的方程240x x m -+=一定有实数根”是假命题的反例为（）A.1m =- B.0m = C.4m = D.5m =5.甲、乙、丙、丁四人10次随堂测验的成绩如图所示，从图中可以看出这10次测验平均成绩较高且较稳定的是（）A. B.C. D. 6.如图，五边形ABCDE 是正五边形，若12l l ∥，则αβ∠-∠=（）A.72︒B.78︒C.84︒D.90︒7.如图，ABC 是O 的内接三角形，30C ∠=︒，O 的半径为2cm ，若点P 是O 上的一点，PB AB =，则PA 的长为（） A.22cm B.23cm C.3cm D.2cm8.如图，直线y ax b =+与x 轴相交于点()1,0A ，与函数k y x =的图象交于点B 、C ，点B 的横坐标是4，点C 的横坐标是3-，则不等式组0k ax b x <+<的解是（）A.31x -<<B.34x -<<C.30x -<<D.01x <<9.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，EF BD ∥，在现有点、线及字母的情况下，图中能表示的与ADF △面积相等的（除ADF △外）三角形有（） A.3个 B.4个 C.5个D.6个10.如图，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，过点A 作AF BC ∥，以点B 为圆心，BC 为半径画弧交AF 于点D ，连接BD 交AC 于点E ，下列四个结论：①DC 平分BDF ∠；②75BDC ∠=︒；③CDE BDC ∽；④2·AD AE AC =．则其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11.分解因式：221218x y xy y -+=______.12.已知25x =-是一元二次方程240x x m -+=的一个根，则m =______，方程的另一个根是______．13.如图，网格是正方形网格，点A ，B ，C 是网格线交点，设BAC α∠=，则tan α=______．14.如图，一次函数334y x =-+的图像与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，点D ，E 分别在线段AB 、AO 上，连接DE 将ADE V 沿DE 折叠，点A 的对应点C 恰好在y 轴上，且CD 平分BCE ∠，则点D 的坐标是______．15.关于x 的不等式组25120x x a +>⎧⎨-≤⎩恰有3个整数解，则实数a 的取值范围是______．16.如图，二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，一次函数y kx m =+的图象与该图象相交于两个不同的点()11,A x y 、点()22,B x y ，设1x ，2x 的平均数为0x ，点()00,C x y 也是二次函数的图象上一点，现有下列结论：（1）0a >；（2）点C 可能是二次函数的图象顶点；（3）1202y y y +>；（4）120122y y ax b x x -=+-．其中正确的结论是______．（填序号）三、解答题（本题有7小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）17.计算：（1）计算：101(2021)2π-⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）先化简，再求值：2221462a a a a a a a-÷-----，其中3a =-18.为了解市区A 校落实双减政策的情况，有关部门抽查了A 校901班同学，以该班同学参加课外活动的情况为样本，对参加“球类”、“绘画类”、“舞蹈类”、“音乐类”、“棋类”活动的情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图.（1）该班参加球类活动的学生占班级人数的百分比是______；（2）请把图2（条形统计图）补充完整：（3）该校学生共720人，则参加棋类活动的人数约为______.（4）该班参加舞蹈类活动的4位同学中，恰有2位男生（分别用E F ，表示）和2位女生（分别用G H ，表示），现准备从中选取两名同学组成舞伴，请用列表或画树状图的方法求恰好选中一男一女的概率.19.已知关于x 的方程()22210x a x a +-+=．（1）若方程有两个实数解，求实数a 的取值范围：（2）若方程的两个实数解是1x ，2x ，满足21x x a -=，求实数a 的值．20.如图，平行四边形OABC 的边OA 在x 轴的正半轴上，60AOC ∠=︒，12OC =，CD 平分∠OCB ，CD 交OA 于点D ，作DE ⊥CD 交AB 于点E ，反比例函数()0k y x x=>的图象经过点C 与点E ．（1）求k 的值及直线CD 的解析式；（2）求证：AD AE =；（3）求点E 的坐标．21.天天鲜果是一家基于互联网技术的现代农业服务供应商，提供高品质新鲜水果产品和个性化直销服务.天天鲜果旗下的电商平台，在2021年5月举行了为期一个月的新鲜水果产品优惠促销活动，经市场调查发现，某种新鲜水果的周销售量y （箱）是关于售价x （元/箱）的一次函数，下表仅列出了该新鲜水果的售价x （元/箱），周销售量y （箱），周销售利润W （元）的三组对应值数据.x456080y1359030w 337536001800（1）求y 关于x 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）若该新鲜水果进价a （元/箱），售价x 为多少时，周销售利润W 最大？并求出此时的最大利润；（3）因疫情期间，该新鲜水果进价提高了m （元/箱）（0m >），公司为回馈广大消费者，规定该新鲜水果的售价x 不得超过55（元/箱），且该新鲜水果在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是3150元，求m 的值.22.在平面直角坐标系中，设二次函数()22231y ax a x a =----，实数0a ≠（1）若二次函数图象经过点（-2，-10），求这个二次函数的解析式及顶点坐标：（2）若二次函数图象上始终存在两个不同点，这两个点关于原点对称，求a 的取值范围；（3）若0a >，设点()1,M m y ，()2,N n y 是二次函数图象上两个不同点，且20m n ++=，求证：126y y +>-.23.已知，点E 是正方形ABCD 的边CD 上一个动点，直线CF BE ⊥于点F ，连结AF ．（1）如图1，点E 运动到边CD 的中点，求证：AF AB =；（2）如图2，AFB △的外接圆交BC 于点G ，连结FG ，求证：CFG BFA ∽；（3）如图3，已知正方形ABCD 的边长为2，设CE x =，用y 表示AFB △与CFB 的面积之和，求y 关于x 的函数解析式及其最大值．杭州外国语学校2022—1初三年级第三次月考数学试卷（问卷）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请将正确答案填在答题卷的相应位置上）1.下列图案中，既是中心对称又是轴对称的图案是（）A. B. C. D.D【详解】A ．是轴对称图形，不是中心对称图形．故选项错误；B ．不是轴对称图形，是中心对称图形．故选项错误；C ．是轴对称图形，不是中心对称图形．故选项错误；D ．是轴对称图形，也是中心对称图形．故选项正确；故选D ．【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的识别，牢记轴对称图形和中心对称图形的概念是解答本题的关键．2.2020年6月23日，我国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．2020年我国卫星导航与位置服务产业总体产值达到4000亿元，2021年我国卫星导航与位置服务产业总体产值预计比2020年增长20%，请预计该产业在2021年的总体产值，并用科学记数法表示为（）A.11410⨯元B.12410⨯元C.124.810⨯元D.114.810⨯元D【分析】先根据2021年我国卫星导航与位置服务产业总体产值预计比2020年增长20%，求出2021年的总体产值，再用科学记数法进行表示即可．【详解】解：由题意，得，2021年的总体产值为：()4000120%4800⨯+=亿元，4800亿114.810=⨯；故选D ．【点睛】本题考查科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示方法：10,110n a a ⨯≤<，是解题的关键．3.下列计算中正确的是（）A.236236x x x ⨯= B.()32628x x -=-C.