土力学第3章- 土的本构关系

（5） （6）
求a: 将公式（1）式 1 3
a b a
a
求导，切线模量Et为：
Et
1 3 a a a b a 2
（7）
令εa＝0，则原点的切线模量，即初始切线模量为：
Ei
R
1 a
1
（8） 代入（1）、（7）式（消去a、b)，
( 1 3 ) ult
1 b
（4）
若土样破坏时的偏应力（即强度）为（σ1－σ3）f，令Rf等于破坏时的偏应 力与极限值之比，称为破坏比：
Rf
Rf （4）式代入（5）式得（消去偏应力极限值）：b 1 3 f
1 3 f 1 3 ult
2.八面体应力与应变的计算公式
可导出：
八面体法向应力
八面体剪应力
0 ( 1 2 3 ) ( x y z )
0
1 3 1 3
1 3
1 3
1 3 2 2 3 2 3 1 2
2 2 2 x
1 3
a
a b a
（ 2）
3.非线形弹性模型
1 3 a
a b a
应力－应变双曲线函数 公式（1）还可以改成：
双曲线函数坐标变换
1 3
1 a
（3）
a
b
1 3
1 a
a
通过求a、b得到弹性模量E. 求b:
b
当轴向应变εa→∞时，偏应力趋向一极限值（σ1-σ3）ult

对于加工硬化材料，屈服应力是随着荷载的提高与变形的增大而提高的。 屈服面不同于破坏面，它不是一个固定的面,图中由A点提高到B点。
Rf a 1 Ei 1 3 f
a
代入（10）
Et
1 Ei 1 Rf a Ei 1 3 f
2
式：
（消去轴向应变 a ）
Et 1 R f S Ei
2
（11）
其中
S
1 3 1 3 f
（2－8） （2－9）
M 0 3K
剪切模量
G
0 E （2－10） 0 2(1 )
3.强度理论
达到强度条件时的应力轨迹线称为强度包线。主要强度理论有三种。
3.1 最大八面体剪应力强度理论，也叫V.Mises条件
当八面体剪应力τ0达到极限值c0时，就是破坏条件。
0 c0
1 3
2
2
1 3
2
sin
2

1
2 1 2 sin 2 2 3 2 3 sin 2 （2－18）
2 2 2 2
2 3 1 3 1 sin
正常固结粘土和松砂、中密砂：加工硬化型曲线
正常固结土的q－ε曲线
双曲线型：
q
a b a
a
3.非线形弹性模型
（1）E－μ模型（Duncan－Chang）模型
采用双曲线公式代表正常固结粘性土试验曲线：
1 3 a
a、b－试验常数 （1）式改为：
a b a
（ 1）
为3组常规三轴压缩试验.
Duncan－Chang模型试验常数 上海粉 质粘土 c 0 φ 39.0 Rf 0.68 k 125 n 0.52 d 8.48 F -0.127 G -0.16
（2）K－G模型
用体积模量k与剪切模量G代替E、μ。
八面体应力的基本公式： 应力与应变关系为：
1 0 1 2 3 3 1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 0 3 v 1 2 3
i
f 将（6）式 b 、（8）式 a 1 3 f 得到
E
1 3
Rf a 1 Ei 1 3 f
a
（9）
Et
1 Ei 1 Rf a Ei 1 3 f
2
（10）
（9）式
1 3
f
i
3 pa
（18） G、F－试验常数。
代入（17）式
t
3 f 1 1 1d 2
3 G F lg p a t 1 1d 2
利用（1）式最后可得到：
(19)
3 G F lg p a t 1 A2
强度包络面为不通过原点 的不等顶角的六边形锥面。
3.强度理论
三种破坏条件的比较
§2. 土的应力－应变关系
1．材料的应力－应变关系
材料的应力－应变关系
2．土的三轴压缩试验应力－应变曲线 基本形态
常用土工试验仪
直剪仪 单向固结仪 常规三轴压缩（σ2＝σ3）试验 仪
非常规试验仪
2 2 2 2


（2－15）
3.2 最大剪应力强度理论，也叫Tresca条件
强度包络面是一个垂直 于八面体平面的正六角 柱体面，而屈服面在π
平面上的轨迹是一个正
六边形。
Tresca扩展情况：
max 0tgt
max [ct 0tgt ]
（2－16）
相应的强度包络面为通过原点和不通过原点的正六角形锥面。
（2－3）
0
1 2 0 E
或
0
E 0 1 2
（2－4）
八面体弹性模量
M0
E 1 2
（2－5） （2－6）
31 2 v 1 2 3 0 E
0 E V 3 1 2
体积弹性模量
K
（2－7）
E 31 2
0

3.3 散体极限平衡理论，也叫Mohr－ Coulomb条件
强度包络面为通过 原点的不等顶角的 六边形锥面。
扩展了的Mohr－Coulomb条件
max KP min 2 KP c
或
1 1 sin 3 1 sin 2c cos
第三章 土的本构关系
§1. 八面体应力的基本知识
1.八面体及八面体应力的意义
边长为2的立方体，主应力σ1、σ2、σ3分别与x、y、z轴平行， a,b,c,d,e,f点为六个面的中心点。
把立方体六个面的中心点连接起来，就成为八面体单元。
1.八面体及八面体应力的意义
八面体应力和八面体应变：指八面体任意面上的法向应力σ0及剪应力 τ0；相应的法向应变ε0及剪应变γ0。他们分别是三个主应力σ1、σ2、 σ3和三个主应变的函数，能够综合反映空间应力状态。
μt推导
ε1与ε3的关系为双曲线：
1
f d 3
3
（16）
f、d为两个待定常数。
3 f d 3 1
3 f 1 1 1d
3 f t 1 1 1d 2
（17）
过原点的初始切线泊桑比为
i f
初始切线泊桑比与σ3有如下关系
i G F lg
八面体弹性模量：
1
2
3
1 1 2 3 E
1 2 1 3 E
1 3 1 2 E
1 2 1 2 3 E
（2－2）
1 2 3
1 1 2 3 1 2 1 1 2 3 1 2 0 3 E 3 E
（2－13）
3 1 2ct
2 3 2ct
（2－14）
1 3 2ct
如果有一个式子为等号时，则材料进入塑性状态。 或
2c .
2 2 1 2 t
3 1 2ct 0 2 3 2ct .
或
1 3
1 2 2 2 3 2 3 1 2 9c02
（2－11）
(
0 Leabharlann 1 3 2 2 3 2 3 1 2
)
3.强度理论
强度包络面为一垂直于等倾斜面的圆柱面。
3.强度理论
如土的强度与八面体法向应力有关（扩展了的V.Mises条件）
0 [c0 0tg ]
0 0tg
（2－12）
强度包络面为通过原点和不通过原点的圆锥面。
3.2 最大剪应力强度理论，也叫Tresca条件
当最大剪应力τmax达到极限值ct时就是破坏条件，与中主应力无关。
max
或
1 3
2
ct
1 2 3
2
消去S后
R f 1 sin 1 3 Et 1 Ei 2c cos 2 3 sin
2
（13）
试验常数：Rf、c、φ、Ei
3 Ei kP a P a

n
（14）
Lg Ei～lg σ3为一直线，截距k，斜率n
3.3 散体极限平衡理论，也叫Mohr－ Coulomb条件
破坏时的最大与最小主应力之间的关系有
max K P min
（ 1 K P 3）（2－17）
K P tg 2 45 2
KP－按朗肯理论的被动土压力系数，
1 1 sin 3 1 sin
n
（20）
式中
A
3 kpa p a
1 2c cos 2 sin 3
1 3 d 2 R f 1 sin 1 3