巧解与圆有关的最值问题

xx与圆有关的最值（范围）问题圆是数学中优美的图形，具有丰富的性质．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形性质，利用数形结合求解．当然，根据《教学要求》的说明，“平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想”，因此在此类问题的求解中，有时也会用到函数思想和基本不等式思想等．本文将就与圆的最值问题有关的题目进行归纳总结,希望能为学生在处理此类问题时提供帮助． 类型一：圆上一点到直线距离的最值问题应转化为圆心到直线的距离加半径，减半径例1 已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ：22(3)1x y -+=上任一点,则PQ 的最小值为 。

【分析】：这是求解“圆上一动点到直线距离”的常见考题,可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，这一结论在解题时可直接应用．解：如图1，圆心C到直线y=x +1的距离d =圆半径1r =，故1PQ PC r ≥-=变题1：已知A （0,1），B （2,3）,Q 为圆C 22(3)1x y -+=上任一点，则QABS的最小值为 。

【分析】本题要求QABS的最大值，因为线段AB 为定长，由三角形面积公式可知，只需求“Q 到AB l 的最小值"，因此问题转化为“圆上一动点到直线的最小距离”，即例1． 解:如图2，设Q h 为Q 到AB l 的距离，则11)42QABQ Q SAB h =⋅===+图1 图2变题2：由直线y=x +1上一点向圆C :22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 【分析】一般地，当直线和圆相切时，应连接圆心和切点,构造直销三角形进行求解．因为222PA PC r =-，故即求PC 的最小值，即例1．解：如图3，22221PA PC r PC =-=-，∵min PC=∴min PA变题3：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB ，A 、B 为切点,则当PC= 时，APB ∠最大．【分析】APB APC ∠=∠，故即求角APC ∠的最大值，利用其正弦值即可转化为求PC 的最小值，即例1．解：如图4，∵APB APC ∠=∠，1sin APC PC∠=,∵min PC =,∴PC =APC ∠最大，即APB ∠最大．图3 图4变题4：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为 .【分析】将四边形面积转化为两个全等的三角形的面积，从而转化为PA 的最小值，问题又转化为求切线段的最小值问题．解：如图4，1222PAC PAB PAB S S S S PA AC PA ∆∆∆=+==⨯⋅⋅=四边形PACB ，由变式2可知，min PA =PACB【解题回顾】在上面例1及几个变试题的解题过程中，我们可以总结一句“万变不离其宗”，一般地，求“圆上一动点到直线距离”的常见考题，可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，“圆心到直线的距离加半径”即为最大距离，这一结论在解题时可直接应用．另:和切线段有关的问题常利用“连接圆心和切点,构造直销三角形“进行求解．也即将“ 两个动点的问题转化为一个动点的问题”．如下例．例2已知圆C:222430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小值的点P 坐标．【分析】本题中，由于点P 和点M 均在动，故直接做很难求解．联系到PM 是切线段，因此可利用222PM PC r =-将条件PM=PO 转化为只含有一个变量P 的式子即可求解．解：由题意，令(,)P x y ，∵222PM PC =-，∴222PC PO -=，即2222(1)(2)2x y x y ++--=+,化简得：2430x y -+=．∵PM=PO ，∴即求直线2430x y -+=到原点O （0，0)的最小距离．d==PMx类型二：利用圆的参数方程转化为三角函数求最值例3若实数x 、y 满足22240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值．【分析】本题是典型的用圆的参数方程解决的题型，利用圆的参数方程将所求式转化为三角函数求最值，利用辅助角公式即得最大值．