2020届湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三下学期期中数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知复数z 满足(3+4i)z =7+i ，则z 的共轭复数z −的虚部是( )A. iB. 1C. −1D. −i2. 已知全集为R ，集合A ={−2,−1,0，1，2}，B ={x|x−1x+2<0}，则A ∩(∁R B)的子集个数为( ) A. 2B. 3C. 4D. 83. 已知cos(π−α)=−35，则tan(3π2−α)值为( )A. 34 B. 43 C. ±43 D. ±344. 若0<x <y <1，1<b <a ，则下列各式中一定正确的是( )A. a x <b yB. a x >b yC.lnx b<lny aD.lnx b>lny a5. 5400的正约数有( )个A. 48B. 46C. 36D. 386. 记S n 为递增等差数列{a n }的前n 项和，若数列{Sn a n}也为等差数列，则S3a 3等于( )A. 3B. 2C. 32D. 17. 已知在平面直角坐标系中，A(−3,0)，B(0,3)，C(3,0)，O(0,0)，OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m ∈R)，|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为( ) A. 2√2−1 B. √2−1 C. 3√2−1 D. 2√2+18. 定长为10的线段AB 的两个端点在抛物线y 2=8x 上移动，P 为线段AB 的中点，则P 点到y 轴的最短距离为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 59. 设y =f(x)是定义在R 上以1为周期的函数，若g(x)=f(x)+2x 在区间[1,2]上的值域为[−1,5]，则函数g(x)在[−2020,2020]上的值域为( ) A. [−2,6] B. [−4043,4040] C. [−4042,4041] D. [−4043,4041] 10. 若抛物线y 2=12x 与圆x 2+y 2−2ax +a 2−1=0有且只有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围为( )A. a <178 B. a =178C. −1<a <1D. −1<a <1或a =17811. 已知实数a ，b ，c ，d 满足|b −lna a|+|c −d +2|=0，则(a −c)2+(b −d)2的最小值为( )A. 4B. 92C. 32√2D. 212. 已知x 0是方程2x 2e 2x +lnx =0的实根，则关于实数x 0的判断全是错误的是( )①x 0<1②x 0≥ln2③2x 0+lnx 0=0④2e x 0+lnx 0=0A. ①②B. ②③C. ①②④D. ①③④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗，b⃗ 不共线，若(λa⃗+b⃗ )//(a⃗−2b⃗ )，则λ=______．14.中国排球超级联赛争冠总决赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束．现甲、乙两支球队进行总决赛，因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为12.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入500万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加100万元．则总决赛中获得门票总收入恰好为4500万元的概率是______．15.2019年1月1日起新的个人所得税法开始实施，依据《中华人民共和国个人所得税法》可知纳税人实际取得工资、薪金(扣除专项、专项附加及依法确定的其他)所得不超过5000元(俗称“起征点”)的部分不征税，超出5000元部分为全月纳税所得额．新的税率表如表：个人所得税专项附加扣除是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金和赡养老人等六项专项附加扣除．其中赡养老人一项指纳税人赡养60岁(含)以上父母及其他法定赡养人的赡养支出，可按照以下标准扣除：纳税人为独生子女的，按照每月2000元的标准定额扣除；纳税人为非独生子女的，由其与兄弟姐妹分摊每月2000元的扣除额度，每人分摊的额度不能超过每月1000元．某纳税人只有一个姐姐，且两人仅符合规定中的赡养老人的条件，如果他在2020年5月份应缴纳个人所得税款为180元，那么他当月的工资、薪金税后所得是______元．16.在三棱锥S−ABC中，底面△ABC是边长为3的等边三角形，SA=√3，SB=2√3，二面角S−AB−C的大小为60°，则此三棱锥的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知f(x)=sin2x4−2cos2x4+√3sin x4cos x4，x∈R．(1)求函数y=f(x)的单调减区间；(2)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知f(B)=−12，b=√3，求△ABC 周长的取值范围．18.如图1，在等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的动点且满足DE//BC，记DEBC=λ.将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，连接MB，MC得到图2，点N为MC的中点．(1)当EN//平面MBD时，求λ的值；(2)试探究：随着λ值的变化，二面角B−MD−E的正切值是否改变，如果是，请说明理由，如果不是，请求出二面角B−MD−E的正切值大小．19.记椭圆C：x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F1的动直线l与椭圆C交于A，B两点，已知△F2AB的周长为8且点P(1,32)在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)请问：x轴上是否存在定点M使得∠F1MA=∠F1MB恒成立，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．20.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金8600元，在延保的两年内可免费维修3次，超过3次后的每次收取维修费a元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次后的每次收取维修费1000元．某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，100以这台机器维修次数的频率代替台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数且P(X=0)=0.01．(1)求实数m，n的值；(2)求X的分布列；(3)以所需延保金及维修费用之和的期望值为决策依据，该医院选择哪种延保方案更合算？21.已知f(x)=m⋅e2x−2x(x+1)⋅e x，其中e为自然对数的底数，且函数f(x)恰有两个极值点x1，x2．(1)求实数m的取值范围；(2)求证：3<x1x2−(x1+x2)<8．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=√2(sinα−cosα)y=√22(sinα+cosα)(α为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ 2ρsinθ+m=0．(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程；(2)若曲线C上的点到直线l距离的最大值为4√105，求实数m的值．23.已知函数f(x)=|2x−1|+|x−52|．(1)求不等式f(x)≤192的解集；(2)记函数f(x)的最小值为M，若三个正数a，b，c满足a+b+c=M，求1a +1b+1c的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵复数z满足(3+4i)z=7+i，∴z=7+i3+4i =(7+i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=21+3i−28i−4i29−16i2=1−i．∴z−=1+i，则z的共轭复数z−的虚部为1．故选：B．求出z=7+i3+4i =(7+i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=1−i.从而z−=1+i，由此能求出z的共轭复数z−的虚部．本题考查复数的代数形式的乘除运算法则、共轭复数的概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵全集为R，集合A={−2,−1,0，1，2}，B={x|x−1x+2<0}={x|−2<x<1}，∴C R B={x|x≤−2或x≥1}，则A∩(∁R B)={−2,1，2}，∴A∩(∁R B)的子集个数为23=8．故选：D．求出集合A，B，进而求出C R B，A∩(∁R B)={−2,1，2}，由此能求出A∩(∁R B)的子集个数．本题考查交集、补集的子集个数的求法，考查交集、补集的运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】D【解析】解：∵cos(π−α)=−35，∴cosα=35，∴sinα=±√1−cos2α=±45，∴tan(3π2−α)=cotα=cosαsinα=±34．故选：D．由已知利用诱导公式可得cosα=35，利用同角三角函数基本关系式可求sinα的值，利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：y=a x(a>1)在R递增，∵0<x<y<1，1<b<a，∴b x<a x<a y，b x<b y<a y，∴a x与b y不能确定大小，故选项AB错误．∵0<x <y <1，1<b <a ， ∴1b >1a>0，lnx <lny <0，∴−lnx >−lny >0，∴−lnx b>−lny a，∴lnx b<lny a，故选项D 错误．故选：C ．直接利用不等式的性质和函数的单调性的应用，即可得到正确选项．本题考查的知识要点：函数的性质的应用，不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 5.【答案】A【解析】解：根据题意，5400=2×2×2×3×3×3×5×5=23×33×52， 其中23的约数有1、2、22、23，共4个； 33的约数有1、3、32、33，共4个； 52的约数有1、5、52，共3个；则5400的正约数有4×4×3=48个； 故选：A ．根据题意，将5400分解可得5400=23×33×52，进而分析23、33、52的约数的数目，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，注意题目问题的转化，属于基础题． 6.【答案】B【解析】解：S n 为递增等差数列{a n }的前n 项和，若数列{Sna n}也为等差数列，∴2S 2a 2=S 1a 1+S 3a 3，∴2(2a 1+d)a 1+d=1+3a 1+3d a 1+2d，整理可得，a 1=d ，则S3a 3=3a 1+3d a 1+2d=6d 3d=2．故选：B ．由已知结合等差数列的性质及等差数列的求和公式和通项公式即可求解．本题主要考查了等差数列的性质及通项公式及求和公式的应用是，属于基础试题． 7.【答案】C【解析】解：在平面直角坐标系中，A(−3,0)，B(0,3)，C(3,0)，O(0,0)，OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m ∈R) 所以：点Q 是直线AB ：x −y +3=0上的点．|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，即求点D 到点Q 的距离的最小值． 点D 是以(3,0)为圆心，1为半径的圆上的点．那么点D 到点Q 的最小距离，就可以看成圆C 上的点到直线AB 的最小值， 即圆心到直线AB 的距离减去半径，即为√21=3√2−1．故选：C ．直接利用向量的线性运算的应用和点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，点到直线的距离公式的应用，向量的坐标运算的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．8.【答案】B【解析】解：抛物线y2=8x的焦点F(2,0)，准线为x=−2，可得|AF|+|BF|≥|AB|=10，设A，B的横坐标分别为x1，x2，可得|AF|=x1+2，|BF|=x2+2，由P为线段AB的中点，可得x P+2=12(x1+x2+4)=12(|AF|+|BF|)≥12|AB|=5，则x P≥3，当A，F，P三点共线时，取得等号．可得P点到y轴的最短距离为3．故选：B．求得抛物线的焦点和准线方程，设A，B的横坐标分别为x1，x2，运用抛物线的定义和梯形的中位线定理，结合三点共线时取得最值的性质，可得所求最短距离．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查三点共线的最值性质，以及梯形的中位线定理的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：根据题意，g(x)=f(x)+2x在区间[1,2]上的值域为[−1,5]，设g(x0)=−1，g(x1)=5，x0，x1∈[1,2]，则g(x0)=f(x0)+2x0=−1，则g(x1)= f(x1)+2x1=5，又由y=f(x)是定义在R上以1为周期的函数，则g(x0+n)=f(x0+n)+2(x0+n)=f(x0)+2x0+2n=−1+2n，同理g(x1+n)= 5+2n，在区间[−2020,2020]上，g(x)的最小值是−1+(−2021)×2=−4043，最大值为5+ (2018)×2=4041，故函数g(x)在[−2020,2020]上的值域为[−4043,4041]；故选：D．根据题意，由函数g(x)在[1,2]上的值域，设g(x0)=−1，g(x1)=5，x0，x1∈[1,2]，即可得g(x0)=f(x0)+2x0=−1，则g(x1)=f(x1)+2x1=5，结合函数f(x)的周期性可得g(x0+n)=−1+2n以及g(x1+n)=5+2n，据此分析可得答案．