函数模型及其应用-人教版高中数学

第02讲_函数模型及其应用

知识图谱

-函数与方程零点的概念与二分法零点存在性判断定理函数与方程综合第02讲_函数模型及其应用

错题回顾

函数与方程

知识精讲

一． 函数零点的概念

1．函数零点概念：

对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．

2．函数零点的意义：

函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．

3．二次函数的零点：

，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点； ，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；

，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．

二．函数零点存在性判定定理

如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间

内有零点．即存在，使得，这个也就是方程的根．

说明：这样得到方程在区间内必有根，由此只能判断根的存在，既不能判定有多少个实数根，也不能得出根的值．

三．函数零点的基本性质

从“数”的角度看：即是使的实数．

从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标．

若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点．

四．二次函数零点的分布问题 1． 当，在区间上的最大值，最小值，令．

若，则，；

若，则，；

若，则，；

若，则．

2．

二次方程的实根分布及条件．

（1）二次方程的两不等实数根中一根比大，另一根比小；

（2）二次方程的两不等实数根都大于

（3）二次方程在区间内有两不等实数根

（4）二次方程在区间内只有一根（不包括两等根），当或检验另一根若在内成立．

五．二分法

1．二分法定义：我们把每次取区间的中点，将区间一分为二再进行比较，按需求留下其中一个小区间的方法称为二分法．

2．用二分法求函数零点的近似值

（1）确定区间，验证，给定精确度．

（2）求区间的中点．

（3）计算

①若，则就是函数的零点；

②（2）若，则令；

③若，则令．

（4）判断是否达到精确度，即若，则得到零点的近似值（或），否则重复第二、三、四步．

三点剖析

一．注意事项

利用零点存在性定理判定函数的零点个数时，当函数在区间上是连续不断的曲线，且，此时可得函数在区间存在零点，但个数不能确定，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点．

二．方法点拨 函数零点个数的判断方法

1．直接求零点

令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

2．零点存在性定理

利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点．当单调，在内有且只有一个零点．

3．利用图象交点的个数

画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

题模精讲

题模一 零点的概念与二分法

例1.1、

函数的零点为________．

例1.2、

若函数f（x）=ax+b的零点为x=2，则函数g（x）=bx2-ax的零点是x=0和x=____．

例1.3、

已知，函数恒有零点，求实数的取值范围．

例1.4、

若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：

那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）

A、 1.2 B、 1.3

C、 1.4 D、 1.5

例1.5、

用二分法求方程的正实根的近似解(精确度)时，如果我们选

取初始区间是，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________．

题模二 零点存在性判断定理

例2.1、

已知函数y=f（x）的图象是连续不间断的，x，f（x）对应值表如下： 则函数y=f（x）存在零点的区间有（ ）

A、 区间[1，2]和[2，3] B、 区间[2，3]和[3，4]

C、 区间[2，3]和[3，4]和[4，5] D、 区间[3，4]和[4，5]和[5，6]

例2.2、

若方程2ax2-1=0在（0，1）内恰有一解，则实数a的取值范围是____．

题模三 函数与方程综合

例3.1、

设函数，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（ ）

A、

B、

C、

D、

例3.2、

已知函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=x2﹣ax+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值范围是_______．

例3.3、 已知函数f（x）=x2+（2-a）x+4，a∈R

（1）若a=8，求不等式f（x）＞0的解；

（2）若f（x）=0有两根，一根小于2，另一根大于3且小于4，求实数a的取值范围；

（3）若函数f（x）=x2+（2-a）x+4在区间[1，3]内有零点，求实数a的取值范围．

随堂练习

随练1.1、

函数f（x）=x3-3x+2的零点为（ ）

A、 1，2 B、 ±1，-2

C、 1，-2 D、 ±1，2

随练1.2、

函数的一个零点为1，则它的另外一个零点为________

随练1.3、

若，则方程的根是（ ）

A、

B、

C、 2 D、

随练1.4、 设f（x）=3x+3x-8，用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（ ）

A、 （1，1.25） B、 （1.25，1.5）

C、 （1.5，2） D、 不能确定

随练1.5、

用二分法求下图所示函数的零点时，不可能求出的零点是（

）

A、 B、

C、 D、

随练1.6、

已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表，那么函数f（x）一定存在零点的区间是（ ）

x 1 2

f（x） 4.5 -2.9

A、 （-∞，1） B、 （1，2）

C、 （2，3） D、 （3，+∞）

随练1.7、 已知函数f（x）=

，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是__________．

随练1.8、

函数f（x）=，关于x的方程f（x）=kx﹣k至少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为________

随练1.9、

设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（ ）

A、

（﹣，﹣2] B、 [﹣1，0]

C、 （﹣∞，﹣2] D、

（﹣，+∞）

自我总结

课后作业

作业1、

若求下列函数的零点：（1）；（2） 作业2、

二次函数中，则函数的零点个数是（

）

A、

没有零点 B、 有一个零点

C、 有2个零点 D、 不能确定

作业3、

设f(x)=()x-x+1，用二分法求方程()x-x+1=0在（1，3）内近似解的过程中，f（1）＞0，f（1.5）＜0，f（2）＜0，f（3）＜0，则方程的根落在区间（ ）

A、 （1，1.5） B、 （1.5，2）

C、 （2，3） D、 无法确定

作业4、

用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间（1，2）内，则下一步可断定该根所在的区间为____．

作业5、

函数f（x）=x-2-x+1的零点所在区间为（ ）

A、 （0，1） B、

(1，)

C、

(，2) D、 （2，3）

作业6、 已知关于x的方程为2kx2-2x-3k-2=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是（ ）

A、 k＞0 B、 k＜-4

C、 -4＜k＜0 D、 k＜-4或k＞0

作业7、

已知f（x），g（x）均是定义在[﹣2，2]的函数，其中函数f（x）是奇函数，函数f（x）在[﹣2，0]上的图象如图1，函数g（x）在定义域上的图象如图2，则函数y=f[g（x）]的零点个数（ ）

A、

3 B、 4

C、 5 D、 6

作业8、

设函数若f（﹣3）=f（﹣1），f（﹣2）=﹣3，则关于x的方程f（x）=x的解的个数为 个．