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计算电磁学中的有限元方法随着计算机技术的不断发展和应用，计算电磁学研究的范围和深度不断提高，其应用领域也越来越广泛。
有限元方法是计算电磁学研究中重要的数值分析方法之一，其可模拟复杂电磁场问题，有着广泛的应用。
本文将简要介绍计算电磁学中的有限元方法的一些基本原理和应用。
一、有限元法基本理论有限元方法是数值分析中一种重要的数学工具，其基本思想是将整个计算区域分割成若干个简单的单元，然后在每个单元内选取一个适当的基函数，通过求解基函数系数来表示数值解。
这种思想很容易扩展到计算电磁场问题上，因为电磁场分布可以被视为由一些小电磁场单元组成。
有限元方法的基本过程包括建立有限元模型、离散化、求解以及后处理。
其中建模是有限元方法中最重要的一个环节。
在建模过程中，首先需要选取合适的计算区域，并将其离散化为若干个小单元（如三角形、四边形等）。
然后，我们需要选取适当的基函数，并确定它们所对应的系数的初始值。
一旦有限元模型被建立，我们就可以进行求解了。
具体来说，有限元法的求解过程需要求解一个大规模的稀疏矩阵方程，其中系数矩阵和右侧向量都与电磁场有关。
这个过程需要借助计算机的优势，通过矩阵解法算法完成求解。
最后，我们通过后处理来获得我们需要的电磁场信息或工程参数，例如电势、磁场强度、感应电动势等。
二、有限元法应用领域有限元法在计算电磁学中广泛应用。
其应用范围涉及电机、变压器、电力电子、雷达、电磁兼容等多个领域。
有限元法可用于仿真复杂的电磁场分布问题，例如在电机设计中，有限元法可用于电机磁场分析、电机振动分析以及谐波分析等。
在电力电子领域中，有限元法可用于设计电感元件和变压器等。
另外，有限元法在雷达技术中也有着广泛的应用，可用于雷达天线设计和仿真。
三、有限元法的优缺点有限元法作为一种数值分析方法，具有一定优缺点。
有限元法的主要优点在于它具有很强的适应性和通用性，可用于模拟各种复杂的材料和几何形状。
此外，有限元法允许我们针对不同的模型选择不同的元素类型和元素尺寸，因此可以根据实际需求自由选择不同的模型。
有限元理论基础及应用有限元理论是应用于工程计算领域的一种数值分析方法，它是通过将连续的结构或物体分割成有限数量的离散单元，然后在每个单元上进行近似计算，最终得到整个结构或物体的近似解。
有限元理论广泛应用于结构分析、流体力学、电磁场分析等领域，是工程计算的重要工具。
有限元理论的基础是有限元方法，它将连续的结构或物体以网格的形式划分成一系列有限的单元，通过在每个单元内进行节点位移或其他物理量的近似表示，建立起离散的数学模型。
在有限元方法中，常用的单元形状包括线元、三角形单元、四边形单元等。
每个单元的节点之间通过连接的方式形成整个结构的网格。
有限元理论的基本原理是将连续的物理问题转化为离散的代数问题，通过求解代数方程组得到数值结果。
其基本步骤包括：1.离散化：将连续的结构或物体划分为离散的单元，并在每个单元上建立近似解。
2.建立单元方程：根据结构或物体的本构关系、边界条件等，建立每个单元的方程。
3.组装：根据单元之间的连接方式，将每个单元的方程组装成整个结构或物体的方程。
4.边界条件处理：考虑边界条件对结构或物体的约束作用，修改方程。
5.求解代数方程组：将边界条件处理后的方程组进行求解，得到数值解。
有限元理论的应用非常广泛，主要包括：1.结构分析：有限元方法在结构力学领域的应用非常广泛，可以用于预测结构的应力、变形、疲劳寿命等。
例如，在建筑工程中，可以使用有限元方法对建筑结构进行静力分析，以确保结构的稳定性和安全性。
2.流体力学：有限元方法在流体力学领域的应用包括流体流动、传热、空气动力学等方面。
通过将流体分割成离散的单元，并建立流体的动量方程、能量方程等，可以模拟和预测流体的各种特性。
3.电磁场分析：有限元方法可以用于模拟和分析电磁场的分布、辐射、散射等现象。
