2016-2017学年湖北省鄂东南省级示范高中高一下学期期中联考数学(理)试题

湖北省部分重点中学2016-2017学年度下学期高一期末考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题只有一个选项符合题意。

1. 已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法中正确的是（）A. 若，，则B. 若∥，∥，则∥C. 若，，则∥D. 若∥，，则【答案】A【解析】逐一考查所给的线面关系：A. 若，，由线面垂直的定义，则B. 若∥，∥，不一定有∥，如图所示的正方体中，若取为，平面为上底面即为反例；C. 若，，不一定有∥，如图所示的正方体中，若取为，平面为上底面即为反例；D. 若∥，，不一定有如图所示的正方体中，若取为，平面为上底面即为反例；2. 直线的倾斜角的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】当时，直线的倾斜角为，否则直线倾斜角的斜率为：，此时直线的倾斜角的范围是：,综上可得：直线倾斜角的取值范围是.本题选择A选项.3. 若，则下列结论不正确的是（）A. B. C. D.【答案】C本题选择C选项.4. 若的图像是两条平行直线，则的值是（）A. 或B.C.D. 的值不存在【答案】B【解析】结合两直线平行的充要条件可得关于实数m的方程： , 即：，解方程可得：或 .本题选择A选项.5. 在正方体中，点在线段上运动，则异面直线与所成角的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵A1B∥D1C，∴CP与A1B成角可化为CP与D1C成角。

∵△AD1C是正三角形可知当P与A重合时成角为，∵P不能与D1重合因为此时D1C与A1B平行而不是异面直线，∴θ∈；本题选择B选项.6. 如图，正方形网格中，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的体积为7，则该几何体的表面积为（）A. 18B. 21C. 24D. 27【答案】C【解析】由三视图可知：该几何体为一个棱长为2x的正方体在一个角去掉一个棱长为x的正方体，余下的几何体。

∴该几何体的体积7=(2x)3−x3，解得x=1.∴该几何体的表面积=6×22=24.故选：C.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同．7. 已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为( )A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】D【解析】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶，则S奇=341,S偶=682,所以，∴，解得n=5，这个等比数列的项数为10，本题选择D选项.8. 已知边长为2的正方形的四个顶点在球的球面上，球的体积为，则与平面所成的角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设正方体的中心为，设球的半径为R，由题意可得：,解得：，即：，由正方形的性质可得：,结合球的性质可得：与平面所成的角的余弦值为.本题选择C选项.9. 变量满足，若存在使得，则k的最大值是（）A. 1B. 2C.D.【答案】A【解析】变量x,y满足的可行域如图：xy的几何意义是，如图虚线矩形框的面积，显然矩形一个顶点在C在线段x+y=2，第一象限部分上xy取得最大值,k=xy=x(2−x)=2x−x2，当x=1时1的最大值。

13．150m 14．8 15．{x |－2≤x ≤2或x ＝6}16．72 17．解：由题意，设这三个数分别是q a ，a ，aq ，且q ≠1，则qa＋a ＋aq ＝114① 2分 令这个等差数列的公差为d ，则a ＝qa＋(4－1)·d ． 4分 则d ＝31(a －q a )， 又有aq ＝qa +24)(31q a a -⨯⨯② 6分 由②得(q －1)(q －7)＝0，∵q ≠1，∴q ＝7． 8分 代入①得a ＝14，则所求三数为2，14，98． 10分 18．解：（1）由已知有：f (1)＝－3＋a (6－a )＋19＞0， 2分 即a 2－6a －16＜0，解得：－2＜a ＜8．所以不等式的解集为：(－2，8)． 4分 （2）由关于x 的不等式f (x )＞0的解集是(－1，3)可知： 6分 －1，3是关于x 的方程3x 2－a (6－a )x －c ＝0的两个根，则有 8分3313)6(310ca a -=⨯--=+->∆ 10分 解得：a ＝3±3，c ＝9． 12分 19．解：（1）依题意有a 2－a 4＝3(a 3－a 4)，即2a 1q 3－3a 1q 2＋a 1q ＝0， 2分 ∴2q 2－3q ＋1＝0． 4分∵q ≠1，∴q ＝21，故a n ＝64×(21)n －1n -=72． 6分（2）b n ＝log 2[64×(21)n －1]＝7－n ． ∴|b n |＝{77--n n 8分 当n ≤7时，T n ＝2)13(n n - ； 当n ＞7时，T n ＝T 7＋2)6)(7(--n n ＝21＋2)6)(7(--n n 10分故 Tn ={)7(212)6)(7()7(213212>+--≤+-n n n n n n 12分20．解：(1)∵A ＋B ＋C ＝180°，由4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，得4cos 2C 2－cos 2C ＝72， 2分∴4·1＋cos C 2－(2cos 2C －1)＝72，整理，得4cos 2C －4cos C ＋1＝0， 4分解得cos C ＝12，∵0°<C <180°，∴C ＝60°. 6分(2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即7＝a 2＋b 2－ab ，∴7＝(a ＋b )2－3ab ， 8分 由条件a ＋b ＝5，得7＝25－3ab ，ab ＝6， 10分 ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332. 12分 21. 解：（1）证明：根据正弦定理得，.sin sin cos cos AB B A =整理为，sin A cos A=sin B cos B ，即sin 2A=sin 2B. 2分∴2A=2B 或2A+2B=π，∴2π=+=B A B A 或. 4分,34=a b ∴舍去A=B.∴2A B π+=即2π=C .故△ABC 是直角三角形. 6分 （2）解：由（1）可得：a =6，b =8.在R t △ACB 中，.54cos ,53sin =∠==∠CAB AB BC CAB 8分∴=CAB CAB ∠⋅︒-∠⋅︒sin 60cos cos 60sin =).334(10153215423-=⨯-⨯ 10分连结PB ，在R t △APB 中，AP=AB ·cos ∠PAB=5.∴四边形ABCP 的面积PACAC AP ab S S S PAC ACB ABCP ∠⋅⋅+=+=∆∆sin 2121四边形=24+386-=18+38. 12分 22．解：（1）设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a ＝225x ＋360a －360． 2分 由已知xa ＝360，得a ＝x360， 4分 ∴y ＝225x ＋3603602-x(x ＞2)． 6分（2）∵x ＞2，∴225x ＋x 2360≥22360225 ＝10800． 8分∴y ＝225x ＋x 2360－360≥10440．当且仅当225x ＝x2360时，等号成立． 10分即当x ＝24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 12分。

湖北省鄂东南省级示范高中2016-2017学年高一化学下学期期中联考试题（含解析）可能用到的相对原子质量： N-14 O-16 Cu-64 I-127第 I卷（选择题，共42分）一、选择题（本部分共14小题，在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

小题每题3分，共42分。

）1．化学与生活密切相关，下列说法正确的是A．SO2可用于杀菌、消毒B．汽车尾气中含有大量大气污染物，这是汽油不完全燃烧造成的C．碘是人体必需微量元素，所以要多吃富含髙碘酸的食物D．海水淡化的方法主要有蒸馏法、电解法、离子交换法等【答案】A2．下列表示物质结构的化学用语正确的是A．Na2S的电子式： B．二氧化硅的分子式：SiO2C．18O的原子结构示意图： D．HClO分子的结构式：H—Cl—O【答案】C【解析】A．Na2S是离子化合物，电子式为，A错误；B．二氧化硅是原子构成的，不存在分子，B错误；C．18O的原子结构示意图：，C正确；D．HClO分子的结构式：H—O—Cl，D错误，答案选C。

【点睛】选项B和D是易错点，注意只有由分子组成的物质才存在分子式，SiO2表示化学式；掌握次氯酸的结构式应该从电子式的角度去分析：。

3．己知镍的金属活动性介于铁和锡之间。

工业上以氧化镍矿为原料制取高纯度的金属镍，最适宜的方法是A．氧化镍高温分解 B．电解熔融的氧化镍C．高温下用焦炭还原氧化镍 D．高温下用氢气还原氧化镍【答案】D4．用下列装置完成相关实验，合理的是A．图①：证明非金属性由强到弱的顺序是N>C>Si B．图②：收集NO2或NH3C．图③：海水蒸馏时接收蒸馏水 D．图④：探究浓硫酸的脱水性【答案】B【解析】A．硝酸易挥发生成的CO2中含有硝酸蒸汽，硝酸也能使硅酸钠转化为硅酸，因此图①不能证明非金属性强弱，A错误；B．NO2或NH3与空气不反应，可以用排空气法收集，因此可以用图②收集NO2或NH3，其中收集NO2是长口进短口出，收集氨气是短口进长口出，B正确；C．蒸馏时锥形瓶不能密封，C错误；D．鲜梨块悬在浓硫酸上方，不能验证脱水性，如鲜梨块变干，可说明浓硫酸的吸水性，D错误，答案选B。