本题考查函数的值域计算，涉及函数周期性的性质以及应用，属于综合题．10.【答案】D【解析】解：将圆x2+y2−2ax+a2−1=0化为标准方程为(x−a)2+y2=1，是以(a,0)为圆心，1为半径的圆．如图所示，是抛物线y2=12x与单位圆x2+y2=1构成的图形，当圆心(a,0)在−1和1之间运动，即−1<a<1时，符合题意；另外，当抛物线与圆相切时，由对称性可知，也存在两个不同的交点，联立y2=12x与x2+y2−2ax+a2−1=0，得x2+(12−2a)x+a2−1=0，所以△=(12−2a)2−4(a2−1)=0，解得a=178，综上所述，实数a的取值范围是−1<a<1或a=178，故选：D．先将圆化为标准方程为(x−a)2+y2=1，是以(a,0)为圆心，1为半径的圆，再作出抛物线y2=12x与单位圆x2+y2=1构成的图形，结合图形分析圆心所在的位置可得−1<a<1；联立抛物线与圆的方程，利用判别式△=0可得a=178，故可得解．本题考查圆与抛物线的交点个数问题，考查学生的数形结合能力和运算能力，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：由题意，可得b=lnaa ，c−d+2=0，构造函数y=lnxx和y=x+2，故(a−c)2+(b−d)2就是曲线y=f(x)=lnxx上的点到直线x−y+2=0上点的距离的平方，∵f′(x)=1−lnxx2，x>0，易得，当0<x<e时，f′(x)>0，函数单调递增，当x>e时，f′(x)<0，函数单调递减，设与x−y+2=0平行且与曲线y=f(x)相切的直线为x−y+m=0，则f′(x0)=1−lnx0x02=1，∴x0=1，∴切点为(1,0)∴切点与x−y+2=0的距离d=√2，故(a−c)2+(b−d)2的最小值为92．故选：B．由题意，可得b=lnaa ，c−d+2=0，构造函数y=lnxx和y=x+2，则(a−c)2+(b−d)2表示曲线y=f(x)=lnxx上的点到直线x−y+2=0上点的距离的平方，然后利用导数求出切点，再求出(a −c)2+(b −d)2的最小值． 本题主要考查了导数在求解函数最值中的应用，解题时要注意点到直线的距离公式的合理应用． 12.【答案】C【解析】解：设g(x)=2x 2e 2x +lnx ，(x >0)， 则函数g(x)在(0,+∞)上为增函数，由2x 2e 2x +lnx =0得2x 2e 2x =−lnx ，得2xe 2x =−lnx x，设f(x)=xe x ，则f(2x)=2xe 2x ，f(−lnx)=−lnxe −lnx =−lnx x，即方程2xe 2x =−lnx x等价为f(2x)=f(−lnx)∵x 0是方程2x 2e 2x +lnx =0的实根，∴2x 02e 2x 0=−lnx 0，即f(2x 0)=f(−lnx 0)，∵f′(x)=(x +1)e x >0，∴f(x)在(0,+∞)上是增函数，∴2x 0=−lnx 0，即2x 0+lnx 0=0，故③正确，则④不正确，设ℎ(x)=2x +lnx ，则ℎ(x)在(0,+∞)上为增函数，则ℎ(1e )=2e +ln 1e =2e −1<0， ∴x 0>1e ，故①错误，ℎ(12)=2×12+ln 12=1−ln2>0，即x 0<12，∵ln2>ln √e =12，∴x 0≥ln2错误，故②错误， 故错误的有：①②④．故选：C ．根据函数与方程之间的关系，转化为得2xe 2x =−lnx x，构造函数f(x)=xe x ，结合函数f(x)的单调性求出2x 0+lnx 0=0，然后构造函数ℎ(x)=2x +lnx ，结合函数的单调性和根的存在性定理进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，根据条件结合函数与方程的关系进行转化，构造函数，利用函数的单调性建立方程得到(2x 0)=f(−lnx 0)，是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度． 13.【答案】±1【解析】解：∵(λa ⃗ +b ⃗ )//(a ⃗ −2b ⃗ )⇒存在实数k ，使得λa ⃗ +b ⃗ =k(a ⃗ −2b ⃗ )；∴(λ−k)a ⃗ +(1−λk)b ⃗ =0⃗ ； ∵向量a ⃗ ，b ⃗ 不共线，∴λ−k =0且1−λk =0； 故λ=k =±1； 故答案为：±1．利用向量共线的充要条件得到等式，再利用平面向量基本定理，列出方程组求解． 本题考查两向量反向的充要条件及平面向量基本定理．14.【答案】516【解析】解：设总决赛一共进行n 场，∵总决赛中获得门票总收入恰好为4500万元，∴S n =500n +n(n−1)2×100=4500，整理得n 2+9n −90=0， 解得n =6或n =−15(舍)， ∴总决赛一共举行6场比赛，∴前5场比赛为2：3，第6场比赛领先队胜，∴总决赛中获得门票总收入恰好为4500万元的概率为：P =C 53(12)3(12)2(12)+C 52(12)2(12)3(12)=516．故答案为：516．由总决赛中获得门票总收入恰好为4500万元，得到总决赛一共举行6场比赛，从而前5场比赛为2：3，第6场比赛领先队胜，由此能求出总决赛中获得门票总收入恰好为4500万元的概率．本题考查概率的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 15.【答案】9720【解析】解：当工资、薪金为8000元时，缴纳税款3000×3%=90(元)； 当工资、薪金为17000元时，缴纳税款3000×3%+9000×10%=990(元)， 所以他的工资、薪金在8000−17000元之间，设工资、薪金为x 元，则3000×3%+(x −8000−1000)×10%=180，解得：x =9900，所以税后所得为9900−180=9720(元)， 故答案为：9720．利用分段函数先判断他的工资、薪金在8000−17000元之间，设工资、薪金为x 元，则3000×3%+(x −8000−1000)×10%=180，解出x 的值即可． 本题主要考查了函数的实际运用，是基础题． 16.【答案】21π【解析】解：由题意得SA 2+AB 2=SB 2，得到SA ⊥AB ，取AB 中点为D ，SB 中点为M ，得到∠CDM 为S −AB −C 的二面角的平面角，得到∠MDC =60°，设三角形ABC 的外心为O′，则CO′=√3=BO′，DO′=√32， 球心为过M 的ABS 的垂线与过O′的ABC 的垂线的交点，在四边形MDOO′中，OO′=32，所以R 2=OO′2+O′B 2=94+3=214，所以球的表面积为4πR 2=21π． 故答案为：21π．由题意得SA 2+AB 2=SB 2，得到SA ⊥AB ，取AB 中点为D ，SB 中点为M ，可得∠CDM 为S −AB −C 的二面角的平面角，得到∠MDC =60°，设三角形ABC 的外心为O′，则CO′=√3=BO′，DO′=√32，找出球心位置，进一步计算半径以及表面积． 本题考查了几何体的外接球表面积的求法；关键是正确找出球心的位置，通过勾股定理计算半径，求得表面积．17.【答案】解：(1)f(x)=sin 2x 4−2cos 2x 4+√3sin x 4cos x4，x ∈R ．=1−cos x 22−(1+cos x 2)+√32sin x 2 =√32sin x 2−32cos x 2−12 =√3(1sin x −√3cos x )−1=√3sin(x2−π3)−12， 由2kπ+π2≤x2−π3≤2kπ+3π2，(k ∈Z) 可得4kπ+5π3≤x ≤4kπ+11π3，(k ∈Z)所以f(x)的单调减区间为[4kπ+5π3,4kπ+11π3]，(k ∈Z)，(2)由(1)可知：f(x)=√3sin(x2−π3)−12， 因为f(B)=−12，所以√3sin(B2−π3)−12=−12， sin(B2−π3)=0， 因为0<B <π， 所以−π3<B2−π3<π6， 所以B2−π3=0， 所以B =2π3，又b =√3，由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB 可得，3=a 2+c 2+ac =(a +c)2−ac (a +c)2−3=ac ≤(a+c 2)2，当且仅当a =c 时，等号成立，所以(a +c)2≤4， 即a +c ≤2， 又a +c >b ，所以√3<a +c ≤2，所以△ABC 周长a +b +c 的取值范围为(2√3,2+√3].【解析】(1)f(x)=√3sin(x2−π3)−12，由2kπ+π2≤x2−π3≤2kπ+3π2，(k ∈Z)，解得x的取值范围，即可得出答案．(2)由(1)可知：f(x)=√3sin(x2−π3)−12，因为f(B)=−12，解得B =2π3，又b =√3，由余弦定理可得，3=a 2+c 2+ac =(a +c)2−ac ，即(a +c)2−3=ac ≤(a+c 2)2，当且仅当a =c 时，等号成立，得a +c ≤2，进而得△ABC 周长a +b +c 的取值范围．本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题． 18.【答案】解：(1)取MB 的中点P ，连接DP ，PN ，∵N 为MC 的中点，P 为MB 的中点，∴PN//BC ，而DE//BC ，∴PN//DE ，则四边形NEDP 为平面四边形， 又∵EN//平面MBD ，EN ⊂平面NEDP ，平面NEDP ∩平面MBD =DP ，∴EN//DP ，即四边形NEDP 为平行四边形， ∴NP//DE 且NP =DE ，即DE =12BC ， ∴λ=12；(2)取DE 的中点O ，∵平面MDE ⊥平面DECB ，且MO ⊥DE ， ∴MO ⊥平面DECB ．如图所示，建立空间直角坐标系O −xyz ，不妨设BC =2． 则M(0,0，√3λ)，D(λ,0，0)，B(1,√3(1−λ),0)， MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,0,−√3λ)，DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ,√3(1−λ),0)， 设平面BMD 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则 {m ⃗⃗⃗ ⋅MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λx −√3λz =0m⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)x +√3(1−λ)y =0，取z =1，得m ⃗⃗⃗ =(√3,−1,1)．又平面EMD 的一个法向量为n ⃗ =(0,1,0)． ∴cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−1√5=−√55． 即二面角B −MD −E 的大小与λ无关．又二面角B −MD −E 为钝二面角，则二面角B −MD −E 的余弦值为−√55，正弦值为2√55，正切值为−2．【解析】(1)取MB 的中点P ，连接DP ，PN ，证明四边形NEDP 为平面四边形，再由EN//平面MBD ，可得EN//DP ，即四边形NEDP 为平行四边形，从而得到λ值；(2)取DE 的中点O ，由平面MDE ⊥平面DECB ，且MO ⊥DE ，可得MO ⊥平面DECB ，建立空间直角坐标系O −xyz ，不妨设BC =2，分别求出平面BMD 的一个法向量与平面EMD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值为定值，可知二面角B −MD −E 的大小与λ无关，进一步求其正切值．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．19.【答案】解：(1)由△F 2AB 的周长为8，得4a =8，即a =2． 由点P(1,32)在椭圆C 上，∴1a 2+94b 2=1，即b =√3． ∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1；(2)由椭圆C 的方程，可得c =1，则F 1 (−1,0)，当直线l的斜率不存在时，x轴上任何一点M都满足∠F1MA=∠F1MB；当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k(x+1)，联立{y=k(x+1)x24+y23=1，得(3+4k2)x2+8k2x+4k2−12=0．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=−8k23+4k2，x1x2=4k2−123+4k2．设x轴上存在定点M(m,0)，使得∠F1MA=∠F1MB恒成立，则k MA+k MB=y1x1−m +y2x2−m=0，即y1(x2−m)+y2(x1−m)(x1−m)(x2−m)=0，即y1x2−my1+x1y2−my2=0．∴k[2x1x2+(1−m)(x1+x2)−2m]=0．∴k[8(k2−3)3+4k2−8(1−m)k23+4k2−2m]=0，整理得：k⋅−24−6m3+4k2=0，则m=−4．∴x轴上存在定点M(−4,0)，使得∠F1MA=∠F1MB恒成立．【解析】(1)由三角形周长求得a，把点P的坐标代入椭圆方程求得b值，则椭圆方程可求；(2)由椭圆C的方程，可得F1(−1,0)，当直线l的斜率不存在时，x轴上任何一点M都满足∠F1MA=∠F1MB；当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k(x+1)，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系结合k MA+k MB=y1x1−m +y2x2−m=0求得m值．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由P(X=0)=m100×m100=0.01，得m=10，再由m+10+40+n=100，得n=40；(2)根据题意，随机变量X的所有取值为0，1，2，3，4，5，6．∵以这100台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率．∴P(X=0)=0.1×0.1=0.01，P(X=1)=2×0.1×0.1=0.02，P(X=2)=0.1×0.1+2×0.1×0.4=0.09，P(X=3)=2×0.1×0.4+2×0.1×0.4=0.16，P(X=4)=0.4×0.4+2×0.1×0.4=0.24，P(X=5)=2×0.4×0.4=0.32，P(X= 6)=0.4×0.4=0.16．n若采用方案一，则随机变量Y的分布列为：1的期望为：10.28+(8600+a)×0.24+(8600+2a)×0.32+(8600+3a)×0.16=8600+1.36a元．