()()22339a b a b a b -++=- D.()22224a b a b +=+B【分析】根据单项式乘单项式，积的乘方，平方差公式，完全平方公式的法则，逐一进行判断即可．【详解】解：A 、235236x x x ⨯=，选项错误，不符合题意；B 、()32628x x -=-，选项正确，符合题意；C 、()()22339a b a b b a -++=-，选项错误，不符合题意；D 、()222244a b a ab b +=++，选项错误，不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查单项式乘单项式，积的乘方，平方差公式，完全平方公式．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．4.能说明命题“关于x 的方程240x x m -+=一定有实数根”是假命题的反例为（）A.1m =- B.0m = C.4m = D.5m =D【分析】利用m=5使方程x 2-4x+m=0没有实数解，从而可把m=5作为说明命题“关于x 的方程x 2-4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例．【详解】当m=5时，方程变形为x 2-4x+m=5=0，因为△=（-4）2-4×5＜0，所以方程没有实数解，所以m=5可作为说明命题“关于x 的方程x 2-4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例．故选D ．【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．5.甲、乙、丙、丁四人10次随堂测验的成绩如图所示，从图中可以看出这10次测验平均成绩较高且较稳定的是（）A. B.C. D.B【分析】利用平均数和方差的意义进行判断．【详解】解：由折线统计图得：乙，丙的成绩在92附近波动，甲、丁的成绩在91附近波动，∴乙，丙的平均成绩高于甲、丁，由折线统计图得：丙成绩的波动幅度小于丁成绩的波动幅度，∴这四人中乙的平均成绩好又发挥稳定，故选：B ．【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，与平均值的离散程度越差，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了折线统计图．6.如图，五边形ABCDE 是正五边形，若12l l ∥，则αβ∠-∠=（）A.72︒B.78︒C.84︒D.90︒A 【分析】过点B 作1BF l ∥，可得12BF l l ∥∥根据平行线的性质，CBF β∠=∠，180ABF α∠=︒-∠，再根据正多边形的性质可得ABC ∠的度数，即可求解．【详解】解：过点B 作1BF l ∥，如图：∵12l l ∥，∴12BF l l ∥∥，∴CBF β∠=∠，180ABF α∠+∠=︒，∴180ABF α∠=︒-∠，又∵五边形ABCDE 是正五边形，∴()180521085︒⨯-∠==︒ABC ，又∵ABC ABF CBF ∠=∠+∠，∴108180βα︒=∠+︒-∠∴72αβ∠-∠=︒．故选：A ．【点睛】此题考查了平行线的性质以及正多边形的性质，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．7.如图，ABC 是O 的内接三角形，30C ∠=︒，O 的半径为2cm ，若点P 是O 上的一点，PB AB =，则PA 的长为（）A. B. C. D.2cmB 【分析】连接OA 、OP ，连接OB 交AP 于H ，根据圆周角定理得到260AOBC ∠=∠=︒，根据正弦的概念和垂径定理计算即可．【详解】解：连接OA 、OP ，连接OB 交AP 于H ，由圆周角定理得，260AOB C ∠=∠=︒，∵PB AB =，∴60POB AOB ∠=∠=︒，OB AP ⊥，则)sin 2sin 60cm AH PH OP POH ==⋅∠=⨯︒=，∴)2cm PA AH ==，故选：B ．【点睛】本题考查的是圆的的内接三角形，掌握圆周角定理、解直角三角形的知识是解题的关键．8.如图，直线y ax b =+与x 轴相交于点()1,0A ，与函数k y x =的图象交于点B 、C ，点B 的横坐标是4，点C 的横坐标是3-，则不等式组0k ax b x <+<的解是（）A.31x -<<B.34x -<<C.30x -<<D.01x <<C 【分析】观察图象可得当30x -<<时，直线y ax b =+位于x 轴的上方，反比例函数k y x =的图象的下方，即可求解．【详解】解：观察图象得：当30x -<<时，直线y ax b =+位于x 轴的上方，反比例函数k y x =的图象的下方，∴不等式组0k ax b x <+<的解是30x -<<．故选：C【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键．9.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，EF BD ∥，在现有点、线及字母的情况下，图中能表示的与ADF △面积相等的（除ADF △外）三角形有（）A.3个B.4个C.5个D.6个C【分析】找面积相等的三角形即找到等底等高的三角形即可．【详解】 E 为BC 的中点，EF BD ∥，∴F 为CD 中点，四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC =，CD AB =，∴AF 是ACD 的中线，AE 是ABC 的中线，BF 是BCD △的中线，∴ADF BCF ABE ACE ACF BDF S S S S S S ===== ，能表示的与ADF △面积相等的（除ADF △外）三角形有5个，故选：C ．【点睛】本题考查中位线的性质、平行四边形的性质、中线的性质，熟记三角形的中线把一个三角形分成面积相等的两部分是解题的关键．10.如图，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，过点A 作AF BC ∥，以点B 为圆心，BC 为半径画弧交AF 于点D ，连接BD 交AC 于点E ，下列四个结论：①DC 平分BDF ∠；②75BDC ∠=︒；③CDE BDC ∽；④2·AD AE AC =．则其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个D【分析】证明BDC BCD ∠=∠与CDF BCD ∠=∠可判断①；如图，以B 为圆心，BD 为半径画圆，延长CA ，交B 于G ，连接AG ，BG ，延长DA 交BG 于H ，证明1122BH GH BG BD ===可判断②；证明30DCE DBC ∠=∠=︒，可判断③；由30ADB ACD ∠=∠=︒，EAD DAC ∠=∠，证明ADE ACD △∽△，可判断④．【详解】解：∵BC BD =，∴BDC BCD ∠=∠，∵AF BC ∥，∴CDF BCD ∠=∠，∴CDF BDC ∠=∠，∴DC 平分BDF ∠；故①符合题意；如图，以B 为圆心，BD 为半径画圆，延长CA ，交B 于G ，连接AG ，BG ，延长DA 交BG 于H ，∵90BAC ∠=︒，AB AC =，∴45ABC ACB ∠=∠=︒，∵AF BC ∥，∴45BAH ABC ∠=∠=︒，∵90BAC ∠=︒，BA 过圆心，∴AC AG =，45CBA GBA ∠=∠=︒，∴45HBA HAB ∠=∠=︒，BH AH =，180454590AHB ∠=︒-︒-︒=︒，同理：45HAG ACB G ∠=∠=︒=∠，∴AH GH =，∴1122BH GH BG BD ===，∴1sin 2BH BDH BD ∠==，∴30BDH ∠=︒，903060DBH ∠=︒-︒=︒，∴()118030752CDF BDC ∠=∠=︒-︒=︒，故②符合题意；∴75BCD ∠=︒，18027530DBC ∠=︒-⨯︒=︒，∵1302DCG DBH ∠=∠=︒，∴DCE DBC ∠=∠，而BDC EDC ∠=∠，∴CDE BDC ∽，故③符合题意；∵30ADB ACD ∠=∠=︒，而EAD DAC ∠=∠，∴ADE ACD △∽△，∴AD AE AC AD=，∴2·AD AE AC =，故④符合题意；综上：符合题意的有①②③④；故选D ．【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质与判定，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，作出准确的辅助线是解本题的关键．二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11.