2016-2017学年湖北省鄂东南省级示范高中联考高一下学期期中数学试卷（理科）一、选择题： (共12题；共24分)1．（2分）sin300°+cos390°+tan （﹣135°）=（ ）A ．√3 ﹣1B ．1C ．√3D ．√3 +12．（2分）已知a= (1e)x，b=x 2，c=lnx ，其中e 为自然对数的底数，则当x=e 时，a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b3．（2分）已知等差数列{a n }中，a 1+a 4+a 7= 54π ，那么cos （a 3+a 5）=（ ）A ．√32B ．﹣ √32C ．√22D ．﹣ √224．（2分）已知tan （α+β）= 25 ，tan （ β+π4 ）= 14，则tan （ α−π4 ）的值为（ ） A ．16B ．2213C ．322D ．13185．（2分）若函数y=f （x ）的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个图象沿x 轴向右平移 π2 个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到函数y= 12sinx 的图象，则y=f（x ）的解析式为（ ）A ．y= 12 sin （2x+ π2 ）+1B ．y= 12 sin （2x ﹣ π2 ）+1C ．y= 12 sin （ 12x+ π4 ）+1D ．y= 12 sin （ 12x ﹣ π4 ）+16．（2分）函数f （x ）=a x +b ﹣1（其中0＜a ＜1且0＜b ＜1）的图象一定不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．（2分）设函数f （x ）=sin （2x+ π6 ）+ √3 cos （2x+ π6 ），则（ ） A ．y=f （x ）在（0， π2 ）单调递增，其图象关于直线x= π4 对称 B ．y=f （x ）在（0， π2 ）单调递增，其图象关于直线x= π2 对称 C ．y=f （x ）在（0， π2 ）单调递减，其图象关于直线x=π4对称D ．y=f （x ）在（0， π2 ）单调递减，其图象关于直线x= π2 对称8．（2分）设θ是第四象限角，则点P （sin （sinθ），cos （sinθ））在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．（2分）已知非零向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）• BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =﹣ 12 ，则△ABC 为（ ） A ．等腰非等边三角形 B ．等边三角形 C ．三边均不相等的三角形D ．直角三角形10．（2分）已知f （x ）是奇函数，且对于任意x ∈R 满足f （2﹣x ）=f （x ），当0＜x≤1时，f （x ）=lnx+2，则函数y=f （x ）在（﹣2，4]上的零点个数是（ ） A ．7B ．8C ．9D ．1011．（2分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且3a 2+3b 2﹣c 2=4ab ，则△ABC（ ）A ．可能为锐角三角形B ．一定不是锐角三角形C ．一定为钝角三角形D ．不可能为钝角三角形12．（2分）函数f （x ）= 2sinx·cosx 1+sinx+cosx，x ∈（0， π2 ]的最大值M ，最小值为N ，则M ﹣N=（ ） A ．√2−12B ．√2 ﹣1C ．2 √2D ．√2 +1二、填空题： (共4题；共8分)13．（2分）已知 e 1⃗⃗⃗⃗ ， e 2⃗⃗⃗⃗ 为单位向量且夹角为 π3 ，设 a ⃗ = e 1⃗⃗⃗⃗ + e 2⃗⃗⃗⃗ ， b ⃗ = e 2⃗⃗⃗⃗ ， a⃗ 在 b ⃗ 方向上的投影为 ．14．（2分）已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=0，a n+2=a n+1﹣a n （n≥1），则a 2017= ．15．（2分）函数f （x ）= {ax 2−6x +a 2+1(x <1)x 5−2a (x ≥1) 是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是 ．16．（2分）在正项等差数列{a n }中a 1和a 4是方程x 2﹣10x+16=0的两个根，若数列{log 2a n }的前5项和为S 5且S 5∈[n ，n+1]，n ∈Z ，则n= ．三、解答题 (共6题；共65分)17．（10分）已知向量 a ⃗ =（4，5cosα）， b ⃗ =（3，﹣4tanα），α∈（0， π2 ）， a ⃗ ⊥ b ⃗ ． （1）（5分）求| a⃗ ﹣ b ⃗ |； （2）（5分）求cos （ 3π2+α）﹣sin （α﹣π）．18．（10分）已知函数f （x ）=cosωx•sin （ωx ﹣ π3 ）+ √3 cos 2ωx ﹣ √34（ω＞0，x ∈R ），且函数y=f（x）图象的一个对称中心到它对称轴的最近距离为π4．（1）（5分）求ω的值及f（x）的对称轴方程；（2）（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=0，sinB= 45，a= √3，求b的值．19．（10分）已知函数y=log2（ax2﹣2x+2）的定义域为Q．（1）（5分）若a＞0且[2，3]∩Q=∅，求实数a的取值范围；（2）（5分）若[2，3]⊆Q，求实数a的取值范围．20．（10分）在等差数列{a n}中，a15+a16+a17=﹣45，a9=﹣36，S n为其前n项和．（1）（5分）求S n的最小值，并求出相应的n值；（2）（5分）求T n=|a1|+|a2|+…+|a n|．21．（10分）如图，为迎接校庆，我校准备在直角三角形ABC内的空地上植造一块“绿地△ABD”，规划在△ABD的内接正方形BEFG内种花，其余地方种草，若AB=a，∠DAB=θ，种草的面积为S1，种花的面积为S2，比值S1S2称为“规划和谐度”．（1）（5分）试用a，θ表示S1，S2；（2）（5分）若a为定值，BC足够长，当θ为何值时，“规划和谐度”有最小值，最小值是多少？22．（15分）已知定义域为[0，e]的函数f（x）同时满足：①对于任意的x∈[0，e]，总有f（x）≥0；②f（e）=e；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤e，则恒有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．（1）（5分）求f（0）的值；（2）（5分）证明：不等式f（x）≤e对任意x∈[0，e]恒成立；（3）（5分）若对于任意x∈[0，e]，总有4f2（x）﹣4（2e﹣a）f（x）+4e2﹣4ea+1≥0，求实数a 的取值范围．答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：sin300°+cos390°+tan （﹣135°）=sin （﹣60°）+cos30°+tan （180°﹣135°）=﹣sin60°+cos30°+tan45°=﹣ √32 + √32 +1=1，故选：B ．【分析】由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果．2．【答案】B【解析】【解答】解：x=e 时，a= (1e )x=e ﹣e ，b=x 2=e 2，c=lnx=lne=1，故a ＜c ＜b ， 故选：B ．【分析】求出a ，b ，c 的值，比较大小即可．3．【答案】B【解析】【解答】解：∵等差数列{a n }中，a 1+a 4+a 7= 56π ，∴a 1+a 4+a 7=3a 4= 54π ，∴a 4=512π ，∴a 3+a 5=2a 4= 56π ， ∴cos （a 3+a 5）=cos 5π6 =﹣cos π6 =﹣ √32．故选：B ．【分析】利用等差数列通项公式求出a 3+a 5=2a 4= 56π ，由此利用诱导公式能求出cos （a 3+a 5）的值．4．【答案】C【解析】【解答】解：∵tan （α+β）= 25 ，tan （ β+π4 ）= 14，∴tan （ α−π4 ）=tan[（α+β）﹣（ β+π4 ）]= tan(α+β)−tan(β−π4)1+tan(α+β)tan(β−π4 = 25−141+25×14= 322 ． 故选：C ．【分析】由已知利用两角差的正切函数公式即可化简求值得解．5．【答案】A【解析】【解答】解：由题意可得，把函数y= 12sinx 的图象沿y 轴向上平移1个单位， 可得函数y= 12sinx+1的图象；再将整个图象沿x轴向左平移π2个单位，可得函数y=12sin（x+ π2）+1的图象；再把横坐标变为原来的12倍，可得函数y= 12sin（2x+ π2）+1=f（x）的图象，故选：A．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得f（x）的解析式．6．【答案】C【解析】【解答】解：由0＜a＜1可得函数y=a x的图象单调递减，且过第一、二象限，∵0＜b＜1，∴﹣1＜b﹣1＜0，∴0＜1﹣b＜1，y=a x的图象向下平移1﹣b个单位即可得到y=a x+b﹣1的图象，∴y=a x+b的图象一定在第一、二、四象限，一定不经过第三象限，故选：C．【分析】由0＜a＜1可得函数y=a x的图象单调递减，且过第一、二象限，再利用图象的平移，可得结论．7．【答案】D【解析】【解答】解：函数f（x）=sin（2x+ π6）+ √3cos（2x+π6），化简可得：f（x）=sin（2x+ π6+ π3）=cos2x．根据余弦函数的图象和性质，2kπ≤2x≤2kπ+π，可得：kπ≤x≤kπ+π2∴递减区间为[kπ，kπ+π2]，k∈Z．∵对称轴方程2x=kπ，k∈Z．∴函数的对称轴方程为x= π2k，k∈Z．故选D【分析】利用辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增减区间上，解不等式得函数的单调区间；根据对称轴方程求解对称即可．8．【答案】B【解析】【解答】解：根据题意，令t=sinθ，若θ是第四象限角，则﹣1＜sinθ＜0，即﹣1＜t＜0，t为第四象限的角，则sint＜0，cost＞0，则点P 的横坐标小于0，纵坐标大于0，故P 在第二象限； 故选：B ．【分析】根据题意，令t=sinθ，由θ所在的象限分析可得﹣1＜sinθ＜0，分析可得t 为第四象限的角，由三角函数的符号可得sint ＜0，cost ＞0，即可得P 的横纵坐标的符号，即可得答案．9．【答案】A【解析】【解答】解： AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别是 AC⃗⃗⃗⃗⃗ 、 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向的单位向量， 向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在∠BAC 的平分线上，由（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）• BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0知，AB=AC ， 由 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =﹣ 12 ，可得∠CAB=120°，∴△ABC 为等腰非等边三角形， 故选A ．【分析】利用单位向量的定义及向量的数量积为0两向量垂直，得到等腰三角形；利用向量的数量积求出三角形的夹角，得到非等边三角形．10．【答案】C【解析】【解答】解：由函数f （x ）是奇函数且满足f （2﹣x ）=f （x ）知，f （x ）是周期为4的周期函数，且关于直线x=1+2k （k ∈R ）成轴对称，关于点（2k ，0）（k ∈Z ）成中心对称．当0＜x≤1时，令f （x ）=lnx+2=0，得x= 1e 2 ，由此得y=f （x ）在（﹣2，4]上的零点分别为﹣2+1e 2 ，﹣ 1e 2 ，0， 1e 2 ，2﹣ 1e 2 ，2，2+ 1e 2 ，﹣ 1e 2+4，4共9个零点． 