在电子器件设计中，有限元方法可以用于预测电磁场的影响和优化设计。
此外，有限元方法还应用于声学、热力学、生物力学等领域。
它的优势包括模拟结果的准确性、适用于复杂几何形状和边界条件、计算速度较快等。
有限元方法的发展及应用有限元方法的发展可以追溯到20世纪50年代，当时数学家、工程师和物理学家开始使用有限元方法来解决结构力学问题。
最早的有限元方法是基于简单的三角形或四边形划分网格，通过近似的方式将连续介质离散化为有限数量的元素。
然后，通过求解一个代数方程组来得到数值解。
这种方法由于计算量小、理论基础牢固而得到了广泛应用。
随着计算机科学的发展，有限元方法得到了更广泛的应用。
计算机技术的进步使得复杂的有限元模型能够被处理，并且计算速度得到了大幅提升。
有限元方法的应用也从最初的结构力学问题扩展到了流体力学、热传导、电磁场、生物医学工程等领域。
有限元方法在工程领域具有很大的应用潜力。
在结构工程中，有限元方法可以用于分析房屋、桥梁和建筑物等结构的强度和刚度。
在汽车工程中，有限元方法可以用于分析汽车的碰撞和安全性能。
在航空航天工程中，有限元方法可以用于分析飞机的气动力学特性和结构强度。
在电子工程和电力工程中，有限元方法可以用于分析电路和传输线的电磁场特性。
有限元方法的应用不仅限于工程领域，还涉及到了其他学科的研究。
在生物医学工程中，有限元方法可以用于模拟人体组织的生物力学行为，如骨骼系统、心脏和血管的应力分布等。
在地球科学中，有限元方法可以用于分析地下水流动、地震波传播和岩土工程等问题。
在物理学中，有限元方法可以用于分析电磁场、热传导和量子力学等问题。
总之，有限元方法的发展及其应用已经取得了巨大的成功。
它在工程、力学、物理和地球科学等领域中得到了广泛应用，并为实际工程问题的解决提供了有效的数值方法。
然而，有限元方法的进一步发展仍面临着一些挑战，需要继续改进算法和技术，以满足更加复杂和多样化的工程问题的需求。
有限元法的发展现状及应用1. 引言有限元法是一种数值计算方法，广泛应用于工程领域中的结构力学、流体力学、热传导等问题的求解。
它通过将复杂的连续介质问题离散化为有限个简单的子域，然后利用数值方法求解这些子域上的方程，最终得到整个问题的近似解。
自从有限元法在20世纪60年代初被提出以来，它得到了迅猛发展，并在各个领域中得到了广泛应用。
2. 有限元法的发展历程2.1 早期发展有限元法最早是由Courant于1943年提出，并在20世纪50年代由Turner等人进一步发展。
最初，有限元法主要应用于结构力学领域中简单结构的分析计算。
2.2 理论基础完善20世纪60年代以后，随着计算机技术和数值方法理论的进步，有限元法得到了进一步发展。
Galerkin方法、变分原理和能量原理等理论基础被广泛应用于有限元法中，为其提供了坚实的理论基础。
2.3 算法改进和扩展在20世纪70年代和80年代，有限元法的算法得到了进一步改进和扩展。
有限元法的自适应网格技术和自适应加密技术的引入，使得有限元法能够更加高效地处理复杂问题。
同时，有限元法也逐渐扩展到了流体力学、热传导、电磁场等领域。
3. 有限元法在结构力学中的应用3.1 静力分析有限元法在结构力学中最常见的应用是进行静力分析。
通过将结构离散化为有限个单元，然后利用数值方法求解每个单元上的平衡方程，最终得到整个结构的受力情况。
3.2 动力分析除了静力分析外，有限元法还可以进行动态分析。
通过求解结构振动问题，可以得到结构在外部激励下的响应情况。
这对于地震工程、机械振动等领域非常重要。
3.3 疲劳寿命预测疲劳寿命预测是工程中一个重要问题。
通过将材料疲劳损伤模型与有限元方法相结合，可以对材料在复杂载荷下的疲劳寿命进行预测，从而指导工程设计和使用。
4. 有限元法在流体力学中的应用4.1 流体流动分析有限元法在流体力学中的应用主要集中在流体流动分析。
通过将连续介质分割为有限个单元，然后求解每个单元上的Navier-Stokes方程，可以得到整个流场的解。
