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黑龙江省大庆市喇中材料——和角公式与倍(半)角公式练习

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和角公式与倍（半）角公式练习1、下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（）2、在锐角中，已知内角A、B、C所对的边分别为，向量,且向量．（1）求角的大小；（2）如果，求的面积的最大值．3、设函数（其中），且的图象在y柱右侧的第一个最高点的横坐标为。

（1）求的值；（2）如果在区间上有两个实数解，求a的取值范围。

4、（1）已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，求的值。

（2）在中，，求的值。

5、已知．化简；若角是的内角，且，求的值．6、已知函数f（x）=（sinx﹣cosx）（cosx+sinx），x∈R，（1）求f（x）的单调递增区间；（2）将y=f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后得到偶函数y=g（x）的图象，求m的最小值．7、在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=5，sinBsinC=，求△ABC的面积S．8、已知函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的定义域及其最大值；（Ⅱ）求f（x）在（0，π）上的单调递增区间．9、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB﹣sin （A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．10、如图，在平面直角坐标系中，点在单位圆上，，且.（1）若，求的值；（2）若也是单位圆上的点，且. 过点分别做轴的垂线，垂足为，记的面积为，的面积为.设，求函数的最大值.11、已知函数.(1) 求的最小正周期.(2) 求的单调递增区间12、已知向量，与共线．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．13、若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为14、已知向量，且A,B,C分别为的三边所对的角.（I）求角C的大小；（II）若sinA,sinC,sinB成等差数列，且的面积为，求c边的长.15、已知函数的最大值为2.(1)求函数在上的单调递减区间;(2)△ABC中,,角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且C=60 ，c=3，求△ABC的面积。

16、已知函数.(Ⅰ)求的最小正周期；(Ⅱ)在中，角所对的边分别为，若且的面积为，求边长的值.17、已知不等式组表示区域，过区域中任意一点作圆的两条切线且切点分别为，当最大时，（）A． B． C． D．18、已知函数，（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若函数的图像是由函数的图像上所有的电向右平移个单位长度而得到，且在内是单调函数，求实数m的最大值。

19、已知向量．（1）当时，求cos2x﹣sin2x的值；（2）设函数，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=，求的取值范围．20、已知函数.（1）求的最小正周期和对称轴；（2）若，求的值域.答案1、2、（1）即又，所以，则，即（2）由余弦定理得即，当且仅当时等号成立所以，得所以所以的最大值为3、(1) f(x)＝cos2x＋sin2x＋＋a……………………………….2分＝sin(2x＋)＋＋a………………………………………..4 分依题意得2·＋＝解得＝………………………………….6分(2) 由(1)知f(x)＝sin(x＋)＋＋a又当x∈时，设x＋∈…………………………………8分f(x)=0在上有两个实数解,即函数的图象有两个交点。

