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有限元法的理论和要点(1)有限元法的理论正规想学有限元的理论的人请选专门的参考书学习。
这里粗略说明一下有限元法的理论概要。
说明是简短的，而使用的是专门术语。
现在有不理解的地方，以后再学。
每积累一点经验，都会加深一点理解的。
有限元法有位移法、应力法、混合法。
以下举最普通的位移法说明一下。
(2)看不见的有限元的内容●有限元法一个黑箱分析系统[图 1 有限元法的模型]把作为对象的物体分割成小部分（称这部分为单元）再输入边界条件（约束、载荷）。
把各个小部分的结构特性用公式近似。
把这些小的部分组合起来就可得到全部力的平衡方程式。
使用给出的边界条件解出平衡方程式。
从结果求得单元内部的应力、应变、位移等。
有限元法的困难的理论和公式作为黑箱。
用户可以把 CAE 系统作为黑箱子来使用。
最重要的是准备适当的输入数据。
输入数据决定结果。
即输入数据的制作方法左右着结果。
●黑箱的内容是什么？有限单元法的理论是一种 Rayleigh-Ritz 法和 Galerkin 法。
以结构分析的情况为例，是一种用能量原理把未知数的位移，以近似解求出的数值分析法。
●有限单元法的结果正确吗？用数学公式表示单元内部的位移场（称这为位移函数）。
单元的位移函数满足完全性和合适性条件，有限单元法的近似解是收敛于严密解的，这可以用数学来证明。
所谓完全性就是位移函数可以表示刚体位移和常应变状态。
合适条件是在单元内部及单元的边界它的位移是连续的。
(2)要点：有限元分析法对于结构分析是非常有效的手段。
但是，想改变认识，由有限单元分析得到的结果，可以说要超过你所制成的输入数据以上的东西是没有的。
即使使用多么好的程序，输入的数据精度差的话，结果也差的。
普通人有限元分析入门方法--理论学习篇展开全文（这文章写的时候估计会被喷，我已经做好心理准备的！）文章开始前，我要先说明：就像文章题目说的一样，本文只是从一个很普通的有限元分析工程人员的角度出发，既没有华丽的学历背景，也没有超一流的企业研发经验，更没有超高的智商，只是从一个普普通通的分析工程师角度和大家说说作为一个普通凡人如何去看待有限元分析学习的问题。
本人在网络上浸淫多年，有限元分析的学习也经历了整整10个年头，从一个无知小白到现在能够解决一些问题的工程人员，一路走来的心酸也是只有自己才知道。
回忆最初的起步，以及网络上看到很多新手学习的艰辛，想到写这样一篇文章，说说咱们这种普通人该如何去玩有限元分析。
我打算把文章分为理论学习篇、软件操作学习篇、实际应用学习篇和有限元分析行业市场分析篇四个部分，主要针对学习有限元分析5年以内的群体。
理论学习篇一说到有限元分析理论学习，我就觉得我上的那个是假大学，为啥随便来几个不是新手的人都是学过这么多课的，看过这么多书的，我上的大学不都是浪出来的么？我相信很多新手和我的感觉是一样一样的。
首先我以我目前的认知以及在网上很多人解答新手的问题来大致罗列下出镜率比较高的理论科目，并大致评估下学习需要的时间（假设我们从20岁开始为有限元分析打基础）。
大学本科四年掌握：高等数学、线性代数、材料力学、理论力学、概率统计，到这里24岁，这一阶段大多数的步调基本一致，接下来开始：1.弹性力学（1年）；2.数值方法（0.5年）；3.有限单元法（1年）；4.振动力学（1年）；5.损伤力学（1年）；6.张量分析（1年）；7.线性空间（1年）；8.软件应用（0.5年）。
把以上的内容相加，大概7年时间，WTF！这些学完已经30+了，这玩意我还是按照及其保守的时间，实际操作起来只会长不会短，有人说我可以一起学，有这种想法的人可以试试，或者去问问身边群里那些正在学习的人（这类人肯定不少，而且多数都是新手），听听他们学习之后的感受。
第五章有限元素方法§5.1有限元素方法的基本思想有限元素法是一套求解微分方程的系统化数值计算方法。
它比传统解法具有理论完整可靠，物理意义直观明确，适应性强，形式单纯、规范，解题效能强等优点。
