江苏省常州市星辰实验中学2020年秋 八后级上第3章 勾股定理综合测试卷(含答案)

八年级数学第3章《勾股定理》测试一、选择题：1、一个直角三角形,两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是（）A. 斜边长为25B. 三角形的周长为25C. 斜边长为5D. 三角形面积为20.2、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A. 1.5,2,3B. 7,24,25C. 6,8,10;D. 9,12,15.3、底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是( )．A．10 B．8 C．5 D．44、等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( )A. 13B. 8C.25D.645、在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝8，AE平分∠CAE，ED⊥AB,则BE的长为（）DEACBA. 5B. 6C. 8D. 46、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为7m，梯子的顶端B到地面的距离为24 m，现将梯子的底端A向外移动到A'，使梯子的底端A'到墙根O的距离等于15 m．同时梯子的顶端B下降至B'，那BB'等于 ( )A．3m B．4 m C．5 m D．6 m7、直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为( )A. 17B. 24C. 25D. 328、某开发区有一空地ABCD ，如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，∠B ＝90°，AB ＝3m ，BC ＝4 m ，AD ＝12 m ，CD ＝13 m ，若每种植1平方米草皮需要100元，问总共需要投入（ ）元A ．3000B ．4 000C ．3600D ．60009、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm ，正方形A 、B 、C 的面积分别是8 cm 2、10 cm 2、14 cm 2，则正方形D 的面积是（ ）cm 2．A. 17B. 20C. 15D. 3210、如图，折叠长方形纸片ABCD ，是点D 落在 边BC 上的点F 处，折痕为AE ，AB=CD=6， AD=BC=10，试求EC 的长度为（ ）A.38 B. 3 C. 310D. 2 11、如图，阴影部分是以直角三角形的三边为直径的半圆，两个小半圆的面积和为100．则大的半圆面积是( )A. 100B. 314C. 157D. 5012、“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9 B．6 C．4 D．3二、填空题：13、已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800cm2,则斜边长为 cm.14、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是 cm2.15、已知△ABC中，AB＝13， AC＝15，AD⊥BC，且AD=12，则BC的长为 .16、一轮船以16 Km／h的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12 Km／h的速度同时从港口出发向东南方向航行，那么离开港口A2h后，两船相距 Km.17、长方形的一条对角线的长为10cm，一边长为6cm，它的面积是 cm2.18、如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为7，2号、3号两个正方形的面积和为4，则a，b，c三个方形的面积和为19、一块木板如图所示，已知AB=4，BC=3，DC=12，AD=13，∠B=90°，木板的面积为 .20、在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝8，DE垂直平分AB，则BE的长为 .EDACB21、已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，则BC的长为．22、《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为．三、解答题：23、如图，在四边形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝4 cm，BC＝13 cm，CD＝12 cm，∠A＝90°，求四边形ABCD的面积．24、如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D若BC=8，AD=5，求AC的长25、如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1 km，BD＝3 km，CD＝3 km现在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20 000元／千米，请你在河CD边上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用？26、嘉嘉参加机器人设计活动，需操控机器人在5×5的方格棋盘上从A点行走至B点，且每个小方格皆为正方形，主办单位规定了三条行走路径R1，R2，R3，其行经位置如图与表所示：路径编号图例行径位置第一条路径R1_ A→C→D→B第二条路径R2…A→E→D→F→B第三条路径R3▂A→G→B已知A、B、C、D、E、F、G七点皆落在格线的交点上，且两点之间的路径皆为直线，在无法使用任何工具测量的条件下，请判断R1、R2、R3这三条路径中，最长与最短的路径分别为何？请写出你的答案，并完整说明理由．27、如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，求AQ的长度一、选择题：1、C2、A3、A4、B5、A6、B7、B8、C9、A10、A11、A12、D二、填空题：13、3014、2415、1416、4017、4818、1519、2420、6.2521、23或2722、x2+32=（10﹣x）2三、解答题：23、3624、425、10000026、第一条路径的长度为++=2+，第二条路径的长度为++1+=+++1，第三条路径的长度为+=2+，∵2+＜2+＜+++1，∴最长路径为A →E →D →F →B ；最短路径为A →G →B ． 27、415或730。

第3章 勾股定理综合测评（一）（本试卷满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.如图1，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A 所代表的正方形的边长为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．64图1 图22.下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）A.0.3，0.4，0.5B.6，8，10C.53，54，1D.4，5，6 3.历史上对勾股定理的一种证法采用了图2所示的图形，其中两个全等的直角三角形的边AE ，EB 在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是（ ）A.S △EDA =S △CEBB.S △EDA +S △CEB =S △CDEC.S 四边形CDAE =S 四边形CDEBD.S △EDA +S △CDE +S △CEB =S 四边形ABCD4.图3所示的各直角三角形中，边长x 的值为5的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个图35.国家八纵八横高铁网络规划中“京昆通道”的重要组成部分──西成高铁于2017年12月6日开通运营，西安至成都列车运行时间由14小时缩短为3.5小时．张明和王强相约从成都坐高铁到西安旅游．如图4，张明家（记作A ）在成都东站（记作B ）南偏西30°的方向且相距4000米，王强家（记作C ）在成都东站南偏东60°的方向且相距3000米，则张明家与王强家的距离为（ ）A. 4000米B. 5000米C. 6000米D. 7000米图4 图5 图6 图76．如图5，一圆柱高8 cm ，底面半径为2 cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（ ）A. 20 cmB. 10 cmC. 14 cmD. 无法确定7.如图6，每个小正方形的边长均为1，A ，B ，C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ）A.90°B.60°C.45°D.30°8.若直角三角形的两边长分别为3和4，则以第三边长为直径的圆的面积为（ ）A.47πB.425πC.7π或25πD.47π或425π 9.如图7，在4×5的方格中，A ，B 为两个格点，再选一个格点C ，使∠ACB 为直角，则满足条件的点C 的个数为（ ）A.3B.4C.5D.610．如图8，在△ABC中，D是边BC上的一点，AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么△ABC的面积是（）A．30 B．36 C．72 D．125图8二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11.如图9，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD=．图9 图10 图1112．如图10，已知△OAB，以OB为边作△OBC，再以OC为边作△OCD.若∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则OD2的值等于_____________.13.探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），…，可发现:4=2132-，12=2152-，24=2172-，…，请写出第5个数组：．14. 现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄．图11是昌平滨河公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角∠ABC，而走“捷径AC”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路AC”．已知AB=40米，BC=30米，他们踩坏了米的草坪，只为少走米的路．15.