故选C ．【分析】由函数f （x ）是奇函数且满足f （2﹣x ）=f （x ）知，f （x ）是周期为4的周期函数，且关于直线x=1+2k （k ∈R ）成轴对称，关于点（2k ，0）（k ∈Z ）成中心对称，再求出函数的零点，即可得出结论．11．【答案】B【解析】【解答】解：当3a 2+3b 2﹣c 2=4ab ，即a 2+b 2﹣c 2=﹣2a 2﹣2b 2+4ab=﹣2（a ﹣b ）2，∴cosC= a 2+b 2−c 22ab ≤ −2(a−b)22ab≤0，∵C ∈（0，π）， ∴C 不可能为锐角．故选：B．【分析】利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入得到cosC的范围，确定出C的范围，即可得到结果．12．【答案】B【解析】【解答】解：令t=sinx+cosx= √2（√22sinx+ √22cosx）= √2sin（x+ π4），x∈（0，π2]，可得x+ π4∈（π4，3π4]，当x+ π4= π2即x= π4时，t取得最大值√2，当x+ π4= 3π4即x= π2时，t取得最小值1，则t∈[1，√2]．又t2=sin2x+cos2x+2sinxcosx=1+2sinxcosx，可得2sinxcosx=t2﹣1，函数y=g（t）= t 2−11+t=t﹣1，由g（t）在t∈[1，√2]递增，可得g（t）的最小值为1﹣1=0，最大值为√2﹣1．即有M﹣N= √2﹣1﹣0= √2﹣1．故选：B．【分析】令t=sinx+cosx，运用两角和的正弦公式，化为一个角的正弦形式，结合条件和正弦函数的图象和性质，可得t的范围，再由两边平方，可得t的函数式，化简后运用一次函数的单调性，即可得到所求最值之差．13．【答案】32【解析】【解答】解：a⃗·b⃗=(e1+e2)·e2⃗⃗⃗⃗= e1·⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e2⃗⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗⃗ 2= 12+1= 32，且|b⃗|=1；∴a⃗在b⃗方向上的投影为：|a |cos<a ,b⃗>=|a |·a⃗⃗ ·b⃗⃗|a⃗⃗ ||b⃗⃗ |= a⃗⃗·b⃗⃗|b⃗⃗ |=32．故答案为：32．【分析】可知e1⃗⃗⃗⃗ =e2⃗⃗⃗⃗ =1，且<e1⃗⃗⃗ ,e2⃗⃗⃗ >=π3，这样即可求出a⃗·b⃗及b⃗的值，从而得出a⃗在b⃗方向上投影的值．14．【答案】1【解析】【解答】解：∵a1=1，a2=0，a n+2=a n+1﹣a n（n≥1），∴a3=a2﹣a1=﹣1，a4=a3﹣a2=﹣1，a5=a4﹣a3=0，a6=a5﹣a4=1，a7=a6﹣a5=1，a8=a7﹣a6=0，a9=a8﹣a7=﹣1，a10=a9﹣a8=﹣1，…，∴a n+6=a n．则a2017=a6×336+1=a1=1．故答案为：1．【分析】利用递推公式可得数列的周期性，即可得出．15．【答案】（52，3]【解析】【解答】解：∵函数f（x）= {ax2−6x+a2+1(x<1)x5−2a(x≥1)是R上的单调递减函数，∴a⃗·b⃗=(e1+e2)·e1·⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e2⃗⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗⃗ 212+1|b⃗|=1|a⃗|cos<a⃗，b⃗>=|a⃗|·a⃗⃗·b⃗⃗|a⃗⃗||b⃗⃗ |=a⃗⃗·b⃗⃗|b⃗⃗ |=32<e1⃗⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗⃗ >=π352{ax2−6x+a2+x5−2a(x≥{a>03a≥15−2a<02a2−5≥1，求得52＜a≤3，故答案为：（52，3]．【分析】利用函数的单调性的性质，二次函数、幂函数的性质，求得实数a的取值范围．16．【答案】11【解析】【解答】解：∵在正项等差数列{a n}中a1和a4是方程x2﹣10x+16=0的两个根，∴a1＜a4，解方程得：a1=2，a4=8，d= 8−24−1=2，∴a n=2+（n﹣1）×2=2n，∴log2a n=log2（2n）=1+log2n，数列{log2a n}的前5项和为S5且S5∈[n，n+1]，n∈Z，∴S5=5+log21+log22+log23+log24+log25=8+log215∈[11，12]，∴n=11．故答案为：11．【分析】推导出a n=2n，从而log2a n=log2（2n）=1+log2n，进而S5=5+log21+log22+log23+log24+log25=8+log215，由此能求出结果．17．【答案】（1）解：由题意，a⃗⊥b⃗．∴a⃗• b⃗=0，即12﹣20sinα=0，可得sinα= 35．∵α∈（0，π2）∴cosα= 45，tanα= 43．∴向量a⃗=（4，4），b⃗=（3，﹣3），那么：a⃗﹣b⃗=（1，7）则| a⃗﹣b⃗|= √1+49=5√2（2）解：由cos（3π2+α）﹣sin（α﹣π）=sinα+sinα=2sinα由（1）可得sinα= 35．∴cos（3π2+α）﹣sin（α﹣π）=2sinα= 65．【解析】【分析】（1）根据a⃗⊥b⃗．可得a⃗• b⃗=0，求解出sinα，可得向量a⃗，b⃗的坐标．即可求| a⃗﹣b⃗|；（2）利用诱导公式化简后，将α代入计算即可．18．【答案】（1）解：函数f（x）=cosωx•sin（ωx﹣π3）+ √3cos2ωx﹣√34（ω＞0，x∈R），化简可得：f（x）= 12sinωxcosωx﹣√32cos2ωx+ √3cos2ωx﹣√34（ω＞0，x∈R），= 14sin2ωx+ √32cos2ωx﹣√34= 14sin2ωx+ √34cos2ωx= 12sin（2ωx +π3）∵函数y=f（x）图象的一个对称中心到它对称轴的最近距离为π4．∴T=4× π4 =π，∴2π2ω=π ， 故得ω=1．∴f （x ）= 12sin （2x +π3 ）， 对称轴方程：2x +π3 = π2+k π ，得：x= 12k π+π12，k ∈Z ． ∴f （x ）的对称轴方程为：x= 12k π+π12，k ∈Z ． （2）解：∵f （A ）=0，即sin （2A +π3 ）=0，∴2A +π3 =kπ，∵0＜A ＜π，∴A= π3 ，∵sinB= 45，a= √3 ， 由正弦定理， a sinA =b sinB ，可得： √332=b 45 ，解得：b= 25 ． 故得b 的值为： 25． 【解析】【分析】（1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin （ωx+φ）的形式，对称中心到它对称轴的最近距离为 π4 ，可得周期T ，从而求出ω．结合三角函数的图象和性质，可得f （x ）的对称轴方程；（2）根据f （A ）=0，求解出A 角的大小，sinB= 45，a= √3 ，根据正弦定理可得b 的值．19．【答案】（1）解：由题意，a ＞0，Q ⊆（﹣∞，2）∪（3，+∞），∴{4a −4+2≥09a −6+4≥0，∴a≥ 23 ； （2）解：由已知Q={x|ax 2﹣2x+2＞0}，若P ⊆Q ，则说明不等式ax 2﹣2x+2＞0在x ∈[2，3]上恒成立， 即不等式a ＞ 2x −2x2 在x ∈[2，3]上恒成立， 令u= 2x −2x2 ，则只需a ＞u max 即可．又u= 2x −2x 2 =﹣2（ 1x ﹣ 12 ）2+ 12 ． 当x ∈[2，3]时， 1x ∈[ 13 ， 12 ]，从而x=2时，u max = 12， ∴a ＞ 12， 所以实数a 的取值范围是a ＞ 12． 【解析】【分析】（1）由题意，a ＞0，Q ⊆（﹣∞，2）∪（3，+∞），即可求实数a 的取值范围；（2）P ⊆Q ，则说明不等式ax 2﹣2x+2＞0在x ∈[2，3]上恒成立，分离参数后转化为函数最值问题即可解决．20．【答案】（1）解：等差数列{a n }中，a 15+a 16+a 17=﹣45，a 9=﹣36，∴3a 1+45d=﹣45，a 1+8d=﹣36，解得a 1=﹣60，d=3．∴a n =﹣60+3（n ﹣1）=3n ﹣63．S n = n(−60+3n−63)2 = 3n 2−123n 2． 令a n =3n ﹣63≤0．解得n≤21．∴n=20或21时S n 取得最小值= 3×212−123×212=﹣630． （2）解：n≤21时，T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=﹣（a 1+a 2+…+a n ）=﹣S n ．n≥22时，T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=﹣（a 1+a 2+…+a 21）+a 22+…+a n =﹣2S 21+S n = 3n 2−123n 2﹣2×（﹣630）= 3n 2−123n 2+1260． 【解析】【分析】（1）利用等差数列通项公式与求和公式即可得出．（2）n≤21时，T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=﹣（a 1+a 2+…+a n ）=﹣S n ．n≥22时，T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=﹣（a 1+a 2+…+a 21）+a 22+…+a n =﹣2S 21+S n ．21．【答案】（1）解：∵BD=atanθ，∴△ABD 的面积为 12a 2tan θ （ ∈(0，π2) ） 设正方形BEFG 的边长为t ，则由 FG AB =DG DB 得 t a =atanθ−t atan θ，∵t= atanθ1+tan θ ， ∴S 2= a 2tan 2θ(1+tan θ)2 ，∴S 1= 12a 2tan θθ ﹣S 2= 12a 2tan θθ ﹣ a 2tan 2θ(1+tan θ)2 ， （2）解：由（1） S 1S 2 = (1+tanθ)22tan θ ﹣1， ∵tanθ∈（0，+∞），∴S 1S 2 = (1+tanθ)22tan θ ﹣1= 12 （tanθ+ 1tan θ ≥1， 当且仅当tanθ=1时取等号，此时θ= π4 ．∴当θ= π4 时，“规划和谐度”有最小值，最小值是1．【解析】【分析】（1）求出△ABD 的面积为，设正方形BEFG 的边长为t ，利用三角形的相似求出S 2，然后求出S 1；（2）由（1） S 1S 2 = (1+tanθ)22tan θ ﹣1，通过tanθ∈（0，+∞），通过基本不等式推出，当θ= π4 时，“规划和谐度”有最小值，最小值是1．22．【答案】（1）解：令x 1=0，x 2=0，得f （0）≤0，又对于任意的x ∈[0，e]，总有f （x ）≥0，∴f （0）=0，（2）解：证明：设0≤x 1≤x 2≤e ，则x 2﹣x 1∈（0，e]∴f （x 2）﹣f （x 1）=f （（x 2﹣x 1）+x 1）﹣f （x 1）≥f （x 2﹣x 1）+f （x 1）﹣f （x 1）=f （x 2﹣x 1）≥0， ∴f （x 2）≥f （x 1），∴f （x ）在[0，e]上是单调递增的，∴f （x ）≤f （e ）=e ，（3）解：∵f （x ）在[0，e]上是增函数，∴f （x ）∈[0，e]，∵4f 2（x ）﹣4（2e ﹣a ）f （x ）+4e 2﹣4ea+1≥0，∴4f 2（x ）﹣8ef （x ）+4e 2+1≥4a[e ﹣f （x ）]，当f （x ）≠e 时，a≤ 4f 2(x)−8ef(x)+4e 2+14[e−f(x)]， 令y= 4f 2(x)−8ef(x)+4e 2+14[e−f(x)] = 4[e−f(x)]2+14[e−f(x)] =e ﹣f （x ）+ 14[e−f(x)] ≥e ，当且f （x ）=e ﹣ 12 时取等号，∴a≤e ，当f （x ）=e 时，4f 2（x ）﹣4（2e ﹣a ）f （x ）+4e 2﹣4ea+1=4e 2﹣4（2e ﹣a ）e+4e 2﹣4ea+1=1≥0恒成立，综上所述a≤e．【解析】【分析】（1）令x1=0，x2=0代入即可得到答案，（2）用定义确定函数f（x）在[0，e]上是单调递增的，求出函数的最值即可，（3）先根据函数f（x）的单调性确定函数f（x）的取值范围，再分离参数的方法将a表示出来用基本不等式求出a的范围．。

