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第三单元 因式分解测试题时量50分钟 满分120分一、选择题（每小题3分,满分30分）1。
下列从左至右的变形属于因式分解的是（ )A ．2(3)(3)9x x x B ．243(4)3x x x x C ．2(3)(2)56x x x x D ．23(3)a a a a 2。
下列多项式能用平方差公式分解因式的是（ ）A ．216xB ．21025x xC ．24xD ．25x x3。
下列各式的分解因式:①2481(49)(49)aa a ②26(3)(2)x x x ③224(2)(2)m n m n m n ④2211()42x x x 其中正确的是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．34.把多项式24+4x x 分解因式所得正确的是（ ）A ．(4)4x xB ．2(2)xC ．2(2)xD ．(2)(2)xx 5。
已知：223,12x y xy ，则x y 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．46。
把下列多项式分解彻底的是（ ）A ．329(9)xx x x B ．2223(23)mx mx m x x C ．3222(21)x x x x x x D ．421(1)(1)(1)x x x x7。
已知多项式(2)(2)ax a bx b 的一个因式为a b ，则它的另一个因式为( )A ．2bB ． 2xC ．a xD ．2a8. 计算20152016(2)(2)的值为（ ） A ．20152 B ．20152 C ．2 D ．29 。
如图，在边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形()a b 把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分，由此可以验证的等式是（ ）A ．22()()ab a b a b B ．222()2a b a ab b C ．222()a b a b D ．2()a ab a a b 10 。
已知4821可以被60到70之间的某两个整数整除，则这个两个整数分别是（ ）A ．61，62B ．61，63C ．63，65D ．65，67二．填空题（每小题3分,满分30分）11。
《多项式的因式分解》拓展训练一、选择题1．下列由左到右的变形，属于因式分解的（）A．（x﹣3）（x﹣3）=x2﹣9B．4a2﹣8a﹣1=4x（x﹣2）﹣1C．4x2﹣9=（2x+3）（2x﹣3）D．a2+6a﹣9=（a﹣3）22．下列各式不能因式分解的是（）A．a2﹣b2B．a2﹣2a+1C．ab﹣a D．a2+b23．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）A．a2﹣1B．a2+aC．a2+a﹣2D．（a+2）2﹣2（a+2）+14．若代数式x3+ax2+bx+8其中有两个因式分别为x+1和x+2，则a+b的值为（）A．8B．7C．15D．215．若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式（x﹣2）和（x﹣1），则mn的值是（）A．100B．0C．﹣100D．506．如果2x+1是多项式6x2+mx﹣5的一个因式，则m的值是（）A．6B．﹣6C．7D．﹣77．已知多项式ax2+bx+c分解因式后结果2（x﹣3）（x+1），则b，c的值为（）A．b=3，c=﹣1B．b=﹣6，c=2C．b=﹣6，c=﹣4D．b=﹣4，c=﹣6 8．若关于x的多项式x2﹣px﹣6含有因式x﹣2，则实数p的值为（）A．﹣5B．5C．﹣1D．19．下列四个选项中，哪一个为多项式8x2﹣10x+2的因式？（）A．2x﹣2B．2x+2C．4x+1D．4x+210．已知（19x﹣31）（13x﹣7）﹣（13x﹣7）（11x﹣23）可因式分解成（ax+b）（8x+c），其中a、b、c均为整数，则a+b+c=（）A．22B．14C．﹣2D．﹣3二、填空题11．已知关于x的二次式x2+mx+n，当m=，n=时（写出一组满足条件的整数值即可），它在有理数范围内能够进行因式分解．12．把多项式x2+4mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m+n的值为．13．下列变形：①（x+1）（x﹣1）=x2﹣1；②9a2﹣12a+4=（3a﹣2）2；③3abc3=3c•abc2；④3a2﹣6a=3a（a﹣2）中，是因式分解的有（填序号）14．当k=时，二次三项式x2﹣kx+12分解因式的结果是（x﹣4）（x﹣3）．15．如果把多项式x2﹣8x+m分解因式得（x﹣10）（x+n），那么m﹣n的值为．三、解答题16．已知：x2+2x+5是多项式x4+px+q的一个因式，求它的其他因式．17．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9），另一位同学因看错了常数项而分解成2（x﹣2）（x﹣4），请将原多项式分解因式．18．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴．解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．19．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．（1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．解法一：设2x3﹣x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），则：2x3﹣x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b比较系数得，解得，∴解法二：设2x3﹣x2+m=A•（2x+1）（A为整式）由于上式为恒等式，为方便计算了取，2×=0，故．（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．20．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．小明发现，可以设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴利用方程组可以解决．请回答：另一个因式为，m的值为；参考小明的方法，解决下面的问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣4），求另一个因式以及k的值．《多项式的因式分解》拓展训练参考答案与试题解析一、选择题1．下列由左到右的变形，属于因式分解的（）A．（x﹣3）（x﹣3）=x2﹣9B．4a2﹣8a﹣1=4x（x﹣2）﹣1C．4x2﹣9=（2x+3）（2x﹣3）D．a2+6a﹣9=（a﹣3）2【分析】直接利用因式分解的意义分析得出答案．【解答】解：A、（x﹣3）（x﹣3）=x2﹣9，是整式乘法，不合题意；B、4a2﹣8a﹣1=4x（x﹣2）﹣1，左右不相等，不符合因式分解的定义；C、4x2﹣9=（2x+3）（2x﹣3），是因式分解，符合题意；D、a2+6a﹣9无法运用公式分解因式，不符合因式分解的定义．故选：C．【点评】此题主要考查了因式分解，正确把握因式分解的定义是解题关键．2．下列各式不能因式分解的是（）A．a2﹣b2B．a2﹣2a+1C．ab﹣a D．a2+b2【分析】利用平方差公式，完全平方公式，以及提取公因式方法判断即可．【解答】解：A、原式=（a+b）（a﹣b），不符合题意；B、原式=（a﹣1）2，不符合题意；C、原式=a（b﹣1），不符合题意；D、原式不能分解，符合题意，故选：D．【点评】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．3．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）A．a2﹣1B．a2+aC．a2+a﹣2D．（a+2）2﹣2（a+2）+1【分析】先把各个多项式分解因式，即可得出结果．【解答】解：∵a2﹣1=（a+1）（a﹣1），a2+a=a（a+1），a2+a﹣2=（a+2）（a﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，∴结果中不含有因式a+1的是选项C；故选：C．【点评】本题考查了因式分解的意义与方法；熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键．4．若代数式x3+ax2+bx+8其中有两个因式分别为x+1和x+2，则a+b的值为（）A．8B．7C．15D．21【分析】由x3+ax2+bx+8其中有两个因式分别为x+1和x+2得到x=﹣1、x=﹣2肯定是关于x的方程x3+ax2+bx+8=0的两个根，所以将其分别代入该方程列出关于a、b的方程组，通过解方程组来求a、b的值，再代入计算即可求解．【解答】解：∵代数式x3+ax2+bx+8其中有两个因式分别为x+1和x+2，∴x=﹣1、x=﹣2肯定是关于x的方程x3+ax2+bx+8=0的两个根，则，即，解得，a+b=7+14=21．故选：D．【点评】本题考查了因式分解的意义，根据因式分解的意义得到x=﹣1、x=﹣2肯定是关于x的方程x3+ax2+bx+8=0的两个根是解题的难点．5．若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式（x﹣2）和（x﹣1），则mn的值是（）A．100B．0C．﹣100D．50【分析】根据待定系数法进行求解，因为多项式x4+mx3+nx﹣16的最高次数是4次，所以要求的代数式的最高次数是3次，再根据两个多项式相等，则对应次数的系数相等列方程组求解．【解答】解：设x4+mx3+nx﹣16=（x﹣1）（x﹣2）（x2+ax+b），则x4+mx3+nx﹣16=x4+（a﹣3）x3+（b﹣3a+2）x2+（2a﹣3b）x+2b．比较系数得：，解得，所以mn=﹣5×20=﹣100．故选：C．【点评】此题考查了求多项式中的字母系数的值的问题，能够运用待定系数法以及特殊值法进行求解．6．如果2x+1是多项式6x2+mx﹣5的一个因式，则m的值是（）A．6B．﹣6C．7D．﹣7【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，计算对比得出答案．【解答】解：∵2x+1是多项式6x2+mx﹣5的一个因式，∴6x2+mx﹣5=（2x+1）（3x﹣5）=6x2﹣7x﹣5，∴m=﹣7．故选：D．【点评】本题考查了因式分解的意义，利用整式的系数得出另一个因式是解决问题的关键．7．已知多项式ax2+bx+c分解因式后结果2（x﹣3）（x+1），则b，c的值为（）A．b=3，c=﹣1B．b=﹣6，c=2C．b=﹣6，c=﹣4D．b=﹣4，c=﹣6【分析】首先把2（x﹣3）（x+1），利用整式的乘法计算得出结果，与多项式ax2+bx+c 的每一项相对应，求出a、b、c的数值即可．【解答】解：2（x﹣3）（x+1）=2（x2﹣2x﹣3）=2x2﹣4x﹣6，ax2+bx+c=2x2﹣4x﹣6所以a=2，b=﹣4，c=﹣6．故选：D．【点评】此题考查整式的乘法计算方法以及代数式中每一项的意义．8．若关于x的多项式x2﹣px﹣6含有因式x﹣2，则实数p的值为（）A．﹣5B．5C．﹣1D．1【分析】设x2﹣px﹣6=（x﹣2）（x﹣a），右边利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件即可求出p的值．【解答】解：根据题意设x2﹣px﹣6=（x﹣2）（x﹣a）=x2﹣（a+2）x+2a，∴﹣p=﹣a﹣2，2a=﹣6，解得：a=﹣3，p=﹣1．故选：C．【点评】此题考查了因式分解的意义，弄清题意是解本题的关键．9．下列四个选项中，哪一个为多项式8x2﹣10x+2的因式？（）A．2x﹣2B．2x+2C．4x+1D．4x+2【分析】将8x2﹣10x+2进行分解因式得出8x2﹣10x+2=（4x﹣1）（2x﹣2），进而得出答案即可．【解答】解：8x2﹣10x+2=2（4x2﹣5x+1），=2（4x﹣1）（x﹣1），=（4x﹣1）（2x﹣2），故多项式8x2﹣10x+2的因式为（4x﹣1）与（2x﹣2），故选：A．【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确将多项式8x2﹣10x+2分解因式是解题关键．10．已知（19x﹣31）（13x﹣7）﹣（13x﹣7）（11x﹣23）可因式分解成（ax+b）（8x+c），其中a、b、c均为整数，则a+b+c=（）A．22B．14C．﹣2D．﹣3【分析】首先把（19x﹣31）（13x﹣7）﹣（13x﹣7）（11x﹣23）分解因式，即可确定a，b，c的值，则a+b+c的值即可求解．【解答】解：（19x﹣31）（13x﹣7）﹣（13x﹣7）（11x﹣23）=（13x﹣7）[（19x﹣31）﹣（11x﹣23）]=（13x﹣7）（8x﹣8），则a=13，b=﹣7，c=﹣8．则a+b+c=13﹣7﹣8=﹣2．故选：C．【点评】本题考查了因式分解与代数式求值，正确进行因式分解是关键．二、填空题11．已知关于x的二次式x2+mx+n，当m=5，n=6时（写出一组满足条件的整数值即可），它在有理数范围内能够进行因式分解．【解答】解：由x2+5x+6=（x+2）（x+3），得已知关于x的二次式x2+mx+n，当m=5，n=6时，它在有理数范围内能够进行因式分解，故答案为：5，6．【点评】本题考查了因式分解的意义，利用因式分解的意义是解题关键．12．把多项式x2+4mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m+n的值为．【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得m、n的值，根据有理数的加法，可得答案．【解答】解：由x2+4mx+5因式分解得（x+5）（x+n），得x2+4mx+5=（x+5）（x+n），（x+5）（x+n）=x2+（n+5）x+5n，x2+4mx+5=x2+（n+5）x+5n．4m=n+5，5n=5．解得n=1，m=m+n=1+=，故答案为：．【点评】本题考查了因式分解的意义，利用因式分解得出相等整式是解题关键．13．下列变形：①（x+1）（x﹣1）=x2﹣1；②9a2﹣12a+4=（3a﹣2）2；③3abc3=3c•abc2；④3a2﹣6a=3a（a﹣2）中，是因式分解的有②④（填序号）【分析】直接利用因式分解的意义分析得出答案．【解答】解：①（x+1）（x﹣1）=x2﹣1，是多项式乘法，故此选项错误；②9a2﹣12a+4=（3a﹣2）2，是因式分解；③3abc3=3c•abc2，不是因式分解；④3a2﹣6a=3a（a﹣2），是因式分解；故答案为：②④．【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握定义是解题关键．14．当k=7时，二次三项式x2﹣kx+12分解因式的结果是（x﹣4）（x﹣3）．【分析】根据因式分解与多项式相乘是互逆运算，把多项式相乘展开，再利用对应项系数相等来求解．【解答】解：∵（x﹣4）（x﹣3）=x2﹣7x+12，∴﹣k=﹣7，k=7．故应填7．【点评】注意正确计算多项式的乘法运算，然后根据对应项系数相等求解．15．如果把多项式x2﹣8x+m分解因式得（x﹣10）（x+n），那么m﹣n的值为﹣22．【分析】根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，把（x﹣10）（x+n）展开，得出m，n的值，再代入计算即可．【解答】解：∵x2﹣8x+m=（x﹣10）（x+n）=x2+nx﹣10x﹣10n=x2+（n﹣10）x﹣10n，∴n﹣10=﹣8，m=﹣10n，∴n=2，m=﹣20，∴m﹣n=﹣20﹣2=﹣22；故答案为：﹣22．【点评】本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算，并且考查了代数式相等条件：对应项的系数相等．三、解答题16．已知：x2+2x+5是多项式x4+px+q的一个因式，求它的其他因式．【分析】根据因式分解的意义，可得答案．【解答】解：可设多项式x4+px+q的另一个因式为x2+mx+n，则（x2+2x+5）（x2+mx+n）=x4+px+q，因为（x2+2x+5）（x2+mx+n）=x4+（m+2）x3+（2m+n+5）x2+（5m+2n）x+5n，所以m+2=0，2m+n+5=0，解得m=﹣2，n=﹣1．所以这个多项式的其他因式是x2﹣2x﹣1．【点评】本题考查了因式分解的意义，利用多项式的除法是解题关键．17．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9），另一位同学因看错了常数项而分解成2（x﹣2）（x﹣4），请将原多项式分解因式．【分析】由于含字母x的二次三项式的一般形式为ax2+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0），所以可设原多项式为ax2+bx+c．看错了一次项系数即b值看错而a与c的值正确，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将2（x ﹣1）（x﹣9）运用多项式的乘法法则展开求出a与c的值；同样，看错了常数项即c值看错而a与b的值正确，可将2（x﹣2）（x﹣4）运用多项式的乘法法则展开求出b的值，进而得出答案．【解答】解：设原多项式为ax2+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0）．∵2（x﹣1）（x﹣9）=2（x2﹣10x+9）=2x2﹣20x+18，∴a=2，c=18；又∵2（x﹣2）（x﹣4）=2（x2﹣6x+8）=2x2﹣12x+16，∴b=﹣12．∴原多项式为2x2﹣12x+18，将它分解因式，得2x2﹣12x+18=2（x2﹣6x+9）=2（x﹣3）2．【点评】本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．本题中注意：如果一个二次三项式，看错了一次项系数，意思是二次项系数与常数项都没有看错．18．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴．解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．【解答】解：设另一个因式为（x+a），得2x2+3x﹣k=（2x﹣5）（x+a）（2分）则2x2+3x﹣k=2x2+（2a﹣5）x﹣5a（4分）∴（6分）解得：a=4，k=20（8分）故另一个因式为（x+4），k的值为20（9分）【点评】正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．19．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．（1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．解法一：设2x3﹣x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），则：2x3﹣x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b比较系数得，解得，∴解法二：设2x3﹣x2+m=A•（2x+1）（A为整式）由于上式为恒等式，为方便计算了取，2×=0，故．（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．【分析】设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2），对x进行两次赋值，可得出两个关于m、n的方程，联立求解可得出m、n的值．【解答】解：设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），取x=1，得1+m+n﹣16=0①，取x=2，得16+8m+2n﹣16=0②，由①、②解得m=﹣5，n=20．【点评】本题考查了因式分解的意义，阅读材料中提供了两种解题思路，同学们可以自己探索第二种解题方法．20．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．小明发现，可以设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴利用方程组可以解决．请回答：另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21；参考小明的方法，解决下面的问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣4），求另一个因式以及k的值．【分析】求出方程组的解，即可求出答案；设二次三项式2x2+3x﹣k的另一个因式为2x+a，得出方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：解方程组得：，即另一个因式为x﹣7，m=﹣21；设二次三项式2x2+3x﹣k的另一个因式为2x+a，则2x2+3x﹣k=（x﹣4）（2x+a），2x2+3x﹣k=2x2+（a﹣8）x﹣4a，所以，解得：a=11，k=44，即另一个因式是2x+11，k=44，故答案为：x﹣7，﹣21．【点评】本题考查了多项式乘以多项式和解二元一次方程组，能得出二元一次方程组是解此题的关键．。