如图12，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC=b，BC=a，∠ACB=90°，若图中大正方形的面积为40，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值为________.图12 图1316.如图13，长方形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为______.三、解答题（本大题共6小题，共52分）17.（6分）如图14，已知AD是△ABC的角平分线，AB=AC=13 cm，AD=12 cm．求BC的长．图14 图1518. （8分）如图15，已知四边形ABCD中，∠A为直角，AB=16，BC=25，CD=15，AD=12，求四边形ABCD 的面积．19.（8分）图16是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5 m（踏板厚度忽略不计），右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B的位置时，点B离地面垂直高度BC为1 m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5 m（不考虑支柱的直径）．求秋千支柱AD的高．图16 图1720.（8分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明以灵感，他惊喜地发现，当四个全等的直角三角形如图17摆放时，可以用“面积法”来推导说明a2+b2=c2．请你写出推导过程．21.（10分）如图18，沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向130 km的B处有一台风中心，沿BC方向以15 km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=50 km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30 km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？①②图18 图1922.（12分）（1）如图19-①，长方体的长为4 cm，宽为3 cm，高为12 cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；（2）如图19-②，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计），容器的高为12 cm，底面周长为10 cm，在容器内壁离底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3 cm的点A 处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？附加题（20分，不计入总分）23.在△ABC 中，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c. 若∠C 为直角，则由勾股定理得a 2＋b 2＝c 2.（1）若∠C 为锐角，试说明：a 2＋b 2＞c 2；（2）若∠C 为钝角，试判断a 2＋b 2与c 2的关系，并进行验证.参考答案：一、1.B 2.B 3.D 4.B 5.B 6.B 7.C 8.D 9.D 10.B二、11.2 12.7 13.11，60，61 14. 50 20 15.75 16.5三、17.解：因为AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，所以AD ⊥BC ，BD=CD ．因为在Rt △ABD 中，∠ADB=90°，AB=13，AD=12，所以BD 2=AB 2－AD 2＝132－122＝25，所以BD=5.所以BC=10 cm ．18.解：因为∠A 为直角，AD=12，AB=16，所以BD 2=AD 2+AB 2=400，所以BD=20.因为BD 2+CD 2=202+152=625=BC 2，所以△BDC 是直角三角形，且∠CDB 为直角.所以S △ABD =21×16×12=96，S △BDC =21×20×15=150. 所以四边形ABCD 的面积为96+150=246．19.解：设AD=x m ，则由题意得AB=（x-0.5）m ，AE=（x-1）m.在Rt △ABE 中，AE 2+BE 2=AB 2，即（x-1）2+1.52=（x-0.5）2，解得x=3．所以秋千支柱AD 的高为3 m.20.解：因为S 五边形ABCDE =S 梯形AEDF +S 梯形BCDF =S 正方形DEPC +2S △AEP ，即21（b+a+b ）•b+21（a+a+b ）•a=c 2+2×21ab ，整理得a 2+b 2=c 2．21.解：在Rt △ABD 中，根据勾股定理，得BD 2=AB 2-AD 2=1302-502=14 400，所以BD=120 km.则120÷15=8（h ）. 所以台风中心经过8 h 从B 点移到D 点.如图1，因为距台风中心30 km 的圆形区域内都会受到不同程度的影响，所以人们要在台风中心到达E 点之前撤离.BE=BD-DE=120﹣30=90（km ），=6（h ）.所以游人在接到台风警报后的6 h 内撤离才可脱离危险．图122.解：（1）如图2，由题意知能放入木棒的最大长度为DF 的长.由题意得DB 2= AB 2+AD 2=42+32=25， DF 2= DB 2+FB 2=25+122=169，所以DF=13.所以该长方体中能放入木棒的最大长度是13 cm ．图2 图3（2）将容器侧面展开，如图3所示，作点A 关于EF 的对称点A′，则A′B 的长度即为蚂蚁爬行的最短路径．由题意A′D=5 cm ，BD=12﹣3+AE=12（cm ）.由勾股定理，得A′B 2= A′D 2 +BD 2=169，所以A′B=13 cm ．所以蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是13 cm.23. 解：（1）如图4，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则BD ＝BC －CD ＝a －CD.在Rt △ABD 中，AB 2－BD 2＝AD 2；在Rt △ACD 中，AC 2－CD 2＝AD 2，所以AB 2－BD 2＝AC 2－CD 2，即c 2－（a －CD ）2＝b 2－CD 2，整理得a 2＋b 2＝c 2＋2a•CD. 因为a ＞0，CD ＞0，所以a 2＋b 2＞c 2.图4 图5（2）a 2＋b 2＜c 2.验证如下：如图5，过点A 作AD ⊥BC ，交BC 的延长线于点D ，则BD ＝BC ＋CD ＝a ＋CD. 在Rt △ABD 中，AD 2＝AB 2－BD 2；在Rt △ACD 中，AD 2＝AC 2－CD 2，所以AB 2－BD 2＝AC 2－CD 2，即c 2－（a ＋CD ）2＝b 2－CD 2，整理得a 2＋b 2＝c 2－2a•CD.因为a ＞0，CD ＞0，所以a 2＋b 2＜c 2.第3章 勾股定理综合测评（二）一、选择题（每小题3分，共30分）1. 若一个直角三角形的两条直角边的长分别为6 cm 和8 cm ，则斜边的长为（ ）A. 6 cmB. 8 cmC. 10 cmD. 14 cm2. 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=90º，AB=13，BC=12.若以AC 为边长作正方形（图中阴影部分），则这个正方形的面积为（ ）A. 5B. 10C. 20D. 253. 若三角形的三边长分别为3 cm ，4 cm 和5 cm ，则这个三角形的最大内角的度数是（ ）A. 45ºB. 90ºC. 135ºD. 150º图 4图 3 图2 图1 B4. 从5，9，12，13，17这5个数中选取3个数，可以作为勾股数的一组是（ ）A. 5，9，12B. 5，9，13C. 5，12，13D. 9，12，175．下面说法正确的是（ ）A ．在Rt △ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，则a 2+b 2=c 2B ．在Rt △ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a=3，b=4，则c=5C ．直角三角形的两直角边长都是5，那么斜边长为10D ．直角三角形中，斜边最长6. 图2的虚线部分是“赵爽弦图”示意图，它是由4个全等的直角三角形围成的，AC=3 cm ，BC=2.5 cm ，现将4个直角三角形中边长为3 cm 的直角边分别向外延长1倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个“数学风车”的外围周长是（ ）A. 26 cmB. 34 cmC. 36 cmD. 38 cm7. 如图3，在Rt △ABC 中，∠C=90º，点D 在BC 上，连接AD ，且AD=BD ，若BD=10，BC=16，则AC 的长为（ ）A. 8B. 10C. 12D. 148. 图4所示是一个十字路口，O 是两条公路的交点，点A ，B ，C ，D 分别表示公路上的四辆车.若OC=80 m ，AC=170 m ，AB=50 m ，BD 2=50 000 m 2，则C ，D 两辆车之间的距离为（ ）A. 50 mB. 40 mC. 30 mD. 20 m9. 如图5，在单位长度为1的正方形组成的网格图中标有AB ，CD ，AE ，DE 四条线段，其中能构成一个直角三角形的三条线段的是（ ）A. AB ，CD ，AEB. AE ，DE ，CDC. AE ，DE ，ABD. AB ，CD ，ED10. 如图6，圆柱底面的半径为 2cm ，高为9 cm ，A ，B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A ，B 在同一条线上，用一根棉线从点A 顺着圆柱侧面绕3圈到点B ，则这根棉线的长度最短是（ ）A. 12 cmB. 15 cmC. 18 cmD. 21 cm二、填空题（每小题3分，共18分）11. 在Rt △ABC 中，∠C=90º，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b ，c ，且c=b+1，a=9，则b=＿＿___.12. 在△ABC 中，已知∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b ，c ，且三边长满足（a+c+b ）（a 2+c 2-b 2）=0.若∠A=30º，则∠C 的度数是______.13. 图7所示的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形，若正方形A ，B 的边长分别为8 cm ，6 cm ，正方形C 的面积S C =35 cm 2，则正方形D 的面积S D =_______.14. 