解：22(1)(2)5x y ++-=，令1()2x R y θθθ⎧=-+⎪∈⎨=+⎪⎩，则255cos()5x y θθθϕ-=-+-=+-(其中cos ϕϕ==) ∴当cos()1θϕ+=时，max (2)550x y -=-=，故x —2y 的最大值为0．【解题回顾】和圆有关的一次式的求解，利用圆的参数方程可以比较方便的求到最值．类型三:抓住所求式的几何意义转化为线性规划问题求最值若所求式子具有较明显的几何意义,值．比如例2，除了用圆的参数方程求解,这类题通常转化为直线方程的纵截距求解． 解法二：令2x y z -=,则1122y x z =-,由题意，当直线的纵截距最小时,z 最大，此时直线和圆相切，故圆心到直线的距离d ==故010z =-或，由题意，max 0z =，即x-2y 的最大值为0．除了转化为直线的截距求解，还有一些式子具有明显的几何意义，比如斜率、两点间距离、点到直线的距离等．比如在上例中，改为求12y x --，22(2)(1)x y -+-，1x y --的取值范围,则可以分别用如下方法求解： 对12y x --，转化为圆上任意一点P 到点(2,1)A 连线斜率的最大值,可设过点(2,1)A 的直线为1(2)y k x -=-，直线和圆相切时，即圆心到直线的距离d ==，可得122k =-或,故1[2,)(,2k ∈+∞⋃-∞-．对22(2)(1)x y -+-,转化为圆上任意一点P 到点(2,1)A 距离的平方的取值范围,由例1易得[PA CA CA ∈+，即222(2)(1)[50PA x y =-+-∈-+对1x y --，联想到点到直线的距离公式中有类似的元素．可将问题转化为圆上任意一点P 到直线10x y --=的距离的问题，易得，圆心到直线的距离为P （x ，y）到直线10x y--=,即1[4x y--∈.【解题回顾】当所求式子含有明显的几何意义时，注意联系线性规划，用线性规划的思路求解可将问题简单化和直观化．类型四：向函数问题转化平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想．有些问题，单纯利用圆的几何性质无法求解．此时应考虑如何利用代数思想将问题转化为函数问题．例4(2010年高考全国卷I理科11）已知圆O：221x y+=，P A、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点，则PA PB⋅的最小值为【分析】本题中,由于A、B都是动点，故将PA PB⋅转化为坐标形式较难求解．此时考虑到向量数量积的定义，令2APBα∠=，cos2PA PB PA PBα⋅=，而切线段PA=PB也可用α表示,故所求式可转化为关于α的三角函数求解．解:令2((0,))2APBπαα∠=∈，cos2PA PB PA PBα⋅=，1tanPA PBα==，∴222222cos2cos cos2(1sin)(12sin)tan sin sinPA PBαααααααα⋅--⋅===，令2sin(0)t tα=>，则(1)(12)1233t tPA PB tt t--⋅==+-≥（当且仅当2t=2sin2α=时取等号）【解题回顾】本题以向量定义为载体，巧妙地利用了设角为变量，将与圆有关的问题转化为三角函数的问题求解．将几何问题代数化，利用函数思想求解．同时运用了换元思想，基本不等式思想等解题方法，是一道综合题．类型五：向基本不等式问题转化例5已知圆C：22+24x y+=（），过点(1,0)A-做两条互相垂直的直线12l l、，1l交圆C 与E、F两点，2l交圆C与G、H两点，（1）EF+GH的最大值．(2）求四边形EGFH面积的最大值．【分析】由于EF和GH都是圆的弦长，因此可利用222=+半径半弦长弦心距将EF+GH转化，用基本不等式的相关知识点．解:（1）令圆心C 到弦EF 的距离为1d ，到弦GH 的距离为2d ,则EF +GH =，又222121d d CA +==,2≤==(当且仅当122d d ==取等号)故EF +GH ≤=（2)∵EF GH ⊥，∴22128()12722d d S EF GH -+=⋅=≤⋅=四边形EFGH(当且仅当122d d ==取等号）【解题回顾】本题(1）是利用2a b +≤（2)2a b +．基本不等式是求最值的基本方法．在利用基本不等式求最值时应注意如何构造“定量”．由于圆的对称性，在与圆有关的最值问题中,应把握两个“思想"：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心,将最值问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想,即利用圆的参数方程．同时，由于最值问题从代数意义上讲和函数的最值联系紧密，因此在解题过程中灵活的应用函数、不等式等代数思想使问题代数化、简单化也是需要注意的．。