若采用方案二，则随机变量Y2的分布列为：随机变量2的期望为：E(Y 2)=10000×0.52+11000×0.32+12000×0.16=10640元． 令8600+1.36a =10640，得a =1500元，①若a <1500，则方案2的费用高，应选择方案一．②若a =1500，则两种方案费用一样多，可以任选一个方案． ③若a >1500，则方案一的费用高，应选择方案二．【解析】(1)由P(X =0)=0.01求得m ，再由和为100求得n 值；(2)X 所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列；(3)选择延保方案一，求出所需费用Y 1元的分布列和数学期望，选择延保方案二，求出所需费用Y 2元的分布列和数学期望，然后对a 分类讨论可得该医院选择哪种延保方案更合算．本题考查随机变量的分布列与期望，考查计算能力，正确理解题意是关键，是中档题．21.【答案】解：(1)由题意知，f′(x)=2me 2x −2(x 2+3x +1)e x =2e 2x (m −x2+3x+1e x)，令g(x)=x 2+3x+1e x，则g′(x)=(2x+3)e x −(x 2+3x+1)e x(e x )2=−x 2−x+2e x=−(x+2)(x−1)e x，令g′(x)>0，则−2<x <1；令g′(x)<0，则x <−2或x >1，∴函数g(x)在(−∞,−2)单调递减，在(−2,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减， ∵函数f(x)恰有两个极值点， ∴f′(x)有两个不同的变号零点，又当x →−∞时，g(x)→+∞，g(−2)=−e 2,g(1)=5e ，当x →+∞时，g(x)→0， ∴−e 2<m ≤0； (2)证明：g(x)=0，则x =−3±√52，不妨设x 1<x 2，由(1)知，−3−√52≤x 1<−2<x 2≤−3+√52，令ℎ(x)=g(x)−g(−4−x),−2<x ≤−3+√52，则ℎ′(x)=g′(x)+g′(−4−x)=−(x+2)(x−1)e x+−(−2−x)(−5−x)e −4−x，即ℎ′(x)=−(x +2)[(x −1)e −x +(x +5)e x+4]<−(x +2)[(x −1)e x+4+(x +5)e x+4]=−2(x +2)2e x+4<0， ∴y =ℎ(x)在(−2,−3+√52]上单调递减，当x ∈(−2,−3+√52]时，有ℎ(x)<ℎ(−2)=0，即g(x)<g(−4−x)，令x =x 2，则g(x 2)<g(−4−x 2)， 又∵g(x 2)=g(x 1)， ∴g(x 1)<g(−4−x 2)，∵x 1，4−x 2∈(−∞,2)，且y =g(x)在(−∞,2)上单调递减， ∴x 1>−4−x 2，即x 1+x 2>−4， ∴0<x 1x 2<[(−x 1)+(−x 2)2]2<4，由(1)知，me x 1=x 12+3x 1+1,me x 2=x 22+3x 2+1，两式相减得，m(e x 2−e x 1)=x 22−x 12+3x 2−3x 1=(x 2−x 1)(x 2+x 1+3)，∴x 2+x 1+3=m(e x 2−e x 1)x 2−x 1≤0，即x 2+x 1≤−3，∴3<x 1x 2−(x 1+x 2)<8．【解析】(1)求导，并令g(x)=x 2+3x+1e x，利用导数可知函数g(x)在(−∞,−2)单调递减，在(−2,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，结合题意可知−e 2<m ≤0；(2)由(1)可知−3−√52≤x 1<−2<x 2≤−3+√52，构造函数ℎ(x)=g(x)−g(−4−x),−2<x ≤−3+√52，求导后可知y =ℎ(x)在(−2,−3+√52]上单调递减，则可得x 1+x 2>−4，进而得到0<x 1x 2<[(−x 1)+(−x 2)2]2<4，而me x 1=x 12+3x 1+1,me x 2=x 22+3x 2+1，两式相减可得到x 2+x 1≤−3，进而得证．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查运算求解能力，逻辑推理能力，属于难题．22.【答案】解：(1)曲线C 的参数方程为{x =√2(sinα−cosα)y =√22(sinα+cosα)(α为参数)，两式平方得x 24+y 2=1：直线l 的极坐标方程为ρcosθ+2ρsinθ+m =0，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2整理得：x +2y +m =0．(2)设曲线C 上的任一点的坐标P(2cosθ,sinθ)，所以点P 到直线x +2y +m =0的距离d =|2√2sin(θ+π4)−m|√12+22，①当m >0时，d max =√2+m|√5=4√105解得：m =2√2 ②m <0时，d max =√2−m|5=4√105，解得：m =−6√2．故：m 的值为2√2或−6√2．【解析】(1)直接利用转换关系，对参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．(2)利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)f(x)=|2x −1|+|x −52|={−3x +72,x <12x +32,12≤x ≤523x −72,x >52．当x<12时，不等式f(x)≤192化为−3x+72≤192，解得x≥−2，∴−2≤x<12；当12≤x≤52时，不等式f(x)≤192化为x+32≤192，解得x≤8，∴12≤x≤52；当x>52时，不等式f(x)≤192化为3x−72≤192，解得x≤13，∴52<x≤13．∴不等式f(x)≤192的解集为[−2,13]；(2)作出f(x)的图象如图：由图可知，f(x)的最小值为M=2，则a+b+c=2，又a，b，c均为正数，∴1a+1b+1c=12(a+b+ca+a+b+cb+a+b+cc)=12[3+(ba+ab)+(ca+ac)+(cb+bc)]≥12(3+2√ba⋅ab+2√ca⋅ac+2√cb⋅bc)=92．当且仅当a=b=c时上式取等号．∴1a +1b+1c的最小值为92．【解析】(1)写出分段函数解析式，然后分类求解，取并集得答案；(2)画出分段函数图象，求出f(x)的最小值，然后利用基本不等式求最值．本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的数学思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．。

2019年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高三数学（理科）试卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若i 为虚数单位，则复数3223z i i =+的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】3223z i i =+i 2-3-=，z =i 23-+=，z 在复平面内对应的点为()2,3-在第二象限。

【方法点评】本题考查复数的运算，共轭复数的性质，复数的几何意义，是基础题。

2．已知集合{A x y ==，{}12019x B y y ==+，则AB =（ ）A ．[]1,3B ．(],3-∞C ．[)3,+∞D ．(]1,3【答案】D【解析】由题意得：{A x y ==3}x |{x ≤=，{}12019x B y y ==+1}y |{y >=，所以(]3,1=⋂B A【方法点评】本题考查函数的定义域和指数函数的值域，集合的交集，考查对知识的合理利用。

基础题的综合。

3．已知20191log πa =，20191πb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1π2019c =，则（ ） A ．c a b <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．a b c <<【答案】D【解析】由题意得：20191log πa =()01log 2019=<，20191πb ⎛⎫= ⎪⎝⎭()10 ∈，1π2019c =1> ，所以a b c <<。

【方法点评】比较大小，涉及到指数与对数，做题的时候要把指数和对数具体的范围表示出来。

4．函数()21sin 1x f x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意得：()21sin 1xf x x e⎛⎫=- ⎪+⎝⎭x e e x xsin 11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=是偶函数，排除C,D. 5．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d ≤”是“81092S S S +<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】81092S S S +<⇒0<d【方法点评】考查等差数列的前n 项和，基础题6．已知命题p ：实数a 满足不等式21a ≤；命题q ：函数()32132af x x x x =++有极值点．若“p q ∧”是真命题，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(]2,0-B ．[]2,0-C ．(),2-∞-D ．(],2-∞-【答案】C【解析】命题p ：0≤a ，命题q ：函数()32132af x x x x =++有极值点，()012'=++=ax x x f 有解， 2≥∴a 或2-≤a 。

湖北省鄂东南省级示范教学改革联盟学校2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题二、多选题三、填空题四、解答题上表图2中第n 行的第m 个数用1D m n -表示，即()21nx x ++“展开式中m x 的系数为(1)类比二项式系数性质11C C C k k kn n n -+=+表示()1*1D 121,,N k n k n k n ++≤≤-∈（无需证明）(2)类比二项式系数求和方法求出三项式()5232x x --展开式中x 的奇次项系数之和21．已知正项数列{}n a 满足11a =且()()()22*11110N n n n n a a a a n ++++-=∈.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，是否存在p 、q 使12n n pS qn +=-恒成立，若存在，求出p 、q 的值；若不存在，请说明理由.22．已知函数()212ln xf x x +=.(1)求()f x 的单调区间；(2)若方程()f x k =的两个实根分别为12,x x （其中12x x <），求证：122x x +>参考答案：显然01x =-，依题意得(g -12k -≤-且23ek ->-，解得所以实数k 的取值范围是3e ⎛ ⎝故选：A.【点睛】关键点睛：将问题转化为()1e x g x x +=与()h x kx k =-结合即可.9．CD【分析】写出612x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项，然后求出其常数项可判断二项式系数和可判断B ，解出不等式组【详解】612x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项为令620r -=得3r =，所以常数项为第四项，故展开式的二项式系数和为62由6156661766C 2C 2C 2C 2r r r rr r r r-+----⎧≥⎨≥⎩可得43≤所以展开式系数最大项为第三项，故选：CD.考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中对称构造()()()2g x f x f x =--，再根据单调性证明题目是解题的关键.。

2019-2020学年鄂东南省级示范高中高二(下)期中数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 7人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有( )种．A. 960种B. 840种C. 720种D. 600种2. 设f(x)为可导函数，且limℎ→0f(3)−f(3+ℎ)2ℎ=5，则f′(3)等于( )A. 5B. 10C. −5D. −103. (1+2x 2)(x −1x )6的展开式中，含x 2的项的系数是( )A. −40B. −25C. 25D. 554. 在对一种新药进行药效评估时，调查了20位开始使用这种药的人，结果有16人认为新药比常用药更有效，则( )A. 该新药的有效率为80%B. 该新药比常用药更有效C. 该新药为无效药D. 本试验需改进，故不能得出新药比常用药更有效的结论5. 已知直线的参数方程为(为参数)，则直线的普通方程为( )A.B.C.D.6. 已知离散型随机变量X 的分布列为P(X =1)=35，P(X =2)=310，P(X =3)=110，则X 的数学期望E(X)=( )A. 32B. 2C. 52D. 37. 已知随机变量X ～B(2,p)、Y ～N(2,σ2)，若P(X ≥1)=0.36，P(0<Y <2)=p ，则(Y >4)=( ) A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.48. 已知f(x)=lnx −ax +ex,g(x)=13x 3−x 2+2，若对∀x 1∈(0,1]，∀x 2∈[−1,1]，都有f(x 1)≥g(x 2)，则a 的取值范围为( )A. (−∞,2−e]B. (−2,2−e]C. (−∞．−2e )D. (−∞,−2e ]9. 从3男2女五人中选出3人组成一个工作小组，则至少含有1男1女的不同选法为( )A. 18B. 9C. 7D. 610.若∫(k2x+4)dx=12，则k=()A. 3B. 2C. 1D. 411.某事件的概率是万分之一，说明()A. 概率太小，该事件几乎不可能发生B. 10000次中一定发生1次C. 10000人中，9999人说不发生，1人说发生D. 10000次中不可能发生10000次12.设函数f(x)=+lnx，则()．A. x=为f(x)的极大值点B. x=为f(x)的极小值点C. x=2为f(x)的极大值点D. x=2为f(x)的极小值点二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线在点(1,1)处的切线方程为________14.