如图8所示，为修筑铁路需凿通隧道AC ，现测量出∠ACB=90º，AB=6 km ，BC=4.8 km ，若每天凿隧道200 m ，则_______天才能把隧道AC 凿通.15. 如图9，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，若AB 2+BE 2=16，AD 2+DF 2=25，EF=x ，∠AEB=∠CFE ，则x=_______.16. 如图10，由8个全等的直角三角形（图中带阴影的三角形）与中间的小正方形拼成一个大正方形，如果最大的正方形的面积是25，最小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a ，较长直角边长为b ，则下列结论：①a 2+b 2=13；②（a-b ）2=1；③ab=6.其中正确结论的序号为_______.三、解答题（共52分）图10 图9 图8 图7图5 图6 B A17.（6分）如图11，在△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠BAC ，AB=17 cm ，AD=8 cm ，求△ABC 的周长.18.（8分）如图12-①，在波平如镜的湖面上，有一朵美丽的红莲，它高出水面1 m. 一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵齐及水面（如图12-②所示）. 经测量得知红莲移动的水平距离为2 m ，试问：这里的水深是多少？19.（8分）观察下列各式：32-4=5，4×3=12，32+4=13，则5，12，13组成一组勾股数；42-4=12，4×4=16，42+4=20，则12，16，20组成一组勾股数；52-4=21，4×5=20，52+4=29，则21，20，29组成一组勾股数；……你能否得出结论，对于任意大于2的整数k ，k 2-4，4k ，k 2+4组成一组勾股数？请说明理由.20.（8分）图13所示是4个完全相同的直角三角形适当拼接后形成的图形，这些直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c.（1）请你从面积的关系出发，写出一个关于a ，b ，c 的等式，并验证你的结论正确；（2）利用（1）中得到的等式解决问题：若a+b=7，ab=12，求c 的值.21. （10分）图14所示是一个长方体的透明鱼缸，假设其长AD ＝80 cm ，高AB ＝60 cm ，水深AE ＝40 cm ，在水面上紧贴内壁G 处有一鱼饵，G 在水面线EF 上，且EG ＝60 cm. 一只小虫想从鱼缸外的A 点沿缸壁爬进鱼缸内G 处吃鱼饵.（1）小虫应该走怎样的路线使爬行的路程最短？请你在图中画出它的爬行路线，并用箭头标注；（2）试求小虫爬行的最短路线长.22. （12分）问题情境：在图15所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点. 尝试解决：（1）在图15-①中画一个Rt △ABC ，使其两直角边长分别为AB=3，BC=4（∠B=90º），并求出△ABC 的周长；（2）合作交流：在图15-②中，能否画出一个△EFG ，使得EF 2=20，FG 2=5，EG=5，若能，求出∠EFG 的度数；若不能，请说明理由.参考答案：一、1. C 2. D 3. B 4. C 5. D 6. D 7. A 8. D 9. D图15 ② ①图14 图13图12 ①② 图1110. B 提示：圆柱体的展开图如图1所示，用一根棉线从A 点顺着圆柱侧面绕3圈到B 点的长度最短路线是AC→CD→DB .根据圆的周长公式可知，圆柱体的底面周长为4 cm ，即长方形的宽为4 cm ，因为圆柱的高为9 cm ，所以，每个小长方形的一条边长为3 cm ，根据勾股定理，得AC=CD=DB=5 cm ，所以AC+CD+DB=15（cm ）.二、11. 40 12. 60º 13. 65 cm 2 14. 18 15. 316. ①②③ 提示：因为最大正方形的面积为25，所以由四个全等直角三角形拼成的正方形的面积为13，所以a 2+b 2=13，①正确；因为最小正方形的面积为1，最小正方形的边长为b-a ，所以（a-b ）2=1，②正确；因为a 2+b 2-4×ab 21=（a-b ）2，所以13-2ab=1，解得ab=6，③正确. 三、17. 解：因为AB=AC ，AD 平分∠BAC ，所以AD ⊥BC ，BD=CD.根据勾股定理，得BD 2=AB 2-AD 2=172-82=225，所以BD=15 cm ，BC=2BD=30 cm.所以△ABC 的周长为AB+AC+BC=17+17+30=64（cm ）.18. 解：设水深为x m ，则红莲的高为（x ＋1）m.根据勾股定理，得x 2+22=（x+1）2，解得x ＝1.5.故这里的水深为1.5 m.19. 解：能.理由：因为（k 2-4）2+（4k ）2=k 4-8k 2+16+16k 2=k 4+8k 2+16，（k 2+4）2=k 4+8k 2+16，所以（k 2-4）2+（4k ）2=（k 2+4）2.所以，对于任意大于2的整数k ，k 2-4，4k ，k 2+4组成一组勾股数.20. 解：（1）该图形的面积有两种求法：一种是以c 为边长的正方形的面积+2个直角三角形的面积；另一种是以b 为边长的正方形的面积+以a 为边长的正方形的面积+2个直角三角形的面积.根据两种求法的面积相等，得c 2+2×21ab=b 2+2×21ab+a 2，化简，得a 2+b 2=c 2. （2）因为a+b=7，所以（a+b ）2=49.所以a 2+2ab+b 2=49.因为a 2+b 2=c 2，ab=12，所以c 2+2×12=49.所以c 2=25，即c=5.21. 解：（1）如图2所示，以BC 所在直线为对称轴，作点A 的对称点A ′，连接A ′G ，则A ′G 的距离即为所求（即AQ ＋QG 的长度）.（2）因为AE ＝40 cm ，AA′＝120 cm ，所以A′E ＝120－40＝80（cm ）. 在Rt △A′EG 中，EG ＝60 cm ，根据勾股定理，得A′G 2＝A′E 2＋EG 2＝802＋602＝10 000.所以A′G ＝100 cm.所以AQ ＋QG ＝A′Q ＋QG ＝A′G ＝100 cm.所以小虫爬行的最短路线长为100 cm.22. 解：（1）如图3-①所示，在Rt △ABC 中，AB=3，BC=4，根据勾股定理，得AC=5.所以△ABC 的周长=3+4+5=12.（2）能.如图3-②所示，因为EF 2+FG 2=20+5=25，EG 2=52=25，所以EF 2+FG 2=EG 2.所以△EFG 是直角三角形，且∠EFG=90º.图3 ② ①CBA E F G 图24 图1。

第3章《勾股定理》测试题(满分:100分 时间:90分钟)一、选择题(每题3分，共24分)1.如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图.它是由四个全等的直角三角形围成的。

若6,5AC BC ==，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍.得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是( )A. 52B. 42C. 76D. 722.直角三角形有一条直角边长为6，另两条边长是连续偶数，则该三角形的周长为( ) A. 20 B. 22 C. 24 D. 263.下列各组数作为三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是( ) A. 6、8、10 B. 5、12、13 C. 9、40、41 D. 7、9、124.如图，在ABC ∆中，5,8,AB AC BC D ===是线段BC 上的动点(不含端点B 、C ).若线段AD 的长为正整数，则点D 共有()A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个5.古埃及人曾经用如图所示的方法画直角:把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是( ) A.直角三角形两个锐角互补 B.三角形内角和等于180ºC.三角形两条边长的平方和等于第三条边长的平方D.如果三角形两条边长的平方和等于第三条边长的平方，那么这个三角形是直角三角形 6.有五根小木棒，其长度分别为7、15、20、24、25，现将它们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是( )7.四个全等的直角三角形按如图所示的方式围成正方形ABCD ，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S 的小正方形EFGH ，已知AM 为Rt ABM ∆的较长直角边，4AM EF =，则正方形ABCD 的面积为( )A. 18SB. 17SC. 16SD. 15S8.如图，圆柱形容器的底面周长是2lcm ，高为17 cm ，在外侧底面S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1 cm 的点F 处有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是( )A. 20 cmB. 22 cmC. 23 cmD. 24 cm 二、填空题(每题3分，共24分)9.如图，在ABC ∆中，10AB AC ==c m ，12BC =c m ，AD BC ⊥于点D ，则 AD = cm.10.如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周骸算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.此图案的示意图如图②所示，其中四边形ABCD 和四边形EFGH 都是正方形，ABF ∆、BCG ∆、CDH ∆、DAE ∆是四个全等的直角三角形.若2,8EF DE ==，则AB 的长为 .11.如图，正方形ABDE 、CDFI 、EFGH 的面积分别为25、9、16，AEH ∆、BDC ∆、GFI ∆的面积分别为1S 、2S 、3S ，则123S S S ++= .12.如图，在ABC ∆中，5,12,13,A C B C A B CD ===是AB 边上的中线，则CD = .13.如图，长方体的高为3 cm ，底面是正方形，边长为2 cm ，现使一绳子从点A 出发，沿长方体表面到达C 处，则绳子最短是 cm.14.如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积之比为1：13，则直角三角形较短的直角边a 与较长的直角边b 的比值为 .15.我国古代有这样一道数学问题: “枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”题意是:如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处，则问题中葛藤的最短长度是 尺.16.