分解因式：221218x y xy y -+=______.22(3)y x -【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可．【详解】因为()()2222121826923x y xy y y x x y x -+=-+=-，故答案为：22(3)y x -．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，后用公式法分解因式是解题的关键．12.已知2x =-是一元二次方程240x x m -+=的一个根，则m =______，方程的另一个根是______．①.1-②.2+【分析】利用根与系数的关系：1212,b c x x x x a a+=-=，进行求解即可．【详解】解：设方程的另一个根为：a ，∵1212,b c x x x x a a+=-=∴24a =，∴2a =+∴(22451m =+-=-=-；故答案为：1-，2+【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握根与系数的关系：1212,b c x x x x a a +=-=，是解题的关键．13.如图，网格是正方形网格，点A ，B ，C 是网格线交点，设BAC α∠=，则tan α=______．13【分析】过点B 作BD AC ⊥，利用勾股定理求出,,AB AC BC ，利用等积法求出BD ，再利用勾股定理求出AD ，利用tan BD ADα=，进行计算即可．【详解】解：设小正方形的边长为：1，则：由图可知：AB BC ===5AC ==，11153411213432222ABC S =⨯--⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯= ，过点B 作BD AC ⊥，交AC 于点D ，则：1155222ABC S AC BD BD =⋅=⨯⋅= ，∴1BD =，∴3AD ===，∴1tan 3BD AD α==．故答案为：13．【点睛】本题考查网格中的三角函数值．熟练掌握勾股定理和等积法求线段的长度，是解题的关键．14.如图，一次函数334y x =-+的图像与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，点D ，E 分别在线段AB 、AO 上，连接DE 将ADE V 沿DE 折叠，点A 的对应点C 恰好在y 轴上，且CD 平分BCE ∠，则点D 的坐标是______．1212,77⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】过点D 作DM x ⊥轴于点M ，DN y ⊥轴于点N ，DF CE ⊥交CE 于点F ，利用角平分线的性质可得，DF DN =，利用折叠，得到DF DM =，进而得到DM DN =，即D 点的横纵坐标相等，设(),D a a ，代入一次函数解析式，求出a 值，即可得解．【详解】解：如图，过点D 作DM x ⊥轴于点M ，DN y ⊥轴于点N ，DF CE ⊥交CE 于点F ，∵CD 平分BCE ∠，∴DF DN =，∵DE 将ADE V 沿DE 折叠，∴ADE CDE ≌△△，∴DF DM =，∴DM DN =，即：D 点的横纵坐标相等，设(),D a a ，∵点D 线段AB 上，∴334a a =-+，解得：127a =，∴1212,77D ⎛⎫ ⎪⎝⎭；故答案为：1212,77⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，以及折叠后的两个三角形全等，是解题的关键．15.关于x 的不等式组25120x x a +>⎧⎨-≤⎩恰有3个整数解，则实数a 的取值范围是______．67a ≤<【分析】解出不等式组的解集，利用不等式组恰有3个整数解，确定a 的取值范围即可．【详解】解：25120x x a +>⎧⎨-≤⎩①②，由①得：72x >；由②得：x a ≤；∴不等式组的解集为：72x a <≤，∵不等式组恰有3个整数解，则：整数解为：4,5,6，∴67a ≤<．故答案为：67a ≤<．【点睛】本题考查根据不等式组的解的情况，求参数．正确的解出不等式组的解集，是解题的关键．16.如图，二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，一次函数y kx m =+的图象与该图象相交于两个不同的点()11,A x y 、点()22,B x y ，设1x ，2x 的平均数为0x ，点()00,C x y 也是二次函数的图象上一点，现有下列结论：（1）0a >；（2）点C 可能是二次函数的图象顶点；（3）1202y y y +>；（4）120122y y ax b x x -=+-．其中正确的结论是______．（填序号）①②③④【分析】①抛物线的开口向上，0a >；②利用抛物线的对称性，进行判断；③利用1x ，2x 的平均数为0x ，利用1x ，2x ，0x 表示120,,y y y ，求出1202y y y +-的符号，进行判断即可；④利用1x ，2x 的平均数为0x ，利用1x ，2x ，表示12,y y ，求出1212y y x x --，进行判断即可．【详解】解：①抛物线的开口向上，0a >，故①正确；②∵1x ，2x 的平均数为0x ，∴1202x x x +=，当点()11,A x y 、点()22,B x y ，关于对称轴对称时，0x x =为抛物线的对称轴，此时点C 为抛物线的顶点；故②正确；③()()222212112212122y y ax bx c ax bx c a x x b x x c +=+++++=++++，∵1202x x x +=，∴()222212112212022y y ax bx c ax bx c a x x bx c +=+++++=+++∵20002222y ax bx c =++，∴()22212012000222222y y y a x x bx c ax bx c+-=+++-++()2221202a x x ax =+-()2221202a x x x =+-222121222x x a x x ⎡⎤+⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦222212121222x x x x a x x ⎡⎤⎛⎫++=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦()2122x x a -=⋅，∵120,a x x >≠，∴()212120202x x y y y a -+-=⋅>，∴1202y y y +>；故③正确；④∵12x x ≠，∴221211221212y y ax bx c ax bx c x x x x -++---=--()()22121212a x x b x x x x -+-=-()()()12121212a x x x x b x x x x -++-=-()12a x x b =++，∵1202x x x +=，∴()12120122y y a x x b ax b x x -=++=+-；故④正确；综上，正确的是：①②③④；故答案为：①②③④．【点睛】本题考查根据二次函数图象，判断二次函数的系数，以及式子之间的关系．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．三、解答题（本题有7小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）17.计算：（1）计算：101(2021)2π-⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）先化简，再求值：2221462a a a a a a a-÷-----，其中3a =-（1）4（2）2a 1-；4+【分析】（1）直接利用负整数指数幂、零指数幂的运算方法及特殊角的三角函数值以及二次根式的性质分别化简，进而得出答案；（2）先根据分式的运算法则化简分式，再代入求值．【小问1详解】解：原式2(3)(21=----+4=+【小问2详解】解：原式()()()()()2312212a a a a a a a a +-=⨯++---31(2)(1)(2)(1)a aa a a a --=+----24(2)(1)a a a -=--21a =-当3a ===4=+【点睛】本题考查了二次根式的运算，特殊角的函数值，零指数幂、负整数指数幂的运算，以及分式的化简求值，能正确熟练地运算是解题的关键.18.为了解市区A 校落实双减政策的情况，有关部门抽查了A 校901班同学，以该班同学参加课外活动的情况为样本，对参加“球类”、“绘画类”、“舞蹈类”、“音乐类”、“棋类”活动的情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图.