有限元法基本原理及应用教学设计一、引言有限元法作为结构力学、流体力学、热力学等学科中最常用的数值分析方法之一，已经广泛地用于工程领域。
本文将介绍有限元法的基本原理，并结合教学实践，提出一些应用场景下的教学方法。
二、有限元法基本原理有限元法是一种通过将连续体分割成一系列互相联系的单元，再在每个单元内进行局部近似的方法。
其基本步骤如下：1.确定问题的几何形状，将其离散化为有限数量的单元。
2.寻找适当的函数形式，用于单元内的场函数近似。
3.根据边界条件、本构关系等确定模型中所需的参数。
4.利用有限元法求解离散模型中的场函数，获得结果。
其中，第一步和第二步是离散化的过程，第三步是确定问题的物理参数，第四步是利用有限元方法来求解局部近似的结果。
三、教学设计3.1 教学目标通过本教学，学生应该能够：1.理解有限元法的基本原理。
2.能够根据问题特点选择有限元法模型，熟练掌握其求解方法。
3.能够独立地完成一定的有限元法计算，掌握基本的讨论和分析技巧。
3.2 教学内容教学内容的设计应该以让学生掌握有限元法的基本原理和中小型有限元法计算实验为主。
具体包括：1.有限元法基本概念和基本原理。
2.有限元法求解流程。
3.有限元法中力学问题的处理方法。
4.有限元法计算程序的操作实践及其调试过程。
3.3 教学方法教学方法应该根据教学目标和教学内容来选择。
具体而言，可以采用以下教学方法：1.讲授法：介绍有限元法的基本理论、公式、步骤等。
2.组织实践：每个学生都可以应用所学的有限元法计算流程，通过校内实践检验所得结果，加深学习效果。
3.讨论演示法：引导学生根据教材内容和实践结果展开讨论，举一反三，形成总结性的详细讨论分享现象，并进行比较，以及某些特殊情况的讨论。
4.自学法：学生在自习时间用充足的学习资料在当地的工程和计算机实验室研读，掌握有限元法的道理和方法。
3.4 教学评估教学评估应包括考试成绩和实际计算结果。
在学年末进行考试，考试的内容应该包括基本理论和实践的实际应用以及进行有限元法计算产生结果的分析。
工程中的有限元方法
有限元方法（Finite Element Method, FEM）是一种常见的工程分析方法，广泛应用于各种工程领域。
下面是其中一些常见的应用。
1. 结构力学分析：有限元方法在工程中最常见的应用之一是结构力学分析。
通过将结构分割成有限个小的单元，并在每个单元内使用简单的数学模型描述其行为，可以对结构进行力学性能的计算和预测。
这种方法可以用于分析各种类型的结构，如桥梁、航空器、建筑物等。
2. 热传导分析：有限元方法还可以应用于热传导问题的数值计算。
通过将热传导区域划分为有限个小的单元，并在每个单元内使用热传导方程进行模拟，可以计算和预测材料内部的温度分布和热流。
这种方法在热交换器设计、电子元器件散热等领域有广泛应用。
3. 流体力学分析：有限元方法也可以用于模拟和分析流体的运动和行为。
通过将流体域划分为有限个小的单元，并在每个单元内使用流体力学方程进行模拟，可以计算流体的速度、压力和流量。
这种方法在流体动力学、气动学和水动力学等领域有广泛应用。
4. 电磁场分析：有限元方法还可以用于模拟和分析电磁场的行为和效应。
通过将电磁场区域划分为有限个小的单元，并在每个单元内使用麦克斯韦方程组进行模拟，可以计算电场、磁场和电流。
这种方法在电力系统、电磁感应和电磁兼容
性等领域有广泛应用。
除了上述应用，有限元方法还可以用于声学和振动分析、优化设计、材料力学分析等各种工程问题的模拟和分析。
它有较强的灵活性和适应性，能够适用于各种复杂的工程情况，并且能够提供较为准确的数值解。
然而，它也需要充分的理论基础和严密的数值计算方法才能获得可靠的结果。
有限元法的发展现状及应用一、本文概述有限元法，作为一种广泛应用于工程和科学领域的数值分析方法，自其诞生以来，已经经历了数十年的发展和完善。
本文旨在全面概述有限元法的发展现状及其在各个领域的应用。
我们将回顾有限元法的基本原理和历史背景，以便读者对其有一个清晰的认识。