观察下列各组数:(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41)，…，可发现，23142-=，251122-=，271242-=，…，请写出第5组数: .三、解答题(共52分)17.(8分)如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知4AD =米，3CD =米，90ADC ∠=︒，13AB =米，12BC =米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元?18. (8分)某路段限速标志规定:小汽车在此路段上行驶速度不得超过70千米/时.如图，一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30米的C 处，过了2秒后，小汽车行驶到B 处，测得小汽车与车速检测仪间距离50米. (1)求BC 的长;(2)这辆小汽车超速了吗?19. (8分)(1)如图①，在ABC ∆中，3,4,5,BC AC AB D ===为AB 边上一点，且ACD ∆ 与BCD ∆的周长相等，则AD = .(2)如图②，在ABC ∆中，,2BC a AC ==，222AB BC AC =+，E 为BC 边上一点，且ABE ∆与ACE ∆的周长相等；F 为AC 边上一点，且ABF ∆与BCF ∆的周长相等.求CE CF g 的值(用含a 、b 的式子表示).20. (8分)如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，点P 在AC 上运动，点D 在AB 上，PD 始终保持与PA 相等，BD 的垂直平分线交BC 于点E ，交BD 于点F ，连接DE . (1)判断DE 与DP 的位置关系.并说明理由; (2)若6,8,2AC BC PA ===，求线段DE 的长.21.(8分)如图①，有四个同样大小的直角三角形，两条直角边分别为a 、()b a b <，斜边为c ，拼成一个正方形，中间留有一个小正方形.(1)利用它们之间的面积关系，探索出关于a 、b 、c 的等式.(2)利用(1)中发现的直角三角形中两直角边a 、b 和斜边c 之间的关系。

八上第三章《勾股定理》检测卷（总分100分 时间90分钟）一、选择题(每小题2分，共20分)1.以,,a b c 为边，不能组成直角三角形的是( )A. 6,8,10a b c ===B. 0.3,0.4,0.5a b c ===C. 8,15,17a b c ===D. 111,,345a b c === 2.已知一个直角三角形的三边长的平方和为1800 cm 2，则斜边长为( )A. 30 cmB. 80 cmC. 90 cmD. 120 cm3.在ABC ∆中，::1:1:2A B C ∠∠∠=，三个角的对应边分别为,,a b c ，则下列说法错误 的是( )A. 90C ∠=︒B. 222a b c =-C. 222c a = D. a b =4.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍5.如图，在ABC ∆中，90,C BD ∠=︒平分ABC ∠，交AC 于点D ，若3,6,DC BC == 5AD =，则AB =( )A. 9B. 10C. 11D. 126.如图，在Rt ABC ∆中，90,C D ∠=︒为AC 上一点，且13DA DB ==，若DAB ∆的面 积为78，那么DC 的长是( )A. 4B. 5C. 8D. 4. 57.已知正方形①、②在直线AC 上，正方形③如图放置，若正方形①、②的面积分别81 cm 2 和144 cm 2，则正方形②的边长为( )A. 225 cmB. 63 cmC. 50 cmD. 15 cm8.如图，在Rt ABC ∆中，4,8AC BC ==，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴 影部分面积为( )A. 16B. 16πC. 252D. 252π 9.如图，在Rt ABC ∆中，90,12,5ACB BC AC ∠=︒==，分别以点,A B 为圆心，大于线段AB 长度的一半为半径作弧，相交于点,E F ，过点,E F 作直线EF ，交AB 于点AB ， 连接CD ，则ACD ∆的周长为( )A. 13B. 17C. 18D. 2510.如图，一个长方体木箱的长、宽、高分别为12 m,4m,3m ，则能放进此木箱中的木棒最长 为( )A.19mB.24mC.13mD.15m二、填空题(每小题3分，共24分)11.如图，阴影部分正方形的面积是 .12.若直角三角形中，斜边比一直角边长2,且另一直角边长为6，则斜边长为 .13.如图，ABC ∆为等边三角形，AD 为BC 边上的高，且2AB =，则正方形ADEF 的面 积为 .14.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出的尺寸(单位:mm)计算两 圆孔中心A 和B 的距离为 mm.15.如图是某超市一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中,AB CD 分别表示一楼、二楼地 面的水平线，小马虎从点A 到点C 共移动了12 m ，电梯上升的高度h 为6m ，经小马虎 测量, AB =2 m ，则BE = .16.如图，在Rt ABC ∆中，90,3,5C AC BC ∠=︒==，分别以,A B 为圆心，大于12AB 的 长为半径画弧，两弧交点分别为点,P Q ，过,P Q 两点作直线交BC 于点D ，则CD 的长 是 .17.如图，在ABC ∆中，6,9,AB AC AD BC ==⊥于点,D M 为AD 上任一点，则 22MC MB -= .18.如图，正方形,,ABDE CDFI EFGH的面积分别为25, 9,16, ,,AEH BDC GFI∆∆∆的面积分别为123,,S S S，则123S S S++=.三、解答题(共56分)19.( 8分)如图，在ABC∆中，,12,16,5AD BC AD BD CD⊥===.求:(1)ABC∆的周长;(2)判断ABC∆是否是直角三角形,为什么?20.( 8分)某开发区有一空地ABCD，如图，现计划在空地上种草皮，经测量，90,3B A B∠=︒=,4BC=m, 12AD=m, 13CD=m，若每种植1m2草皮需要100元，问总共需要投入多少元?21.(8分)如图，一块长方体砖宽5AN =cm ，长10ND =cm, CD 上的点B 距地面的高 8BD =cm ，地面上A 处的一只蚂蚁到B 处吃食，需要爬行的最短路径是多少?22.(10分)我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”.观察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间 断过.(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数: ;(2)若第一个数用字母(n n 为奇数，且3n ≥)表示，那么后两个数用含n 的代数式分别表示 为 和 ，请用所学知识说明它们是一组勾股数.23.(10分)如图，在长方形ABCD 中，3,4AB BC ==，点E 是BC 边上一点，连接AE ， 把B ∠沿AE 折叠，使点B 落在点B '处，当CEB '∆为直角三角形时，求BE 的长.24.(12分)如图，在Rt ABC ∆中，90,8,6ABC AB BC ∠=︒==，点D 为AC 边上的动点， 点D 从点C 出发，沿边CA 向点A 运动，当运动到点A 时停止.设点D 运动的时间为t 秒， 点D 运动的速度为每秒1个单位长度.(1)当t =2秒时，CD = , AD = ;(2)求当t 为何值时，CBD ∆是直角三角形?并说明理由;(3)求当t 为何值时，CBD ∆是以BD 或CD 为底的等腰三角形?并说明理由.参考答案1-5 DABBB 6-10 BDACC11. 22512. 1013. 314. 10015. 8m16. 8 517. 4518. 1819. (1)ABC∆的周长为54;(2)ABC∆不是直角三角形.20.共需要投入3600元.21.需要爬行的最短路径是17cm.22.(1)11,60,61;(2)2211 ,,22n nn-+.23. BE的长为3或3 2 .24.(1)2 8;(2)当t为3.6秒或10秒时，CBD∆是直角三角形;(3)当t为6秒或7.2秒时，CBD∆是以BD或CD为底的等腰三角形.。

第3章勾股定理单元测试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）．1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，AD是角平分线，AD＝6，则BC的长度为（ ）A．6B．8C．12D．162．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm23．如图，正方形ABCD的面积是（ ）A．5B．25C．7D．14．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（ ）A．a＝2，b＝3，c＝4B．a：b：c=2：3：5C．∠A+∠B＝2∠C D．∠A＝2∠B＝3∠C5．已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形．若这两个三角形都是等腰三角形，则（ ）A．﹣3m2+2mn+n2＝0B．m2+2mn﹣n2＝0C．2m2﹣2mn+n2＝0D．3m2﹣mn﹣n2＝06．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）A．x2﹣3＝（10﹣x）2B．x2﹣32＝（10﹣x）2C．x2+3＝（10﹣x）2D．x2+32＝（10﹣x）27．如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形、如果大正方形的面积13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（ ）A．169B．25C．19D．138．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（ ）A．2B．4C．8D．16二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）9．5、12、m是一组勾股数，则m＝ ．10．若△ABC的三边长分别为a，b，c．下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝5：12：13．其中能判断△ABC是直角三角形的是 （填序号）．11．若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为 ．AB的长为半12．