……………………………………………..11分由函数g(x)的图像得a的取值范围是…………………….14分4、（1）因为角的终边经过点P所以，所以 (4)分…………………………………6分（2）因为在△ABC 中，所以 ,…………………………….8分所以B>A，得出……………………….10分又因为所以cosC=………………………………..12分5、（1）．（2）由（1）知，cosA=，∵ A是△ABC的内角，∴ 0≤A≤，∴ sinA=∴，∴ tanA-sinA=．6、（1）由和差角公式化简可得f（x）=2sin（2x﹣），解不等式2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+可得函数的单调递增区间；（2）易得g（x）=2sin（2x+2m﹣），由偶函数易得m=+，k∈Z，结合m的范围可得最小值．解：（1）化简可得f（x）=（sinx﹣cosx）（cosx+sinx）=3sinxcosx+sin2x﹣cos2x﹣sinxcosx=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；（2）由（1）可知，g（x）=2sin[2（x+m）﹣]=2sin（2x+2m﹣），∵函数y=g（x）为偶函数，∴函数y=g（x）的图象关于y轴对称∴2m﹣=kπ+，解得m=+，k∈Z，又∵m＞0，∴当k=0时m取得最小值7、（I）化简已知等式可得2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，即可解得cosA的值，结合范围0＜A＜π，即可求得A的值．（II）又由正弦定理，得•sin2A═．由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，又b=5，即可解得c的值，由三角形面积公式即可得解．解：（I）由3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A，得2cos2A+3cos A﹣2=0，即（2cos A﹣1）（cos A+2）=0．﹣﹣﹣﹣（2分）解得cos A=或cos A=﹣2（舍去）．﹣﹣﹣﹣（4分）因为0＜A＜π，所以A=．﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（II）又由正弦定理，得sinBsinC=sin A•sin A=•sin2A═．﹣（8分）解得：bc=，由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA，又b=5，所以c=4或c=﹣﹣﹣﹣（10分）所以可得：S=bcsin A=bc•=bc=5或S=﹣﹣﹣﹣（12分）8、（Ⅰ）解sinx≠0可得f（x）的定义域，化简可得f（x）=，可得f（x）的最大值；（Ⅱ）由和x∈（0，π）可得f（x）在（0，π）上的单调递增区间．解：（Ⅰ）由sinx≠0，得x≠kπ（k∈Z）．∴f（x）的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}，∵=2cosx﹣2sinx=，∴f（x）的最大值为；（Ⅱ）∵函数y=cosx的单调递增区间为[2kπ+π，2kπ+2π]（k∈Z）由，x≠kπ（k∈Z），且x∈（0，π），∴f（x）在（0，π）上的单调递增区间为9、解：（Ⅰ）由可得，可得，即，即，（Ⅱ）由正弦定理，，所以=，由题意可知a＞b，即A＞B，所以B=，由余弦定理可知．解得c=1，c=﹣7（舍去）．向量在方向上的投影：=ccosB=．10、（1）由三角函数的定义有∵，∴，∴. ………4分（2）由，得．由定义得，，又，于是，∴====，即．……10分11、（1）.最小正周期. …………4分所以最小正周期为.（2）的单调递增区间为：…………9分12、（Ⅰ），又∵…5分（Ⅱ）…9分∵，当时，，当时，…13分13、114、15、(1) ；(2)【知识点】两角和与差的正弦函数；正弦定理；余弦定理．C5 C8解析：（1）由题意，的最大值为，所以．而，于是，．为递减函数，则满足，即．所以在上的单调递减区间为．……………….5分（2）设△ABC的外接圆半径为，由题意，得．化简，得．由正弦定理，得，．①…………………….8分由余弦定理，得，即．②……………….10分将①式代入②，得．解得，或（舍去）．．……………….12分16、(Ⅰ) ； (Ⅱ)【知识点】两角差的余弦公式；辅助角公式；余弦定理C4 C5 C6 C8解析： (4)分(Ⅰ)；.....................6分(Ⅱ) (8)分…………………10分由余弦定理得 (12)分17、B 解析：作出不等式组对应的平面区域如图，要使∠APB最大，则P到圆心的距离最小即可，由图象可知当OP垂直直线3x+4y﹣10=0，此时|OP|=，|OA|=1，设∠APB=α，则，即sin==，此时cosα=1﹣2sin2=1﹣2×（）2=1﹣=，即cos∠APB=．故选：B18、（Ⅰ）；（Ⅱ）【知识点】二倍角公式，同角三角函数关系，两角和与差的三角函数，三角函数的图像与性质. C2 C5 C6 C3 解析：（Ⅰ）因为，所以.代入得.所以=.（Ⅱ）由已知得依题意得，即.因为，所以.又因为在区间内是单调函数，所以，即，故实数m的最大值为.【思路点拨】（Ⅰ）利用同角三角函数关系及二倍角公式求解；（Ⅱ）由平移变换得，再由在区间内是单调函数得m取值范围.19、解：（1）∵=（sinx，），=（cosx，﹣1），∥，∴﹣sinx=cosx，即tanx=﹣，则cos2x﹣sin2x=cos2x﹣2sinxcosx====；（2）f（x）=2（+）•=2（sinxcosx+cos2x+）=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，∵a=，b=2，sinB=，∴由正弦定理=得：sinA===，∵a＜b，∴A＜B，∴A=，∴原式=sin（2x+）﹣，∵x∈，∴2x+∈，∴1≤sin（2x+）≤，则≤sin（2x+）﹣≤﹣．即所求式子的范围为．20、（1），，对称轴（2）。