高一下学期期中考试数学（理）试题一、选择题1．已知集合{|33}A x x =-<<， (){|lg 1}B x y x ==+，则集合A B ⋂为（ ） A. [)0,3 B. [)1,3- C. ()1,3- D. (]3,1-- 【答案】C【解析】解：由题意可知： {}1B x x =- ，则{|13}A B x x ⋂=-<< ，即A B ⋂为()1,3- . 本题选择C 选项.2．在等差数列{}n a 中， 7116a a =， 4145,a a +=则该数列公差d 等于（ )A.14 B. 13或12- C. - 14 D. 14或- 14 【答案】D【解析】解：由等差数列的性质可知： 4147115a a a a +=+= ，据此可得： 7117115{6a a a a +== ，解得： 7112{3a a == 或7113{2a a == ，等差数列的公差： 731734a a d -==-- 或731734a a d -==- . 本题选择D 选项.3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若c=2，,B=120°，则a 等于（ ）A.B. 1C. D. 3【答案】B【解析】解：由余弦定理有： 2222cos b a c ac B =+- ， 结合题意可得： ()()2230,130a a a a +-=-+= ， 解得： 1a = (3a =-舍去).本题选择B 选项.4．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且2580a a +=，则32S S ：的值为（ ） A. -3 B. 5 C. -8 D. -11 【答案】A【解析】解：由题意可知： 332280,80,2a a q q q +=∴+==- ，则： 223111211131S a a q a q q q S a a q q++++===-++ .本题选择A 选项.5．已知向量a 与b 的夹角为60,2,5a b == ，则｜2a b - ｜的值为（ ） A. 21B. ．．【答案】B【解析】解：由题意可知： 25cos605a b ⋅=⨯⨯=，则：2a b -===本题选择B 选项.6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=﹣11，a 4+a 6=﹣6，则a3等于（ ） A. 16 B. 37 C. -7 D. 9 【答案】C【解析】解：由等差数列的性质可知：()51465531263,2,31751a aa a a a d a a d -+==-⇒=-∴===+-⨯=-- .本题选择C 选项.7．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．且a:b:c=3:5:7试判断该三角形的形状( )A 钝角三角形B 锐角三角形C 直角三角形D 等边三角形 【答案】A【解析】解：不妨设△ABC 的三边长度为3,5,7a b c === ，由大角对大边可得最大角的余弦值为： 22292549cos 02235a b c C ab +-+-==<⨯⨯ ，即∠C 为钝角，△ABC 是钝角三角形.本题选择A 选项.8．已知平面向量,a b 满足3,2,a b a == 与b 的夹角为60,若()a mb a -⊥ ,则实数m 的值为（ ）1 B ． 32C ． 2D ． 3【答案】D【解析】解：由题意可知： 32cos603a b ⋅=⨯⨯=，且：()20,0,9303a mb a a ma b m m -⋅=-⋅=-=⇒=.本题选择D 选项. 点睛：(1)当向量a 与b 是坐标形式给出时，若证明a ⊥b ，则只需证明a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)当向量a ，b 是非坐标形式时，要把a ，b 用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a·b ＝0.(3)数量积的运算a·b＝0⇔a⊥b中，是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.9．在△ABC中，A＝60︒，b＝1sin C的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由题意可知：222111604,222S bcsinA c sin caa b ccosCabsinC==⨯⨯⨯====+-====本题选择C选项.10．如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若AE AB ACλμ=+，则λμ+的值为（）A.12B.12- C. 1 D. 1-【答案】A【解析】试题分析：()1122AE AD DE AC AB AB AB AC=+=-+=-+，所以1,12λμ=-=，12λμ+=．故选A．【考点】平面向量的线性运算．11．已知数列{}n a中，()*111,21,n n na a a n N S+==+∈为其前n项和，5S的值为（）A. 63B. 61C. 62D. 57【答案】D【解析】解：由数列的递推关系可得：()11121,12n na a a++=++=，据此可得：数列{}1na+是首项为2，公比为2的等比数列，则：1122,21n nn na a-+=⨯⇒=-，分组求和有： ()5521255712S ⨯-=-=- .本题选择D 选项.12．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，设4(log 7)a f =，12(log 3)b f =，0.6(0.2)c f =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c << 【答案】B 【解析】试题分析：由题设函数)(x f 在),0[+∞上单调减,又因3log 3log 221-=,且3log 7log 7log 224<=,故3log 7log 12.0226.0<<<,则)3(log )7(log )2.0(226.0f f f >>,即b a c >>．应选B ．【考点】函数的基本性质和指数对数函数的图象与性质．【易错点晴】本题考查的是基本初等函数的图象和性质及数形结合的数学思想的综合运用问题,解答时运用指数函数对数函数的有关知识比较出3lo g 7lo g 12.0226.0<<<,再借助函数的奇偶性,将问题进一步等价转化,即先比较出3log ,7log ,2.0226.0的大小关系,进而借助函数的单调性可得)3(log )7(log )2.0(226.0f f f >>,从而得到)3(log )7(log )2.0(246.0f f f >>,即b a c >>．二、填空题13．函数()()212log 23f x x x =--的单调递增区间是____．【答案】--1∞（，） 【解析】解：函数有意义，则： 2230x x --> ，解得： {31}x x x <-或 ， 结合二次函数的性质和复合函数单调性同增异减可知： 函数的单调递增区间为： (),1-∞- .点睛：复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数，若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]必为减函数．14．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里：驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：需 ______日相逢. 【答案】9【解析】解：由题意可知：良马与驽马第n 天跑的路程都是等差数列，设路程为{}{},n n a b ， 由题意有：()()1111031131390,97197222n n a n n b n n ⎛⎫=+-⨯=+=+-⨯-=-+ ⎪⎝⎭ ，故： 111871222n n n c a b n =+=+ ，满足题意时，数列{}n c 的前n 项和为112522250n S =⨯= ，由等差数列前n 项和公式可得： 11111871218712222222502n n ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⨯= ，解得： 9n = .即二马相逢，需9日相逢点睛：本题考查数列的实际应用题. (1)解决数列应用题的基本步骤是：①根据实际问题的要求，识别是等差数列还是等比数列，用数列表示问题的已知；②根据等差数列和等比数列的知识以及实际问题的要求建立数学模型； ③求出数学模型，根据求解结果对实际问题作出结论． (2)数列应用题常见模型：①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量，该模型是等差数列模型，增加(或减少)的量就是公差；②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比；③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n 与a n －1的递推关系，或前n 项和S n 与S n －1之间的递推关系．15．在ABC ∆中， 111,2,4,,,2224A AB AC AF AB CE CA BD BC π∠====== ，则·DE DF的值为_______ 【答案】【解析】试题分析：如图所示，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则()()3,1,0,2,1,02D E F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故3131,1,112244DE DF ⎛⎫⎛⎫⋅=---=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【考点】向量运算．16．已知()f x 是定义在R 上的奇函数, 当0x ≥时, ()22f x x x =+, 若()()22f a f a ->,则实数a 的取值范围是_______．【答案】(-2,1)【解析】解：由函数在0x ≥ 时的解析式可得，当0x < 时， ()22f x x x =-+ ， 由函数的解析式可知，奇函数()f x 在定义域R 上单调递增，由函数的单调性可得： 22a a -> ，求解不等式可得实数a 的取值范围是：()2,1- .点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)，若f (x )为奇函数，则()()f x f x -=-．三、解答题17．已知关于x 的不等式()()21120m x m x -+-+>（1）若m=0,求该不等式的解集（2）若该不等式的解集是R ，求m 的取值范围。