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，分别以点A、点B为圆心，大于12径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AB于点O，连接CO，则CO的长为 ．13．如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2+CF2＝ ．14．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面 尺高．15．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了 米．（假设绳子是直的）16．如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AB，BD＝AB，则∠DCB＝ °．17．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10，高BD＝8，AE平分∠BAC，则△ABE的面积为 ．18．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t＝ s时，△PBQ为直角三角形．三、解答题（本大题共9小题，共64分．）19．如图在四边形ABCD中，AD＝1，AB＝BC＝2，DC＝3，AD⊥AB，求S四边形ABCD．20．如图，某工厂C前面有一条笔直的公路，原来有两条路AC，BC可以从工厂C到达公路，经测量AC＝6千米，BC＝8千米，AB＝10千米，现需要修建一条路，使工厂C到公路的路程最短．请你帮工厂C设计一种方案，并求出新建路的长．21．如图，在△ABC中，AC＝21，BC＝13，D是AC边上一点，BD＝12，AD＝16，（1）若E是边AB的中点，求线段DE的长；（2）若E是边AB上的动点，求线段DE的最小值．22．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺送行，二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图秋千细索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC＝1尺）．将它往前推进两步（EB⊥OC于点E，且EB＝10尺），踏板升高到点B位置，此塔板离地五尽（BD＝5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．23．如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连结BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．（1）求证：DF⊥AB；（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2．24．法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x2+y2＝z2的方程，显然，这个方程有无数组解．我们把满足该方程的正整数的解（x，y，z）叫做勾股数，如（3，4，5）就是一组勾股数．（1）在研究勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x＝2n，y ＝n2﹣1，z＝n2+1，那么，以x，y，z为三边的三角形为直角三角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明；（2）探索规律：观察下列各组数（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…，直接写出第6个数组．25．如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q 从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止运动，连接PQ，设它们的运动时间为t（t＞0）秒．（1）设△CBQ的面积为S，请用含有t的代数式来表示S；（2）线段PQ的垂直平分线记为直线l，当直线l经过点C时，求AQ的长．26．[阅读理解]勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠．她反映了直角三角形的三边关系即直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即“弦“边长的平方．也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．迄今为止，全世界发现勾股定理的证明方法约有400种．如：美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”（如图1），利用三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为12（a+b）2或者是2×12ab+12c2，因此得到12（a+b）2＝2×12ab+12c2，运用乘法公式展开整理得到a2+b2＝c2．[尝试探究]（1）其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图2用四个直角三角形拼成正方形，中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边分别为a、b，斜边长为c，请你根据古人的拼图完成证明．（2）图3是2002年在中国北京召开的国际数学家大会会标，利用此图也能证明勾股定理，其中四个直角三角形直角边分别为a、b，斜边长为c，请你帮助完成．[实践应用]已知a、b、c为Rt△ABC的三边（c＞b＞a），试比较代数式a2c2+a2b2与c4﹣b4的大小关系．27．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发以每秒1cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上（但不与A点重合），求t的值．答案一、选择题D．A．B．B．B．D．B．B．二、填空题9．13．10．①②④．11．7或25．12．52．13．100．14．4.55．15．9．16．15．17．15．18．32或125．三、解答题19．连接BD，∵AD⊥AB，∴∠A＝90°，由勾股定理得：BD=A D2+A B2=12+22=5，∵在△DBC中，BC＝2，DB=5，DC＝3，∴BD2+BC2＝DC2，∴∠DBC＝90°，∴S四边形ABCD＝S△DAB+S△DBC=12×1×2+12×5×2＝1+5．20．过点C作CD⊥AB于点D，则线段CD为新建公路．∵AC＝6km，BC＝8km，AB＝10km∴AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．∵S△ABC=12•AC•BC=12AB•CD，∴12×6×8=12×10×CD，∴CD＝4.8km∴新建路的长为4.8km．21．（1）在△BCD中，BC＝13，BD＝12，CD＝AC﹣AD＝5，∵52+122＝169＝132，即CD2+BD2＝BC2，∴∠BDC＝90°．在Rt△ABD中，AD＝16，BD＝12，∠ADB＝90°，∴AB=A D2+B D2=20．又∵点E是边AB的中点，∴DE=12AB＝10．（2）当DE⊥AB时，DE长度最小．此时：S△ABD=12AD•BD=12AB•DE，∴DE=AD⋅BDAB =485．∴线段DE的最小值为485．22．设OB＝OA＝x（尺），∵四边形BECD是矩形，∴BD＝EC＝5（尺），在Rt△OBE中，OB＝x，OE＝x﹣4，BE＝10，∴x2＝102+（x﹣4）2，∴x=292．∴OA的长度为292（尺）．23．（1）∵AC⊥BD，∠CAD＝45°，∴AC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝90°，在Rt△ABC与Rt△DEC中，{AC=DCAB=DE，∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），∴∠BAC＝∠EDC，∵∠EDC+∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF，∴∠AEF+∠BAC＝90°，∴∠AFE＝90°，∴DF⊥AB．（2）∵S△BCE+S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE，∴12a2+12b2=12•c•DF−12•c•EF=12•c•（DF﹣EF）=12•c•DE=12c2，∴a2+b2＝c2．24．（1）证明：x2+y2＝（2n）2+（n2﹣1）2＝4n2+n4﹣2n2+1＝n4+2n2+1＝（n2+1）2＝z2，即x，y，z为勾股数．（2）∵①3＝2×1+1，4＝2×12+2×1，5＝2×12+2×1+1；②5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1；③7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1；④9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1；⑤11＝2×5+1，60＝2×52+2×5，61＝2×52+2×5+1，则⑥13＝2×6+1，2×62+2×6＝84，2×62+2×6+1＝85，∴第6组勾股数是：（13，84，85）．25．（1）如图1，当0＜t≤3时，BQ＝t，BC＝4，∴S=1×4×t＝2t；2如图2，当3＜t≤5时，，AQ＝t﹣3，则BQ＝3﹣（t﹣3）＝6﹣t，∴S=1×4×（6﹣t）＝12﹣2t；2（2）连接CQ，如图3，∵QP的垂直平分线过点C，∴CP＝CQ，∵AB＝3，BC＝4，∴AC=A B2+B C2=32+42=5，∴42+t2＝（5﹣t）2，解得t=910；或42+（6﹣t）2＝（5﹣t）2，显然不成立；∴AQ＝3−910=2110．26．[尝试探究]（1）图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4（12ab），即（a+b）2＝c2+4（12ab），∴a2+b2＝c2；（2）图中大正方形的面积可表示为c2，也可表示为（b﹣a）2+4（12ab），即（b﹣a）2+4（12ab）＝c2，∴a2+b2＝c2；[实践应用]∵a2c2+a2b2＝a2（c2+b2），c4﹣b4＝（c2+b2）（c2﹣b2）＝（c2+b2）a2，∴代数式a2c2+a2b2与c4﹣b4的大小关系是相等．27．（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，则由勾股定理得到：AC=A B2−B C2=102−62=8（cm）设存在点P，使得PA＝PB，此时PA＝PB＝t，PC＝8﹣t，在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，即：（8﹣t）2+62＝t2，解得：t=254，∴当t=25时，PA＝PB；4（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝14﹣t，PE＝PC＝t﹣8，BE＝10﹣8＝2，在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，即：（t﹣8）2+22＝（14﹣t）2，解得：t=32，3时，P在△ABC的角平分线上．∴当t=323。