（1）该班参加球类活动的学生占班级人数的百分比是______；（2）请把图2（条形统计图）补充完整：（3）该校学生共720人，则参加棋类活动的人数约为______.（4）该班参加舞蹈类活动的4位同学中，恰有2位男生（分别用E F ，表示）和2位女生（分别用G H ，表示），现准备从中选取两名同学组成舞伴，请用列表或画树状图的方法求恰好选中一男一女的概率.（1）30%；（2）补图见解析；（3）126人；（4）恰好选中一男一女的概率是23，树状图见解析【分析】（1）根据绘画类的人数除以百分比得出中人数，根据球类的人数即可求解；（2）根据音乐类的占比乘以总人数，得出人数，补全统计图即可求解；（3）根据720乘以棋类人数的占比即可求解．【小问1详解】总人数有：1025%÷=40（人），该班参加球类活动的学生占班级人数的百分比是1240100%30%÷⨯=；【小问2详解】音乐类的人数为1025%17.5%7÷⨯=人，补全条形统计图如下：【小问3详解】772012640⨯=（人）；【小问4详解】画树状图，如图：∴P （一男一女）82123==．答：恰好选中一男一女的概率是23．【点睛】本题考查了扇形统计图与扇形统计图信息关联，画条形统计图，样本估计总体，画树状图法求概率，从统计图表中获取信息是解题的关键．19.已知关于x 的方程()22210x a x a +-+=．（1）若方程有两个实数解，求实数a 的取值范围：（2）若方程的两个实数解是1x ，2x ，满足21x x a -=，求实数a 的值．（1）实数a 取值范围是12a ≤；（2）4a =-±都符合题意【分析】（1）利用根的判别式得到840a ∆=-+≥，然后解不等式即可．（2）利用根与系数的关系结合已知得到2840a a +-=，然后解关于a 的一元二次方程即可．【小问1详解】解：()22Δ[21]41a a =--⨯⨯224844a a a =-+-84a =-+，∵方程有两个实数解，∴840a -+≥，∴12a ≤即实数a 取值范围是12a ≤；【小问2详解】解：由一元二次方程的根与系数关系得122122(1)x x a x x a +=--⎧⎨=⎩，∵212x x a =，∴1x ，2x 是同号的两个实数或其中一个为零，∴2121x x x x a -=-=，∵()()222121214x x x x x x -=+-，∴2224(1)4a a a --=，∴2840a a +-=，∴4a =-±，∵12a ≤，∴4a =-±都符合题意．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，1212bc a x x x x a+=-=，．也考查了判别式的意义．20.如图，平行四边形OABC 的边OA 在x 轴的正半轴上，60AOC ∠=︒，12OC =，CD 平分∠OCB ，CD 交OA 于点D ，作DE ⊥CD 交AB 于点E ，反比例函数()0k y x x =>的图象经过点C 与点E ．（1）求k 的值及直线CD 的解析式；（2）求证：AD AE =；（3）求点E 的坐标．（1）k =CD 的解析式是y =+；（2）证明见解析；（3）E 的坐标是(18,．【分析】（1）由已知可得根据含30°直角三角形性质容易求出点C 、点D 坐标，再由待定系数法求出函数解析式；（2）求出30AED ∠=︒，30ADE ∠=︒即可得出结论；（3）设AD AE x ==，可得点3312,22E x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，根据其在反比例函数解析式上求出点坐标．【小问1详解】如图1，过C 点作CH 垂直x 轴，∵60AOC ∠=︒，12OC =，∴30OCH ∠=︒，∴6OH =，CH =，∴点(C ，∴反比例函数的系数k =，∵在平行四边形OABC ，//OA BC ，60AOC ∠=︒∴120OCB OAB ∠=∠=︒，又∵CD 平分∠OCB ，∴60OCD ∠=︒，∴OCD 是等边三角形，∴12OD OC ==，即点D ()12,0，∵点C (，点D ()12,0，∴直线CD 的解析式是y =+【小问2详解】证明：∵OCD 是等边三角形，∴60CDO ∠=︒，又∵DE ⊥CD ，∴18030EDA CDO CDE ∠=︒-∠-∠=︒，∵120OCB OAB ∠=∠=︒，∴18030DEA DAE ADE ∠=︒-∠-∠=︒，∴30DEA ADE ∠=∠=︒，∴DA DE =．【小问3详解】过E 点作EQ 垂直x 轴，设AD AE x ==，∵30EDA ∠=︒，∴2x QE =，2QD =，∴点3312,22E x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭点E 在反比例函数363y x =的图象上，∴31222x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴4x =或12-（舍去），则点E 的坐标是(18,）【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点及用待定系数法求反比例函数的解析式，根据题意作出辅助线，构造出含30°直角三角形求出C 、D 标是解答此题的关键．21.天天鲜果是一家基于互联网技术的现代农业服务供应商，提供高品质新鲜水果产品和个性化直销服务.天天鲜果旗下的电商平台，在2021年5月举行了为期一个月的新鲜水果产品优惠促销活动，经市场调查发现，某种新鲜水果的周销售量y （箱）是关于售价x （元/箱）的一次函数，下表仅列出了该新鲜水果的售价x （元/箱），周销售量y （箱），周销售利润W （元）的三组对应值数据.x456080y1359030w 337536001800（1）求y 关于x 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）若该新鲜水果进价a （元/箱），售价x 为多少时，周销售利润W 最大？并求出此时的最大利润；（3）因疫情期间，该新鲜水果进价提高了m （元/箱）（0m >），公司为回馈广大消费者，规定该新鲜水果的售价x 不得超过55（元/箱），且该新鲜水果在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是3150元，求m 的值.（1）y 关于x 函数解析式是3270y x =-+；（2）55x =时，周销售利润w 最大，最大利润为3675元；（3）5m =【分析】（1）根据表格数据待定系数法求解析式即可求解；（2）设售价为x （元/箱）时，周销售利润为w 元，由（1）知，()()()3270w y x a x x a =-=-+-，根据表格数据线，得出20a =，即可求解．（3）根据题意可得由题意()()39020w x x m =----，055x <≤，进而求得55x =时周销售利润最大，解方程即可求解．【小问1详解】∵y 是x 的一次函数，∴设y kx b=+∴由表格知451356090k b k b +=⎧⎨+=⎩，∴3270k b =-⎧⎨=⎩∴y 关于x 函数解析式是3270y x =-+【小问2详解】设售价为x （元/箱）时，周销售利润为w 元，由（1）知，()()()3270w y x a x x a =-=-+-由表中数据可知：45x =时，3375w =，∴()()337534527045a =-⨯+-，∴20a =∴()()22327020333054003(55)3675w x x x x x =-+-=-+-=--+∴55x =时，周销售利润w 最大，最大利润为3675元.【小问3详解】由题意()()39020w x x m =----，055x <≤∴对称轴为直线55552m x =+>，∴在055x <≤内，二次函数y 随x 的增大而增大，∴只有55x =时周销售利润最大，∴()()3150355905520m =----，∴5m =．【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．22.在平面直角坐标系中，设二次函数()22231y ax a x a =----，实数0a ≠（1）若二次函数图象经过点（-2，-10），求这个二次函数的解析式及顶点坐标：（2）若二次函数图象上始终存在两个不同点，这两个点关于原点对称，求a 的取值范围；（3）若0a >，设点()1,M m y ，()2,N n y 是二次函数图象上两个不同点，且20m n ++=，求证：126y y +>-.（1）2(2)6y x =--+，顶坐标是()2,6；（2）0a >或13a <-；（3）证明见解析【分析】（1）根据待定系数法求出二次函数解析式，再化为顶点式，即可求解；（2）设这两个点的坐标是(),x y 与(),x y --，且0x ≠，可得20262ax a =--，从而得26202a x a+=>，进而即可得到答案；（3）班()1,M m y ，()2,N n y 代入二次函数解析式，结合20m n ++=，可得12y y +()2216a n =+-，进而即可得到答案．