湖北省2016年春季部分重点中学期中联考高二数学试卷（理科）考试时间：2016年4月27日上午8:00～10:00 试卷满分：150分一、选择题：每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 复数i iz 212-+=的虚部为 （ ） A ． 35- B ．i 35- C ．1 D ． i2．设随机变量ξ~),1(2σN ,若8.0)2(=<ξP ,则)10(<<ξP 的值为 （ ）A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.63．已知某射击运动员，每次击中目标的概率是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 （ ） A ．0.85 B ．0.75 C ．0.8 D ．0.81924．五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为 ( ) A ．14B ．23C ．13D ．1105.若随机事件A 在一次试验中发生的概率为)10(<<p p ，用随机变量ξ表示A 在一次试验中发生的次数，则ξξE D 14-的最大值为 （ ） A ．2 B ．-1 C ．0 D ．16.在4)1)((x x a ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a 的值为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．47.已知a 是常数，函数3211()(1)232f x x a x ax =+--+的导函数'()y f x =的图像如右图所示，则函数()|2|x g x a =-的图像可能是 （ ）8．记抛物线2)(x x x f -=与x 轴所围成的平面区域为M ，该抛物线与直线x y 31=所围成的平面区域为A ，若向区域M 内随机抛掷一点P ，则点P 落在区域A 的概率为 （ ） A ．278 B ． 31 C ．92 D ．277 9.某公司新招聘进8名员工，现将其平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门，三名电脑编程人员也不能分给同一个部门，则不同的分配种数是（ ） A ．18 B ．24 C ．36 D ．7210．若函数1ln )(2+-+=x x x x f 在其定义域的一个子区间)2,12(+-k k 内不是单调函数，则实数k 的取值范围是 （ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-43,23 B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,21 C ．⎪⎭⎫⎝⎛-3,23 D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,2111．若1021<<<x x ，则 （ ）A ．12ln ln 12x x e e x x -<-B ．12ln ln 12x x e e x x ->-C ．2112x x e x e x <D ．2112x x e x e x > 12．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．1 2 3 4 5 … 2013 2014 2015 20163 5 7 9 ………… 4027 4029 4031 8 12 16 ………………… 8056 8060 20 28 ………………………… 16116 …………………………………………该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为 （ ）A ．201520172⨯B ．201420172⨯C ．201520162⨯D ．201420162⨯二、填空题：每小题5分，共20分，将答案填在答题卡的横线上．13.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销， 得到如下数据：利用上述数据求得线性回归方程为a x y +-=4ˆ,从这些样本点中任取一点，则它在回归直线下方的概率为_____ 14.在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角分别为α、β，则有22cos cos 1αβ+=，类比到空间中的一个正确命题是：在长方体1111ABCD A B C D -中，对角线1AC 与相邻三个面所成的角分别为α、β、γ，则222cos cos cos αβγ++=_________.15.已知⎰=πsin 5xdx n ，则二项式n c b a )32(+-的展开式中32-n bc a 的系数为__________16.对于函数)(x f 给出定义：设)('x f 是函数)(x f y =的导数，)(''x f 是函数)('x f 的导数，若方程0)(''=x f 有实数解0x ，则称点))(,(00x f x 为函数)(x f y =的“拐点”.某同学经过探究发现，任何一个三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数12532131)(23-+-=x x x x f ，请你根据探究结果，计算⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛20172016201732017220171f f f f Λ=_________ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）某地区在对人们休闲方式的一次调查中，共调查了120人，其中女性70人，男性50人。