从数学上来说, 有限元素方法是基于变分原理。
它不象差分法那样直接去解偏微分方程, 而是求解一个泛函取极小值的变分问题。
有限元素法是在变分原理的基础上吸收差分格式的思想发展起来的。
采用有限元素法还能使物理特性基本上被保持, 计算精度和收敛性进一步得到保证。
有限元素法优点：- 降低实验所需成本- 減少試验对象的变异困难- 方便参数控制- 可获得实验无法获得的信息有限元素法基本概念：元素(element)，节点(node)，连結元素有限元素法的基本思想:•实际的物理問題很难利用单一的微分方程式描述，更无法順利求其解析解.•有限元素法是将复杂的几何外型結构的物体切割成许多简单的几何形状称之为元素.•元素与与元素间以“节点”相连.•由于元素是简单的几何形状，故可以順利地写出元素的物理方程式,並求得节点上的物理量.•采用內插法求得元素內任意点的物理量.§5.2二维场的有限元素方法1． 场域划分的约定三角形元素。
三角形元素越小，场域的分割就越细，计算的精度就会越高。
因而在实际应用中是按精度的要求来决定场域内各处三角形元素的大小。
一般规定每个三角形元素的三个边的边长尽量地接近，尽量避免三角形元素具有大的钝角，一般最长的一条边不得大于最短边的三倍。
在分割场域时要求各三角形元素之间只能以顶点相交，即两相邻的三角形元素有两个公共的顶点及一条等长的公共边。
不能把一个三角形的顶点取在另一个三角形的边上。
划分时还应当注意要尽量地使由相邻边界节点之间的线段所近似构成的曲线足够光滑。
如果在场域D内有不同的介质，则需要将介质的交面线选为分割线。
它的第一个方程为：()()()()()2121111Φ−=ΦK P K . (5.2.38) 根据边界条件，我们可以强制性地命令上式中()()02Φ=Φ，得到了强加边界条件处理后的有限元方程：()()()()()()()⎭⎬⎫Φ=ΦΦ−=Φ022121111K P K ， (5.2.39) 显式地写出公式(5.2.39)的第一个方程为⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛000000021212222111211.......................................................n n n n n n n K K K K K K K K K ϕϕϕM M =⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−−−−−−−++−++−++)(002)2(01)1()()(0202)2(201)1(2)2()(0102)2(101)1(1)1(00.......................................n n n n n n n n n n n n n n n n n n n K K K P K K K P K K K P ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ, (5.2.40)公式(5.2.40)还可以简单地记为()()()111P K ′=Φ . (5.2.41)5.有限元素法的一般步骤总结有限元素法计算步骤:推导出与给定边界条件的偏微分方程等价的泛函表示； 把求解的区域用三角形元素划分为小的单元。
有限元方法的数学理论有限元方法是一种数值计算方法，用于求解常微分方程、偏微分方程和积分方程等数学问题。
它通过将求解区域分割成有限数量的简单形状（如三角形、四边形等）的小区域，将求解问题转化为在这些小区域上的近似解的求解问题。
在有限元方法的数学理论中，有以下几个重要概念：1. 有限元空间：有限元空间是定义在求解区域上的函数空间，它由离散化的形状函数（也称为有限元函数）和它们所对应的节点组成。
形状函数是一组基函数，它们用于近似描述在每个小区域上的解。
2. 变分问题和弱形式：有限元方法通过引入变分问题和弱形式来求解原始的偏微分方程问题。
变分问题是将原始问题转化为一个能够描述解的变分和测试函数的问题。