第8讲因式分解（二）一、知识要点1、要注意因式分解在有理数范围内应分解彻底。
2、灵活应用提公因式法、公式法，关键在于观察多项式特征。
3、注意符号处理，如完全平方公式间的细微差别。
二、知识运用经典例题例1、解方程2(1)(2)(3)(4)(1)(3)(2)(4)(21)x x x x x x x x x-+++-+-+++-=-例2、已知112a m=+，122b m=+，132c m=+，求222222a ab b ac bc c++--+的值。
例3、是否存在这样一个正整数，当它加上100时是一个完全平方数；当它加上129时是另一个完全平方数？若存在，请求出这个正整数；若不存在，请说明理由。
例4、两个连续奇数的平方差一定是（）的倍数例5、观察下列各式规律22221(12)2(121)+⨯+=⨯+22222(23)3(231)+⨯+=⨯+22223(34)4(341)+⨯+=⨯+……写出第2014行式子，写出第n行式子并证明你的结论三、知识运用课堂训练1、下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A 、bx ax b a x -=-)(B 、222)1)(1(1y x x y x ++-=+-C 、)1)(1(12-+=-x x xD 、c b a x c bx ax ++=++)( 2、一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+，那么这个多项式是（）A 、46-bB 、64b -C 、46+bD 、46--b 3、下列多项式是完全平方式的是（ ）A.20.010.749x x ++B.22469a ab b ++C. 2229124a b abc c -+D. 21144x x -+ 4、把多项式22()a b c -+分解因式是 。
5、2292718x y xy xy +-= (32)x y +-。
6、若25x mx -+是完全平方式，则10m -的值是（ ）A 、0B 、-20C 、0或-20D 、20±7、把多项式)2()2(2a m a m -+-分解因式等于（ ）A ))(2(2m m a +-B ))(2(2m m a --C 、(2)(1)m a m --D 、(2)(1)m a m -+8、分解因式（1）3123x x -（2）2222)1(2ax x a -+（3）21222++x x （4）b a b a 4422+--8、已知22==+ab b a ，，求32232121ab b a b a ++的值。
2020-2021年度湘教版七年级数学下册《第3章因式分解》章末综合优生辅导训练（附答案）1．下列等式变形中属于因式分解的是（）A．a（a+2）＝a2+2a B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．m2+m+3＝m（m+1）+3D．a2+6a+3＝（a+3）2﹣62．下列因式分解变形正确的是（）A．2a2﹣4a＝2（a2﹣2a）B．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2C．﹣a2+4＝（a+2）（a﹣2）D．a2﹣5a﹣6＝（a﹣2）（a﹣3）3．已知xy＝3，x﹣y＝﹣2，则代数式x2y﹣xy2的值是（）A．6B．﹣1C．﹣5D．﹣64．若x2+5x+m＝（x+n）2，则m，n的值分别为（）A．m＝，n＝B．m＝，n＝5C．m＝25，n＝5D．m＝5，n＝5．多项式12ab3+8a3b的各项公因式是（）A．ab B．2ab C．4ab D．4ab26．多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（）A．x+3B．（x+3）2 C．x﹣3D．x2+97．若a2+2ab+b2﹣c2＝10，a+b+c＝5，则a+b﹣c的值是（）A．2B．5C．20D．98．若x2+mx+9＝（x﹣3）2，则m＝（）A．6B．﹣6C．3D．﹣39．分解因式x2+ax+b，甲看错了a的值，分解的结果为（x+6）（x﹣1），乙看错了b的值，分解结果为（x﹣2）（x+1），那么x2+ax+b分解因式的正确结果为（）A．（x﹣2）（x+3）B．（x+2）（x﹣3）C．（x﹣2）（x﹣3）D．（x+2）（x+3）10．我们所学的多项式因分解的方法主要有：①提公因式法；②平方差公式法；③完全平方公式法．现将多项式（x﹣y）3+4（y﹣x）进行因式分解，使用的方法有（）A．①②B．①③C．②③D．①②③11．计算（﹣2）100+（﹣2）99的结果为（）A．﹣299B．299C．﹣2D．212．以下关于x的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（）A．x2﹣3x+2B．3x2﹣x+1C．2x2﹣9x﹣1D．x2﹣4x+213．下列各式能用完全平方公式分解因式的有（）①4x2﹣4xy﹣y2；②﹣1﹣a﹣；③m2n2+4﹣4mn；④a2﹣2ab+4b2；⑤x2﹣8x+9A．1个B．2个C．3个D．4个14．下列不可利用x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）分解因式的是（）A．x2﹣3x+2B．x2+3x+2C．x2﹣2x﹣3D．x2+2x+315．因式（m+2n）（m﹣2n）是下列哪个多项式分解因式的结果（）A．m2+4n2B．﹣m2+4n2C．m2﹣4n2D．﹣m2﹣4n2 16．分解因式：（1）2a3﹣8a2+8a；（2）a2（x﹣y）+4（y﹣x）；（3）x2﹣x﹣12．17．因式分解：（1）4xy2﹣4x2y﹣y3；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．18．分解因式：（1）3a（x﹣y）﹣2b（y﹣x）；（2）4ab2﹣4b3﹣a2b．19．分解因式：（1）（m+n）2﹣4m（m+n）+4m2 （2）a3b﹣ab；（3）x2+2x﹣320．因式分解：（x2+4x）2﹣2（x2+4x）﹣15．21．因式分解：（1）9x3y﹣xy3；（2）（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）．22．分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．23．将下列各式因式分解：（1）a4﹣16；（2）﹣mp2+4mp﹣4m；（3）（x﹣3）x2+9（3﹣x）；（4）（m2+2m）2﹣2（m2+2m）+1．24．（1）因式分解：3x2﹣12xy+12y2．（2）计算：20202﹣2019×2021．25．已知a，b．c为三角形ABC的三边，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断三角形ABC的形状．26．阅读例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2+4x+m有一个因式是（x+1），求另一个因式及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2+4x+m＝（x+1）（x+n），则x2+4x+m＝x2+（n+1）x+n，∴，解得．∴另一个因式（x+3），m的值为3．问题：已知二次三项式2x2+x+k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式及k的值．27．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的A类、C类正方形卡片和B类长方形卡片．用若干张A类、B类、C类卡片可以拼出如图2的长方形，通过计算面积可以解释因式分解：2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b）．（1）若解释因式分解3a2+4ab+b2＝（a+b）（3a+b），需取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，请画出相应的图形；（2）若取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，使其面积为5a2+mab+b2，则m的值为，将此多项式分解因式为．（3）有3张A类，4张B类，5张C类卡片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长为．28．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，∴，解得：n＝﹣7，m＝﹣21，∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．问题：仿照以上方法解答下面问题：（1）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值；（2）已知二次三项式3x2+4ax+1有一个因式是（x+a），求另一个因式以及a的值．29．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．例如：x2﹣2xy+y2﹣4＝（x2﹣2xy+y2）﹣4＝（x﹣y）2﹣22＝（x﹣y﹣2）（x﹣y+2）．②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．例如：x2+6x﹣7分析：观察得出：两个因式分别为（x+7）与（x﹣1）解：原式＝（x+7）（x﹣1）（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分组分解法）4x2+4x﹣y2+1②（拆项法）x2﹣6x+8③x2﹣5x+6＝．（2）已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，求△ABC的周长．30．我们知道形如x2+（a+b）x+ab的二次三项式可以分解因式为（x+a）（x+b），所以x2+6x﹣7＝x2+[7+（﹣1）]x+7×（﹣1）＝（x+7）[x+（﹣1）]＝（x+7）（x﹣1）．但小白在学习中发现，对于x2+6x﹣7还可以使用以下方法分解因式．x2+6x﹣7＝x2+6x+9﹣7﹣9＝（x+3）2﹣16＝（x+3）2﹣42＝（x+3+4）（x+3﹣4）＝（x+7）（x﹣1）．这种在二次三项式x2+6x﹣7中先加上9，使它与x2+6x的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式了．（1）请使用小白发现的方法把x2﹣8x+7分解因式；（2）填空：x2﹣10xy+9y2＝x2﹣10xy++9y2﹣＝（x﹣5y）2﹣16y2＝（x﹣5y）2﹣（）2＝[（x﹣5y）+][（x﹣5y）﹣]＝（x﹣y）（x﹣）；（3）请用两种不同方法分解因式x2+12mx﹣13m2．31．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：ax+by+bx+ay，x2+2xy+y2﹣1分组分解法：解：原式＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）解：原式＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2+2x﹣3解：原式＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：x2﹣6x﹣7．32．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（1+x）+x（1+x）2＝（1+x）[1+x+x（1+x）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3．（1）上述分解因式的方法是，共应用了次．（2）若分解1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2020，则需应用上述方法次，结果是．（3）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n（必须写出解答过程）．33．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图①可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．请解答下列问题：（1）写出由图②可以得到的数学等式；（2）利用（1）中得到的结论，解决下面问题：若a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，求ab+bc+ac 的值；（3）可爱同学用图③中x个边长为a的正方形，y个宽为a，长为b的长方形，z个边长为b的正方形，拼出一个面积为（2a+b）（a+4b）的长方形，则x+y+z＝．34．【例题讲解】因式分解：x3﹣1．∵x3﹣1为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3﹣1可以分解成（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b，∴x3﹣1＝x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b恒成立．∴等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即解得．∴x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）．【方法归纳】设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．【学以致用】（1）若x2﹣mx﹣12＝（x+3）（x﹣4），则m＝；（2）若x3+3x2﹣3x+k有一个因式是x+1，求k的值；（3）请判断多项式x4+x2+1能否分解成两个整系数二次多项式的乘积，若能，请直接写出结果，否则说明理由．参考答案1．解：A．是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；B．符合因式分解的定义，是因式分解，故此选项符合题意；C．不符合因式分解的定义，不是因式分解，故此选项不符合题意；D．不符合因式分解的定义，不是因式分解，故此选项不符合题意；故选：B．2．解：∵选项A提取公因式不彻底，2a2﹣4a＝2a（a﹣2），故A错误；a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，故选项B正确；﹣a2+4＝﹣（a2﹣4）＝﹣（a+2）（a﹣2）≠（a+2）（a﹣2），故选项C错误；a2﹣5a﹣6＝（a﹣6）（a+1）≠（a﹣2）（a﹣3），故选项D错误．故选：B．3．解：x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）＝3×（﹣2）＝﹣6，故选：D．4．解：∵x2+5x+m＝（x+n）2＝x2+2nx+n2，∴2n＝5，m＝n2，解得m＝，n＝，故选：A．5．解：12ab3c+8a3b＝4ab（3b2c+2a2），则4ab是公因式，故选：C．6．解：因为3x﹣9＝3（x﹣3），x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，所以多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（x﹣3）．故选：C．7．解：a2+2ab+b2﹣c2＝10，（a+b）2﹣c2＝10，（a+b+c）（a+b﹣c）＝10，∵a+b+c＝5，∴5（a+b﹣c）＝10，解得a+b﹣c＝2．故选：A．8．解：∵x2+mx+9＝（x﹣3）2，∴x2+mx+9＝x2﹣6x+9，∴m＝﹣6，故选：B．9．解：因为（x+6）（x﹣1）＝x2+5x﹣6，（x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2，由于甲看错了a的值没有看错b的值，所以b＝﹣6，乙看错了b的值而没有看错a的值，所以a＝﹣1，所以多项式x2+ax+b为x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）故选：B．10．解：（x﹣y）3+4（y﹣x）＝（x﹣y）3﹣4（x﹣y）＝（x﹣y）[（x﹣y）2﹣4]＝（x﹣y）（x﹣y+2）（x﹣y﹣2），故将多项式（x﹣y）3+4（y﹣x）进行因式分解，使用的方法有：①提公因式法；②平方差公式法；故选：A．11．解：原式＝（﹣2）99×（﹣2+1）＝（﹣2）99×（﹣1）＝299．故选：B．12．解：A．x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2），此选项不符合题意；B．3x2﹣x+1不能在实数范围内因式分解，此选项符合题意；C．2x2﹣9x﹣1＝2（x﹣）2﹣＝[（x﹣）+][（x﹣）﹣]，此选项不符合题意；D．x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2＝（x﹣2+）（x﹣2﹣），此选项不符合题意；故选：B．13．解：①4x2﹣4xy﹣y2，不能用完全平方公式分解；②﹣1﹣a﹣＝﹣（1+a+）＝﹣（+1）2，可以用完全平方公式分解；③m2n2+4﹣4mn＝（mn﹣2）2，可以用完全平方公式分解；④a2﹣2ab+4b2，不能用完全平方公式分解；⑤x2﹣8x+9，不能用完全平方公式分解；故选：B．14．解：x2﹣3x+2＝x2+（﹣1﹣2）x+（﹣1）×（﹣2）＝（x﹣1）（x﹣2），x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2＝（x+1）（x+2），x2﹣2x﹣3＝x2+（1﹣3）x+1×（﹣3）＝（x+1）（x﹣3），x2+2x+3不能用公式进行分解，故选项D符合题意；故选：D．15．解：A．m2+4n2是平方和，不能进行因式分解，此选项不符合题意；B．原式＝﹣[m2﹣（2n）2]＝﹣（m+2n）（m﹣2n），此选项不符合题意；C．原式＝m2﹣（2n）2＝（m+2n）（m﹣2n），此选项符合题意；D．不能进行因式分解，此选项不符合题意；故选：C．16．