对于加工硬化材料,屈服应力是随着荷载的提高与变形的增大而提高的。 屈服面不同于破坏面,它不是一个固定的面,图中由A点提高到B点。 Rf a 1 Ei 1 3 f a 代入(10) Et 1 Ei 1 Rf a Ei 1 3 f 2 式: (消去轴向应变wk.baidu.com a ) Et 1 R f S Ei 2 (11) 其中 S 1 3 1 3 f R 1 sin 1 3 3 Et 1 f kP a 2c cos 2 3 sin Pa 2 n (15) 弹性模量E与试验常数:Rf、c、Φ、k、n、(Rf对不同的σ3含有不同的 值,取平均值)有关. 1 1 3 f 2 称为应力水平。 根据摩尔-库仑破坏准则: sin 1 1 3 f 3 c cos 2 sin (12) 1 3 f
2c cos 2 3 sin 1 sin 代入(11)式 Et 1 R f S Ei (2-1)
2 2 2 y y z z x 6 yz zx xy 八面体法向应变 0 1 1 2 3 1 x y z 3 3 八面体剪应变 0 2 3 1 2 2 2 3 2 3 1 2 (2-13) 3 1 2ct 2 3 2ct (2-14) 1 3 2ct 如果有一个式子为等号时,则材料进入塑性状态。 或 2c . 2 2 1 2 t 3 1 2ct 0 2 3 2ct . 3.3 散体极限平衡理论,也叫Mohr- Coulomb条件 破坏时的最大与最小主应力之间的关系有 max K P min ( 1 K P 3)(2-17) K P tg 2 45 2 KP-按朗肯理论的被动土压力系数, 1 1 sin 3 1 sin i f 将(6)式 b 、(8)式 a 1 3 f 得到 E 1 3 Rf a 1 Ei 1 3 f a (9) Et 1 Ei 1 Rf a Ei 1 3 f 2 (10) (9)式 1 3 f i 3 pa (18) G、F-试验常数。 代入(17)式 t 3 f 1 1 1d 2 3 G F lg p a t 1 1d 2 利用(1)式最后可得到: (19) 3 G F lg p a t 1 A2 第三章 土的本构关系 §1. 八面体应力的基本知识 1.八面体及八面体应力的意义 边长为2的立方体,主应力σ1、σ2、σ3分别与x、y、z轴平行, a,b,c,d,e,f点为六个面的中心点。 把立方体六个面的中心点连接起来,就成为八面体单元。 1.八面体及八面体应力的意义 八面体应力和八面体应变:指八面体任意面上的法向应力σ0及剪应力 τ0;相应的法向应变ε0及剪应变γ0。他们分别是三个主应力σ1、σ2、 σ3和三个主应变的函数,能够综合反映空间应力状态。 0 [c0 0tg ] 0 0tg (2-12) 强度包络面为通过原点和不通过原点的圆锥面。 3.2 最大剪应力强度理论,也叫Tresca条件 当最大剪应力τmax达到极限值ct时就是破坏条件,与中主应力无关。 max 或 1 3 2 ct 1 2 3 真三轴压缩(σ1≠σ2≠σ3)试 验仪 平面应变试验仪 空心圆柱试验仪 常规三轴压缩试验仪可进行试验 (1)三向等压固结试验 P=σ1=σ2=σ3的排水压缩试验 e(εv)-p曲线 e-lnp曲线 (2)σ2=σ3不变,增加σ1直至破坏,可得一组应力 -应变曲线 超固结粘土和密实砂:加工软化型曲线 超固结土的q-εa曲线 (2-8) (2-9) M 0 3K 剪切模量 G 0 E (2-10) 0 2(1 ) 3.强度理论 达到强度条件时的应力轨迹线称为强度包线。主要强度理论有三种。 3.1 最大八面体剪应力强度理论,也叫V.Mises条件 当八面体剪应力τ0达到极限值c0时,就是破坏条件。 0 c0 μt推导 ε1与ε3的关系为双曲线: 1 f d 3 3 (16) f、d为两个待定常数。 3 f d 3 1 3 f 1 1 1d 3 f t 1 1 1d 2 (17) 过原点的初始切线泊桑比为 i f 初始切线泊桑比与σ3有如下关系 i G F lg n (20) 式中 A 3 kpa p a 1 2c cos 2 sin 3 1 3 d 2 R f 1 sin 1 3 Duncan-Chang模型其有8个参数:c、φ、Rf、k、n、d、F、G,试验 (5) (6) 求a: 将公式(1)式 1 3 a b a a 求导,切线模量Et为: Et 1 3 a a a b a 2 (7) 令εa=0,则原点的切线模量,即初始切线模量为: Ei R 1 a 1 (8) 代入(1)、(7)式(消去a、b), 1 3 2 2 1 3 2 sin 2
