数列中的存在性问题 经典

专题：数列中的存在性问题

一、单存在性变量

解题思路：该类问题往往和恒成立问题伴随出现（否则就是一个方程有解问题，即零点问题），可以先假设存在，列出一个等式，通过化简，整理成关于任意性变量（一般为n）的方程，然后n的系数为0，构造方程，进而解出存在性变量，最后检验。

例1、已知数列{na}的前n项和为nS=235nn，在数列{nb}中，1b=8，164nnbb=0，问是否存在常数c使得对任意n，logncnab恒为常数M，若存在求出常数c和M,若不存在说明理由.

解析：假设存在常数c使得对任意n，logncnab恒为常数M，

∵nS=235nn，

∴当n=1时，则1a=1S=8，

当n≥2时，na=1nnSS=2235[3(1)5(1)]nnnn=62n，

当n=1适合，

∴na=62n，

又∵164nnbb=0， ∴1nnbb=164，

∴数列{nb}是首项为8，公比为164的等比数列，

∴nb=118()64n=962n，

则logncnab=9662log2ncn=62(96)log2ann=6(1log2)29log2aan，

又∵对任意n，logncnab恒为常数M，

∴6(1log2)a=0，解得c=2，

∴M=29log2a=11，

∴存在常数c=2使得对任意n，logncnab恒为常数M=11.

二、双存在型变量

解题思路：先假设存在，根据题目条件，列出一个含有两个变量（一般至少都为正整数）的等式，即转化为一个数论中的双整数问题，然后分离变量。如果可以分离常数，则利用数论中约数的知识列出所有可能情况，最后进行双检验，即对两个变量均进行条件检验；如果不可以分离常数，则利用分离出的变量所具有的隐含范围（如大于0）消元，进而构造一个不等式，解出另一个变量的范围，再列出求出的被压缩的范围里的所有整数值，分别求出对应的另一个存在性变量，最后进行检验。

例2、【2010南通一模】

设等差数列的前项和为且．

（1）求数列的通项公式及前项和公式；

（2）设数列的通项公式为，问: 是否存在正整数t，使得

成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.

【解】（1）设等差数列的公差为d. 由已知得 ………………2分

即解得……………………………………………………………4分.

故.…………………………………………………………………6分

（2）由（1）知.要使成等差数列，必须，即，………………………………………………………………8分.

（3）整理得，…………………………………………………………… 11分

因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5.

当时，；当时，；当时，.

故存在正整数t，使得成等差数列. ……………………………… 15分

例3、设数列na的前项和2nSn，数列nb满足*()nnnabmNam.

（Ⅰ）若128,,bbb成等比数列，试求m的值；

（Ⅱ）是否存在m，使得数列nb中存在某项tb满足*14,,(,5)tbbbtNt成等差数列？若存在，请指出符合题意的m的个数；若不存在，请说明理由.

解：（Ⅰ）因为2nSn，所以当2n时，121nnnaSSn……………………3分

又当1n时，111aS，适合上式，所以21nan（*nN）…………………4分

所以2121nnbnm，则1281315,,1315bbbmmm，由2218bbb，

得23115()3115mmm，解得0m（舍）或9m，所以9m………………7分

（Ⅱ）假设存在m，使得*14,,(,5)tbbbtNt成等差数列，即412tbbb，则

712127121tmmtm，化简得3675tm…………………………………12分

所以当51,2,3,4,6,9,12,18,36m时，分别存在43,25,19,16,13,11,10,9,8t适合题意，

即存在这样m，且符合题意的m共有9个 ………………………………………14分

例4、【2010徐州三模】 已知数列na是各项均不为0的等差数列，为其前项和，且满足221nnaS，令11nnnbaa，数列nb的前n项和为nT.

（1）求数列na的通项公式及数列nb的前n项和为nT；

（2）是否存在正整数,mn(1)mn，使得1,,mnTTT成等比数列？若存在，求出所有的,mn的值；若不存在，请说明理由.