解：（1）原式＝2a（a2﹣4a+4）＝2a（a﹣2）2；（2）原式＝a2（x﹣y）﹣4（x﹣y）＝（x﹣y）（a2﹣4）＝（x﹣y）（a+2）（a﹣2）；（3）原式＝（x﹣4）（x+3）．17．解：（1）原式＝﹣y（4x2﹣4xy+y2）＝﹣y（2x﹣y）2（2）原式＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．18．解：（1）原式＝3a（x﹣y）+2b（x﹣y）＝（x﹣y）（3a+2b）；（2）原式＝﹣b（﹣4ab+4b2+a2）＝﹣b（a﹣2b）2．19．解：（1）原式＝[（m+n）﹣2m]2＝（n﹣m）2（2）原式＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1）．（3）原式＝（x+3）（x﹣1）．20．解：原式＝（x2+4x﹣5）（x2+4x+3）＝（x+5）（x﹣1）（x+3）（x+1）．21．解：（1）原式＝xy（9x2﹣y2）＝xy（3x+y）（3x﹣y）；（2）原式＝（a﹣b）（3a+b）2﹣（a+3b）2（a﹣b）＝（a﹣b）[（3a+b）2﹣（a+3b）2]＝（a﹣b）（9a2+6ab+b2﹣a2﹣6ab﹣9b2）＝（a﹣b）（8a2﹣8b2）＝8（a﹣b）（a2﹣b2）＝8（a﹣b）（a﹣b）（a+b）＝8（a﹣b）2（a+b）．22．解：原式＝（a4﹣a2b2）﹣（4a2c2﹣4b2c2）＝a2（a2﹣b2）+4c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2﹣4c2）＝（a+b）（a﹣b）（a+2c）（a﹣2c）．23．解：（1）原式＝（a2+4）（a2﹣4）＝（a2+4）（a+2）（a﹣2）；（2）原式＝﹣m（p2﹣4p+4）＝﹣m（p﹣2）2；（3）原式＝（x﹣3）x2﹣9（x﹣3）＝（x﹣3）（x2﹣9）＝（x﹣3）（x+3）（x﹣3）＝（x ﹣3）2（x+3）；（4）原式＝（m2+2m﹣1）2．24．解：（1）原式＝3（x2﹣4xy+4y2）＝3（x﹣2y）2；（2）原式＝20202﹣（2020﹣1）（2020+1）＝20202﹣（20202﹣1）＝20202﹣20202+1＝1．25．解：∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，∴a＝b，b＝c，∴a＝b＝c，∴三角形ABC是等边三角形．26．解：设另一个因式为（x+p），得2x2+x+k＝（x+p）（2x﹣3），则2x2+x+k＝2x2+（2p﹣3）﹣3p，∴，解得，∴另一个因式为（x+2），k的值为﹣6．27．解：（1）如图所示；（2）由题意可得，m＝6，∴5a2+6ab+b2＝（5a+b）（a+b），故答案为：（5a+b）（a+b）；（3）3张边长为a的正方形纸片的面积是3a2，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片的面积是4ab，5张边长为b的正方形纸片的面积是5b2，∵a2+4ab+4b2＝（a+2b）2，∴拼成的正方形的边长最长可以为（a+2b），故答案为：a+2b．28．解：（1）设另一个因式是（x+b），则（2x﹣5）（x+b）＝2x2+2bx﹣5x﹣5b＝2x2+（2b﹣5）x﹣5b＝2x2+3x﹣k，则，解得：，则另一个因式是：x+4，k＝20．（2）设另一个因式是（3x+m），则（x+a）（3x+m）＝3x2+（m+3a）x+am＝3x2+4ax+1，则，解得，或，另一个因式是3x﹣1或3x+1，故另一个因式是3x+1，a＝1或3x﹣1，a＝﹣1．29．解：（1）①4x2+4x﹣y2+1＝（4x2+4x+1）﹣y2＝（2x+1）2﹣y2＝（2x+y+1）（2x﹣y+1）；②x2﹣6x+8＝x2﹣6x+9﹣1＝（x﹣3）2﹣1＝（x﹣3﹣1）（x﹣3+1）＝（x﹣4）（x﹣2）；③x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）；故答案为：（x﹣2）（x﹣3）；（2）∵a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，∴（a2﹣4a+4）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣6c+9）＝0，∴（a﹣2）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2＝0，∴a＝2，b＝2，c＝3，∴a+b+c＝2+2+3＝7．∴△ABC的周长为7．30．解：（1）x2﹣8x+7＝x2﹣8x+16+7﹣16＝（x﹣4）2﹣9＝（x﹣4）2﹣32＝（x﹣4+3）（x﹣4﹣3）＝（x﹣1）（x﹣7）；（2）x2﹣10xy+9y2＝x2﹣10xy+25y2+9y2﹣25y2＝（x﹣5y）2﹣16y2＝（x﹣5y）2﹣（4y）2＝[（x﹣5y）+4y][（x﹣5y）﹣4y]＝（x﹣y）（x﹣9y）；故答案为：25y2，25y2，4y，4y，4y，9y；（3）方法1：原式＝x2+[13m+（﹣m）]x+13m•（﹣m）＝（x+13m）（x﹣m）；方法二：原式＝x2+12mx+36m2﹣13m2﹣36m2＝（x+6m）2﹣49m2＝（x+6m+7m）（x+6m﹣7m）＝（x+13m）（x﹣m）．31．解：（1）原式＝（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b+1）；（2）原式＝（x2﹣6x+9﹣16）＝（x﹣3）2﹣16＝（x﹣3﹣4）（x﹣3+4）＝（x﹣7）（x+1）．32．解：（1）阅读因式分解的过程可知：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次，故答案为：提公因式法，2；（2）原式＝（1+x）2021，则需应用上述方法2020次，结果是（1+x）2021，故答案为：2020，（1+x）2021；（3）原式＝（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n＝（1+x）[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）n﹣1]＝（1+x）2[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）n﹣2]＝（1+x）n+1．33．解：（1）观察图形可得：大正方形的边长为：a+b+c，该正方形的面积等于3个小正方形的面积加上6个长方形的面积，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，∴62＝14+2（ab+ac+bc），∴ab+ac+bc＝（36﹣14）÷2＝11．（3）由题意得：（2a+b）（a+4b）＝xa2+yab+zb2，∴2a2+8ab+ab+4b2＝xa2+yab+zb2，∴2a2+9ab+4b2＝xa2+yab+zb2，∴x＝2，y＝9，z＝4，∴x+y+z＝2+9+4＝15．故答案为：15．34．解：（1）∵（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣12，∴﹣m＝﹣1，∴m＝1，故答案为：1；（2）设另一个因式为（x2+ax+k），（x+1）（x2+ax+k）＝x3+ax2+kx+x2+ax+k＝x3+（a+1）x2+（a+k）x+k，∴x3+（a+1）x2+（a+k）x+k＝x3+3x2﹣3x+k，∴a+1＝3，a+k＝﹣3，解得a＝2，k＝﹣5；答：k的值为﹣5；（3）多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次多项式的乘积．理由如下：设多项式x4+x2+1能分解成①（x2+1）（x2+ax+b）或②（x2+x+1）（x2+ax+1），①（x2+1）（x2+ax+b）＝x4+ax3+bx2+x2+ax+b＝x4+ax3+（b+1）x2+ax+b，∴a＝0，b+1＝1，b＝1，由b+1＝1得b＝0≠1，②（x2+x+1）（x2+ax+1）＝x4+（a+1）x3+（a+2）x2+（a+1）x+1，∴a+1＝0，a+2＝1，解得a＝﹣1．即x4+x2+1＝（x2+x+1）（x2﹣x+1），∴x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积却不能分解成两个整系数二次二项式与二次三项式的乘积．答：多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积．。
《因式分解》单元测试一、选择题1、下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）A 、 ；B 、； C 、； D 、； 2、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）A 、；B 、；C 、；D 、； 3、多项式的公因式是( )A 、；B 、；C 、；D 、；4、如果是一个完全平方式，那么k 的值是（ ）A 、15 ；B 、±5；C 、30；D 、±30；5、下列多项式能分解因式的是 ( )A 、a 2-b ；B 、a 2+1；C 、a 2+ab+b 2；D 、a 2-4a+4；6、下列各式中不是完全平方式的是( )A 、B 、C 、D 、7、在下列多项式：① ② ③④中，有一个相同因式的多项式是( )A 、①和②B 、①和④C 、①和③D 、②和④8. 如右图①，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，小明将图①的阴影部分拼成了一个矩形，如图①. 这一过程可以验证（ ）A. B.C. D.9、多项式分解因式正确的是( )29)3)(3(x x x -=+-))((23n m n m m mn m -+=-)1)(3()3)(1(+--=-+y y y y z yz z y z z y yz +-=+-)2(224222)(b a -+mn m 2052-22y x --92+-x 3222315520m n m n m n +-5mn 225m n 25m n 25mn 2592++kx x 21664m m -+2242025m mn n ++2224m n mn -+221124964mn m n ++249m -+2294m n -24129m m ++2296m mn n -+a b 222)(2b a ab b a -=-+222)(2b a ab b a +=++))(2(3222b a b a b ab a --=+-))((22b a b a b a -+=-323m n m n x x +++++b a 图○1 ba图○2A 、B 、C 、D 、 10、在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a>b ）.把余下的部分剪拼成一个矩形（如图）.通过计算图形（阴影部分）的面积,验证了一个等式，则这个等式是（ ）A 、B 、C 、D 、 二、填空题1、24m 2n+18n 的公因式是________________；2、分解因式x(2－x)+6(x －2)=_________________；(x 2+y 2)2－4x 2y 2=________________；3、x 2－y 2=（x+y ）·（ ____ ）；4、在括号前面填上“＋”或“－”号，使等式成立：（1）； （2）。
专题27 因式分解最新期中考题特训50道1．因式分解：(1)225x -；(2)244a b ab b -+．2．因式分解(1)324a ab -；(2)()()2x a b b a ---．3．分解因式：(1)249x y y -(2)222416a a +-（）4．因式分解：(1)3222x x y xy -+(2)()()2141m m m -+-5．因式分解：(1)2449x -(2)22242x xy y -+6．因式分解：(1)236x -；(2)2288x y xy y -+．7．因式分解：(1)a 2-4b 2(2)2a 3+12a 2+18a8．因式分解：(1)2464x -(2)244x y xy y -+9．因式分解：(1)323x y x -；(2)22(2)9a b b --．10．因式分解：(1)2249m n -；(2)22396a b ab b -+11．把下列各式分解因式(1)x 2+2xy +y 2(2)5x 3﹣20x12．因式分解(1)296x y xy y ++(2)416a -．13．将下列各式分解因式：(1)2ab a -(2)22363ax axy ay -+-14．因式分解：(1)2269x xy y ++；(2)34m n mn -．15．因式分解：(1)3269x x x -+(2)416a -16．因式分解(1)2288x x -+(2)()()216a x y y x -+-17．因式分解：(1)2416a -；(2)222ax axy ay -+．18．因式分解：(1)（x +3y ）2－x －3y(2)222(4)16a a +-19．分解因式：(1)4x 2－100；(2)2mx 2－4mxy +2my 2．20．把下面各式分解因式：(1)22327x y -(2)()()()22a b a a b a a b +-+++21．因式分解(1)2416x -(2)2288a b ab b -+22．因式分解：(1)3269a a a ++(2)222(4)16x x +-23．分解因式：(1)22352020.a b ab b -+(2)2222(1)(9)x x +--24．因式分解：(1)228x -(2)3222x x y xy -+25．分解因式：(1)2116a -(2)32232xy x y x y -+26．把下列各式分解因式：（1）2218a -（2）2484a a -+27．因式分解：(1)29x -(2)2242x y xy y -+28．因式分解(1)2416m -(2)2232x y xy y -+29．因式分解：(1)()24a b +-(2)22369ab a b b --(1)224x x -；(2)212123a a -+．31．分解因式：(1)241x -；(2)3244m m m -+．32．因式分解：(1)a 2－9；(2)2x 2－12x ＋1833．把下列各式因式分解(1)228a -(2)()()24129a b a b +-++34．把下列各式分解因式：(1)a 3﹣a(2)16x 2y 2﹣（x 2+4y 2）235．分解因式：(1)2a （x ﹣y ）+b （y ﹣x ）；(2)（x 2 +1）2﹣4x 2．36．因式分解：(1)2232x -(2)3223242x y x y xy ++37．因式分解：(1)2a 2﹣2(2)2441x x ++38．分解因式：(1)2363ab ab a -+(2)22()8()a a b a b ---39．分解因式：(1)321025a a a ++(2)()()126t t ++-(1))()(2x y y x x -+-(2)223242x y xy y -+．41．把下列各式因式分解：(1)228x -；(2)2(2)8(2)16a a +-++．42．把下列各式因式分解：(1)2288a a -+；(2)22()()a x y b x y ---．43．因式分解：(1)()()3a x y y x -+-(2)()222416x x +- 44．因式分解：(1)11824n n x x +-；(2)4224-1881x x y y +45．因式分解：(1)mx 2﹣my 2；(2)2x 2－8x +8．46．分解因式：(1)2x 2﹣4xy +2y 2(2)m 2（m ﹣n ）+（n ﹣m ）47．因式分解(1)24ab a -(2)4224816x x y y -+48．因式分解(1)21025m m -＋(2)22222(4)16x y x y +-49．因式分解：(1)4x 2-64(2)2x 3y +4x 2y 2+2xy 3(1)2a a++；441 (2)2x-．416专题27 因式分解最新期中考题特训50道1．因式分解：(1)225x -；(2)244a b ab b -+． 【答案】(1)()()55+-x x(2)()22b a -【分析】（1）根据平方差公式因式分解即可求解；（2）先提公因式b ，然后根据完全平方公式因式分解即可求解．（1）解：原式＝()()55+-x x ；（2）解：原式＝()244b a a -+ ()22b a =-． 【点评】本题考查了公式法和提公因式法进行因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．2．因式分解(1)324a ab -；(2)()()2x a b b a ---．【答案】(1)()()22a a b a b +-(2)()()21a b x -+【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可；（2）先将原式变形，再提公因式分解因式即可．（1）解：324a ab -()224a a b =-()()22a a b a b =+-．（2）解：()()2x a b b a ---()()2x a b a b =-+-()()21a b x =-+．【点评】本题考差了多项式分解因式，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解答本题的关键．3．分解因式：(1)249x y y -(2)222416a a +-（） 【答案】(1)(23)(23)y x x +-(2)()()2222a a +-【分析】（1）先提公因式y ，再利用平方差公式即可直接分解；（2）首先利用平方差公式因式分解，然后再利用完全平方公式因式分解即可；（1） 249x y y - =2(49)y x -=(23)(23)y x x +-（2）222416a a +-（）=()()224444a a a a ⎡⎤⎡⎤+++-⎣⎦⎣⎦=()()224444a a a a ++-+=()()2222a a +-【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．4．因式分解：(1)3222x x y xy -+(2)()()2141m m m -+- 【答案】(1)()2x x y -(2)()()()221m m m +--【分析】（1）直接提取公因式x ，再利用完全平方公式分解因式得出答案（2）直接提取公因式(1)m -，再利用平方差公式分解因式得出答案（1）解：原式22(2)x x xy y =-+2()x x y =-；（2）解：原式2(1)(4)m m =--(1)(2)(2)m m m =-+-．【点评】本题主要考查了提取公因式以及公式法分解因式，掌握平方差公式和完全平方公式是关键．5．因式分解：(1)2449x -(2)22242x xy y -+ 【答案】(1)()()2727x x +-(2)()22x y -【分析】（1）根据平方差公式分解因式即可；（2）先提公因式，然后根据完全平方公式分解因式即可．（1）解：2449x - ()2227x =-()()2727x x =+-． （2）解：22242x xy y -+()2222x xy y =-+()22x y =-．【点评】本题主要考查了因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式，是解题的关键．6．因式分解：(1)236x -；(2)2288x y xy y -+．【答案】(1)（x −6）（x ＋6）(2)2y （x −2）2【分析】（1）利用平方差公式即可因式分解；（2）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可．（1）解：x 2−36；＝（x −6）（x ＋6）（2）解：2x 2y −8xy ＋8y＝2y （x 2−4x ＋4）＝2y （x −2）2【点评】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题关键． 7．