1 2 1 2 sin 2 2 3 2 3 sin 2 (2-18) 2 2 2 2 2 3 1 3 1 sin 正常固结粘土和松砂、中密砂:加工硬化型曲线 正常固结土的q-ε曲线 双曲线型: q a b a a 3.非线形弹性模型 (1)E-μ模型(Duncan-Chang)模型 采用双曲线公式代表正常固结粘性土试验曲线: 1 3 a a、b-试验常数 (1)式改为: a b a (1) 即 塑性增量理论包括三个部分 ① 屈服面理论 ② 流动规则理论 ③ 加工硬化规律理论 ①屈服面理论 在屈服面范围内,土体只发生弹性应变,超越屈服面则同时发生弹性和塑 性应变。 弹性变形与塑性变形
对于理想弹塑性材料,当应力的组合,使材料达到屈服状态时,就可以 认为是破坏了,屈服面与破坏面重合,同是一个固定的面。 0 K v 0 G 0 E 3(1 2 ) E G 2(1 ) K 0 2 3 1 2 2 2 3 2 3 1 2 4.弹塑性模型 (1)塑性增量理论 土的应变分为弹性应变εeij和塑性应变εpij, e ij ij ijp 1 3 a a b a (2) 3.非线形弹性模型 1 3 a a b a 应力-应变双曲线函数 公式(1)还可以改成: 双曲线函数坐标变换 1 3 1 a (3) a b 1 3 1 a a 通过求a、b得到弹性模量E. 求b: b 当轴向应变εa→∞时,偏应力趋向一极限值(σ1-σ3)ult 或 1 3 1 2 2 2 3 2 3 1 2 9c02 (2-11) ( 0 1 3 2 2 3 2 3 1 2 ) 3.强度理论 强度包络面为一垂直于等倾斜面的圆柱面。 3.强度理论 如土的强度与八面体法向应力有关(扩展了的V.Mises条件) 2 消去S后 R f 1 sin 1 3 Et 1 Ei 2c cos 2 3 sin 2 (13) 试验常数:Rf、c、φ、Ei 3 Ei kP a P a
n (14) Lg Ei~lg σ3为一直线,截距k,斜率n ( 1 3 ) ult 1 b ( 4) 若土样破坏时的偏应力(即强度)为(σ1-σ3)f,令Rf等于破坏时的偏应 力与极限值之比,称为破坏比: Rf Rf (4)式代入(5)式得(消去偏应力极限值):b 1 3 f 1 3 f 1 3 ult 2.八面体应力与应变的计算公式 可导出: 八面体法向应力 八面体剪应力 0 ( 1 2 3 ) ( x y z ) 0 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 2 3 2 3 1 2 2 2 2 x 0
3.3 散体极限平衡理论,也叫Mohr- Coulomb条件 强度包络面为通过 原点的不等顶角的 六边形锥面。 扩展了的Mohr-Coulomb条件 max KP min 2 KP c 或 1 1 sin 3 1 sin 2c cos 2 2 2 2
(2-15) 3.2 最大剪应力强度理论,也叫Tresca条件 强度包络面是一个垂直 于八面体平面的正六角 柱体面,而屈服面在π 平面上的轨迹是一个正 六边形。 Tresca扩展情况: max 0tgt max [ct 0tgt ] (2-16) 相应的强度包络面为通过原点和不通过原点的正六角形锥面。 强度包络面为不通过原点 的不等顶角的六边形锥面。 3.强度理论 三种破坏条件的比较 §2. 土的应力-应变关系 1.材料的应力-应变关系 材料的应力-应变关系 2.土的三轴压缩试验应力-应变曲线 基本形态 常用土工试验仪 直剪仪 单向固结仪 常规三轴压缩(σ2=σ3)试验 仪 非常规试验仪 为3组常规三轴压缩试验. Duncan-Chang模型试验常数 上海粉 质粘土 c 0 φ 39.0 Rf 0.68 k 125 n 0.52 d 8.48 F -0.127 G -0.16 (2)K-G模型 用体积模量k与剪切模量G代替E、μ。 八面体应力的基本公式: 应力与应变关系为: 1 0 1 2 3 3 1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 0 3 v 1 2 3 (2-3) 0 1 2 0 E 或 0 E 0 1 2 (2-4) 八面体弹性模量 M0 E 1 2 (2-5) (2-6) 31 2 v 1 2 3 0 E 0 E V 3 1 2 体积弹性模量 K (2-7) E 31 2 八面体弹性模量: 1 2 3 1 1 2 3 E 1 2 1 3 E 1 3 1 2 E 1 2 1 2 3 E (2-2) 1 2 3 1 1 2 3 1 2 1 1 2 3 1 2 0 3 E 3 E