【小问1详解】解： 二次函数的图象经过点()2,10--，∴()()2(2)2223110a a a ⨯---⨯---=-，∴5510a -=-，∴1a =-，∴二次函数的解析式是242y x x =-++，∴2(2)6y x =--+，∴顶坐标是()2,6；【小问2详解】解：∵二次函数图象上始终存在两个不同点，这两个点关于原点对称，∴设这两个点的坐标是(),x y 与(),x y --，且0x ≠，∴()22231y ax a x a =----与()()2()2231y a x a x a -=------，两式相加得20262ax a =--，∴2262ax a =+，∴26202a x a +=>，∴()2620a a +>，∴0a >或13a <-；【小问3详解】解：由题知，()212231y am a m a =----，()222231y an a n a =----∴()()()22122262y y a m n a m n a +=+--+--∵2m n +=-， 2m n =--，∴()()2212(2)22262y y a n n a a ⎡⎤+=--+-----⎣⎦()22444462a n n a a =+++---()22426a n n =++-()2216a n =+-∵2m n +=-，m n≠∴1n ≠-∴2(1)0n +>又∵0a >，∴2122(1)66y y a n +-+=>-．【点睛】本题主要考查二次函数得图像和性质，掌握二次函数图像上点得坐标特征，待定系数法求函数解析式是关键23.已知，点E 是正方形ABCD 的边CD 上一个动点，直线CF BE ⊥于点F ，连结AF ．（1）如图1，点E 运动到边CD 的中点，求证：AF AB =；（2）如图2，AFB △的外接圆交BC 于点G ，连结FG ，求证：CFG BFA ∽；（3）如图3，已知正方形ABCD 的边长为2，设CE x =，用y 表示AFB △与CFB 的面积之和，求y 关于x 的函数解析式及其最大值．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）21y =+，当222x =-时，函数取到最大值，最大值为12+【分析】（1）法1：取BC 的中点M ，连结AM 交BF 于点N ，证明()SAS ABM BCE ≌，推出90ANB ∠=︒，进而推出AM CF ∥，得到AN 是线段BF 的垂直平分线，即可得证；法2：过点F 作FN BC ⊥于N ，作FM AB ⊥于M ，利用锐角三角函数值，以及勾股定理，求出,AB AF 的值相等，即可得证；（2）利用同角的余角相等，得到ABF BCF ∠=∠，利用圆内接四边形的外角等于内对角，得到FAB FGC ∠=∠，即可得证；（3）法1，过点A 作AH BF ⊥于H ，设CE x =，分别证明BFC BCE ∽，()AAS ABH BCF ≌，求出,AH BF ，进而求出AFB △与CFB 的面积，得到y 关于x 的函数解析式，再求最大值即可；法2，过点F 作FG AB ⊥于G ，设EBC ∠θ=，利用锐角三角函数，求出,,CF BF FG ，利用面积公式求出AFB △与CFB 的面积，得到y 关于x 的函数解析式，再求最大值即可．【小问1详解】法1：如图1，取BC 的中点M ，连结AM 交BF 于点N ，∵四边形ABCD 为正方形，点E 是CD 的中点，∴,90AB BC CD ABC BCD ==∠=∠=︒，∴BM CE =，∴()SAS ABM BCE ≌，∴BAM EBC ∠=∠，∴90BAM ABE EBC ABE ∠+∠=∠+∠=︒，即：90ANB ∠=︒，∴AM BE ⊥．∵CF BE ⊥，∴AM CF ∥，又∵BM MC =，∴BN NF =，∴AN 是线段BF 的垂直平分线．∴AF AB =．法2：如图2，过点F 作FN BC ⊥于N ，作FM AB ⊥于M ，设EBC ∠θ=，1tan 2CE BC θ==，则BFM ∠θ=，令CF x =，则2BF x=∴BC =∴AB =．在Rt BFC △中，sin5θ==，cos 5θ==，在Rt BFM 中，sin sin 5BM BFM BF θ∠===，∴255BM x =，∴253555AM x x =-=∵25cos 5θ=，∴455FM x =，在Rt AFM △中，AF ===．∴AB AF =．【小问2详解】证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴90ABC ∠=︒，∵CF BE ⊥，∴90CFB ABC ∠=∠=︒，∴90EBC ABF EBC BCF ∠+∠=∠+∠=︒，∴ABF BCF ∠=∠，又∵FAB FGC ∠=∠，∴CFG BFA ∽；【小问3详解】法1：如图，过点A 作AH BF ⊥于H ，设CE x =，在BCE 中，90BCE ∠=︒，BE ==，∵CF BE ⊥，∴CFB BCE ∠=∠，又∵FBC EBC ∠=∠，∴BFC BCE ∽，∴BF BC BC BE=，∴2244BFC BCE S BC S BE x ⎛⎫== ⎪+⎝⎭ ，∴BF =∴224142424BFC x S x x x =⨯⨯⨯=++ ，∵AH BF ⊥，∴90CFB BHA ∠=∠=︒，∴90EBC ABH EBC BCF ∠+∠=∠+∠=︒，∴ABH BCF ∠=∠，又∵AB BC=∴()AAS ABH BCF ≌，∴AH BF ==，∴221824ABF S x ⎛⎫=⨯=+ ∴2484ABF BFC x y S S x +=+=+ ，解关于x 的方程2484x y x +=+，∴()24480yx x y -+-=，其中0y >由题知方程必有实数解，∴()()22Δ(4)44816210y y y y =---=---≥∴2210y y --≤，∴22(1)0y --≤，∴11y -≤≤∴01y <≤+（从点E 的实际运动可知，2y ≥）当1y =+时，可解得1,22x ==-∴当2CE =-时，函数取到最大值，最大值为1．法2：函数表达式也可以用下面方法得出：如图，过点F 作FG AB ⊥于G ，设EBC ∠θ=，∴sin CE BE θ==cos BC BE θ==，则BFG EBC ∠∠θ==，在Rt BFC △中，sin sin CF FBC BC ∠θ==，∴sin CF BC θ=⨯=，cos BF BCθ=，∴cos BF BC θ=⨯=，∴2114224BFC x S BF CF x =⨯=⨯+ ．。
浙江省杭州市余杭区国际学校2024年九年级数学第一学期开学复习检测试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图，在菱形ABCD 中，点E ，点F 为对角线BD 的三等分点，过点E ，点F 与BD 垂直的直线分别交AB ，BC ，AD ，DC 于点M ，N ，P ，Q ，MF 与PE 交于点R ，NF 与EQ 交于点S ，已知四边形RESF 的面积为5cm 2，则菱形ABCD 的面积是（ ）A ．35cm 2B ．40cm 2C ．45cm 2D ．50cm 22、（4分）一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形的边数为( )A ．B ．C ．D ．3、（4分）把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，是折痕，若，则下列结论正确的有是( )（1）；（2）；（3）；（4）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4、（4分）下列条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( )A ．AB ∥CD ，AD=BC B ．AB ∥CD ，∠B ＝∠DC ．AB=CD,AD=BCD ．AB ∥CD ，AB ＝CD246810EF 32EFB ∠=︒32C EF '∠=︒148AEC ∠=︒64BGE ∠=︒116BFD ∠=︒5、（4分）如果成立，那么实数a 的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．6、（4分）下列事件中是必然事件的是（ ）A ．明天太阳从东边升起； B ．明天下雨； C ．明天的气温比今天高； D ．明天买彩票中奖．7、（4分）如图，在中，，垂直平分于点，交于点，则为（ ）A ．30°B ．25°C ．20°D ．15°8、（4分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试,每人10次射击的平均成绩恰好都是9.4环,方差分别是,,,.在本次射击测试中,成绩最稳定的是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，在中，，平分，点为中点，则_____．10、（4分）若1＜x ＜2，则|x ﹣的值为_____．11、（4分）若关于x 的分式方程＝+2有正整数解，则符合条件的非负整数a的值为_____．12、（4分）x 的取值范围是________.3a =0a ≤3a ≤3a ≥-3a ≥ABC ∆90C ∠=︒DE AB E AC ,2D AD BC =A ∠20.90S =甲2 1.22S =乙20.43S =丙2 1.68S =丁ABC △10AB AC ==AD BAC ∠E AC DE =32ax x --32x -13、（4分）在矩形ABCD 中,AB=4,AD=9点F 是边BC 上的一点,点E 是AD 上的一点,AE:ED=1:2,连接EF 、DF,若则CF 的长为______________。