因式分解：(1)a 2-4b 2(2)2a 3+12a 2+18a【答案】(1)(a +2b )(a -2b )(2)22(3)a a +【分析】（1）利用平方差公式，进行因式分解；（2）利用提公因式和完全平方公式，进行因式分解．（1）解：原式=(2)(2)a b a b +-；（2）解：原式=22(69)a a a ++=22(3)a a +．【点评】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方差公式．8．因式分解：(1)2464x -(2)244x y xy y -+【答案】(1)()()444x x +-(2)()22y x -【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式继续分解；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解．（1）解：原式()()()2416444x x x =-=+-；（2）解：原式()()22442y x x y x =-+=-． 【点评】本题考查了因式分解，在因式分解时，能提公因式的要先提取公因式，再考虑用公式法继续分解，在因式分解时注意要分解彻底．9．因式分解：(1)323x y x -；(2)22(2)9a b b --． 【答案】(1)()()311x y y -+(2)()()42a b a b +-【分析】（1）先提公因式，然后再用平方差公式分解因式；（2）先用平方差公式分解因式，再提公因式即可．（1）解：323x y x -()321x y =-()()311x y y =-+（2）解：22(2)9a b b --()()2323a b b a b b =-+--()()2224a b a b =+-()()42a b a b =+-【点评】本题主要考查了因式分解，熟练掌握平方差公式()()22a b a b a b -=+-，是解题的关键．10．因式分解：(1)2249m n -；(2)22396a b ab b -+ 【答案】(1)(23)(23)m n m n +-(2)2(3)b a b -【分析】（1）直接运用平方差公式因式分解即可；（2）先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可．（1）解：原式22(2)(3)m n =-(23)(23)m n m n =+-（2）原式()2296b a ab b =-+2(3)b a b =-．【点评】题目主要考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式法及公式法分解因式是解题关键．11．把下列各式分解因式(1)x 2+2xy +y 2(2)5x 3﹣20x【答案】(1)（x +y ）2(2)5x （x +2）（x ﹣2）【分析】（1）直接运用公式法进行分解即可；（2）综合提公因式法和公式法进行分解即可．（1）原式()2x y =+（2）原式()()()254252x x x x x +-=-= 【点评】本题考查因式分解，掌握因式分解的常用方法，熟练运用基本公式是解题关键．12．因式分解(1)296x y xy y ++(2)416a -．【答案】(1)y （3x ＋1）2(2)（a 2＋4）（a ＋2）（a －2）【分析】（1）先提公因式y ，再按照完全平方公式分解因式即可；（2）直接利用平方差公式分解因式即可．（1）解：9x 2y ＋6xy ＋y＝y （9x 2＋6x ＋1）＝y （3x ＋1）2（2）a 4－16＝（a 2＋4）（a 2－4）＝（a 2＋4）（a ＋2）（a －2）【点评】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，掌握“利用完全平方公式与平方差公式分解因式”是解本题的关键．13．将下列各式分解因式：(1)2ab a -(2)22363ax axy ay -+-【答案】(1)(1)(1)a b b +-(2)﹣3a （x ﹣y ）2【分析】（1）原式先提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（1）原式＝21a b -（）＝(1)(1)a b b +-；（2）原式＝﹣3a （x 2﹣2xy +y 2）＝﹣3a （x ﹣y ）2；【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．因式分解：(1)2269x xy y ++；(2)34m n mn -．【答案】(1)()23x y +(2)()()22mn m m +-【分析】（1）直接根据完全平方公式因式分解即可求解；（2）先提公因式mn ，然后根据平方差公式因式分解即可求解．（1）解：原式＝()23x y +；（2）解：原式＝()24mn m - ()()22mn m m =+-．【点评】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．15．因式分解：(1)3269x x x -+(2)416a - 【答案】(1)()23x x -(2)()()()2422a a a ++- 【分析】（1）先提出公因式，再利用完全平方公式分解，即可求解；（2）利用平方差公式分解，即可求解．（1）解∶ 3269x x x -+()269x x x =-+()23x x =-； （2）解∶ 416a -()()2244a a =+-()()()2422a a a =++-.【点评】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法是解题的关键．16．因式分解(1)2288x x -+(2)()()216a x y y x -+- 【答案】(1)()222x -(2)()()()44x y a a -+-【分析】（1）先提公因数，再利用完全平方公式分解因式；（2）先提公因式，再利用平方差公式分解．（1）解：原式=2（x 2-4x +4）=2（x -2）2；（2）解：原式=（x -y ）（a 2-16）=()()()44x y a a -+-【点评】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的各种方法并灵活运用是解题关键．17．因式分解：(1)2416a -；(2)222ax axy ay -+．【答案】(1)()()422a a +-(2)()2a x y -【分析】（1）用平方差公式进行因式分解；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解．（1）解：原式()()()244422a a a =-=+-； （2）解：原式()()2222a x xy y a x y =-+=-． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法是解题的关键．18．因式分解：(1)（x +3y ）2－x －3y(2)222(4)16a a +-【答案】(1)（x +3y ）（x +3y －1）；(2)22(2)(2)a a -+【分析】（1）用提取公因式进行因式分解．（2）先用平方差公式进行因式分解，后用完全平方公式进行因式分．（1）（x +3y ）2－x －3y＝（x +3y ）2－（x ＋3y ）＝（x +3y ）（x +3y －1）（2）222(4)16a a +－=()()224444a a a a -+++=22(2)(2)a a -+【点评】此题考查了因式分解，解题关键是会用提取公式法和公式法进行因式分解．19．分解因式：(1)4x 2－100；(2)2mx 2－4mxy +2my 2．【答案】(1)()()455x x +-(2)()22m x y -【分析】（1）先提取公因式4，然后再运用平方差公式因式分解即可；（2）先提取公因式2m ，然后再运用完全平方公式因式分解即可．（1）解：4x 2－100=4（x 2－25）=()()455x x +-．（2）解：2mx 2－4mxy +2my 2=2m （x 2－2xy +y 2）=()22m x y -．【点评】本题主要考查了因式分解，掌握运用提取公因式法和公式法成为解答本题的关键．20．把下面各式分解因式：(1)22327x y -(2)()()()22a b a a b a a b +-+++ 【答案】(1)3(3)(3)x y x y +-；(2)2()(1)a b a +-【分析】（1）先提取公因式，再套用平方差公式；（2）先提取公因式，再套用完全平方公式．【解答】（1）解：原式=2239x y=3(3)(3)x y x y +-；（2）解：原式=212ab a a=2()(1)a b a +-．【点评】本题考查了整式的因式分解，即把一个多项式化成几个整式积的形式；掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．21．因式分解(1)2416x -(2)2288a b ab b -+【答案】(1)()()422x x +-(2)()222b a -【分析】（1）先提取公因式，再运用平方差公式进行分解即可；（2）先提取公因式，再运用完全平方差公式进行分解即可．（1）解：2416x -()244x =- ()()422x x =+-（2）2288a b ab b -+()2244b a a =-+()222b a =-．【点评】本题考查因式分解，解题关键是掌握因式分解的方法与步骤．22．因式分解：(1)3269a a a ++(2)222(4)16x x +- 【答案】(1)2(3)a a +(2)22(2)(2)x x +-【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．（1）3269x x x ++ 2(69)x x x =++2(3)x x =+；（2）222(4)16x x +-22(44)(44)x x x x =+++-22(2)(2)x x =+-．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．23．分解因式：(1)22352020.a b ab b -+(2)2222(1)(9)x x +--【答案】(1)5b (a －2b )2(2)20(x -2)(x +2)【分析】(1)先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；(2)先利用平方差公式，再提公因式，最后再利用平方差公式继续分解即可解答．（1）解：原式 =5b (a 2－4ab +4b 2)=5b (a －2b )2（2）原式＝(x 2+1-x 2+9)(x 2+1+x 2-9)=10×(2x 2-8)=20(x 2-4)=20(x -2)(x +2)【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．24．因式分解：(1)228x -(2)3222x x y xy -+ 【答案】(1)2(2)(2)x x +-(2)2()x x y -【分析】（1）先提取公因数2，然后再运用平方差公式分解即可；（2）先提取公因式x ，然后再运用完全平方公式分解即可．（1）解：228x -=()224x - =()()222x x +-．（2）解：3222x x y xy -+=()222x x xy y -+=()2x x y -．【点评】本题主要考查了因式分解，综合运用提取公因式法和公式法是解答本题的关键．25．分解因式：(1)2116a -(2)32232xy x y x y -+【答案】(1)()()1414a a +-(2)()xy y x -2【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式得出答案；（2）直接提取公因式xy ，再利用完全平方公式分解因式即可．（1）解：2116a -=（1-4a ）（1+4a ）；（2）解：32232xy x y x y -+=xy （y 2-2xy +x 2）=xy （y -x ）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．26．把下列各式分解因式：（1）2218a -（2）2484a a -+ 【答案】（1）2(3)(3)a a +-；（2）24(1)a -【分析】（1）先提取公因式2，再利用平方差公式分解因式即可得；（2）先提取公因式4，再利用完全平方公式分解因式即可得．【解答】解：（1）原式22(9)a =-2(3)(3)a a =+-；（2）原式24(21)a a =-+24(1)a =-．【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题关键．27．因式分解：(1)29x -(2)2242x y xy y -+【答案】(1)()()33x x +-(2)()221y x -【分析】（1）用平方差公式分解因式即可；（2）先提公因式，然后再用公式法分解因式即可．（1）解：29x -223x =-()()33x x =+-；（2）2242x y xy y -+()2221y x x =-+()221y x =-.【点评】本题主要考查了因式分解，熟练掌握平方差公式()()22a b a b a b +-=-和完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+是解题的关键．28．因式分解(1)2416m -(2)2232x y xy y -+ 【答案】(1)4(2)(2)m m +-(2)2()y x y -【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．（1）()224(2)(241644)m m m m -=-=+-（2）()22322222()y x y xy y x xy y y x y -+--=+= 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．29．因式分解：(1)()24a b +-(2)22369ab a b b --【答案】(1)(2)(2)a b a b +++-(2)2(3)b a b --【分析】（1）将()a b +作为整体，利用平方差公式分解即可；（2）原式先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．（1）解：原式(2)(2)a b a b =+++-（2）解：原式22(69)b ab a b =--2(3)b a b =--【点评】本题主要考查了提公因式法与公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．30．因式分解：(1)224x x -；(2)212123a a -+． 【答案】(1)()22x x -(2)()2321a -【分析】（1）运用提公因式法因式分解即可求解；（2）先运用提公因式法，再运用公式法分解因式即可．（1）解：()22422x x x x -=- （2）解：()()222121233441321a a a a a -+=-+=- 【点评】本题考查整式的因式分解，熟练运用提公因式法和公式法分解因式是解本题的关键．31．分解因式：(1)241x -；(2)3244m m m -+．【答案】(1)（2x ＋1）（2x ﹣1）(2)2(2)m m -【分析】（1）利用平方差公式，分解即可解答；（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．（1）解：原式＝(21)(21)x x +-（2）解：原式＝ 2(44)m m m -+=2(2)m m -【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．32．因式分解：(1)a 2－9；(2)2x 2－12x ＋18 【答案】（1）(3)(3)a a +-；（2）22(3)x -【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解即可；（2）综合利用提取公因式法和完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：（1）原式223a =-(3)(3)a a =+-；（2）原式22(69)x x =-+22(3)x =-．【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题的关键．33．把下列各式因式分解(1)228a -(2)()()24129a b a b +-++ 【答案】(1)()()222a a +-(2)()2223a b +-【分析】（1）先提公因式2，再用平方差公式分解；（2）将2()a b +看成一个整体，利用完全平方公式直接分解．(1)解：228a - ()224a =-()()222a a =+-；(2)()()24129a b a b +-++ ()()22129a b a b ⎡⎤=+-++⎣⎦()223a b ⎡⎤=+-⎣⎦=()2223a b +-.【点评】本题考查因式分解，注意因式分解的步骤为先提公因式，再用公式法，灵活运用平方差公式和完全平方公式是解题的关键．34．把下列各式分解因式：(1)a 3﹣a(2)16x 2y 2﹣（x 2+4y 2）2 【答案】(1)()()11a a a +-(2)()()2222x y x y -+-【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式即可进行因式分解；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式即可求解．(1)原式=()21a a - =()()11a a a +-;(2)原式=()()222244xy x y -+ =()()22224444xy x y xy x y ++-- =()()2222x y x y -+-．【点评】本题考查了分解因式，解题关键是掌握提公因式法和公式法分解因式．35．分解因式：(1)2a （x ﹣y ）+b （y ﹣x ）；(2)（x 2 +1）2﹣4x 2．【答案】(1)(2a -b )(x -y )(2)(x +1)2(x -1)2【分析】（1）原式变形后，提取公因式即可得到结果；（2）原式利用平方差公式和完全平方公式分解即可．(1)2a （x ﹣y ）+b （y ﹣x ）=2a （x ﹣y ）-b （x ﹣y ）=(2a -b )(x -y )(2)（x 2 +1）2﹣4x 2=22(21)(21)x x x x ++-+=(x +1)2(x -1)2【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．36．因式分解：(1)2232x -(2)3223242x y x y xy ++ 【答案】(1)()()244x x +-(2)()22xy x y +【分析】（1）先提取公因式2，然后利用平方差公式继续进行因式分解；（2）先提取公因式2xy ，然后利用完全平方公式继续进行因式分解． (1)2232x - =22(16)x -=()()244x x +-；(2)3223242x y x y xy ++=222(2)xy x xy y ++=()22xy x y +【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．37．因式分解：(1)2a 2﹣2(2)2441x x ++【答案】(1)2（a +1）（a -1）(2)2(21)x +【分析】（1）先提公因式2，再利用平方差公式因式分解即可；（2）利用完全平方公式因式分解即可；(1)解：2a 2﹣2=2（a 2﹣1）=2（a +1）（a -1）．(2)解：2441x x ++=2(21)x +．【点评】本题主要考查利用提公因式法和公式法进行因式分解，掌握因式分解的方法是解本题的关键．38．分解因式：(1)2363ab ab a -+(2)22()8()a a b a b --- 【答案】(1)23(1)a b -(2)2()(2)(2)a b a a -+-【分析】（1）先提公因式，再用完全平方公式，分解即可；（2）先提公因式，再用平方差公式，分解即可．