弱形式是变分问题的特定形式，它通过引入积分和部分积分来简化求解过程。
3. 有限元离散化：有限元方法利用离散化技术将求解区域划分成有限数量的小区域，称为单元。
每个单元上的解用形状函数近似表示，并通过求解线性方程组来得到近似解。
有限元离散化同时确定了单元之间的连接方式，以及解在相邻单元之间的边界条件。
4. 误差估计和收敛性分析：有限元方法通过误差估计和收敛性分析来评估数值解的精度。
误差估计是通过比较数值解和精确解之间的差异来确定数值解的误差大小。
收敛性分析则是研究如果将离散化细化，数值解是否趋向于精确解。
5. 稳定性和收敛阶：有限元方法的稳定性和收敛阶是评价该方法的两个重要性质。
稳定性指的是当离散化细化时，数值解的稳定性是否得到保持。
收敛阶指的是当离散化细化时，数值解的误差与离散化大小的关系。
以上是有限元方法的几个数学理论方面的介绍，了解这些理论可以帮助我们更好地理解有限元方法的原理和应用。
第一章绪论有限元发展过程： 有限元法在西起源于收音机和导弹的结构设计，发表这面文章最早而且最有影响的是西德J.H.Argyrb 教授，于1954—1955年间分阶段在《Aircraft Engineering 》上发表上多有关这面的论文，并在此基础上写成了《能量原理与结构分析》，此书容提供了有限元法的理论基础。
美国的M.T.Turner 、 R.W.cloagh 、 H.C.martin 和L.J.Topp 等人于1956年发表了了篇题为《复杂结构的刚度和挠度分析》一文，此文提出了计算复杂结构刚度影响系数的法，并说明了如利用计算机进行分析。
美国于1960年在一篇介绍平面应力分析的论文中，首先提出了有限元的名字。
1965年英国及其合作者解决了将有限元法应用于所有场的问题，使有限元法的应用更加广泛。
有限元法的基本思路：有限元法的基本思路和基本原理以结构力学中的位移法为基础，把复杂的结构或连续体看成为有限个单元的组合，各单元彼此在节点处连续而组成整体，把连续体分成有限个单元和节点，称之为离散化，先对单元进行特性分析，然后根据各单元在节点处的平衡协调条件建立程，综合后作整体分析。
非线性有限元线性有限元几何非线性 材料非线性有限元这样一分一合，先离散再综合的过程，就把复杂结构或连续体的计算问题转化为简单单元的分析与综合问题。
有限元分析中可采取三种法：位移法——取节点位移作为基本未知数力 法——取节点力作为基本未知数混合法——有限元法分析过程：1、结构离散化（单元划分）2、选择位移模式为了能用节点位移表示单元体的位移、应变和应力，在分析连续体时，必须对单元中位移的分布做出一定的假定，也就是假定位移是坐标的某种简单函数，这种函数称为位移模式或位移函数（形函数）。
{}[]{}e u N δ= (1)3、分析单元的力学特性（1）利用几程：由位移表达式导出用点位移表示单元应变的关系式{}[]{}e εδ=B {}ε为单元任一点的应变列阵 (2)（2）利用物理程，由应变的表达式导出用节点位移表示单元应力的关系式 {}[][]{}[]{}eD D δδε=B = (3) {}δ是单元任一点的应力列阵 []D 是材料的弹性矩阵（3）利用虚功原理建立作用于单元上的节点力和节点位移之间的关系式，即单元的刚度程（平衡程）[]{}{}e e K R δ=4、计算等效节点力弹性体经过离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元，但是作为实际的连续体，力是从单元的公共边界传递到另一个单元的，因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力、集中力等都需要等效移置到节点上去，所用法虚功等效。
5、组装总刚度阵，建立结构的平衡程有两面容：①组装总刚 ②组装总的载荷列阵得到：[]{}{}K R δ=6、求解结点的位移和计算单元应力第二章 有限元法的理论基础—加权余量法和变分原理本章要点● 微分程的等效积分形式及其“弱”形式的实质和构造法，任意函数和场函数应满足的条件。