下列结论正确的是______ ．①在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,1)内取值的概率为0.35，则ξ在(0,2)内取值的概率为0.7；②以模型y=ce kx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，其变换后得到线性回归方程z=0.3x+4，则c=e4；③已知命题“若函数f(x)=e x−mx在(0,+∞)上是增函数，则m≤1”的逆否命题是“若m>1，则函数f(x)=e x−mx在(0,+∞)上是减函数”，是真命题；④设常数a、b∈R+，则不等式ax2−(a+b−1)x+b>0对∀x>1恒成立的充要条件是a≥b−1．15.一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品节目，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有______种．16.直线y=1与曲线y=x 2−∖a∖vs4∖al∖co1(x)+a有四个交点，则a的取值范围为________________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求最大的自然数x，使得对每一个自然数y，x能整除7y+12y−1．18.3个女生和5个男生排成一排(1)女生必须全排在一起，有多少种排法？(2)如果女生必须全分开，有多少种排法？(3)如果两端都不能排女生，有多少种排法？19.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的分期付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为150元；分2期或3期付款，其利润为200元；分A期或5期付款，其利润为250元设X表示经销一件该商品的利润．(1)记事件A为“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”，求P(A)；(2)求X的分布列及期望EX．20.已知函数f(x)=x−1x+a+alnx(a∈R)．(1)当a<0时，试讨论f(x)的单调性；(2)令g(x)=−1x+(a+2)lnx−f(x)，若函数g(x)的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2(x1≠x2)，求证：1x1+1x2>1．21.从某大学中随机抽取8名女大学生，其身高和体重数据如表所示．求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报身高为172cm的女大学生的体重．22.已知函数f(x)=e x−12x2−ax(a∈R)．(Ⅰ)若函数f(x)的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；(Ⅱ)若函数在R上是增函数，求实数a取值范围；(Ⅲ)如果函数g(x)=f(x)−(a −12)x 2有两个不同的极值点x 1，x 2，证明：a >√e2．【答案与解析】1.答案：A解析：解：由题意，甲、乙两人必须相邻，有A66A22=1440种，甲、乙两人必须相邻，与丙相邻，有A55A22A22=480种，∴甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，不同的排法有1440−480=960种．故选：A．本题考查排列知识的运用，考查间接法，考查学生的计算能力，属于中档题．利用间接法，求出甲、乙两人必须相邻，有A66A22=1440种，甲、乙两人必须相邻，与丙相邻，有A55A22A22=480种，即可得出结论．2.答案：D解析：本题主要考查导数的运算，根据导数的定义是解决本题的关键，属于基础题．根据导数的定义进行求解即可．解析：解：∵limℎ→0f(3)−f(3+ℎ)2ℎ=limℎ→0f(3+ℎ)−f(3)−2ℎ=−12limℎ→0f(3+ℎ)−f(3)ℎ=−12f′(3)=5，∴f′(3)=−10，故选：D3.答案：B解析：解：二项式(x−1x)6的展开式中，通项公式为T r+1=C6r⋅x6−r⋅(−1x)r=C6r⋅(−1)r⋅x6−2r，令6−2r=0，解得r=3，此时为C63⋅(−1)3=−20；令6−2r=2，解得r=2，此时C62⋅(−1)2⋅x2=15x2；所以展开式中含x2的项的系数是1×15+2×(−20)=−25．故选：B．根据二项式展开式的通项公式求出(x−1x)6展开式中的常数项和含x2项，再求结果即可．本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，是基础题．4.答案：A解析：解：由题意，该新药的有效率为80%，故选A．利用调查了20位开始使用这种药的人，结果有16人认为新药比常用药更有效，可得结论．本题考查收集数据的方法，考查学生的计算能力，比较基础．5.答案：A解析：试题分析：两式相减消去得故选：A．6.答案：A解析：解：由数学期望的计算公式即可得出：E(X)=1×35+2×310+3×110=32．故选：A．利用数学期望的计算公式即可得出．本题考查了离散型随机变量的期望与方差．熟练掌握数学期望的计算公式是解题的关键．7.答案：C解析：解：∵随机变量X～B(2,p)，Y～N(2,σ2)，P(X≥1)=0.64，∴P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2))=C21P(1−P)+C22P2=0.36，可得p=0.2，进而P(0<Y<2)=p=0.2，由此能求出P(Y>4)=P(Y<0)=0.3．故选：C．推导出P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=C21P(1−P)+C22P2=0.36，从而p=0.2，进而P(0<Y<2)=p =0.2，由此能求出P(Y >4)．本题考查概率的求法，考查二项分布、正态分布等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．8.答案：D解析：解：g′(x)=x(x −2)，∴−1<x <0时，g′(x)>0，0<x <1时，g′(x)<0，g(x)max =g(0)=2， ∴f(x)=lnx −ax +ex ≥2在(0,1]恒成立，即a ≤xlnx +ex 2−2x 在(0,1]恒成立，令ℎ(x)=xlnx +ex 2−2x(0<x ≤1)，ℎ′(x)=lnx +2ex −1，ℎ″=1x +2e ≥恒成立， ∴ℎ′(x)在x ∈(0,1]单调递增，又x →0时，ℎ(x)→−∞，ℎ(1)=e −2>0， 故存在x 0∈(0,1]，使得0<x <x 0，ℎ′(x)<0，x 0<x <1，ℎ′(x)>0， 即ℎ′(x 0)=lnx 0+2ex 0−1=0，解得x 0=1e ， ∴ℎ(x)min =ℎ(1e )=−1e +e ⋅(1e )2−2⋅1e =−2e ， ∴a ≤−2e ， 故选：D ．f(x)=lnx −ax +ex,g(x)=13x 3−x 2+2，若对∀x 1∈(0,1]，∀x 2∈[−1,1]，都有f(x 1)≥g(x 2)，只需求出g(x)在定义域内的最大值，然后分离参数a ，a ≤xlnx +ex 2−2x 在(0,1]恒成立，进而求解； 考查不等式的恒成立，函数的最值，一阶导函数，二阶导函数，二分法，属于较难题目；9.答案：B解析：解：从3男2女五人中选出3人组成一个工作小组，没有限制条件的选择有C 53=10种，其中全是男生的有1种，故至少含有1男1女的不同选法为10−1=9种， 故选：B ．利用间接法，先求出没有限制条件的选择种数，再排除全是男生的种数，问题得以解决． 本题考查了组合的问题，正难则反的原则，属于基础题．10.答案：B2x+4)dx=(x2+4x)|0k=k2+4k=12，解析：解：由∫(k得k2+4k−12=0，解得k=−6(舍)或k=2．故选：B．求出导函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限得答案．本题考查定积分，关键是求出导函数的原函数，是基础题．11.答案：A解析：解：某事件的概率是万分之一，说明概率太小，该事件几乎不可能发生，故选：A．根据概率的定义分别判断即可．本题考查了概率的定义，考查对应思想，是一道基础题．12.答案：D解析：∵f(x)=+lnx(x>0)，∴f′(x)=−+．由f′(x)=0解得x=2．当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(2,+∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．∴x=2为f(x)的极小值点．13.答案：解析：试题分析：因为，所以，所以，所以在点(1,1)处的切线方程为，考点：导数的几何意义。

2020届黄石二中、鄂南高中、鄂州高中三校高三下期中联考数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：21n n n a a a ++=+.记该数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ） A ．201920202S a =+B ．201920212S a =+C ．201920201S a =-D ．201920211S a =-2．若不等式1ln x mm e x +-≤+对1[,1]x e∈成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1[,)2-+∞ B ．1(,]2-∞- C ．1[,1]2- D ．[1,)+∞3．经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x 与数学成绩y 进行数据收集如下：由样本中样本数据求得回归直线方程为y bx a =+，则点(),a b 与直线18100x y +=的位置关系是（ ） A ．18100a b +< B ．18100a b +>C ．18100a b +=D ．18a b +与100的大小无法确定4．已知α，β均为锐角，且sin22sin2αβ=，则（ ） A ．tan()3tan()αβαβ+=-B ．tan()2tan()αβαβ+=-C ．3tan()tan()αβαβ+=-D ．3tan()2tan()αβαβ+=- 5．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( )A ．向右平移6π个单位长度B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是3x ,它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为A．22136108x y-=B．221927x y-=C．22110836x y-=D．221279x y-=7．已知抛物线2:2(0)C y px p=>的焦点为F，抛物线上一点()2,M m满足6MF=，则抛物线C的方程为（）A．22y x=B．24y x=C．28y x=D．216y x=8．已知函数()()()2sin0012f x x fπωϕϕ⎛⎫=+<<=⎪⎝⎭，且，若函数()f x的图象关于49xπ=对称，则ω的取值可以是A．1 B．2 C．3 D．49．执行如图所示的程序框图，输出n的值为（）A．6B．7C．8D．910．若函数(),()f xg x分别是R上的奇函数、偶函数，且满足()()2xf xg x-=，则有（）A．(2)3)0(()ff g<<B．(0)3)2(()fg f<<C．(2)(03)()f g f<<D．(0)(23)()g f f<<11．设双曲线C：221(0)8x ymm-=>的左、右焦点分别为1F，2F，过1F的直线与双曲线C交于M，N 两点，其中M在左支上，N在右支上.若22F MN F NM∠=∠，则MN=（）A．82B．8 C．42D．412．已知复数z是一元二次方程2220x x+=-的一个根，则z的值为（）A ．1B ．2C ．0D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前2020年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高二数学试卷命题学校：罗田一中 命题教师：张晖 审题教师：方维平 余咏梅 方耀光注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、命题“x x x sin ,0＞使得＞∀”的否定是（ ）A ．000sin ,0x x x ≤≤∃使得B ．000sin ,0x x x ≤∃使得＞C ．x x x sin ,0≤∀使得＞D ．x x x sin ,0≥≤∃使得2、若点A （-1,1,2），B （0,3,0），C （1,0，-1），点D 在z 轴上，且→→⊥BC AD ，则=→AD （ ）A ．2B ．22C ．23D ．63、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()*11,1N m m a a a m m ∈--+＞＜＜，则必有（ ）A ．001＞且＜+m m S SB ．001＞且＞+m m S SC ．001＜且＜+m m S SD ．001＜且＞+m m S S4、若P 是两相交平面βα,外的任意一点，则过点P （ ）A ．有且仅有一条直线与βα,都平行B ．有且仅有一条直线与βα,都垂直C ．有且仅有一条直线与βα,都相交D ．以上都不对5、已知椭圆13422=+y x 的右焦点F 是抛物线()022＞p px y =的焦点，则过F 作倾斜角为α的直线分别与抛物线交于A 、B （A 在x 轴上方）两点，若3=BF AF，则α的值为（ ）A ．30°B ．120°C ．60°D ．60°或120°6、在等比数列{}n a 中，若815654321=+++++a a a a a a ，8943-=a a ，则=+++++654321111111a a a a a a （ ）A ．53B ．53-C ．35D ．35- 7、设动点P 在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -的对角线1BD 上，记λ=BD P D 11，当APC ∠为锐角时，λ的取值范围是（ ）A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡31,0B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,0C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,31D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,218、双曲线()0012222＞，＞b a b y a x =-的左焦点()0,c F -关于直线x ab y -=的对称点Q 在该双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A ．