(1)解：3ab 2−6ab +3a=3a ·b 2-3a ·2b +3a ·1=3a （b 2-2b +1）=3a (b −1)2；(2)2a 2(a −b )−8(a −b )=2(a −b ) (a 2−4)=2(a −b ) (a 2−22)=2(a −b ) (a +2) (a −2)．【点评】此题考查了因式分解的提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．39．分解因式：(1)321025a a a ++(2)()()126t t ++-【答案】(1)2(5)a a +(2)(4)(1)t t +-【分析】（1）原式提取公因式后，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式整理后，再利用十字相乘法分解即可．(1)解：32221025(1025)(5)a a a a a a a a ++=++=+．(2)解：()()2212632634(4)(1)t t t t t t t t ++-=++-=+-=+-．【点评】本题考查了提取公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．40．分解因式：(1))()(2x y y x x -+-(2)223242x y xy y -+． 【答案】(1)()()1(1)x y x x -+-(2)()22y x y -【分析】（1）先提取公因式x-y ，然后利用平方差公式进行分解；（2）先提取公因式2y ，然后利用完全平方公式分解因式即可．【解答】（1）解：原式=2()(1)x y x --=()()1(1)x y x x -+-（2）原式=()2222y x xy y -+ =()22y x y -【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．41．把下列各式因式分解：(1)228x -；(2)2(2)8(2)16a a +-++．【答案】(1)2(2)(2)x x +-；(2)2(2)a -．【分析】（1）根据提公因式法和平方差公式分解因式即可；（2）将(2)a +看成一个整体，利用完全平方公式分解因式即可．(1)解：228x -，＝22(4)x -，＝2(2)(2)x x +-；(2)解：2(2)8(2)16a a +-++，2(24)a =+-，2=(2)a - ，【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法和平方差公式，完全平方公式分解因式．42．把下列各式因式分解：(1)2288a a -+；(2)22()()a x y b x y ---． 【答案】(1)()222a -(2)()()()x y a b a b -+-【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可．(1)解：2288a a -+()2244a a =-+()222a =-； (2)解：()()22a x y b x y ---()()22x y a b =--()()()x y a b a b =-+-．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．43．因式分解：(1)()()3a x y y x -+-(2)()222416x x +-【答案】(1)()()3x y a --(2)()()2222x x +-【分析】（1）根据提公因式法因式分解，提取()x y -，即可求解；（2）根据平方差公式和完全平方公式求解即可．(1)解：原式＝()()3a x y y x -+- =()()3x y a --(2)解：原式＝()()224444x x x x +++-()()2222x x =+-【点评】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．44．因式分解：(1)11824n n x x +-；(2)4224-1881x x y y + 【答案】(1)()634n x x - (2)()()2233x y x y +-【分析】（1）提公因式分解因式即可；（2）先用完全平方公式因式分解，再用平方差公式分解因式即可．(1)解：18xn +1−24xn=6xn ·3x −6xn ·4= 6xn (3x −4)；(2)x 4-18x 2y 2+81y 4=(x 2−9y 2)2=(x +3y )2(x −3y )2．【点评】本题考查了多项式的因式分解，解题的关键是熟练掌握多项式的因式分解的方法：提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、分组分解法、十字相乘法，并根据多项式的特征灵活选取不同的方法，还要注意一定要分解彻底．45．因式分解：(1)mx 2﹣my 2；(2)2x 2－8x +8． 【答案】(1)m （x +y ）（x ﹣y ）(2)2（x ﹣2）2【分析】（1）先提取公因式，再由平方差公式分解因式即可；（2）先提取公因式，再由完全平方公式分解因式即可；(1)解：mx 2﹣my 2=m （x 2﹣y 2）=m （x +y ）（x ﹣y ）；(2)解：2x 2－8x +8=2（x 2－4x +4）=2（x ﹣2）2.【点评】本题考查了提取公因式法和公式法分解因式，掌握平方差公式()()22a b a b a b -=+-和完全平方公式()2222a b a b ab ±=+±是解题关键．46．分解因式：(1)2x 2﹣4xy +2y 2(2)m 2（m ﹣n ）+（n ﹣m ）【答案】(1)2（x ﹣y ）2(2)（m ﹣n ）（m +1）（m ﹣1）【分析】（1）先提取公因数2，再利用完全平方公式继续分解即可；（2）先提取公因式()m n -，再利用平方差公式继续分解即可．（1）解：原式=()2222x xy y -+ =()22x y -；（2）解：原式=()()21m n m -- =()()()11m n m m -+-．【点评】本题考查了提公因式法与公式法因式分解的综合应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．47．因式分解(1)24ab a -(2)4224816x x y y -+ 【答案】(1)()2(2a b b +-）(2)22(2)(2)x y x y +-【分析】（1）先提取公因式a ，再用平方差公式分解；（2）先用完全平方公式分解，再用平方差公式分解．(1)解：原式=a (b 2-4)= ()2(2a b b +-）；(2)解：原式=(x 2-4y 2)2= 22(2)(2)x y x y +-．【点评】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．48．因式分解(1)21025m m -＋(2)22222(4)16x y x y +- 【答案】(1)()25m -(2)22(2)(2)x y x y +-【分析】(1)利用完全平方公式即可分解；(2) 利用完全平方公式和平方差公式即可分解．（1）解：()2210255m m m =--＋（2）解：22222(4)16x y x y +-2222(4)()444x y x x xy y y =+++-22(2)(2)x y x y =+- 【点评】本题考查了利用完全平方公式和平方差公式分解因式，熟练掌握和运用因式分解的方法是解决本题的关键．49．因式分解：(1)4x 2-64(2)2x 3y +4x 2y 2+2xy 3 【答案】(1)4(4)(4)x x -+；(2)22()xy x y +【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解，即可解答；（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答．(1)解：4x 2-64＝4（x 2-16）＝4（x +4）（x －4）(2)解：2x 3y +4x 2y 2+2xy 3＝222(2)xy x xy y ++＝22()xy x y +【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．50．因式分解： (1)2441a a ++；(2)2416x -．【答案】(1)2(21)a +(2)4(2)(2)x x +-【分析】（1）根据完全平方公式因式分解即可；（2）先提取公因数4，再根据平方差公式因式分解即可．(1)解：222441(2)221(21)a a a a a ++=+⨯+=+(2)解：2224164(2)4(2)(2)x x x x -=-=+-．【点评】本题考查了因式分解，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．。
因式分解培优题（超全面、详细分类）因式分解专题培优把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：因式分解的一般方法及考虑顺序：1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法．2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法．3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法．一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2－b2=(a+b)(a－b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)；(4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)；(7)a n－b n=(a－b)(a n－1+a n－2b+a n－3b2+?+ab n－2+b n－1)，其中n为正整数；(8)a n－b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－?+ab n－2－b n－1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－?－ab n－2+b n－1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例题1分解因式：(1)－2x5n－1y n+4x3n－1y n+2－2x n－1y n+4；(2)x3－8y3－z3－6xyz；(3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab；(4)a7－a5b2+a2b5－b7．例题2例题3分解因式：a3+b3+c3－3abc．分解因式：x15+x14+x13+?+x2+x+1．对应练习题分解因式：(1)x2n x n1y21；94 (2)x10+x5－2422332232(3)x 2xy4xy 4xy y(4x y)(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2－x52222(5)9(a-b)+12(a-b)+4(a+b)(6)(a-b)2-4(a-b-1)（7）(x+y)3+2xy(1－x－y)－1二、分组分解法（一）分组后能直接提公因式例题1分解因式：am an bm bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系.此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提.例题2分解因式：2ax 10ay 5by bx对应练习题分解因式：1、a2ab ac bc2、xy x y1（二）分组后能直接运用公式例题3分解因式：x2y2ax ay例题4分解因式：a22ab b2c2对应练习题分解因式：3、x2x 9y23y4、x2y2z22yz综合练习题分解因式：（1）x 3x 2y xy 2 y 3 （2）ax 2 bx 2 bx ax a b（3）x 26xy 9y 2 16a 2 8a 1（4）a 26ab 12b9b 24a（5）a 42a 3 a 2 9 （6）4a 2x 4a 2y b 2x b 2y（7）x 22xy xz yz y 2（8）a 22a b 22b2ab1（9）y(y2) (m 1)(m 1) （10）(a c)(a c) b(b 2a)（11）a 2(bc) b 2(a c) c 2(ab) 2abc（12）a 4 2a 3b 3a 2b 2 2ab 3 b 4.（13）(axby)2 (ay bx)2 （14）xyz(x 3 y 3 z 3) y 3z 3 z 3x 3 x 3y 3 （15）x 4xa2a3 22（）x3x(a2)x2a16（17）(x1)3 (x 3)3 4(3x 5)三、十字相乘法1、十字相乘法（一）二次项系数为 1的二次三项式直接利用公式——x 2 (pq)xpq (x p)(x q)进行分解.特点：（1）二次项系数是1；（ 2）常数项是两个数的乘积；（ 3）一次项系数是常数项的两因数的和. 例题1分解因式： x 25x 6例题2分解因式： x 27x 6对应练习题分解因式：14x 24(2)a 215a 36(3)x 24x 5(4)x 2x 2(5)y 22y 15(6)x 210x 24（二）二次项系数不为 1的二次三项式—— ax 2 bx c 条件：（1）aa 1a 2a 1 c 1 （2）cc 1c 2a 2 c 2 （3）ba 1c 2a 2c 1ba 1c 2a 2c 1分解结果：ax2bxc=(a 1xc 1)(a 2xc 2)例题3分解因式：3x 211x10（1）5x 27x 6（2）3x27x2（3）10 x217 x32（）6y11y104（三）二次项系数为1的齐次多项式例题4分解因式：a28ab128b2分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解.18b1－16b8b+(－16b)=－8b对应练习题分解因式：(1)x23xy 2y2(2)m26mn 8n2(3)a2ab6b2（四）二次项系数不为1的齐次多项式例题5分解因式：2x27xy6y2例题6分解因式：x2y23xy2对应练习题分解因式：（1）27xy4y2（）2215xax6ax82（1）8x67x31（2）12x211xy15y2（3）(x y)23(x y) 10（4）(a b)24a 4b3（5）x2y25x2y 6x2（6）m24mn 4n23m 6n2（7）x24xy 4y22x 4y 3（8）5(a b)223(a2b2) 10(a b)2（9）4x24xy 6x 3y y210（10）12(x y)211(x2y2) 2(x y)2思考：分解因式：abcx2(a2b2c2)x abc2、双十字相乘法定义：双十字相乘法用于对Ax2Bxy Cy2Dx Ey F型多项式的分解因式.条件：（1）A a1a2，C c1c2，F f1f2（2）a1c2a2c1B，c1f2c2f1E，a1f2a2f1D即：a1c1f1a2c2f2a1c2a2c1B，c1f2c2f1E，a1f2a2f1D则Ax2BxyCy2Dx Ey F(a1x c1y f1)(a2x c2y f2)例题7分解因式：（1）x23xy10y2x9y2（2）x2xy6y2x13y6解：（1）x23xy10y2x9y2应用双十字相乘法：x5y2x2y12xy5xy3xy，5y4y9y，x2x x∴原式=(x5y2)(x2y1)（2）x2xy6y2x13y6应用双十字相乘法：x2y3x3y23xy2xy xy，4y9y13y，2x3x x∴原式=(x2y3)(x3y2)对应练习题分解因式：（1）x2xy 2y2x 7y 6（2）6x27xy 3y2xz 7yz 2z23、十字相乘法进阶例题8分解因式：y(y 1)(x21) x(2y22y1)例题9分解因式：ab(x2y2) (a2b2)(xy 1) (a2b2)(x y)四、主元法例题分解因式：x23xy 10y2x 9y2对应练习题分解因式：(1)x2xy 6y2x 13y 6(2)x2xy 2y2x 7y6 (3)6x27xy 3y2x 7y 2(4)a2ab 6b25a 35b 36五、换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例题1分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)－12．例题2分解因式：(x24x 8)23x(x24x 8) 2x2例题3分解因式：(x 1)(x 1)(x 3)(x 5)9分析：型如abcd e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘.例题4分解因式：(x27x 6)(x2x 6)56.例题5分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)－90．例题62222分解因式：4(3x x1)(x2x3)(4xx4)提示:可设3x2x1A,x22x3B，则4x2x4AB.例题7分解因式：x628x327例题8分解因式：(a b)4(a b)4(a2b2)2例题9分解因式：(y 1)4(y 3)4272例题9对应练习分解因式：a444(a4)4例题10分解因式：(x2+xy+y2)2－4xy(x2+y2)．分析：本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．例题11分解因式：2x4x36x2x2分析：此多项式的特点——是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”.这种多项式属于“等距离多项式”．方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法.例题11对应练习43－36x2－7x+6．分解因式：6x+7x例题11对应练习分解因式：x44x3x24x1对应练习题分解因式：（1）x4+7x3+14x2+7x+1（2）x42x3x2 1 2(x x2)（3）2005x2(200521)x2005（4）(x1)(x 2)(x 3)(x 6)x2（5）(x1)(x3)(x5)(x7)15（6）(a1)(a2)(a3)(a4)24（7）(2a 5)(a29)(2a 7) 91（8）(x+3)(x2－1)(x+5)－20（9）(a21)2(a25)24(a23)2（10）(2x2－3x+1)2－22x2+33x－1（11）(a 2b c)3(a b)3(b c)3（12）xy(xy1)(xy3)2(xy12)(x y1)2（13）(a b 2ab)(a b 2) (1 ab)2六、添项、拆项、配方法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．说明用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例题1分解因式：x 3－9x+8．例题2分解因式：(1)x 9+x 6+x 3－3；(2)(m 2－1)(n 2－1)+4mn ； (3)(x+1)4+(x 2－1)2+(x －1)4；(4)a 3b －ab 3+a 2+b 2+1．对应练习题分解因式：（1）x 3 3x 2 4（2）x 22(a b)x 3a 2 10ab 3b 2（3）x 4 7x 2 1（4）x 4x 21a 2（5）4442 22 2 2 2 444xy(xy)（）2ab2ac2bcab c6（7）x 3+3x 2－4（8）x 4－11x 2y 2+y 2（9）x 3+9x 2+26x+24 （10）x 4－12x+323 （11）x 4＋x 2＋1；（12）x 3－11x ＋20；（13）a 5＋a ＋1(14)x 2y 24x6y5(15)(1a 2)(14ab七、待定系数法例题1分解因式：x2xy 6y2x 13y6分析：原式的前3项x2xy6y2可以分为(x3y)(x2y)，则原多项式必定可分为(x3y m)(x2y n)对应练习题分解因式：（1）6x27xy 3y2x 7y 2（2）2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20（3）x23xy 10y2x 9y 2（4）x23xy 2y25x 7y6例题2（1）当m为何值时，多项式x2y2mx5y6能分解因式，并分解此多项式.