函数模型及其应用

函数模型及其应用

‖知识梳理‖

1．几种常见的函数模型

函数模型 函数解析式

一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)

二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)

指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)

对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)

幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)

2.三种函数模型性质比较

y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)

在(0，＋∞)上的单调性 增函数 增函数 增函数

增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳

图象的变化 随x值增大，图象与y轴接近平行 随x值增大，图象与x轴接近平行 随n值变化而不同

| 微 点 提 醒 |

1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．

2．充分理解题意，并熟悉掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键．

3．易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．

‖易错辨析‖

判断下列结论是否正确(请在括号中打”√”或“×”)

(1)幂函数增长比一次函数增长更快．(×)

(2)在(0，＋∞)内，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．(√)

(3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．(√)

(4)不存在x0，使ax0

‖自主测评‖

1．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是( ) x 4 5 6 7 8 9 10

y 15 17 19 21 23 25 27

A.一次函数模型 B．幂函数模型

C．指数函数模型 D．对数函数模型

函数模型及其应用（共2课时）

［教学目标］

通过实际问题的解答，了解利用数学方法处理实际问题的一般步骤．

［学法指导］

1.重点是根据已知条件建立函数关系式，难点是数学建模意识的逐步建立．

2.通过利用数学模型解决实际问题的过程，培养严谨的思维，强化分析问题和解决问题的能力．

例1,某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元，分别写出总成本C(万元)、单位成本P(万元)、销售收入R(万元)以及利润L(万元)关于总产量X（台）的函数关系式。

例2, 一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？

例3 ,在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x) =f(x+1) －f(x)，某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台

(X∈N﹡)的收入函数为R(x)=3000x－20x2（单位：元），其成本函数为C(x)=500x+4000（单位：元），利润是收入与成本之差。

(1),求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；

(2)利润函数P(x)与边际函数MP(x)是否具有相同的最大值？

例4，某自来水厂的蓄电池中有水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时的速度向池中注水。若小时内向居民供水总量为，问：每天几点时蓄水池中的存水量最少？

例5, 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则, 其中Ta表示环境温度， h称为半衰期。

现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20min，那么降温倒35℃时，需要多长时间（结果精确到0.1）？

函数模型及其应用习题课

教学目标：1 掌握根据已知条件建立函数关系式。2培养学生分析问题、解决问题的能力。3 培养学生应用数学的意识。

教学过程：

一．基础练习：

1． 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到的细胞个数y为（ ）

A．y=21x B。y=21x C。y=2x D。y=2x

2． 一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，它的解析式为（ ）

A． y=20-2x （x≤10） B y=20-2x （x<10）

C y=20-2x （5 ≤x≤10） D y=20-2x （5

3． x克a%盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变为c%，则x与y的函数关系式为（ ）

A．y=bcacx B。y=cbacx C。y=cbcax D。y=accbx

4． 一水池有2相进水口，1个出水口，每个进水口或出水口的进出水速度如图甲、乙所示。某天0点到家点，该水池的蓄水量如图所示。（到少打开一个水口）

进水量

出水量

蓄水量6

2 5

1

0 1 时间 0 1 时间 0 时间

4 6

给出以下3相论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水。则以上3个论断中一定正确的是 。

佳木斯教育学院学报JournalofJiamusiEducationInstitute

62010年第6期总第102期No.6.2010Sum102对数及其对数函数模型的应用胡建平　任利娟（甘肃省秦安县第三中学甘肃秦安741600；甘肃省民族师范学院甘肃合作747000）摘　要：对数及其对数函数在实际生活中有用吗？归纳总结了对数及其对数函数模型在实际生活中的一些应用，强调其应用性。关键词：对数；对数函数；对数函数模型中图分类号：O122.6文献标识码：A文章编号：1000-9795（2010）06-0076-01