25B ．5C ． 3D ．23二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9、已知双曲线⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠=-Z k k y x ,2cos 3222ππθθ，则不因θ改变而变化的是（ ） A ．焦距 B ．离心率 C ．顶点坐标 D ．渐近线方程10、如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长是1，下列结论中正确的有（ ）A ．直线BC 与平面11D ABC 所成的角为4πB ．C 到平面11D ABC 距离为22 C ．两条异面直线1CD 和1BC 所成的角为4π D ．三棱锥DAB D -1中三个侧面与底面均为直角三角形11、已知曲线1:22=-ny mx C ，下列说法正确的是（ ）A ．若0＞mn ，则C 为双曲线B ．若0,0＜＞n m m +，则C 为焦点在x 轴的椭圆C ．若0,0＜＞n m ，则C 不可能表示圆D ．若0,0=n m ＞，则C 为两条直线12、已知P 是左右焦点分别为21,F F 的椭圆12422=+y x 上的动点，()2,0M ，下列说法正确的有（ ） A ．421=+PF PF B ．21PF PF -的最大值为22C ．存在点P ，使︒=∠12021PF FD ．MP 的最大值为22+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13、双曲线1322=-y x 的左焦点到其渐近线的距离为_______． 14、直线l 与抛物线x y 22=相交于A 、B ，且︒=∠90AOB ，则AOB ∆面积的最小值为_______．15、若n S 是数列{}n a 的前n 项和，且n n a a a a n n 22...22213221+=++++-，则=n a _______，=n S _______．（第一空2分，第二空3分）16、空间四边形ABCD 中，2===BD AD AB ，3=AC ，DC BC =，DC BC ⊥，则其外接球表面积为_______．四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、（本小题满分10分）已知命题:p 方程02224222=+-++-+m m my x y x 表示圆；命题:q 方程15122=-+-ay m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，若q p 是的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18、（本小题满分12分）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，15,03=S a n ＞，公差1＞d 且______从“①a 2﹣1为a 1﹣1与a 3+1的等比中项”，“②等比数列{b n }的公比q ＝，b 1＝a 2，b 3＝a 3”这两个条件中，选择一个补充在上面问题中的划线部分，使得符合条件的数列{a n }存在并作答．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列的前n 项和为T n ，求T n ．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．19、（本小题满分12分）已知圆:C 044222=+--+y x y x ．（1）若圆C 的切线在x 轴、y 轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C 外一点()00,y x P 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PO PM =，求PM 的最小值．20、（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，ABCD PA 平面⊥，底面ABCD 为菱形，的中点为PD E ．（1）证明：AEC PB 平面∥；（2）设1=PA ，︒=∠120BAD ，菱形ABCD 的面积为32，求二面角C AE D --的余弦值．21、（本小题满分12分）设抛物线:C x y 22=，点()0,2A ，过点A 的直线l 与C 交于N M ,（轴上方在x M ）两点．（1）当AN MA 2=时，求直线l 的方程；（2）是否存在轴x 上的点B （异于点A ），使得NBA MBA ∠=∠，若存在，求出B 点坐标；若不存在，说明理由．22、（本小题满分12分）若曲线Γ上任意一点P 与()()0,2,0,2B A -连线的斜率之积为41-，过原点的直线与曲线Γ交于N M ,两点，其中点M 在第二象限，过点M 作x 轴的垂线交AN 于点C ．（1）求曲线Γ的方程；（2）试比较2AM 与AN AC ⋅的大小．。

2023年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高三数学试卷考试时间：2023年11月1日下午15：00－17：00试卷满分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）4． 已知G 为ABC ∆的重心，32π=∠A ，2-=⋅AC AB ，则||AG 的最小值为（ ）A ．81B ．94C ．91D ．32A ．m35B ．m50C ．m60D ．m906． 将函数()cos f x x =的图像先向右平移3π个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的横坐标都变为原来的()10ωω>倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，若函数()g x 在()0，π-上单调递增，则ω的取值范围是（ ）7． 函数b x x a x x f +--+=23)1()(为R 上的奇函数，过点)1,21(-P 作曲线)(x f y =的切线，可作切线条数为（ ）A ．B 1．C 2．D 3．不确定8． 在ABC ∆中，AC AB 2=，且ABC ∆的面积为1，则BC 的最小值为（）A ．2B ．C ．1D ．2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.10．)(x f 是定义在R 上的连续可导函数，)(x f '为其导函数，下列说法正确的有（）A ．若)()(x f x f =-，则)()(x f x f '-=-'B ．若)(x f '为偶函数，则)(x f 为奇函数C ．若)(x f '是周期为）（0≠T T 的函数，则)(x f 也是周期为T 的函数D ．已知x x f x f 2)()(=--且0)1()1(=--+x f x f ，则1)1()0(='+'f f 11．已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<<=144),36cos(440log )(21x x x x x f ππ，，若方程m x f =)(有四个不等的实根1x ，2x ，3x ，4x ，且4321x x x x <<<，则下列结论正确的是（ ）A ．20<<m B ．2121=x x C ．)55,48(43∈x x D ．)5,1(31∈x x 12．正项数列}{n a 的前n 项和为n S ，若122+=n n n a S a ，nn n S S b 22log +=，数列的}{n b 前n 项和为n T ，下面结论正确的有（ ）A ．n n a a >+1B ．}{2n S 是等差数列C ．nS n 22ln ≥+D ．满足2≥n T 的最小正整数n 为5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量),2(λλ=a ,），（1λ=b ，若向量a 与向量b 共线，则实数λ的值为 ．14．已知函数122)193(log )(22+-++=x x x x f ，若2)2()1(-≤-+-a f a f ，则实数a 的解集为．15．已知数列}{n a 的首项531=a ，且1231+=+n n n a a a ，202411121<++na a a ，则满足条件的最大整数=n．16．已知实数0>a ，对2>∀x ，)2ln(2a ax a a e x->+恒成立，则a 的取值范围为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）求数列|}{|n a 的前n 项和n T ．20．（本题满分12分）已知函数x a e x f xsin 1)(--=．（1）若曲线)(x f y =在点))0(0(f ，处的切线方程为x y -=，求a 的值；（2）当2=a 时，)(12)(Z c c x f ∈-≥在],0[π∈x 恒成立，求c 的最大值．21．（本题满分12分）已知}{n a 为等比数列，且14432=++a a a ，432,1,a a a +成等差数列．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）当}{n a 为递增数列时，)12)(12()26()1(1+++-=+n n n n n a b ，数列}{n b 的前n 项和为n T ，若存在n T m N n ≥∈*,，求m 的取值范围．22．（本题满分12分）已知函数1ln )(-+=xmx x f ．（1）若存在实数x ，使1)(-<x f 成立，求实数m 的取值范围；（2）若)(x f 有两个不同零点21,x x ，求证：e x x <+<212．2023年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考19.解：（1）设}{n a 的公差为d ，则：⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+==+=6427881121813d a S d a a ⎩⎨⎧-==⇒2151d a ，n a n 217-=∴；（5分）（2）n n nn S n 162)21715(2+-=-+=，当80217≤⇒>-=n n a n ，当8≤n 时，0>n a ，nn n a a a a a a T ++=++=2121||||||n n S n 162+-==，（8分）当9≥n 时，0<n a ，)(||||||982121n n n a a a a a a a a T ++-+++=++= nn S S S S S -=--=8882)(12816)16()8168(2222+-=+--⨯+-=n n n n .（11分）综上所述：⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤+-=9,1281681622n n n n n n T n ，.（12分）20.解：（1）x a e x f xsin 1)(--=x a e x f xcos )(-='⇒，11)0(-=-='∴a f 2=⇒a 且此时切线方程为x y -=；（4分）（2）依题意：，min )1)((21+≤x f c ，当2=a 时，x e x f xsin 21)(--=，x e x f xcos 2)(-='，且)(x f '在],0[π上单调递增，01)0(<-='f ，024(4>-='ππe f ，)4,0(0π∈∃∴x ，使得0)(0='x f ，即0cos 20x e x =，)(x f 在),0(0x 上单调递减，)(0π，x 上单调递增，1sin 2)()(00min 0--==x e x f x f x 1sin 2cos 200--=x x 1)4cos(220-+=πx ，（8分）4,0(0π∈x ，2,4(40πππ∈+∴（x ，)22,0(4cos0∈+）（πx ，)1,1()()2,0(4cos 2200-∈⇒∈+∴x f x （π，)1,0()1)((210∈+x f ，0,≤∴∈c Z c ，c 的最大值为0.（12分）21.解：（1）⎩⎨⎧+=+=++)1(214342432a a a a a a ⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==⇒2142433q a q a 或12-=∴n n a 或n n a -=52；（5分）（2）)12)(12(223)1(1+++⋅-=+n n n nn b 121121(11+++-=+n n n）（（7分）当n 为偶数时，)121121(121121(121121(1322++++++++++++-=+n n n T 121311++-=+n 在*∈N n 上单调递减，]92,31(--∈∴n T ，（9分）；当n 为奇数时，121121(121121(121121(1322+++-++++++++-=+n n n T 121311+--=+n 在*∈N n 上单调递增，31,158[--∈∴n T ，（11分）158-≥∴m.（12分）()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()[] ()()()()()()()()()()()()()()()exxexxemxmexexxge qxqexqxxqexxxqexexxgxqmxxxgxxgxxxpxxxgxpexyBxgxyOAeBAexxxxxxxxxgxgxgxgxgxgxgxghx hx hxlxgxgxhxxgxgx hexxmggxgxgxxgxgxxxmxgxgxxxgxxxxmxxxfeexxxexxxexxxxmxxxxxmxmxxf<+<<+∴+-<∴>+-∴+-<∴=<∴∴>-='--=<<+--=<>∴>∴>-=<<-=+-==<+>+∴->∴>->-<∴=-<-<∴=<∴∴>+---=-'+'='∴<<--=<<<<<<∴=>=<'+∞∈>'∈-='==-=-=∴<∴=≤∴<'>>'<<--='<-=∞+-<<+-<2121222211121211212122111221212121max2,0)()(,1)(.0ln1)(,)ln2()()1)(()()(,)(,0ln)()10()()()(,),0,(),1,1(22,12,122,2,011011n2121,1e,011,0,1)(,01,0lng,,ln1,)ln1(,)()2(e1m1)1()()(,0)(1)(,0)(1,ln1)()(,ln)(lnln1)(1.22综上递增，在则设即则设处的切线为在的方程直线设下证又即递增，，在令不妨设，又递减时递增，当时，当又则令有两个不同实根有两个不同零点递减时，当递增时，当只需令）有解，在（即得）由（ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ。