隐形圆最值问题初中题型
隐形圆最值问题是初中数学中的一个常见题型，也是一个优化问题。

该问题通常涉及到一个平面内的几何图形，并要求根据给定条件找到某个属性的最大值或最小值。

以下是一个典型的隐形圆最值问题：
问题：已知一个正方形的周长为20cm。

在正方形内部有一个圆，使得圆与正方形的边界相切。

求这个圆的最大半径。

解答：设正方形的边长为a，圆的半径为r。

根据条件，圆与正方形的边界相切，表示圆正好与正方形的边界接触，没有超出正方形。

根据正方形的周长为20cm可知： 4a = 20 a = 5cm
设圆的半径为r，圆的直径为2r。

由于圆与正方形的边界相切，所以圆的直径等于正方形的边长，即2r = a。

代入已知条件可得： 2r = a 2r = 5
解出r得最大半径： r = 5/2 r = 2.5cm
因此，该正方形内的隐形圆的最大半径为2.5cm。

在解决类似的隐形圆最值问题时，关键是将问题进行合理的建模和分析。

通过设定适当的变量和条件，利用等式或不等式关系，可以得到最终的结果。

重要的是将问题化归为数学计算的形式，然后进行推导和求解。

隐形圆最值问题需要仔细观察和分析，巧妙运用数学知识和方法，才能得到准确的最值结果。

2013-12课堂内外求解与圆相关的最值问题是平面几何中的常见问题，常常需要利用基本不等式线性规划等解决，这个时候基本上要面临两个变量的问题。

而圆又与角息息相关，如果找到合适的角，利用三角函数强大的变形力量有时会为我们带来意想不到的效果。

一、关于内接图形的面积最值问题1.圆的内接矩形问题例1.如图所示，半径为R 的☉O 的内接矩形为ABCD ，求矩形ABCD 面积的最大值。

分析：圆的内接矩形并不是固定的，但是其对角线一定经过圆心，所以可以用对角线与一边所成的角来刻画矩形的变动。

解：设∠ABD=φ，φ∈（0，π2）则AD =2R sin φ，AB =2R cos φ∴S ABCD =AB ·BD =2R 2sin2φ，φ∈（0，π2）∴φ=π4时，S ABCD 取到最大值为2R 22.推广至半圆的内接矩形问题变式1.如图所示，半径为R 的半圆O 的内接矩形为ABCD ，求矩形ABCD 面积的最大值。

分析：要使内接矩形面积最大，不妨以B 为原始动点，它从半圆的弧的右端点开始运动到弧的中点。

而B点的这个运动过程我们可以用OB 与OA 所成的角刻画，角度从0变到π2。

故设∠AOB=θ，且θ为锐角，半圆的半径为R ，则S 矩形ABCD =AB ·DA=R sin θ·2R cos θ=R 2sin2θ所以，当θ=45°时,矩形ABCD 的面积取得最大值R 2。

3.再推广至扇形的内接矩形例2.如图，求圆心角为60°，半径为1的扇形AOB 内接矩形PQMN 面积的最大值。

分析：如图所示，矩形PQMN 内接于扇形AOB ，把M 点作为原始动点，设∠MOA =θ，则MQ =sin θ，PQ =OQ -OP =cos θ-NP tan π3cos θ-3√3sin θ，所以S 矩形PQMN =MQ ·PQ =sin θ（cos θ-3√3sin θ）=12sin2θ-3√31-cos2θ2=3√3sin （2θ+π6）-3√6所以当θ=π6时，S 矩形P QMN 取到最大值3√6。