苏科版数学八年级上册第3章勾股定理单元综合检测题一、选择题（每小题3分，共33分）1．下列几组数中，为勾股数的是（）A．4，5，6 B．12，16，18C．7，24，25 D．0.8，1.5，1.72．如右图，带阴影的矩形面积是（）平方厘米A．9 B．24 C．45 D．513．在△ABC中，AB=15，AC=13，边BC上的高AD=12，则BC的长为( ) A．5B．14C．4或14D．9或14 4．在Rt△ABC中，∠A=90∘，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D 到BC的距离是( )A．3B．4C．5D．65．以下面每组中的三条线段为边的三角形中，是直角三角形的是()A．1 3 4 B．1．5 2 2．5 C．4 5 6 D．7 8 96．在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得△ABC是直角三角形，则这样的格点C的个数是（）A．4 B．6C．8 D．107．下列三边一定能构成直角三角形的是（）A．5、6、7B．3+k、4+k、5+k(k>0)C．k3、k4、k5(k>0)D．0.3、0.4、0.58．已知,如图长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则△ABE的面积为（）A．32cm B．42cmC．62cm D．122cm9．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是(）A．三内角之比为1：2：3 B．三边长的平方之比为1：2：3C．三边长之比为3：4：5 D．三内角之比为3：4：510．如图，有一个由传感器控制的灯A装在门上方离地高4．5 m的墙上，任何东西只要移至距该灯5 m及5 m以内时，灯就会自动发光，请问一个身高1．5 m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？( )A．4 m B．3 m C．5 m D．7 m11．如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝8米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子AB的长度为（）A．10米B．6米C．7米D．8米二、填空题（每小题3分，共21分）12．某直角三角形三条边的平方和为200，则这个直角三角形的斜边长为．13．已知直角三角形的两条直角边分别为6cm和8cm，则它的斜边长为cm．14．若一个三角形的三边长之比为5:12:13,且周长为60cm,则它的面积为15．如图，一株美丽的勾股树如图所示，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为4，7，2，3，则最大的正方形E的面积是．16．一座垂直于两岸的桥长12米，一艘小船自桥北头出发，向正南方向驶去,因水流原因,到达南岸后，发现已偏离桥南头9米,则小船实际行驶了米。

苏科版八年级数学上册第三章《勾股定理》单元测试卷一、选择题：1、将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不能判断2、一个直角三角形的两直角边长分别为7和24，下列说法正确的是（ ）A ．斜边长为625B ．三角形的周长为84C ．斜边长为25D ．三角形的面积为1683、如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）A. 12≤a≤13B. 12≤a≤15C. 5≤a≤12D. 5≤a≤134、若直角三角形的两边长分别为a ，b ﹣4|=0，则该直角三角形的第三边长为（ ）A. 5B. √7C. 4D. 5或√75、在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝9，BC ＝12，则点C 到AB 的距离是（ ）A ．536B ．2512C ．49 D ．以上均不正确 6、如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A 、B 都是格点，则线段AB的长为 （ ）A ．5B ．6C ．7D ．257、如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为 （ ）A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米8、如图是一张直角三角形纸片，两直角边AC＝3cm，BC＝4cm．现将△ABC折叠，使点B 与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）A．2cm B．2. 5cm C．3cm D．5cm9、如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（）A. 3 +2 D. 410、如图，一艘轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以12海里/时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，两船相距（）A．36海里 B．48海里 C．60海里 D．84海里11、如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B、C)．若线段AD的长为正整数，则点D共有（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个12、已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m 和n (n m <)，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形．若这两个三角形都为等腰三角形，则 （ ）A ．0222=++n mn mB ．0222=+-n mn mC ．0222=-+n mn mD ．0222=--n mn m二、填空题：13、已知在三角形ABC 中，∠C=90°，AC=15，BC=20，则AB 的长等于________．14、两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北面挖，每分钟挖8cm ，另一只朝东面挖，每分钟挖6cm ，10分钟之后两只小鼹鼠相距 .15、在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝12，AC ＝13，则边AC 上的高是______________．16、已知三角形的三边长分别为a 、b 、c ．如果(a-9)2+|b-15|+(12+c)2=0，那么△ABC （填是或不是）直角三角形17、如图，一架2.5米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米，如果梯子的顶端下滑0.4米，则梯足将向外移 .18、在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1m ，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m ，这里水深是 米。

第3章《勾股定理》综合测试卷(A)考试时间:90分钟 满分:100分一、选择题(每题3分，共24分)1. 下列每一组数据中的三个数值分别是三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是()A. 3，4，5B.6，8，10C. 5，12，13 ，22. 如图，在一个高是3m ，长是5 m 的楼梯表面铺地毯，则地毯长度是( )A. 7 mB. 8 mC. 9 mD. 10 m3.把三个正方形按图示位置摆放，其中两个小正方形的面积分别为，则大正方形的1210,20S S ==面积的值为()S A.10 B. 500 C.300 D.304.在中，若，，则点到的距离是()Rt ABC ∆90C ∠=︒9,12AC BC ==C AB A. B. C. D. 3651225941855.下列命题是假命题的是() A.在中，若，则是直角三角形ABC ∆B C A ∠=∠=∠ABC ∆ B.在中，若，则是直角三角形ABC ∆2()()a b c b c =+-ABC ∆ C.在中，若，则是直角三角形ABC ∆::1:2:3A B C ∠∠∠=ABC ∆ D.在中，若，则是直角三角形ABC ∆::5:4:3a b c =ABC ∆6.如图，在长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点ABCD 8AD =AB AC B 处，折痕为.若，则的长是( )F AE 3EF =AB A. 3 B. 4 C. 5 D. 67.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7 m ，顶端距离地面2.4 m ，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 m ，那么小巷的宽度为( )A. 0.7 mB. 1.5 mC. 2.2 mD. 2.4 m8.如图，将一边长为的正方形(最中间的小正方形)与四个边长为的正方形(其中)拼接在一起，a b b a >则四边形的面积是( )ABCD A.B. 22()b b a +-22b a +C.D. 2()b a +22a ab +二、填空题(每题2分，共20分)9.若直角三角形的三边长分别是，则 .5,12,x 2x =10. 如图，在中，是边上的中线，则 .ABC ∆5,12,13,AC BC AB CD ===AB CD =11.如图，在中，，cm ，cm.将绕顶点按顺时针方向AOB ∆90AOB ∠=︒3AO =4BO =AOB ∆O 旋转到处，此时线段与的交点恰好为的中点，则线段 cm.11A OB ∆1OB AB D AB 1B D =12.如图，在中，，，若，则 .ABC ∆AB AC =AD BC ⊥16,6BC AD ==AB =13.如图，有两棵树，一棵高12 m ，另一棵高6m ，两树相距8m.若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行 m.14. 我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图所示.