湖北省鄂东南省级示范教学改革联盟学校2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题二、多选题A ．筒车转动的角速度πrad /s 30ω=B ．当筒车旋转50秒时，盛水筒M 对应的点C ．当筒车旋转50秒时，盛水筒M 和初始点D ．盛水筒M 第一次到达最高点需要的时间是11．已知函数()()22log 22f x ax ax =-+,下列说法正确的是A ．若()f x 定义域为R ,则()0,2a ∈C ．若()f x 最小值为0,则1a =12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()25f x g x +-=，()()47g x f x --=．若()y g x =的图象关于直线2x =对称，()24g =，则下列结论正确的是（）A ．()36g =B ．()11f -=-C ．()11f =D ．()202312025k f k ==-∑四、解答题(1)求两座高塔底部A ，(2)为庆祝2023年春节的到来，在两座高塔顶部各安装了一个大型彩色灯饰．政府部门为了方便市民观赏这两个彩色灯饰，决定在搭建一个水上观景台，为了达到最佳的观赏效果，要求∠多远处搭建，才能达到最佳的观赏效果？22．已知函数()ln f x =(1)求值：()122f f ⎛+ ⎝(2)判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论：(3)求证()f x 有且仅有两个零点参考答案：故选:BCD.12．ABD【分析】根据抽象函数的奇偶性，对称性，结合条件，化简变形，再利用赋值法，判断ABC ；判断函数的周期性，结合条件，即可判断D.【详解】由题意知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，∵()y g x =的图象关于直线x ＝2对称，则()()22g x g x -=+，∵()()25f x g x +-=，∴()()25f x g x -++=，∴()()f x f x -=，故()f x 为偶函数，由()()47g x f x --=，得()()227g x f x -=--+，代入()()25f x g x +-=，得()()22f x f x +--=-，令=1x -，则()()112f f -+-=-，∴()11f -=-，则()11f =-，故B 正确，C 错误；因为()()25f x g x +-=，令=1x -，则()()135f g -+=，即()36g =，A 正确；由()()f x f x -=，故()()22f x f x --=+，故由()()22f x f x +--=-得()()22f x f x ++=-，∴()()242f x f x +++=-，故()()4f x f x +=．所以()f x 是以4为周期的周期函数，由()24g =，()()25f x g x +-=，令0x =，则()()025f g +=，得()01f =，则()()401f f ==，又()()22f x f x ++=-，令0x =得()()022f f +=-，得()23f =-，由A ，M ，D 三点共线，可得存在实数由B ，M ，C 三点共线，可得存在实数所以()()113112t m t m⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得m t ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩因为E ，M ，F 三点共线，所以存在实数所以()21515x x μλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得15λ则()0,0A ，()1,3B -，C 选①，显然条件PA PB ++ 则AC 的中点()2,0D ，BD ()1,2,1,3PD BD x y ⎛=--= ⎝ 31,3x y ∴==，则重心P 2cos 43PA PBAPB PA PB∠==选②，显然条件表示ABC 由PA PB = ，得222y +∴432,3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2,PA ⎛=-- ⎝ 所以cos PA PB APB PA PB∠=则()1,PA y =-，(5,BC = 由PA BC ⊥，得PA BC ⋅ ∴533y =-，∴1,P ⎛-- ⎝cos PA PBAPB PA PB∠==20．(1)π4(2)()1,0-【分析】(1)先利用三角恒等变换化简(2)先得出63ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再利用正弦定理将得出范围即可.【详解】（1）由题意得则四边形ABED 为矩形，所以设AB x =，CDE θ∠=tan tan 4BDC πθ⎡⎛∠=+ ⎢⎝⎣()()90150x x -+=，两座高塔底部A ，B 之间的距离为（2）设AP ＝t （0≤t ≤90当090t <<时，所以30tan DPA t ∠=，所以(tan tan DPC π∠=tan tan 1tan tan DPA BPC DPA BPC ∠+∠=--∠⋅∠当0=t 时，tan DPC ∠当90t =时，tan DPC ∠设60t m +=（60≤m ≤150所以(tan 45DPC m ∠=45112502102m m =+-≤当且仅当11250m m=即又因为在锐角范围内，。

2020届湖北省部分重点高中高三11月期中联考数学（理）科试题一、单选题1．设集合{|12},{|}A x x B x x a =-≤<=<,若A∩B≠∅,则a 的取值范围是( ) A ．1a ≥- B ．12a -<≤C ．2a >D ．1a >-【答案】D【解析】∵A∩B≠∅,∴A ，B 有公共元素，∵{|12},{|}A x x B x x a =-≤<=< ∴1a >- 故选：D点睛：在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍 2．定义运算a b ad bc c d=-，则符合条件1142i zzi-=+的复数z 为（ ）A ．3i -B ．13i +C ．3i +D ．13i -【答案】A【解析】试题分析：由题意得()()()()42142624231112i i i izi z i z i i i i +-+-+=+∴====-++- 【考点】复数运算3．已知12,e e 是不共线向量，1212122,3,AB BC CD e e e e e e λ=+=-+=-，且A ，B ，D 三点共线，则实数λ等于（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】根据共线向量基本定理得：A ，B ，D 三点共线，存在唯一的实数t 使得AB tBD =，(t 为实数），由此能求出实数λ． 【详解】A ，B ，D 三点共线，122AB e e =+，123BC e e =-+，12CD e e λ=-，∴12(1)2BD BC CD e e λ=+=-+， ∴12122(1)2e e t e te λ+=-+，解得12t =，5λ=． 故选C. 【点睛】本题考查向量的线性运算、共线向量基本定理，考查运算求解能力，属于基础题． 4．如图，点A 为单位圆上一点，3xOA π∠=，点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点34()55B -，，则cos α=( )A ．310B ．310-C D ．410+-【答案】A【解析】可得)os(35c 3p a +=-，)in(45s 3p a +=,再根据cos cos[()]33ππαα=+-化简可得答案. 【详解】解：由题意得：)os(35c 3p a +=-，)in(45s 3p a +=，∴cos cos[()]33ππαα=+-=1cos()23p a ++)23p a +=134()2525?=， 故选A.5．我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c 键到下一个1c 键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰好构成一个等比数列的原理，高音1c 的频率正好是中音c 的2倍．已知标准音1a 的频率为440Hz ，那么频率为的音名是（ ）A ．dB ．fC ．eD ．d【答案】D【解析】的音比1a 的频率低，故可将1a 的频率记为第一项，的音设为第n 项，则这个数列是以440Hz 为第一项，以1122q -=为公比的等比数列，代入等比数列的通项公式可得． 【详解】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的左边一个单音的频率的比1122．故从g起，每一个单音的频率与它右边的一个单音的比为1122q -= 由1112440(2)n --=⨯，解得7n =，频率为的音名是(#)d ， 故选D. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式及其性质，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．6．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和（ ） A ．若*1,n n a a n n N +-=∈，则{}n a 是等差数列B ．若2*12,n n n a a a n N ++=⋅∈，则{}n a 是等比数列C ．若()1*,2n n n a a S n N +=∈，则{}n a 是等差数列 D ．若(0nn S q q =>且*1),q n N ≠∈，则{}n a 是等比数列【答案】C【解析】对A ，利用等差数列的定义判断；对B ，若有项为0则不能为等比数列；对C ，对递推关系进行两次递推，得到122(3)n n n a a a n --=+≥；对D ，可求出等比数列的前3项，证明2213a a a ≠⋅；【详解】对A ，若1n n a a t +-=（常数），则{}n a 是等差数列，故A 错误；对B ，当120n n n a a a ++===，即使212n n n a a a ++=⋅，则{}n a 不是等比数列，故B 错误；对C ，由1111112,2(1)2(1)(1),n n n n n n n S na na a a na n a S n a n a ---=+⎧⇒=+--⎨=-+-⎩①，又11122(1)(2)n n n a a n a n a ---=+---②，由①-②得：122(3)n n n a a a n --=+≥，故C正确；对D ，由(0nn S q q =>且1)q ≠，则11a S q ==，2221a S S q q =-=-，32332a S S q q =-=-，因为2224322()2a q q q q q =-=-+，324313()a a q q q q q =⋅-=-，显然2213a a a ≠⋅，则{}n a 不是等比数列，故D 错误．故选C. 【点睛】本题考查等差数列、等比数列的定义证明及相关性质，考查逻辑推理能力和运算求解能力，考查方程思想的应用．7．下列四个命题中真命题是（ ）． 1:(0,1)P x ∀∈，1123log log x x ≤2:(0,)P x ∃∈+∞，121log 2xx ⎛⎫⎪⎝⎭≤13:0,3P x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，131log 2xx ⎛⎫⎪⎝⎭≥A ．2P ，3PB ．2P ，4PC ．1P ，3PD ．1P ，4P【答案】A【解析】根据对数函数与指数函数的性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】解：1P ：()0,1x ∀∈，1123log log x x >故1P 不正确；2P ：()0,x ∃∈+∞，121log 2xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭故2P 正确；3P ：10,3x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，131log 2xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭故3P 正确；4P ：()0,x ∀∈+∞，1123x x⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故4P 不正确．故选A ． 【点睛】本题主要考查命题真假的判定，熟记指数函数与对数函数的性质即可，属于常考题型.8．已知函数133,(1)()log ,(1)x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数(1)y f x =-的大致图象是A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】绘制函数()f x 的图象如图所示，则函数()1f x -的图象可由如下变换得到： 首先将函数()f x 的图象关于y 轴对称变换，然后将函数图象向右平移1个单位长度， 观察所给选项，只有D 选项符合题意. 本题选择D 选项.9．已知函数f (x )=cos 4x+sin 2x ,下列结论中错误的是( ) A ．f (x )是偶函数 B ．函数f (x )最小值为34C ．π2是函数f (x )的一个周期 D ．函数f (x )在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内是减函数 【答案】D【解析】根据偶函数定义进行判断；将函数化为关于sin 2x 的二次函数，根据二次函数性质确定最小值；根据周期定义判断C 是否正确;举反例说明D 不成立. 【详解】由f (-x )=cos 4(-x )+sin 2(-x )=f (x ),知函数f (x )是偶函数,故A 正确;f (x )=(1-sin 2x )2+sin 2x=sin 4x-sin 2x+1=2213sin -24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,又sin 2x ∈[0,1],则当sin 2x=12时,f (x )min =34,所以B 正确; f π2x ⎛⎫+⎪⎝⎭=sin 4π2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-sin 2π2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+1=cos 4x+1-cos 2x=cos 4x+sin 2x ,则f (x )=f π2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.