●不同形式的加权余量法中权函数的形式和近似解的求解步骤，以及伽辽金（Galerkin）法的特点。
●线性自伴随微分程变分原理的构造法和泛函数的性质，以及自然边界条件和强制边界条件的区别。
●经典里兹（Ritz）法的求解步骤、收敛性及其局限性。
●两种形式的虚功原理（虚位移原理和虚应力原理）的实质和构造法。
●从虚功原理导出最小位能原理和最小余能原理的途径和各自的性质，以及场函数事先应满足的条件。
1.1 引言在工程和科技领域，对于多力学问题和物理问题，人们可以给出它们的数学模型，即应遵循的基本程（常微分程和偏微分程）和相应的定解条件。
但能用解析的法求出精确解的只是少数程性质比较简单，且几形状相当规则的情况。
对于大多数问题，由于程的非线性性质，或由于求解域的几形状比较复杂，则只能采用数值法求解。
20世纪60年代以来，随着电子计算机的出现，特别是最近20年来软、硬件技术的飞速发展和广泛应用，数值分析法已成为求解科学技术问题功能强大的有力工具。
已经发展的偏微分程数值分析法可以分为两大类。
一类是以有限差分法为代表，其特点是直接求解基本程和相应定解条件的近似解。
一个问题的有限差分法的求解步骤归纳为：首先将求解域划分为网格，然后在网格的节点上用差分程来近似微分程。
当采用较密的网格，即较多的节点时，近似解的精度可以得到改进，借助于有限差分法，能够求解相当复杂的问题，特别是求解程建立于固结在空间坐标（欧拉（Euler）坐标系）的流体力学问题，有限差分法有自身的优势。
因此在流体力学领域，至今仍占支配地位。
但是对于固体力学的问题，由于程通常建立于固结在物体上的坐标系（拉格朗日（Lagrange）坐标系）和形状复杂，则采用另一种数值分析法——有限元法则更为适合。
有限元法的要点和特性已在节0.1中阐明。
从法的建立途径面考虑，它区别于有限差分法，即不是直接从问题的微分程和相应的定解条件出发，而是从其等效的积分形式出发。
等效积分的一般形式是加权余量法，它适用于普遍的程形式。
利用加权余量法的原理，可以建立多种近似解法，例如配点法、最小二乘法、伽辽金法、力矩法等都属于这一类数值分析法。
如果原问题的程具有某些特定的性质，则它的等效积分形式的伽辽金法可以归结为某个泛函数的变分。
相应的近似解法实际上是求解泛函的驻值问题。
里兹法就属于这一类求解法。
有限元法区别于传统的加权余量法和求解泛函驻值的变分法，该法不是在整个求解域上假设近似函数，而是在各个单元上分片假设近似函数。
这样就克服了在全域上假设近似函数所遇到的困难，是近代工程数值分析法领域的重大突破。
在章1.2，1.3节分别讨论作为有限元法理论基础的加权余量法和变分原理，以及建立于它们基础上的数值计算法。
1.4节扼要地引述作为今后主要分析对象的弹性力学问题的基本程和与其等效的两个变分原理——最小位能原理和最小余量原理。
1.2 微分程的等效积分形式和加权余量法1.2.1 微分程的等效积分形式工程或物理学中的多问题，通常是以未知场函数应满足的微分程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示未知函数u 应满足的微分程组12()(()0A u A u A u ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=•=⎢⎥•⎢⎥⎢⎥•⎣⎦） （在Ω） （1.2.1） 域Ω可以是体积域、面积域等，如图1.1所示。
同时未知函数u 还应满足边界条件12(u u (u 0B B B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=•=⎢⎥•⎢⎥⎢⎥•⎣⎦）（）） （在Γ） （1.2.2） Γ是域Ω的边界。
要求解的未知函数u 可以是标量场（例如温度），也可以是几个变量组成的向量场（例如位移、应变、应力等）。
A ，B 是表示对于独立变量（例如空间坐标、时间坐标等）的微分算子。
微分程数应和未知场函数的数目相对应，因此，上述微分程可以是单个程，也可以是一组程。
所以在式（1.2.1）和式（1.1.2）中采用了矩阵形式。