（2）如果x3ax2bx8有两个因式为x1和x2，求a b的值.（3）已知：x22xy3y26x14y p能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式.（4）k为何值时，x22xy ky23x5y2能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式.八、余式定理（试根法）1、f x 的意义：已知多项式fx ，若把x 用c 带入所得到的值，即称为 fx 在x =c 的多项式值，用 fc 表示.2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式fx 除以gx 所得的商式为 qx ，余式为rx ，则：fx =gx ×qx +rxb3、余式定理：多项式 f (x)除以x b 之余式为 f(b)；多项式f(x)除以axb 之余式f( ).a例如：当 f(x)=x 2+x+2除以 (x –1)时，则余数=f(1)=12+1+2=4.当f(x)9x26x 7除以 (3x1)时，则余数=f(1)9( 1)2 6(1)78.3334 a,bR ， a0， f(x) 为关于x 的多项式，则 xb为f(x)的因式、因式定理：设f(b)0；axb 为f(x)的因式f(b 0.)a整系数一次因式检验法：设f(x)＝c n x n c n 1x n1c 1xc 0 为整系数多项式，若ax –b 为f(x)之因式(其中a,b 为整数,a 0,且a,b 互质)，则（1）ac n ,bc 0（2）(a –b)f(1), (a b)f( 1)例题1设f(x)3x 32x 2 19x 6，试问下列何者是f(x)的因式？(1)2x –1，(2)x –2，(3)3x –1，(4)4x ＋1，(5)x –1，(6)3x –4 例题2把下列多项式分解因式：(1) x 35x4(2) x 34x 2x 6(3) 3x 35x 2 4x 2（4）x 4 9x 3 25x 227x10（5）x 45x 3 1x 2 1x 16223课后作业分解因式：（1）x4＋4（2）4x3－31x＋15（3）3x3－7x＋10（4）x3－41x＋30（5）x3＋4x2－9（6）x3＋5x2－18（7）x3＋6x2＋11x＋6（8）x3－3x2＋3x＋7（9）x3－11x2＋31x－21（10）x4＋1987x2＋1986x＋1987（11）x41998x21999x1998（12）x41996x21995x1996（13）x3＋3x2y＋3xy2＋2y33223（1412）x－9ax＋27ax－26a（15）4(x5)(x6)(x10)(x12)3x2（16）(x26x8)(x214x48)12（17）(x2x4)28x(x2x4)15x2（18）2(x26x1)25(x26x1)(x21)2(x21)2（19）x4＋x2y2＋y44224（20）x－23xy＋y（21）a3＋b3＋3(a2＋b2)＋3(a＋b)＋2（22）a3b312ab64（23）a3bab3a2b21.（24）（ab)2(ab1)1（25）x42(a2b2)x2(a2b2)2（26）(aybx)3(axby)3(a3b3)(x3y3)（27）x619x3y3216y6（28）x2y－y2z＋z2x－x2z＋y2x＋z2y－2xyz（29）3x510x48x33x210x8因式分解的应用1、证明：四个连续整数的的乘积加 1是整数的平方.2、2n －1 和2n+1表示两个连续的奇数(n 是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被 8整除．3、已知2 481可以被 60与70之间的两个整数整除，求这两个整数.24可被40 至50之间的两个整数整除，求这两个整数.4、已知7－15、求证： 817279 913能被45整除.66、求证：14+1能被197整除．7、设4x －y 为3的倍数，求证： 4x 2+7xy －2y 2能被9整除．8、已知x 2 xy 2y 2=7，求整数x 、y 的值．9、求方程6xy4x9y 7 0的整数解.10、求方程xy －x －y ＋1=3的整数解．11、求方程 4x 2－4xy －3y 2=5的整数解．12、两个小朋友的年龄分别为a 和b ，已知a 2＋ab=99，则a=______，b=_______.13、计算下列各题：(1)23×3.14＋5.9 ×31.4＋180×0.314； 19953－219952－1993(2)．19953＋19952－1996＋ 1＋1＋ 1＋1 ＋1＋1的14、求积(11 )(14)(1)(14 )(1)(1)32 35 698 10099 101整数部分？15、解方程：（x 2＋4x)2－2(x 2＋4x)－15=02 2 2 216、已知ac ＋bd=0，则ab(c ＋d)＋cd(a ＋b)的值等于___________．17、已知a －b=3,a －c=3 26,求(c —b)[(a －b)2+(a －c)(a －b)+(a －c)2]的值．18、已知x 2x 1 0，求x 8x 41的值．19、若x 满足x 5 x 4 x1 ，计算x 1998x 1999x 2004.20、已知三角形的三边a 、b 、c 满足等式a 3b 3c 33abc ，证明这个三角形是等边三角形．。
因式分解培优题(超全面、详细分类)因式分解专题培优将一个多项式变形成几个整式的积的形式，这个变形过程称为因式分解。
初中阶段常用的因式分解方法如下：1.基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法。
2.常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法。
3.考虑顺序：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)十字相乘法；(4)分组分解法。
一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现在可以反向使用它们来进行因式分解，例如：1) a^2 - b^2 = (a + b) (a - b)2) a^2 ± 2ab + b^2 = (a ± b)^23) a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2)4) a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2)以下是几个常用的公式：5) a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)^26) a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c) (a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)7) an - bn = (a - b) (an-1 + an-2b + an-3b^2 + … + abn-2 + bn-1)，其中n为正整数；8) an - bn = (a + b) (an-1 - an-2b + an-3b^2 - … + abn-2 - bn-1)，其中n为偶数；9) an + bn = (a + b) (an-1 - an-2b + an-3b^2 - … - abn-2 + bn-1)，其中n为奇数。
在运用公式法分解因式时，需要根据多项式的特点，正确恰当地选择公式，考虑字母、系数、指数、符号等因素。
例如：例题1：分解因式：-2x^5n-1yn+4x^3n-1yn+2-2xn-1yn+4；例题2：分解因式：a^3 + b^3 + c^3 - 3abc。
第3章因式分解3．1 多项式的因式分解基础题知识点1 最大公因数1．36和54的最大公因数是 (C)A．3 B．6C．18 D．362．把60写成若干个质数的积的形式为2×2×3×5.知识点2 因式与因式分解的概念3．(河北中考)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(D)A．a(x－y)＝ax－ayB．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3D．x3－x＝x(x＋1)(x－1)4．若x－2和x＋3是多项式x2＋x＋m仅有的两个因式，则m的值为(C) A．1 B．－1 C．－6 D．－5 5．下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？(1)a(x＋y)＝ax＋ay；(2)x2＋2xy＋y2－1＝x(x＋2y)＋(y＋1)(y－1)；(3)ax2－9a＝a(x＋3)(x－3)；(4)x2＋2＋1x2＝(x＋1x)2.解：(1)是整式的乘法，故(1)不是因式分解．(2)没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故(2)不是因式分解．(3)把一个多项式转化成几个整式积的形式，故(3)是因式分解．(4)没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故(4)不是因式分解．知识点3 因式分解与整式乘法的关系6．(3x－y)(3x＋y)是下列哪一个多项式因式分解的结果(C)A．9x2＋y2 B．－9x2＋y2C．9x2－y2 D．－9x2－y27．在(x＋y)(x－y)＝x2－y2中，从左向右的变形是整式乘法，从右向左的变形是因式分解．8．已知(x－2)(x－1)＝x2－3x＋2，则x2－3x＋2因式分解为(x－2)(x－1)．9．如果多项式2x＋B可以分解为2(x＋2)，那么B＝4．10．检验下列因式分解是否正确．(1)x2－2x＝x(x－2)；(2)x2－1＝(x＋1)(x－1)；(3)x2－xy－2y2＝(x＋y)(x－2y)；(4)a2－2ab＋4b2＝(a－2b)2.解：(1)因为x(x－2)＝x2－2x，所以因式分解x2－2x＝x(x－2)正确．(2)因为(x＋1)(x－1)＝x2－1，所以因式分解x2－1＝(x＋1)(x－1)正确．(3)因为(x＋y)(x－2y)＝x2－2xy＋xy－2y2＝x2－xy－2y2，所以因式分解x2－xy－2y2＝(x＋y)(x－2y)正确．(4)因为(a－2b)2＝a2－4ab＋4b2≠a2－2ab＋4b2，所以因式分解a2－2ab＋4b2＝(a－2b)2不正确．11．小明在解答“分解因式：(1)3x 2－9x ＋3；(2)4x 2－9.”时，是这样做的：解：(1)3x 2－9x ＋3＝3(x 2－6x ＋1)；(2)4x 2－9＝(2x ＋3)(2x －3)．请你利用因式分解与整式乘法的关系，判断他分解得对不对．解：(1)因为3(x 2－6x ＋1)＝3x 2－18x ＋3，所以分解不正确．(2)因为(2x ＋3)(2x －3)＝(2x)2－9＝4x 2－9，所以分解正确．中档题12．(毕节中考)下列因式分解正确的是(B)A ．a 4b －6a 3b ＋9a 2b ＝a 2b(a 2－6a ＋9)B ．x 2－x ＋14＝(x －12)2 C ．x 2－2x ＋4＝(x －2)2D ．4x 2－y 2＝(4x ＋y)(4x －y)13．若N ＝(x －2y)2，则N 为(C)A ．x 2＋4xy ＋4y 2B ．x 2－4y 2C ．x 2－4xy ＋4y 2D ．x 2－2xy ＋4y 214．如图所示，由一个边长为a 的小正方形和两个长、宽分别为a 、b 的小长方形组成的大长方形，整个图形可表达出几个有关多项式因式分解的等式，其中错误的是(B)A ．a 2＋2ab ＝a(a ＋2b)B ．a(a ＋2b 2)＝a 2＋2ab 2C ．a(a ＋b)＋ab ＝a(a ＋2b)D ．a(a ＋2b)－ab ＝a(a ＋b)15．将x n －y n 因式分解的结果为(x 2＋y 2)(x ＋y)(x －y)，则n 的值为4．16．我们知道：a(b ＋c)＝ab ＋ac ，反过来则有ab ＋ac ＝a(b ＋c)，前一个式子是整式乘法，后一个式子是多项式的因式分解．请你根据上述结论计算：2 0172－2 017×2 016＝2_017．17．下列各式由左边到右边的变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解？(1)x 2－4y 2＝(x ＋2y)(x －2y)；(2)a(a －2b)＝a 2－2ab ；(3)(a －1)2＝a 2－2a ＋1；(4)a 2－6a ＋9＝(a －3)2.解：(2)(3)是整式乘法，(1)(4)是因式分解．18．学习了多项式的因式分解后，对于等式x 2＋1＝x(x ＋1x)，小峰和小欣两人产生了激烈的争论，小峰说这种变形不是因式分解，但又说不清理由；小欣说是因式分解，因为右边是乘积的形式．你认为谁的说法正确，为什么？ 解：小峰的说法正确，小欣的说法不正确．因为因式分解是把一个多项式化为若干个多项式乘积的形式，等式右边中的x ＋1x不是多项式(分母含有字母x)，因此这种变形不是因式分解．19．已知x 2＋mx －n 可以分解为一次因式(x －5)和(x ＋8)的乘积，求(13m －n)2 017的值．解：由题意知x 2＋mx －n ＝(x －5)(x ＋8)，。
《因式分解》单元培优测试题班级_________ 姓名_____________ 得分_____________注意事项：本卷共有三大题23小题，满分120分，考试时间120分钟.一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1﹒下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A﹒2x2+8x－1＝2x(x+4)－1 B﹒(x+5)(x－2)＝x2+3x－10C﹒x2－8x+16＝(x－4)2D﹒6ab＝2a·3b2﹒将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）A﹒a2－1B﹒a2+a－2C﹒a2+a D﹒(a－2)2－2(a+2)+1 3﹒多项式15m3n2+5m2n－20m2n3的公因式是（）A﹒5mn B﹒5m2n2C﹒5m2n D﹒5mn24﹒下列因式分解正确的是（）A﹒－a2－b2＝(－a+b)(－a－b)B﹒x2+9＝(x+3)2C﹒1－4x2＝(1+4x)(1－4x)D﹒a3－4a2＝a2(a－4)5﹒下列各式中，能用完全平方公式分解的是（）A﹒a2－2ab+4b2B﹒4m2－m+14C﹒9－6y+y2D﹒x2－2xy－y26﹒已知x，y为任意有理数，记M＝x2+y2，N＝2xy，则M与N的大小关系为（）A﹒M＞N B﹒M≥N C﹒M≤N D﹒不能确定7﹒把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x－3)，则a+b的值是（）A﹒－5B﹒5C﹒1D﹒－18﹒已知x2－x－1＝0，则代数式x3－2x+1的值为（）A﹒－1B﹒1 C﹒－2D﹒29﹒如图，边长为a、b的长方形的周长为14，面积为10，则多项式a3b+2a2b2+ab3的值为（）A﹒490B﹒245C﹒140D﹒196010.已知:a＝2017x+2015，b＝2017x+2016，c＝2017x+2017，则代数式a2+b2+c2－ab－ac－bc的值为（）A﹒0B﹒1C﹒2D﹒3二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11.请从4a2，(x+y)2，16，9b2四个式子中，任选两个式子做差得到一个多项式，然后对其进行因式分解是_________________________________﹒12.用简便方法计算：20172－34×2017+289＝_________﹒13.若m－n＝2，则多项式2m2－4mn+2n2－1的值为___________﹒14.如果x2－2xy+2y2+4y+4＝0，那么y x＝___________﹒15.把多项式a2017－4a2016+4a2015分解因式，结果是__________________﹒16.如图是正方形或长方形三类卡片各若干张，若要用这些卡片拼成一个面积为2a2+3ab+b2的长方形（所拼长方形中每类卡片都要有，卡片之间不能重叠），则你所拼长方形的两边长分别是____________，____________（用含a、b字母的代数式表示）﹒三、解答题（本题有7小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17.（8分）分解因式：（1）－18a3b2－45a2b3+9a2b2﹒（2）5a3b(a－b)3－10a4b2(b－a)2﹒18.（10分）分解因式：（1）(x2+16y2)2－64x2y2﹒（2）9(x－y)2－12x+12y+4﹒19.（10分）分解因式：（1）ac－bc－a2+2ab－b2﹒（2）1－a2－4b2+4ab﹒20.（8分）已知m，n为数轴上在原点两侧且到原点距离相等的两个点所表示的数，且满足(m+4)2－(n+4)2＝16，求代数式m2+n2－mn的值﹒21.（8分）如图所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，若图中①②都是剪成边为a的大正方形，③④都是剪成边长为b的小正方形，⑤⑥⑦⑧⑨都是剪成边长分别为a、b的小长方形﹒（1）观察图形，可以发现多项式2a2+5ab+2b2可以因式分解为____________________；（2）若每块小长方形的的面积为10cm2，四个正方形的面积之和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和﹒22.（10分）设y＝kx，是否存在实数k，使得多项式(x－y)(2x－y)－3x(2x－y)能化简5x2若能，请求所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由﹒23.（12分）如果一个正整数能表示两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，……因此4，12，20……都是“神秘数”﹒（1）28，2016这两个数是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差是“神秘数”吗？为什么？《因式分解》单元培优测试题参考答案Ⅰ﹒答案部分：11﹒答案不唯一，如：4a2－16＝4(a+2)(a－2)﹒12﹒4000000﹒13﹒7﹒14﹒14﹒15﹒a2015(a－2)2﹒16﹒2a+b，a+b﹒三、解答题17.（1）解：－18a3b2－45a2b3+9a2b2＝－9a2b2(2a+5b－1)﹒（2）解：5a3b(a－b)3－10a4b3(b－a)2＝5a3b(a－b)3－10a4b2(a－b)2＝5a3b(a－b)2(a－b－2ab)﹒18.（1）解：(x2+16y2)2－64x2y2＝(x2+16y2)2－(8xy)2＝(x2+16y2+8xy)( x2+16y2－8xy)＝(x+4y)2(x－4y)2﹒（2）解：9(x－y)2－12x+12y+4＝[3(x－y)]2－12(x－y)+22＝[3(x－y)－2]2＝(3x－3y－2)2﹒19.（1）解：ac－bc－a2+2ab－b2＝c(a－b)－(a2－2ab+b2)＝c(a－b)－(a－b)2＝(a－b)[c－(a－b)]＝(a－b)(c－a+b)﹒（2）解：1－a2－4b2+4ab＝1－(a2－4ab+4b2)＝1－(a－2b)2＝[1+(a－2b)][1－(a－2b)]＝(1+a－2b)(1－a+2b)﹒20.