所以C 也正确,因为()()43f f ππ< ，所以D 错误，选D本题考查偶函数、二次函数最值、周期、单调性，考查基本分析判断能力.10．定义在[)0,∞+上的函数()f x 满足：当02x ≤<时，()22f x x x =-；当2x ≥时，()()32f x f x =-.记函数()f x 的极大值点从小到大依次记为12,,,,,n a a a 并记相应的极大值为12,,,,,n b b b 则11222020a b a b a b +++的值为（ ）A ．201931⨯+B ．191931⨯+C ．192031⨯+D ．202031⨯+【答案】A【解析】确定函数极大值点及极大值求得21n a n =-.1,3n n b -=，再求和即可【详解】由题当当0x 2≤<时，()()22f x 2x x 11,x =-=--+极大值点为1，极大值为1 当x 2≥时，()()f x 3f x 2=-.则极大值点形成首项为1公差为2 的等差数列，极大值形成首项为1公比为3 的等比数列故21n a n =-.1,3n n b -=,故()1213n n n a b n -=-设S=121911222020113353393a b a b a b +++=++++3S=12201333393+++两式相减得-2S=1+2(1219333+++)-()19202020313312393238313-=+⨯-=---∴S=201931⨯+故选：A 【点睛】本题考查数列与函数综合,错位相减求和,确定n a 及n b 的通项公式是关键,考查计算能力,是中档题11．设函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若对于任意5,62ππα⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，在区间[]0,m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，则m 的最小值为（ ）A ．π6B ．π2C ．7π6D ．π【解析】先求()[2f α∈-，再由存在唯一确定的β，使得()()f f βα=-∈，得2[,)633m πππ-∈，从而得解.【详解】当5,62ππα⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，有2,36ππαπ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，所以()[f α∈. 在区间[]0,m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，所以存在唯一确定的β，使得()()f f βα=-∈. []0,,[,]666m m πππββ∈-∈--，所以25[,),[,)63326m m πππππ-∈∈.故选B. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图像和性质，考查了函数与方程的思想，正确理解两变量的关系是解题的关键，属于中档题.12．函数()121x xf x e e b x -=---在()0,1内有两个零点，则实数b 的取值范围是（ ）A ．(⋃B ．()()1,00,1e e -⋃-C ．()()11⋃D ．()1,1e e -⋃-【答案】D【解析】设12t x =-，则函数等价为11222t ty e e b t +-=--，条件转化为11222t t eeb t +--=，进而转化为1122t t y ee+-=-与2y b t =有两个交点，利用函数的单调性和导数的几何意义，结合绝对值，合理分类讨论，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数()121xxf x e eb x -=---，设12t x =-，则12x t =+， 因为01x <<，所以1122t -<<，则函数()f x 等价于()1122t t +-，即等价为()11222t t f x e eb t +-=--在1122t -<<上有两个零点， 即11222t t eeb t +--=在1122t -<<有两个根， 设()1122t t h t e e+-=-，则()()11112222t t t t h t eee e h t -++-⎛⎫-=-=--=- ⎪⎝⎭，即函数()h t 是奇函数，则()11220t t h t ee+-=+'>，即函数()h t 在1122t -<<上是增函数， 且()1100,1,122h h e h e ⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当102t ≤<，若0b =时，则函数()f x 只有一个零点，不满足条件； 若0b >时，则()2g t bx =，设过原点的直线()2g t bx =与()h t 相切，切点为1122,a a a ee +-⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由()11220t t h t ee+-=+'>，则()1122a a h a ee+-=+'，则切线方程为()11112222()a a a a y e e e e x a +-+-⎛⎫--=+- ⎪⎝⎭， 切线过原点，则()11112222()a a a a e e e e a +-+-⎛⎫--=+⋅- ⎪⎝⎭，即11112222a a a a e ea e e +-+-⎛⎫-+=-⋅+ ⎪⎝⎭，则()()112211a a a ea e-++=-+，当0a =，即切点为()0,0，此时切线的斜率为()11122202k h e e e ==+='，若1222e b =，则12b e ==y =与()h t 相切，只有一个交点，不满足题意. 当直线过点1,12e ⎛⎫-⎪⎝⎭时，1122e b b -=⨯=，此时直线()()21g t e x =-，要使得()g t 与()h t 1b e <<-，由1222b e -=，得b =1,12e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭时，1122e b b ⎛⎫-=-⋅-= ⎪⎝⎭， 要使得()g t 与()h t由两个交点，则1e b -<<综上1e b -<<1b e <<-， 即实数b的取值范围是(1,e -)1e ⋃-，故选D. 【点睛】本题主要考查函数与方程的综合应用问题，其中解答中利用换元法，利用条件转化为两个函数的图象的交点个数问题，利用导数求得函数的单调性和导数的几何意义，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，试题难度大，属于难题.二、填空题13．设函数()(1)(23)f x x x a =++为偶函数，则a =__________． 【答案】23a =-【解析】注意到()()()()221211f x x x x =-=+-为偶函数，故()()3212a f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，通过对比可知321,23a a -==-.14．ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若115,,cos 314a B A π===，则ABC ∆的面积S =__________．【答案】【解析】由同角三角函数基本关系可得：sin A ==，由正弦定理有：5sin 7sin a B b A ===， 由诱导公式结合两角和差正余弦公式可得：则ABC △的面积：11sin 57227ABCSab C ==⨯⨯⨯=. 15．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边GD 上有10个不同的点12310,,P P P P ⋯⋯，则12310()AF AP AP AP AP ⋅+++⋯+=________.【答案】180【解析】可用特殊位置法处理此题，假定这10个点是DG 的等分点，且M 为DG 中点，则1231010AP AP AP AP AM +++⋯+=，建立坐标系，向量坐标法处理数量积． 【详解】令这10个点是DG 的等分点，且M 为DG 中点， 则1231010AP AP AP AP AM +++⋯+=， 以A 为原点，AD 方向为x 轴建立坐标系，故F ，11(2M ，AF =，11(2AM =，∴原式10180AF AM =⋅=.故答案为180 【点睛】考查向量在图形中的几何应用，向量的加法法则，数量积的运算律，数量积的求值，考查数形结合思想和坐标法的应用． 16．已知函数2()cos2x f x x π=，数列{}n a 中，()*()(1)n a f n f n n N =++∈，则数列{}n a 的前100项之和100S =____．【答案】10200【解析】因为()2πxf x x cos2=，所以 ()()n a f n f n 1=++=22+1cos ++1cos22n n n n ππ（）（） 2224-34-34-24-3cos +4-2cos =-(42)22n n n a n n n ππ=-（）（）（）（）同理可得：22242414(42),(4),(4)n n n a n a n a n --=--=-=-2243424142(42)2(4)8(41)n n n n a a a a n n n ---∴+++=--+=- , ∴ {}n a 的前100项之和()100S 8379910200=++⋯+=.故答案为：10200 .点睛：本题中由条件()()n a f n f n 1=++=22+1cos++1cos22n n n n ππ（）（） ，由余弦函数的值可将n 分成四种情况，即将数列分成四个一组求和即可.三、解答题17．已知n S 是数列{}n a 的前n 项之和，*111,2,n n a S na n N +==∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设211(1)n n n n a b a a ++=-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和n T ，若112019n T +<，求正整数n的最小值．【答案】（1）n a n =；（2）2019．【解析】（1）由已知递推关系式和1n n n a S S -=-可推出11n n a a n n +=+，则{}n an为常数列，继而可算出n a ；（2）先把n b 表示出来，用裂项相消法求n T ，然后代入不等式可求出n ． 【详解】（1）因为12n n S na +=……①， 所以12(1)n n S n a -=-……②，②-①得：12(1),2n n n a na n a n +=--≥， 所以11n n a a n n +=+，则n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列，又22122,12n a a a S n ==∴==， (2)n a n n ∴=≥，当1n =时也满足，所以n a n =.（2）2112111(1)(1)(1)(1)1nn n n n n n a n b a a n n n n +++⎛⎫=-=-=-+ ⎪++⎝⎭， 当n 为偶数时，111111112233411n n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++⋯++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当n 为奇数时，1111111212233411n n T n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++⋯-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 综上，1,111,1n n n T n n ⎧⎪⎪++=⎨⎪-⎪+⎩为偶数为奇数，则1111201912019n T n n +=<⇒+>+， 2018,n n ∴>的最小值为2019．【点睛】此题考查数列临差法求数列通项公式、并项求和法，考查方程思想和分类讨论思想，考查逻辑思维能力和运算求解能力，求和时注意对n 分奇偶讨论．18．如图，三棱柱111ABC A B C -，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，160BAC CAA ︒∠=∠=且12AB AC AA ===．（1）求证：11B C A B ⊥；（2）求二面角1A B C B --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）连结BD 、1AB 推导出D 是AC 的中点，BD AC ⊥，从而AC ⊥平面1A BD ，进而1AC A B ⊥，再求出11AB A B ⊥，由此证明1A B ⊥平面1AB C ，从而11B C A B ⊥．（2）由AC 、DB 、1DA 两两垂直，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，利用向量法求出二面角1A B C B --的余弦值． 【详解】证明：（1）连结1,BD AB ，111,60,A D AC CAA AC AA ︒⊥∠==，D ∴是AC 的中点，又60AB AC BAC BD AC =∠=︒∴⊥，，，11,,A D BD D A D BD =⊂平面1A BD ，AC ∴⊥平面1A BD ，1A B ⊂平面1A BD ，1AC A B ∴⊥，又11AA B B 是平行四边形，111,AB AA AB A B =∴⊥，11,,ACAB A AC AB =⊂平面1AB C ，1A B ∴⊥平面1AB C ，1B C ⊂平面1AB C ， 11B C A B ∴⊥．（2）由（1）知AC DB 、、1DA 两两垂直，故以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，1(0,1,0),(0,1,0),A B C A -，1(0,1AA ∴=，设()1000,,B x y z ，则()1000,BB x y z =，110001,0,1,AA BB x y z B =∴==∴， 1(3,2,3),(0,2,0)AB AC ∴==，设平面1AB C 的一个法向量(,,)m x y z =，则132020m AB x y m AC y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1x =，得(1,0,1)m =-， 设平面1BB C 的一个法向量为n ，同理得(1,3,1)n =-，10cos ,||||5m n m n m n ⋅∴<>==⋅，∴二面角1A B C B --的余弦值为5． 