若正方形的边长是，正方形的边长是2，且，则正方形的边ABCD IJKL //IJ AB EFGH 长是 .15.在中，，边上的高为12，则的面积为 .ABC ∆13,20AB AC ==BC ABC ∆16.我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立在地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”题意如下:如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，A B 则问题中葛藤的最短长度是 尺.17.如图，在中，，cm ，cm ，如果按图中所示方法将沿Rt ABC ∆90C ∠=︒6BC =8AC =BCD ∆折叠，使点落在边上的点处，那么的面积是 .BD C AB 'C 'ADC ∆18.如图，是边长为6 cm 的等边三角形，动点同时从两点出发，分别在边ABC ∆,P Q ,A B 上匀速移动，它们的速度分别为2 cm/s 和1 cm/s ，当点到达点时，两点停止运,AB BC P B ,P Q 动，设点的运动时间为s ，则当 时，为直角三角形.P t t =PBQ ∆三、解答题(共56分)19. ( 6分)如图，在中，，垂足为是线段上的点，且ABC ∆AD BC ⊥,D E AD .,AD BD DE DC == (1)求证: ;BED C ∠=∠ (2)若，求的长.13,5AC DC ==AE20. ( 6分)在一个码头上，工人站在码头上拉动一艘小船，如图所示，此时绳子长20 m ，收取绳AC 子5m 时，小船向码头靠近了7m ，此时船距码头多少米?码头距水面有多高?21. (6分)如图，在等腰直角三角形中，，为的中点，过点作ABC 90ABC ∠=︒D AC D ，交于点，交于点.若，求的长.DE DF ⊥AB E BC F 3FC =EF22. (6分)如图，在四边形中，cm ，cm ，cm ，cm ，ABCD 3AB =4AD =13BC =12CD =，求四边形的面积.90A ∠=︒ABCD23. (8分)如图，，cm ，cm ，一机器人在点处看见一个小球从点出90AOB ∠=︒9OA =3OB =B A 发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点出发，沿方向匀速前进拦截小球，恰好在AO O B BC 点处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程是C BC 多少?24. (8分)如图，一张长方形纸片宽cm ，长cm.现将纸片折叠，使顶点落在边8AB =10BC =D 上的点处(折痕为)，求的长.BC F AE EC25. ( 8分)如图，红星村和幸福村在一条小河的同侧，它们到河岸的距离， 分别为A B CD AC BD 1 km 和3 km ，又知道的长为3 km ，现要在河岸上建一水厂向两村输送自来水，铺设水管CD CD 的工程费用为每千米20 000元.(1)请在上选择水厂位置，使铺设水管的费用最省(作图工具不限，保留作图痕迹);CD (2)求铺设水管的最省总费用.26. (8分)如图，在中，，cm ，cm ，若动点从点开始，按ABC ∆90C ∠=︒8AC =6BC =P C 的路径运动，且速度为2 cm/s ，设运动的时间为ts.C A B C →→→t (1)当为何值时，把的周长分成相等的两部分?t CP ABC ∆ (2)当为何值时，把的面积分成相等的两部分?求出此时的长;t CP ABC ∆CP (3)当为何值时，为等腰三角形?t BCP ∆参考答案1-8 DADAADCA9. 169或11910. 13211. 1.512. 1013. 1014. 1015. 126或6616. 2517. 6cm 218. 或3212519.(1)提示：Rt EBD Rt CAD∆≅∆ (2)7AE =20.此时船距码头9m,码头距水面有12m 高.21. 5EF =22. 四边形的面积为36cm 223.机器人行走的路程是5cm.24.3EC =25.(1)(2) 铺设水管的最省总费用为100000元.26.(1) ；6t = (2) ;6.5,5t CP == (3)当或6.5时，三角形是等腰三角形3,5.4,6t =。

第3章 勾股定理一、选择题(每小题4分,共24分)1.在△ABC 中,∠C=90°,AB=2,则AC 2+BC 2+AB 2的值是 ( ) A .2 B .4 C .6D .82.如果一个三角形的三边长分别为6,8,10,那么最长边上的高为 ( ) A .2.4 B .4.8C .6D .83.下列四组数中,是勾股数的是 ( ) A .0.3,0.4,0.5 B .32,42,52 C .3,4,5D .13,14,154.如图1,在△ABC 中,D 为AB 的中点,E 在AC 上,且BE ⊥AC ,若DE=5,AE=8,则BE 的长度是( )图1A .6.5B .6C .5.5D .55.如图2,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,M 为BC 的中点,MN ⊥AC 于点N ,则MN 等于 ( )图2A .1.5B .2.4C .2.5D .3.56.如图3,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,若小正方形的边长为1,大正方形的边长为5,则一个直角三角形的周长是 ( )图3A.6B.7C.12D.15二、填空题(每小题4分,共24分)7.如图4,在△ABC中,∠ACB=90°,以它的三边为边分别向外作正方形,面积分别为S1,S2,S3,已知S1=6,S2=8,则S3=.图48.如果△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足关系式(a+2b-60)2+|b-18|+(c-30)2=0,那么△ABC是三角形.9.将一根长12厘米的筷子置于底面圆半径为3厘米,高为8厘米的圆柱形杯子中,则筷子露在杯子外面的长度至少为厘米.10.如图5,将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A'B'C'拼在一起,其中点A'与点A重合,点C'落在边AB上,连接B'C.若∠ACB=∠AC'B'=90°,AC=BC=3,则B'C2的值为.图511.在△ABC中,AB=25,AC=26,BC边上的高AD=24,则△ABC的周长为.12.如图6,△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,AC=8,AB=10,动点P在边AB上运动(不与端点重合),点P关于直线AC,BC对称的点分别为P1,P2,则在点P的运动过程中,线段P1P2的长的最小值是.图6三、解答题(共52分)13.(8分)如图7,在四边形ABCD中,∠C=90°,BD平分∠ABC,AD=3,E为AB上一点,AE=4,ED=5,求CD的长.图714.(8分)如图8,在△ABC中,AC=21,BC=13,D是AC边上一点,BD=12,AD=16.(1)求证:BD⊥AC;(2)若E是AB边上的动点,连接DE,求线段DE的最小值.图815.(8分)如图9所示,将长方形ABCD沿对角线BD折叠,使点C落在点C'处,BC'交AD于点E,AD=16,AB=8,求DE的长.图916.(8分)高速公路的同一侧有A,B两城镇,如图10所示,它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA'=2 km,BB'=4 km,且A'B'=8 km,要在高速公路上A',B'之间建一个出口P,使A,B两城镇到出口P的距离之和最短,求这个最短距离.图1017.(10分)若以3,4,5为边长的三角形是直角三角形,则称3,4,5为勾股数组,记为(3,4,5),类似地,还可得到下列勾股数组:(8,6,10),(15,8,17),(24,10,26)等.(1)根据上述四组勾股数的规律,写出第六组勾股数组;(2)用含n(n≥2,且n为整数)的数学等式描述上述勾股数组的规律,并证明.18.(10分)如图11,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=7 cm,AC=25 cm.点P从点A出发沿射线AB方向以1 cm/s的速度运动至点B,点Q从点B出发沿射线BC方向以6 cm/s的速度运动至点C,P,Q两点同时出发.(1)求BC的长;(2)当点P,Q运动2 s时,求P,Q两点之间的距离;(3)当P,Q两点运动几秒时,AP=CQ?图11答案1.D [解析] ∵∠C=90°,AB=2, ∴AC 2+BC 2=AB 2=4. ∴AC 2+BC 2+AB 2=4+4=8. 故选D .2.B [解析] 因为62+82=102,由勾股定理的逆定理可以判断此三角形是直角三角形,利用直角三角形面积的两种表达形式可得ab=ch (其中a ,b 为直角边长,c 为斜边长,h 为斜边上的高).3.C [解析] 0.32+0.42=0.52,能构成直角三角形,但不是整数,所以不是勾股数,故A 选项不符合题意;(32)2+(42)2≠(52)2,不是勾股数,故B 选项不符合题意;32+42=52,是勾股数,故C 选项符合题意;142+152≠132,不是勾股数,故本选项不符合题意.故选C .4.B [解析] ∵BE ⊥AC ,∴∠BEA=90°.∵DE=5,D 为AB 的中点,∴AB=2DE=10.∵AE=8,∴由勾股定理,得BE 2=AB 2-AE 2=36,即BE=6.故选B .5.B [解析] 连接AM ,如图所示.∵AB=AC ,M 为BC 的中点, ∴AM ⊥CM ,BM=CM. ∵BC=6, ∴BM=CM=3.在Rt △ABM 中,AB=5,BM=3,∴根据勾股定理,得AM 2=AB 2-BM 2=52-32=16,即AM=4. 又S △AMC =12MN ·AC=12AM ·CM , ∴MN=AM ·CM AC=125=2.4.故选B .6.C [解析] 设直角三角形的两条直角边长分别为a 和b (a>b ).由题意可知中间小正方形的边长为a-b=1,根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可知,25=4×12ab+1,所以2ab=24.根据勾股定理,得a 2+b 2=52,所以(a+b )2=a 2+b 2+2ab=25+24=49.因为a+b>0,所以a+b=7,7+5=12,所以一个直角三角形的周长是12.故选C .7.14[解析] ∵∠ACB=90°,S1=6,S2=8,∴AC2=6,BC2=8.∴AB2=AC2+BC2=6+8=14.∴S3=14.故答案为14.8.直角[解析] ∵(a+2b-60)2+|b-18|+(c-30)2=0,∴a+2b-60=0,b-18=0,c-30=0.∴a=24,b=18,c=30.∵242+182=302,∴△ABC是直角三角形.故答案为直角.9. 2[解析] 如图所示,筷子在杯子内的部分、杯子的高、杯子的底面圆直径正好构成直角三角形.