解：∵m，n为数轴上在原点两侧且到原点距离相等的两个点所表示的数，∴m，n互为相反数，即m+n＝0①，又∵(m+4)2－(n+4)2＝16，∴(m+n+8)(m－n)＝16，8(m－n)＝16，∴m－n＝2②，联立①②得2m nm n+=⎧⎨-=⎩，解得11mn=⎧⎨=-⎩，∴m2+n2－mn＝1+1+1＝3﹒21.解：（1）观察图形知：九块图形的面积之和等于这张长方形纸板的面积，所以2a2+5ab+2b2可分解为(2a+b)(a+2b)，故答案为：(2a+b)(a+2b)﹒（2）由题意，知：2a2+2b2＝58，ab＝10，则a2+b2＝29，∴(a+b)2＝a2+2ab+b2＝29+20＝49，∵a+b＞0，∴a+b＝7，则6a+6b＝6(a+b)＝6×7＝42，答：图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为42﹒22.解：能，假设存在实数k，(x－y)(2x－y)－3x(2x－y)＝(2x－y)(－2x－y)＝－(2x－y)(2x+y)＝－(4x2－y2)＝－4x2+y2，把y＝kx代入，原式＝－4x2+(kx)2＝－4x2+k2x2＝(k2－4)x2，∵多项式(x－y)(2x－y)－3x(2x－y)能化简5x2，∴(k2－4)x2＝5x2，∴k2－4＝5，解得k＝±3，故满足条件的k的值有3或－3﹒23.解：（1）是，∵28＝2×14＝(8－6)(8+6)＝82－62，2016＝2×1008＝(505－503)(505+503)＝5052－5032，∴28，2016这两个数都是“神秘数”；（2）是，∵(2k+2)2－(2k)2＝(2k+2+2k)(2k+2－2k)＝4(2k+1)，∴2k+2和2k这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数﹒（3）不是，设两个连续奇数为2k+1和2k－1（k取正整数），则(2k+1)2－(2k－1)2＝(2k+1+2k－1)(2k+1－2k+1)＝4k×2＝8k，此数是8的倍数，由（2）知“神秘数”可表示为4的倍数，但不能表示为8的倍数，所以两个连续奇数的平方差不是“神秘数”﹒Ⅱ﹒解答部分：一、选择题1﹒下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A﹒2x2+8x－1＝2x(x+4)－1 B﹒(x+5)(x－2)＝x2+3x－10C﹒x2－8x+16＝(x－4)2D﹒6ab＝2a·3b解答：A﹒右边2x(x+4)－1不是积的形式，故A项错误；B﹒(x+5)(x－2)＝x2+3x－10，是多项式乘法，不是因式分解，故B项错误；C﹒x2－8x+16＝(x－4)2，运用了完全平方公式，符合因式分解的定义，故C正确；D﹒6ab＝2a·3b，左边不是多项式，故D错误﹒故选：C﹒2﹒将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）A﹒a2－1B﹒a2+a－2C﹒a2+a D﹒(a－2)2－2(a+2)+1解答：因为A﹒a2－1＝(a+1)(a－1)；B﹒a2+a－2＝(a+2)(a－1)；C﹒a2+a＝a(a+1)；D﹒(a－2)2－2(a+2)+1＝(a+2－1)2＝(a+1)2，所以结果中不含有因式a+1的选项是B﹒故选：B﹒3﹒多项式15m3n2+5m2n－20m2n3的公因式是（）A﹒5mn B﹒5m2n2C﹒5m2n D﹒5mn2解答：多项式15m3n2+5m2n－20m2n3中，各项系数的最大公约数是5，各项都含有相同字母m，n，字母m的指数最低是2，字母n的指数最低是1，所以多项式的公因式是5m2n﹒故选：C﹒4﹒下列因式分解正确的是（）A﹒－a2－b2＝(－a+b)(－a－b)B﹒x2+9＝(x+3)2C﹒1－4x2＝(1+4x)(1－4x)D﹒a3－4a2＝a2(a－4)解答：A﹒－a2－b2＝－(a2+b2)，不能进行因式分解，故A项错误；B﹒多项式x2+9不能进行因式分解，故B项错误；C﹒1－4x2＝(1+2x)(1－2x)，故C项错误；D﹒a3－4a2＝a2(a－4)，故D项正确﹒故选：D﹒5﹒下列各式中，能用完全平方公式分解的是（）A﹒a2－2ab+4b2B﹒4m2－m+14C﹒9－6y+y2D﹒x2－2xy－y2解答：A﹒a2－2ab+4b2中间乘积项不是这两数的2倍，故A项错误；B﹒4m2－m+14中间乘积项不是这两数的2倍，故B项错误；C﹒9－6y+y2＝(3－y)2，故C项正确；D﹒x2－2xy－y2不是两数的平方和，不能用完全平方公式，故D项错误﹒故选：C.6﹒已知x，y为任意有理数，记M＝x2+y2，N＝2xy，则M与N的大小关系为（）A﹒M＞N B﹒M≥N C﹒M≤N D﹒不能确定解答：∵M＝x2+y2，N＝2xy，∴M－N＝x2+y2－2xy＝(x+y)2≥0，则M≥N.故选：B.7﹒把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x－3)，则a+b的值是（）A﹒－5B﹒5C﹒1D﹒－1解答：∵(x+1)(x－3)＝x2－3x+x－3＝x2－2x－3，∴x2+ax+b＝x2－2x－3，∴a＝－2，b＝－3，∴a+b＝－5，故选：A﹒8﹒已知x2－x－1＝0，则代数式x3－2x+1的值为（）A﹒－1B﹒1 C﹒－2D﹒2解答：∵x2－x－1＝0，∴x2－x＝1，∴x3－2x+1＝x3－x2+ x2－2x+1＝x(x2－x) + x2－2x+1＝x+ x2－2x+1＝x2－x+1＝1+1＝2﹒故选：D﹒9﹒如图，边长为a、b的长方形的周长为14，面积为10，则多项式a3b+2a2b2+ab3的值为（）A﹒490B﹒245C﹒140D﹒1960解答：由题意，知：a+b＝7，ab＝10，则a3b+2a2b2+ab3＝ab(a2+2ab+b2)＝ab(a+b)2＝10×49＝490﹒故选：A.10.已知:a＝2017x+2015，b＝2017x+2016，c＝2017x+2017，则代数式a2+b2+c2－ab－ac－bc的值为（）A﹒0B﹒1C﹒2D﹒3解答：∵a＝2017x+2015，b＝2017x+2016，c＝2017x+2017，∴a－b＝－1，b－c＝－1，a－c＝－2，∴a2+b2+c2－ab－ac－bc＝12[( a－b)2+( b－c)2+( a－c)2]＝12×(1+1+4)＝3﹒故选：D.二、填空题11.请从4a2，(x+y)2，16，9b2四个式子中，任选两个式子做差得到一个多项式，然后对其进行因式分解是_________________________________﹒解答：答案不唯一，如：4a2－16＝4(a+2)(a－2)，故答案为：4a2－16＝4(a+2)(a－2)﹒12.用简便方法计算：20172－34×2017+289＝_________﹒解答：20172－34×2017+289＝20172－2×17×2017+172－172+289＝(2017－17)2＝20002＝4000000，故答案为：4000000﹒13.若m－n＝2，则多项式2m2－4mn+2n2－1的值为___________﹒解答：∵m－n＝2，∴2m2－4mn+2n2－1＝2(m2－2mn+n2)－1＝2(m－n)2－1＝2×4－1＝7﹒故答案为：7﹒14.如果x2－2xy+2y2+4y+4＝0，那么y x＝_______﹒解答：∵x2－2xy+2y2+4y+4＝x2－2xy+ y2+y2+4y+4＝(x－y)2+(y+2)2＝0，∴20x yy-=⎧⎨+=⎩，解得：22xy=-⎧⎨=-⎩，∴y x＝(－2)－2＝14，故答案为：14﹒15.把多项式a2017－4a2016+4a2015分解因式，结果是__________________﹒解答：a2017－4a2016+4a2015＝a2015·a2－a2015·4a+4a2015＝a2015(a2－4a+4)＝a2015(a－2)2，故答案为：a2015(a－2)2﹒16.如图是正方形或长方形三类卡片各若干张，若要用这些卡片拼成一个面积为2a2+3ab+b2的长方形（所拼长方形中每类卡片都要有，卡片之间不能重叠），则你所拼长方形的两边长分别是____________，____________（用含a、b字母的代数式表示）﹒解答：所画示意图如下，∵2a2+3ab+b2＝a2+2ab+b2+a2+ab＝(a+b)2+a(a+b)＝(a+b)(a+b+a)＝(a+b)(2a+b)，∴所画长方形的长为2a+b，宽为a+b；故答案为：2a+b，a+b﹒三、解答题17.分解因式：（1）－18a3b2－45a2b3+9a2b2（2）5a3b(a－b)3－10a4b2(b－a)2解答：（1）－18a3b2－45a2b3+9a2b2＝－9a2b2(2a+5b－1)﹒（2）5a3b(a－b)3－10a4b3(b－a)2＝5a3b(a－b)3－10a4b2(a－b)2＝5a3b(a－b)2(a－b－2ab)﹒18.分解因式：（1）(x2+16y2)2－64x2y2（2）9(x－y)2－12x+12y+4解答：（1）(x2+16y2)2－64x2y2＝(x2+16y2)2－(8xy)2＝(x2+16y2+8xy)( x2+16y2－8xy)＝(x+4y)2(x－4y)2﹒（2）9(x－y)2－12x+12y+4＝[3(x－y)]2－12(x－y)+22＝[3(x－y)－2]2＝(3x－3y－2)2﹒19.分解因式：（1）ac－bc－a2+2ab－b2（2）1－a2－4b2+4ab解答：（1）ac－bc－a2+2ab－b2＝c(a－b)－(a2－2ab+b2)＝c(a－b)－(a－b)2＝(a－b)[c－(a－b)]＝(a－b)(c－a+b)﹒（2）1－a2－4b2+4ab＝1－(a2－4ab+4b2)＝1－(a－2b)2＝[1+(a－2b)][1－(a－2b)]＝(1+a－2b)(1－a+2b)﹒20.已知m，n为数轴上在原点两侧且到原点距离相等的两个点所表示的数，且满足(m+4)2－(n+4)2＝16，求代数式m2+n2－mn的值﹒解答：∵m，n为数轴上在原点两侧且到原点距离相等的两个点所表示的数，∴m，n互为相反数，即m+n＝0①，又∵(m+4)2－(n+4)2＝16，∴(m+n+8)(m－n)＝16，8(m－n)＝16，∴m－n＝2②，联立①②得2m nm n+=⎧⎨-=⎩，解得11mn=⎧⎨=-⎩，∴m2+n2－mn＝1+1+1＝3﹒21.如图所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，若图中①②都是剪成边为a的大正方形，③④都是剪成边长为b的小正方形，⑤⑥⑦⑧⑨都是剪成边长分别为a、b的小长方形﹒（1）观察图形，可以发现多项式2a2+5ab+2b2可以因式分解为____________________；（2）若每块小长方形的的面积为10cm2，四个正方形的面积之和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和﹒解答：（1）观察图形知：九块图形的面积之和等于这张长方形纸板的面积，所以2a2+5ab+2b2可分解为(2a+b)(a+2b)，故答案为：(2a+b)(a+2b)﹒（2）由题意，知：2a2+2b2＝58，ab＝10，则a2+b2＝29，∴(a+b)2＝a2+2ab+b2＝29+20＝49，∵a+b＞0，∴a+b＝7，则6a+6b＝6(a+b)＝6×7＝42，答：图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为42﹒22.设y＝kx，是否存在实数k，使得多项式(x－y)(2x－y)－3x(2x－y)能化简5x2？若能，请求所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由﹒解答：能，假设存在实数k，(x－y)(2x－y)－3x(2x－y)＝(2x－y)(－2x－y)＝－(2x－y)(2x+y)＝－(4x2－y2)＝－4x2+y2，把y＝kx代入，原式＝－4x2+(kx)2＝－4x2+k2x2＝(k2－4)x2，∵多项式(x－y)(2x－y)－3x(2x－y)能化简5x2，∴(k2－4)x2＝5x2，∴k2－4＝5，解得k＝±3，故满足条件的k的值有3或－3﹒23.如果一个正整数能表示两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，……因此4，12，20……都是“神秘数”﹒（1）28，2016这两个数是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差是“神秘数”吗？为什么？解答：（1）是，∵28＝2×14＝(8－6)(8+6)＝82－62，2016＝2×1008＝(505－503)(505+503)＝5052－5032，∴28，2016这两个数都是“神秘数”；（2）是，∵(2k+2)2－(2k)2＝(2k+2+2k)(2k+2－2k)＝4(2k+1)，∴2k+2和2k这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数﹒（3）不是，设两个连续奇数为2k+1和2k－1（k取正整数），则(2k+1)2－(2k－1)2＝(2k+1+2k－1)(2k+1－2k+1)＝4k×2＝8k，此数是8的倍数，由（2）知“神秘数”可表示为4的倍数，但不能表示为8的倍数，所以两个连续奇数的平方差不是“神秘数”﹒。
《多项式的因式分解》提高训练一、选择题1．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（）A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）+1C．a2﹣a﹣1=a（a﹣1）﹣1D．a3+2a2+3a=a（a2+2a+3）2．若x﹣2和x+3是多项式x2+mx+n仅有的两个因式，则mn的值为（）A．1B．﹣1C．﹣6D．63．下列多项式中，不能分解因式的是（）A．ab+a B．a2﹣9C．a2﹣2a﹣l D．4x2+4x+14．已知关于x的二次三项式x2+7x+n有一个因式为（x+5），则n的值为（）A．﹣18B．2C．10D．125．已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x+1）（x﹣2），则b，c的值为（）A．b=2，c=﹣4B．b=﹣2，c=4C．b=﹣2，c=﹣4D．b=3，c=﹣1二、填空题6．已知关于x的三次三项式2x3+3x﹣k有一个因式是2x﹣5，则另一个因式为．7．若多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x+1）（x﹣2），则a+b的值为．8．多项式x2+mx+6因式分解得（x﹣2）（x+n），则m=．9．给出六个多项式：①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy+y2；④x4﹣1；⑤x（x+1）﹣2（x+1）；⑥m2﹣mn+n2．其中，能够分解因式的是（填上序号）．10．分解因式x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x﹣3）（x+2），乙看错了b值，分解的结果是（x﹣2）（x﹣3），那么x2+ax+b分解因式正确的结果应该是．三、解答题11．多项式3x3+mx2+nx+42中含有一个因式x2+x﹣2，试求m，n的值12．已知三次四项式2x3﹣5x2﹣6x+k分解因式后有一个因式是x﹣3，试求k的值及另一个因式．13．已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．14．阅读理解：阅读下列材料：已知二次三项式2x2+x+a有一个因式是（x+2），求另一个因式以及a的值．解：设另一个因式是（2x+b），根据题意，得2x2+x+a=（x+2）（2x+b）．展开，得2x2+x+a=2x2+（b+4）x+2b．所以，，解得所以，另一个因式是（2x﹣3），a的值是﹣6．请你仿照以上做法解答下题：已知二次三项式3x2+10x+m有一个因式是（x+4），求另一个因式以及m的值．15．阅读：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式及m的值．解“设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n ∴解得∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21问题：仿照上述方法解答下列问题：（1）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x﹣5，求另一个因式及k的值．（2）已知2x2﹣13x+p有一个因式x﹣3，则P=．《多项式的因式分解》提高训练参考答案与试题解析一、选择题1．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（）A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）+1C．a2﹣a﹣1=a（a﹣1）﹣1D．a3+2a2+3a=a（a2+2a+3）【分析】根据因式分解的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，从左到右是整式的乘法，不是因式分解；B、a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）+1，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解；C、a2﹣a﹣1=a（a﹣1）﹣1，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解；D、a3+2a2+3a=a（a2+2a+3），等式的右边是几个因式积的形式，故是因式分解；故选：D．【点评】本题考查的是分解因式的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．2．若x﹣2和x+3是多项式x2+mx+n仅有的两个因式，则mn的值为（）A．1B．﹣1C．﹣6D．6【分析】根据多项式乘以多项式法则求出（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6，求出m、n 的值，再求出mn即可．【解答】解：（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6，∵x﹣2和x+3是多项式x2+mx+n仅有的两个因式，∴m=1，n=﹣6，∴mn=1×（﹣6）=﹣6，故选：C．【点评】本题考查了多项式乘以多项式和因式分解的定义，能熟练地运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．3．下列多项式中，不能分解因式的是（）A．ab+a B．a2﹣9C．a2﹣2a﹣l D．4x2+4x+1【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而得出答案．【解答】解：A、ab+a=a（b+1），故此选项错误；B、a2﹣9=（a+3）（a﹣3），故此选项错误；C、a2﹣2a﹣l，无法分解因式，故此选项正确；D、4x2+4x+1=（2x+1）2，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确分解因式是解题关键．4．已知关于x的二次三项式x2+7x+n有一个因式为（x+5），则n的值为（）A．﹣18B．2C．10D．12【分析】设另一个因式为x+m，则x2+7x+n=（x+m）（x+5），根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案．【解答】解：设另一个因式为x+m，则x2+7x+n=（x+m）（x+5），而（x+m）（x+5）=x2+（5+m）x+5m，所以5+m=7，解得：m=2，n=5×2=10，故选：C．【点评】本题考查了解一元一次方程和多项式乘以多项式，能根据多项式乘以多项式法则展开是解此题的关键．5．已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x+1）（x﹣2），则b，c的值为（）A．b=2，c=﹣4B．