2024-2025学年浙江省杭州市西湖区杭州外国语学校九上数学开学预测试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下面哪个点在函数y ＝2x －1的图象上（）A ．(－2.5，－4)B ．(1，3)C ．(2.5，4)D ．(0，1)2、（4分）已知关于x 的方程x 2﹣kx ﹣6=0的一个根为x=3，则实数k 的值为A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣23、（4分）如图所示，正比例函数y kx =和一次函数4y ax =+交于()1,A m ，则不等式4ax kx +<的解集为（）A ．1x <B ．1x >C ．x m <D ．x m >4、（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A 是反函数(0,0)k y k x x =<<图像上的点，过点A 与x 轴垂直的直线交x 轴于点B ，连结AO ，若ABO ∆的面积为3，则k 的值为（）A ．3B ．-3C ．6D ．-65、（4分）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A ．B C D ．6、（4分）已知一个正多边形的每个外角等于60，则这个正多边形是（）A ．正五边形B ．正六边形C．正七边形D ．正八边形7、（4分）已知张强家、体育场、文具店在同一直线上.如图的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x 表示时间，y 表示张强离家的距离．则下列说法错误的是（）A ．体育场离张强家2.5千米B ．体育场离文具店1千米C ．张强在文具店逗留了15分钟D ．张强从文具店回家的平均速度是370千米/分8、（4分）如图所示，在ABCD □中，,M N 分别是,AB CD 的中点，BD 分别交,AN CM 于点,P Q .下列命题中不正确的是（）A ．BD AN ⊥B ．DAN BCM∠=∠C ．BP DQ =D ．AMCN ABCD :1:2S S =二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，四边形ACDF 是正方形，CEA ∠和ABF ∠都是直角，且点,,E A B 三点共线，4AB =，则阴影部分的面积是__________．10、（4分）学校篮球队五名队员的年龄分别为1715171615，，，，，其方差为0.8，则三年后这五名队员年龄的方差为______．11、（4分）已知菱形ABCD 的边长为4，120B ︒∠=，如果点P 是菱形内一点，且PA PC ==BP 的长为___________．12、（4分）如图，已知一次函数y =kx +b 的图象如图所示，当y ≤0时，x 的取值范围是_____．13、（4分）若关于y 的一元二次方程y 2﹣4y +k +3=﹣2y +4有实根，则k 的取值范围是_____．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，在▱ABCD 中，E 为边AB 上一点，连结DE ，将▱ABCD 沿DE 翻折，使点A 的对称点F 落在CD 上，连结EF ．（1）求证：四边形ADFE 是菱形．（1）若∠A =60°，AE =1BE =1．求四边形BCDE 的周长．小强做第（1）题的步骤解：①由翻折得，AD =FD ，AE =FE ．②∵AB ∥CD ．③∴∠AED =∠FDE ．④∴∠AED =∠ADE⑤∴AD =AE⑥∴AD =AE =EF =FD ∴四边形ADFE 是菱形．（1）小强解答第（1）题的过程不完整，请将第（1）题的解答过程补充完整（说明在哪一步骤，补充什亻么条件或结论）（1）完成题目中的第（1）小题．15、（8分）分解因式：（1）22242x xy y -+.（2）()()229a b a b --+.16、（8分）计算：（1）(2)5)++17、（10分）直线1234,,,,l l l l 是同一平面内的一组平行线．(1)如图1．正方形ABCD 的4个顶点都在这些平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离都是1，其中点A ，点C 分别在直线1l 和4l 上，求正方形的面积；(2)如图2，正方形ABCD 的4个顶点分别在四条平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离依次为123h h h ，，．①求证：13h h =；②设正方形ABCD 的面积为S ，求证222211 2 2 S h h h h =++．18、（10分）解分式方程：（1）321x x =-；（2）22424x x x +---＝1；B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）在湖的两侧有A ，B 两个观湖亭，为测定它们之间的距离，小明在岸上任选一点C ，并量取了AC 中点D 和BC 中点E 之间的距离为50米，则A ，B 之间的距离应为______米．20、（4的倒数是_____．21、（4分）已知方程22131x x x x +-+＝2，如果设21x x +＝y ，那么原方程可以变形为关于y 的整式方程是_____．22、（4分）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ＝8cm ，DB ＝6cm ，DH ⊥AB 于点H ，则DH 的长为_____．23、（4分）化简：21x x +＋11xx -+＝___.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，在3×3的方格内，填写了一些代数式和数.（1）在图（1）中各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请你求出x ，y 的值；（2）把满足（1）的其它6个数填入图（2）中的方格内.25、（10分）如图，在6×6的方格图中，每个小方格的边长都是为1，请在给定的网格中按下列要求画出图形．（1）画出以A 的一条线段．（2）画出一个以题（1）中所画线段为腰的等腰三角形．26、（12分）如图①，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F ．（1）请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系（不需证明）；（2）如图②，如果∠ACB 不是直角，其他条件不变，那么在（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、C 【解析】将点的坐标逐个代入函数解析式中，若等号两边相等则点在函数上，否则就不在．【详解】解：将x=-2.5，y=-4代入函数解析式中，等号左边-4，等号右边-6，故选项A 错误；将x=1，y=3代入函数解析式中，等号左边3，等号右边1，故选项B 错误；将x=2.5，y=4代入函数解析式中，等号左边4，等号右边4，故选项C 正确；将x=0，y=1代入函数解析式中，等号左边1，等号右边-1，故选项D 错误；故选：C ．本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数y=kx+b ，（k ≠0，且k ，b 为常数）的图像是一条直线．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b ．2、A 【解析】试题分析：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立，因此，∵x=3是原方程的根，∴将x=3代入原方程，即32﹣3k ﹣6=0成立，解得k=1．