与圆相关的最值问题

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巧用三角函数求解与圆相关的最值问题

作者：王利

来源：《新课程·上旬》2013年第12期

摘 要：在处理圆或扇形内接矩形的面积问题中，常常采用角度作为刻画面积的变量，如何找到合适的角表示内接矩形的面积就是解决问题的关键。圆的参数方程又给出了角度和位置的关系，所以借助三角函数强大的变形力量可以巧解圆的最值问题。

关键词：三角函数；圆；最值；变量

求解与圆相关的最值问题是平面几何中的常见问题，常常需要利用基本不等式线性规划等解决，这个时候基本上要面临两个变量的问题。而圆又与角息息相关，如果找到合适的角，利用三角函数强大的变形力量有时会为我们带来意想不到的效果。

一、关于内接图形的面积最值问题

1.圆的内接矩形问题

例1.如图所示，半径为R的⊙O的内接矩形为ABCD，求矩形 ABCD面积的最大值。

分析：圆的内接矩形并不是固定的，但是其对角线一定经过圆心，所以可以用对角线与一边所成的角来刻画矩形的变动。

2.推广至半圆的内接矩形问题

变式1.如图所示，半径为R的半圆O的内接矩形为ABCD，求矩形ABCD面积的最大值。

3.再推广至扇形的内接矩形

例2.如图，求圆心角为60°，半径为1的扇形AOB内接矩形 PQMN面积的最大值。

另外，扇形的内接矩形还有其他形式，如图，使矩形的一边平行于弦AB作出内接矩形PQMN。而这样的内接矩形，我们以扇形的角平分线为分界将这个扇形分成两个相等小的扇形。

S矩形PQMN=2S矩形PEDN

接下来小扇形的内接矩形就可以类比第一种方法了。 龙源期刊网

另外如果圆心角为钝角，可以参考第二种做法分成两个全等的小扇形，即转换为圆心角为锐角来解决。

x y

O C P

Q x y

O C B

Q A 与圆有关的最值（范围）问题

圆是数学中优美的图形，具有丰富的性质．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形性质，利用数形结合求解．当然，根据《教学要求》的说明，“平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想”，因此在此类问题的求解中，有时也会用到函数思想和基本不等式思想等．本文将就与圆的最值问题有关的题目进行归纳总结,希望能为学生在处理此类问题时提供帮助．

类型一：圆上一点到直线距离的最值问题应转化为圆心到直线的距离加半径，减半径

例1 已知P为直线y=x+1上任一点，Q为圆C：22(3)1xy上任一点,则PQ的最小值为

。

【分析】：这是求解“圆上一动点到直线距离”的常见考题,可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，这一结论在解题时可直接应用．

解：如图1，圆心C到直线y=x+1的距离22d，圆半径1r，故221PQPCr

变题1：已知A（0,1），B（2,3）,Q为圆C22(3)1xy上任一点，则QABS的最小值为

。

【分析】本题要求QABS的最大值，因为线段AB为定长，由三角形面积公式可知，只需求“Q到ABl的最小值"，因此问题转化为“圆上一动点到直线的最小距离”，即例1．

解:如图2，设Qh为Q到ABl的距离，则122(221)422QABQQSABhh

图1 图2

变题2：由直线y=x+1上一点向圆C:22(3)1xy引切线，则切线长的最小值为

【分析】一般地，当直线和圆相切时，应连接圆心和切点,构造直销三角形进行求解．因为222PAPCr，故即求PC的最小值，即例1．

解：如图3，22221PAPCrPC，∵min22PC,∴min7PA

与圆相关的最值问题

与圆相关的最值问题可以包括多个方面，例如圆的周长、面积、弧长等。以下是一些常见的与圆相关的最值问题及其解决方法：

1. 圆的周长最值问题：

* 设圆的半径为r，则周长C=2πr。当r取最小值时，C取最小值。

* 解决方法：当圆内接于一个固定多边形时，该多边形的所有边都与圆相切，此时r取最小值。

2. 圆的面积最值问题：

* 设圆的半径为r，则面积A=πr^2。当r取最小值时，A取最小值。

* 解决方法：与周长最值问题类似，当圆内接于一个固定多边形时，该多边形的所有边都与圆相切，此时r取最小值。

3. 圆的弧长最值问题：

* 设圆的半径为r，圆心角为θ，则弧长L=rθ。当θ取最大值时，L取最大值。

* 解决方法：当圆内接于一个固定多边形时，该多边形的所有边都与圆相切，此时θ取最大值。

4. 圆内接四边形面积最值问题：

* 设圆内接四边形的边长分别为a, b, c, d，则面积S=(a×b+c×d)/2。当a=b=c=d时，S取最大值。

* 解决方法：当四边形为正方形时，S取最大值。 5. 圆内接三角形面积最值问题：

* 设圆内接三角形的边长分别为a, b, c，则面积S=(a×b+b×c+c×a)/4。当a=b=c时，S取最大值。

* 解决方法：当三角形为等边三角形时，S取最大值。

以上是与圆相关的常见最值问题及其解决方法，希望对您有所帮助。

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与圆有关的最值问题

圆是自然界中优美的图形之一，也是数学中的重要研究对象．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形特点，利用数形结合来求解．当然，我们也会用到函数思想和基本不等式来处理与圆有关的最值问题．在处理与圆有关的最值问题时，应把握两个“思想”：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心，将最值问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想，即利用圆的参数方程．

【与圆有关的最值类型】

①一定点与定圆上动点间距离的最大与最小值.

处理方法：利用定点到圆心的距离加(减)圆的半径.

①定直线与定圆上动点间距离的最大与最小值.

处理方法：定点到圆心的距离加(减)圆的半径.

①分别在两定圆上的两动点间距离的最大与最小值.

处理方法：圆心距加(减)两圆的半径.

例1.(1)圆x2＋y2＝1上点到直线l：3x＋4y－25＝0距离的最大和最小值分别是( ).

A.6；3. B.6；4. C.5；3. D.5；4.

(2)已知点P(a，b)在圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0上，则a2＋b2的最小值是_____．

解:(1)法1.圆心O到直线的距离为d=25√32+42=5，而圆的半径为1，①

圆x2＋y2＝1上点到直线l：3x＋4y－25＝0距离的最大和最小值分别是5+1=6和5-1=4.故应选B.

法2.设圆x2＋y2＝1上的点P(cosθ,sinθ)，点P到直线l：3x＋4y－25＝0距离d′，

则 d′=|3cosθ+4sinθ−25|5=|sin (θ+φ)−5|，① −1≤sin (θ+φ)≤1，

① 圆x2＋y2＝1上点到直线l：3x＋4y－25＝0距离的最大和最小值分别是6和4.

故应选B.

(2)法1. ① 圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0的圆心和半径分别为(1，-2)，r=5.而圆心到原点的距离d=√5，① 5−√5≤√a2+b2≤5+√5,⇒30−10√5≤a2+b2≤30+10√5.