b=﹣2，c=4C．b=﹣2，c=﹣4D．b=3，c=﹣1【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．【解答】解：由多项式2x2+bx+c分解因式为2（x+1）（x﹣2），得2x2+bx+c=2（x+1）（x﹣2）=2x2﹣2x﹣4，b=﹣2，c=﹣4，故选：C．【点评】本题考查了因式分解的意义，利用因式分解得出相等整式是解题关键．二、填空题6．已知关于x的三次三项式2x3+3x﹣k有一个因式是2x﹣5，则另一个因式为x2+2.5x+．【专题】1：常规题型．【分析】设另一个因式为x2+ax+b，根据多项式乘以多项式法则进行计算，得出方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：设另一个因式为x2+ax+b，则2x3+3x﹣k=（2x﹣5）（x2+ax+b）=2x3+（2a﹣5）x2+（2b﹣5a）x﹣5b，所以，解得：a=2.5，b=，即另一个因式为x2+2.5x+，故答案为：x2+2.5x+．【点评】本题考查了因式分解和多项式乘以多项式、解二元一次方程组等知识点，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．7．若多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x+1）（x﹣2），则a+b的值为﹣3．【分析】利用整式的乘法计算（x+1）（x﹣2），按二次项、一次项、常数项整理，与多项式x2+ax+b对应，得出a、b的值代入即可．【解答】解：（x+1）（x﹣2）=x2﹣2x+x﹣2=x2﹣x﹣2所以a=﹣1，b=﹣2，则a+b=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】此题考查利用整式的计算方法，计算出的代数式与因式分解前代数式比较，得出结论，进一步解决问题．8．多项式x2+mx+6因式分解得（x﹣2）（x+n），则m=﹣5．【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．【解答】解：x2+mx+6因式分解得（x﹣2）（x+n），得x2+mx+6=（x﹣2）（x+n），（x﹣2）（x+n）=x2+（n﹣2）x﹣2n，x2+mx+6=x2+（n﹣2）x﹣2n，﹣2n=6，m=n﹣2．解得n=﹣3，m=﹣5，故答案为：﹣5．【点评】本题考查了因式分解的意义，利用因式分解得出相等整式是解题关键．9．给出六个多项式：①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy+y2；④x4﹣1；⑤x（x+1）﹣2（x+1）；⑥m2﹣mn+n2．其中，能够分解因式的是②③④⑤⑥（填上序号）．【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【解答】解：①x2+y2不能因式分解，故①错误；②﹣x2+y2利用平方差公式，故②正确；③x2+2xy+y2完全平方公式，故③正确；④x4﹣1平方差公式，故④正确；⑤x（x+1）﹣2（x+1）提公因式，故⑤正确；⑥m2﹣mn+n2完全平方公式，故⑥正确；故答案为：②③④⑤⑥．【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，因式分解的方法有：提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，注意分解要彻底．10．分解因式x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x﹣3）（x+2），乙看错了b值，分解的结果是（x﹣2）（x﹣3），那么x2+ax+b分解因式正确的结果应该是（x+1）（x﹣6）．【分析】根据已知分解因式x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x﹣3）（x+2），可得出b的值，再根据乙看错了b值，分解的结果是（x﹣2）（x﹣3），可求出a的值，进而因式分解即可．【解答】解：∵分解因式x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x﹣3）（x+2），∴（x﹣3）（x+2）=x2﹣x﹣6，∴b=﹣6，∵乙看错了b值，分解的结果是（x﹣2）（x﹣3），∴（x﹣2）（x﹣3）=x2﹣5x+6，∴a=﹣5，∴x2+ax+b=x2﹣5x﹣6=（x+1）（x﹣6）．故答案为：（x+1）（x﹣6）．【点评】此题主要考查了因式分解的意义，根据已知分别得出a，b的值是解决问题的关键．三、解答题11．多项式3x3+mx2+nx+42中含有一个因式x2+x﹣2，试求m，n的值【分析】依据x2+x﹣2=（x+2）（x﹣1），即可得到当x=﹣2时，原式=0；当x=1时，原式=0，进而得到关于m，n的方程组，即可得到m，n的值．【解答】解：∵x2+x﹣2=（x+2）（x﹣1），∴当x=﹣2时，原式=0，当x=1时，原式=0，即，解得．【点评】本题考查了因式分解的意义，根据因式分解的意义得到x=﹣2、x=1是关于x的方程3x3+mx2+nx+42=0的两个根是解题的难点．12．已知三次四项式2x3﹣5x2﹣6x+k分解因式后有一个因式是x﹣3，试求k的值及另一个因式．【分析】此题需先将2x3﹣5x2﹣6x+k解成x﹣3，再利用分组分解法进行因式分解，即可求出另一个因式．【解答】解：设另一个因式为2x2+mx﹣，∴（x﹣3）（2x2+mx﹣）=2x3﹣5x2﹣6x+k，2x3+mx2﹣x﹣6x2﹣3mx+k=2x3﹣5x2﹣6x+k，2x3+（m﹣6）x2﹣（+3m）x+k=2x3﹣5x2﹣6x+k，∴，解得：，∴另一个因式为：2x2+x﹣3．【点评】本题考查了因式分解的意义，解题时要根据分组分解法、提公因式法、公式法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组，要考虑分组后还能进行下一步分解，注意分解因式要彻底，直到不能再分解为止．13．已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．【分析】设另一个因式为x+a，根据多项式乘以多项式法则得出（x+3）（x+a）=x2+（3+a）x+3a，即可求出a、m．【解答】解：设另一个因式为x+a，则（x+3）（x+a）=x2+（3+a）x+3a，∵x2﹣4x+m=（x+3）（x+a），∴3+a=﹣4，3a=m，∴a=﹣7，m=﹣21，即另一个因式为x﹣7，m=﹣21．【点评】本题考查了因式分解的意义和多项式乘以多项式法则，能熟练运用多项式乘以多项式法则展开是解此题的关键．14．阅读理解：阅读下列材料：已知二次三项式2x2+x+a有一个因式是（x+2），求另一个因式以及a的值．解：设另一个因式是（2x+b），根据题意，得2x2+x+a=（x+2）（2x+b）．展开，得2x2+x+a=2x2+（b+4）x+2b．所以，，解得所以，另一个因式是（2x﹣3），a的值是﹣6．请你仿照以上做法解答下题：已知二次三项式3x2+10x+m有一个因式是（x+4），求另一个因式以及m的值．【分析】直接利用已知例题进而假设出另一个因式是（3x+b），求出答案即可．【解答】解：设另一个因式是（3x+b），根据题意，得3x2+10x+m=（x+4）（3x+b）．展开，得3x2+10x+m=3x2+（b+12）x+4b．所以，，解得：，所以，另一个因式是（3x﹣2），m的值是﹣8．【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确假设出另一个因式是解题关键．15．阅读：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式及m的值．解“设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n ∴解得∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21问题：仿照上述方法解答下列问题：（1）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x﹣5，求另一个因式及k的值．（2）已知2x2﹣13x+p有一个因式x﹣3，则P=27．【分析】根据题意给出的方法即可求出答案．【解答】解：（1）设另外一个因式为：x+n∴（2x2+3x﹣k）=（2x﹣5）（x+n）∴∴n=4，k=﹣20（2）设另一个因式为：2x+n∴2x2﹣13x+p=（2x+n）（x﹣3）∴∴解得：故答案为：（2）27【点评】本题考查因式分解的意义，解题的关键熟练运用因式分解法，本题属于基础题型．。
《多项式的因式分解》同步练习一、选择题1.下列各式由左边到右边的变形中,属于因式分解的是( )A.a(x+y)=ax+ayB.x2-4x+4=x(x-4)+4C.10x2-5x=5x(2x-1)D.x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x2.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )A.a(x-y)＝ax-ayB.x2+2x+1＝x(x+2)+1C.(x+1)(x+3)＝x2+4x+3D.x3-x＝x(x+1)(x-1)3. 下列因式分解正确的是( )A．x2-y2= (x-y) 2 B．a2+a+1=(a+1)2 C．xy-x=x(y-1) D.2x+y= 2(x+y)4.下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（）A、8m3n+4mn2=2mn（4m2+2n）B、m3﹣n3=（m﹣n）（m2+mn+n2）C、（y+1）(y﹣3）=﹣（3﹣y）（y+1）D、4yz﹣2y2z+z=2y（2z﹣yz）+z5. 若多项式x2-px-6因式分解的结果是(x-1)(x+6),则p的值是( )A.-1B.1C.5D.-56. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的个数是( )①x2-4=x(x-4x);②a2-1+b2=(a-1)(a+1)+b2;③12a2b-12ab2=12ab(a-b);④(x-2)2=x2-4x+4;⑤x2-1=(x+1)(x-1).A.1个B.2个C.3个D.4个7. 若N=(x-2y)2,则N为( )A.x2+4xy+4y2B.x2-4y2C.x2-4xy+4y2D.x2-2xy+4y2二、填空题8.由(x-2)(x-1)=x2-3x+2,则x2-3x+2因式分解为.9.若x+5,x-3都是多项式x2-kx-15的因式,则k= .10.如果多项式M可因式分解为3(1+2x)(-2x+1),则M= .11. 我们知道:a(b+c)=ab+ac,反过来则有ab+ac=a(b+c),前一个式子是整式乘法,后一个式子是因式分解.请你根据上述结论计算:2 0142-2 014×2 013=__________.三、解答题12.检验下列因式分解是否正确.(1)a3-ab=a(a2-b)； (2)x2-x-6=(x-2)(x-3)；(3)2a2-3ab-2b2=(2a+b)(a-2b)； (4)9m2-6mn+4n2=(3m-2n)2.13.如果x2-ax+5有一个因式是x+5,求a的值,并求另一个因式.14．两位同学将一个二次三项式因式分解,一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x-1)(x-9),另一位同学因看错了常数项而分解成2(x-2)(x-4),求原多项式.15. 已知多项式x4+2x3-x+m能因式分解,且有一个因式为x-1.(1)当x=1时,求多项式x4+2x3-x+m的值.(2)根据(1)的结果,求m的值.(3)仿照(1)的方法,试判断x+2是不是多项式x4+2x3-x+m的一个因式.答案：1、C.2、D.3、C.4、B. 5. D 6.B 7.C8. (x-2)(x-1)9.-2；10.3-12x211. 201412. (1)正确；(2)不正确；(3)正确；(4)不正确.14.设原多项式为ax2+bx+c(其中a,b,c均为常数,且abc≠0).因为2(x-1)(x-9)=2(x2-10x+9)=2x2-20x+18,所以a=2,c=18.又因为2(x-2)(x-4)=2(x2-6x+8)=2x2-12x+16,所以b=-12.所以原多项式为2x2-12x+18.15.(1)根据题意得x4+2x3-x+m=(x3+ax2+bx+c)(x-1),当x=1时,x4+2x3-x+m=0.(2)由(1)知m=-2.(3)由x+2=0得x=-2,当x=-2时,x4+2x3-x-2=16-16+2-2=0,所以x+2是多项式的一个因式.。
初中数学试卷第3章 因式分解 测试题 （时间: 满分：120分）（班级： 姓名： 得分： ）一、精心选一选（每小题3分，共24分）1．下面从左到右的变形属于因式分解的是（ ）A ．x+2y=（x+y ）+yB ．p （q+h ）=pq+phC ．4a 2-4a+1=4a （a-1）+1D ．5x 2y-10xy 2=5xy （x-2y ）2．将m 2（a-2）+m （2-a ）分解因式，正确的是（ ）A ．（a-2）（m 2-m ）B ．m （a-2）（m+1）C ．m （a-2）（m-1）D ．m （2-a ）（m-1）3．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）A ．x 2+4y 2B ．x 2-2y 2+1C ．-x 2+4y 2D ．-x 2-4y2 4．若多项式x 2+mxy+9y 2能用完全平方公式分解因式，则m 的值可以是（ ）A ．2B ．-4C ．±3D ．±65．对于任意整数a ，多项式（3a+5）2-4都能（ ）A ．被9整除B ．被a 整除C ．被a+1整除D ．被a-1整除6．若a+b+1=0，则3a 2+3b 2+6ab 的值是（ ）A ．3B ．-3C ．1D ．-17．如图1，边长为a ，b 的长方形，它的周长为14，面积为10，则a 2b+ab 2-ab的值为（ ）A ．70B ．60C ．130D ．1408．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a 3+ab 2+bc 2=b 3+a 2b+ac 2，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形二、细心填一填（每小题4分，共32分）9．多项式6a 2b-3ab 2的公因式是__________.10．已知a=3，b-a=1，则a 2-ab=____________.11．请你写一个能先提公因式，再运用公式法来分解因式的二项式：____________，写出分解因式的结果___________．12．将一块边长为a cm 的正方形图片各边缩小相同的长度，若缩小后的正方形边长比原正方形少了2 cm （a ＞2），则缩小后的图片面积减少了 ．13．图2有三种卡片，其中边长为a 的正方形卡片1张，边长分别为a ，b 的长方形卡片4张，边长为b 的正方形卡片4张，若用这9张卡片拼成一个正方形，则该正方形的边长为____________.14．两个长方形的面积分别是9a 2-4b 2，9a 2+12ab+4b 2，它们有一边长相同，则这条相同的边的长为_________________.15．已知（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）可分解因式为（3x+a ）（x+b ），其中a ，b 均为整数，则a+3b=___________.16．观察填空：图3所示各块图形之和为a 2+3ab+2b 2，分解因式为________.图1 图2三、耐心解一解（共64分）17．（每小题4分，共12分）因式分解：（1）ax2-4ax+4a；（2）n2（m-2）-n（2-m）；（3）（x-1）（x-3）+1．18．（6分）先因式分解，再求值：已知a+b=5，ab=3，求a3b+2a2b2+ab3的值．19.（8分）给出三个多项式：①2x2+4x-4；②2x2+12x+4；③2x2-4x.请你把其中任意两个多项式进行加法运算（写出所有可能的结果），并把每个结果因式分解．20.（8分）若n为自然数，求证：（4n+3）2-（2n+3）2能被24整除．21.（10分）请观察以下解题过程：分解因式：x4-6x2+1.解：x4-6x2+1=x4-2x2-4x2+1=（x4-2x2+1）-4x2=（x2-1）2-（2x）2=（x2-1+2x）（x2-1-2x）.以上分解因式的方法称为拆项法，请你用拆项法分解因式：a4-7a2+9．22.（10分）阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）=m（a+b）+n（a+b）=（a+b）（m+n）；（2）x2-y2-2y-1=x2-（y2+2y+1）=x2-（y+1）2=（x+y+1）（x-y-1）．试用上述方法分解因式：（1）a2+2ab+ac+bc+b2；（2）4-x2+4xy-4y2．23.（10分）有一系列等式：1×2×3×4+1=（12+3×1+1）2；2×3×4×5+1=（22+3×2+1）2；3×4×5×6+1=（32+3×3+1）2；4×5×6×7+1=（42+3×4+1）2；（1）根据你的观察，归纳，发现规律，写出9×10×11×12+1的结果；（2）试猜想：n（n+1）（n+2）（n+3）+1的结果？（3）证明你的猜想．参考答案一、1．D 2．C 3．C 4．D 5．C 6．A 7．B 8．C二、9．3ab 10．-3 11．答案不唯一，如a3-ab2 a（a+b）（a-b） 12．（4a-4）cm2 13．a+2b 14．3a+2b 15．-31 16．（a+b）（a+2b）三、17．解：（1）原式=a（x2-4x+4）=a（x-2）2；（2）原式=n2（m-2）+n（m-2）=n（m-2）（n+1）；（3）原式=x2-4x+3+1=x2-4x+4=（x-2）2．18．解：a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2.将a+b=5，ab=3，代入原式=3×52=75．19. 解：①+②，得2x2+4x-4+2x2+12x+4=4x2+16x=4x（x+4）；①+③，得2x2+4x-4+2x2-4x=4x2-4=4（x+1）（x-1）；②+③，得2x2+12x+4+2x2-4x=4x2+8x+4=4（x2+2x+1）=4（x+1）2．20. 证明：（4n+3）2-（2n+3）2=[（4n+3）+（2n+3）][（4n+3）-（2n+3）]=2n（6n+6）=12n（n+1）. ∵ n为正整数，∴ n，n+1中必有一个是偶数.∴n（n+1）是2的倍数.∴ 12n（n+1）必是24的倍数，即（4n+3）2-（2n+3）2一定能被24整除．21. 解：a4-7a2+9=a4-6a2-a2+9=（a4-6a2+9）-a2=（a2-3）2-a2=（a2-3+a）（a2-3-a）．22. 解：（1）a2+2ab+ac+bc+b2=a2+2ab+b2+ac+bc=（a+b）2+c（a+b）=（a+b）（a+b+c）；（2）4-x2+4xy-4y2=4-（x2-4xy+4y2）=4-（x-2y）2=（2+x-2y）（2-x+2y）．23. 解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到9×10×11×12+1=（92+3×9+1）2=1092；（2）依此类推：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n2+3n+1）2；（3）证明：等式左边=（n2+3n）（n2+3n+2）+1=n4+6n3+9n2+2n2+6n+1=n4+6n3+11n2+6n+1，等式右边=（n2+3n+1）2=（n2+1）2+2•3n•（n2+1）+9n2=n4+2n2+1+6n3+6n+9n2=n4+6n3+11n2+6n+1，左边=右边．。