解：（1）因为na是等差数列，由212121()(21)(21)2nnnnaanaSna，

又因为0na，所以21nan，………………………………………………………2分

由111111()(21)(21)22121nnnbaannnn

所以111111(1)2335212121nnTnnnL．……………………………6分

(2)由(1)知，21nnTn， 所以11,,32121mnmnTTTmn，

若1,,mnTTT成等比数列，则21()()21321mnmn，即2244163mnmmn．……8分

解法一：由2244163mnmmn，可得223241mmnm，

所以22410mm， ……………………………………………………………12分

从而：661122m，又mN，且1m，所以2m，此时12n．

故可知：当且仅当2m， 12n使数列nT中的1,,mnTTT成等比数列。…………16分

解法二：因为1136366nnn，故2214416mmm，即22410mm，………12分

从而：661122m，（以下同上）．

三、三个存在型变量------连续的

解题思路：这类问题的形式一般是，“是否存在连续的三项，恰好成等差数列（或等比数列）”。可以先假设存在，然后构造一个关于单存在性变量的方程，即转化为一个方程有正整数根的问题，我们可以按照处理零点问题的方法（“解方程”或者“画图像”）求解。

例5、【扬州2010一模】

已知数列{}na，(0,0,,,0,*)nnnapqpqpqRnN.

⑴求证：数列1{}nnapa为等比数列；

⑵数列{}na中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；

⑶设{(,)|3,*}nnnnAnbbknN，其中k为常数，且kN，

{(,)|5,*}nnnBnccnN，求A∩B.

解：⑴∵na=nnpq，∴111()()nnnnnnnapapqppqqqp，

∵0,0,qpq∴211nnnnapaqapa为常数

∴数列1{}nnapa为等比数列------------------------------------------------------------4分

⑵取数列{}na的连续三项12,,(1,)nnnaaannN，

∵211222212()()()()nnnnnnnnnnnaaapqpqpqpqpq，

0,0,,0pqpqQ，∴2()0nnpqpq，即212nnnaaa，

∴数列{}na中不存在连续三项构成等比数列；

------------------------------------------9分

⑶当1k时，3315nnnnk，此时BCI；

当3k时，33323nnnnnk为偶数；而5n为奇数，此时BCI；

当5k时，35nnnk，此时BCI；----------------------------------------------12分

当2k时，325nnn，发现1n符合要求，

下面证明唯一性（即只有1n符合要求）。

由325nnn得32()()155nn， 设32()()()55xxfx，则32()()()55xxfx是R上的减函数，

∴ ()1fx的解只有一个

从而当且仅当1n时32()()155nn，即325nnn，此时{(1,5)}BCI；

当4k时，345nnn，发现2n符合要求，

下面同理可证明唯一性（即只有2n符合要求）。

从而当且仅当2n时34()()155nn，即345nnn，此时{(2,25)}BCI；

综上，当1k，3k或5k时，BCI；

当2k时，{(1,5)}BCI，

当4k时，{(2,25)}BCI。 ------------------------------16分

四、三个存在型变量------不同的

解题思路：这类问题的形式一般是，“是否存在不同的三项……，恰好成等差数列（或等比数列）”，不难看出，三个存在型变量均出现在下标，这就等于给定了两个隐含条件，其一，三个变量均为正整数，其二，三个变量互不相等。另外，一旦我们主动去分析数列的单调性，那么我们就可以不妨设出这三个变量的一个大小顺序。

具体的，该类问题可以分成三类。

其一，等差中找等比（无理有理找矛盾）

例6、【扬州2010三模】

已知数列{}na满足：2121+,4=12+,2nnn+anaaan为偶数为奇数,-,（*,,nNaRa为常数），

数列{}nb中，221nnba。

⑴求123,,aaa；

⑵证明：数列{}nb为等差数列；

⑶求证：数列{}nb中存在三项构成等比数列时，a为有理数。

解：⑴由已知11122aaa，得112aa，