接着，我们将重点介绍有限元法在不同领域的应用，包括土木工程、机械工程、航空航天、电子工程等。
我们还将探讨有限元法在发展过程中面临的挑战以及未来的发展趋势。
通过阅读本文，读者将对有限元法的现状和发展趋势有一个全面的了解，并能更好地理解该方法在工程和科学领域的重要性和应用价值。
二、有限元法的基本理论有限元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值分析技术，广泛应用于工程和科学问题的求解。
其基本理论可以概括为离散化、单元分析、整体分析和数值求解四个主要步骤。
离散化是将连续的求解域划分为有限个互不重叠且相互连接的单元。
这些单元可以是三角形、四边形、四面体、六面体等，具体形状和大小取决于问题的特性和求解的精度要求。
离散化的过程实际上是将无限维的连续问题转化为有限维的离散问题。
单元分析是有限元法的核心步骤之一。
在单元分析中，首先需要对每个单元选择合适的近似函数（也称为形函数或插值函数）来描述单元内的未知量。
然后，根据问题的物理定律和边界条件，建立每个单元的有限元方程。
这些方程通常包括节点的平衡方程、协调方程和边界条件方程等。
整体分析是将所有单元的有限元方程按照一定的规则（如矩阵叠加法）组合成一个整体的有限元方程组。
这个方程组包含了所有节点的未知量，可以用来求解整个求解域内的未知量分布。
数值求解是有限元法的最后一步。
通过求解整体有限元方程组，可以得到所有节点的未知量值。
然后，利用插值函数，可以计算出整个求解域内的未知量分布。
还可以根据需要对计算结果进行后处理，如绘制云图、生成动画等，以便更直观地展示求解结果。
有限元法的基本理论具有通用性和灵活性，可以应用于各种复杂的工程和科学问题。
有限元方法有限元方法（Finite Element Method，简称FEM）是一种基于物理数学原理和工程力学理论的数值计算方法，它广泛应用于工程领域中结构分析、流体力学和热传导等问题的求解。
本文将为读者介绍有限元方法的原理、应用和发展，并探讨其在工程实践中的重要性。
有限元方法的核心思想是将一个连续的物理问题离散化，通过将其分解为许多小的有限单元，利用数值计算的方法来求解整个问题。
因此，所使用的数学模型将物理问题转化成一个由大量独立节点和元素组成的离散系统，并通过求解节点上的未知量（通常是位移或其他物理量）来得到问题的数值解。
有限元方法的工作流程主要包括以下几个步骤：建立物理模型、离散化、确定边界条件、建立刚度矩阵和荷载向量、组装和求解代数方程组、后处理结果。
首先，将真实的物理问题抽象成一个数学模型，包括几何形状、材料性质和加载条件等。
然后，将物理模型离散化为许多小的有限单元，通常是三角形或四边形。
接下来，根据边界条件确定节点的约束和加载条件。
然后，根据离散化后的模型建立刚度矩阵和荷载向量，用于描述各个单元之间的相互作用关系和力的传递。
随后，将每个单元的刚度矩阵和荷载向量组装成整个系统的刚度矩阵和荷载向量。
最后，通过求解代数方程组，得到节点上的位移或其他物理量的数值解，并进行后处理分析，如应力、应变和位移等。
有限元方法在工程实践中具有重要的意义。
首先，它可以帮助工程师和科学家研究和理解各种复杂的物理现象和工程问题。
其次，通过有限元分析，可以在设计阶段对工程结构进行性能预测和优化，提高产品质量和工程效率。
此外，有限元方法还能为工程实践提供快速、准确和经济的解决方案，节约成本和时间。
近年来，随着计算机技术和数值算法的不断发展，有限元方法在计算规模、精度和可视化方面取得了重大突破。
在结构分析领域，有限元方法已经成为工程设计和分析的重要工具。
同时，在流体力学和热传导等领域，也有广泛的应用。
有限元方法的发展使得工程师和科学家能够更好地理解和解决复杂的工程问题。
有限元方法理论及其应用1 课程论文：弹性力学有限元位移法原理（30分）撰写一篇论文，对有限元位移法的原理作一般性概括和论述。
