第六章平稳随机过程
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1 第六章 平稳随机过程
6.1平稳过程的概念与例子
第二章2.4中介绍了严平稳过程与宽平稳过程.在自然科学,工程技术中人们常遇到这类过程,例如纺织过程员棉纱截面积的变化;导弹在飞行中受到湍流影响产生的随机波动;军舰在海浪中的颠波;通讯中的干扰噪声等等.它们都是可用平稳过程描述.这类过程一方面受到随机因素的影响产生随机波动,同时又有一定的惯性,使在不同时刻的波动特性基本保持不变.其统计特是,当过程随时间的变化而产生随机波动时,其前后状态是相互联系的,且这种联系不随时间的推延而改变
. 由于严平稳过程的统计特征是由有限维分布函数来决定的,在应用中比较难以确定,而宽平稳过程的判别只涉及一二阶矩的确定,在实际中比较容易获得,因此我们主要研究宽平稳过程.这种仅研究与过程一二阶矩有关性质的理论,这就是所谓相关理论.对于正态过程,由于其宽平稳性与严平稳性是等价的,故用相关理论研究它显得特别方便.本书后面涉及的.主要是宽平稳过程,简称它为平稳过程.
例6.1 设,...}2,1,0,{,nXn是实的互不相关随机变量序列,且,0][nXE
2][nXD,试讨论随机序列的平稳性.
解 因为,0][nXE
,0,00,],[),(2nnXXXEnnR
其中为整数,故随机序列的均值为常数,相关函数仅与有关,因此它是平稳序列.
在物理和工程技术中,称上述随机序列为白噪声.它普遍存在于各类波动现象中,如电子发射波的波动,通讯设备中电流或电压的波动等,这是一种较简单的随机干扰的数学模型.
例6.2设,...}2,1,0,{,nZn为复随机序列,且,0][nZEmnnmnZZE2][,
,...)2,1,0(,2nwnnn为实数序列.对于每一个t,可以证明级数tiwnnneZ在均方意义下收敛.令
X(t)=tiwnnneZ
利用随机变量级数均方收敛性质,可以推得
EtXE)]([[tiwnnneZ]=0,
[)]()([EtXtXEtiwnnneZ,])(ntiwmmeZ 2 =niwnneZE2.
所以X(t)为平稳过程.
物理上,cos(wt),sin(wt)或iwte都是描述简谐振动的,tiwnnnetwtw),sin(),cos(都可以看作具有随机振幅的简谐振动.上述例题说明,若不同频率的随机振幅互不相关,则这种简谐振动的有限项甚至无限项的加(只要它是均方收敛的)都是平稳过程.
例6.3 设随机{N(t),}0t是具有参数的泊松过程,随机过程{X(t),t}0定义为:若随机点在[0,t]内出现偶数次(0也看作偶数),则X(t)=1;若出现奇数次,则X(t)=-1,
(1) 讨论随机过程X(t)的平稳性;
(2) 设随机变量V具有概率分布,
,21}1{}1{VPVP
且与X(t)独立,令Y(t)=VX(t),试讨论随机过程Y(t)平稳性.
解 (1)由于随机点N(t)是具有参数的泊松过程,故在[0,t]内随机点出现k次的概率
,...2,1,0,!)()(kktetPktk
故
),(....}!4)(!2)(1[...)()(}1)({4220tchettetPtPtXPtt
),(....}!5)(!3)([...)()(}1)({5331tshetttetPtPtXPtt
于是,
)(..1)(.1)]([)(tshetchetXEtmttX=.2te
故X(t)不是平稳过程.其他略.
例6.4 设有状态连续,时间离散的随机过程),2sin()(QttX其中Q是(0,1)上均匀分布的随机变量,t只取整数值1,2,…,试讨论随机过程X(t)的平稳性.
解 因为
102sin()()2sin()]2{sin()]([dqqfqtQtEtXEqt)dq=0,
10)](2sin[)2sin()]()({),(dqtqqttXtXEttR 3 =,0,0,0,21]])2(2cos[)2[cos(2110dqqtq
所以X(t)是平稳过程.
现在我们用此例说明宽平稳过程不一定是严平稳过程.事实上,令1tt,由于状态11)(xtX对应两个q值,即
1112)arcsin(txq,1122)arcsin(txq
于是得随机过程的一维概率密度为
.11)(),(21112211111xtdxdqqfdxdqqfxtf
可见X(t)的一维概率密度与时间t有关,故X(t)只是宽平稳过程.,而不是严平稳过程.