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倍角公式与半角公式习题绝对物超所值

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两角和与差的三角函数1．若4cos 5α=，且()0,απ∈，则tg2α= ．2．（本小题满分12分）已知函数()sin()6f x A x πω=+(0,0)A ω>>的最小正周期为6T π=，且(2)2f π=．（1）求()f x 的表达式；（2）设,[0,]2παβ∈，16(3)5f απ+=，520(3)213f πβ+=-，求cos()αβ-的值． 3．在非等腰△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，且a=3，c=4，C=2A ．（Ⅰ）求cosA 及b 的值；（Ⅱ）求cos(3π–2A)的值．4．已知31)6sin(=-απ，则)3(2cos απ+的值是（ ）A ．97B ．31C ．31-D ．97-5．若4cos 5θ=-，θ是第三象限的角,则1tan 21tan2θθ-+=（ ） A ．12B ．12- C ．35D ．-2 6．己知 ,sin 3cos 5a R a a ∈+=，则tan 2a=_________．7．已知==+απα2sin ,54)4cos(则 .8．已知==+απα2sin ,54)4cos(则 .9．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且a b >，已知4cos 5C =，32c =，2221sin cos sin cos sin 222B A A BC ++=． （Ⅰ）求a 和b 的值；（Ⅱ）求cos()B C -的值．10．已知函数()2sin()(0,)6f x x x R ωωπ=+>∈的最小正周期为π. （1）求ω的值； （2）若2()3f α=，(0,)8πα∈，求cos 2α的值.11．已知函数2()2sin cos 2sin 1()f x x x x x R =-+∈． （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）若在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3a =，A 为锐角，且2()83f A π+=，求ABC ∆面积S 的最大值． 12．已知函数log (1)3a y x =-+，(0a >且1)a ≠的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则2sin sin 2αα-的值等于_______．13．已知),0(πα∈，且1sin cos 2αα+=，则α2cos 的值为（ ） A ．47±B ．47C ．47- D ．43-14．已知函数()sin()(,0,0,||)2f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><的部分图象如图所示．（1）试确定函数()f x 的解析式； （2）若1()23f απ=，求2cos()3πα-的值． 15．已知2sin(45)10α-︒=-，且090α︒<<︒，则cos2α的值为 ． 16．已知2sin(45)10α-︒=-，且090α︒<<︒，则cos2α的值为 ． 17．已知4(,0),cos()25παπα∈--=-，则tan 2α= ．18．已知4(,0),cos()25παπα∈--=-，则tan 2α= ．19．设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是________．20．设)cos()(cos 223)2sin()2(sin cos 2)(223θθπθπθπθθ-+++-++-+=f ，求)3(πf 的值。