要求论文论及但不限于下列内容：1）弹性力学有限元位移法的基本思想和数学、力学基础；2）有限元法求解的原理和过程，推导计算列式；对基本概念和矩阵符号进行解释和讨论；3）等参单元的概念、原理和应用。
1.1对一维杆单元有限元形式的理解将一维杆单元分成三段加以推导，并应用驻值条件0p D∂∏=∂，我们得到节点的平衡方程[K]{D}{R}=，即：122341100112106012112600118u u AE cL u L u -⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎢⎥⎪⎪--⎪⎪⎪⎪⎢⎥=⎨⎬⎨⎬⎢⎥--⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪-⎣⎦⎩⎭⎩⎭我对此提出了几点疑问：1) 为什么边界条件u 1=0，就要划去刚度矩阵[K]中对应的行列再解方程？ 2) 为什么刚度矩阵[K]会奇异？3) 为什么平衡方程本身是矛盾的，而加上边界条件u 1=0之后就能解出一个唯一的近似解？4) 为什么刚度矩阵[K]是对称的？下面我谈谈自己的理解:节点平衡方程是在u 1不定的前提下，假设单元内位移都是线性变化推导出来的，由此u 1相当于一个不确定的定值约束，再加上中间两个节点的连续性要求，系统实际上只有三个独立的自由度（广义坐标）。
对于第一个问题，其实刚度矩阵[K]中的元素不是一成不变的，相反它是伴随边界条件动态变化的。
当u 1=0时由刚度矩阵的推导过程可以知道，刚度矩阵的第一行和第一列都会变为0，所以此时第一行和第一列对于求解方程是没有作用的。
对于第二个问题，由于系统自由度（广义坐标）只有三个，而我们的方程却列出了四个，显然这四个方程不可能线性无关，所以刚度矩阵奇异。
对于第三个问题，首先我们应该明确方程区别于等式，虽然左右两边都是用“=”连接，但是方程只在特殊条件下取得定解。
由于平衡方程是在没有约束的条件下推导出来的，显然它不可能满足等式要求。
宏观上看，系统在没有外部约束，而又施加有外力，显然系统会产生加速度而绝不会平衡。
所以平衡方程本身是矛盾的。
而加上边界条件之后，不但满足了平衡的前提，还改变了矩阵的结构和性质，所以有解。
但是，由于我们提前假设了位移线性变化，相当于人为对单元施加了额外约束，让位移按照我们假设的规律变化，所以得到的解是过刚的近似解。
但对于方程本身而言是精确解。
对于第四个问题，其力学的作用机理类似于作用力与反作用力，由于刚度矩阵不表征方向，所以其大小是相等的。
1.2 有限元法的思想有限元法是求解连续介质力学问题的数值方法，更一般意义是一种分析结构问题和连续场数学物理问题的数值方法。
有限元法的基本思想是离散化和分片插值。
即把连续的几何机构离散成有限个单元，并在每一个单元中设定有限个节点，从而将连续体看作仅在节点处相连接的一组单元的集合体，同时选定场函数的节点值作为基本未知量并在每一单元中假设一个近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律，再建立用于求解节点未知量的有限元方程组，从而将一个连续域中的无限自由度问题转化为离散域中的有限自由度问题。
求解得到节点值后就可以通过设定的插值函数确定单元上以至个集合体上的场函数。
对每个单元，选取适当的插值函数，使得该函数在子域内部、在子域分界面上以及子域与外界面上都满足一定的条件。
单元组合体在已知外载荷作用下处于平衡状态时，列出一系列以节点、位移为未知量的线性方程组，利用计算机解出节点位移后，再用弹性力学的有关公式，计算出各单元的应力、应变，当各单元小到一定程度，那么它就代表连续体各处的真实情况。
1.3 有限元法的数学基础有限元法的数学基础是加权余量法和变分原理。
有限元法区别于有限差分法，即不是直接从问题的微分方程和相应的定解条件出发，而是从其等效的积分形式出发。
加权余量法是等效积分的一般形式，它适用于普遍的方程形式。