∵62+82=100=102,∴筷子在圆柱形杯子内的最大长度为10 cm.∴筷子露在杯子外面的长度至少为12-10=2(cm).故答案为2.10.27[解析] ∵∠ACB=∠AC'B'=90°,AC=BC=3,∴AB2=18,∠CAB=45°.∵△ABC和△A'B'C'大小、形状完全相同,∴∠C'AB'=∠CAB=45°,AB'2=AB2=18.∴∠CAB'=90°.∴B'C2=AC2+AB'2=9+18=27.11.68或54[解析] (1)如图①,若∠B是锐角,此时高AD在三角形的内部.在Rt△ABD中,BD2=AB2-AD2=49,即BD=7.在Rt△ACD中,CD2=AC2-AD2=100,∴CD=10,∴BC=7+10=17,此时△ABC的周长=AB+AC+BC=68;(2)如图②,∠B是钝角,在Rt△ABD中,BD=7,在Rt△ACD中,CD=10,∴BC=10-7=3,此时△ABC 的周长=AB+AC+BC=54.综上,△ABC的周长为68或54.12.9.6[解析] 如图,连接CP.由题意,可得点P1,C,P2在同一直线上.∵点P关于直线AC,BC对称的点分别为P1,P2,∴P1C=PC=P2C,∴线段P1P2的长等于2CP.当CP⊥AB时,CP的长最小,此时线段P1P2的长最小.∵∠ACB=90°,BC=6,AC=8,AB=10,∴CP=AC·BC=4.8,AB∴线段P1P2的长的最小值是9.6.13.解:∵AD=3,AE=4,ED=5,∴AD2+AE2=ED2.∴∠A=90°.∴AD⊥AB.∵∠C=90°,∴CD⊥BC.∵BD平分∠ABC,∴CD=AD.∵AD=3,∴CD=3.14.解:(1)证明:∵AC=21,AD=16,∴CD=AC-AD=5.∵BD 2+CD 2=122+52=169=BC 2, ∴∠BDC=90°, ∴BD ⊥AC.(2)当DE ⊥AB 时,DE 最短. 在Rt △ABD 中,∵AB 2=AD 2+BD 2, ∴AB=20.∵12AD ·DB=12AB ·DE , ∴DE=16×1220=9.6, ∴线段DE 的最小值为9.6.15.[解析] 先根据折叠的性质得出CD=C'D ,∠C=∠C'=90°,再设DE=x ,则AE=16-x ,由全等三角形的判定定理得出Rt △ABE ≌Rt △C'DE ,可得出BE=DE=x ,在Rt △ABE 中利用勾股定理即可求出x 的值,进而得出DE 的长. 解:在长方形ABCD 中,CD=AB=8.由折叠的性质,得CD=C'D=8,∠C=∠C'=90°. 设DE=x ,则AE=16-x. 在△ABE 和△C'DE 中,{∠AEB =∠C 'ED ,∠A =∠C '=90°,AB =C 'D ,∴△ABE ≌△C'DE. ∴BE=DE=x.在Rt △ABE 中,由勾股定理,得 AB 2+AE 2=BE 2,即82+(16-x )2=x 2, 解得x=10,即DE=10.16.解:如图所示,作点A 关于直线MN 的对称点C ,连接CB 交直线MN 于点P ,则点P 即为出口的位置,此时A ,B 两城镇到出口P 的距离之和最短,最短距离为AC 的长.过点B 作BD ⊥CA 交CA 的延长线于点D.∵AA'=2 km,BB'=4 km,A'B'=8 km,∴A'C=AA'=2 km,A'D=BB'=4 km,则CD=6 km.在Rt△CDB中,CB2=62+82=100,∴CB=10(km).故这个最短距离为10 km.17.解:(1)第六组勾股数为(48,14,50).(2)勾股数组为(n2-1,2n,n2+1)(n≥2,且n为整数).证明如下:∵(n2-1)2+(2n)2=n4+2n2+1,(n2+1)2=n4+2n2+1,∴(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2,∴n2-1,2n,n2+1是勾股数组(n≥2,且n为整数).18.解:(1)∵在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=7 cm,AC=25 cm, ∴BC2=AC2-AB2=252-72=242.∴BC=24(cm).(2)连接PQ.由题意知BP=7-1×2=5(cm),BQ=6×2=12(cm).在Rt△BPQ中,由勾股定理,得PQ2=BP2+BQ2=52+122=132, ∴PQ=13(cm).(3)设P,Q两点运动t s时,AP=CQ,则t=24-6t,解得t=24.7s时,AP=CQ.答:当P,Q两点运动2471、三人行，必有我师。

Ainy 晴第三章勾股定理单元测试卷〔总分 100 分时间 90 分钟〕一、选择题〔每题 3 分，共 30 分〕1．在△ ABC 中，∠ A 、∠ B、∠ C の对应边分别是a、b、c，假设∠ A ＋∠ C＝ 90°，那么以下等式中成立の是()A ． a2＋b2＝c2B ．b2＋ c2＝a2C． a2＋ c2＝ b2 D ． c2－ a2＝ b22．一个直角三角形の三边の平方和为1800 cm2，那么斜边长为()A ． 30 cmB ．80 cm C． 90 cm D． 120 cm3．若是 a、 6、 c 是一个直角三角形の三边，那么a： b： c 等于()A ．1：2：4B．1：3： 5C． 3：4：7D． 5： 12： 134．如图，若是半圆の直径恰为直角三角形の一条直角边，那么半圆の面积为()A ． 4πcm2B ．6πcm2C． 12πcm2D． 24πcm25．在△ ABC 中，∠ C＝ 90°， BD 均分∠ ABC ，交 AC 于点 D，假设 DC＝ 3， BC ＝ 6， AD ＝5，那么 AB ＝()A ． 9B ．10C．11 D ．126．如图，在Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， D 为 AC 上一点，且DA ＝ DB＝ 5，又△ DAB の面积为 10，那么 DC の长是()A ．4B．3C．5D．7．如图，梯子 AB 靠在墙上，梯子の底端 A 到墙根 O の距离为 7m，梯子の顶端 B 到地面の距离为 24 m，现将梯子の底端 A 向外搬动到A' ，使梯子の底端A' 到墙根 O の距离等于15 m．同时梯子の顶端B 下降至 B'，那∠ BB' 等于()A ． 3mB ．4 m C． 5 m D ．6 m8．聪聪在广场上玩耍，他从某地开始，先向东走10 米，又向南走40 米，再向西20 米，又向南走40 米，最后再向东走70 米，那么聪聪到达の停止点与原出发点间の距离是()A ．80 米B．100 米C．120 米D．95 米9．在 Rt△ ABC 中， AC ＝6， BC－ 8，分别以它の三边为直径向上作三个半圆，那么阴影部分面积为()252510．勾股定理是几何中の一个重要定理，在我国古算书?周髀算经?中就有“假设勾三，股四，那么弦五〞の记录．如图 (a)是由边长相等の小正方形和直角三角形构成の，可以用其面积关系考据勾股定理．图 (b) 是由图 (a)放人长方形内获取の，∠ BAC ＝ 90°， AB ＝ 3，AC ＝ 4，点 D ，E， F， G，H ， I 都在长方形 KLMJ の边上，那么长方形 KLMJ の面积为()A ．90B ．100C． 110 D ．121二、填空题〔每题 3 分，共24 分〕11．如图阴影局部正方形の面积是_______．12．假设直角三角形中，一斜边比素来角边大2，且另素来角边长为6，那么斜边为 _______．13．如图，△ ABC 为等边三角形， AD 为 BC 边上の高，且AB ＝ 2，那么正方形 ADEF の面积为 _______．14．一长方形门框宽为 1.5 米，高为 2 米．安装门框时为了增强牢固性，在门框の对角线处钉上一根木条，这根木条最少_______米长．15．如图是一等腰三角形状の铁皮△ABC ， BC 为底边，尺寸如图，单位：cm，依照所给の条件，那么该铁皮の面积为 _______．16．如图是连江新华都商场一楼与二楼之间の手扶电梯表示图．其中 AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面の水平线，小马虎从点 A 到点 C 共走了 12 m，电梯上升の高度h 为 6m，经小马虎测量AB ＝ 2 m，那么 BE ＝_______．17．如图， P 是正△ ABC 内一点，且 PA＝6，PB＝ 8，PC＝10，假设将△ PAC 绕点 A 逆时针旋转后，获取△ P'AB ，那么点 P 与 P'之间の距离为 PP'＝ _______，∠ APB ＝ _______ 度．18．如图，正方形ABDE 、 CDFI 、 EFGH の面积分别为25、 9、 16，△ AEH 、△ BDC 、△GFI の面积分别为S1、 S2、 S3，那么 S1＋ S2＋ S3＝ _______．三、解答题〔共46 分〕19．〔 6 分〕如图，△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°， AC ＝ 7， BC＝24， CD⊥ AB 于 D．(1)求 AB の长；(2)求 CD の长．20．〔 6 分〕如图，AB ＝ 13， BC＝ 14，AC ＝ 15， AD ⊥ BC 于 D，求 AD 长．21．〔 6 分〕某开发区有一空地ABCD ，以以下图，现方案在空地上种草皮，经测量，∠B ＝ 90°， AB ＝ 3m， BC＝ 4 m， AD ＝ 12 m， CD ＝ 13 m，假设每种植 1 平方米草皮需要 100 元，问总合需要投入多少元？22．〔 6 分〕如图，两点A ，B 都与平面镜相距 4 米，且 A，B 两点相距 6 米，一束光由A 点射向平面镜，反射此后恰好经过 B 点，求 B 点与入射点间の距离．23．〔 6 分〕如图，一块长方体砖宽AN ＝ 5 cm，长 ND ＝ 10 cm， CD 上の点 B 距地面の高BD ＝ 8 cm，地面上 A 处の一只蚂蚁到 B 处吃食，需要爬行の最短路径是多少？24．〔 8 分〕研究与研究：方法 1：如图 (a) ，对任意の吻合条件の直角三角形绕其锐角极点旋转90°所得，所以∠ BAE ＝ 90°，且四边形 ACFD 是一个正方形，它の面积和四边形 ABFE 面积相等，而四边形 ABFE 面积等于 Rt△ BAE 和 Rt△ BFE の面积之和，依照图示写出证明勾股定理の过程；方法 2：如图 (b)，是任意の吻合条件の两个全等のRt△ BEA 和 Rt△ACD 拼成の，你能依照图示再写一种证明勾股定理の方法吗？25．〔 8 分〕 (1) 如图 (1) ，在四边形ABCD 中， BC ⊥CD ，∠ ACD ＝∠ ADC ．求证： AB ＋AC>BC2CD 2；(2)如图 (2) ，在△ ABC 中， AB 上の高为 CD，试判断 (AC ＋ BC) 2与 AB 2＋ 4CD2之间の大小关系，并证明你の结论．Ainy 晴参照答案1— 10 CADBB BBBAC11． 22512． 1013． 314．15． 60 cm216． 817． 6 15018． 1819． (1)AB ＝ 25； (2)CD ＝．20． AD ＝ 12．21． 3600(元 )．22． 5〔米〕．24．略25． (1) 略(2)大小关系是 (AC ＋ BC) 2≥AB 2＋ 4CD 2．。