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第二章 状态空间表达式的解3-2-1 试求下列矩阵A 对应的状态转移矩阵φ（t ）。
（1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2010A （2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0410A （3） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2110A （4） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=452100010A （5）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000100001000010A （6）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλ000100010000A 【解】：（1） （2） （3） （4）特征值为：2,1321===λλλ。
由习题3-1-7(3)得将A 阵化成约当标准型的变换阵P 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=421211101P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1211321201P线性变换后的系统矩阵为：（5）为结构四重根的约旦标准型。
（6）虽然特征值相同，但对应着两个约当块。
或}0100010000{])[()(1111----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-=Φλλλλs s s s L A sI L t 3-2-2 已知系统的状态方程和初始条件 （1）用laplace 法求状态转移矩阵； （2）用化标准型法求状态转移矩阵； （3）用化有限项法求状态转移矩阵； （4）求齐次状态方程的解。
【解】：（1） （2）特征方程为： 特征值为：2,1321===λλλ。
由于112==n n ，所以1λ对应的广义特征向量的阶数为1。
求满足0)(11=-P A I λ的解1P ，得：0110000000312111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011P 再根据0)(22=-P A I λ，且保证1P 、2P 线性无关，解得：对于当23=λ的特征向量，由0)(33=-P A I λ容易求得： 所以变换阵为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==110010001321P P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1100100011P 线性变换后的系统矩阵为：（3）特征值为：2,1321===λλλ。
1、齐次状态方程解
【例】已知线性定常系统的齐次状态方程为
x x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=3210
试求该状态方程的解。
解 这里我们应用拉氏变换法求系统的状态转移矩阵。
首先计算矩阵
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-3213210
00)(s s s s A sI 其次，计算1
()sI A --及状态转移矩阵()t Φ
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++-=
--s s s s A sI 2133
211
)(1
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡
++++-+++++=)2)(1()
2)(1(2)2)(1(1)2)(1(3s s s s s s s s s s
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎣⎡++
+-++
+-+-
++-+=2211221221112
112
s s s s s s s s ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-+---=-==Φ----------t t t
t t t t
t At
e e e
e e e e e A sI L e
t 222211
2222])[()( 则齐次状态方程的解为
)0(2222)(2222x e e e
e e e e e t x t t t
t t t t
t ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+-+---=-------- 或者
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+-+---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------)0()0(2222)()(21222221x x e e e e e e e e t x t x t t t t t t t
t
2、线性变换例题
【例9.15】已知系统具有如下形式
u y y y y 66116')2()3(=+++
试求此系统对角形式的状态方程。
解 令 y x =1，'2y x =，)
2(3y x =
即 21x x = 32x x
= u x x x x
661163213+---= 写成矩阵—向量形式
u x x x x x x
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡6006116100010321321 (9.76)
[]⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=321001x x x y
可以看出A 阵为友矩阵，且A 的特征值为
321321-=-=-=λλλ，，
即 321λλλ≠≠ 。
这时我们选转换矩阵P 形式为
⎥⎥
⎥
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=---112
11
2
22
2
1
2
1
11
1
n n n n n n P λλλλλλλλλ
n 为相同的阶数，这里n =3。
本题中 ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=921321111
P 令x=Pz
将上式代入(9.42)式，得： Bu APz z P +=
CPz
y Bu P APz P z =+=--11
系统可写为
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32132194132111161161000105.05.111435.05.23z z z z z z u ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+6005.05.111435.05.23 u z z z z z z
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡363300020001321321 输出方程为
[][]⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=321321111921321111001z z z z z z y
3、状态转移矩阵例题
【例9.18】 已知状态转移矩阵 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-+---=Φ--------t t t
t t t t
t e e e
e e e e e t 22222222)(，试求A 。
解 利用性质（1）、（2），有
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-+-=Φ==-------3210
442222)0(02222t t t t t t t t
t e e e
e e e e e A 【例9.19】已知状态方程：x x
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡--=3210
，试求状态转移矩阵的逆矩阵)(1t －Φ。
解 已知该齐次状态方程的转移矩阵为：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-+---=Φ--------t t t
t t t t
t e e e
e e e e e t 22222222)(， 利用性质（4）得
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-+---=-Φ=Φ-t t t
t t t t
t e e e
e e e e e t t 22221
2222)()(
)(1t －Φ还可以根据)(t Φ按一般矩阵求逆矩阵的方法求取。
4、非齐次状态方程解例题
例9.20试求下列状态方程在)(1)(t t u =作用下的解。
101111x x u ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦，1(0)0x ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
解 (1) 积分法
已知非齐次状态方程解的形式为
⎰-Φ+Φ=t
d Bu t x t t x 0
)()()0()()(τττ
()1
11
1
12
1
01001()1
111(1)
1t t t s e s t sI A s te e s s -----⎡⎤
⎢⎥
⎧⎫-⎡⎤
⎡⎤
-⎪⎪
⎡⎤Φ=
-===⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎢
⎥⎣⎦
--⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎪⎪⎩
⎭
⎢⎥--⎣⎦
在)(1)(t t u =作用下，为了简化计算，令ττ-=t '
，有
⎰Φ-+Φ=0
)()0()()(t
Bd x t t x ’‘ττ
⎰Φ+Φ=t
Bd x t 0
'')()0()(ττ
⎰Φ+Φ=t
Bd x t 0
)()0()(ττ
则： 00101()1t t
t t e e Bd d e
e te τ
τ
τττττ⎡⎤⎡⎤-⎡⎤
Φ==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦⎣⎦
⎰⎰ 所以， 10121()02t
t t t
t t t e e e x t te
e te te ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
--⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
(2) 拉氏变换法
()()111
1
()(0)()x t sI A x sI A BU s ----⎡⎤⎡⎤=
-+
-⎣⎦
⎣⎦
()11
112
2
1
10111(0)1
110(1)
1(1)t t e s s sI A x te s s s ----⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥⎡⎤⎡⎤--⎡⎤-=
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥---⎣⎦
⎣⎦
()11
112211
01(1)111()1101(1)1(1)t t s s e s sI A BU s s te s s s ----⎡⎤
⎧⎫⎡⎤
⎢⎥⎪⎪⎢⎥
-⎡⎤-⎡⎤-⎪
⎪⎡⎤⎢⎥-=
==⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎢⎥⎢
⎥--⎪⎪-⎣⎦⎩⎭
⎣⎦
()()
1
1
1
1
21()(0)()2t t e x t sI A x sI A BU s te ----⎡⎤
-⎡⎤⎡⎤=
-+
-=⎢⎥⎣⎦
⎣
⎦⎣⎦。