下面给出一个典型的微分程，以后好要寻求它的解答。
图1.1 域Ω和边界Γ例1.1二维稳态热传导程 ()()()0A k k Q x x y yφφφ∂∂∂∂=++=∂∂∂∂ （在Ω） (1.2.3) q 0(()0B k q n φφφφφ⎧-=Γ⎪=⎨∂-=Γ⎪∂⎩在上）（在上） （1.2.4） 这里φ表示温度；k 表示热传导系数；φ和q 分别是边界φΓ和q Γ上温度和热流的给定值；n 是有关边界Γ的外法线向；Q 是热源密度。
在上述问题中，若k 和Q 只是空间位置的函数时，问题是线性的。
若k 和Q 亦是φ及其导数的函数时，问题就是非线性的了。
由于微分程组（1.2.1）在域Ω中的每一个点都必须为零，因此就有1122(u)(u u )0T v A d v A v A d ΩΩΩ≡+Ω≡⎰⎰（）（）+ （1.2.5）其中12v v v ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=•⎢⎥•⎢⎥⎢⎥•⎣⎦(1.2.6) 是函数向量，它是一组和微分程个数相等的任意函数。
（1.2.5）式是域微分程组（1.2.1）完全等效的积分形式。
可以断言，若积分程（1.2.5）对于任意的v 都能成立，则微分程(1.2.1)必然在域任一点都得到满足。
这个结论的证明是显然的，假如微分程A(u)在域某些点或一部分子域中不满足，即出现A(u)≠0，马上可以找到适当的函数v 使积分程（1.2.5）亦不等于零。
因此上述结论得到证明。
同理，假如边界条件（1.2.2）亦同时在边界上每一个点都得到满足，则对于一组任意函数v ，下式应当成立。
1122(u)((u)+(u)+)d 0T v B v B v B ΓΓΓ≡Γ≡⎰⎰d (1.2.7) 因此，积分形式 (u)d +(u)0TT v A v B ΩΓΩΓ=⎰⎰d (1.2.8) 对于所有的v 和v 都成立是等效于满足微分程（1.2.1）和边界条件（1.2.2）。
我们将（1.2.8）式称为微分程的等效积分形式。
在上述讨论中，隐含地假定（1.2.8）式的积分是能够进行计算的。
这就对函数v 、v 和u 能够选取的函数族提出一定的要求和限制，以避免积分中任项出现无穷大的情况。
在（1.2.8）式中，v 和v 只是以函数自身的形式出现在积分中，因此对v 和v 的选择只需是单值的，并分别在Ω和Γ上可积的函数即可。
这种限制并不影响上述“微分程的等效积分形式”提法的有效性。
u 在积分中还将以导数或偏导数的形式出现，它的选择将取决于微分算子A或B中微分运算最高阶次。
例如有一个连续函数，它在x向有一个斜率不连续点如图1.2所示。
C连续性的函数图1.2 具有设想在很小的一个区间 中用一个连续变化来代替这个不连续。
可以很容易看出，在不连续带你附近，函数的一阶导数是不定的，但是一阶导数是可积的，即一阶导数的积分是存在的。
而在不连续的点附近，函数的二阶导数趋于无穷，使积分不能进行。
如果微分算子A中仅出现函数的一阶导数(边界条件算子B中导数的最高阶数总是低于微分程的算子A中导数的最高阶导数)，上述函数对于u 将是一个合适的选择。
一个函数在域基本连续，它的一阶导数具有有限个不连续C连续性的函数。
可以类推地看到，如点但在域可积，这样的函数称之为具有果在微分算子A出现的最高阶导数是n阶，则要求函数u必须具有连续的n-1阶导数，即函数应具有1n C -连续性。
一个函数在域，函数本身（即它的零阶导数）直至它的n-1阶导数连续，它的第n 阶导数具有有限个不连续点，但在域可积，这样的函数称之为具有1n C -连续性函数。
具有1n C -连续性的函数将使包含函数直至它的n 阶导数的积分成为可积。
1.2.2等效积分的“弱”形式在很多情况下可以对（1.2.8）式进行分部积分得到另一种形式 T T (u d (u C D E F ΩΓΩ+Γ⎰⎰（v ））（v ））d =0 （1.2.9） 其中C ，D ，E ，F 是微分算子，它们中所包含的导数的阶数较（1.2.8）式的A 低，这样对函数u 只需要求较低的连续就可以了。