C鄂东南教改联盟学校2015年秋季期中联考高三数学（理科）答案一、选择题：1、C2、A3、C4、B5、A6、C7、A8、C9、B 10、D 11、C 12、B 11、如图，易知BCD ∆的面积最大 12、 解：令2)()(x x f x F -=，0)()()()()(22=---+-=-+x x f x x f x F x F∴函数)(x F 为奇函数∵(0,)x ∈+∞时，02)()(,,>-=x x f x F ，函数)(x F 在(0,)x ∈+∞为增函数又由题可知，0)0(,0)0(=∴=F f ，所以函数)(x F 在R 上为增函数由)(44)2(m f m m f ≥-+-可知22)()2()2(m m f m m f -≥---即)()2(m F m F ≥-所以12≤≥-m m m 即有二、填空题：13、2 14、 5 15、 73 16、78-≤a 三、解答题（17—21为必做题）17. 解：由2122(3)n n n S S S n --+=+≥知1122n n n n S S S S ----=-+ ……………………………2分 1122(3)n n n n a a a a n --∴=+∴-=≥ ……………………………4分又212a a -=故12(2)n n a a n --=≥{}n a ∴为等差数列 ……………………………6分（1） 由（1）知，21213n n nn a n b +=+∴=()1221113521333n n n T b b b n ∴=++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯ ①231111135(21)3333n n T n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯ ② ………8分 ①-②得：2312111113222(21)333333n n n T n +∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-+⨯ 1111(1)211411332(21)(21)133333313n n n n n T n n ++⎛⎫- ⎪∴=+-+⨯=--+⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭ ………………10分 12(2)3n n T n ∴=-+⋅ …………………………12分18、解：（1）将sin y x =的图像向左平移6π个单位长度可得sin()6y x π=+的图像，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得1sin()26y x π=+的图像，故1()sin()26f x x π=+ …………6分（2）令13282244226233k x k k x k πππππππππ+≤+≤+∴+≤≤+ 又[]0,3x π∈20,()3x f x π⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦单调递增，28,()33x f x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，8,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 单调递增，max min ()1,()1f x f x ==-0x =时12m =，3x π=时2m =- 故方程()f x m =有唯一实数根的m的取值范围为{}11,122m ⎛⎫∈-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭…………12分19.解：（1）法1：化简()f x 得3()()f x x a =-…………1分由()f x 的图像关于点(1,0)成中心对称，则(1)(1)0f x f x ++-=…………2分即()(2)0f x f x +-=代入()f x 得()()3320x a x a -+--=整理得：()3236(1)12(1)20a x a x a a -+-+--=对x R ∈恒成立则()33366012(1)01()1(2)0a a a f x x a a -=⎧⎪-=∴=∴=-⎨⎪--=⎩…………6分法2：3()f x x =是奇函数，3()()()f x x a a R =-∈是将()f x 的图像向左（0a <）或向右（0a >）平移a 个单位，由题意平移后的图像关于点(1,0)成中心对称，故1a = （2）232()()2(1)2g x f x x x x =-=--2121()31030,33g x x x x x '∴=-+=∴==又[]1,1x ∈-则11,3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()g x 递增，1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 递减，故max 114()()327g x g ==-(1)10,(1)2()min 10g g g x -=-=-∴=-…………10分综上，max 14()27g x =-min ()10g x =-…………12分20.解法一：（１）如图：,,AC ACBD O =连设1.AP B G OG 1与面BDD 交于点，连 ……1分1111//,,PC BDD B BDD B APC OG =因为面面面故//OG PC .所以122mOG PC ==.又111,,AO DB AO BB AO BDD B ⊥⊥⊥所以面　……3分 故11AGO AP BDD B ∠即为与面所成的角。

2016春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高一期中联考数 学 试 题本试卷共 2 页，共 22 题。

满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合}032|{2<--=x x x A ，集合}12|{1>=+x x B ，则∁B A ＝ A ．(3，＋∞) B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)2.已知函数)(x f 是定义在R 上的增函数，)1,3(),1,0(B A -是其图象上的两点，那么不等式1)1(1≤+≤-x f 的解集是A ．[-1，2]B ．（-∞，-1）∪（2，+∞）C ．（-1，2）D ．（-∞，-1] ∪ [2，+∞）3.=-+050tan 70tan 350tan 70tan A ．3-B ．33 C ．33- D ．34．已知数列{a n }的前n 项为S n ，且满足关系式lg(S n －1)＝n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝ A ．9·10n －1B.⎩⎨⎧≥=⋅-2,1,109111n n n C ．10n＋1D. ⎩⎨⎧≥=+2,1,1109n n n5．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，3=BC ，E 是CD 的中点，那么=⋅DC AE A ． 4 B ． 2C 3D ． 16．如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧河岸边选定一点C ，测得AC 的距离为50 m ，∠ACB＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点间的距离为 A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 mD ．25 22m7．若角α与角β的终边关于y 轴对称，则 A. )(Z k k ∈+=+ππβαB ．)(2Z k k ∈+=+ππβαC ．)(2Z k k ∈+=+ππβα D ．)(22Z k k ∈+=+ππβα8．定义在R 上的函数f (x )是偶函数，且f (x )＝f (2－x )．若f (x )在区间[1，2]上是减函数，则f (x ) A ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数 B ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数 C ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数 D ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数9．已知集合}),(|{R n m a a M ∈+==λλ，},|{R n m b b N ∈+==μμ，其中n m ,是一组不共线的向量，则M∩N 中元素的个数为 A ． 0B ． 1C ． 大于1但有限D ．无穷多10．把1，3，6，10，15，…这些数叫作“三角形数”，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，则第七个三角形数是第6题图第5题图A ．27B ．28C ．29D ．3011．函数)sin()(ϕω+=x A x f (其中0,0>>ωA )的部分图像如图所示，则)2016()3()2(f f f +++ 的值为 A ．2 B ．22+ C ．0 D ．2-12．在平面直角坐标系中，如果不同的两点),(b a A ，),(b a B -在函数)(x f y =的图象上，则称),(B A 是函数)(x f y =的一组关于y 轴的对称点（),(B A 与),(A B 视为同一组）则函数31,0()2log ,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，关于y 轴的对称点的组数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．4二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在等差数列{a n }中，=+=+75833a ,10a a a 则已知 _______．14．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+-=1,log 1,)(312x x x x x x f ，若对任意的x∈R ，不等式m m x f 43)(2-≤恒成立，则实数m的取值范围为________．15．关于函数))(62sin()(R x x x f ∈-=π，给出下列三个结论：①对于任意的R x ∈，都有)322cos()(π-=x x f ； ②对于任意的R x ∈，都有)2()2(ππ-=+x f x f ；③对于任意的R x ∈，都有)3()3(x f x f +=-ππ．其中，全部正确结论的序号是________．16．定义在[]1,0上的函数)(x f 满足: ①;0)0(=f ②;1)1()(=-+x f x f ③);(21)3(x f x f =④当1021≤<≤x x 时，)()(21x f x f ≤.=)20161f(则_______． 三、解答题（共6小题，满分70分） 17．（本小题满分12分）已知函数23sin 3cos sin )(2-+=x x x x f （1）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈127,12ππx 时，求函数f(x) 的值域； （2）求函数()x f 的单调递增区间和其图象的对称中心.第10题图第11题图18．（本小题满分12分）设数列{n a }满足222213221n a a a a n n =++++- (n ∈N *)． （1）求数列{n a }的通项公式；（2）设n n a nb =，求数列{n b }的前n 项和n S .19．（本小题满分12分）已知向量a ＝3x 3cos,sin 22x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝x cos ,sin 22x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且x∈[0，2π]．（1）求a ·b 及|a ＋b |的值；（2）若f(x)＝a ·b －2λ|a ＋b |的最小值是－23，求实数λ的值． 20．（本小题满分12分）某单位拟建一个扇环形状的花坛(如图所示)，按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度)．（1）求θ关于x 的函数关系式；（2）已知对花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用之比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出y 的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数)0(1)1()(2>++=-a a x g x 的图象恒过定点A ，且点A 又在函数)(log )(3a x x f +=的图象上.（1）求实数a 的值；（2）当方程b x g 22)2(=-+有两个不等实根时，求b 的取值范围； （3）设*+∈⋅-=+=N n a a a b n g a n n n n n ,1),2(1，求证：）N （n b b b b n *∈<++++,31321 .` 22．（本小题满分10分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，已知b 2＋c 2＝a 2＋bc. （1）求角A 的大小；（2）若2sin 2B 2＋2sin 2C2＝1，判断△ABC 的形状．2016春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高一期中联考数学参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．B 2. A 3.A 4．B 5．B 6. A 7.B 8. B 9．B 10.B 11．D 12．C 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13. 20 14. ][),141,(+∞⋃--∞ 15．① ② ③ 16.1281 三、解答题（共6小题，满分70分） 17.（本小题满分12分） 解:（1）)32sin(2cos 232sin 21)(π-=-=x x x x f ,…………………………4 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈127,12ππx 时, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈1,21)(x f (6)(2)由题知,使f(x)单调递增, 则须Z k k k x Z k k k x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-∈∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-∈-,125,12,,22,2232πππππππππ解得 Z k k k f(x)∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-∴,125,12ππππ的单增区间为 (9)令12026,26,32 Z k k k x k x ∈++==-），，则对称中心为（解得ππππππ18．（本小题满分12分） 解：(1)当 n ＝1时，得a 1＝21……………………………………………………………………………1 当n ≥2时，∵a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝2n ，①∴a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝21-n .②由①－②，得2n －1a n ＝21，∴a n ＝n 21 (5)∴a n ＝n 21 (n ∈N *)． (6)(2)∵b n ＝n a n，∴b n ＝n 2n.∴S n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n.③ ∴2S n ＝22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)2n ＋n ×2n ＋1.④ (8)由③－④，得-S n ＝ 2＋22＋23＋…＋2n - n ×2n ＋1，即-S n ＝（1-n ）2n ＋1－2， (10)∴S n ＝（n-1）2n ＋1+2 (n ∈N *)． (12)19．（本小题满分12分）解：(1) a ·b ＝cos 3x 2·cos x 2－sin 3x 2·sin x2＝cos 2x . (2)|a ＋b |== ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ≥0，∴|a ＋b |＝2cos x . ……………………………………………………………………………6 (2)由(1)可知f (x )＝cos 2x －4λcos x ，即f (x )＝2(cos x －λ)2－1－2λ2. (8)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴0≤cos x ≤1. ①当λ<0时，当且仅当cos x ＝0时，f (x )取得最小值－1，与已知矛盾．②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x ＝λ时，f (x )取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－32，解得λ＝12或λ＝－12(舍)．③当λ>1时，当且仅当cos x ＝1时，f (x )取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ>1矛盾．综上所述，λ＝12即为所求． (12)20. （本小题满分12分）解：(1)由题可知30＝θ(10＋x )＋2(10－x )，所以θ＝10＋2x10＋x,)10,0(∈x (5)(2)花坛的面积为12θ(102－x 2)＝(5＋x )(10－x )＝－x 2＋5x ＋50(0<x <10)，装饰总费用为9θ(10＋x )＋8(10－x )＝170＋10x ，所以花坛的面积与装饰总费用之比为y ＝－x 2＋5x ＋50170＋10x ＝－x 2－5x －5010（17＋x ） (7)令t ＝17＋x ，()17,27t ∈则y ＝3910－110(t ＋324t )≤3910－1103242=310，………… 10分当且仅当t ＝18时取等号，此时x ＝1，θ＝1211.(若利用双勾函数单调性求最值的,则同等标准给分,但须说明单调性.)故当x ＝1时，花坛的面积与装饰总费用之比最大． (12)21. （本小题满分12分）解：（1）函数()g x 的图像恒过定点A ，A 点的坐标为（2，2）……………………………………2 又因为A 点在()f x 上，则3(2)log (2)2f a =+=即231a a +=∴= (4)（2）(2)22g x b +-=即2122212x x b b +-=∴-= ………………………………6 由图像可知：0<2b<1 ，故b 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭............ (8)(3)121121)12)(12(2,1211+-+=++=+=++n n n n n n nn b a ………………10 *+∈<+-=++++∴N n b b b b n n ,31121311321 (12)22．（本小题满分10分）解：(1)∵b 2＋c 2－a 2＝2bccos A ，又b 2＋c 2＝a 2＋bc ，∴cos A ＝12，∴A＝π3. (4)(2)∵2sin 2B 2＋2sin 2C2＝1，∴1－cos B ＋1－cos C ＝1，∴cos B ＋cos C ＝cos B ＋cos （2π3－B ）＝cos B ＋cos 2π3cos B ＋sin 2π3sin B＝32sin B ＋12cos B=sin(B ＋π6)＝1.2 3π，∴B＝π3，C＝π3，∴△ABC为等边三角形． (10)∵0<B<。