高中数学人教B版必修4同步单元小题巧练：(9)倍角公式和半角公式

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同步单元小题巧练（9）倍角公式和半角公式1=( )A.2cos5-︒B.2cos5︒C.2sin5-︒D.2sin5︒ 2、设1sin +=43πθ⎛⎫⎪⎝⎭,则 2sin θ= ( ) A. 79- B. 19- C. 19D. 793、化简1sin 4cos 41sin 4cos 4αααα+-=++ ( ) A. cot 2αB. tan 2αC. cot αD. tan α4、已知1sin cos 2θθ+=,则cos4θ= ( ) A. 18- B.18C. 716- D. 716 5、若,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,且24cos sin ααπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则2sin α的值为( ) A. 12-B. 12C. 1D. 1-6、若1sin 34πα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ( ) A.58B. 78- C. 58- D. 78 7、sin375cos15︒︒的值是( ) A.12B. 14C.D.8、若(cos )cos 2f x x =,则(sin15)f 等于( )A.B.2 C. 12D. 12-9、已知sin 4απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin2α= ( ) A.45B. 45-C.35D. 35- 10、已知2sin 23θ=,则2tan 4θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ( ) A.15B. 56C. 5D. 611、tan()2πα-=,则cos2α=__________12、已知32ππα<<,4sin 5α=-,则sin 23tan αα+的值为__________. 13、已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则5sin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π__________ 14、22sin 112π-=__________15、已知sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则2cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________ 16、已知α为第二象限角, 3cos()25πα-=,则sin2α=__________ 17、若3sin 5x =,则cos2x =__________.答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：原式sin 50)==︒-︒2502sin(4550)2sin 5⎫=︒︒=︒-︒=-︒⎪⎪⎝⎭.2答案及解析：答案：A解析：略3答案及解析：答案：B 解析：原式2212sin 2cos 2(12sin 2)12sin 2cos 22cos 21αααααα+--=++- ()()2sin 2sin 2cos 2tan 22cos 2sin 2cos 2ααααααα+==+.4答案及解析：答案：A解析：5答案及解析：答案：A解析：6答案及解析：答案：B∵1sin()34πα-+=,∴1sin()cos[]cos 32364ππππααα⎛⎫⎛⎫-+=--+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴2217cos(2)cos2()2cos ()12136648πππααα⎛⎫+=+=+-=⨯-=- ⎪⎝⎭.选B .7答案及解析：答案：B解析：8答案及解析：答案：A解析：9答案及解析：答案：C解析：10答案及解析：答案：A解析：11答案及解析： 答案：35-解析：12答案及解析： 答案：24425解析：13答案及解析：答案：7 9 -解析：14答案及解析：答案：2-解析：15答案及解析：答案：1 3解析：16答案及解析：答案：24 25 -解析：17答案及解析：答案：7 25解析：由Ruize收集整理。

(完整版)两角和与差及二倍角公式经典例题及答案

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：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点：1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝ ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ； S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ； S(α－β)：sin(α－β)＝ ； T(α＋β)：tan(α＋β)＝ ； T(α－β)：tan(α－β)＝ ； 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式2S α：sin2α＝ ； 2T α：tan2α＝ ；2C α：cos2α＝ ＝ ＝ ；3、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。

如T(α±β)可变形为:tan α±tan β=___________________； tan αtan β= = . 考点自测：1、已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( )711A 、 711B 、-713C 、 713D 、-2、已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋ sin α＝453，则 sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C ．－45 D.453、在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( )A.1665B.5665C.1665或5665 D ．－1665 4、若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )A ．0B ．±3C ．0或 3D ．0或±35、三角式2cos55°－3sin5°cos5°值为( )A.32B. 3 C ．2 D ．1 题型训练题型1 给角求值一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系（与特殊角的联系）化为特殊角 例1求[2sin50sin10(1)]︒︒︒+.变式1：化简求值：2cos10sin 20.cos 20︒︒︒- 题型2给值求值三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=--- 例2 设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos(α＋β)．变式2：π3π33π50π,cos(),sin(),4445413βααβ<<<<-=+=已知求sin(α+β)的值.题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围；(2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调)；（3）求出角。