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 19．如图，一个角形海湾,2AOB AOB θ∠=（常数θ为锐角）．拟用长度为l （l 为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：方案一：如图1，围成扇形养殖区OPQ ，其中»PQl =；方案二：如图2，围成三角形养殖区OCD ，其中CD l =.（1）求方案一中养殖区的面积1S ；（2）求方案二中养殖区的最大面积（用l θ，表示）；（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由．【答案】（1）21,0,42l S πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭；（2）224tan l S θ=；（3）应选择方案一． 【解析】（1）设此扇形所在的圆的半径为r ，则2l r θ=⋅，可得2lr θ=．利用扇形面积计算公式可得1S ．（2）设OC x =，OD y =，利用余弦定理与基本不等式的性质可得：2222cos 222cos 2l x y xy xy xy θθ=+-≥-，可得：224l xy sin θ≤，即可得出． （3）由于12tan S S θθ=，令()t a n f θθθ=-，求导，可得()f θ在(0,)2π上单调递增．即可得出结论． 【详解】（1）设OP r =，则2l r θ=⋅，即2lr θ=，所以 211,0,242l S lr πθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭．（2）设,OC a OD b ==．由余弦定理，得2222cos 2l a b ab θ=+-，所以22cos2l ab ab θ≥-．所以22(1cos 2)l ab θ≤-，当且仅当a b =时等号成立．所以221sin 2sin 224(1cos 2)4tan OCDl l S ab θθθθ∆=≤=-，即224tan l S θ=． （3）221114(tan ),0,2S S l πθθθ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭， 令()tan f θθθ=-，则22sin sin ()1cos cos f θθθθθ''⎛⎫=-= ⎪⎝⎭． 当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f θ'>，所以()f θ在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增． 所以，当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，总有()(0)0f f θ>=，即21110S S ->，即12S S >． 答：为使养殖区面积最大，应选择方案一． 【点睛】本题考查扇形的面积计算公式、余弦定理、基本不等式的性质，考查函数与方程思想、分类讨论思想的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，注意利用基本不等式求最值时，记得验证等号成立的条件．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)x py p =>上的点(,1)M m 到焦点F 的距离为2.（1）求抛物线的方程；（2）如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E 处的切线与x 轴相交于点P ，直线PF 与抛物线相交于A B ，两点，求EAB ∆面积的最小值． 【答案】（1）24x y =；（2）【解析】（1）求出抛物线22(0)x py p =>的准线方程为2py =-，由抛物线定义，得到2p =，即可求解抛物线的方程．（2）求出函数的12y x '=．设点2(,),04t E t t ≠，得到抛物线在点E 处的切线方程为21()42t y t x t -=-．求出(,0)2t P ．推出直线PF 的方程，点2(,)4t E t 到直线PF 的距离，联立2420x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩求出AB ，表示出EAB ∆的面积，构造函数，通过函数的导数利用单调性求解最值即可． 【详解】（1）抛物线22(0)x pyp =>的准线方程为2p y =-， 因为(,1)M m ，由抛物线定义，知12p MF =+， 所以122p+=，即2p =， 所以抛物线的方程为24x y =． （2）因为214y x =，所以12y x '=． 设点2,,04t E t t ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，则抛物线在点E 处的切线方程为21()42t y t x t -=-．令0y =，则2t x =，即点,02t P ⎛⎫⎪⎝⎭．因为,0,(0,1)2t P F ⎛⎫⎪⎝⎭所以直线PF 的方程为22t y x t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即20x ty t +-=．则点2,4tE t ⎛⎫⎪⎝⎭到直线PF的距离为|4t d ==． 联立方程2420x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩消元，得()22222160t y t y t -++=． 因为()()224221646440t t t∆=+-=+>，所以12y y ==，所以()22121222442161122t t AB y y y y t t++=+++=++=+=. 所以EAB ∆的面积为()()322224441122||t t S tt ++=⨯=⨯．不妨设()3224()(0)x g x x x+=>，则()122224()(24)xg x x x +=-'．当x ∈时，'()0g x <，所以()g x 在上单调递减； 当)x ∈+∞上，'()0g x >，所以()g x 在)+∞上单调递增，所以当x=32min4)()g x ==所以EAB ∆的面积的最小值为【点睛】本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、利用导数求函数的最值等知识的交会，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想的灵活运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力以及构造法的应用，难度比较大． 21．已知函数()ln mx f x x=，曲线()y f x =在点()()22,e f e 处的切线与直线20x y +=垂直（其中e 为自然对数的底数）． （1）求()f x 的解析式及单调递减区间；（2）若函数()()21kx g x f x x =--无零点，求k 的取值范围．【答案】（1）单调减区间为(0,1)和(1,]e ；（2）k 的取值范围为：0k ≤或2k =． 【解析】（1）先求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得2m =，求得()f x 的解析式，可得导数，令导数小于0，可得减区间；（2）先求得()g x ，要使函数()g x 无零点，即要2ln 1kxx x =-在()()0,11,x ∈+∞内无解，亦即要()21ln 0x k x x--=在()()0,11,x ∈+∞内无解.构造函数()()21ln x h x k x x-=-，对其求导，然后对k 进行分类讨论，运用单调性和函数零点存在性定理，即可得到k 的取值范围. 【详解】 (1) ()()()2ln 1ln m x f x x -'=，又由题意有：()212f e '= 1242m m ⇒=⇒=，故()2ln x f x x =. 此时，()()()22ln 1ln x f x x -'=，由()001f x x <⇒<<'或1x e <<，所以函数()f x 的单调减区间为()0,1和()1,e .(2) ()()21kx g x f x x =-- ()2ln 1kx g x x x x ⎛⎫⇒=- ⎪-⎝⎭，且定义域为()()0,11,+∞，要函数()g x 无零点，即要2ln 1kxx x =-在()()0,11,x ∈+∞内无解，亦即要()21ln 0x k x x--=在()()0,11,x ∈+∞内无解.构造函数()()()2212ln x kx h x k x h x xx'--=-⇒=. ①当0k ≤时，()0h x '<在()()0,11,x ∈+∞内恒成立，所以函数()h x 在()0,1内单调递减，()h x 在()1,+∞内也单调递减. 又()10h =，所以在()0,1内无零点，在()1,+∞内也无零点，故满足条件；②当0k >时， ()()2222k x kx k h x h x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=⇒='' ⑴若02k <<，则函数()h x 在()0,1内单调递减，在21,k ⎛⎫⎪⎝⎭内也单调递减，在2,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增. 又()10h =，所以在()0,1内无零点；易知20h k ⎛⎫<⎪⎝⎭， 而222220k kh e k k e ⎛⎫=⋅-+> ⎪⎝⎭，故在2,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内有一个零点，所以不满足条件； ⑵若2k =，则函数()h x 在()0,1内单调递减，在()1,+∞内单调递增. 又()10h =，所以()()0,11,x ∈+∞时，()0h x >恒成立，故无零点，满足条件；⑶若2k >，则函数()h x 在20,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在21k ⎛⎫⎪⎝⎭，内单调递增，在()1,+∞内也单调递增. 又()10h =，所以在21k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，及()1,+∞内均无零点. 又易知20h k ⎛⎫<⎪⎝⎭，而()()22222k k k h e k k e e k -=⋅--+=--， 又易证当2k > 时，()0kh e ->，所以函数()h x 在20,k ⎛⎫⎪⎝⎭内有一零点，故不满足条件.综上可得：k 的取值范围为：0k ≤或2k =. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的零点问题、其中分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题，解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出．本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为t tt tx e e y e e--⎧=+⎨=-⎩（其中t 为参数）．在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线l的极坐标方程为sin 3πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）求直线l 与曲线C 的公共点P 的极坐标．【答案】（1）224(2)x y x -=≥；（2）6π⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】（1）由曲线C 的参数方程求出曲线C 的直角坐标方程，由此能求出曲线C 的极坐标方程．（2）将l 与C 的极坐标方程联立，得222(cos sin )2cos 2ρθθθ-=，从而23tan 10θ-=，进而方程的解为6πθ=，由此能求出直线l 与曲线C 的公共点P的极坐标．【详解】 （1）消去参数得曲线C 的直角坐标方程为224(2)x y x -=≥，所以曲线C 的极坐标方程2222cos sin 4ρθρθ-=，即2c o s 2444ππρθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭， （2）将l 与C 的极坐标方程联立，消去ρ，得4sin 2cos 23πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，化简得23tan 10θθ-+=，得tan 36πθθ==，代入sin 3πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭．得ρ=P 的极坐标为6π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】 本题考查曲线的极坐标方程的求法、直线与曲线的公共点的极坐标的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 23．已知函数2()1f x x x =-+，且,,a b c ∈R ．（1）若2a b c ++=，求()()()f a f b f c ++的最小值；（2）若||1x a -<，求证：|()()|2(||1)f x f a a -<+．【答案】（1）73；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据柯西不等式即可求出最小值，（2）根据绝对值三角不等式即可证明.【详解】（1）因为222214()33a b c a b c ++≥++=，当23a b c ===取等号， ()22247()()()()3133f a f b f c a b c a b c ++=++-+++≥+=， 所以()()()f a f b f c ++的最小值73.（2）因为||1x a -<，所以()22|()()|()|||1||1|f x f a x a x a x a x a x a -=---=-+-<+-|()(21)||||21|1(2||1)2(||1)x a a x a a a a =-+-≤-+-<++=+.【点睛】本题考查柯西不等式和绝对值三角形不等式的证明，考查转化与化归思想的运用，属于中档题．。