可能用到的相对原子质量：N-14 O-16 Cu-64 I-127第I卷（选择题，共42分）一、选择题（本部分共14小题，在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

小题每题3分，共42分。

）1、化学与生活密切相关，下列说法正确的是A.SO2可用于杀菌、消毒B.汽车尾气中含有大量大气污染物，这是汽油不完全燃烧造成的C.碘是人体必需微量元素，所以要多吃富含髙磷酸的食物D.海水淡化的方法主要有蒸馏法、电解法、离子交换法等2、下列表示物质结构的化学用语正确的是A. Na2S的电子式：B.二氧化硅的分子式：SiO2C.18O的原子结构示意图：D. HClO分子的结构式：H—Cl—O3、己知镍的金属活动性介于铁和锡之间。

工业上以氧化镍矿为原料制取高纯度的金属镍，最适宜的方法是A.氧化镍高温分解B.电解熔融的氧化镍C.高温下用焦炭还原氧化镍D.高温下用氢气还原氧化镍4、用下列装置完成相关实验，合理的是A.图①：证明非金属性由强到弱的顺序是N>C>SiB.图②：收集NO2或NH3C.图③：海水蒸馏时接收蒸馏水D.图④：探究浓硫酸的脱水性5、设NA为阿伏伽德罗常数的值，下列有关叙述正确的是A.标准状况下，22.4LHF中含有的分子数为NAB.常温常压下，硝酸与铜反应得到NO2、N2O4共23g，则铜失去的电子数为0.5NAC.标准状况下，8.96L平均相对分子质量为3.5的H2与D2含有的中子数为0.3NAD. 0.1L18mol/L浓硫酸与足量金属铜在加热条件下充分反应，生成0.9NA个SO2分子6、下列反应的离子方程式书写正确的是A.氯化钠与浓硫酸混合加热：H2SO4(浓)+2Cl-△SO42- + 2HCl↑B.过量的硫化钠溶液与氯化铁溶液反应：2Fe3++S2-=2Fe2++ S↓C.碳酸氢铵溶液与足量NaOH溶液混合后加热：NH4++HCO3-+2OH-△CO32-+NH3↑+2H2OD.向次氯酸钙溶液中通入少量SO2：Ca2++2ClO-+SO2+H2O==CaSO3↓+2HClO7、R 原子的质量数为Y ，mgR2-中含有电子Xmol 。

2021年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高一数学〔理科〕试卷第一卷〔选择题共60分〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.sin300 cos390 tan 135A .3B.1 C.D.311x,b x2,clnx，其中e是自然对数的底数，那么当xe时，a,b,c的大小关e系是B.acbC.cbaD.caba n中，a1a4a75a5，那么cosa34A.3B.32D.22C.2222,tan41，那么tan4的值为54A.1B.22C.3D.136132218f x的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将整个函数图象向右平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数y1sinx的图象，那么yfx 22的解析式为A.y1sin2x1B.y1sin2x21222C.y 111 D.y11x1sin x sin222242x a x b1〔其中0a1，且0b1〕的图象一定不经过A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限x sin2x3cos2x6，那么6-1-A.yfx在0, 单调递增，其图象关于直线x 对称2 4B.y f x在0,2C.y f x在0, 2D.y f x在0,2 单调递增，其图象关于直线x对称2单调递减，其图象关于直线x对称4单调递减，其图象关于直线x对称28.设是第四象限角，那么点P sin sin ,cossin 在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限9.非零向量AB与AC满足AB AC BC 0，且ABAC 1那么ABC为AB AC AB AC 2A. 三边均不相等的三角形B. 直角三角形C.等腰非等边三角形D. 等边三角形10.f x是奇函数，且对于任意x R满足f 2 x fx ，当0 x 1时，fx lnx 2，那么函数y f x 在2,4 上的零点的个数为11.a,b,c分别为ABC的内角A,B,C的对边，且3a2 3b2 c2 4ab，那么ABCA. 可能是锐角三角形B. 一定不是锐角三角形C.一定为钝角三角形D. 不可能是钝角三角形12.函数f x 2sinxcosx ,x 0,的最大值为M,最小值为N,那么M-N=1sinx cosx 2A. 2 1B. 2 1C. 2 2D. 2 1 2第二卷〔非选择题共90分〕二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13.e,e 为单位向量且夹角为，设ae e,b e，那么a在b方向上的投影1 231 2 2为.-2-14. 数列 a n 满足a 1 1,a 2 0,a n2an1 a nn 1，那么a 2021.15. 函数fxax 2 6x 1,x 1a 的取值范围 x 52a ,x1是R 上的单调递减函数，那么实数为 .16. 正项数列a n 中，a 1和a 4是方程x 210x 16 0 的两个根，假设数列log 2a n 的前5项和为S 5，且S 5n,n 1,nZ ，那么n.三、解答题：本大题共 6小题，共70 分.解容许写出必要的文字说明或推理、验算过程.17. 〔此题总分值12分〕向量 a4,5cos ,b3,4tan,0,,ab.2〔1〕求a b ；〔2〕求cos 3sin.2〔此题总分值12分〕函数fxcosxsinx3cos 2x3 0,xR ，且函数yfx 的图象的34一个对称中心到它的对称轴的最近距离为4〔1〕求的值及fx 的对称轴方程；〔2〕在ABC 中，角A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，假设f A0,sinB4,a3，5求b 的值.19.〔此题总分值 12分〕函数ylog 2ax 22x2的定义域为Q.〔1〕假设a 0，且 2,3Q Q ，求实数a 的取值范围；〔2〕假设2,3 Q，求实数a 的取值范围.-3-〔此题总分值12分〕在等差数列a n 中，a 15a 16 a 17 45,a 9 36,S n 为其前n 项和.〔1〕求S n 的最小值，并求出相应 n 的值；〔2〕求 a n 的前项和T n .21.〔此题总分值12分〕如图，为迎接校庆，我校准备在直角三角形ABC 内的空地上植造一块“绿地ABD 〞，规划在ABD 的内接正方形 BEFG 内种花，其余地方种草，假设AB a, DAB ，种草的面积为S 1，种花的面积为 S 2，比值S 1称为“规划和谐度〞.S 2〔1〕试用a, 表示S 1,S 2； 〔2〕假设a 为定值，BC 足够长，当为何值时，“规划和谐度〞有最小值，最小值为多少？〔此题总分值12分〕定义域为0,e 的函数 fx，同时满足：①对于任意的x0,e ，总有fx0；② f ee ；③假设x 10,x 2 0,x 1x 2 e ，那么恒有f x 1 x 2f x 1f x 2.〔1 〕求f0的值；〔2 〕证明：不等式fx e 对任意x 0,e 恒成立；〔3 〕假设对于任意x 0,e ，总有4f 2x42eaf x4e 2 4ea 1 0，求实数a 的取值范围.-4--5--6--7--8--9--10-。

