随机过程 第6章 平稳随机过程

2016/10/28

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上

海

大

学

通

信

学

院

第六章 窄带随机过程

一、窄带随机过程的定义

很多无线电系统的通频带 是比较窄的，它们远小于

其中心频率 ，这种系统只允许输入信号靠近 附近的

频率分量通过，故称为窄带系统。其满足： 

0





0,

0

一般为高频载波。

同理，可定义窄带随机过程，即：

 若一个随机过程的功率谱密度，只分布在高频载波

ω

0

附近的一个较窄的频率范围∆ω内，且满足ω

0>>∆ω

时，则称该过程为窄带随机过程。记为：Z( t ) 。 0



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例：图6.1为窄带随机过程的功率谱密度函数





0

问题: 对应于功率谱密度G

Z (ω)的窄带随机过程Z(t)的表达

式为何？即 。 )()(tZG

z)(ωG

Z





0

0

0

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1. 由 可知:

若G

z(ω)占的频带很窄，则│Z

T(ω)│也一定占很窄的

频带。

2. G

z(ω)的谱特征实际上是一个具有幅度慢变化(∵∆ω窄)

的随机过程谱特征经移频变换的结果。即时域中的一个

慢变化信号对一高频(ω

0)信号的调幅变换。

因此，任一窄带随机过程Z(t)可用下式表示：

表达式1： ]|)(|

lim[)(2

TZ

EGT

Tz





0)()],(cos[)()(

0tBtttBtZ

式中B( t )与Ф( t )分别称为窄带随机过程Z(t)的包络函数

与相位函数，且B( t )和Ф( t )都是随时间 t 慢变化的随机

过程。

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表达式 2： ttYttXtZ

00sin)(cos)()(



其中：





)(sin)()()(cos)()(

ttBtYttBtX

)(/)()(tan,)()()(22

tXtYttYtXtB

由于 与 正交，故称X( t )为Z( t )的同相分

量，Y( t )为Z( t )的正交分量。引入表达式 2 的目的是将

Z( t )分解成两个相互正交的分量，以便于分别分析。

随机过程知识点汇总

随机过程是指一组随机变量{X(t)}，其中t属于某个集合T，每个随机变量X(t)都与一个时刻t相关联。

２．随机过程的分类

随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。

离散时间随机过程是指在离散的时间点上取值的随机过程，例如随机游走。

连续时间随机过程是指在连续的时间区间上取值的随机过程，例如XXX运动。

３．随机过程的数字特征

随机过程的数字特征包括均值函数和自相关函数。

均值函数E[X(t)]描述了随机过程在不同时刻的平均取值。

自相关函数R(t1,t2)描述了随机过程在不同时刻的相关程度。

４．平稳随机过程 平稳随机过程是指其均值函数和自相关函数都不随时间变化而变化的随机过程。

弱平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，而不依赖于具体的时间点。

强平稳随机过程的概率分布在时间上是不变的。

５．高斯随机过程

高斯随机过程是指其任意有限个随机变量的线性组合都服从正态分布的随机过程。

高斯随机过程的均值函数和自相关函数可以唯一确定该过程。

６．马尔可夫随机过程

马尔可夫随机过程是指其在给定当前状态下，未来状态的条件概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关的随机过程。

马尔可夫性质可以用转移概率矩阵描述，并且可以用马尔可夫链来建模。

７．泊松过程 泊松过程是指在一个时间段内随机事件发生的次数服从泊松分布的随机过程。

泊松过程的重要性质是独立增量和平稳增量。

８．随机过程的应用

随机过程在金融学、信号处理、通信工程、控制理论等领域有广泛的应用。例如，布朗运动被广泛应用于金融学中的期权定价，马尔可夫链被应用于自然语言处理中的语言模型。

t)|^2]