挖掘 隐圆 巧解向量最值问题陈存勤(江苏省启东中学ꎬ江苏启东２２６２００)摘㊀要:向量最值问题往往隐藏着圆的背景ꎬ设法让 隐圆 显现ꎬ便可轻松破解这一类向量最值问题.关键词:向量ꎻ最值问题ꎻ圆中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３０－０００２－０３收稿日期:２０２３－０７－２５作者简介:陈存勤(１９８２.１－)ꎬ男ꎬ江苏省泰州人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀高考试题或者模拟试题中ꎬ经常出现考查向量最值的问题ꎬ这类题目难度较大ꎬ常常找不到解题的切入点ꎬ或者运算量过大.那么ꎬ如何解决这一类问题呢?这类试题往往隐藏着圆的背景ꎬ如果我们能够通过分析已知条件ꎬ或者将其进行转化ꎬ把题目中隐藏的圆揭示出来ꎬ然后ꎬ在此基础上ꎬ利用圆中的特殊线或者特殊位置ꎬ就可以帮助我们解决这类试题[１].１建立坐标系找出 隐圆例１㊀(２０２２年天津卷)在әＡＢＣ中ꎬＣＡң＝ａꎬＣＢң＝ｂꎬＤ是ＡＣ中点ꎬＣＢң＝２ＢＥңꎬ试用ａꎬｂ表示ＤＥң为ꎬ若ＡＢңʅＤＥңꎬ则øＡＣＢ的最大值为.解析㊀根据题意ꎬ如图１所示建立坐标系.设Ｅ(０ꎬ０)ꎬＢ(１ꎬ０)ꎬＣ(３ꎬ０)ꎬＡ(ｘꎬｙ)ꎬ则ＤＥң＝(－ｘ＋３２ꎬ－ｙ２)ꎬＡＢң＝(１－ｘꎬ－ｙ)ꎬ图１㊀Ａ的轨迹为圆由ＤＥңʅＡＢң⇒(ｘ＋３２)(ｘ－１)＋ｙ２２＝０⇒(ｘ＋１)２＋ｙ２＝４.所以点Ａ的轨迹是以Ｍ(－１ꎬ０)为圆心ꎬ以ｒ＝２为半径的圆ꎬ当且仅当ＣＡ与☉Ｍ相切时øＡＣＢ最大ꎬ此时ｓｉｎøＡＣＢ＝ｒＣＭ＝２４＝１２ꎬøＡＣＢ＝π６.点评㊀本题通过建立坐标系ꎬ发现点Ａ的轨迹是圆ꎬ而且圆心是在直线ＢＣ上ꎬ然后根据圆的几何性质即可得解ꎬ直观㊁形象.例２㊀已知平面向量ａꎬｂꎬｃ满足ａʅｂꎬ且｜ａ｜＝｜ｂ｜＝２ꎬ｜ｃ－ａ－ｂ｜＝１ꎬ则｜ｃ－ａ｜＋２｜ｃ－ｂ｜的最小值为(㊀㊀).Ａ.１５２㊀㊀Ｂ.１５㊀㊀Ｃ.１７２㊀㊀Ｄ.１７解析㊀选Ｄ.如图２所示建立直角坐标系ꎬ设ＯＡң＝ａ＝２ꎬ０()ꎬＯＢң＝ｂ＝０ꎬ２()ꎬＯＣң＝ｃ＝ｘꎬｙ()ꎬ则ｃ－ａ＝ｘ－２ꎬｙ()＝ＡＣңꎬｃ－ａ－ｂ＝ｘ－２ꎬｙ－２()ꎬｃ－ｂ＝ｘꎬｙ－２()＝ＢＣң.由｜ｃ－ａ－ｂ｜＝１得ｘ－２()２＋ｙ－２()２＝１ꎬ故Ｃ在以Ｄ２ꎬ２()为圆心ꎬ半径为１的圆上ꎬ取２Ｅ２ꎬ３２æèçöø÷ꎬ则Ｅ在ＡＤ上ꎬ则ＤＥＤＣ＝ＤＣＤＡ＝１２ꎬ又øＣＤＥ＝øＡＤＣꎬʑәＥＣＤʐәＣＤＡꎬʑＥＣＡＣ＝１２ꎬ即ＡＣ＝２ＥＣ.