故选A ．3、B 【解析】利用函数的图象，写出y kx =在直线4y ax =+上方所对应的自变量的范围即可.【详解】当1x >时，4ax kx +<，所以不等式4ax kx +<的解集为1x >故选B.本题考查了一次函数与一元一次不等式，从函数图象的角度看，就是确定直线y kx b =+在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标.4、D【解析】根据三角形ABO 的面积为3，得到|k|=6，即可得到结论．【详解】解：∵三角形AOB 的面积为3，∴132k ，∴|k|=6，∵k ＜0，∴k=-6，故选：D ．本题考查了反比例函数比例系数k 的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12k ，且保持不变．5、B 【解析】根据最简二次根式的定义判断即可.【详解】解:A 3，不是最简二次根式，故A 选项错误；B 、是最简二次根式，故B 选项正确；C 、C 选项错误；D 5，不是最简二次根式，故D 选项错误.此题考查最简二次根式问题，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式．6、B【解析】分析：根据多边形的外角和为360°即可得出答案．详解：360°÷60°=6，即六边形，故选B．点睛：本题主要考查的是正多边形的外角和定理，属于基础题型．多边形的内角和定理为(n －2)×180°，多边形的外角和为360°．7、C【解析】（1）因为张强从就家直接到体育场，故第一段函数图象所对应的y轴的最高点即为体育场离张强家的距离；（2）张强从体育场到文具店的递减函数，此段函数图象的最高点与最低点纵坐标的差为张强家到文具店的距离；（3）中间一段与x轴平行的线段是张强在图书馆停留的时间；（4）先求出张强家离文具店的距离，再求出从文具店到家的时间，最后求出二者的比值即可.【详解】解：（1）由函数图象可知，体育场离张强家2.5千米，从家到体育场用了15分；（2）由函数图象可知，张强家离文具店1.5千米，离体育场2.5千米，所以体育场离文具店1千米；（3）张强在文具店停留了654520-=分；（4）从图象可知：文具店离张强家1.5千米，张强从文具店散步走回家花了1006535-=分，∴张强从文具店回家的平均速度是1.5153 3535070==千米/分．本题考查的是函数图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义是解答此题的关键．8、A【解析】证出四边形AMCN是平行四边形，由平行四边形的性质得出选项B正确，由相似三角形的性质得出选项C正确，由平行四边形的面积公式得出选项D正确，即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，∵M、N分别是边AB、CD的中点，∴CN＝12CD，AM＝12AB，∴CN＝AM，∴四边形AMCN是平行四边形，∴AN∥CM，∠MAN＝∠NCM，∴∠DAN＝∠BCM，选项B正确；∴△BMQ∽△BAP，△DPN∽△DQC，∴BQ：BP＝BM：AB＝1：2，DP：DQ＝DN：CD＝1：2，∴DP＝PQ，BQ＝PQ，∴DP＝PQ＝QB，∴BP＝DQ，选项C正确；∵AB＝2AM，∴S▱AMCN：S▱ABCD＝1：2，选项D正确；故选A．此题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、8【解析】【分析】证明△AEC≌△FBA，根据全等三角形对应边相等可得EC=AB=4，然后再利用三角形面积公式进行求解即可.【详解】∵四边形ACDF是正方形，∴AC=FA，∠CAF=90°，∴∠CAE+∠FAB=90°，∵∠CEA=90°，∴∠CAE+∠ACE=90°，∴∠ACE=∠FAB，又∵∠AEC=∠FBA=90°，∴△AEC≌△FBA，∴CE=AB=4，∴S 阴影=1·2AB CE =8，故答案为8.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，三角形面积等，求出CE=AB 是解题的关键.10、0.1．【解析】解：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加了3所以波动不会变，方差仍为0.1．故答案为：0.1．11、1或3【解析】数形结合，画出菱形，根据菱形的性质及勾股定理即可确定BP 的值【详解】解：连接AC 和BD 交于一点O ，四边形ABCD 为菱形BD ∴垂直平分AC,1602ABO ABC ︒∠=∠=9030BOA BAO ︒︒∴∠=∠=，122BO AB ∴==222224212AO AB BO ∴=-=-=PA PC ==∴点P 在线段AC 的垂直平分线上，即BD 上在直角三角形APO 中，由勾股定理得PA ===21213PO ∴+=213121PO ∴=-=1PO ∴=如下图所示，当点P 在BO 之间时，BP=BO-PO=2-1=1;如下图所示，当点P 在DO 之间时，BP=BO+PO=2+1=3故答案为：1或3本题主要考查了菱形的性质及勾股定理，熟练应用菱形的性质及勾股定理求线段长度是解题的关键.12、x≤1【解析】根据图象的性质，当y≤0即图象在x 轴下侧，x≤1．【详解】根据图象和数据可知，当y≤0即图象在x 轴下侧，x≤1．故答案为x≤1本题考查一次函数的图象，考查学生的分析能力和读图能力．13、k 2≤【解析】首先把方程化为一般形式，再根据方程有实根可得△=240b ac -≥，再代入a 、b 、c 的值再解不等式即可．【详解】解：y 2﹣4y +k +3=﹣2y +4，化为一般式得：2210y y k -+-=，再根据方程有实根可得：△=240b ac -≥，则2241k 10--⨯⨯-≥（）（），解得：k 2≤；∴则k 的取值范围是：k 2≤.故答案为：k 2≤.本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）见解析；（1）四边形BCDE 的周长为8.【解析】（1）由题意可知，第一步补充∠ADE=∠FDE ．（1）由平行四边形的性质和菱形的性质可得，BE ，BC ，CD ，DE 的长度，即可求四边形BCDE 的周长【详解】解：（1）①由翻折得，AD=FD ，AE=FE ．（补充∠ADE=∠FDE ）②∵AB ∥CD ③∴∠AED=∠FDE ．④∴∠AED=∠ADE ⑤∴AD=AE ⑥∴AD=AE=EF=FD ∴四边形ADFE 是菱形．（1）∵AE=1BE=1∴BE=1∴AB=CD=3∵AD=AE ，∠A=60°∴△ADE 是等边三角形∴AD=DE=1∴AD=BC=1∴四边形BCDE 的周长=BE+DE+CD+BC=1+1+3+1=8.本题考查了折叠问题，平行四边形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，关键是灵活运用这些性质解决问题．15、（1）()22x y -；（2）()()422a b a b --【解析】（1）首先提取公因式2，进而利用完全平方公式分解因式即可．（2）先用平方差公式分解，再化简即可．【详解】解：（1）原式()()222222x xy y x y =-+=-；（2）原式()()223a b a b ⎡⎤=--+⎣⎦()()()()33a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤=-++--+⎣⎦⎣⎦()()4224a b a b =--()()422a b a b =--.此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键，注意分解要彻底．16、（1）（2）17+【解析】（1）先根据二次根式的性质把各个根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．（2）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可.【详解】解：（1）原式=63-⨯+=-（2）原式=215+++=17+本题考查了二次根式的性质和多项式与多项式相乘，解题的关键是准确的化简二次根式，以及掌握乘法运算法则.17、（1）9或5；（2）①见解析，②见解析【解析】（1）分两种情况：①如图1-1，得出正方形ABCD 的边长为2，求出正方形ABCD 的面积为9；②如图1-2，过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，则EF ⊥l 4，证明△ABE ≌△BCF （AAS ），得出AE=BF=2由勾股定理求出=（2）①过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，作DM ⊥l 4于M ，证明△ABE ≌△BCF （AAS ），得出AE=BF ，同理△CDM ≌△BCF （AAS ），得出△ABE ≌△CDM （AAS ），得出BE=DM 即可；②由①得出AE=BF=h 2+h 2=h 2+h 1，得出正方形ABCD 的面积S=AB 2=AE 2+BE 2，即可得到答案.