随机过程第六章

第七章 随机规划

1 第六章 随机规划

第一节 问题的提出

随机规划所研究的对象是含有随机因素的数学规划问题。例如，我们熟悉的线性规划问题

CXXf)(min

0XbAX （6.1）

如果其中的A，b，C的元素中部分的或全部的是随机变量，则称其为随机线性规划问题。

在数学规划中引入随机性是很自然的事情。在模型中的A，b，C的元素常常代表价格、成本、需求量、资源数量、经济指标等参数。由于各种不确定性因素的影响，这些参数经常出现波动。例如，市场上对某种商品的需求量一般无法精确的预知，只能作出大致的预测，某种产品的生产成本往往受原材料价格、劳动生产率等各种因素的影响而经常变化，这些变化与波动，在许多场合可以用一定的概率分布去描述。因此，在数学规划中引入随机变量，能够使模型更加符合实际情况，从而是的决策更加合理。

例1 某化工厂生产过程中需要A，B两种化学成分，现有甲、乙两种原材料可供选用。其中原料甲中化学成分A的单位含量为10/a，B的单位含量为3/a；原料乙中化学成分A的单位含量为10/1，B的单位含量为3/1。根据生产要求，化学成分A的总含量不得少于10/7个单位，化学成分A的总含量不得少于3/4个单位。甲、乙两种原料的价格相同，问如何采购原料，使得即满足生产要求，又是的成本最低？

显而易见，这个问题可以用线性规划模型来描述。根据题意，设原料甲的采购数量为1x，原料乙的采购数量为2x，容易得到如下线性模型：

21)(minxxXf

0,047212121xxxbxxax （6.2） 第七章 随机规划

2 于是只要知道a和b的值，立即可以求得最优解。

未知驱动探索，专注成就专业

1

随机信号分析与处理（第2版）

概述

本文档介绍了随机信号分析与处理（第2版）的主要内容。随机信号是一种在时间上或空间上具有随机性质的信号，在诸多领域中都有广泛的应用，如通信、图像处理、控制系统等。随机信号的分析和处理对于了解其性质、提取有用信息以及设计有效的处理算法都是必不可少的。

主要内容

第一章：随机信号的基本概念

本章介绍了随机信号的基本概念和特性，包括随机信号的定义、概率密度函数、均值、方差等。通过对随机信号的特性分析，可以为后续的分析和处理提供基础。

第二章：随机过程

本章讨论了随机过程的定义和性质。随机过程是一类具有随机性质的信号集合，其在时间上的取值不确定，但具有统计规律性。通过对随机过程的分析，可以了解其演化规律和统计性质。 未知驱动探索，专注成就专业

2

第三章：随机信号的表示与分解

本章介绍了随机信号的表示与分解方法。随机信号可以通过不同的数学模型进行表示，如傅里叶级数、傅里叶变换、小波变换等。通过将随机信号进行分解，可以提取出其中的有用信息。

第四章：随机信号的功率谱密度

本章研究了随机信号的功率谱密度。功率谱密度描述了随机信号在频率域上的分布，通过分析功率谱密度可以获得随机信号的频率特性和频谱信息。

第五章：随机信号的相关与协方差

本章讨论了随机信号的相关与协方差。相关是用来描述随机信号之间的依赖关系，协方差是用来描述随机信号之间的线性关系。通过分析随机信号的相关与协方差，可以研究信号之间的相关性和相关结构。 未知驱动探索，专注成就专业

3

第六章：随机信号的滤波与平均

本章介绍了随机信号的滤波和平均处理方法。滤波是用来抑制或增强随机信号中的某些频率分量，平均则是通过对多次采样的随机信号进行求平均来减小随机性。

第七章：随机信号的参数估计

本章研究了随机信号的参数估计方法。参数估计是通过对随机信号进行采样和分析，通过估计参数来了解信号的统计性质和特征。

6-1 6. 相关函数的估计（循环相关）

6.1. 相关函数与协方差函数

6.1.1. 自相关函数和自协方差函数

1、 自相关和自协方差函数的定义

相关函数是随机信号的二阶统计特征，它表示随机信号不同时刻取值的关联程度。

设随机信号)(tx在时刻jitt,的取值是jixx,，则自相关函数的定义为

jijijijiNnnjniNjijixdxdxttxxfxxxxNxxEttR),;,(1lim][),(1)()(

式中，上角标“（n）”是样本的序号。

自协方差函数的定义与自相关函数的定义相似，只是先要减掉样本的均值函数再求乘积的数学期望。亦即：

jijijixjxiNnxnjxniNxjxijixdxdxttxxfmxmxmxmxNmxmxEttCjijiji),;,())(())((1lim)])([(),(1)()(

当过程平稳时，);,(),;,(jijijixxfttxxf。这时自相关函数和自协方差函数只是ijtt的函数，与jitt,的具体取值无关，因此可以记作)(xR和)(xC。

对于平稳且各态历经的随机信号，又可以取单一样本从时间意义上来求这些统计特性：

时间自相关函数为： 6-2 22)()(1lim)(TTTxdttxtxTR

时间自协方差函数为：

22])(][)([1lim)(TTxxTxdtmtxmtxTC

在信号处理过程中，有时会人为地引入复数信号。此时相应的定义变成

][),(*jijixxxEttR

)]()[(),(*jixjxijixmxmxEttC

式中，上角标*代表取共轭。

2、 自相关和自协方差函数的性质

自相关和自协方差函数的主要性质如下：

（1） 对称性

当)(tx时实函数时，)(xR和)(xC是实偶函数。即

)()(),()()()(),()(**xxxxxxxxCCRRCCRR

《应用随机过程》教学大纲

英文名称 Stochastic Process

课程代码 0212713

适用对象 研究生统计学、数量经济学类专业

先修课程 数学分析、概率论与数理统计

考考试方式 课程论文

一、课程的性质、教学目的和要求

（一） 性质和目的

随机过程是研究随机变量在时间参数的变化过程中所呈现出的统计规律性的一门学科，具有较高的理论和应用价值，是研究生相关专业的选修课。本课程着重学习在经济金融领域中有较高应用价值的一些内容，如随机过程的基本概念和基本类型，泊松过程，更新过程，马尔可夫链，鞅，等基础知识，从而为学生学习后继课程和毕业论文打下必要的基础。

（二）教学方法

主要是理论教学，采取多媒体辅助教学。

（三）教学安排

本课程总学时48学时，其中习题课6学时。

二、课程内容和学时分配

第一章 金融领域中的数学模型（5节）

教学重点：资产组合和期权定价理论及套利定价

难点：期权定价理论和套利定价

第一节 债券和利率

第二节 证券市场和股票的波动

第三节 资产组合

第四节 期权定价理论和套利定价

第二章 随机过程（6节）

教学重点：随机过程基本概念 难点：Poisson过程

第一节 随机过程的基本概念

第二节 随机过程的数字特征

第三节 离散时间和离散型随机过程

第四节 正态随机过程

第五节 Poisson过程

第六节 平稳随机过程

第三章 Poisson过程（6）

教学重点：Poisson过程的几个等价定义

难点：更新过程

第一节 齐次Poisson过程到达时间间隔与等待时间的分布

第二节 非齐次Poisson过程和复合Poisson过程

第三节 年龄与剩余寿命

第四节 更新过程

第四章 离散参数Markov链（9）

教学重点：Markov链在金融中的应用

难点：状态空间的分解

第一节Markov链的基本概念