例6.5 设X(t)=Xf(t)为复随机过程,其中X是均值为0的实随机变量,f(t)是t的随机函数..试证X(t)是平稳过程的充要条件是qwcicetfqwti,,,1,)()(为常数.
证明 充分x性:令,)()(qwticetf记D[X]=2,因为E{X}=0,故
0)]([)]([)(tXfEtXEtmX,
由于)]()([),(tXtXEttRX
=,.][22)])([)(22iwqtwiqwtieceecXE
所以X(t)是平稳过程.
必要性:设X(t)是平稳过程,则
)]()([),(tXtXEttRX=),()(][2tftfXE
上式必须与t无关,取,0有22)(ctf(常数).
因此)(,)()(tcetfti为实函数,于是
))].()((exp[)()(2ttictftf
上式应与t无关,故,0)]()([ttdtd 于是,)(qwtt 故
qwcicetfqwti,,,1,)()(为常数.
6.2 联合平稳过程及相关函数的性质 4 一,联合平稳过程
对于两个平稳过程的联合分布和数字特征的讨论,可以用类似于第二章的方法.下面主要讨论两个平稳过程的联合平稳问题.若将两个平稳过程X(t)和Y(t)同时输入加法器中,加法器的输出随机过程W(t)=X(t)+Y(t)是否平稳的问题.
首先分析输出过程的要求的平稳条件.由
)]()([tWtWE=}]()()]{()({[tYtXtYtXE
=])()({[tXtXE+)]()([tYtY+)]()([tYtX+})]()([tXtY
=)()(YXRR)]()([tYtXE+)]()([tXtYE.
上式最后两项是X(t)和Y(t)的互相关函数,一般情况下,它们与t有关,为使输出过程W(t)是平稳,必需要求输入的两个平稳过程X(t)和Y(t)的互相关函数与t无关.
定义6.1设}),({TttX和}),({TttY是两个平稳过程,若它们的互相关函数)]()([tYtXE及)]()([tXtYE.仅与有关,而与t关,则称X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程.
由定义有
),()]()([),(XYXYRtYtXEttR
),()]()([),(YXYXRtXtYEttR.
当两个平稳过程X(t),Y(t)是联合平稳时,则它们的和W(t是平稳过程,此时有
)]()([tWtWE=)()(YXRR)(XYR+)(YXR=).(WR
二,相关函数的性质
平稳过程X(t)的相关函数).(XR具有如下性质.
定理6.1 设}),({TttX为平稳过程,则相关函数具有下列性质:
(1) ;0)0(XR(2) )().(XXRR;(3));0()(XXRR
(4) ).(XR是非负定的,即对任意实数nttt,...,,21及复数,,...,21naaa有0),(1,jijinjiXaattR;
(5)若X(t)是周期为T的周期函数,即X(t)=X(t+T),则)()(TRRXX;
(6)若X(t)是不含周期分量的非周期过程,当时,X(t)与X(t+ ) 5 1
XXXmmR)(lim.
证明 由平稳过程相关函数定义,得
(1) )0(XR.0])([])()({[2tXEtXtXE
(2) )0(XR=])()({[tXtXE=)(XR;
(3)由许瓦兹不等式有
])()([])()([)(222tXtXEtXtXERX
])([])([22tXEtXE2)]0([XR
(4) 第二章定理2.2已证.
XXmm
类似地,联合平稳过程X(t)和Y(t)的互相关函数有下列性质:
(1) );0()0()(YXXYRRR);0()0()(YXYXRRR
(2) ,)().(YXXYRR
例6.6设X(t)=Asin(wt+Q),Y(t)=Bsin(wt+Q-h)为两个平稳过程,其中A,B,w为常数,Q在2,0()上服从均匀分布.求).(),(YXXYRR
解 )]()([)(tYtXERXY=)]sin()sin([hQwwtBQwtAE
=dqhqwwtqwtAB21)sin()sin(20
=).cos(21hwAB
同理)(YXR).cos(21hwAB
6.3随机分析
一,收敛性概念
由微积分知,若对于任给,0都存在正整数N,使对一切n>N,恒有不等式
axn (6.1)
成立,则称序列}{nx以a为极限,记作axnnlim.
对于概率空间),,(P上的随机序列}{nX,每个试验结果e都对应一序列
),...(),...,(),(21eXeXeXn (6.2)