2016-2017学年湖北省鄂东南省级示范高中联考高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，共60分）1．（5分）命题“∃x0＞0，使得（x0+1）＞1”的否定是（）A．∀x＞0，总有（x+1）e x≤1 B．∀x≤0，总有（x+1）e x≤1C．∃x0≤0，总有（x0+1）≤1 D．∃x0＞0，使得（x0+1）≤12．（5分）为了解城市居民的健康状况，某调查机构从一社区的120名年轻人，80名中年人，60名老年人中，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中老年人抽取了3名，则n=（）A．26 B．24 C．20 D．133．（5分）为了解重庆某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了5户家庭，得到统计数据表，根据表中可得回归直线方程=x+，其中=0.5，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（）A．15万元B．14万元C．11万元D．10万元4．（5分）某地区教学考试的成绩X～N（100，100），成绩X位于区间（110，120]的概率是（）参考数据P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．A．0.6826 B．0.9544 C．0.2718 D．0.13595．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各顶点都在球O表面上，在球O内任取一点M，则点M在正方体ABCD﹣A1B1C1D1内的概率是（）A．B．C． D．6．（5分）某市政府在调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了3000人，计算发现K2的观测者k=6.023，根据这一数据查阅如表：得到的正确结论是（）A．有97.5%以上的把握认为“市民收入增减与旅游愿望无关”B．有97.5%以上的把握认为“市民收入增减与旅游愿望有关”C．在犯错误的概率不超过0.25%的前提下，认为“市民收入增减与旅游愿望无关”D．在犯错误的概率不超过0.25%的前提下，认为“市民收入增减与旅游愿望有关”7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S=88，则判断框内应填入的条件是（）A．k＞7 B．k＞6 C．k＞5 D．k＞48．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各侧面均为正方形，侧面AA1C1C的对角线相交于点M，则BM与平面ABC所成角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．（5分）高二（7）班参加冬令营的6位同学排成一排照相，甲乙必须相邻且甲、乙、丙必须从左到右的排法种数为（）A．120 B．60 C．36 D．7210．（5分）若函数f（x）在R上可导，且f（x）=x2+2f′（1）x+3，则（）A．f（0）＜f（4）B．f（0）=f（4）C．f（0）＞f（4）D．无法确定11．（5分）已知（1﹣x）10=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a10（1+x）10，则a9=（）A．﹣20 B．20 C．﹣10 D．1012．（5分）已知点P是双曲线﹣=1的右支上一点，F1、F2分别为双曲线的F2的内心，若=+λ成立，则λ的值左、右焦点，I为△PF为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共4小题，共20分）13．（5分）已知P（A）=，P（AB）=，则P（B|A）=．14．（5分）如图某综艺节目现场设有A，B，C，D四个观众席，现有由5不同颜色的马甲可供现场观众选择，同一观众席上的马甲的颜色相同，相邻观众席上的马甲的颜色不相同，则不同的安排方法种数为．15．（5分）某大厦有一部电梯，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在第10层下电梯的概率为，用ξ表示5位乘客在第10层下电梯的人数，则随机变量ξ的期望E（ξ）=．16．（5分）以下几个命题中真命题的序号为．①在空间中，m、n是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，如果α⊥β，α∩β=n，m⊥n，那么m⊥β；②相关系数r的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强；③用秦九昭算法求多项式f（x）=208+9x2+6x4+x6在x=﹣4时，v2的值为22；④过抛物线y2=4x的焦点作直线与抛物线相交于A、B两点，则使它们的横坐标之和等于4的直线有且只有两条．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知集合A是函数y=lg（6+5x﹣x2）的定义域，集合B是不等式x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0）的解集．p：x∈A，q：x∈B．（1）若A∩B=∅，求a的取值范围；（2）若￢p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．18．（12分）如图是从成都某中学参加高三体育考试的学生中抽出的40名学生体育成绩（均为整数）的频率分布直方图，该直方图恰好缺少了成绩在区间[70，80）内的图形，根据图形的信息，回答下列问题：（1）求成绩在区间[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图，并估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）；（2）从成绩在[80，100]内的学生中选出三人，记在90分以上（含90分）的人数为X，求X的分布列及数学期望．19．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为﹣3．（1）求f（x）的解析式；（2）求过点A（2，2）的切线方程．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，BC=2，PA=，E为BC的中点．（1）证明：PE⊥ED；（2）求二面角E﹣PD﹣A的大小．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），短轴长2，两焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于M，N两点，且△F2MN的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C相交于A，B点，点D为椭圆C上一点，四边形AOBD为矩形，求直线l的方程．22．（12分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a∈R）（1）a=3时，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤2x2恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证；lnn＞++1+…+（n∈N+）且n≥2．2016-2017学年湖北省鄂东南省级示范高中联考高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，共60分）1．（5分）（2017春•湖北期中）命题“∃x0＞0，使得（x0+1）＞1”的否定是（）A．∀x＞0，总有（x+1）e x≤1 B．∀x≤0，总有（x+1）e x≤1C．∃x0≤0，总有（x0+1）≤1 D．∃x0＞0，使得（x0+1）≤1【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x0＞0，使得（x0+1）＞1”的否定是∀x＞0，总有（x+1）e x≤1．故选：A2．（5分）（2017春•湖北期中）为了解城市居民的健康状况，某调查机构从一社区的120名年轻人，80名中年人，60名老年人中，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中老年人抽取了3名，则n=（）A．26 B．24 C．20 D．13【解答】解：由分层抽样得=，解得n=13，故选：D．3．（5分）（2017春•湖北期中）为了解重庆某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了5户家庭，得到统计数据表，根据表中可得回归直线方程=x+，其中=0.5，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（）A．15万元B．14万元C．11万元D．10万元【解答】解：=10，=8．∴=8﹣0.5×10=3．所以回归方程为：=0.5x+3，当x=16时，=0.5×16+3=11．故选C．4．（5分）（2017春•湖北期中）某地区教学考试的成绩X～N（100，100），成绩X位于区间（110，120]的概率是（）参考数据P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．A．0.6826 B．0.9544 C．0.2718 D．0.1359【解答】解：∵考试的成绩X～N（100，100），∴曲线关于x=100对称，根据3σ原则知P（110＜x＜120）=（0.9544﹣0.6826）=0.1359，故选D．5．（5分）（2017春•湖北期中）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各顶点都在球O 表面上，在球O内任取一点M，则点M在正方体ABCD﹣A1B1C1D1内的概率是（）A．B．C． D．【解答】解：设正方体的棱长为a，则外接球的半径为a，∴在球O内任取一点M，则点M在正方体ABCD﹣A1B1C1D1内的概率是=，故选：D．6．（5分）（2017春•湖北期中）某市政府在调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了3000人，计算发现K2的观测者k=6.023，根据这一数据查阅如表：得到的正确结论是（）A．有97.5%以上的把握认为“市民收入增减与旅游愿望无关”B．有97.5%以上的把握认为“市民收入增减与旅游愿望有关”C．在犯错误的概率不超过0.25%的前提下，认为“市民收入增减与旅游愿望无关”D．在犯错误的概率不超过0.25%的前提下，认为“市民收入增减与旅游愿望有关”【解答】解：∵K2=6.023，6.023＞5.024，∴市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系这一断言犯错误的概率不超过0.025，故选D．7．（5分）（2016•河南模拟）执行如图所示的程序框图，若输出的S=88，则判断框内应填入的条件是（）A．k＞7 B．k＞6 C．k＞5 D．k＞4【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前1 0第一圈2 2 是第二圈3 7 是第三圈4 18 是第四圈5 41 是第五圈6 88 否故退出循环的条件应为k＞5？故答案选C．8．（5分）（2017春•湖北期中）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各侧面均为正方形，侧面AA1C1C的对角线相交于点M，则BM与平面ABC所成角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：取AC的中点O，连接OM，则BO⊥平面AA1C1C，所以∠MBO为BM与平面ABC所成角．设正方形的边长为2a，则OM=a，BO=a，∴tan∠MBO=∴∠MBO=30°故选A．9．（5分）（2017春•湖北期中）高二（7）班参加冬令营的6位同学排成一排照相，甲乙必须相邻且甲、乙、丙必须从左到右的排法种数为（）A．120 B．60 C．36 D．72【解答】解：根据题意，假设剩余的3人是A、B、C，先将甲、乙、丙从左到右排好，排好后，除去甲乙之间的空位有3个空位，在3个空位中任选一个，安排A，有C31=3种情况，排好后，除去甲乙之间的空位有4个空位，在4个空位中任选一个，安排B，有C41=4种情况，排好后，除去甲乙之间的空位有5个空位，在5个空位中任选一个，安排C，有C51=5种情况，则一共有3×4×5=60种安排方法；故选：B．10．（5分）（2017春•湖北期中）若函数f（x）在R上可导，且f（x）=x2+2f′（1）x+3，则（）A．f（0）＜f（4）B．f（0）=f（4）C．f（0）＞f（4）D．无法确定【解答】解：函数的导数f′（x）=2x+2f′（1），令x=1，得f′（1）=2+2f′（1），即f′（1）=﹣2，f（x）=x2﹣4x+3，则函数的对称轴为x=2，则f（0）=f（4），故选：B11．（5分）（2017春•湖北期中）已知（1﹣x）10=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a10（1+x）10，则a9=（）A．﹣20 B．20 C．﹣10 D．10【解答】解：∵（1﹣x）10=（x﹣1）10=[（1+x）﹣2]10=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a（1+x）10，10a9是展开式的第10项的系数，所以a9=（﹣2）1C109=﹣20．故选：A12．（5分）（2017春•湖北期中）已知点P是双曲线﹣=1的右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若=+λ成立，则λ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：依题意，设△PF1F2的内切圆的半径为r，则=|PF 1|•r，=|PF2|，=|F1F2|•r，∵=+λ∴|PF1|﹣|PF2|=﹣λ|F1F2|，∵P为双曲线右支上一点，∴2a=λ×2c，由双曲线的方程可知，a=6，b=8，故c=10，∴λ==．故选C．二、填空题（本题共4小题，共20分）13．（5分）（2017春•湖北期中）已知P（A）=，P（AB）=，则P（B|A）=．【解答】解：∵P（A）=，P（AB）=，∴P（B|A）===，故答案为．14．（5分）（2017春•湖北期中）如图某综艺节目现场设有A，B，C，D四个观众席，现有由5不同颜色的马甲可供现场观众选择，同一观众席上的马甲的颜色相同，相邻观众席上的马甲的颜色不相同，则不同的安排方法种数为260．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①、对于A区域，可以在5种颜色中选1种，即有5种情况，②、对于B区域，需要在剩下的4种颜色种任选1种，即有4种情况，③、对于C、D区域，若D区域与B区域同色，C区域可以在剩下的4种颜色种任选1种，即有4种情况，若D区域与B区域不同色，则D区域需要在除A、B的颜色外的3种颜色种任选1种，即有3种情况，C区域可以在除B、D的颜色外的3种颜色种任选1种，即有3种情况，则C、D区域有4+3×3=13种情况；则不同的安排方法种数5×4×13=260种；故答案为：260．15．（5分）（2017春•湖北期中）某大厦有一部电梯，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在第10层下电梯的概率为，用ξ表示5位乘客在第10层下电梯的人数，则随机变量ξ的期望E（ξ）=．【解答】解：由题意知，ξ的可能取值是0，1，2，3，4，5，因为每位乘客在第10层下电梯的概率为，有一个人下电梯相当于发生一次试验，∴本题是一个独立重复试验，服从二项分布，即ξ～B（5，），∴随机变量ξ的期望E（ξ）=5×=．故答案为：．故答案为：．16．（5分）（2017春•湖北期中）以下几个命题中真命题的序号为②③④．①在空间中，m、n是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，如果α⊥β，α∩β=n，m⊥n，那么m⊥β；②相关系数r的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强；③用秦九昭算法求多项式f（x）=208+9x2+6x4+x6在x=﹣4时，v2的值为22；④过抛物线y2=4x的焦点作直线与抛物线相交于A、B两点，则使它们的横坐标之和等于4的直线有且只有两条．【解答】对于①，因为m并不属于α，根据线面垂直的关系定理，不能得到m ⊥β，即错误．对于②，根据线性相关系数r的意义可知，当r的绝对值越接近于1时，两个随机变量线性相关性越强，故正确；对于③，∵f（x）=208+9x2+6x4+x6=（（（（（x）x+6）x）x+9）x）x+208，当x=﹣4时，v0=1，v1=1×（﹣4）=﹣4，v2=﹣4×（﹣4）+6=22，故正确；对于④，过抛物线y2=4x的焦点F（1，0）作直线l与抛物线相交于A、B两点，当直线l的斜率不存在时，横坐标之和等于2，不合题意；当直线l的斜率为0时，只有一个交点，不合题意；∴设直线l的斜率为k（k≠0），则直线l为y=k（x﹣1），代入抛物线y2=4x得，k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0；∵A、B两点的横坐标之和等于5，=4，解得k2=2，∴这样的直线有且仅有两条．故正确；故答案为：②③④三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）（2017春•湖北期中）已知集合A是函数y=lg（6+5x﹣x2）的定义域，集合B是不等式x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0）的解集．p：x∈A，q：x∈B．（1）若A∩B=∅，求a的取值范围；（2）若￢p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．【解答】解：（1）由条件得：A={x|﹣1＜x＜6}，B={x|x≥1+a或x≤1﹣a}，若A∩B=φ，则必须满足，所以，a的取值范围的取值范围为：a≥5；（2）易得：¬p：x≥6或x≤﹣1，∵¬p是q的充分不必要条件，∴{x|x≥6或x≤﹣1}是B={x|x≥1+a或x≤1﹣a}的真子集，则，∴a的取值范围的取值范围为：0＜a≤2．18．（12分）（2017春•湖北期中）如图是从成都某中学参加高三体育考试的学生中抽出的40名学生体育成绩（均为整数）的频率分布直方图，该直方图恰好缺少了成绩在区间[70，80）内的图形，根据图形的信息，回答下列问题：（1）求成绩在区间[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图，并估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）；（2）从成绩在[80，100]内的学生中选出三人，记在90分以上（含90分）的人数为X，求X的分布列及数学期望．【解答】解：（1）根据各组的频率和等于1知，成绩在[70，80）内的频率为：f4=1﹣（0.01×2+0.015+0.020+0.005）×10=0.4，对应的小矩形的高为=0.04，补全频率分布直方图如图所示；依题意，60分及以上的分数在第三、四、五、六段，故其频率和为（0.02+0.04+0.01+0.005）×10=0.75，∴估计学生成绩的及格率是75%；（2）成绩在[80，100]内的人数为（0.01+0.005）×10×40=6，且在[80，90）和[90，100）内的人数分别为4人和2人；∴X的可能取值为0、1、2，计算P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：数学期望为E（X）=0×+1×+2×=1．19．（12分）（2017春•湖北期中）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为﹣3．（1）求f（x）的解析式；（2）求过点A（2，2）的切线方程．【解答】解：（1）函数f（x）=ax3+bx2+cx的导数为f'（x）=3ax2+2bx+c，依题意，又f'（0）=﹣3即c=﹣3∴a=1，b=0，∴f（x）=x3﹣3x；（2）设切点为（x0，x03﹣3x0），∵f'（x）=3x2﹣3∴切线的斜率为f'（x0）=3x02﹣3，∴切线方程为y﹣（x03﹣3x0）=（3x02﹣3）（x﹣x0），又切线过点A（2，2），∴2﹣（x03﹣3x0）=（3x02﹣3）（2﹣x0），∴2x03﹣6x02+8=0，即为2（x0+1）（x0﹣2）2=0，解得x0=﹣1或2，可得过点A（2，2）的切线斜率为0或9，即有过点A（2，2）的切线方程为y﹣2=0或y﹣2=9（x﹣2），即为y﹣2=0或9x﹣y﹣16=0．20．（12分）（2017春•湖北期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，BC=2，PA=，E为BC的中点．（1）证明：PE⊥ED；（2）求二面角E﹣PD﹣A的大小．【解答】（1）证明：如图，在△ABC中，∵AB=1，BC=2，AB⊥AC，∴cosB=，B=60°，又E为BC的中点，∴△ABE为正三角形，则AE=1，在△AED中，∵AE=1，AD=2，∠EAD=60°，∴，∴AE2+ED2=AD2，则AE⊥ED．又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥ED，∵PA∩AE=A，∴ED⊥平面PAE，则PE⊥ED；（2）解：∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，过E作EG⊥AD，垂足为G，则EG⊥平面PAD，∴EG⊥PD，过G作GH⊥PD，垂足为H，连接EH，∴PD⊥平面EGH，则PD⊥EH．则∠EHG为二面角E﹣PD﹣A的平面角．在Rt△AED中，由AE=1，AD=2，ED=，可得EG=，∴GD=，由△PAD∽△GHD，可得，即GH==．∴tan，即∠EHG=60°．∴二面角E﹣PD﹣A的大小为60°．21．（12分）（2017春•湖北期中）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），短轴长2，两焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于M，N两点，且△F2MN的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C相交于A，B点，点D为椭圆C上一点，四边形AOBD为矩形，求直线l的方程．【解答】解：（1）由题意可得：2b=2，4a=8，解得b=1，a=2．∴椭圆C的方程为+y2=1．（2）由题意可设直线l的方程为：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（1+4k2）x2+8km+4m2﹣4=0，△＞0．∴x1x2=，x1+x2=．∵OA⊥OB，∴=x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，化为：k2x1x2+km （x1+x2）+m2=0．∴k2×+km×+m2=0．化为：m2=4k2．设线段AB的中点G（x0，y0），则x0==，y0=+m=．∴D，代入椭圆方程可得：+4×=4，化为：16k2m2+4m2=1+8k2+16k4，把m2=4k2代入上述方程可得：3m4+2m2﹣1=0．解得m=，解得k=．∴直线l的方程为y=x．22．（12分）（2017春•湖北期中）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a∈R）（1）a=3时，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤2x2恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证；lnn＞++1+…+（n∈N+）且n≥2．【解答】（1）解：a=3时，f（x）=lnx+x2﹣3x，（x＞0），f′（x）=+2x﹣3=，△=32﹣8=1＞0，由f′（x）=0，解得x1=，x2=1，当x∈（0，）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（）时，f′（x）＜0，则函数f（x）在（0，），（1，+∞）上单调递增，在（，1）上单调递减；（2）解：f（x）≤2x2，化为：lnx﹣x2﹣ax≤0，∴a≥﹣x，令g（x）=，g′（x）=，令h（x）=1﹣lnx﹣x2，可知：函数h（x）在（0，+∞）上单调递减．而h（1）=0=g′（1）．∴x＞1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；0＜x＜1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．∴函数g（x）在x=1时取得极大值即最大值，g（1）=﹣1．∴实数a的取值范围是a≥﹣1；（3）证明：令t（x）=lnx﹣，则t′（x）=＞0，∴t（x）在（0，+∞）上单调递增，当x＞1时，t（x）＞t（1），即lnx﹣＞0，∴lnx＞，令x=1+，则ln（1+）＞，故ln（1+1）＞，ln（1+）＞，…，ln（1+）＞．累加得：ln（n+1）＞，取n=n﹣1，得lnn＞（n≥2）．参与本试卷答题和审题的老师有：whgcn；lcb001；豫汝王世崇；danbo7801；maths；铭灏2016；zlzhan；陈高数；742048；双曲线；sxs123；沂蒙松（排名不分先后）菁优网2017年5月10日。