收稿日期：6作者简介：胡建平（3），男，甘肃秦安人，从事数学教育方向的研究。 任利娟（），女，甘肃麦积区人，从事高校教育方向的研究。16世纪初，当第一张对数表问世后，天文学家兼数学家的拉普拉斯满腔热情地称赞这是一项“使天文学家寿命倍增”的发明。其实，从数学的角度看，对数产生的意义就更为深远了，伽利略甚至说：“给我一个空间、时间及对数，我即可创造一个宇宙。”。对数与解析几何、微积分被人们视为17世纪数学领域里最伟大的三大成就。一、用对数表示的单位对数(log)是17世纪初根据现实生活的需要发明的数学概念。当时随着天文学的发展产生了计算庞大数据的必要性，因为当时计算工具并不发达，所以只能由人类一步一步地计算。但是，如果利用对数的计算性质，可以将乘法转换成加法，除法转换成减法，则处理大数之间的乘法与除法时就非常方便。1.酸碱度PH值酸碱度时根据溶液中含有的氢离子的浓度来决定的，PH所表示的就是氢离子的浓度。但是酸碱度不是直接用氢离子浓度来表示，而是用其浓度的常用对数来表示，所以浓度有10倍的变化时，PH值仅变化1.PH值为从0到14的数字.0与14，两个极端的氢离子浓度差是100兆，所以说如果没有对数，为了表示酸碱度需要动员从1到100兆的非常庞大的数据。就这样，对数可以把这么庞大的数字予以简化。2.地震的强度“里氏”从美国的地质学家里克特(Richter)的名字衍生的表示地震强度的里氏规模里氏震级，原先仅是为了研究美国加州地区发生的地震而设计的，并用伍德-安德森扭力式地震仪(Wood-Andersontorsionseismometer)测量。里克特设计此标度的目的是区分当时加州地区发生的大量小规模地震和少量大规模地震，而灵感则来自天文学中表示天体亮度的星等。为了使结果不为负数，里克特定义在距离震中100千米处之观测点地震仪记录到的最大水平位移为1微米(这也是伍德-安德森扭力式地震仪的最大精度)的地震作为0级地震。按照这个定义，如果距震中100千米处的伍德-安德森扭力式地震仪测得的地震波振幅为1毫米(103微米)的话，则震级为里氏3级。里氏震级并没有规定上限或下限。现代精密的地震仪经常记录到规模为负数的地震。里氏规模也可以用来表示地震的能量。在这种情况下，里氏规模每增加1，能量就增加约32倍，里氏规模增加2，能量也就增加1000倍。地震有从人类几乎觉察不到的轻微地震到破坏城市建筑物等威力无比的大地震，它们之间的能量差异相当大，所以一般用对数来表示。里氏震级R与地震释放的能量E的关系为R=(lgE-11.4)(此类公式的版本比较多，如中国地震台网中心黄志斌先生在常用震级及其量纲(《地震地磁观测与研究》第28卷第5期.178)一文中又列出了如下公式：lgE=11.8+1.5R中国地震局地球物理研究所。陈运泰，刘瑞丰在2004年12月第25卷第6期《地震地磁观测与研究》上撰文《地震的震级》列出了：lgE=1.5R+16.1.总之，关于此类的公式比较多，可能在这一领域该公式的计算还没达到统一。用里氏表示曾经在广岛爆炸的原子弹的能量，则大约为6.1.据报道，1995年在日本神户发生的地震里氏规模为7.5，那么所发出的能量相当于广岛原子弹的45倍。2008年汶川里氏8.0级大地震，其释放的能量约为2.0×1018焦耳，相当于50亿吨TNT炸药或25000个广岛原子弹的能量。3.表示星星亮度的等级(magnitude)将复杂的计算简单化的这种最初的必要性虽然已经消失了，但是因为对数可以把PH值、里氏规模、分贝、星的等级等以几何级别增加的形式简化成以算术级别增加的形式，所以仍然被人们广泛使用。二、对数函数在实际生活中的应用举例1.研究燕子的科学家发现，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬。两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v=5log2,单位是m/s,其中O表示燕子的耗氧量。2.分贝(dB)是将声音的强弱和标准音的强弱作比较后表示噪音的数据，声音的强弱有很大的差异，声音的强度I用瓦／平方米(W/m2)表示，但在实际测量中，常用声音的强度水平L1表示，它们满足以下公式：L1=10lg(I/I0)(单位为分贝)，L1≥0，其中I0=1×10-12这是一个正常人能听到的最小强度，是听觉的开端。参考文献：[1](韩)朴京美,著.数学维生素[M].姜哲,译.北京:中信出版社,2006,1.[2]邹远雄.指、对数函数模型应用题例析[J].数学爱好者,2006,12.ApplicationofLogarithmicandLogarithmicfunctionmodelHuJian-ping,RenLi-jian（GansuQinanthirdmiddleschool,Qin'anGansu,741600,China;GansuNationalNormalUniversity,HezuoGansu,747000,China）Abstract:AreLogarithmandlogarithmicfunctionusefulinreallife?Thisthesissummarizesapplicationoflogarithmandlogarithmicfunctionmodelinreallife,emphasizesitsapplicability.Keywords：Logarithm;Logarithmicfunction;Logarithmicfunctionmodel［责任编辑：徐　达］72010-08-0197-1981-