协方差函数

B

Z s,t)E[(Z

s

m

Z

s))(Z

t

m

Z t))]，其中Z

s

和Z

t

是Z在时刻s和t的取值。

复随机过程是由实部和虚部构成的随机过程，其均值和方差函数分别由实部和虚部的均值和方差函数计算得到。协方差函数和相关函数也可以类似地计算得到。复随机过程在通信系统中有广泛的应用，例如调制解调、信道编解码等。

21 第2章 平稳随机过程

2．1 平稳随机过程的基本概念

引言

“平稳”的中文含意：平坦、稳定。不大起大落。

随机过程)(tX，当t变化时，得一系列随机变量：)(1tX，)(2tX，……)(ntX。

)(tX具有“平稳”性，是指)(itX的变化稳定，不“大起大落”，各)(itX具有相同的分布规律、或具有相同的数字特征、或具有相同的概率密度。

在统计学中，)(1tX，)(2tX，……)(ntX往往假设满足“独立同分布”（iid）。“独立”性不太容易满足，“同分布”就包含了“平稳性”。

2．1．1 严平稳过程及其数字特征

一、定义

随机过程)(tX的n维概率密度（或n维分布函数）),,,(2121nnXtttxxxp不随时间起点选择不同而改变。即：对任何n和，过程)(tX的概率密度满足：

),,,(),,,(21212121nnXnnXtttxxxptttxxxp

则称)(tX为严平稳过程。

二、严平稳过程的一、二维概率密度

结论：严平稳过程)(tX的一维概率密度与时间无关；严平稳过程)(tX的二维概率密度只与1t、2t时间间隔12tt有关。

证明：当n＝1时，对任何，有),(),(1111txptxpXX。

取1t，则有)()0,(),(),(),(111111111xpxpttxptxptxpXXXXX。

当n＝2时，对任何，有),,,(),,,(21212121ttxxpttxxpXX。

取1t，12tt，则),,(),0,,(),,,(2112212121xxpttxxpttxxpXXX。

三、严平稳过程的数字特征

（1）若)(tX是严平稳过程，则它的均值、均方值、方差皆为与时间无关的常数。 22 证明：XXXXmdxxxpdxtxxptXEtm)(),())(()(

《应用随机过程》教学大纲

英文名称 Stochastic Process

课程代码 0212713

适用对象 研究生统计学、数量经济学类专业

先修课程 数学分析、概率论与数理统计

考考试方式 课程论文

一、课程的性质、教学目的和要求

（一） 性质和目的

随机过程是研究随机变量在时间参数的变化过程中所呈现出的统计规律性的一门学科，具有较高的理论和应用价值，是研究生相关专业的选修课。本课程着重学习在经济金融领域中有较高应用价值的一些内容，如随机过程的基本概念和基本类型，泊松过程，更新过程，马尔可夫链，鞅，等基础知识，从而为学生学习后继课程和毕业论文打下必要的基础。

（二）教学方法

主要是理论教学，采取多媒体辅助教学。

（三）教学安排

本课程总学时48学时，其中习题课6学时。

二、课程内容和学时分配

第一章 金融领域中的数学模型（5节）

教学重点：资产组合和期权定价理论及套利定价

难点：期权定价理论和套利定价

第一节 债券和利率

第二节 证券市场和股票的波动

第三节 资产组合

第四节 期权定价理论和套利定价

第二章 随机过程（6节）

教学重点：随机过程基本概念 难点：Poisson过程

第一节 随机过程的基本概念

第二节 随机过程的数字特征

第三节 离散时间和离散型随机过程

第四节 正态随机过程

第五节 Poisson过程

第六节 平稳随机过程

第三章 Poisson过程（6）

教学重点：Poisson过程的几个等价定义

难点：更新过程

第一节 齐次Poisson过程到达时间间隔与等待时间的分布

第二节 非齐次Poisson过程和复合Poisson过程

第三节 年龄与剩余寿命

第四节 更新过程

第四章 离散参数Markov链（9）

教学重点：Markov链在金融中的应用

难点：状态空间的分解

第一节Markov链的基本概念