2021年高中数学3.倍角公式和半角公式3..1倍角公式课后导练新人教B版必修

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2021年高中数学3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式课后导练新人教B 版必修基础达标1.sinα-cosα=,则sin ２α的值是（ ）A. B. C. D.解析：两边平方，1-2sinαcosα=5,∴sin2α=.答案：B2.已知tanα+=m，则sin2α等于（ ）A. B. C.2m D.解析：切化弦=m,∴sin２α=.答案：B3.cos·cos·cos·cos 的值为（ ）A. B. C. D.解析：乘以17sin 17sinππ，利用倍角公式化简得.答案：D4.下列结论错误的是（ ）A.tanα+B.tanα-C.sin 2α-sin 2β=sin(α+β)sin(α-β)D.1+cos2θ=2sin 2θ解析：cos2θ=1-2sin 2θ,∴2sin 2θ=1-cos2θ.答案：D5.已知sinα=,则sin2(α-)=_____________.解析：原式=-cos2α（诱导公式）.答案：2-6.化简︒--︒+100sin 1100sin 1.解：原式=︒︒--︒︒+50cos 50sin 2150cos 50sin 21=sin50°+cos50°-(sin50°-cos50°)=2cos50°.7.已知sin(+x)sin(-x)=,x∈(,π),求sin4x 的值.解：∵sin(+x)sin(-x)=sin(+x)sin ［-(+x)］=sin(+x)cos(+x)=sin(+2x)=cos2x=,∴cos2x=.∵x∈(,π),∴2x∈(π,2π).∴sin2x=.∴sin4x=2sin2xcos4x=.8.已知tan(+θ)=3,求sin2θ-2cos 2θ的值.解:∵tan(+θ)==3,∴tanθ=.∴原式=θθθθθθθθθ222222cos sin cos 2cos sin 2cos sin cos 22sin +-=+- .综合运用9.已知cos(+x)=,,求的值.解：∵,∴<+x<2π.∵cos(+x)=,∴<+x<2π.∴sin(+x)=,tan(+x)=.又∵sin2x=-cos(+2x)=-2cos 2(+x)+1=+1=.原式=x x x x x x xx x x sin cos cos sin 2cos 2sin cos sin 1sin 22sin 22-+=-+ xx x x x x x x tan 1tan 12sin sin cos )sin (cos 2sin -+=-+= =sin2xtan(+x)=·()=.10.已知sin 22α+sin2αcosα-cos2α=1,α∈(0,),求sinα,tanα.解:原等式可变为4sin 2αco s 2α+2sinα·cos 2α-2cos 2α=0,∴2cos 2α(2sinα-1)(sinα+1)=0.∵α∈(0,),∴sinα+1≠0,cos 2α≠0.∴sinα=,α=.∴tanα=11.α,β是锐角,且3sin 2α+2sin 2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求证:α+2β=.证明:由已知得3sin 2α=1-2sin 2β=cos2β,又sin2β=sin2α=3sinαcosα,∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=cosα3sin 2α-sinα3sinαcosα=0.又0<α<,0<β<,∴0<α+2β<π.∴α+2β=.拓展探究12.如图，在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ,沿BE 方向前进30 m 至点C 处测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进 m 至D 处,测得顶端A 的仰角为４θ.同学们能否依据所测得的数据,计算出θ的大小与建筑物AE 的高吗？解：由已知BC=30 m,CD=10 m.在Rt△ABE 中,BE=AEcotθ,在Rt△ACE 中,CE=AEcot2θ, ∴BC=BE -CE=AE(cotθ-cot2θ),同理,可得CD=CE-D E=AE(cot2θ-cot4θ), ∴)4cot 2(cot )2cot (cot θθθθ--=AE AE CD BC , 即3310304cot 2cot 2cot cot ==--θθθθ. 而θθθθθθθθθθθθθθ2sin 4sin 4sin 4cos 2sin 2cos 2sin 2cos sin cos 4cot 2cot 2cot cot =--=-- =2cos2θ=,∴2cos2θ=cos2θ=2θ=30°.∴θ=15°,∴AE=AC=BC=15 m.故θ为15°，建筑物高为15 m.。