因为｜ｃ－ａ｜＋２｜ｃ－ｂ｜＝ＡＣ＋２ＢＣ＝２ＥＣ＋ＢＣ()ȡ２ＥＢ＝２２－０()２＋３２－２æèçöø÷２＝１７.图２㊀动点Ｃ在圆上点评㊀建立坐标系后ꎬ发现点Ｃ的轨迹方程是圆ꎬ利用三角形的相似及两点之间直线段最短ꎬ即可获解.２根据向量模长找出 隐圆例３㊀(２０１６年陕西省数学竞赛)已知ａꎬｂꎬｃ是同一平面内的三个单位向量ꎬ且ａʅｂꎬ则(ｃ－ａ) (ｃ－ｂ)的最大值是(㊀㊀).Ａ.１＋２㊀Ｂ.１－２㊀Ｃ.２－１㊀Ｄ.１解析㊀选Ａ.如图３所示ꎬ设ＡꎬＢꎬＣ为单位圆上的三点ꎬＯＡң＝ａꎬＯＢң＝ｂꎬＯＣң＝ｃꎬＭ为线段ＡＢ中点ꎬ则有ＯＡңʅＯＢң.所以(ｃ－ａ) (ｃ－ｂ)＝ＡＣң ＢＣң＝ＣＡң ＣＢң＝ＣＭң２－ＭＢң２＝ＣＭң２－(２２)２ɤ(１＋２２)２－１２＝１＋２.图３㊀单位圆点评㊀遇到共起点向量的数量积的最值问题ꎬ可考虑使用极化恒等式来处理ꎬ如图３所示ꎬ有ＣＡң ＣＢң＝１４[(ＣＡң＋ＣＢң)２－(ＣＡң－ＣＢң)２]＝１４(４ＣＭң２－ＢＡң２)＝ＣＭң２－ＭＢң２.例４㊀已知平面向量ａꎬｂꎬｃ满足ａ－ｂ＝４ꎬａ－ｃ() ｂ－ｃ()＝－３ꎬ则ｃ ａ＋ｂ()的最小值为(㊀㊀).Ａ.１４㊀㊀Ｂ.１２㊀㊀Ｃ.－１４㊀㊀Ｄ.－１２解析㊀选Ｄ.令ａ＝ＯＡңꎬｂ＝ＯＢңꎬｃ＝ＯＣңꎬ则ＢＡң＝４ꎬＣＡң ＣＢң＝－３.如图４所示ꎬ取ＡＢ中点Ｍꎬ则ＣＡң ＣＢң＝ＣＭң２－ＡＭң２＝ＣＭң２－４＝－３ꎬ则ＣＭң＝１ꎬ所以点Ｃ的轨迹是以Ｍ为圆心ꎬ１为半径的圆ꎬ取ＣＭ中点Ｎꎬ则ｃ ａ＋ｂ()＝ＯＣң ２ＯＭң＝２(ＯＮң２－ＣＮң２)＝２ＯＮң２－１４æèçöø÷ȡ－１２.当且仅当ＯＮң＝０ꎬ即点Ｏ与点Ｎ重合时ꎬ取到最小值－１２.图４㊀Ｃ的轨迹为圆点评㊀由题意可知ＢＡң＝４ꎬ为定值ꎻ而ＣＡң ＣＢң＝－３属于共起点向量的数量积问题ꎬ考虑使用极化恒等式处理.取ＡＢ中点Ｍꎬ则ＣＡң ＣＢң＝ＣＭң２－ＡＭң２＝ＣＭң２－４＝－３ꎬ则ＣＭң＝１ꎬ即点Ｃ的轨迹是圆.３根据几何特征找出 隐圆例５㊀(２０２２年南京大学强基计划)已知向量ａꎬｂꎬｃ满足ａ＝３ꎬｂ＝２㊀２ꎬａ ｂ＝６ꎬ且(ａ＋ｃ)(ｂ＋２ｃ)＝０ꎬ则ｂ＋ｃ的最小值为.解析㊀设ＯＡң＝－ａꎬＯＢң＝－ｂꎬＯＣң＝ｃꎬＤ为ＯＢ３图５㊀以ＡＤ为直径的圆的中点ꎬ由题意得(ｃ－(－ａ)) (ｃ－(－ｂ２))＝０ꎬ即ＡＣң ＤＣң＝０.因此点Ｃ是在以ＡＤ为直径的圆上ꎬ如图５所示ꎬ所以ｂ＋ｃ＝ｂ－(－ｃ)的最小值即为ＣＢң的最小值.设Ｅ为ＡＤ的中点ꎬ由于点Ｂ是定点ꎬＣ是圆上的动点ꎬ所以当ＢꎬＣꎬＥ三点共线时ꎬＣＢң取得最小值.