利用加权余量法的原理，可以建立多种近似解法，如配点法、最小二乘法、伽辽金法、力矩法等都属于这一类数值方法。
如果问题的方程具有某些特定的性质，则它等效积分形式的伽辽金法可以归结为某个泛函的变分。
相应的近似解实际上是求泛函的驻值问题。
里兹法就是属于这一类数值解法。
1.4 有限元法的力学基础一个弹性系统的所有可能位移中，满足平衡条件的位移（真实位移）使总势能取最小值。
也就是说，弹性力学中平衡问题的正确解（位移），其相应的系统总势能为一切满足位移边界条件和连续条件的位移构型对应的总势能中的最小者。
一个“系统”是指一个结构加上作用其上的力。
对于保守系统，系统总势能定义为：总势能= 应变能－外力做功系统总势能是对应系统任何一个可能构型的由系统力学状态量（载荷、位移、应力、应变）决定的状态函数。
系统总势能用符号Πp表示，当载荷不变时，运用弹性力学的几何方程和物理方程，可以将它转化为系统位移场函数的泛函。
对于系统每一个“可能位移（场）”，系统有一个总势能（泛函）与之对应。
“可能位移”——满足内部连续性和位移边界条件的位移场。
瑞利-里兹法是针对连续系统从一族满足约束条件的假定解中利用泛函驻值条件求“最好”近似解的一种普遍适用方法。
其基本思想是：如果问题有相应的变分原理，就构造一族带有待定参量的试探函数（弹性力学中就是假定位移场），将其代入泛函表达式，泛函立刻成为多元函数，由驻值条件确定待定参量，就得到问题的近似解答。
从经典里兹法解弹性体变形和应力的原理和过程可以总结出该方法的重要特点：1)在求解域整体上假定位移场（试探函数）；2)假定的位移场必须是可能位移（或称为许可位移，即满足连续性和边界几何约束条件）和简单的。
3)要得到收敛解，试探函数必须是完备的。
4)里兹解往往过刚，除非位移试探函数包含了精确解。
由于假定的位移模式往往给结构加上了约束，使结构不能按其要求的方式自由变形，从而刚化了结构。
1.5 有限元法求解的原理和过程，推导计算列式1.5.1 有限元分析的基本步骤有限元法的基本解题步骤如下：1)建立研究对象的近似模型2)将研究对象分割成有限数量的单元3)用标准方法对每一个单元提出一个近似解4)将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统5)用数值方法求解这个近似系统6)计算结果处理与结构验证1.5.2 一维杆的有限元分析下面以一维杆件的分析为例，研究有限元分析的求解原理和过程：图 1-11)单元描述L——杆长A——截面积E——弹性模量单元上的力学量和基本=关系如下：()u u x = ——杆单元沿轴向位移分布()x εε= ——杆单元应变分布 ()x σσ= ——杆单元应力分布 应变——位移关系：dudxε=(1-1) 应力——应变关系：E σε= （1-2）单元节点位移：i j u u ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭d单元节点力：ij f f⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭f 2) 单元特性方程（刚度方程） ① 直接法导出杆单元特性采用材料力学基本知识对单元进行力学分析。
杆单元伸长量：j i u u ∆=- （1-3） 杆应变：Lε∆=（1-4） 杆应力：E E Lσε∆==（1-5） 杆内力：EA F A k Lσ∆=⋅==∆ （1-6） 杆对的轴向刚度：EAk L=（1-7） 由于轴向变形模式下，可以直接写出杆单元刚度方程：1111ii j j u EA u L f f⎧⎫-⎧⎫⎡⎤⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎢⎥-⎣⎦⎩⎭⎪⎪⎩⎭（1-8）写成符号形式：f = kd （1-9） 因此杆单元的刚度矩阵为：1111EA L -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦k （1-10） ② 公式法导出杆单元特性 a) 在单元上假设近似位移场对图1-1所示的杆单元，首先利用函数插值法构造以单元节点位移为未知量的简单多项式函数，作为单元上的假设位移分布函数。