【详解】解：（1）①如图，当点B D ，分别在14,l l 上时，面积为：339⨯=；②如图，当点B D ，分别在23,l l 上时，过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，则EF ⊥l 4，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，∵∠CBF+∠BCF=90°，∴∠ABE=∠BCF ，在△ABE 和△BCF 中90ABE BCF AEB BFC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△BCF （AAS ），∴AE=BF=2，∴==，∴正方形ABCD 的面积=AB 2=5；综上所述，正方形ABCD 的面积为9或5；（2）①证明：过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，作DM ⊥l 4于M ，如图所示：则EF ⊥l 4，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，∵∠CBF+∠BCF=90°，∴∠ABE=∠BCF ，在△ABE 和△BCF 中，90ABE BCF AEB BFC AB BC∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△BCF （AAS ），∴AE=BF ，同理△CDM ≌△BCF （AAS ），∴△ABE ≌△CDM （AAS ），∴BE=DM ，即h 1=h 2．②解：由①得：AE=BF=h2+h2=h2+h1，∵正方形ABCD的面积：S=AB2=AE2+BE2，∴S=（h2+h1）2+h12=2h12+2h1h2+h3．本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．18、(1)经检验x＝3是分式方程的解；（2）经检验x＝﹣1是分式方程的解.【解析】（1）根据分式方程的原则求解即可,注意分式方程的增根.（2）根据分式方程的原则求解即可,注意分式方程的增根.【详解】解：（1）去分母得：3x﹣3＝2x，解得：x＝3，经检验x＝3是分式方程的解；（2）去分母得：x2+4x+4﹣4＝x2﹣4，解得：x＝﹣1，经检验x＝﹣1是分式方程的解．本题主要考查分式方程的求解，特别注意一定不能忘记分式方程根的检验.一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、1【解析】根据三角形中位线的性质定理，解答即可．【详解】∵点D、E分别为AC、BC的中点，∴AB=2DE=1（米），故答案为：1．本题主要考查三角形中位线的性质定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边长的一半，是解题的关键．20、2 2【解析】分析：根据倒数的意义或二次根式的化简进行计算即可.×2=1的倒数为2.故答案为2.分析：此题主要考查了求一个数的倒数，关键是明确倒数的意义，乘积为1的两数互为倒数.21、3y 2+6y ﹣1＝1．【解析】根据21x x +=y ，把原方程变形，再化为整式方程即可．【详解】设21x x +＝y ，原方程变形为：13y ﹣y ＝2，化为整式方程为：3y 2+6y ﹣1＝1，故答案为3y 2+6y ﹣1＝1．本题考查了用换元法解分式方程，掌握整体思想是解题的关键．22、4.8cm ．【解析】根据菱形的性质可得AB ＝5cm ，根据菱形的面积公式可得S 菱形ABCD ＝12AC •BD ＝AB •DH ，即DH ＝2AC BDAB g ＝4.8cm ．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝OC ＝12AC ＝4cm ，OB ＝OD ＝3cm ，∴AB ＝5cm ，∴S 菱形ABCD ＝12AC •BD ＝AB •DH ，∴DH ＝2AC BD AB g ＝4.8cm ．本题考查了菱形的边长问题，掌握菱形的性质、菱形的面积公式是解题的关键．23、1【解析】分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可．解答：解：原式=2x 1x x 1+-+=1．点评：本题考查了分式的加减运算．最后要注意将结果化为最简分式．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、(1)x=-1,y=1;(2)见解析.【解析】（1）根据“各行、各列及对角线上三个数之和都相等”，列出方程组求解即可；（2）进一步由和得出其它6个数填图．【详解】解:(1)由题意可列方程组2423224234x y y x x y y y ++++⎧⎨++-+⎩＝，＝解得11x y ＝．＝-⎧⎨⎩.答:x=-1,y=1;(2).此题考查二元一次方程组的实际运用，理解题意中“各行、各列及对角线上三个数之和相等”从而列出关于x 、y 的二元一次方程组，使问题得解．25、（1）作图见解析；（2）作图见解析.【解析】（1）直接利用勾股定理结合网格得出答案；（2）利用等腰三角形的定义得出符合题意的一个答案．【详解】（1）如图所示：AB 即为所求；（2）如图所示：△ABC 即为所求．此题主要考查了应用设计与作图，正确应用网格是解题关键．26、（1）FE=FD （2）答案见解析【解析】（1）先在AC 上截取AG=AE ，连结FG ，利用SAS 判定△AEF ≌△AGF ，得出∠AFE=∠AFG ，FE=FG ，再利用ASA 判定△CFG ≌△CFD ，得到FG=FD ，进而得出FE=FD ；（2）先过点F 分别作FG ⊥AB 于点G ，FH ⊥BC 于点H ，则∠FGE=∠FHD=90°，根据已知条件得到∠GEF=∠HDF ，进而判定△EGF ≌△DHF （AAS ），即可得出FE=FD ．也可以过点F 作FG ⊥AB 于G ，作FH ⊥BC 于H ，作FK ⊥AC 于K ，再判定△EFG ≌△DFH （ASA ），进而得出FE=FD ．【详解】（1）FE 与FD 之间的数量关系为：FE=FD ．理由：如图，在AC 上截取AG=AE ，连结FG ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠1=∠2，在△AEF 与△AGF 中12()AG AE AF AF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝公共边，∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴∠AFE=∠AFG ，FE=FG ，∵∠B=60°，AD ，CE 分别是∠BAC ，∠BCA 的平分线，∴2∠2+2∠3+∠B=180°，∴∠2+∠3=60°，又∵∠AFE 为△AFC 的外角，∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=∠2+∠3=60°，∴∠CFG=180°-60°-60°=60°，∴∠GFC=∠DFC ，在△CFG与△CFD 中，()34GFC DFC FC FC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝公共边＝，∴△CFG ≌△CFD （ASA ），∴FG=FD ，∴FE=FD ；（2）结论FE=FD 仍然成立．如图，过点F 分别作FG ⊥AB 于点G ，FH ⊥BC 于点H ，则∠FGE=∠FHD=90°，∵∠B=60°，且AD ，CE 分别是∠BAC ，∠BCA 的平分线，∴∠2+∠3=60°，F 是△ABC 的内心，∴∠GEF=∠BAC+∠3=∠1+∠2+∠3=60°+∠1，∵F 是△ABC 的内心，即F 在∠ABC 的角平分线上，∴FG=FH ，又∵∠HDF=∠B+∠1=60°+∠1，∴∠GEF=∠HDF ，在△EGF 与△DHF 中，90GEF HDF FGE FHD FG FH ＝＝＝＝∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩，∴△EGF ≌△DHF （AAS ），∴FE=FD ．本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，角平分线的性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导．。