利用余弦定理ꎬ可求得ＡＤ＝５ꎬＤＥ＝５２ꎬＢＥ＝３２ꎬ所以ＣＢң取得最小值为３－５２ꎬ即ｂ＋ｃ的最小值为３－５２.点评㊀通过简单转化后ꎬ得到ＡＣң ＤＣң＝０ꎬ可知点Ｃ是在以ＡＤ为直径的圆上.遇到垂直关系ꎬ可考虑找出其 隐圆 (也称直径圆)ꎬ然后利用圆的几何性质即可.例６㊀(２０１８年浙江卷)已知ａꎬｂꎬｅ是平面向量ꎬｅ是单位向量.若非零向量ａ与ｅ的夹角为π３ꎬ向量ｂ满足ｂ２－４ｅ ｂ＋３＝０ꎬ则ａ－ｂ的最小值是(㊀㊀).Ａ.３－１㊀Ｂ.３＋１㊀㊀Ｃ.２㊀Ｄ.２－３解析㊀由ｂ２－４ｅ ｂ＋３＝０得ｂ２－４ｅ ｂ＋３ｅ２＝０⇒ｂ－ｅ() ｂ－３ｅ()＝０即ｂ－ｅ()ʅｂ－３ｅ().由此可找出 隐圆 ꎬ如图６所示.图６㊀Ｂ的轨迹为圆几何动态意义:ｂ的终点在半径为１的圆上运动ꎬａ的终点在射线ＯＰ上运动ꎬ直接找出临界(垂线段最短)ꎬ所以ａ－ｂ的最小值为点Ｆ到射线ＯＰ的距离减去１ꎬ即ａ－ｂｍｉｎ＝２ｓｉｎπ３－１＝３－１.点评㊀本题关键是根据ｅ是单位向量ꎬ把ｂ２－４ｅ ｂ＋３＝０得转化为ｂ２－４ｅ ｂ＋３ｅ２＝０ꎬ从而得到ｂ－ｅ()ʅｂ－３ｅ()ꎬ即可找出 隐圆 .例７㊀已知平面向量ａꎬｂꎬｃꎬ满足ａ＝ｂ＝２ꎬａꎬｂ的夹角为π３ꎬ且ｃ２－２ａ ｃ＋３＝０ꎬ则对一切实数ｘꎬｘａ＋ｂ－ｃ的最小值是[２].解析㊀设ＯＡң＝ａꎬＯＢң＝ｂꎬＯＣң＝ｃꎬｃ２－２ａ ｃ＋３＝０⇒ｃ２－２ａ ｃ＋４＝１＝ｃ－ａ()２⇒ｃ－ａ＝１ꎬ如图８所示ꎬ点Ｃ位于以Ａ为圆心ꎬ半径为１的圆上ꎬｘａ＋ｂ表示起点在点Ｏꎬ终点Ｍ在过点Ｂ且与直线ＯＡ平行的直线ｌ上.当ＭꎬＨ重合时ꎬｘａ＋ｂ－ｃ取最小值ＣＨ.由图７可知ＣＨȡＡＨ－ＣＡ＝２ｓｉｎπ３－ＣＡ＝３－１ꎬ故ｘａ＋ｂ－ｃ的最小值为３－１.图７㊀Ｃ轨迹为圆点评㊀根据ａ＝２ꎬ把ｃ２－２ａ ｃ＋３＝０转为为ｃ２－２ａ ｃ＋ａ２＝１ꎬ即(ｃ－ａ)２＝１ꎬｃ－ａ＝１ꎬ故点Ｃ位于以Ａ为圆心ꎬ半径为１的圆上ꎬ从而找出 隐圆 .解决这类向量最值问题的策略就是利用坐标法或者几何法得到动点的轨迹方程(即圆)ꎬ再根据圆的几何性质求出向量数量积的最值.参考文献:[１]孔繁晶.挖掘几何意义巧解平面向量数量积问题[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２１(２５):６－７.[２]傅树兵.例析高中数学与 圆 有关的最值问题[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２３(０１):４４－４６.[责任编辑:李㊀璟]４。