插值过程如下。
考虑到杆单元只有2个沿轴向的未知节点位移分量，因此假设单元上位移函数为一次多项式：()01u x a a x =+ （1-11） 将单元两个节点的坐标值0，L 分别带入上式得到：i u a=1ju a a L=+对上面2个方程联立求解，得到节点位移表示的多项式系数：ia u =()1jiau u =-/L上两式带入式（1-11），整理得：()i i j j u x u u =-N N （1-12） 上式中：()()1,i j x xx x L L=-=N N 分别为节点i,j 的插值基函数，有限元法中称为形状函数，简称“形函数”。
单元位移模式（1-12）写成矩阵形式为i ij j u u u ⎧⎫⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎩⎭N N Nd （1-13） 式中N 称为单元的形函数矩阵。
b) 单元应变和单元应力公式可由直杆的应变——位移方程（1-1）和单元位移模式（1-13）求出单元的应变分布和节点位移的关系：du d dx dx ε⎡⎤===⎢⎥⎣⎦N d Bd （1-14） 式中：()()11ij d x x dx LL ⎡⎤⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦⎣⎦B N N （1-15） B 称为单元的位移——应变转换矩阵，简称应变矩阵。
由杆的应力——应变关系（1-2），得单元应力分布和单元节点位移的关系：E E σε==Βd （1-16）c) 用虚功原理导出杆单元刚度方程变形体的虚位移：假想在变形体上发生的，满足位移连续性条件和协调性条件的微小、任意位移场。
虚功原理：变形体受力平衡时，若发生虚位移，则外力虚功等于变形体内的虚应变能。
节点虚位移：i j u u δδδ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭d单元虚位移：u δδ=N d 单元虚应变：()du dxδεδδ==B d 单元虚应变能为：TTTTT V V V dV E dV E dV δεσδδ⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰d B B d B B d根据虚功原理，上述节点力虚功等于虚应变能，因此有如下关系：T T T VE dV δδ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰d f d B B d (1-17)考虑到δd 的任意性，从上式可以得到：T V E dV ⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰f B B d kd （1-18） 上式就是杆单元的刚度方程，杆单元的刚度矩阵为：T VE dV =⎰k B B （1-19）其导出原理和计算方法可以推广到其他类型的实体单元。
具体计算式如下：011111111L EA L E Adx L L L L ⎧⎫-⎪⎪-⎡⎤⎪⎪⎡⎤=-=⎨⎬⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎰k (1-20) 与直接法得到的单元刚度矩阵（1-10）式相同。
1.6 等参单元的概念、原理和应用 1.6.1等参单元的概念及原理由于用较少形状规则的单元离散几何形状较为复杂的求解域常常会遇到困难。
为了克服单元几何方面的限制，使其成为任意四边形和任意六面体单元，就引入了等参元的概念。
等参元也就是运用了等参变换方法的单元，即采用相同的插值函数对单元的节点坐标和节点位移在单元上进行插值。
